（应用数学专业论文）存贮论在超市存货管理中的应用.pdf

中文摘要 超市经营模式是零售企业普遍采用的经营模式。超市为了保证正常的经营活 动，需要有一定的库存。因此，库存管理就成为超市配送中心管理中的核心问题。 而合理的库存除保证超市经营的供需外，从加速资金周转方面考虑，还应尽可能的 减少库存上的资金占用，并力求保持各类存货形态之间的合理比例关系，从而，迸 一步使得库存的费用最低。然而，对所有商品一一拟订存贮策略，又需耗用大量时 间和财力，这在经济实际中显然是不可取的。因此，本文以财务管理为研究重点， 采用a b c 控制方法对超市经营的中的五种a 类商品展开存贮方案的制订工作。 本文对传统的存贮论模型加以改进，通过实际调查，充分考虑到各商品的市场 销售特点，将存贮模型应用于超市商品存贮问题，并对各类商品采取相应的存贮策 略，同时给出了超市商品存贮模型的应用实例： 1 酒类商品及b 类、c 类商品采用传统的f 循环存贮策略； 2 食用油等订购费用随订购量变化的商品，考虑有折扣的存贮模型； 3 小型家电这类商品，虽销售量较少，但利润较强高，需比较订购费与缺货 损失阃的大小关系，建立相应模型； 4 对于打印纸的存贮问题，考虑其销售量的概率分布特点建立模型，并应用 m a t h e m a f i c a 4 1 软件求解： 5 对净菜这一特殊商品建立存贮模型； 6 最后对仓库容量有限条件下的随机存贮模型进行了探索。 关键词：存贮论；存贮策略；存贮费用 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t s u p e rm a r k e tm o d e li st h ec o m m o n e s tm o d e lr u nb yr e t a i l i n ge n t e r p r i s e i no r d e rt o m a i n t a i nt h ew e l l - b a l a n c e dm a r k e t , aq u a n t i t yo fs t o r a g ei sn e c e a s a r y s o ，s t o e k m a n a g e m e n tb e c o m e st h ek e yp o i n tp r o b l e mi nc e n t r a ld e l i v e r i n gm a n a g e m e n tp r o c e d u r e ， t h u s ，b e s i d e se n s n r es u p p l ya n dd e m a n di ns u p e rm a r k e t ，r e a s o n a b l es t o r a g es h o u l d d e c r e a s et h es t o r a g ec o s t m e a n w h i l e ，t h er e a s o n a b l ep r o p o r t i o na m o n ga l lk i n d so f e x i s t i n gs t o c ks h o u l da l s ob em a i n t a i n e d s ot h es t o r a g ec o s tc a l lb er e d u c e dm u c hm o r e h o w e v e r , m a k i n gs t o r a g es t r a t e g yf o re a c h 垴n do fg o o dw i l lc o n s n n l cal o to ft i m ea n d m o n e y t h e r e f o r e , o b v i o u s l yi t i s n t a p p r o p r i a t e t h u s ，t ot h ep o i n to ff i n a n c i a l m a n a g e m e n t , c a t c h i n gh o l do f t h ek e yp o i n t ，t h i sp a p e rd r e was t o r a g es t r a t e g yf o rs o m e k e yg o o d s ( g o o d sb e l o n g i n gt oa ) o f w h i c hf i v ek i n d sw e r ei n c l u d e di nt h ep a p e r t h i sa r t i c l e r e p o r t st h ei m p r o v e m e n t t ot h et r a d i t i o n a l s t o r a g et h e o r ym o d e l c o n s i d e r i n gd i f f e r e n ts e l l i n gc h a r a c t e r i s t i c so fv a r i o u sg o o d , b yp r a c t i c a li n v e s t i g a t i o n , c o r r e s p o n d i n gs t o r a g es t r a t e g ya sw e l la st h ea c t u a le x a m p l eo f s t o r a g em o d e li sg i v e ni n t h ea r t i c l e ： 1 t r a d i t i o n a lt - c y c l es t o r a g es t r a t e g yi m p l i e dt ow i n ea sw e l la sba n dck i n d so f g o o d s 2 s t o r a g em o d e lc o n s i d e r e di n t od i s c o u n tf o re d i b l eo i le t w h o s ef e eo fs p e a k i n g f o rc h a n g e sw i t ht h ea m o u n t 3 m i i l it y p eo fh o m e - u s ee l e c t r i c a lm e c h a n i c sh a sl o t so fp r o f i ti ns p i t eo fi t s s m a l la m o u n to fs e l l i n g s oc o m p r e s s i n gb e t w e e nt h ef e eo fs p e a k i n gf o ra n d t h el o s to fs h o r t a g ei sn o c e s s a r y , a n dt h e ns e tc o r r e s p o n d i n gm o d e l 4 c o n s i d e r i n gt h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h es e l l i n ga m o u n to ft y p i n gp a p e r , t h e s t o r a g em o d e li ss e tu p m e a n w h i l e t h er e s u l ti sc a l c u l a t e db ym a t h e m a t i c a 4 1 5 t h es t o r a g em o d e lf o rv e g e t a b l ei se s p e c i a l l ys e tu p 6 f i n a l l y , t h er a n d o ms t o r a g em o d e lo fa r r i v e dt i m ei sr a n d o mv a r i a b l eu n d e rt h e c o n d i t i o no f l i m i t e d - s p a c es t o r e h o u s ee s t a b l i s h e d k e yw o r d s ：t h e o r yo f s t o r a g e ；s t o r a g es t r a t e g y ；s t o r a g ec o s t h 硕士擘住论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 嗍：呻”月加 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”。同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。园壶途塞握銮卮澄厦! 旦坐生；旦二玺i 旦三生筮查： 作者签名：垮越 作者签名：彦飙 日飙卿年j 月够日 导师签名： 万协 帆r 九 幻| |俩朔 ：a f 工 名如 p i “ 锄啪 一 越帅 名弘 张1 | | 粕瓤 干 e 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一章引言 人们在各种活动中经常会遇到不用或用不了的物资、食品等储存起来，以备将 来使用。这种储存物品的行为，主要是为了解决因供求速率不一致导致的不协调， 而采取的一种措施，即在供应与需求之问加入存贮环节，以保证目前需求与将来需 求都得至满足。存贮论就是要解决最佳的供货时间、供货批量以及存贮量，以保证 存贮系统中各项费用最低。 存贮论是运筹学中发展较早的一个分支。早在第二次世界大战期间，存贮问题 就成为军事中亟待于解决的问题：一场战斗，在1 至2 天之内可能消耗几十万发炮 弹，那么这些炮弹何时运送，又运送多少才不会延误战机? 另外，站在兵工厂的角 度考虑，兵工厂不可能在短时间内生产出几十万的炮弹，因此在未发生战争甚至在 没有预料到将来哪天会发生战斗时，就需要生产，并将每天生产的炮弹贮存到军火 仓库，以备战时之需。1 9 5 1 年，f h a r r i s 针对银行货币的储备问题建立了一个确 定性的存贮费用模型，并求得了最优解，即最佳批量公式；1 9 3 4 年，美国的管理学 家r h w i l s o n 再次验证并重新得到了经济订购批量公式。此后，于2 0 世纪5 0 年 代，存贮论得到了进一步发展，作为一门理论发展起来。美国经济学家、诺贝尔经 济学奖得主k j a r r o w 等发表了存贮和生产的数学理论研究，p a m o r a n 写了 存贮理论等著作，为存贮论的发展起到了推波助澜的作用。 近些年来，存贮问题成为我国经济学家、数学家研究的热门课题。最早的e o q 公式，假设了“补充时间短暂”、“费用不变”、“不允许缺货”的理想情形，而在实 际中能满足这些条件的情形是很少的，为了解决实际中较为复杂的e o q 问题，不 少学者对此进行深入的探讨，推动了现代存贮论的发展：也有学者考虑到产品的变 质期问题，使得存贮模型更加具有实际性：结合多学科，与排队论知识相结合，建 立基于排队论理论的存贮模型，等等。另外，2 0 0 5 年全国高校研究生数学建模竞赛 中，也将存贮问题纳入考试题目，具体研究仓库容量有限条件下的随机存贮管理。 由此可见存贮问题研究的重要性与实用性。 然而，对于超市经营这一领域中的商品存贮策略的拟订，现在的研究尚有空缺。 将以上的存贮模型直接应用于超市经营中的存贮问题有很大的局限性，欲使模型具 有实用性，还需充分考虑各种商品的特点，多种模型结合使用。 硕士学住论文 m a s t e r st h e s ! s 那么，为了一个超市经营活动的正常开展，是不是库存越多越好呢? 事实表明， 湖北省某高校中心超市由于没有合理的存贮策略，以致在0 6 年短短一年中，报废 近五万余元的存货。由此看出，库存量大了，的确保证了经营过程中不出现供不应 求的现象，但库存量过大却导致了不必要的经济损失；另外，站在财务管理的角度 来看，库存比例过大，不但增加了存贮耗费，而且因占用大量流动资金造成经营资 金的积压、浪费，从而给超市的经营活动带来困难和障碍。因此，作为超市的管理 者应权衡利弊，正确决策，力求达到既不因存货过多造成资金积压，又不因存货过 少而出现缺货的双重目的。本文将据前文超市提供的真实数据，结合各类商品的销 售特点，探讨一下超市存货的存贮策略。 2 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 第二章预备知识 2 1 基本概念 2 1 1 存贮费用 存贮论的研究中，常以费用这一指标来评价和优选存贮方案。为了正确地评价 和优选存贮方案，不同方案中费用的计算必须具有可比性。可比性要求时间可比和 计算口径可比。其中，时间可比，即存贮方案中的费用发生时间范围必须一致，在 实际计算时，常用一个存贮周期内的总费用或单位时间的平均总费用来衡量；计算 口径的可比要求费用的各统计项目必须一致。存贮论模型研究的主要的费用项目 有：存贮费、订货费和缺货损失费。 存贮费：一般与存贮存物资的数量及时间成正比。包括存贮物资所占的资金 利息、物资的存贮损耗等，但需注意的是仓库管理人员的工资不属于存贮费的范畴。 在经济学中，若设t 时刻的库存水平为，( f ) ，单位物资在单位时问内的存贮费 用y oc ( t ) ，则在时间间隔 o ，刀上的存贮费为【c ( t ) l ( t ) d t 。 订货费：主要是指向外采购物资的费用。而这部分费用通常又可分为两部分， 一部分是订购时支出的费用，通常与采购数量无关，仅与订购次数有关，比如差旅 费、联络通讯费、货物检查费等；另一部分是采购成本，与订货数量有关，如货款 和运费等。 缺货损失费：一般指由于存贮供不应求时所引起的损失，比如超市丧失销售 机会直接带来的经济损失。另外，由于缺货而丧失的信誉也属缺货损失的范畴，因 而它较前两项费用更难于准确确定。 2 1 2 存贮策略 决定多长时间补充一次物资，以及每次补充多少数量物资的策略称为存贮策 略。衡量存贮策略的优劣的标准是一个存贮系统在一个周期内的总费用或单位时间 在耗用的平均费用。常见的存贮策略主要有以下几类： f 一循环策略：每隔一个固定的时间f ，补充一个固定的存贮量q 。 3 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s ( f ，s ) 策略：每隔一个固定的时间f 补充一次，以保证一个固定的最大存贮量s 为准。若设现在存贮量为i ，则补充量q = s i 。 ( s ，s ) 策略：与时间无关，若存贮量为，j ，就不必补充；若， s ，就不必补 充；若i s ，则补充量q = s i 。 在实际闯题中，应当根据各种商品的销售特点，建立相应的存贮模型，确定与 之相应的最优存贮策略。 2 2 基础模型和基本假设 下面给出的模型为存贮论研究中最基本的模型，也被称为经济订货批量模型。 为了便于描述和分析，首先对模型作如下基本假设： 需求是连续均匀的，即需求速率单位时间的需求量r 是常数； 货源充足，无货时补充可以瞬时实现； 单位缺货损失费g 无穷大，即不允许缺货； 单位存贮费e 用为常数； 每次订货费g 为常数； 货物的订购成本( 单位成本) 为常数k 按照f 一循环策略，每隔f 时间补充存贮量q ，此时平均总费用，是最经济的。 其中：- j 等 r 2 艨 c = 2 4 t 6 z c ：。e o q 经济订货批量公式 4 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 2 3 存货的a b c 控制 任何管理都要求突出重点，抓住主要矛盾。存货管理也应当区分轻重缓急，不 可能做到面面俱到。比如，超市的商品繁多，而各类商品的品种也花样不一，通常 有成千上万的存货项目；同时，更为重要的是，这些商品在销售和存贮过程中自身 的特点又具有较大的差异，因而，对每一种商品的存贮拟订策略，无论是出于管理 能力的原因，还是从经济角度来考虑，做到全面细致是不现实的。a b c 控制方法的 管理目的就是突出重点，提高存货管理的效率。 存货的a b c 控制方法由1 9 世纪意大利的经济学家巴雷特首创，现已被广泛用 于存货管理、生产管理等许多方面。a b c 控制方法是按照存货的重要程度来决定各 存货控制政策的控制方法，这种方法是一种统计分类方法。该方法一般首先按价值 大小将存货划分为a 、b 、c 三大类，分类标准为： a 类品种虽少，但价值金额较大； c 类品种繁多，但价值金额极小； b 类品种及价值介于a 、c 类之间。 然后将对a 类商品拟订存贮策略作为存贮工作的重点，通常对a 类商品中各项 目拟定相应的存贮策略，从而分别采用科学的计算方法，尽量压缩库存量，减少库 存资金。 硕士肇住论文 m a s t e r st h e s i $ 第三章模型 由于超市中绝大多数商品的需求量为离散变量，故本文中主要探讨需求为离散 型变量的商品的存贮问题。 。 首先，采用存货的a b c 控制法对该超市0 6 年商品销售情况分析如下：该超市 年销售额近3 2 0 万，但是哥4 食品、文具等商品的单位利润较低，虽销售量大，但销 售额仅占总金额的2 2 6 ；而酒类、食用油、小型家用电器、打印纸等商品，虽然 品种较少，仅占所以商品种类的4 9 9 6 ，但由于其单位价值相对较高，这部分商品的 销售额约占总金额的5 l7 ，因而属于a 类商品，即存贮管理中应着重控制的对象。 下面将根据这几种商品的不同特点，一一建立存贮模型，找出相应的存贮策略。 3 1 酒类商品的存贮模型 3 1 1 问题的提出 由于该超市同时负担着校内酒店烟酒类的供货，故必须保证货源充足；另外， 由于酒类易于采购，故可假设超市发出订货要求，货物立即到货。因而，酒类商品 的存贮可视为不允许缺货的e o q 模型。根据调查，超市酒类实际消耗量如下表所示： 单位存贮费( 元 商品月耗量( 月)订购费( 元) 月) 白酒3 2 箱 1 2 2 啤酒t 7 6 件 5 1 3 1 2 问题的求解 由问题可知，酒类商品的存贮问题可以采用f 一循环策略，每隔f 时间补充存贮 量q ，根据e o q 计算公式分别求解： 觚= 厣= j 孚锄c 箱， 6 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s r = 层= 藤她6 c 们 c = 厮= 压忑丽* 3 9 1 9 ( 元) 慨= 浮= 罕件， r = 压= 愿她2c 仰 f = 厨= 压万蕊m 4 1 9 5 ( 元) 将酒类商品最佳存贮策略用下表描述为： 订货时间最佳订货平均总费用全年订购全年总 商品 间隔( 天)批量( 元次)次数费用( 元) 白酒 1 82 0 箱3 9 1 92 07 8 3 8 0 啤酒 64 2 件4 1 9 56 02 5 1 7 o o 合计 3 3 0 0 8 0 3 1 3 小结 对于b 类、c 类商品，虽然商品的品种繁多，也就是说对不同品种的商品均需 拟订不同的存贮策略将花费大量时间、人力、物力及财力。但若工作能力允许，亦 可对此两类商品也可用该模型拟订存贮策略。当然，对越多的商品拟订存贮策略， 节省的总费用就越多。 3 2 食用油的存贮模型 3 2 i 问题的提出 我们在经济批量模型中假设存贮货物的单价是一个常量，因而得出的存贮策略 与货物的单价无关。但实际中的订货问题有时与单价有关，比如商品有所谓的零售 价和批发价，并且通常商品订购的批量越大，商品的单价越低。由于有了价格优惠， 订购时，往往希望多订一些货物，从而享受更高的折扣。该超市在实际采购中就遇 到了食用油的折扣订购。 7 硕士肇位论文 m a s t e r s t h e s i s 3 2 2 模型的假设与建立 延用存贮基础模型的基本假设； 原料货源充足，易于采购，视为不允许缺货的存贮模型； 货物单价为k ( q ) ，其中q 为订货量，为讨论方便，设k ( q ) 按三个数量等级 变化，即：k ( q ) = 墨，0 q 墨 巧，q q 2 那么在f 时间内的平均总费用为：a f ) = 1 c 。r t + 孚+ k r 又因为q = 础，所以在时间f 内的总费用为：三2 c 垡r + g + 磁 那么平均每单位的物资所需总费用为：丢c _ r q + 鲁+ 置 进而，物资所需总费用为：c ( q f ) = 吾c i q + 百c 3 r + 墨胄 3 2 3 模型的求解 据超市提供的资料：每月需要食用油约1 0 0 0 壶，每次的订购费用为5 0 元，每 月每壶的存贮费用为1 元，食用油批量的单价为： k ( q ) = 则：亘= 4 2 ，o s q 3 0 0 4 0 ，3 0 0 s q 6 0 0 3 9 ，6 0 0 , ；q 9 0 0 3 8 ，q 9 0 0 因为：3 0 0 q 4 1 s = f 驴( 最= f ) j - l 从长期看，即当n 充分大时，可以认为p ( s = f ) = ，其中江1 ，2 ，3 ，故： p ( 见 最) = ( o 2 2 4 + 0 1 6 8 + 0 1 8 5 ) ) 【0 1 8 4 + ( o 1 6 8 + 0 1 8 6 ) x 0 1 1 1 + 0 1 8 5 0 7 0 6 0 2 7 6 、， 硕士拳位论文 m a s t e r st h e s i s 即从长远看，失去销售机会的可能性大约为2 7 6 。 3 4 5 小结 本模型中以每周初的库存量作为状态变量，也就是说假定该存贮策略仅与本周 的销售量有关，缺陷是尚未考虑上周的销量情况，若加以考虑上周销量这一因素， 那么状态变量及状态转移概率均要变化。另外，本模型仅采用失去销售机会的概率 这一指标作为缺货损失的变相来评价存贮策略，在实际问题中我们可以试图加入其 他的评价指标，并对多个存贮策略进行评价和比较。 3 5 特殊商品的存贮模型 现在要研究的特殊商品的存贮模型，主要是指的单周期随机型存贮模型。这种 模型指的是一种货物的一次性订购，即在周期中只能提出一次订货，发生短缺时也 不允许再提出补订货物，也就是我们生活中所说的“一锤子”买卖。 3 5 1 问题的提出 该超市每天卖出的净菜( 凉拌菜) ，其数量( 以份为单位) 是一个离散型的随 机变量。超市每天早上做好净菜，当天销售；但若是净菜当天卖不出去，第二天就 将低于成本价甩货处理，那么超市每天应当准备好多少份净菜使得盈利值最大? 根 据历史资料，顾客对净菜的需求量在1 5 份至2 3 份之间，且其概率分布如下表： 需求量 1 51 61 71 81 92 02 12 22 3 r ( 份) 概率p ( r ) o 1 l0 1 4o 2 0 o 1 0o 1 5o 1 3o 0 80 0 4 o 0 5 并知净菜的成本为每份3 元，售价为6 元，处理价为2 元。 3 5 2 模型的假设 每份净菜的成本为”元，售价为v 元( ， “) ； 每份净菜第二天的处理价为w 元( w r 时，损失的期望值为： 羔 一w ) ( q 一，) p ( 力 供不应求，即q ，时，损失的期望值为： ( v - u ) ( r - q ) p ( r ) r t 毋l 因而，损失的总期望为： 口o c ( q ) = 一谚( q 一，) p ( ，) + 一“) ( r - q ) p ( r ) 从上式中决定q 的值，使得c ( q ) 最小。但是，由于净菜的份数q ，以及需求 量，均只能取整数，故不能用微积分的方法求极值，在此采用在经济中经常用到的 边际分析法，即差分法。 设每天超市需准备的净菜最佳批量为q ，则必有： l c ( q ) c ( q + 1 )( 1 ) l c ( q ) c ( - 1 )( 2 ) 求该方程组即可求解出最佳批量q 。 d ( 1 ) 式： 一计艺( q 一，) p ( ，) + ( y 一“) ( r - q ) p ( r ) 口+ l 一奶( q + l 一，妒( 力+ p 一铭) ( r q 1 ) 残，) ，柚 ，量口+ 2 化简得； 一叻量p ( ，) + 9 一甜) o 硕士学位论文 m a s _ r e r st h e s i s 弧姜m 三 ( 2 ) 式：( u - ”兰( q 一，) p ( ，) + ( ，一“) 窆( r q 妒( ，) r = 0 r o + l 口一l ( 甜一w ) ( q 一1 一，娥，) + ( v 一“) ( ，一q + l 娥，) r - o r = o 口一i 化简得：d 一计p ( r ) - ( v - u ) _ 0 r = o 即：窆联，) 竺 吼萋盼) 罟t i e r 。o 7 因此萎p ( r ) 而v - - u 羔r f f i o p ( ，) 因此：p ( r ) = = 艺p ( ， ，1 0 7 r 由此可以确定最佳批量q ，其中三兰为临界值。 1 ，一 v 将i ，= 6 ，u = 3 ，w = 2 代入( ) 得： q - ip ( 邮石5 - 3 量p ( r ) r i l 5 j 一 ，：1 5 即：艺以，) 蔓o 6 6 7 s 羔p ( ，) r = 1 5r = , 1 5 又因为p o s ) + p ( 1 6 ) + p ( 1 7 ) + p ( 1 8 ) = 0 5 5 0 , 6 6 7 ，所以最佳批量= 1 9 ( 份) 3 5 4 小结 本模型的假设中将净菜的成本视为一个固定成本，但在实际中蔬菜的时令性决 定了成本的变动性，而且决策人并非经常调整产品售价，故该模型有此明显缺陷。 另外，本模型中尚未考虑缺货损失，换言之，缺货损失应视为潜在的损失，故临界 值的分子部分，加入缺货成本更为合理。 1 6 3 6 仓库容量有限条件下的随机存贮模型 前文提及的超市，其仓库容量充足，故前五个模型中并未考虑仓库容量有限的 情况。但是，在实际中往往需加入讨论仓库容量有限的情况。另外。实际中可能出 现超市自己的仓库容量不足，同时租借他人仓库的情况。下面，将增加考虑仓库的 容量问题： 设某超市仓库有n 种商品，且第f ( i = 1 ，2 ，3 ，行) 种商品的单位进价为岛， 售价为a ，单位商品占用体积为k ，单位商品的存贮费用为4 ，那么在资金限制为 c ，仓库容积限制为v 的约束下，仓库中各商品的最佳存贮数量而满足下列线性规 划模型： m a x z = ( 见一q 一4 k 心+ 4 k s c i - i - v d 五o ，且取整数 对于这个传统的线性规划模型，站在数学的角度上考虑，以如何获得最大的利 润为目标，建立的问题较为简单；但从实际角度出发，通盘考虑所有的因素， 个 决策变量的求解就使求解的工作量变得庞大。因此，接下来以损失费用最小为目标， 重新建立决策模型，使问题实际化。 3 。6 。1 问题的提出 以2 0 0 5 年全国高校研究生数学建模竞赛d 题为例： 某商场销售的某种商品。市场上这种商品的销售速率假设是不变的，记为r ： 每次进货的订货费为常数c l 与商品的数量和品种无关；使用自己的仓库存贮商品 时，单位商品每天的存贮费用记为c ，由于自己的仓库容量有限，超出时需要使用 租借的仓库存贮商品，单位商品每天的存贮费用记为c j ，且乞sc 3 ：允许商品缺货， 1 7 硕士荤位论文 m a s t e r s t h e s i s 但因缺货而减少销售要造成损失，单位商品的损失记为已；每次订货，设货物在x 天后到达，交货时间x 是随机的；自己的仓库用于存贮该商品的最大容量为q ，每 次到货后使这种商品的存贮量碍补充到固定值q 为止，且q 为随机变量； 吼( f ) 表示时刻自己仓库的存贮量； 吼( f ) 表示时刻租借仓库的存贮量： 表示售完存贮在租借仓库中商品的时间； 厶表示售完存贮在所有仓库中商品的时间； r 表示销售周期，即本次到货时间与下次到货时间的问隔。 3 6 3 模型的建立 根据题意绘制存贮量随时间的变化曲线图，由图可得： r ：q - _ _ a + x ，t ：兰丝，t 2 ：9 ， ， 现根据与q 的大小关系分成两种情况进行讨论： o s l s q 的情况： 一个销售周期r 内总损失费用z 为： 硕士擘住论文 m a s t e r st h e s i s x ( 一l ， x 三 ， 其中：啪) ：q 蜒f 【q 一疗 f r 吼= q q 一o f 毛 则一个销售周期f 内的平均损失费用誓，j ) 为：x ( 厶工) = ； t , t i ，t 2 ，儡( f ) ，q 2 ( t ) 代入上式得： x ( 工，固=南+ 端一c 。2 _ r ( o ，- l + 2 0 + c 2 q + 互c 趸d f q 丽- q o y ，z 詈 qr+c,(q丽-qo)22(q-l一嬲-lr x 幽2 ，( 孚谰啦+ 蠢- l r x 】，z 詈q 一工+ ，+ f d2 q +、r q + 。一一， 为讨论问题的方便，将x 视为连续变量，设，( 力是x 的概率密度函数，则： 1 9 出 )o 孕 ，屯 q + 渺 渺 p o 吼 吼 r r q 岛 + + 胁 胁 p o 吼 吼 f f 乞 呸 + + q q ，iii-il = z 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s e r , ( l ，z ) = e 墨( ，x ) 似) a x 因而，最优化模型为：m i n e y , ( l ，x ) 0 l s 蜴 q 工a 的情况： 一个销售周期丁内总损失费用z ，为： z = q + c 2 “( t ) d t + c 3r q 2 ( t ) d t x l - ，蜴- q + c 2 r q l ( t ) d t + 6 r 昵( r ) 出 _ l - q o 詈 则一个销售周期，内的平均损失费用e 旺，柳为：e ( 厶柳= 等 将l ，f 2 ，吼( r ) 吼( f ) 代入上式得： 瓦c l 丽r 嘲+ 螋半，x s 华 弛弘志+丽。,(q-qoy旦(q-l+c2q+厕c2(q-qo)2a2 ( q 2r 2 ( q - l ， 7 i 一三+ 睹 一上+ ，：x ) 一 + ，) l - q o 詈q 一三+ ，召2 ( q 一三+ ，：柳 一 、7 ， 此时，最优化模型为：m i n e k ( 上，x ) a o 上q 最后，比较m i n e y 。( l ，x ) 和n d n e y 2 ( l ，2 0 ，取二者中较小者对应的r 为该商品 的起订点。 3 6 4 模型的求解 下面给出某大型超市的关于康师傅精装巧碗香菇炖鸡面的真实数据； r = 1 2 盒天；q = 1 0 元；c 2 = 0 0 1 元盒。天；岛= o 0 2 元盒天；c 4 = 0 9 5 元 硕士肇位论文 m a s t e r st h e s l s 盒天：q o = 4 0 盒：q = 6 0 盒，共有连续的3 6 次订货后到达时间天数记录如下： 337l23303463l43325232 53233034314 5431 解：经拟合，x n ( 2 9 7 2 2 ，1 5 2 1 0 2 ) ，则e ( x ) = 2 9 7 2 2 * 3 。将x = 3 回代入 墨( 厶彳) 和e ( 厶x ) ，并令其一阶导数为零，求得：r * 3 6 3 6 5 小结 由此模型可得结论：单位商品的存贮费用越高，起订点就应该越小；另外，单 位商品的缺货费用越高，起订点就应该越高。但是，此模型只讨论了存贮单一商品 的情况，对于存贮多种商品的情况需要进一步探讨。 2 l 硕士擘住论文 m a s t e r st h e s i s 第四章总结 本文以财务管理为研究重点，采用a b c 控制方法建立了超市主要商品的存贮 模型，它们是对传统的存贮论模型的改进。由于充分考虑到了各商品的市场销售特 点，它们能较好地应用于超市的库存管理，为超市的经营者提供一定的帮助，但是 这些模型主要缺点是计算复杂、不够直观，并且对历史数据的依赖性强，难以实现 实时动态控制。另外，这些模型中并未考虑到有变质期商品的存贮问题，而这对于 超市副食品类商品，变质期是一重要因素。对于易腐变质的商品可以根据距离过期 日的时间，对其价值建立分段函数；而且由于考虑了时间因素，我们还可以尝试用 动态规划的思想来求解其最优存贮策略。当然，在数学模型中考虑的影响因素越多， 模型的方案则越接近实际结果，但同时计算量也随之加大，因此我们应当运用计算 机及相关数学软件进行计算，使存贮模型的研究工作继续向实用、快捷的方向展开。 硕士学位论吏 b t a s t e r st h e s i s 参考文献 【1 】姜启源，谢金星，叶俊数学模型( 第三版) 高等教育出版社2 0 0 3 年 【2 】