（应用数学专业论文）多物种互助或竞争模型解的性质.pdf

中文摘要 摘要：本文从反应扩散方程组的上下解和拟单调性质出发，研究了一类具有齐次 n e u m a n n 边界条件的多物种互助模型平衡解的稳定性，得出该反应扩散系统有唯 一的全局稳定性的正常数平衡解的结论；另外还研究了一类具有齐次n e u m a n n 边 界条件的多物种竞争模型的解，并得出了解的持久性结论 全文共包括五章： 第一章：简单介绍选题背景和意义，并给出有关概念 第二章：介绍了各种生态学中的几类物种模型，并给出了有关几种模型解的 性质 第三章：研究了反应扩散方程组的初边值问题中有关解的性质 第四章：研究了一类具有齐次n e u m a n n 边界条件的多物种互助模型平衡解的 稳定性，得出该反应扩散系统有唯一的全局稳定性的正常数平衡解的结论 第五章：研究了一类具有齐次n e u m a n n 边界条件的多物种竞争模型的解，并 得出了解的持久性结论 关键词：反应扩散方程组；初边值问题：渐近行为；拟单调性质 分类号：0 1 7 5 2 6 a b s t r a c t a b s t r a c t ：u s i n gt h eu p p 盯a n dl o w e rs o l u t i o n s , q u a s i m o n o t o n ep r o p e r t yi n r e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e m s , t h i sd i s s e r t a t i o ni sc o n c e r n e dw i t hg l o b a l s t a b i l i t yo f e q u i l i b r i u ms o l u t i o n sf o rac l a s so fm u l t i s p e c i e sc o o p e r a t i n gm o d e l ，t h eb o u n d a r y c o n d i t i o n sf o r t h er e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e m sa l eh o m o g e n e o u sn e u m a n nt y p e t h e u n i q u e ，p o s i t i v ea n dc o n s t a n ts t a b l es o l u t i o n sf o rt h i ss y s t e ma r eo b t a i n e d w h i l e ，w e a l s os t u d yac l a s so fm u l t i - s p e c i e sc o m p e t i t i v em o d e l ，t h eb o u n d a r yc o n d i t i o n sf o rt h e r e a c t i o n d i f f u s i o ns y s t e m sa l ea l s oh o m o g e n e o u sn e u m a n nt y p e ，t h e p e r m a n e n t s o l u t i o n sf o rt h e s es y s t e m sa r eo b t a i n e d t h ef i v ec h a p t e r so ft h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： i nt h ef i s tc h a p t e r , t h eb a c k g r o u n do f s e l e c t i n gt h i sq u e s t i o ni si n t r o d u c e db r i e f l y , w h i l e ，t h ei n v o l v e dc o n c e p t sa n dt h e o r e m si nt h i sd i s s e r t a t i o na r eg i v e n i nt h es e c o n dc h a p t e r , w em a i n l ys t u d ys e v e r a lb i o l o g i c a lm o d e l s ，a n dt h e c h a r a c t e r i s t i c so ft h e s es o l u t i o n sa r eb r i e f l yi n t r o d u c e d i nt h em i r d c h a p t e r s ，w er e s e a r c h t h e i n i t i a l - b o u n d a r yp r o b l e m si n t h e s e r e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e m s i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w es t u d yt h eg l o b a ls t a b i l i t yo fe q u i l i b r i u ms o l u t i o n sf o ra c l a s so f m u l t i s p e c i e sc o o p e r a t i n gm o d e l ，t h eb o u n d a r yc o n d i t i o n sf o rt h e r e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e m sa r eh o m o g e n e o u sn e u m a n nt y p e t h eu n i q u e ，p o s i t i v ea n d c o n s t a n ts t a b l es o l u t i o n sf o rt h i ss y s t e ma r eo b t a i n e d i nt h el a s tc h a p t e r , w er e s e a r c hac l a s so fm u l t i s p e c i e sc o m p e t i t i v em o d e l ，t h e b o u n d a r yc o n d i t i o n sf o rt h er e a c t i o n d i f f u s i o ns y s t e m sa r ea l s oh o m o g e n e o u sn e u m a n n t y p e ，a n dt h ep e r m a n e n ts o l u t i o n sf o rt h e s es y s t e m sa r eo b t a i n e d k e y w o r d s ：r e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e m s ；i n i t i a l - b o u n d a r yp r o b l e m s ；u p p e ra n dl o w e r s o l u t i o n s ；q u a s i m o n o t o n ep r o p e r t y c l a s s n 0 ：0 17 5 2 6 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：洪辛欣导师签名： 灿迦末 签字日期：年月f t 签字日期：矽吆年6 月1 日 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月日 致谢 本论文的工作是在我的导师刘迎东副教授的悉心指导下完成的，刘迎东副教 授严谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢三 年来刘迎东老师对我的关心和指导。 刘迎东教授悉心指导我们完成了实验室的科研工作，在学习上和生活上都给 予了我很大的关心和帮助，在此向刘老师表示衷心的谢意，另外教授对于我的论 文都提出了许多的宝贵意见，在此表示衷心的感谢。 在实验室工作及撰写论文期间，我的师姐，师妹们对我论文给予了热情帮助， 在此向他们表达我的感激之情。 另外也感谢家人，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业。 最后，诚谢各位专家和学者在百忙中审阅我的论文，诚恳接受您的宝贵意见 和建议，并期待您的批评和指导 洪辛欣 2 0 0 8 年5 月 于北京交通大学 1 引言 数学在向着“纯粹 方向发展，即在最为抽象的领域中不断得到优美的定理 的同时，又不断提供给应用科学和社会科学等方面解决问题的强有力的现代工具 将最新的抽象结果应用于具有实际意义的模型而得到具有指导性意义的结果 是现代应用数学的一大特征十分明显的是，数学已经在生命科学、材料科学以及 信息技术方面发挥着越来越重要的作用，并且在社会科学方面不断地显示出威力 2 0 世纪2 0 至3 0 年代是数学生物学的黄金年代，出现了l o t k a ，v o l t e r r a ， k o l m o g o r o v 等大师以及以他们名字命名的( 现在已经成为了非常经典的) 模型和 系统l o t k a v o l t e r r a 系统及k o l m o g o r o v 系统不仅出现在几乎所有的微分方程现 代教材中，也是众多应用科学中( 包括物理、化学、生物、经济、军事等) 的重 要和基本的系统之一 数学生态学在2 0 世纪7 0 年的长足进展国内相关研究从2 0 世纪8 0 年代逐渐 增多，至今已有大量的工作与国际接轨，而且作为一门新兴的学科，生物数学近些 年来发展十分迅速 在现代社会中，科学技术的发展在很大程度上都依赖于物理学，化学和生物 学的成就和进展，而这些学科自身的精确化又是它们取得进展的重要保证学科的 精确化往往是通过建立数学模型来实现的，而大量的数学模型可归纳为所谓的反 应扩散方程 近二十多年来，反应扩散方程的研究日益受到重视这是因为反应扩散方程涉 及的大量问题来自物理学、化学和生物学中的众多数学模型，因而有强烈的实际 背景；另一方面，在反应扩散方程的研究中，对数学也提出了许多挑战性的问题， 因此正愈来愈多的数学家、物理学家、化学家、生物学家和工程师的注意。正因 为反应扩散方程组在很大程度上反应了“扩散和“反应的相互作用，也反映 了分量间的相互作用，因而为许多实际问题的数学模型的建立提供了条件未说明 反应扩散方程的各种实际背景，在这里仅列举几例： a ：神经传导的h o d g k i n i x l e y 方程 u t = u 靠+ ，( “，q ，( 0 29 h0 9 畋) # c o , = zp o ( u ) o t + g f ( 甜) ( i = l ，2 ，k ) b ：酶的数学模型 9 1 t = a s r ( j ，a ) + ( s o - s ) a t = p a a + r ( s ，口) 一d ( a o - a ) 】 其中r ( s ，a ) = p a s 1 + i j i + 缸2 c ：生态方程( 群体增长，传染病，病虫害等) 吒= 材+ u m ( u ，d + 【，似( 五j ) ，v ( x , s ) ) a s k = a v + v n ( u ，v ) + 【g ( u ( x ，s ) ，“五s ) 灿 其它方程，如渗流方程、超导方程、液晶方程、反应器动力学方程；各种生 物现象中提出的众多数学模型；医学提出的各种方程；传热中以及污染问题中出 现的对流扩散方程等，在此不一一列举了 在对生物学动力系统的研究中，人们所关注的问题是相互作用的各物种的长 期行为，从数学的角度看，即关注的是一类反应扩散方程组正解的存在性，稳定性 等例如l o t k a - v o l t e r r a 模型中，方程组往往拥有多个平衡解反应扩散系统可以用 来描述两个或三个物种之间的多种相互关系，如寄生互助，竞争排斥，弱肉强食等 到目前为止，讨论具有多种群之间的相互作用并不是很多，研究者最感兴趣的是方 程组的解是否收敛于某一个平衡解，即在不同的平衡解中寻求一个稳定解的充分 条件本文讨论的是一类模型正平衡解的渐近稳定性 另外，在特别介绍本文前，要特别注意，由于我们所研究的对象是种群的密度 或个数的变化规律，因而本文中所涉及的常微分方程的解都是正解，全局稳定性是 指在整个正象限内的稳定性 通常在数学上把以下半线性抛物型方程组 o u o t = d ( x , u ) a u + f ( x , u ，g r a d u ) i ( x ，f ) q r + ) ( 1 1 ) 称为反应扩散方程组，其中( ( 石，f ) q 尺+ ) q c 尺“，n ，m 1 ，x = ( x i ，x 2 ，) ，u = 似i ，u 2 ，u m ) a u = ( a u l ，a u 2 ，a u 。) ，g r a d u = ( g r a d u l ，g r a d u 2 ，g r a d u 。) ，g r a d u t = ( o u i o x , ，钆，钆瓯) ，( f = l ，2 ，m ) ，d ( x ，u ) = ( 吒( x ，材) ) ( f ，j = l ，2 ，m ) 根据 不同的问题可以研究初值问题，即q = r “，满足初始条件 u ( x ，0 ) = u o ( x ) r “) ( 1 2 ) 也可以研究各种边值问题，即q c r ”有界，勉表示q 的边界，满足边界条件 ， u = g 瓴f ) o ，f ) 翘x r + ( d i r i c h l e t 条件) ( 1 3 ) 或 锄锄= g “力x ，f ) o q xr + ( n e u m a n n 条件) ( 1 4 ) 或 锄锄+ 砌= g ( 五f )( 石，f ) o q x r +( r o b i n 条件) ( 1 5 ) ( 1 1 ) 的与时问t 无关的解满足 一d ( x , u ) a u = f ( x ，u ，g r a d u )( x q ) ( 1 6 ) 我们把定常问题( 1 6 ) ，( 1 3 ) 或( 1 6 ) ，( 1 4 ) 或( 1 6 ) ( 1 5 ) ( 其中 g ( x ，f ) 暑g ( x ) = l i m g ( x ，f ) ) 的解称为( 1 1 ) ，( 1 3 ) ( 或( 1 4 ) 或( 1 5 ) ) ，( 1 2 ) 2 问题的平衡解或定态解( 1 1 ) 的空间为均匀的解满足常微分方程组 d u d t = 厂( “) ( ( 毛“，v u ) 暑( “) ) ( 1 7 ) “( 0 ) = u o ( 1 8 ) 由于( 1 6 ) ，( 1 7 ) 是( 1 1 ) 的特殊形式，我们也把( 1 1 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) 的耦合组称为反应扩散方程组 在一个系统中，最重要的状态之一是它的平衡态，若一个平衡态没有持久性， 就没有多大的意义，下面我们给出稳定性的定义 我们考虑n 维非自治系统 x = f ( x ，f ) ( 1 9 ) 也包含了它的特殊情形即n 维自治系统 x = 厂( z ) 称而是( 1 1 ) 的平衡点，若t 0 时f ( x o ，t ) 三0 显然只须考虑而兰0 的情形 以下假设在( x ，t ) o ，佃) 或在r 4 o ，+ o o ) 上连续，z = 0 是( 1 1 ) 的平衡点 ( 1 1 ) 满足初值x l 嘞= x o 的解记为工= f p ( t ；t o ，x o ) 定义1 设而是( 1 1 ) 的平衡点 1 、若是v g o ，和f o o ，3 8 = 6 ( c ，t o ) 0 ，使得当i j 0 ，存在一个占( s ) 0 ，使得对于任意给定的在q 中严格为正的光滑函数 妒( z ) ，对于所有x q 驴( x ) o ，脯l n ( x ，t ) - n + i 0 ，且有 l i m n ( x ，t ) = n ( 2 3 ) ，u - 则我们称为渐近稳定的 定义2 3 若问题( 2 1 ) 的正常数平衡解是渐近稳定的，并且如果给定在 q 中严格的为正的光滑函数缈( x ) ，初边值问题( 2 1 ) 的解( 五f ) 0 ，且满足 一i m n ( x ，f ) = 则称问题( 2 1 ) 的正常数平衡解为全局稳定的 定理2 1 ( 存在、比较定理) 若问题( 2 1 ) 存在有界的上、下解n ( x ，f ) ，盟( 石，t ) ， 则问题( 2 1 ) 有唯一的解n ( x , t ) ，且满足 型( 工，t ) n ( x ，t ) sn ( x ，t ) 证明从略 定理2 2l o t k a v o l t e r r a 放映扩散方程的齐次n e u m a n n 初边值问题( 2 1 ) 的正常数平衡解+ 是全局稳定的 证对问题( 2 1 ) ，任给光滑初值函数缈( x ) ，取 m = m a x ( n * , 罂伊( 工) ) ，研= m i n ( 矿，嘧缈( 石) ) 考虑如下的常微分方程初值问题 d n l d t = n + 一n ) ，( o ) = m ； d n d t = n ( n + 一盟) ，盟( o ) = 小； ( 2 4 ) 容易证明初值问题( 2 4 ) 存在解 4 = ( f ) ，n = n ( t ) ( 2 5 ) 并且有l i m n = l i r a n = ，且分别为问题( 2 1 ) 的上下解由定理( 2 1 ) 可 知，问题( 2 1 ) 的唯一解满足： 盟( x ，f ) s ( 2 6 ) 所以 ，i m 。n ( x ，f ) = n 由初值伊( x ) 的任意性可知，问题( 2 1 ) 的正常数平衡解+ 是全局稳定的 2 2 两种群模型 两种群在一个共同的自然环境中生存，它们之间的相互作用只有以下四种情 况： l 、捕食者与被捕食者 2 、寄生物与寄主 3 、两种群相互竞争 4 、两种群互惠互存 两种群相互作用的最简单的模型，可以写成： x = x ( a l o + 口i i x + a 1 2 y ) ， y = y ( a 2 0 + 口2 i x + a 2 2 y ) ( 2 7 ) 我们称此模型为两种群相互作用的l o t k a v o l t e r r a 模型，其中x 表示种群x 的 密度，y 表示种群y 的密度于是有： 1 、当a ，： o 说明x 为被捕食者( 或是寄主) ，而y 为捕食者( 或寄生物) 2 、当q ： 0 时，说明x 种群和y 种群是互惠互存的 4 、一般假定口l i 0 ，a 2 2 o 若口。l o ) 表示x 种群( y 种群) 可以依靠此 系统之外的食物为生，f f a 。 o ，作变换新= 薯一x + ，( f = l ，2 ，r ) 并线性化，有 x l2 x i 。a i l x l + 五a 1 2 2 2 ，x 2 = x 2 。a 2 i x i + x 2 a 2 2 勋( 2 1 0 ) 由稳定的r o u t h h u r w i t z 条件上式对( o ，o ) 渐近稳定的充要条件为 五a l i + 五+ a 1 2 0 ( 2 1 1 ) 易见对于互相竞争两种群( 即a ，： 0 ) 非平凡正平衡结位置为稳定的必要条件是口。i o 出发的解( 五( f ) ，x a t ) ) ，当t 专时都有l i m 五( f ) = 而，l i m x 2 ( t ) = x 2 ，则 我们称正平衡解位置( 五，x 2 ) 是全局渐近稳定的 定理2 3 两种群互相作用的l o t k a v o l t e r r a 模型为全局稳定的充分条件： 1 、非平凡衡点是正的 2 、正平衡点是局部稳定的 3 、a 。 o ，a 2 ： 0 ( 即每一种群本身是密度制约的) 不过，定理2 3 中的条件3 不常满足，这样就有了 定理2 4 两种群相互作用l o t k a v o l t e r r a 模型为全局渐近稳定的充分条件 为： 1 、非平凡平衡点存在为正 2 、正平衡点是局部渐近稳定的 3 、a t l o ，a 2 2 0 定理2 4 中的条件l ，2 不仅是充分的，而且是必要的，而条件3 则只是一个充 分条件，不是必要的那么，当条件3 不满足时，在什么条件仍然是全局稳定的呢? 胁l l ( 1 9 7 8 ) 提出利用p o i n c a r e 变换：= v z ，= l z ，或= 1 舀o ，屯= u c o 来研究 6 这个问题，这样方程( 2 1 ) 变成： v = v z ( a , l a 2 i ) ，+ ( 岛一6 2 ) z + ( 口1 2 - - a 2 2 ) 】 z = ( - a 2 ，) ，+ ( 一吃) z + ( 一口2 ：) 】 或 材= u r o ( a 2 2 一a 1 2 ) “+ ( 6 i 一吃) 国+ ( 口2 l q i ) 】 彩= 【( 一口。：) ”+ ( 一6 i ) 国+ ( 一口l 。) 】 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 他得出，若是研究方程( 2 1 ) 的正平衡位置在第一象限的全局稳定性，只要 研究( 2 1 2 ) 的正平衡位置( v 。，z ) 或方程( 2 1 3 ) 的正平衡位置( “。，v ) 是否在第 一象限为全局稳定的即可 2 3 三种群或多种群所组成的群落生态系统的数学模型 2 3 1三种群及多种群模型的稳定性问题 三个种群相互作用显然要比两个种群的相互作用要复杂，但是构造数学模型 的规律基本相同，在三个种群中，每两个种群之间的关系，都可以有在2 2 中研究的 两个种群相互作用时的四中关系：捕食一被捕食，寄生物一寄主，相互竞争以及互惠 共存因此有三个种群的两两关系不同的各种组合，就产生了种类繁多的数学模型 三个种群的每一种关系对应一个数学模型 所谓的复杂生态系统是指有三个和三个以上的种群所组成的生态群落中种群 之间相互作用的生态模型对于四个及更多的种群相互作用的模型的建立也与三 个种群情况一样例如四个种群，其中两个为“资源( 被捕食者) 种群，另外两个 是 消耗者 种群( 捕食者) 如果资源是按l o g i s t i c 增长的，消耗者之间是互不影 响， 我们考虑模型 m = m f ( m ，2 ，n ) ，f = 1 ，2 ，m ( 2 1 4 ) 这里互( ) ，e ( ) ，c ( ) 在正象限中连续假设其正平衡点为，即 巧i + ) _ 0 ，i = 1 ，2 ，m ( 2 1 5 ) 设毛= m m ( f = 1 ，2 ，聊) ，则( 2 1 4 ) 的线性化系统为 = m 口 ( 啊一m 。) ，i = 1 ，2 ，m ( 2 1 6 ) 7 这里( 嘞) 等于( 粥a m ) 在。的值我们知道局部稳定的充分条件为： ( m ) 的所有特征根的实部为负( 2 1 4 ) 的近似系统为 t = 羔：( 以一坼0 f = 1 ，2 ，m ( 2 1 7 ) j = 1 质： 在区域q 内函数矿( ) 称为是模型( 2 1 4 ) i 拘i l i a p u n o v e 函数，如果它具有下列性 1 、v ( n 。) = o 2 、在q 内，v ( n ) 7 e en 点有一个整体最小，等于零 3 、在q 内，曲面族v ( n ) = k 对于每一个正值k 是闭曲面 4 、关于系统( 2 1 4 ) 的导数y ( ) = ( a k a m 比( ) i f f i l 是非正的，对于所有的n q 条件3 常用来确定区域q ，如果l 是一正常数，我 们可取q = p ( ) 0 ， 卅 0 ) 内为l i a p u n o v e 函数，如果它具有下列性质： l 、v ( n + ) = o 2 、在f 内曲面族v ( n 1 = k 对每一正值k 是一个闭的超曲面，并且对每一个正 值k v ( n ) 专0 0当m - - + 0 或当以专0 0 时 3 、沿着( 2 1 4 ) 的解在1 1 内部 ，n 矿( ) = ( a k 叭比互( ) f 菩l ( 2 1 8 ) 对所有n f 是非正的 考虑m 维l o t k a v o l t e r r a 模型 t = m ( 龟+ 芝j = 1 ) ，= ，2 ，朋 c 2 9 ) 这里包，吻对所有f ，j = l ，2 ，m 为常数 定义2 4 一矩阵c 称为是一m 矩阵，如果当f _ ，时，q o ，并且下列条件中 任何一个成立： 1 、c 的所有特征值有正实部， 卜铀q 2 、c 的顺序主子式为正，即l c 2 - ，锄 ，c 2 t e 磊三 3 、c 是一个非奇异的而且c - 1 0 ， 4 、存在一个向量z 0 ，使得q 0 ， 5 、存在一个向量y 0 ，使得c y 0 0 ，后- - 1 ，2 ，聊， 定理2 5 模型( 2 1 5 ) 为全局稳定的充分条件为： 1 、有一个正平衡解， 2 、存在一个矩阵g ，使得对所有f ，_ ，- 1 ，2 ，肌， a g ，i a u i q ，对f ， 3 、矩阵一g 的顺序主子式为正 证明从略 例1 三种群模型 m = 川( 2 5 2 i 一2 + 3 ) 2 = n 2 ( 4 5 一m 一3 2 一3 ) t 旷3 = 3 ( 一l + m + 2 2 3 ) 一g 的顺序主子式为正，所以平衡位置( 1 ，1 ，0 5 ) 是全局稳定的 2 3 2 复杂生态系统的持久性与灭绝性 从生态的角度考虑，所谓持久性也就是这个生态系统中所有种群都能长期生 存下去；所谓灭绝性，就是这生态系统中的某一种群或某一些种群将绝灭，而不复 存在，为了用数学模型的方法来研究生态系统及其持久性，我们必需对持久性和灭 绝性给出严格的数学定义我们这里研究生态系统 薯= 毛z ( ，x 29 , j - 9 ) ，f = l ，2 ，聊 ( 2 2 0 ) 我们假设厂在霹： ( 五，恐，毛) l 五o ，而o ，x o _ k i l i i i 奎续，而且充分光滑 以保证( 2 2 0 ) 的解的存在性，唯一性 9 定义2 6 系统( 2 2 0 ) 称为是持久型的，如果具有如下的性质：系统( 2 2 0 ) 起始 于霹内的每一个解= ( f ) ( 垂( o ) i n t 彤) ，对于所有的i ( 1 0 而 o ， o ) ，以及对于某一个f 【o ，巧) 有l ，i m ，s u p 谚( f ) = 0 对于一维的微分方程 = w ( u ) ( 2 2 1 ) 我们设w 是一个把正半轴足映射到r 的连续映射，方程( 2 2 1 ) 称为是持久型 的，如果( 2 2 1 ) 的任意正初始值的解少= 沙( f ) ，5 c ，( o ) 0 ，对所有f ( o ，) ，满足 l i m s u p 谚( t ) o ( 2 2 2 ) 方程( 2 2 1 ) 称为绝灭性型的，如果具有正初始值的解y = ( f ) ，沙( o ) o 存 在某一个f ( o ，o o ) ，满足： l i m ( f ) = 0 定义2 7 一个函数p 称为关于系统( 2 2 0 ) 的一个持久性函数，如果满足下列 条件： 1 、对于某一个i ( i = 1 ，2 ，刀) ，如果玉一。则p ( 五，而，毛) 寸o 2 、p 满足微分不等式p w ( p ) ，这里 p ( ，而9 - 9 毛) 三( 印挑k ，( 五，而，毛) ， i = 1 并且比较方程“= w ( u ) 是持久型的 定义2 8 一个函数s 称为对于系统( 2 2 0 ) 的一个绝灭型函数，如果满足下列 条件： 3 、只要某一个五一0o = 1 ，2 ，刀) ，就有 占( 五，x 2 9 o ，) 专0 4 、占满足微分不等式s s 矿( g ) ，这里 占( 五，而，毛) 兰( a 占觑) t z ( ，毛，) ( 2 2 2 ) i = l 并且对应的比较方程“= 形似) 是灭绝型的 定理2 6 如果系统( 2 2 0 ) 存在一个持久性函数p ，则这个系统是持久的，也 即系统( 2 2 0 ) 任意正初始值的解= ( 破，政，识) ，若其最大存在区间为 o ，乃) ，则 l o 对于每一个f ( o ，乃) 和每一个砸= 1 ，2 ，刀) ，都有l i m s u p # ( t ) 0 证明用反证法，假设系统( 2 2 0 ) 为非持久的，则存在f ( o ，互) 和一个 j ( 1 j 刀) ，使得 l ，i m ，s u p # i ( t ) o ( 0 ( - e 丝f - g i ( x ，f ) ( 工a q ，t ( o ，r 】) “，( f ) 仍( 工) 丝，( x ，f ) ( x q ) ( 3 1 1 ) l 、若 彳 是拟单调增加的，满足 詈t - 厶- l z ( 撕t ，u z ) 鲁+ 厶纩z ( 枷剖( x 啦吲o ，明) 则称u ，矿为( 3 1 ) 的上解和下解 2 、若 z ) 是拟单调减少的，满足 则称u ，v 为( 3 1 ) 的上解和下解 对( 3 2 ) 我们有类似的定义 定义3 4 设u ( x ) = ( 品t ( x ) ，u z ( x ) ) ，矿( 工) = ( 些。( x ) ，坚：( z ) ) 满足 e 云，一& ( z ) o 忍丝，一g i ( x )( 工a q ) ( 3 1 2 ) 1 4 “一 幻 五 k “ “一 ， 躯 呜 + ：一 争等 0 全! 舵 如 扛净 ， 1 一肌 挑 一m m 印 厶 一讥一钟一讹一钟 1 若 z 是拟单调增加的，满足 厶“，- z , ( x , ，u i ，“2 ) 厶丝f - f , ( x , t ，丝i ，u 2 ) ( 工q ，i = l ，2 ) ( 3 1 3 ) 则称u ，y 为( 3 1 ) 的上解和下解 2 若 z 是拟单调减少的，满足 厶“i z ( x ，f ，“i ，丝2 ) o 厶丝l 一石( 五f ，u l ，u 2 ) ( 工q ) 厶“2 一z ( x , t ，u i ，“2 ) 0 厶些2 一正i x , t ，“l ，u 2 ) ( 3 1 4 ) 则称u ，v 为( 3 1 ) 的上解和下解 另外，在 彳 拟增的情形下，存在极限 。l i r a 。( 、u , ( o , u 2 i k l ) = ( 云- ( 五，) ，云：( x ，f ) ) = 云( x ，f ) 烘( 丝。似，丝：似) = ( 丝。( 五f ) ，丝：( 列) ) = 丝( 州) ( 3 1 5 ) 可以证明他们是( 3 1 ) 的解而且满足 ( 丝。( 五f ) ，u ：( 五f ) ) = 丝( z ，f ) 云( x ，f ) = ( 云- ( 五f ) ，二z ( x ，f ) ) 若 彳 是拟单调减少的情形下，也存在极限 熙( 云t 似鹄) = ( 五啪) ，丝：( 训= ( 云t ，丝：) = 砥t ) 。l i 。m 。( 、u ( k ) , u 2 ( k ) ) = ( 丝。( x ，r ) ，云：( x ，z ) ) = ( 丝，磊z ) = 二( 工，r ) ( ( 刈) ) 百r ( 3 1 6 ) 它们也是( 3 1 ) 的解，而且 u ( x , t ) “( z ，f ) ，u ( x , t ) “( 工，t )( ( x ，f ) ) q r 到此，解的存在性定理已经得到这里寻找( 3 1 ) 的上、下解是关键由定义，对 于拟增情形，上解与下解是独立的，它们可以分别被确定而对于拟减情形，上解 ( 一u l , 云z ) 与下解( 约，u ：) 是有联系的，但( 云- ，u ：) 与( 丝。，云z ) 是相互独立的，它们可以分 别被确定 3 2 抛物型方程组的边值问题 定理3 1 设【，( 毛f ) ，v ( x ，f ) 分别是( 3 1 ) 的上、下解，v ( x , t ) u ( x ，t ) ， z ，五 聋是拟增或是拟减的，贝j j ( 3 1 ) 在 y ( x ，f ) ，u ( x ，f ) 中存在唯一解“( 石，f ) 证明先对拟增情形给出证明 在极限憋( 云t 似，云z 似) _ ( 磊( 工，f ) ，一u ：( x ，f ) ) = 五( z ，f ) 给出的云，丝，均满足( 3 1 ) 先证云：“ 令q = 五- 一丝，呸= u 一2 - - 一n ：，由云= ( 云- ，一u ：) ，丝= ( 丝。，u ：) 满足的方程得 警+ 厶哆= z ( 云- ，u 一：) 一z ( 蛐) = z ( 蕊) 一彳( 砒) + z ( 砒) 一z ( 蛐) 膨( 云z 一丝：) + m ( 云- 一丝，) = m ( q + 哆) ( 3 1 7 ) 于是有 警+ 厶q m ( r o l + 哆) o 鲁+ 厶哆一m ( q + 呸) o b q = o ，垦哆= 0 q ( 工，o ) = o ，哆( x , o ) = o 由抛物型方程最大值原理得， “i 丝i ，u 2 丝2 ，因此“i = ! 兰i ，u 2 = 丝2 令 ( 3 1 8 ) q 0 ，哆0 ，即u l u i , u 2 u 2 ，又已知 蚝( x ，t ) = u i = 毪( i = 1 ，2 ) ( 3 1 9 ) 贝l j u ( x ，t ) = ( u 1 ”2 ) 是( 3 1 ) 的解 现设“+ ( x ，f ) 是( 3 1 ) 的任意一个解，满足 v u u 则u ，“是( 3 1 ) 的一对上、下解 从而u = u 对于拟减情形类似可证 定理3 2 设 f l ，五) 在箩是拟增或是拟减的，i f , o u ，c ( q r ) ( i = 1 ，2 ) ：u ( x ，f ) = ( q ，) ，y ( x ，f ) = ( k ，) c 绋) ；当( x ，t ) eq r 时，u ，v e e ；x u ( 而o ) y ( 工，o ) ( 工q ) ；e u 忍k ( x m ，f ( o ，刀) ( f = l ，2 ) ， 若 石，z 是拟增时， 警+ 厶配一伽，u ，) 翌o t + l y , 一似厶巧，圪) o ，f ) q 若 石，五) 是拟减时， 警+ 厶u 一彳( 彬，u ，k ) 亟o t + 厶巧一石( 堋，) 警+ 厶一厶( 彬耳u 2 ) 警+ 厶k 一正( 州肌k ) ( 班岛 则 1 、y ( 彬) s u ( 彬) ( ( 彬) 磊) 2 、形( x ，o ) u ( x ，o ) 时有k ( x ，f ) - f a u , ，) - f a r , ，k ) = 红l ( 五f ) 彤+ 吃2 ( x ，t ) w 2 ( 3 2 0 ) 其中 又 形( z ，0 ) o ，b , w o o = 1 ，2 ) 因为z 递增，所以在上戮锄，o ( i j ) 由抛物型方程式的最大值原理，得： 形0 ，( i = 1 ，2 ) 即q k ( i = 1 ，2 ) 同样利用最大值原理，可以得到另一结论 对于拟减情形类似可证证毕 推论3 1 设 石，以) 在上拟增或是拟减，饼锄，c ( 西) ，当( x ，f ) 磊 时，v ( x ，t ) ，y ( 五f ) 是：- - x 寸i - ：、下解，则定理3 1 结论成立，即它们一定是有序 的 在实际应用中我们常讨论正解( 即非负解) 的存在唯一性 推论3 2 设 彳，正 在页：不是拟增或拟减的，够钆c f 蚕t x r - - + i 天：1 又 ( 3 1 ) 存在非负上、t 解u ( x ，f ) ，v ( x , 0 ，则( 3 1 ) 存在唯一正解“( x ，f ) ，它满定 v ( x ，f ) “( z ，f ) u ( 石，t ) 证设 彳，z 是拟增的，解的存在性由定理3 1 得到，若是( 3 1 ) 有两个正 解甜( 工，f ) ，v ( x ，t ) ，则”，是( 3 1 ) 的上、下解，h “也是( 3 1 ) 的上、下解，由推论 1 ，得 u ( x ，t ) = v ( x , t ) 若 z ，厶 是拟减的解的存在性仍由定理得到现设( 3 1 ) 有两个正解 ( 铂，仍) ，( 研，西) 在任意给定的鳞上有共同上界m o ，对于( 3 1 ) 作变换： m = ，屹= 一u 2 ( 3 2 1 ) 得 警+ 厶h = 石( m ，一屹) 鲁+ 乞屹= 一z ( m ，心一屹) ( 3 2 2 ) e h = g 。，色吃：4 ( x ) m o - g z ( x , t ) k ( z ，o ) = 仍( x ) ，1 吃( 工，o ) - - m 。一仍( x ) 它在尺- -