（应用数学专业论文）群胚理论在哈密顿力学中的应用.pdf

摘要 群胚理论在力学系统的研究中有广泛的应用把切丛推广到李代 数胚，可利用李代数胚上的运算得到哈密顿方程；利用李群胚的有限 变分方法，也可以得出一组李群胚上的哈密顿方程两组方程的分别对 应于分析力学与差分离散变分得出的结果 关键词：李代数胚，群胚，有限变分，哈密顿方程 a b s t r a c t i t i ss h o w nt h a tt h eh a m i l t o n sc a n o n i c a le q u a t i o n so fah a m i l t o - n i a ns y s t e ma r eo b t a i n e dt h r o u g ht h ec a l c u l u so nl i ea l g e b r o i d sa n d t h e s ee q u a t i o n sc a na l s ob eg i v e nt h r o u g ht h ef i n i t ev a r i a t i o no nl i e g r o u p o i d s k e yw o r d s ：l i ea l g e b r o i d ，g r o u p o i d ，f i n i t ev a r i a t i o n ，h a m i l t o n se q u a - t i o n s 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名 孑f 弼 日刁旗“ 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后 适用本规定 学位论文作者签名 舔叮 日期寸厶么日 1引言 群胚理论在代数几何、分析、代数拓扑以及对称性等领域都有广 泛的应用f 1 ，2 ，3 ，4 ，5 】李代数胚和李群胚的对应与力学系统中的离散 化方法有密切的关系，而且在离散力学系统的研究中已经被广泛的应 用不同于通常的离散方法中的数学工具，李代数胚和李群胚具有连续 系统的一些性质，因此它们对离散化方法的研究将会具有重要的作用 在m o r s e 和v e s e l o v 6 1 的一篇有关离散力学系统的文章中，将底流形 为m 的切丛t m 上的拉氏密度泛函l ：t m r 离散化为流形 m m 上的离散拉氏密度泛函l ：m m r 应用相应的变分原 理，可以得出离散的运动方程他们的研究方法，以及其它有关离散变分 的文献 7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 中提到的离散变分方法都与群胚方法 有相同之处 应用群胚理论研究力学系统最早f h w e i n s t e i n 1 5 提出，他发展了在 李代数胚上求解拉格郎日力学的一般方法此后，在一系列的后续工作 中1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 1 ，通过对李代数胚上的变分，群胚上的限变分的方法求 解力学系统运动方程等的讨论群胚方法在力学系统中的应用得以逐步 的完善 利用李代数胚和李群胚的概念，可以把分别定义在切丛上和余切丛 上的拉格郎日力学系统和哈密顿力学系统进行推广，使广义坐标和广义 动量以及它们对时间的导数等概念在李代数胚和李群胚中都有对应， 因此可以在李代数胚、李群胚以及乘积流形上面用相应的运算求解运 动方程 本文以求解力学系统的哈密顿方程为例，重点讨论李代数胚和李群 胚在求解力学系统中的应用，从中得出群胚方法与离散变分的联系 2 预备知识 2 1分析力学中哈密顿方程的求解 首先回顾在分析力学中哈密顿方程的求解过程 2 0 1 要确定三维欧氏空问q u n 个质点的力学系统的位置，每个质点用矢 量 最( ) ，i = 1 ，) 表示，如果系统要满足k 个约束条件，那么系统 的自由度为 n = 3 n k ) ，称为n 个自由度的力学系统我们可以选择 一组独立坐标 q 1 ，g n 来描述该系统，称为系统的广义坐标广义坐 标对时间t 的一阶导数蠡称为广义速度由哈密顿原理可知系统可由拉格 朗日泛函l l ( q i ，o i ) 来完全描述通过对作用量 ，t 2 s = l ( q i ，血) 班 t ，t l 的变分，我们可以得到系统的运动方程 i d ( o l l 一丝：o ，( i ：1 2 ，n ) (1)o 一 _ 一一= i - z = i 7 0 1 il 出砸，q i ” 一。 将拉格朗日泛厦t l ( q i ，o i ) 作为广义坐标和广义速度的函数进行全变 分可得 d l 2 莓嚣咖+ 莓丽o l d o i ， 通过勒让德变换 a l 胁5 瓦 可以将广义速度q i 转化为另一组变量砘，因此，q i ，p i 亦可看做彼此独立的 变量利用运动方程和勒让德变换将系统的拉格朗日密度泛函的全变分 写成以下的形式 d l = f ) i d q i + p i d o i ( 2 ) nn 把上式中的第二项写作 p i d ( t i = d ( p i ( 1 i ) 一q i d p i nn 2 并且把d ( ep i o i ) 移项后得 d ( e 鼽或一l ) = 一i ) i d q i + e o i a p i ， 右边全微分项的宗量为系统的能量项，称为系统的哈密顿函数或哈密顿 量，记为 h ( p ，口) = 肼蟊一l ( 3 ) 由全微分方程可以得到 d h = 一e 1 ) i d q i + 4 i d p i ， ( 4 ) 其中的独立变量为广义坐标和广义动量，由此我们可以得到哈密顿方程 斑= 篆肛一面o h ( 5 ) 吼2 面鼽2 一面 【5 j 2 2 李代数胚 定义1 ( 李代数胚) 设m 是一个流形，m 上的李代数胚， 7 】 p ) 是m 上 的矢量丛( a q m ) p ：a t m 是丛映射称为a 的锚映射，f a 是矢量 丛a 的全体截面的集合，对任茬孙，砂f a ，c o 。( m ) ，双线性实李括 号 ，】：r a f a f a 满足 j p ( 渺，叫) = p ( 咖) ，p ( 妒) 】，等式右边是m 上切矢量场的李括号； 2 眵，厂妒】= “妒，妒】+ p ( 妒) ( ，) 妒 李代数胚的简单例子是有限维实李代数( 在此情形下，底空间为一 个单点集) 和流形m 上的切丛t m ( e ，引，p ) 为m 上的李代数胚，丛投影7 ：e m ，锚映射为p ：e t m 给定底流形m 上的局部坐标( 一) 和李代数胚e 上的截面的局 部基底( e 。) ，可以给出李代数胚上的点a 的局部坐标( ，o ) ，其中o = y a e 。( 7 - ( ) ) 由李代数胚的定义可知 月 p ( e 。) = 砖二d ，()zi 6 e 翻= 嚷d e l ( 7 ) 3 并且满足f 列等式 以等一瑶豸= 西， 车噱誓一吲- o 我们可以定义在e 上的外微分算子d 如下 d p ( x o ，x k ) = e ( - 1 ) p ( 咒) ( ，寇，玩) ) + ( 一1 ) 州( 隅，恐】，x o ，寇，岛，x k x 8 ) 其中u s e c ( 矿) ，7 ，x k s e c ( t ) 特别的，若f ：m r 是光滑实 函数，则对x s e c ( t ) ，有d ，( x ) = p ( x ) 1 局部的表示为 d x 。= 以e o ，( 9 ) d e 7 = 一；嚷口矿 ( 1 0 ) 若( e ，【， ，p ) 是流形m 上的李代数胚，丌：p m 为纤维丛考虑ex t p 的子集 丁丘p = ( n ，v ) e t p i ( 丁7 r ) ( u ) = p ( o ) ) 其中t 7 r ：t p t m 为7 r 的切映射以，：t e p p 标记映射7 ”( o ，u ) = 印( u ) ， r p ：t p p 可以证明，丁e p 为p 上的李代数胚，锚映射为p 丌： ? 啊p t 只( p ，o ，v ) hv 2 1 另外，记? _ 丌0 ，a ，u ) = a 若t e p 中的元素z 满足t ，r ( z ) = 0 ，则称z 是垂直的因此给定p 的局 部坐标( ，) 和e 上截面的局部坐标基 ) ，我们可以定义丁e p 上的 截面的局部坐标基 乞，1 ，a ) ，具体形式如下 m ) = 如( p ) ) ，以昙b 啪) 砘o ，杀| 口) - 4 若z = ( p ，n ， ) 为丁e p 中的元素，o = z 。e 。，则u = j 9 ：矿杀+ 勘a 杀，因此 z = z a 。( p ) + v a v a o ，) 利用锚映射p ”可以将丁e p 上的截面z = z o 疋a + y a 、映射为p 上 的切矢量场，其坐标表示为 矿( z ) = p ：z 。面0 + 未 在描述一力学体系时，我们可以把李代数胚作为流形m 上的切丛的 推广，李代数胚a 中的元素a 作为广义速度的推广，实际的速度口通过锚映 射得至0 ，即u = p ( 口) 2 3 李群胚 定义2 噼甚鹞群呸包含两个集合g 和m ，分别称为群胚和群胚的基两 个满射o ：，8 ：g m 分别称为源映射和目标映射。b 标包含映 射1 ：z 一1 。，m g ，定义在gxg 的一个子集c , 2 = ( 夕，h ) gxc l p ( g ) = a ( ) ) 上的偏序乘法( 9 ，h ) 一夕 ，满足： j 对任意( 9 ，h ) g 2 ， 孙( g h ) = q ( 9 ) 且p ( 9 九) = z ( h ) ； 2 对任意g ，h ，k g ，有( g h ) k = g ( h k ) ，其中p ( 9 ) = q ( ) 且p ( ) = n ( 七) ； ，肘任：i 缸m ，a ( 1 x ) = f l ( 1 x ) = z j 彳，歌r 任雹园g ， ；h ( g ) 夕= g ，g z ( g ) = 9 ； 5 对任意夕g ，g 中存在逆e g ，满足q 0 1 ) = p ( 9 ) ，z ( g 一1 ) = o ! ( 9 ) ，g - 1 q = p ( g ) ，g g 一1 = q ( 9 ) 定义3 ( 李群胚) 李群胚g 是m 上的群胚，g 和m 是微分流形，n ，p ：g m 是光滑浸没映射，目标包含跌射1 ：x 一1 。，m g 和偏序乘 法( 9 ，h ) 一夕 都是光滑的 对t - m j ：的李群胚g ，z ，y m ，我们记n 一1 ( z ) 为g 。，p 一1 ( 可) 为g ，分 别称为。点的一纤维和可点的p 一的纤维若g m ，o ( 夕) = z ，p ( g ) = 5 可，则在李群胚g 上有自然的左平移 l o ：g - g z ，hh 北， 同样有右平移 嘞：倪一g ，hh 幻 任何一个流形m 上的李群胚g ，我们都可以给出李代数胚a g ，称为 李群胚g 的伴随李代数胚，其中7 - ：a g m 如以下所述a g 是流形m 上 的矢量丛，对任意z m ，x _ k 的纤维定义为( 理) = k e r ( ( a 。) 。) ，即 a g = u 七e r ( ( q + ) 。) ( 1 1 ) z m 其中源映射q 的切映射为( o + ) ，：乃( g 。) 一已( m ) ，乃( g ) 是g 在g 的切 空间，死( m ) 是m 在z 的切空间，q ( 9 ) = 。伴随李代数胚的锚映射p ： a g t m 为夙在( a ) 上的限制 定义4 噼胚态懿、) 设g 1 g 分剐是m ，m i 的李群胚潺映射和b 标映 射分别为o l ，f l n c , p f 群胚态射是指一对映射牵：g g 1 和| ：m m | 满足： 1 ，a 7o = ，oo ，卢o 妒= ，o ； 2 若( 夕，h ) g 2 ，贝蚴( 9 ) = 妒( 9 ) 妒( ) 以下为群胚的简单例子 例1 若g 为李群，其单位元集合 e ) 记为m ，则g 为m 上的群胚，其 中源映射o l 和目标映射p 都将群胚中的任一元素映射为单位元，目标包 含映射为1 ：e e ，乘法和求逆运算即为李群g 的乘法和求逆运算 例2 设矿是r 1 中的正规格点集，v = “，t k + 1 ) ，则y v = ( t t ) l t ，t t y 可以看做y 上的群胚，其中源映射为o ：v v k ( t k ，t 1 ) t k ，目标映射p ：v v v ( t k ，t t ) ht t ，偏序乘法m ： ( v v ) ( v v ) 一( v y ) ，( ( t k ，t 1 ) ( t l ，t s ) ) = ( t k ，t s ) ，逆映射i ： v v _ v k ( t k ，t t ) h ( t l ，t k ) 6 例3设m 为微分流形，m m 均为乘积流形，m 是m m 的 闭子流形，v ( q l ，q 2 ) ，( q 2 ，q 3 ) mxm ，源映射c e ( q l ，q 2 ) = q l ，目标 映射卢( 9 1 ，q 2 ) = q 2 ，逆映射i ( 口1 ，q 2 ) = ( q l ，q 2 ) 一1 = ( q 2 ，q 1 ) ，乘法m ： ( q 1 ，q 2 ) ( q 2 ，q 3 ) = ( q l ，q 3 ) ，o ，成m ，i 是光滑映射，且乜，卢是浸入映射， g g q 。是m xm 的闭子流形，那么mxm 为m 上的李群胚 2 4 离散场和离散场的有限变分 定义5 ( 离散场) 设v v 是y 上的群胚g 是m 上的李群胚，离散场= ( 妒( o ) ，妒( 1 ) ) 是yxy 到g 的群胚态射，其中 ( o ) ： v _ m ( 1 ) ：vxv _ g 满足： 1 q ( 庐( 1 ) ( t ，t k + 1 ) ) = ( o ) ( t 女) ，p ( ( 1 ) ( z 自，t k + 1 ) ) = 妒( o ) ( t + 1 ) 2 v ( t k ，t k + 1 ) v k ( 1 ) ( 女+ l ，t k ) = 【咖( 1 ) ( ，+ 1 ) 】一1 离散场的定义与差分离散系统中相空间的参数曲线离散化过程相 对应定义离散场西的过程，不仅借鉴差分离散系统中离散化方法，引入 离散化的参数曲线，将格点集y 中格点映射为群胚基中的元素，还结合 群胚理论的特点，将y 中离散点间有向线段，通过群胚态射，映为李群 胚g 中的元素，从而在两个群胚的元素间建立对应关系从群胚的角度 看，差分离散系统中的离散化参数曲线就是定义在群胚v v 上，取值 在李群胚g 中的群胚态射 引入离散场的目的在于定义离散力学系统的拉格郎日密度泛函l ： m m r 根据离散场的定义，由前面的分析可以看出，毋f 0 1 和 分别对应于拉氏密度泛函中的广义坐标和广义速度，因此可以将拉格朗 日密度泛函的表达式记为l ( f 0 1 ，卉】1 ) 7 定义了关于离散场的拉格郎日密度泛函l ，通过勒让德变换，可写 出系统哈密顿量日若能够在群胚上的对作用量变分，则可以求出系统 的运动方程和哈密顿方程对应于一般意义下的变分，群胚上有有限变 分的概念 在介绍有限变分方法之前，首先具体定义一个从李群胚g 映到自身 的群胚态射 定义60 态懿嵌) 中是李群胚g 到自身的一族群胚态射满是： 曲：r g _ g ( s ，9 ) 一h - 1 ( s ) 夕南( s ) 其中跌射h ( s ) ：r g ，h ( s ) cg 。( 9 ) ， ( o ) = q ( 9 ) ，h ( o ) a g 。( 9 ) ， 跌身批( s ) ：r g ，k ( s ) cg 卢( 9 ) ， k ( o ) = 卢( 9 ) ，k ( o ) a g o ( 9 ) ， 也记 妒( s ，夕) = 也( 9 ) ， 刚狲为态射族 因为妒。是群胚态射，所以妒。与o c ，p 可交换，并保持乘法运算对 任意可乘群胚元9 ，f g ，卢( 9 ) = a ( f ) 有妒。( 9 ) = h i - 1 9 k l ( s ) ，中。( f ) = 崎1 l k 2 ( s ) ，根据群胚态射保乘法运算，有后l ( s ) = 2 ( s ) 这样定义的群胚态射族砂具有态射性质，这是仇为群胚态射的必 要条件定义如下： 性质1 ( 态射性质) 群胚态射l f ，满足： 妒- 1 ( s ，g ) = ( 妒( s ，9 ) ) 态射性质说明群胚态射保逆元，即群胚态射的像有逆元，逆元形式 如上 对于前面定义的离散场西，现将其定义在有限集ucv v 上，其 中u = ( t k + 1 ) l k = 0 ，n 一1 ) r 结合态射族砂的概念，取值在李群胚g 上的离散场的有限变分定 义如下： 定义7 ( 有限变分) 设离散场= ( ( o ) ，( 1 ) ) 是y 上的群胚y v 歪t j m _ j z 的李群胚g 的群胚态射中是满足态射族定义且 、妒s ( ( o ) ( 如) ) = q a ( s ) ， 妒。( ( 1 ) ( ，t k + 1 ) ) = i 1 ( s ) g k h k + l ( s ) ， 其中跌身抓( s ) ：r g ，h k ( s ) cg 。( 弧) ， h k ( o ) = o ( 鲰) ，h ( o ) a g 。( 鲰) ， h k ( s ) = ( q k ，吼( s ) ) ， 砍身尥( s ) ：r m ， 另外( s ) = n 湎) ，h n ( s ) = p ( 跏一1 ) ， 则称态射族妒为离散场妒= ( 砂( o ) ，( 1 ) ) 在趾的一个有限变分 比较有界区域上的连续曲线变分，保持曲线端点不动，根据给定的 变分向量场，曲线在空间中连续变换，生成一族变分曲线，离散场的有 限变分过程与之类似令有限集u 上的离散场咖保持边界点不变，态射 族砂将其映为g 中的一族离散场由此可见，群胚有限变分的思想与连 续情形下的变分思想一致，而有限变分的核心一群胚态射砂，将决定离 散场方程的具体形式 3李代数胚上哈密顿力学 3 1李代数胚上的哈密顿方程 对于哈密顿力学，可以采用与坐标无关的辛流形的表述 1 3 1 给定一2 n 维流形( m 加，u ) ，其上的所有可微分函数记做a ( m ，u ) 任 一力学可观测量，应该是可微分的，其哈密顿向量场记做j ，cx h ，相应 9 的积分曲线称之为相流；这里x h 为所有的哈密顿向量场可以证明，满 足的正则方程等价于 奴，u = 彤( 1 2 ) 一般的7 r ：f m 为向量丛，a 2 矿上的一个截面u 称为辛截面同 样，若e 为m 上的李代数胚，7 _ ：e m ，u 是向量丛e 一个截面辛截 面满足彤= o ，则李代数胚为辛李代数胚( e ，u ) 类似切丛上的情形，给定流形m 上的辛李代数胚( e ，u ) ，r ：e m 函数h c o 。( m ) ，存在唯一的截面g h s e c ( 1 ) 满足 i 口日u = d h ( 1 3 ) 截面叨称为由函数日定义的哈密顿截面可以通过李代数胚的锚映射 得到流形m 上的切向量场，即硒= p ( 叼) ，称为由日定义的哈密顿向量 场因此我们可以得到运动方程 圣= x n ( x ) ( 1 4 ) 下面我们讨论如何利用李代数胚的知识求出哈密顿系统的正则方 程 17 】 给定流形m 上的李代数胚( e ， ，p ) ，丁：e m 设矿：e + 一 m 为e 的对偶丛e + 的丛投影考虑e 在矿上的延拓丁e e + ， 丁d e + = ( o ，甜) e t e + f j 9 ( = ( t 7 - + ) ( 钉) ) = ( o + ，a ，口) e + e t e 8 i r + a + ) = 7 - ( o ) ，p ( a ) = ( t t 8 ) ( ) ) 由预备知识中可以得出丁e e + 为流形矿上的李代数胚，我们可以得到定 义在上面的几何结构如下： 1 截面e e s e c ( ( t e e + ) + ) ，定义为 o e ( a + ) ( 口，v ) = 矿( n ) ，( 1 5 ) 通常我们称之为l i o u v i l l e 截面 2 由l i o u v i l l e 截面，可以引入辛截面q e s e c ( a 2 ( ( 丁e e + ) + ) ) ，定义为 q e = 一d o e ，( 1 6 ) 1 0 其中d 为李代数胚丁e e + 上的微分算子 在e + 上取局部坐标为( ，m ) ，记俨e + 上的截面的局部坐标基记 为 3 么，p 卢) ，在任一点o + 的值为 ( = ( 一以以n 飞以杀b 缈( = ( n + ，0 ，去b 在局部坐标的下，l i o u v i l l e 截面和辛截面分别可以写成 o e = p o y “， q e = y 。 + 扔y 。 护 其中 y 。，p d ) 是 3 么，p 卢) 的对偶基底 任意函数日c o o ( 驴) 可以利用方程 咭h q e = d h 定义t e e + 上的唯一确定的截面r 日，并且，通过李代数胚的锚映射，我们 可以得到e + 上的向量场 x h = p r ( r 日) 在坐标表示下 啦瓦o h 此一( p ：嚣+ 巩6 7 叩r 却o h 口j , 咒 因此 妇= 以筹昙弋如i 丽o h 十聊u 一叩丽o h ，, 瓦0 ， 由此，我们可以得出哈密顿方程 d x o i0 h d t2 璐瓦 孥= 嗍i 面o h 一所丽o h ( 1 7 ) ( 1 8 ) 3 2李群胚的伴随李代数胚上的哈密顿方程 在利用离散变分方法求解运动方程的过程中，将底流形m 上的切 丛t m 上的拉氏密度泛函l ：t m r 离散化为流形m m 上的离 散拉氏密度泛函l ：m m r 将m 上的切丛t m 转化为m 上的李群 胚m m 来处理而李群胚都有相应的伴随李代数胚，由前面的讨论可 知求解哈密顿正则方程可以在李代数胚上进行，而李群胚上的离散变分 也可以求解哈密顿正则方程从而，研究李群胚和它的伴随李代数胚具 有重要的意义 3 2 1李群胚的伴随李代数胚 由预备知识中的叙述可知，若m 为微分流形，则乘积流形m m 为 流形m 上的李群胚，将m m 记为g ，它的伴随李代数 a g = u 七e r ( ( n ，) p ) ( 1 9 ) p e m 为了讨论a g 的局部性质，设m 是n 维微分流形，则m m 是2 扎维 光滑流形，那么m m 中的点m 局部坐标为( p 1 ，p n ，q 1 ，矿) ，记 为0 ，g ) m 上的李群胚m m 的源映射 o ：m m _ m ，g )一p ， 利用目标包含映射1 ：p 一0 ，p ) 将q 转化为a ：m m m m ，其 坐标分量表示为： f 铲0 ，q ) 兰p ， 【矿( p ，q ) = ， i 表示前n 个分量的指标，p 表示后n 个分量的指标i ，p = 1 ，礼不妨 仍记a 为o l ，目标映射口也作相同处理 o 在( p ，q ) 的切映射为 ( n + ) ( p ，q ) ：丑p ，q i ( m xm ) 一丑p ，p ) ( m m ) 1 2 其中毒，砸0 是m m 在( p ，口) 的切空间，口) ( m m ) 的基底，硒0 ，杀是m m 毛e ( p ，p ) 的切空问护) ( m m ) 的基底o t 。对( p ，口) 的切空间的基底的 作用： 。+ 万0 ) = 雾) 参+ 器硒o = 帝0 + 葡0 ， 口+ 面0 ) = 雾) 参+ 券) 研0 = o 由切映射的线性性质，对于，q ) 的切空间中任意切矢量岳+ 仉南 0 ( 矗参+ 伽硒0 ) = 汹( 杀) + 叫杀) = & ( 刍+ 杀) ， 其中矗，钆是定义在，g ) 附近的e o o 函数 令上式右端取零，得已= 0 于是 胁( ( 。+ ) ) ) = 伽赤) ， 所以qxq 在( q ，q ) 上的纤维 a g ( 伽) 2 胁( ( 口乩q ) ) = 钆( 删) 赤卜 由以上推导可知： 们。m 胁( ( 以) ( q ，q ) ) 2m m g 】g ) 丢一 ( 2 0 ) l 口，q j( q ，q j 因为m 在g 的切空间蜀翌2 仉( g ，g ) 杀 ，所以显然有a g 呈t m 于是李群胚m m 的伴随李代数胚可以表示为m 上的切丛t m 3 2 2在伴随李代数胚e 求锶哈密顿方程 将一般情形下利用李代数胚求哈密顿方程的方法应用于定义在李 群胚的伴随李代数胚上的哈密顿系统 1 3 流形m 上的李群胚m m 的伴随李代数f i 丕_ n ( t m 【，】，p ) ，7 ：t m m ，其中p 为恒同映射设7 - ：t + m m 为t m 的对偶丛t + m 的丛投 影考虑t m 在影射r 上的延拓矿m ( t + m ) ， 矿m ( t + m ) = ( o ，v ) t m t ( t + m ) l p ( a ) = ( t t + ) ( 勘) ) = ( + ，a ， ) t + m t mxt ( t + m ) i t + ( n + ) = 丁( ) ，p ( a ) = ( t t + ) ( 口) ) ， 2 - t m ( t + m ) 为流形t + m - - 的李代数胚 给定底流形m 上的局部坐标( ) 和李代数胚t m 上的截面的局部 基底( ) ，可以给出t + m 上的点的局部坐标( ，p 0 ) ，因为锚映射为恒同 映射，n h p ( e 。) = 以丽0 ，- i n 以= 酲， 由 e 。，8 卢】= c 2 口e 1 以及p ( 眵，妒】) = 【p ( ) ，p ( 妒) ，可得 嚷口= 0 将以上两式代入一般情形下求得的哈密顿方程( 1 7 ) 和( 1 8 ) ，得 d x io h d t o p i d p 。 o h d t a z d 4 利用有限变分方法求解哈密顿方程 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 在前面求解哈密顿方程的过程中，因为一般把哈密顿函数视为余切 丛上的函数，我们将李代数胚作为切丛的推广，把哈密顿函数定义在李 代数胚的对偶丛上在离散变分过程中，切丛t m 被离散化为mxm ：在 群胚理论中，这恰好为李代数胚与李群胚的对应的一个简单例子，定义 在m 上的李群胚m m 上及其伴随李代数胚相应的，广义速度取值 在m m 上，离散化后广义动量及其对时间的导数分别取值在t + m 和 它上面的李群胚t + mxt + m 上 1 4 定义在李群胚m m 上的离散场= ( ( o ) ( “) ，( 1 ) ( 圮k + 1 ) ) = ( q k ，( q k ，吼+ 1 ) ) ，通过勒让德变换，由广义速度( 1 ) ( “，t + 1 ) 得到定义在t + m _ k 广义动量妒( 1 ) ( “，t k + 1 ) = p k + 1 哈密顿量可以写做下面的形式 巩( ( 1 ) ( 如，t k + i ) ，9 9 ( 1 ) ( t k + 1 ，t k + 2 ) ) = 妒( 1 ) ( ，t k + 2 ) 咖( ，t k + 1 ) 七 一仇( 柏( “) ，蛳( ，t k + 1 ) ) ( 2 3 ) k 离散场咖和妒在u 的上有限变分： 也( ( o ) ( “) ) = 仇( s ) ， 妒s ( q b ( 1 ) ( t k ，t k + 1 ) ) = i 1 ( s ) ( 1 ) ( t ，t k + 1 ) h k + 1 ( s ) ， 也( 妒( 1 ) ( “，t + 1 ) ) = r ( s ) ， ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 其中饥( s ) ，仇( s ) 的定义与前面相同，最( s ) 在李群胚p m t + m 上的 定义与q k ( s ) 在m m 上的定义相同相应作用量转化为 s ( 妒s ) = + p k ( s ) h 9 3 l ( s ) 砂( 1 ) ( 札一1 ，t k ) h k ( s ) 一风( p k + 1 ( s ) ，仇( s ) ) + r + 1 ( s ) k 1 ( s ) ( 1 ) ( t k + 1 ) h k + l ( s ) + 根据变分求极值的思想，令 晏s ( 机) j = 0 s = o ， d s ”i 将( 2 7 ) 式代x ( 2 s ) 式，得 + 丢( r ( s ) h k q 。( s ) ( 吼“q k ) h ( s ) ) | 8 = 0 一忑d 风( 最+ ，( s ) ，q ( s ) ) f s ：0 + 忑d ( 兄+ l ( s ) k 1 ( s ) ( q k , q k + 1 ) 饥+ 1 ( s ) ) b = o 1 5 ( 2 8 ) 将h k ( s ) = ( q k ，仇( s ) ) ( 后= 1 ，n 一1 ) 代入，整理得 + 未，( 乓( s ) ( q m 一( s ) ，q t ( s ) ) ) i 。：。 一五d 风( 最+ 1 ( s ) ，钒( s ) ) b + 罢( r + ( s ) ( q ( s ) ，q + - ( s ) ) ) i 。：。+ = o ， 等式左边求导展开，得 + d p d k 。( s ) 。：。( q 女一1 ( s ) ，q ( s ) ) i 。：。 删s ) | s = 0 笔拦苦蚴i s = 0 塑掣| s = 0 + p k ( s 忆盟糕产b 掣b a 风( p k + 1 ( s ) ，q ( s ) ) id p k + l ( s ) i o p k + 1 ( 8 ) s 。0 d s i s = o o h k ( p k + 1 ( s ) ，q ( s ) ) fd q k ( s ) i o q k ( s 、 1 8 2 0 d s i s = o + ! ! ! ! 掣i 。：。( ( t ( s ) ，( 7 m + - ( s ) ) l 。：。 + ，气+ t ( s ) f 。：。! ! ( ! ! ! - ；： ；| ； ：j ! ! ! 兰1 2 i 。：。d q 。k 。( s ) i 。：。 慨1 ( s 惦避等器地| s ：o 笺盟b 等式左边在s = 0 处取值，简化为 + f k ( 。) ( 吼一，吼) + ，k ( 。) 翌掣国e 一( 。) 倒。) 氅岩讼。) 一掣碥( 0 ) 一掣 + 嘛( 0 ) ( 蛐+ 1 ) + ( 0 ) 毪岩弧。) + ( 0 ) 掣瓤1 ( 0 ) 按反+ 1 ( o ) 和饥( o ) 合并同类项，得 可得 + ( ( + 1 ) 一掣) 氟1 ( 0 ) 如氅p k + l 毪岩一 + = 0 o h k ( p k 由最( 0 ) 和q k ( o ) 选取的独立性，要求上式成立，只须 ( q k ，q k + 1 ) 一 m 笔岩+ p k + z 裂 o h k + 1 ，q k ) 却+ 1 o h k ( m ，q k ) o q k o ( q k 一1 ，吼)，o ( q k ，q k + 1 ) 7 u q k 2 1 丽q k d = 一l ： 盟) 0 = 0 ， = 0 k ( o ) a q k = ( q k ，q k + 1 ) = q k + l q k ，a p k = 0 ，p k + 1 ) = p k + 1 一p k 吼= 杀 锄一篆 1 7 ( 2 9 ) ( 3 0 ) ( 3 1 ) ( 3 2 ) 这一组方程的形式与文献【1 3 】用差分离散变分方法给出的离散正则方 程的形式相一致 5 结论 比较和李群胚上和李代数胚上的哈密顿正则方程，本文中我们以流 形m 上的李群胚mxm 及其伴随李代数胚t m 为例，从形式我们可以看 出李代数胚上哈密顿方程对应于连续的情形，而利用有限变分在李群 胚上取得的结果与利用离散变分的结果一致( 1 3 1 ) 这一结果也与当初 引如群胚理论研究力学系统的思路是一致的( 6 1 ) 因此，群胚方法对离散 力学系统的研究，进而对几何中的离散化问题具有重要意义 1 8 参考文献 1 】w b r a n d t ，u b e re i n ev e r a l l g e m e i n e r u n gd e sg r u p p e n b e g r i f f e s m a t h a n n 9 6 ( 1 9 2 6 ) 【2 】2a w e i n s t e i n ，g r o u p o i d s ：u n i f y i n gi n t e r n a la n de x t e r n a ls y m m e - t r y , a r x i v ：m a t h r t 9 6 0 2 2 2 0 ( 1 9 9 6 ) 【3 】g w m a c k e y , e r g o d i et h e o r ya n dv i r t u a lg r o u p s ，m a t h a n n 1 6 6 ( 1 9 6 6 ) 【4 r b r o w n ，t o p o l o g y ：ag e o m e t r i ca c c o u n to fg e n e r a lt o p o l o g y , h o - m o t o p yt y p e s ，a n dt h ef u n d a m e n t a lg r o u p o i d ，h a l s t e dp r e s s ，n e w y o r k ，1 9 8 8 【5 k c h m a c k e n z i e ，c e n e r a lt h e o r yo fl i eg r o u p o i d sa n dl i ea l g e - b r o i d s ，l o n d o nm a t h e m a t i c a fs o c i e t yl e c t u r en o t es e r i e s ，v 0 1 2 1 3 ， c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e ，2 0 0 5 6 】j m o s e r a n da p v e s e l o v ，d i s c r e t ev e r s i o n so fs o m ee l a s s i c a l i n t e g r a b l es y s t e m sa n df a c t o r i z a t i o no fm a t r i xp o l y n o m i a l s ， u o m m m a t h p h y s 1 3 9 ( 1 9 9 1 ) 【7 t d l e e ，p h y s l e t t b 1 2 2 ( 1 9 8 3 ) 2 1 7 【8 】s m a e d a ，l a g r a n g i a nf o r m u l a t i o no nd i s c r e t es y s t e m sa n dc o n c e p t o fd i f f e r e n c es p a c e ，m a t h j a p 2 7 ( 1 9 8 2 ) 3 4 5 9 】y h w u ，t h eg e n e r a t i n gf u n t i o nf o rt h es o l u t i o no fo d e sa n di t s d i s c r e t em e t h o d s ，c o m p u t m a t h a p p l 1 5 ( 1 9 9 1 ) 1 0 4 1 1 0 5 0 1 0 】j e m a r s d e n ，g w p a r t h r i e ka n ds s h k o l l e r ，m u l t i s y m p l e a t i cg e - o m e t r y ，v a r i a t i o n a li n t e g r a t o r sa n dn o n l i n e a rp d e s ，c o m p u t m a t h p h y s 1 9 9 ( 1 9 9 8 ) 3 5 1 3 9 5 1 9 【1 1 】v m g u i b o u t ，a b l o c h ”d i s c r e t e v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e sa n d h a m i l t o n - j a c o b it h e o r yf o rm e c h a n i c a ls y s t e m sa n do p t i m a lc o n t r o l p r o b l e m s ”，e - p r i n t ，a x - x i v ，m a t h d s 0 4 0 9 2 9 6 【1 2 1h y g u o ，y q l i ，k w ua n ds k w a n g ，d i f f e r e n c ed i s c r e t e v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，e u l e r - l a g r a n g ec o h o m o l o g ya n ds y m p l e c t i c ， m u l t i s y m p l e c t i cs t r u c t u r e si ：d i f f e r e n c ed i s c r e t ev a r i a t i o n a lp r i n - c i p l e ，c o m m u n t h e o r y p h y s 3 7 ( 2 0 0 2 ) 1 - 1 0 ；i i ：e u l e r l a g r a n g e c o h o m o l o g y , i b i d , 1 2 9 - 1 3 8 ；i i i ：a p p l i c a t i o nt os y m p l e c t i ca n dm u l - t i s y m p l e c t i ca l g o r i t h m s ，i b i d , 2 5 7 - 2 6 4 ( 1 3 】h y g u o ，a n dk w u ，o nv a r i a t i o n si nd i s c r e t em e c h a n i c sa n d f i e l dt h e o r y , ，m a t h p h y s 4 4 ( 2 0 0 3 ) 5 9 7 8 x d l u o ，h y g u o ， y q l ia n dk w u ，d i f f e