（应用数学专业论文）非线性方程迭代法的收敛定理及收敛率估计.pdf

摘要 摘要 近年来，关于非线性增生算子方程迭代序列收敛性的问题已经得到了学者们的广。泛 研究，其中，m a n n 迭代和i s h i k a w a 迭代的研究成果最为突出。但是以往结沦的成立均 依赖于研究空间的特殊性质和较为严格的条件，且这些结论未对收敛率做进一一步的估 计。受此启发，本文提出了新的增生算子方程( 带误差的) 三重迭代法的强收敛定理， 并对其进行了收敛率估计。本文的结果扩大了以往局限的研究空间，放宽了传统的条件， 在更般的框架下完善和扩展了以往的相关结果，关于m a n n 迭代和i s h i k a w a 迭代的收 敛性定理均可作为本文结论的特例，同时本文的主要定理也可作为对单调增生算子理论 及不动点理论的补充和推广。 关键词强增生算子；强伪压缩映射；三重迭代；误差；收敛率估计 a b s t r a c c a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，t h ec o n v e r g e n c eo fi t e r a t i o np r o c e s s e sh a sb e e ns t u d i e de x t e n s i v e l yb y m a n ya u t h o r s ，i n c l u d i n gm a n nh e r a t i o n a n di s h i k a w ai t e r a t i o np r o c e s s e sa st h em o s t i m p o r t a n tc a s e s h o w e v e r , t h ep r e v i o u sc o n c l u s i o n sd e p e n do ns p e c i a lg e o m e t r i cp r o p e r t i e s a n dt h es t r i c tc o n d i t i o n s m o r e o v e r , t h o s er e s u l t sd on o tp r o v i d ec o n v e r g e n c er a t ee s t i m a t e i n s p i r e db yt h e s ef a c t s ，w es u g g e s tt h ef l e ws t r o n g l yc o n v e r g e n c et h e o r e m so fi t e r a t i o n m e t h o d sf o ra c c r e t i v eo p e r a t o re q u a t i o n sa n dg i v et h ec o n v e r g e n c er a t ee s t i m a t e q h er e s u l t s i nt h i sp a p e rr e l a xt h er e s t r i c t i o n so ft h ed i s c u s s e ds p a c ea n dl e s s e nt h ec o n d i t i o n s ，s o ，o u r r e s u l t si m p r o v ea n de x t e n dt h er e l e v a n tr e s u l t si nt h em o r eg e n e r a ls e t t i n gm a n ni t e r a t i o n a n di s h i k a w ai t e r a t i o nc a na l lb ev i e w e da ss p e c i a lc a s e so ft h et h e o r e m si nt h i sp a p e r o nt h e o t h e rh a n d ，w er e p r e s e n ta ne x t e n s i o na sw e l la sr e f i n e m e n to fn o n l i n e a ra c c r e t i v eo p e r a t o r t h e o r ys l i df i x e dp o i n tt h e o r y k e y w o r d ss t r o n g l y a c c r e t i v em a p p i n g ；s t r o n g l yp s e u d o c o n t r a t i v e m a p p i n g ；t h r e e s t e p t e r a t i o n ；e r r o r ；c o n v e r g e n c er a t ee s t i m a t e l i 河北大学 学位论文原刨性声明 奉1 l 、郑前声明： 所旱交的学位论文，足本人在导师指导r 进行的研究t 作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特g 加以标沣和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成 槊也4 ：包舍为获得河北大学或其他教育机构的学位或证所使用过的材料。与我一同t 作的同志 列本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 竹：各答名 口期：母年上爿上l 日 学位论文使用授权声明 本凡完舍了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门 ! t 【构逆定论丈的复印件和电子版，允许沦文被查阅和惜阅。学校可以公布论文的全部或部分内容， ”j 咀泛川影l f j 、缩印或其他复制手段保存论文。 奉学何沧史属于 ! 、保密口，在一一年月日解密后适用奉授权声明。 2 、不保密“。 ( 晴住以上相应方格内打“”) 作者签名 鼻桫， z 磁二日期：垡巫j 月j 丛百 导帅签名： 工曼愿r 期：上丝丘年厶月止同 第i 章引言 第1 章引言 11 增生算子方程迭代法的研究现状 1 9 6 7 年，b r o w d e r 【1 埽口k a t o p 首次独立引入了增生算子的概念，并且b r o w d e r 证明 了如下的一个基本结果：设r 是点上的局部l i p s c h i t z 增生算予，则初值问题 l d u ( t ) + r u ( t ) 一0 1 d t “仰一嘞 是i l 丁解的。增生算子的引入和这些早期基本结果的提出为研究b a n a c h 空间中的非线性 发展方程解的存在性问题开辟了新的途径。 自此，利用一重迭代和二重迭代方法来解决b a n a c h 空间中非线性增肆二算子方程的 问题受到了越来越多学者的关注，并一度成为国内外非线性泛函分析研究的焦点。 c h i d u m e i 、邓磊【5 邯1 等学者在此方向上都做过较为深入的研究，其中关于m a n n 迭代 和i s h i k a w a 迭代程式的研究成果最为突出。 1 9 9 5 年，关于非线性增生算子方程带误差的m a n n 迭代和i s h i k a w a 迭代程式被引入， 而后，x u y u g u a n g 7 1 、曾六川 8 1 等对此做了进一步的讨论和拓展。带误差的迭代程式的 引入为利用迭代程式解决非线性发展方程问题注入了新的生机。 近来，n o o r l 9 1 1 】在解决变分包含的逼近解问题中引入并分析了三重迭代方法，这些 三重迭代程式由g l o w i n s k i 和l et a l l e c t l 2 1 所提出的0 一程式演变而来。因为g l o w i n s k f 和1 et a l e c 曾利用这些三重程式解决了流体弹塑性问题、特征值问题，h a u b r u g e e t a l t 拧】在研究了这些三重程式之后，利用其得到了新的分解型算子，并由此解决了凸 函数的极小值问题、可分凸规划问题及变分不等式中的相关问题，所以，三重迭代程式 的作用和意义也随之昭示出来。 我们将在以往结论的基础上提出新的迭代方法，并对迭代法的强收敛定理提供收敛 率估计，同时在更为一般的条件f 对此研究方向进行更为深入的探讨。 河北大学理学硕士学位论文 1 2 三重迭代程式及收敛率估计问题的提出及其意义 近年来，众多作者已经对非线性增生算子方程迭代法的收敛性问题进行了广泛的研 究，其中，关于m a n n 迭代和i s h i k a w a 迭代的研究结果最为突出 1 4 , 1 4 - 1 8 】。而迭代法收 敛定理最直接的用途是求解b a n a c h 空间上的非线性算子方程和解决变分不等式的相关 问题。 1 9 8 9 年，g l o w i n s k i 和l et a l l e c 在研究两个极大单调算子和的零解问题时提出了 = 重迭代程式的雏形。自此，三重迭代方法在解决基础学科和应用学科的诸多问题中都 起到了相当重要的作用。n o o r 也曾提到，三重迭代比m a n n 迭代和i s h i k a w a 迭代起到了 更重要的作用，它是解决变分方程分解法的自然扩展，且在一定的条件f 由三重迭代还 可以得到更高的平行算法。 但是，目前关于b a n a c h 空问中非线性增生( 伪压缩) 算子方程的三重迭代方法研 究较少，且定理的成立均依赖于研究空间的特殊性质和较为严格的定理条件，以致定理 的应用范围也受到了一定的局限。受到以上事实的启发，本文在以往结论的基础上提出 了些新的三重迭代程式( 包括带误差的三重迭代) ，以此来解决b a n a c h 空间中非线性 增生算子方程解的逼近问题，并对所提出的迭代程式的收敛性进行分析，给出了一般的 收敛率估计，同时也对以往的相关结论进行适当的改进和扩充。 因为三重迭代程式较之一重迭代和二重迭代程式更具一般性和灵活性，所以三重迭 代方法的应用也更为广泛和深入。我们所得到韵结果将可以应用到变分不等式、数值分 析、可分凸规划、最优控制等诸多领域的研究当中，同时，本文的主要结论也可以看作 是对单调和增生算子理论及不动点理论的完善和推广。 1 3 本文研究的主要内容 本文研究的内容主要包括以下三个方面： ( 1 ) 在任意的实b a n a c h 空间中对非线性增生算子方程提出了( 带误差的) 三重迭代程 式，并对其进行了收敛性分析，得到了相应的强收敛定理。同时也对( 带误差的) l s h i k a w a 迭代、m a n n 迭代和强伪压缩映像的情况进行了讨论。 ( 2 ) 在任意的b m m c h 空间中，将( 1 ) 中结果进一步扩展，去掉了传统的限制条件 第1 牵引言 ( 1 i m c z 。= 0 ，l i m 成= 0 ，l i m y = 0 ) ，提出了新的( 带误差的) 三重迭代程式的强收敛定理， 同时也对( 带误差的) i s h i k a w a 迭代、m a n n 迭代和强伪压缩映像的情况进行了讨论。 ( 3 ) 对( 2 ) 中的各个强收敛定理均提出了收敛率估计。 河北大学理学硕士学位论文 第2 章预备知识 在本文中，我们处处假设为任意的实b a n a c h 空间，+ 是的共轭空间， ：m i i g i i 且i i i i = 1 1 4 ) 下面介绍在本文中所用到的概念和定理。 2 1 基本概念 定义2 1x 中具有定义域d ( r ) 与值域r ( t ) 的算子7 1 称为强增生的，如果对任意 z ，y d ( ? 1 ) ，存在j ( x y ) j ( x y ) 和一个常数0 女 1 ，使得 根据k a t o t 2 的引理1 1 ，上式等价于 i i x - y 9 - l l x y + r ( t - k 1 ) x - ( t m y j i f 特别地，t 称为增生的，若对任意的j ，j ，d ( t ) ，存在j ( x y ) j ( x y ) ，使得 ( z x 一砂，j ( x y ) ) 0 定义2 2x 中具有定义域d ( t ) 与值域r ( ，) 的算子r 称为强伪压缩映射，如果对 所有的x ，y d ( 7 ) ，存在_ ， 一y ) j ( x y ) 和一个常数0 k 1 ，使得： ( 7 k 一黟，1 ，( x y ) ) ( 1 一i ) i k y t l 2 特别地，t 称为伪压缩的，若对任意的z ，y j 9 ( r ) ，存在j ( x y ) j c x y ) ，使得： ( t x - t y ，j ( x y ) ) l x y 旷 ，是( 强) 伪压缩映射当且仅当，r 是( 强) 增生映射。 2 2 所用引理及定理 第2 章预备知识 定理2 1 若兀x 手是连续强增生算子，则7 映爿到z 上。即对每个x ，方 程强= 7 在并中有解。 定理2 2 2 设 、 阮 、 q 是三个非负实数列，且满足以下不等式关系 + l ( 1 一) + 以+ 吒 儿0 那么! 鲤q = o 。其中 o ，1 ) ，f 。= + c o ，_ c 佃并目氏= d ( o ) 。 n = on = o 定理2 3 1 2 1j 设 、 钆 、 巳 是三个非负实数列，且满足以下不等式关系 十1s ( 1 一f 。) + 阮+ c 。 拧0 那么l i r a a 。= 0 。其中 o ，1 ) ，= + m ， 一 n = o 以 佃o 蜘。 h = 0 河北大学理学硕士学位论文 第3 章任意实b a n a c h 中迭代程序的强收敛定理 3 1 带误差的迭代程序的强收敛定理 f 面我们在任意实b a n a c h 空间中证明增生算子方程三重迭代的强收敛定理。本章 的结果把以往相关定理的研究空间( 如：实一致光滑b a n c h 空问、实一致凸空间、i t i b e r t 空间) 扩展到任意实b a n a c h 空间，首次得出了在任意实b a n a c h 空间带误差和不带误差 的三重迭代的强收敛定理，并且对i s h i k a w a 迭代、m a n n 迭代和伪压缩映像的情况也进 行了具体的讨论。同时，本章也为第四章主要结果的证明作了重要的铺垫。 3 1 1 关于强增生算子方程逼近解的强收敛定理 定理3 1 设x 为任意实b a n a c h 空间，力爿斗x 为l i p s c h i t z 强增生算予，k 和 分别是t 的强增生系数与( ，一丁) 的l i p s c h i t z 系数。对于x ，序列 矗 ：。由以下带误 差的三重迭代程式定义： f x n + 1 = ( 1 一) + o t ( f + ( ，一r ) n ) + 蚝 y 。= ( 1 一尾) + 成( ，+ ( 丁) 乙) 十k 行0 【z n = ( 1 一以) 矗+ 儿( 厂+ ( ，一r ) 矗) + w n ( 3 1 ) 其中 ：。、 p 0 1 2 。和 以 ：。是 o ，1 】中的三个实序列， u n ) 二。、 匕) ：。和 ：。是中 的三个序列，且满足以下条件： ( 1 ) 溉o f n = o 矗跫成= o ，溉以= o ，乏= 0 0 ( 2 ) i t 。f f c o ，t l v 。l l k l x y l l 2 由s 的定义可得： ( ( ，一s ) x 一( ，一s ) y ，( x y ) ) 七1 防一y 旷( v x ，y x ) 进而有： ( ( ，一s 一 = ，) x 一( 一s 一七，) y ，( x y ) ) 0 ( v x ，y 。r ) 根据k a t o 2 1 可得，对任意x y x 和r o ，t a h 茈立： l i x - y l l - f i x y + r ( 1 - s - k i ) x 一( ，一s u ) y l l ( 3 2 ) 由( 31 ) 可得： 观察到 因此 x n = x 。“+ c k 一c t 。s , v , 一“。 = + l + ( “+ 一观一“。) 一妙。一“。 = ( 1 + c k ) “+ 口。( ，一s k ) x 。+ l 一( 1 一庀) a n x n + ( 2 一j i ) g f n 2 ( 一$ 0 ) + ( 岛+ l 一$ 0 ) 一 ( 2 一j j ) t 9 e n + l l u 。 x = ( 1 + ) x + + 口。( ，一s k ) x + 一( 1 - k ) a x + _ 一x + = ( 1 + c k ) ( _ + 】一工) + ( 0 【( ，一s k i ) x + 一( ，一s 一h ) x + 卜( 1 一尼) a ，( _ 一t + ) + ( 2 一七) ( k2 ( x n 一$ 0 ) + c k ( - 弱+ l 一匈厶) 一【( 2 一j i ) o r n + 1 “。 i x - x * l l 却蚓( x n + l - - x * ) 4 - 去 ( i - s - t ) x - ( i - s - k ) x 8 一( 1 - t ) 恢一* + 2 一女) 吒2 恢一s y 。l l 一i i s x 圹s y 。l ( 1 + ) k 一z + i i - ( 1 一女) 口n i l e - - x * 1 1 - ( 2 - k ) 2 恢一矾j f 一| l s k + 。一s h l ( 2 一女) a n + 1 1 1 1 - , 1 i 所以 河北大学理学硕士学位论文 i i x , , + , - x l l 墨掣i i x n - - x + 卜警慷，圳 + 去一s y 。l l + 堕畿o ( 1 一是) 4 x n - 4 + 警1 1 一s y o l l 十t 丢k 一观2 2 ) ”1 眠。 据( 31 ) 可得： 由( 31 ) ( 3 4 ) 可得 f 3 3 、 恢。( 1 一z n ) x o + y n s x n + 彳| | = 忪一r 。) ( x n - - x * ) + y 。( s x 。一融+ ) + w 。 ( 1 一n ) | | 矗- - x * 9 + 以i 矗一x + 1 1 1 1 1 + ( 三一1 ) 以川- - x * i i + h ( 3 4 ) 忱。| | = | | ( 卜成) k + 鼠酝+ 。l = 1 1 ( 1 一f 1 ) ( x o x + ) + p o ( s z n s x + ) 十k | | g l 一以) 4 k z 卜成三0 磊一x 。1 1 + 。1 1 ( 1 一以) l 矗一x + 忡f ll ( 1 一一+ 三一) | i _ 一x + 1 1 + 成三| | 0 + i i v 。l = 1 + ( 上一1 ) 成+ ( r 一上) 危心碓一x + i j + o l l l w o l l 十i 心1 l ( 3 5 ) i l x o 一跳| | = | i ( _ 一x + ) 一( s y o 一) 8 忙。0 + 三慨- - x * i l - 1 1 - - x * 卜q l + ( 三一1 ) 成+ ( r l ) p r oj l l x - 4 + r 成f | 嵋忙l i i k i 蔓 t + 上+ 上( 三一1 ) f l , + l 2 ( l 一1 ) 成以啦。一x + i + l 1 1 w u + lu v 。 i ( 36 ) 由f 34 ) 得 据( 3 7 ) 得； i i x s z 。h f ( 矗一x 卜( 瓯一) f | = 怫睁三8 乙。8 - l l x n - - x * 卜l 1 + ( 一1 ) 以】峙x + 卜三8 ) 1 + 三+ 上( 三一, , j l l x o x + i + l 1 1 w or i( 3 7 ) f i x 一y 。l l - - t t x 一成蹶一心0 - p i i _ 一s 乙l l + l k o i - g 1 + l + 三( 三一1 ) 以】成悻一x + i i + l 声o l l w 1 l + j k 。l l ( 3 8 ) 据( 3 1 ) 、( 3 6 ) 、( 3 7 ) 、( 3 8 ) 可得： 8 。r 观= k 。- y 。l i 蔓上l ( 1 一) 矗+ 昂o + “。 | | = 三0 矗一只+ ( $ o 矗) + “。f f l l j x , 一儿0 + l | j 母二一 l + t t l 1 l s 【( 1 + 上) 鼠十三( 一o , 民y j t l x 一x 叫+ f 成l | k 卜怫8 + l f l + 上) + 三( l o a p + l ( t - 1 ) 仃a z 。l l l x 一z + | | 十z 3 a p o f r w 1 l + c 。0 v o b l 1 u 。4 = 上( 1 + ) + ( 1 + l o , e + l 2 ( l 1 ) z f t + r f 三一1 ) , a o z + l 3 ( l 1 ) 成靠川矗工+ 卜上f k 8 + ( r + ) 慨忡( r 成+ r 属) j | 1 1 ( 3 9 ) 由( 3 。3 ) 、( 3 6 1 、( 3 9 ) 可得： l l x , , , - x l l 掣i x - x + i i 地叫2 k 一砜i + 瓯i l 瓯r 观( 2 t ) 口。+ l l l l u 。| | 1 + ( 1 一女) 口。1 ( 1 一把。2 ) k z l l + ( 2 k ) c e2 ( 1 + 三+ 三一1 ) 成+ f f ( l 1 ) 成以川_ 一x + r ( 2 一) 。2 尼1 | j 十三( 2 一女) 2 慨| j + 吒 三( 1 + l ) a 。+ 上( 1 + 三) 成+ r ( 1 ) a 。成+ r ( 一o p r + f ( 三一1 ) a 3 0 r 。蚶矗一# i 闻北大学理学硕士学位论文 + l o t 。慨忡( r 2 + 弛) 0 kj l + ( r 2 成十r 尼) 0 h ” ( 2 一k ) a 。+ l 川| j ( 1 一虎d 。) i i 工。一x i i + ( 1 + ) ( 2 一k + l ) + 1 a 。2 + 三( 1 十l ) c t 成十三( 一1 ) ( 2 一k + l ) a2 成 l 2 ( l 1 ) a 。成y 。+ e ( l 一1 ) ( 2 一k + 三) 2 成，。 i l _ j i i + 【l 十( 2 一k + 上) c 】l i h i l + l 十上( 2 一k + 上) 6 0 2 l l v 。l i + l 2 c z 成+ l 2 ( 2 一k + ) 口。2 成】0 1 叱l l a n = 1 1 耵x 0 t 。= k a 。 以= ( 1 + l ) ( 2 - k + 三) + l k 。2 + 三( 1 + 三) 口。属+ 三( 三一1 ) ( 2 一k + 三) 口。2 尼 + l 2 ( l 1 ) a ，8 ，+ l 2 ( l 一0 ( 2 一k + l 砸? 9 。y ， c 。= 1 十( 2 一女+ 上) 】 | i l + 【l + 三( 2 一k + l ) a 2 】| l v 。+ 。l 2 t z 。成+ i f ( 2 一女+ 三) 2 o 1 1 - i i 因为。【o ，1 ) 善k 。佃且吒2 。( ) n - - o 巳 o o ) ，所以 _ 二强收敛于，z = f f f j 唯一解，证毕。 在定理3 1 中，如果对所有的h 0 ，令k = 以= o ，那么我们就得到了关于带误差 的i s h i k a w a 迭代的强收敛定理。 定理3 2 设x 为任意实b a n a c h 空间，nx 斗z 为l i p s e h i t z 强增生算子，k 和上 分别是t 的强增生系数与( ，一r ) 的l i p s c h i t z 系数。对于z ，序列 _ 劬。由以下带 误差的l s h i k a w a 迭代程式定义： i x + 1 = ( 1 - a n ) x n + ( + ( ，一，) 一) + 7 2 n 1 只= ( 1 一级) “+ 成( 厂十( ，一t ) x o ) + v o h 0 其中 二。、 羼 ：。是【o ，1 】中的实序列， ) ：。、 h 二是j 中的序列，且满足以下条 件： ( 1 1 l i r a = o , l i m f t = o ，q = o 。 ( 2 ) l l i 卜c o ，1 1 8 = 。 那么序列 g o 2 。强收敛于，x = 厂的唯一解。 在定理3 1 中，如果对所有的n 2 0 ，令成= v n = = n = 0 ，那么我们就得到了关 第3 苹任蒽买b a n a c h 中迭代程序的强收敛定理 于带误差的m a n n 迭代的强收敛定理。 定理3 3 设爿为任意实b a n a c h 空间，ax 斗x 为l i p s c h i t z 强增生算子，k 和 分别是7 的强增生系数与( ，一7 1 ) 的l i p s c h i t z 系数。对于e x ，序列 矗 ：。由以下带 误差的m a n n 迭代程式定义： 矗+ 。= ( 1 一q ，) + ( 厂十( ，一，) j 0 ) + 甜。 h 0 其中 二是 o ，1 】中的实序列， = ：。是中的序列，且满足以下条件： o ) ! i m o r o = 0 ，= o 。 ( 2 ) 蚓卜m n = o 那么序列 矗 ：。强收敛于r x = ，的唯一解。 3 1 2 关于强伪压缩映像不动点的强收敛定理 定理3 4 设为任意实b a n a c h 空间，k 是x 的非空凸子集，k + k c k ， - o 墨为l i p s c h i t z 强伪压缩映像，x 为丁的唯一不动点， 和三分别是( 一，) 的 强增生系数与t 的l i p s c h i t z 系数。对于x ，序列 _ ) 二。由以下带误差的三重迭代程 式定义： j 矗+ l = ( 1 一) + 巩+ n = ( 1 一成) + 以以o + k ”0 【z n = ( 1 一以) + 一巩+ 其中 二。、 成) ：。和1 7 0 2 。是 o ，1 】中的三个实序列，f ) 二、h 二。和 二。是彪 中的三个序列，且满足以下条件： ( 1 ) 溉瓯。o - l i m 穰= o 。l i m n = 。，= m ( 2 ) e l l u 。 i o o ，e i t k i l 0 ，下式成立： i x - y l l - l l x y + r ( 1 - t 一肼扛一( ，一t 一盯抄川 证明的余下部分同定理3 1 类似。证毕。 在定理3 4 中，如果对所有的”0 ，令u = 以= 0 ，那么我们就得到了关于带误差 的l s h i k a w a 迭代的强收敛定理。 定理3 5 设爿为任意实b a n a c h 空间，足是x 的非空凸子集，世+ k c k ， nk _ k 为l i p s c h i t z 强伪压缩映像，x 为t 的唯一不动点， k 和l 分别是( ，一，) 的 强增生系数与t 的l i p s c h i t z 系数。对- f v x o ，序列 矗) 二。由以下带误差的i s h i k a w a 迭代程式定义： i “= ( 1 一) + 乃o + “。 l y n = ( 1 一以) + 成乃o + k 行0 其中f 蠢。、 鼠) ：。是 o ，1 】中的实序列， ：。， k ：。是置中的序列，且满足以下条 件： ( 1 ) l i m a = o ，熙成= o ，= 。 n = o ( 2 ) 0 0 ，z i i v 。l i 0 其中 2 。、 成 二。是【o ，1 中的实序列，且满足以下条件： ! 鳃2o ，! 受尾= o ，萎巩2 。 那么序列 ：。强收敛于丁x = 厂的唯一解。 在定理3 7 中，如果对所有的月0 ，令尾= 九= 0 ，那么我们就得到了关于不带误 差的m a n n 迭代的强收敛定理。 定理3 9 设爿为任意实b a n a c h 空间，兀x o 爿为l i p s c h i t z 强增生算予，k 和 分别是丁的强增生系数与( ，一r ) 的l i p s c h i t z 系数。对于x ，序列 “ ：。由以下m a n n 迭代程式定义： 矗+ 1 = ( 1 一c 0 ) + c k ( 厂+ ( ，一r ) ) 0 ) 胛0 其中 ) ：。是【o ，1 】中的实序列，且满足以下条件： ! i m o r = 0 z 。：。a n = 。 那么序列 吣i 。强收敛于r z = ，的唯一解。 3 2 2 关于强伪压缩映像不动点的强收敛定理 定理3 1 0 设z 为任意实b a n a c h 空间，k 是鼻的非空凸子集，k + k c k ， n 世_ k 为l i p s c h i t z 强伪压缩映像，x + 为r 的唯一不动点， t 和工分别是( ，一丁) 的 强增生系数与t 的l i p s c h i t z 系数。对于，序列 _ ) 二。由以下的三重迭代程式定 义： f x n + 。= ( 1 一) + 矾 儿= ( 1 一以) 矗+ 以t z ，? 0 【磊= ( 1 一n ) 矗+ 以巩 其中 、 岛 二。和 n ：。是【o ，1 】中的三个实序列，且满足以下条件： 第3 覃任蒽买b a n a c h 中邀代程序的强收敛定理 ! ! ! ! ! ! 曼曼曼曼! 曼曼曼曼曼鼍曼曼曼曼量曼曼量量鼍舅舅墨甚皇皇1 1 舅1 蔓尊皇奠篁皇皇邕寰舅舅喜曼曼蔓鲁曼邕曼曼皇曼曼! 舞量皇皇曼曼苎e 毫 l i r a 2o ，! 受成= o ，! 塑n 2o ，萎2 那么序列 x o 2 。强收敛于7 的唯一不动点。 在定理3 7 中，如果对所有的月0 ，令以= 0 ，那么我们就得到了关于不带误差的 i s h i k a w a 迭代的强收敛定理。 定理3 1 1 设* 为任意实b a n a c h 空间，茁是z 的非空凸子集，k + k c k ， k 斗k 为l i p s c h i t z 强伪压缩映像，x 为t 的难一不动点， 和上分别是( ，? 1 ) 的 强增生系数与t 的l i p s c h i t z 系数。对于肖，序列 二。由以下的i s h i k a w a 迭代程 式定义： i “= ( 1 一) 矗+ t y 。 【n = ( 1 一危) + 版t z h 0 其中 j 二。、 愿 ：。是 o ，l 】中的实序列，且满足以下条件： l i m , z _ 0 ，熙鼠= o ，善一 那么序列 矗 ：。强收敛于丁的唯一不动点。 在定理3 1 0 中，如果对所有的胛0 ，令屈= 以= 0 ，那么我们就得到了关于带误 差的m a n n 迭代的强收敛定理。 定理3 1 2 设鼻为任意实b a n a c h 空间，k 是z 的非空凸子集，k + k 匕k ， nk o k 为l i p s c h i t z 强伪压缩映像，x + 为，的唯一不动点， k 和l 分别是( ，丁) 的 强增生系数与t 的l i p s c h i t z 系数a 对于e ，序列 二由以下的m a n n 迭代程式定 义： x n + 】= ( 1 一) 矗+ 7 ) 0 门0 其中 ：。是( o ，l 忡的实序列，且满足以下条件： 嬲。o ，萎一 那么序列 _ 二强收敛予的唯一不动点。 河北大学理学硕士学位论文 第4 章任意实b a n a c h 空间中迭代程序收敛定理的收敛率估计 4 1 带误差的迭代程序的强收敛定理及收敛率估计 4 1 1 关于强增生算子方程逼近解的强收敛定理及收敛率估计 定理4 1 设x 为任意实b a n a c h 空间，! x j 爿为l i p s c h i t z 强增生算予，k 和 分别是7 的强增生系数与( ，一丁) 的l i p s c h i t z 系数。对于，序列 二。由以下带 误差的三重迭代程式定义： i “= ( 1 一) 矗+ ( ，+ ( ，一r ) ) + “。 n = ( 1 一允) + 鼠( ，+ ( ，一丁) 乙) + k ，z 0 i 毛= ( 1 一以) 矗+ 以( 厂+ ( ，一r ) 矗) + ( 4 1 ) 其中 二。、 p o 2 。和 n ) ：。是【o ，1 】中的三个实序列， ：。， 吒 和 ) ：。是 中的三个序列，且满足以下条件： ( 1 ) = m ，鼠 。 ( 2 ) z t l u 。0 0 0 ，0 k | | m ，m _ 0 。 ( 3 ) 对某个叩( o ，七) 及一切h 0 有 呦。嚣拦器一成 两阿m 两i n ( t l 面, k - 而) 丽， o 0 ，下式成立： l i x - y l l - i i x y + r 【( ，一s 材弦一u s 一村沙到( 4 t 2 ) 由( 4 1 ) 可得： x n = x n “+ o 【n x n c cn s y 一u n = 矗“+ 口n ( x n + l 十o l n x n 一母0 一) 一口。s y 一 = ( 1 + o t ) x + l + ( ，一s 一时) + l 一( 1 一) + ( 2 一七) 3 f n 2 ( _ 一$ 0 ) + c h ( s x + l 一5 k ) 【( 2 一i ) 口。+ 1 】材。 观察到： x = ( 1 + c t 。) z + + c ( ，一s 一 ，) z 一( 1 一k ) a 。x 因此 一工= ( 1 + d 。) ( _ + ，一z ) + 口。【( ，一s 一盘，) + l 一( ，一s - k 1 ) x + 卜( 1 一意) a 。( 瓦一x + ) + ( 2 一七) ( z n 2 ( _ 一5 眈) + 6 k ( 5 b ，i s k ) 一【( 2 一七) a 。+ l 】蹦。 河北大学理学硕士学位论文 所以 x 悄t 棚j b r x 计毒 ( i - s - k 1 ) x + 、- ( 1 - s - k 1 ) x | i 一( i - a ) k x 忆2 一) 2 k s y 。l l 一l 瓯r 既( 2 一t ) ( 1 + ) k ，一x 1 一膏) 怫一x 2 一 ) 2 n2 i l x o s y o l l a n i i s 。一s y 。i | 一 ( 2 一t ) c k + l lu u j i 据( 4 1 ) 可得 由( 4 。1 ) ( 4 4 ) 可得 i t ( 4 5 ) 可得 x 忙掣t l + ”警i i 扎一觇l + 丧一观盯等譬i i “i l s ( 1 - 鲁) 卜x + l i l 十口。” ” + 望二! 盗： l + 口 + 去一虢| | + ( 2 卅瓯圳i i x + | | = | l ( 1 喘) 靠+ y n 岛r n 十i = 忡一n ) ( _ 一x ) + r ( s x o s x ) + | j 蔓( 1 一以) 峙- - x * 1 1 + l y 。i l x n x + h i m 【1 + ( 一1 ) y 4 x o x t l + l l w 。l l f 4 3 1 ( 4 4 ) = 忡一成) 屯+ 属。+ 一x | | = 陋一以) ( 一x + ) + f 1 ( s z 。一s x ) + v 。6 q l 一以) 矗- - x * ”上以| | 毛一x + 卜怫0 ( 1 一成) 怫一x 卜碱( 卜以十l r ) l l x - x 卜l p o l l w r l + m = 1 + ( 上一1 ) f l 。+ ( 口一三) 只n 】4 矗一z i i + l p o1 1 w o l l + l l v j i ( 4 5 ) 18 第4 章任意实b a n a c h 中迭代程序的强收敛定理及收敛率估计 恢一瓯吲f ( 韩一x ) 一( 虢一s x + ) f f 忙- - x * ”慨。0 i k x ”上 1 + ( 上一1 ) 羼+ ( 上2 一) 尾扎州一x 卜尼| | 忡三慷f | 【1 + 三+ ( 一1 ) 孱+ l 2 ( l - 1 ) p o t 。 l l x - - x * r 孱| j 工怫1 1 ( 4 6 ) o j ( 4 4 ) n ： 恢一；( 一z ) 一( 一+ ) 8 = l l x - - x * 卜五l i z - x l l s f 吒一x + t l + l 1 + ( 一o r l l x 一x + i i + l i t w o l l 茎【l + + ( t - 1 ) r 。】一z + i i + q w o l i ( 4 7 ) 据( 4 7 ) 得 i i x 一y 1 l = l l p x 一成瓯一v o l l a l l , 一瓯l l + l k i l 兰 1 + + “三一1 ) 以】成峙一x l + l p t l w o l l + l ( 4 8 ) 据( 4 1 ) 、( 4 6 ) 、( 4 7 ) 、( 4 8 ) 可得 0 瓯rs y i | - 上慨圹虬 蔓上一c g n ) x n + 口n s y n + i , l n 一以0 = l i k 一儿+ ( 两。一x n ) + u 。0 l i i x o 一凡| | 十三1 忙魄一x 。l l + q 1 l l ( l + o f f 十三( 三一1 ) 孱以洲一x 卜f 成0 0 + 上| | | | + 己 ( 上+ 1 ) c b + l ( l - 1 ) g , f l 。+ l 2 ( l 1 ) ( k 晟以】l 一z 0 十f 成i l k l i + r 吼i m + l i i “。 | = ( 上( 三+ 1 ) 6 0 + l ( l + 1 ) 成+ r ( 三一1 ) c 0 砖+ f f ( l 一1 ) 芦：以+ r ( 一1 ) 鼠n 州矗- - x * i i + l i m + ( e d 。+ ) h ( r 成+ f 成) | i 心8 ( 4 9 ) 由( 4 3 ) 、( 4 6 ) 、( 4 9 ) 可得 9 河北大学理学硕士学位论文 i i x 。+ , - x l l ( 1 一是) o x 。- x i i + 与芝 i i _ 一虢i l + 去。瓯r 砜i “( 2 一k ) a 。+ 1 川训 划一是籽z 忙警 i + l + l ( 鼢讹叫鼽忙x ( 2 一k ) a 。2 1 + 吼配l l w o l l 十警 + 去 ( 三+ 1 ) 吒+ 三+ 1 ) 成+ 亭( 三一1 ) 屈+ r ( 三1 ) 成n + r ( 川) 羼圳_ 。i i 十去己m + 旦1 + o r 胁n 均m + 去( 如”成十e p 一) l l w i i + ( 2 k ) a 。+ l 咖。j | 1 一矗】卜x + + ( 2 - k + l ) 训