（应用数学专业论文）若干解析函数族的微分从属关系及其极值性质.pdf

摘要 本文的内容由五个部分组成 第一部分简要地介绍了问题研究的背景及理论与实际意义，并且介 绍了某些尚待解决的问题另外，还简单地介绍了本文的研究成果 第二部分分别利用微分从属关系和不等式引进了两类负实系数单叶 函数族h ( a ，口，纠和，( 卢，a ，曰) ，得到了它们的系数估计、偏差性质、覆盖定理 以及极值点 第三部分引进了非b a z i l e v i c 函数族一个新的推广类n ( z ，口，p ，盯) ，对 它建立了f e k e t e - s z e g o 不等式，得到了准确的结果，推广了一些作者的 相关结果 第四部分引进了非b a z i l e v i c 函数族另一个新的推广类n ( z ，口，a ，且) ， 运用微分从属方法讨论了它的从属关系、包含关系、偏差定理和不等式 性质 第五部分引进了a + 弛型 一b a z i l e v i c 函数族b ( a ，8 ，雎a ，b ，g ( z ) ) ，运用 微分从属方法讨论了它的子族峨( a ，口，a ，a ，b ，。) 的从属关系和不等式性质， 推广或改进了一些作者的相关结果，并得到了另外一些新的结果 关键词：单叶函数；微分从属；f e k e t e s z e 9 6 不等式；极值点；系数 估计；非b a z i l e v i c 函数；b a z i l e v i c 函数 a b s t r a c t t h ec o n t e n to ft h i sp a p e ri sc o m p o s e do ff i v ep a r t s i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do f t h ep r o b l e m r e s e a r c h i n ga n dt h e i rs i g n i f i c a n c ei nt h e o r ya n dp r a c t i c e w e a l s oi n t r o d u c es o m eu n s o l v e dp r o b l e m s i na d d i t i o n ，w eb r i e f l yi n t r o d u c e t h er e s e a r c h e so ft h i sp a p e r i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r ，b yu s i n gs u b o r d i n a t i o nr e l a t i o na n d i n e q u a l i t y ，w ei n t r o d u c et w os b u e l a s s e sn ( x ，a ，bj a n dj f ，a ，bjo fu n i v a - l e n tf u n c t i o n sw i t h n e g a t i v ec o e f f i c i e n t s w eo b t a i n t h e i rc o e f f i c i e n t e s t i m a t e s ，d i s t o r t i o np r o p e r t i e s ，c o v e r i n gt h e o r e m sa n de x t r e m ep o i n t s i nt h et h i r dp a r to ft h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c ean e wg e n e r a l i z e dc l a s s ( a ，口，卢，) o f n o n b a z i l e v i cf u n c t i o n s w ed i s c u s st h e f e k e t e s z e g o i n e q u a l i t yo f ( a ，口，卢，盯) t h es h a r pr e s u l t sa r eo b t a i n e d ，i tg e n e r a l i z e st h e r e l e a t e dr e s u l t so fs o m ea u t h o r s i nt h ef o u r t hp a r to ft h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c ea n o t h e rn e wg e n e r a l i z e d c l a s s n ( z ，a ，a ，曰) o fn o n - b a z i l e v i cf u n c t i o n s t h es u b o r d i n a t i o nr e l a t i o n s ， i n c l u s i o n r e l a t i o n s ，d i s t o r t i o n t h e o r e m sa n di n e q u a l i t y p r o p e r t i e sa r e d i s c u s s e db yu s i n gd i f f e r e n t i a ls u b o r d i n a t i o nm e t h o d i nt h ef i f t hp a r to ft h i sp a p e r ，t h ea + 啦t y p ea b a z i l e v i cf u n c t i o n s 或( a ，口，卢，a ，b ，g k ”i si n t r o d u c e d t h es u b o r d i n a t i o nr e l a t i o n sa n di n e q u a l i t y p r o p e r t i e so ft h es u b c l a s s 只，口，z ，a ，b ，2 j a r ed i s c u s s e db yu s i n gd i f f e r e n t - i a ls u b o r d i n a t i o nm e t h o d t h er e s u l t so b t a i n e dg e n e r a l i z ea n di m p r o v et h e r e l a t e dr e s u l t so fs o m ea u t h o r s ，a n dw eo b t a i ns o m eo t h e rn e wr e s u l t st o o k e yw o r d s ： u n i v a l e n tf u n c t i o n ；d i f f e r e n t i a ls u b o r d i n a t i o n ；f e k e t e - s z e g o i n e q u a l i t y ； e x t r e m ep o i n t ；c o e f f i c i e n te s t i m a t e ；n o n - b a z i l e v i cf u n c t i o n ； b a z i l e v i cf u n c t i o n 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 己在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名气摆翮1 日期：函! i 。年毕月。珈日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“、，”) 作者签名： 导师签名： 1 懈冈1 1 毒弛一 曰期：山扛斗月如日 日期：0 酬月莎日 第一章绪论 在十九世纪，复变函数理论经过法国数学家柯西，德国数学家黎曼和维尔斯 特拉斯的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学、解 析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支；同时，它在热力 学、流体力学和电学等方面也有很多应用二十世纪以来，复变函数已被广泛地应 用到理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密 切并且还开辟了一些新的分支，单叶函数理论就是其中一个重要的分支 单叶函数理论大约兴起于1 9 世纪末2 0 世纪初，k o e b c 在进行代数曲线单值 化研究时，发现了在单位圆盘内单叶解析的函数，( z ) 一z + 二：吒z ”具有许多重要 的性质，并对它进行了深入地研究，获得了一些经典的结果h u r w i t z 曾经也对单 叶函麴进行了深入地研究k o e b e ，h u r w i t z 的研究成果为整个复变函数理论开辟 了一个崭新的领域，并提出了一些新的研究方法，使得复变函数理论的研究方向 开始逐步地从定性方面的研究转向定量方面的研究在其漫长的发展过程中，出现 了许多难而有趣的问题其中一些问题已经被解决，最重大的突破当归属于d e b r a n g e s 用参数法中的l o w n e r 微分方程解决了历时6 8 年之久的b i e b e r b a e h 猜想 但是还有许多问题等待人们去探索和思考，例如寻找最好的偏差定理问题、 g o l u z i n 问题、h a y m a n 常数问题、l i t t l e w o o d 问题以及非b a z i l e v i c 函数的单叶性 判别准则问题等正是这些问题继续推动着单叶函数理论的发展，从而在更多的方 面取得应用 我们对解析函数进行研究时，通常是先研究特殊解析函数族，这些特殊解析 函数族，除了其本身具有研究价值外，还可以作为对困难得多的一般解析函数族 情况的验证 本文研究的主要内容是某些特殊解析函数族上的系数估计、f e k e t e s z e 9 6 不等 式、偏差性质、微分从属关系、包含关系、不等式性质以及极值性质等 在第二章中，分别利用微分从属关系和不等式引进了两类负实系数单叶函数 族日( ，4 ，6 ) 和f ( 卢，a ，口) ，得到了它们的系数估计、偏差性质、覆盖定理以及极值点 在第三章中，引进了非b a z i l e v i c 函数族一个新的推广类n ( z ，a ，卢，盯) ，对它建 立了f e k e t e s z e 9 6 不等式，得到了准确的结果，推广了一些作者的相关结果 在第四章中，引进了非b a z i l e v i c 函数族另一个新的推广类n ( z ，a ，a ，b ) ，运用 微分从属方法讨论了它的从属关系、包含关系、偏差定理和不等式性质 在第五章中，引进了一类口+ i p 型a b a z i l e v i c 函数族口( a ，口，肛，a ，b ，g g ) ) ，运 用微分从属方法讨论了它的子族见n ，口，a ，b ，：) 的从属关系和不等式性质，推广 或改进了一些作者的相关结果，并得到了新的结果 第二章关于两类负实系数单叶函数族的性质 2 1 引言 s r - 表示单位圆盘u 一铆z l t l 内的单叶解析函数，( z ) 一z 一再“z k + l 的全体 所构成的函数族，其中唧。之0 ，我们把称为负实系数单叶函数族若，g ) s 。， 且满足 ，( z ) + 材。扛) 而x + a z ，z u ， ( 2 1 ) 则称，g ) 以，口，b ) ，其中a o ，一1 6 c 1 口，b ，记号”_ b 可得 4 a 2 墨a b ) ， 伍+ 1 ) 4 2 ( a - b ) 2 0 - 6 2 埕b + 1 ) 2 ，( a - b ) 2 ，七汜 因此( 2 4 ) 式成立 定理2 3 2 设一1 墨b c 一加卢1 ，则，g ) iz 一角荟a z k + l f ( 卢， b ) 当且仅 当 荟任+ 1 ) 2 ( 1 一艘k 墨o 一曰) ( 2 6 ) 证明充分性：若( 2 6 ) 式成立，令i z i - i ，则 阿( z ) 7 1 | 一陋一曰留驯 一l 薹似+ ，) 2 a k + l z k i 一卢l 一占) + 曰薹忙+ t ) 2 n 。z f 。荟睡+ 1 ) 2 ( 1 一邱h 一声。一b ) 虬 所以由最大模原理可知，扛) f ( 芦，a ，b ) 必要性：设，( z ) f ，a ，口) ，则由( 2 2 ) 式可得 因为r e z i z | 所以 r 。j 荟掣：! ! 卜占) 柚砉任+ 1 ) 2 矗， c ( 2 7 ) 取z r ( o r 1 ) ，并令r 一1 ，由( 2 7 ) 式即可得到( 2 6 ) 式 定理2 3 3 若，。) 2 一荟4 “z “1 日n ，口，6 ) ，则 因此 弘s 降- 卜， 证明由于他) 毗4 ，6 ) ，根据定理2 3 - 1 可眠i s 爵，又由于 薹南。降，) a k + is 砉斟一( 刮 定理2 3 4 若f ( z ) - z 一罗口。z “1e h ( a 炳6 ) ，则有准确估计式 o j 卅i 降，卜水忡+ 降- 卜m 达到等号的函数限于 他m p - 卜矿 证明 因为，( z ) _ z a t + i z t + l h ( a ，n ，b ) ，结合定理2 3 3 可得 ( 2 8 ) ，( z 悱1 1 + 籼吲“i1 弘盯i 砟 + 降，卜材1 ， 同理可证 | ，( z 】苫小t f 容易验证达到等号的函数只限于，0 ) z 一 推论2 3 - 1 ( 覆盖定理) 若，o ) _ z a k + ，z * + ie h ( ，口，扫) ，单位圆u 被，g ) 映 成一区域，( u ) ，则 。i | z i t t 一( ! 手一) c n 一6 ) c ，c u ，c p | i z i c - + ( ! 宇一，) c n 一扫) ) 因此俐覆盖圆忡小降- 卜) ，并且俐不能含靴圆 什i m 降t 卜仁大此结论是精确的 定理2 - 3 5 若，o ) 一z 一砉n z “f p ，爿，占) ，则有准确估计式 ，一掣卅im ) ) 卜掣h ， ( 2 。) 达到等号的函数限于 ，g ) 一i 阐( a - b ) ：2 证明 由，o ) z 一荟4 “z “1 f 伽，口) ，结合( 2 6 ) 式可得 m ) y h 砉忙舭。i z l 小薹以舭。i i + 掣l z i 同理可证 烨帕一掣1 2 1 容易验证达到等号的函数只限于，( z ) - z 一矧z 2 ? 护 叮，口 6 _ 一 4 0 h， 一 一 一 生6 一 式 根据引理2 2 2 即可得到推论2 3 2 推论2 3 2 若，g ) 是日0 ，a ，6 ) 或者f ( p ，4 丑) 的极值点，则，( z ) 必具有如下形 ，o ) 一等 第三章非b a z ii o v i c 函数某个推广类的f e k e t e s z e 9 5 3 1 引言及引理 不等式 设h 表示单位圆盘u 一榔2 i t l 内的解析函数，g ) = z + z 4 的全体所构成 的函数族令0 t 口c 1 ，若f ( z ) e n ，且满足 r e 卜嘲”卜姒 ， 则称f ( z ) v ( a ) ， ) 是o b r a d o v i c 最近在文献 5 中引入的，他把( 口) 称为非 b a z i l e v i c 函数，目前，对此类函数进行研究的主要方向是寻找它的单叶性判别准 则，这是一个尚未解决的难题。 令0 口 o ，a 苫0 , 0 俐s 1 ，若f ( z ) e h ，且满足 ，“。w 。，“。 ( 嚣卜u ， z ， 则称，( z ) ( a ，口，盯) ，其中的幂函数取主值，显然，n q n ，1 ，1 ) 就是通常的非 b a z i l e v i c 函数 ) 函数族上的系数泛函l a 一胆；i 的精确估计问题是由f c k e t e - s z e g i 5 首先提出来 的，f e k e t e s z e 酌证明了众所周知的结果 | 口3 - 脚；陋2 e x p ( 啬卜心， 且对任意的a 【o ，等号均能成立 一些作者 6 - 1 6 对某些解析函数族建立了f e k e t e s z e 9 6 不等式，本章对函数 族( a ，口，声，1 3 r ) 建立了f e k e t e s z e 9 6 不等式，得到了准确的结果，推广了一些作者 的相关结果为了导出我们的主要结果，我们需要下面的引理 则 引理3 1 1 7 】设o 纠s 1 ，l ( z ) 一l + c ；z + c 2 2 2 + 在内解析，且满足 等， ( 3 3 ) 协驯c ：一j 1c 水朴南| c 1 | 2 由其中第二个不等式可以进一步推出 咖2 1 小1 8 押1 - 1 c 。1 2 3 2 主要结果及证明 定理3 2 1 设，( z ) ( a ，口，卢，口) ，o 口c 1 口，o ，o c i 声is 1 ，a 乏o ，且a 一竺；早， a 一孚，芦为实数，则 | 口，一脚非 业监型等器蔫攀划肚1 3 a a 一( 2 a 一口一1 ) 2 2 | 卢p 融一口一1 | , u 2 j fs 芦1 ； 业堑气笔等等- 尝1 ) 剑， ： 1 3 一口一1 | ( 2 a 一口 2 。 。 兵中 i f l i ( 2 a 一口一1 ) 2 ( 盯一1 ) + 2 a 0 + a x 2 ；t a 一1 ) + 口盯( 1 + 口) 】+ ( 1 一i 卢队2 a 一口一1 ) 2 地 币面二j 广一 一，。 f l ( 2 a - a - 1 ) 2 ( a - 1 ) + 2 0 0 + 了a ) j 2 _ a - a - 1 ) + a o ( 1 + a ) - ( 1 - l f l ) ( 2 a - a 一- 1 ) 2 ，达到心1 币两二j 广也刘 等号的函数分别满足 ( i ) ) “w 。) “。l + f l e w z l 4 ( 口为矧，鞭触 s 2 时 叫卅 ，( 而zj l + aw b ，【而j l + a - ( 筹卜为蚓，瓠肛， 时 证明因为，( z ) ( a ，o l ，卢，仃) ，根据n ( x ，口，卢，口) 的定义可得：在u 内存在满 足 。) 芒鼍的解析函数i l ( z ) 1 d - c i z + c 2 2 2 + 使得 m 一地訾止 ( 3 4 ) 将，( z ) jz + 荟。一z ”和 o ) 的幂级数展式代入3 4 式，并比较恒等式两边z 和z 2 两 项的系数可得 ( z z - a - 1 ) a zi c l 口一口：- 万= c 1 0 五 ， ( 3 5 ) 3 勉，- ( 1 + 毗+ 学咿2 ( 1 + 毗1 1 c 2 0 + 掣毒 ( 3 6 ) 将( 3 5 ) 式代入( 3 6 ) 式可得 a：一3 2 c r ( 2 a - a - 1 ) 2 c 2 + ( 2 a - a - 1 ) 2 ( a - 1 ) a + 2 ( 1 + a ) ( 2 a - a - 1 ) a 2 + a ( 1 + a ) a 2 c ? 2 ( 3 a a 一1 ) ( 2 a 一口一1 1 2 ( 3 7 ) 由( 3 5 ) 式和( 3 7 ) 式可得 a 3 一t a ； 2 0 ( 2 3 - a - 1 ) 2 c 2 + ( 2 x - a - 1 ) 2 ( a - 1 ) a + 2 ( 1 + a ) ( 2 x - a - 1 ) o 2 + a ( 1 + a ) a 2 c ? 2 ( 3 a 一口一1 ) ( 2 z a 一1 1 2 卢2 c ? ( 2 x 一口- 1 ) 2 令l a ，一牌引- m ，因此 m-j2a一(2a-a、-1一)2口c可22(3a 1 x 2 a + 一口一一口一r ) 2 ( 2 a - a - 1 ) 2 ( o - 1 ) a + 2 ( 1 + a ) ( 2 z - a - 1 ) o 2 + a ( 1 + a ) a 2 - 2 ( 3 a - a - 1 ) m a 2 2 ( 3 2 一口一j ) ( 2 a 一口一1 ) 2 ，2 a ( 2 a 一口- 1 ) 2 | c ：f s 2 3 a - a - 1 1 ( 2 2 - a 。- 。1 ) 2 + f ( 2 z a 一1 ) 2 ( 仃一1 ) 盯+ 2 ( 1 + a ) ( 2 a 一口一1 ) 盯2 + 口( 1 + 口) 口2 2 ( 3 a 一口一1 ) 盯2 忙1 2 蚓舭可知斗扣2 1 巾k 障例+ 觜m 于是 。，幻( 2 a 一口一1 ) 2 i 卢i + 女生l 兰竽l c l l 2 肌1 2 1 3 瓦zj l 阿l ( 2 x = 争+ 一口一一口一】、2 ( 2 a - a - 1 ) 2 ( c r - 1 ) o r + 2 ( 1 + a ) ( 2 x - a - 1 ) 0 2 + 口( 1 + a ) 口2 2 ( 3 2 t 一口一1 ) o r 2 i i c 。l 2 2 1 3 aa 一刈( 2 a 一口一1 ) 2 下面分三种情况来分别进行讨论： ( 1 ) 当 a 1 -fl(2t!-a-1)2(o-1)+20(1+a)(2a-a一1)+a盯(1+口)】+(1一陋1)(2a一口一1)： ：$ e l o f 3 x一口一n 。，。竺2一a一1)2l声i+g生1二半lc。12 ，! ：l 一 2 1 3 ；t a 一1 ( 2 a 一口一1 ) 2 。 塑型堕坐望襄笺等等业垄坐噬1 2 1 3 ) , ， 二_ 二_ 二_ 二：一一 _ ，一一、一一，。 j r ，i 一口一1 j ( 2 a 一口一1 1 2 因此 m s 型塑坠! 咝尝祭塑二! ：2 二塑! 巡兰二! 二! 塑 1 3 ；t a q ( 2 a 一口一1 ) 2 且仅当蚓一2 1 p f ，f c ：f 一2 例2 时等号成立，故极值函数满足 ( 2 ) 当 “1 2 一 ，“8w 。，“。一( 篙卜为蝴 = 二_ 二一、，j 、一i “一v 2 i p ( 3 五一口一1 ) 。 肌业型兽兰笋坠卿， f 3 a a 一列f 2 一a 一1 、2 ， 且仅当j c l | - 2 1 p l ，i c ：i - 2 1 p 1 2 时等号成立，故极值函数满足 ，( 南) “w 。，( 爿。- ( 拦) 4c 愀粝 ( 3 ) 当弘2 弘s 弘t 时， m s 禹 且仅当蚓一o ，i c ：f - a 4 1 e 靴，故极值函数满足 ，( 高) l + aw 。，( 南) 1 4 0 - ( 筹 将( 1 ) 一( 3 ) 的结论归纳起来即可得到定理3 2 1 的结 ( 0 为实数) 论 令 声。- 1 ，可以得到下面的推论，即非b a z i l e v i c 函数 ) 的f e k e t e s z e 9 5 不等式 推论3 2 1 设f ( z ) e n ( a ) ，0 a t l ，芦为实数，则 i n 。一p a i l s 一：；。m a x i 1 ，| 1 + ! ! 二铲 ， 达到等号的函数分别满足 叫南卜筹 国( 制”一篙t 愀妗 注3 2 1 此推论为文献 6 所得到的结果。 第四章关于非b a z i o v i 0 函数某个推广类的相关性质 4 1 引言 设h 表示单位圆盘【，- 矧z i t l 内的解析函数，( z ) tz + a z ”的全体所构成 的函数族设0 c ac 1 ，则称，0 ) ) 当且仅当，( z ) h 和 r e 卜耐”卜锄 他- ， n ( a 1 为第三章中所提到的非b a z i l e v i c 函数 设0 口1 ，a c ，- 1 b 蔓1 , a - b ，则称f ( z ) e n ( a ，口，a ，b ) 当且仅当f ( z ) e h 和 ，( 南) “一a 鬻( 南) “ 篝洋u ， z ， 其中的幂函数取主值，以下我们应用这个约定显然，0 ) ( ，口，芦) 当且仅当 ，( z ) h 且满足 k 卜( 南) 4 一a 鬻“卜叭址卧 。， 当a 一一1 ，爿- 1 ，口一- 1 时，n ( - 1 , a ，1 ，一1 ) 为非b a z i l c v i c 函数；当 一一1 ，爿一1 2 芦， b 一一1 时n ( - 1 , a ，1 - 2 声，- 1 ) 户级非b a z i l e v i c 函数，文献【6 】对( 一1 , a ，1 2 户，一1 ) 建 立了f e k e t e 。s z e 9 5 不等式本章讨论了函数族( a ，口，a ，b ) 的从属关系、包含关系、 偏差定理和不等式性质 4 2 相关引理 引理4 2 1 ”1 设f 0 ) 一l + b l z + 6 2 2 2 + 在u 内解析，1 1 0 ) 是u 内的解析凸象 函数，且j i l ( o ) 一1 ，若 f ( z ) + 三腰( z ) ( z ) ， ( 4 4 ) c 其中c 0 和r e c 0 。则 ，( z ) c z 。j ：1 _ i l o ) 出 矗( z ) ， lc z f o t 。1 h ( t ) d t 1 l ( z ) 为微分从属( 4 4 ) 的最佳控制 弓j 理4 2 2 1 8 1 设一1 j 置墨b 2 一2 ( a 1s 1 ，贝0 l + a 2 z l + a t z 1 + b 2 z1 + b l z 引理4 2 3 ”1 设f ( z ) 为u 内的解析凸象函数，0 j a 墨1 f ( z ) e h ，g ( z ) e h ， ，( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) ，则 玎( z ) 4 - ( 1 一a ) 9 0 ) f ( z ) 引理4 2 4 设，( z ) 。荟吼z 在【，内解析，占。) 。荟以z 是u 内的解析凸 象函数如果，( z ) g ( z ) ，则k l 墨h 陋一l 2 , - - ) 4 3 主要结果及证明 ( 南) 。 瓢等 1 妇 篙 证明令 心卜( 南) ， s ， 则f ( z ) - l + b l z + 6 2 2 2 + 在u 内解析，在( 4 5 ) 式两边求对数导数可得 南) 。一a 鬻( 南) 口i ，鼢 由于f ( z ) e n ( x ，口，a ，b ) ，所以 砷) + a - - - z f l ( z ) 篙14- a b z 显然州z ) i 丽i + a z 是u 内的解析凸象函数 ( o ) “因为妥，0 r e 任卜，所 以根据引理4 2 i 可得 ( 南l 即) 署z 。翟等 1 出- 撕a ，l + 一a z u 1 出 篙 推论4 3 1 设0 a 1 , r e a 2 0 ，卢1 ，若 ( 1 + a ) z ) = _ a z f ( z ) ( z i 。1 + ( 1 - 2 f 1 ) z - ，z ， ( 南卜声+ 喇等 1 妣卧 推论4 3 2 设0 口 1 ，r e a 2 0 ，则 ( a ，口，a ，曰) cn ( o ，口，a ，丑) 定理4 3 2 设0 口1 ，a 2 王 毫o 一1 墨b ls b 2 a 2s a ls 1 ，贝u ( 如，口，a z ，b 2 ) c n ，口，a 1 ，b 1 ) 证明任取，( z ) ( 如，口，a ：，b ：) ，有，( z ) h 和 ：，( 南卜箸( 南卜篝 因为一1 矗，b 2 a 2s a 】1 ，所以根据引理4 2 2 可得 z ) ( 南) 。喝趔f ( z ) f i 三f ( z ) 1 ) 。 苫0 ，根据推论4 3 2 可得f ( z ) e n ( o ，a ，a 1 ，b 1 ) ，亦即 ( 南) 。篝 又由于 ( 4 7 ) o ( 南) 。一 鬻( 南_ ( 一砉) ( 南卜 扣九，。吐鬻4 】 显然，啊( z ) 一1 1 + + a 且, z z u 内的解析凸象函数，故根据( 4 6 ) 式，( 4 - 7 ) 式以及引理 4 2 3 可得 ，( 南卜鬻( 南) 4 篝， 即，( z ) ，口，a 1 ，b 1 ) ，从而由，0 ) 的任意性可得 ( 九，口，a 2 ，b 2 ) c ( ，口，a 1 ，b 1 ) 推论4 3 3 设0 口 芦2 反z 0 ，贝q ( a 2 ，口，卢2 ) c ( ，口，p 1 ) 证明任取，( z ) ( 九，a ，p ：) ，则由( 4 3 ) 式和尻z 岛0 可得 咔圳“一九鬻8 卜氓 s ， 又根据推论4 3 1 可得 虽 可得 鼬怖) 4 卜娟胙u 9 ， 删腓e 临) 4 一鬻。卜那删蚋粥得 十 ，斟一 鬻斟卜 r e ( 南) 口+ ( 南卜篙( 南门 峨 ( 南肿晟 如瓢 ( 南) 。一鬻( 南卧咖s 啪扣删，w ：啡。 十 ，槲一 箸槲卜 r e ( 南卜 ( 南) 。一鬻( 南门卜 r e ( 南卜九 ( 南) 口- 鬻( 南门卜 十锄晰一九鬻。卜 从而f ( z ) e n “，o ，芦。) 因此( a ：，a ，卢：) c ( ，口，鼠) 定理4 3 3 设0 口1 , r e a 0 , - 1 b a l f ( z ) n ( a ，口，a ，口) ，贝0 警 - t at l - a u h ；d u ( 4 1 3 ) a 加“ 1 1 + b z ui 一1 一b u 由( 4 1 2 ) 式和( 4 1 3 ) 式即可推出( 4 1 0 ) 式，容易验证不等式( 4 1 0 ) 式是精确的，其 极值函数为( 4 1 1 ) 式 类似于定理4 3 3 的证明，可以得到定理4 3 4 定理4 3 4 设0 口1 ，r e a 苫0 ，一1 s a b j l , f ( z ) e n ( x ，口，a ，b ) ，贝0 瓢等1 幽= 鼬怖小a 川，l - 面a u 1 妣卧 不等式( 4 1 4 ) 是精确的，其极值函数为( 4 1 1 ) 式 推论4 3 4 设0 口c 1 , r e y t 0 , 0 卢( 1 , f ( z ) e n ( a ，o ，卢) ，则 瓤等警u 生 1 d u r e 怖卜瓤等竽声1 如锄旧 不等式( 4 1 5 ) 等价于 ，竹- 则 卢+ 销等u 坠 1 d u r e ( 南卧卢+ 竿j ：等声1 妣u 推论4 3 5 设0 c t 1 ，f ( z ) e h ，且满足 十a ，。一a 鬻。卜眠 瓢芈竽u 墅 1 d u r e ( 南) 8 c 瓢警方1 如砜 不等式( 4 1 6 ) 等价于 卢+ 嵴等u 坠 1 d u r e ( 南胖卢+ 喇等于1 如叭 若r e t o 0 ，( r e e o ) 2 r e e 0 2s | ( z ) l j ( 参看文献 2 6 ) ，因此可以得到定理 定理4 3 5 设0 口 1 , r e 3 0 , - 1 b a 1 ，( z ) ( a ，口，a ，b ) ，则 a ，l - a 。u 。4 幽h 晰a ，l ，+ a u 妇卜t 不等式( 4 1 7 ) 是精确的，其极值函数为( 4 1 1 ) 式 ( 南卜篙， 又因为一1 b t as 1 ，从而可以得到 。c 而1 - a 硪 ( 南胖嚣， 结合定理4 3 3 的结论，即可得到( 4 1 7 ) 式，不等式( 4 1 7 ) 式是精确的，其极值 类似与定理4 3 5 的证明，可以得到定理4 3 6 定理4 3 6 设0 a 1 , r e a 0 , - 1 a b 1 ，f ( z ) e n ( a ，口，a ，曰) ，贝4 - 1 8 ( 瓢等1 幽卜临州砷a - h 面- a u 詈- 1 卜u ， 不等式( 4 1 8 ) 是精确的，其极值函数为( 4 1 1 ) 式 定理4 3 7 设0 a 1 , r e a 乏o ，一1 b a 1 ，( z ) ( a ，a ，a ，b ) ( i ) 若a - 0 ，则当一r c l 时，有 r m l + 爿b r ，) 4 印娜仨和 不等式( 4 1 9 ) 是精确的，其极值函数为，( 小可兰) ： ( i i ) 若a ，0 ，则当t z i - r t l 时，有 ，( 瓤等“ a1 幽j - - 啪娜r i 川a 7 l 一- a u r 。一出厂z 不等式( 4 2 0 ) 是精确的，其极值函数为( 4 1 1 ) 式 证明( 1 ) 若a - 0 ，因为f ( z ) e n ( x ，口，彳，曰) ，一1 b 。彳1 ，由( 4 2 ) 式可得 ，2 、“ 14 - 一， l 而j 百夏 根据从属的定义可知，u 内存在解析函数0 ) 使得 ( 南) 。鬻 应用s c h w a r z 引理可得( z ) - c 。z + c ：z 2 + 和i 0 ) | h ，所以对蚓一，t 1 ，有 斟_f蚓i制而l+ar，(4211 1 1b r ， i ，o ) ii + 曰脚( z ) f+ 口i ( z h 一+ 7 斟叫蝌卜警 z z ， 因此由( 4 2 1 ) 式和( 4 2 2 ) 式即可得到( 4 1 9 ) 式，容易验证不等式( 4 1 9 ) 是精 确的，其极值函数蝴加z ( 兰) = ( 2 ) 若a 一0 ，根据定理4 3 1 可得 由从属的定义可得 其中( z ) - c 。z + c ：z 2 - i - - 在u 内解析且i 乜s h ，所以对h rc 1 ，有 l 南卜烈l 导瓮料 1 出s 瓠苷筹辫 1s 瓢警 出巾z s ， 和 斟叫槲阻a j o 盥l - b u r 1 出 z t ， 因此由( 4 2 3 ) 式和( 4 2 4 ) 式即可得到( 4 2 0 ) 式容易验证不等式( 4 2 0 ) 是精 确的，其极值函数为( 4 1 1 ) 式 类似于定理4 3 7 的证明，可以得到定理4 3 8 定理4 3 8 设0 c 口c l r e a 0 , - i 一b s l ，仁) 0 ，口，a ，b ) ( i ) 若a 一0 ，则当i z i r 1 时，有 r ( 卜1 - 一b ，r ) 8 咖啡r ( 等) 8 ， z s ， 不等式( 4 2 5 ) 是精确的，其极值函数为黝- z ( 篝) i ( 1 1 ) 若 o 则当矧l ，1 时，有 r i a a 。d 。l 。一- a 丑h u ，r ，詈4 妇) 。= l ，( z ) 1s ，、a 上l + a u r 。u ；- l d u ) 一= ( a - z s ) 不等式( 4 2 6 ) 是精确的，其极值函数为( 4 1 1 ) 式 定理4 3 9 设0 ( 口1 , r e a 0 , - 1 s b 1 ，爿一b ，( z ) 墨z + 罗口t z ( ，a ，a ， i 苎蒜l 口) ，则 l a n + l i 墨嬲 不等式( 4 2 7 ) 是精确的，其极值豳数为( 4 。1 1 ) 式 ( 4 2 7 ) 出 口 等+ 一+层口一a ， 南 出 匕，丝比 “一“4 一曰+ 一+1 - 一1 上 口一a i w l 三脚 证明设，( z ) 一：+ 蔓口i z q ，口，a ，占) ，则 m + i 南卜鬻( 南) 。小c 一帆” 鲫班h 则称，g ) 为卢级星象函数，这类函数记为( 卢) 若存在g ( z ) 怡) 满足条件 喇f 掣r 叫一l + a z 。 ( 5 1 ) 而l 雨j1 一l + b z 旧1 其中口o ，芦r ，一1 s b 1 , a b ，z e u ，则称f ( z ) e 以为口+ 啦型b a z i l c v i c 函数， 这类函数记为只( 口，p ，a ，b ，占k ) ) 其中幂取主值，以下我们应用这个约定当 a - 1 2 卢，b 一一1 时，风国，p ，1 2 p ，一1 ，9 0 ) ) 为芦级的口+ 啦型b a z i l e v i c 函数 设，( z ) 和f g ) 都在u 一仁吲t 1 内解析，如果u 内存在解析函数仁) 使得 j 4 z 】, i z l 和s ( z ) - f ( g ) ) ，则称，( = ) 从属于f ( z ) ，记作，( z ) 一，g ) 如果f g ) 在u 内 单叶，那么，( z ) ，( z ) 等价于，( o ) 一f ( 0 l ，( u ) c e ( v ) ( 参看文献 2 ) 本章引进了如下函数族b ( a ，口，a ，b ，g 如) ) ：若存在g g ) ) 满足条件 m ，错十错) ( 锱卜篙， ( 5 2 ) 其中0 a 1 , a o l 弘尺，一1 b s l , a - b ，z e u ，幂取主值，则称，如) 4 为a + 韬型 a b a z i l e v i c 函数当a 一1 2 声，b 一一1 时，玩( a ，口，肛，1 2 p ，一1 ，9 0 ) ) 为卢级的a + 撕 型 一b a z i l c v i c 函数当口一1 p o 时，或n 工o ，1 2 卢，一1 ，g ”2 2 1 为卢级的 一近于凸 函数当口- o ，肛- 0 , a 一1 ，口一一1 时只n ，0 ，o ，1 ，一1 ，g ( z 圳为a 一凸函数当 口一0 ，肛一o ，a 1 2 卢，b 一- 1 时，风协，0 ，0 , 1 2 , a ，一1 g 仁) ) 为声级的a 一凸函数 记或( a ，口，肛，a ，b ，g g ) ) 的子族鼠( a ，口，胁a ，b ，z ) 为 只以，口，a ，b ，z ) p 弘错( 掣) “抽小列少炉蛳 篝胙u ， 。， 其中o a 1 , a20 ，r ，一1 b 1 , a 产b 文献 2 1 研究了函数族毋( a ，a ，1 2 卢，一1 ，z ) ，得到了一些不等式文献【2 4 ， 2 5 】分别研究了函数族玩( 0 ，口，0 ，1 2 芦，一1 ，z ) 和风n ，l o ，1 2 卢，一1 z ) ，也得到了些不 等式本章讨论了函数族只( a ，a ，卢，a ，b ，z ) 的从属关系和不等式性质，所得结果推 广了一些作者的相关结果，并