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类耦台p d e 在蚓像处理小的心用 巾文摘要 一类耦合p d e 在图像处理中的应用 中文摘要 本文通过对近期文献中一类常见的用于图像处理的能量泛函的深入分析、研 究，经过精确的汁算，并应用文献中对于离散i h 7 题的一种特殊处理法，对问题作 相应的简化，又根据文献f 2 1 提出的可用耦合方程简化求偏微分方程数值解的思想， 提出如下一类图像处理的偏微分方程模型一具有时滞的正则化技术和空间证则化 技术相结合的耦合系统模型： 象刮圳v 州i v ( 嵩) 柏v u i v u c ) i v w g 。 一卢i v “i ( 一i ) ， z r “，t 0 ， 象= 一孑1 ( ”一i v g 舢1 ) i xcr n , t o ， 札( z ，0 ) = j ( z ) ，z 静， u ( 茁，0 ) = i ( x ) ， z ”， 其中，( z ) 是待处理的图像，u 是处理后的图像，卢为一参数，丁- 为时间尺度参 数，g 一= ( 赤) e x p ( 一杀) p o ) 为高斯光滑核，g ( s ) 2 南( 耳 o ) ，c j , j 一常数 该问题是一类高度退化的非线性偏微分方程定解问题，我们不能指望其有占典 解，为此，我们引入偏微分方程的粘性解注意到以往文献中类似的退化方程粘性 解定义的不合理之处，我们作了合适的修正，给出了严格的粘性解定义此外，我 们应用经典偏微分方程理论知识及有关的偏微分方程粘性解的理论，详细地导出方 程解的一系列估计，也补上了以往相关文献中未证明的有关细节及不足，严格地证 明了耦合偏微分方程模型粘性解的存在性、唯一性和稳定性最后我们给出该模型 在图像处理中的实际处理效果从实验验证可以看到，该模型可将图像函数过去的 梯度信息传递到当前时刻，在保护特殊边缘( 角点、铰接点) 方面具有明显的优点 因此无论从理论上还是从实际应用上看，该模型都是一类有意义的、合理的且具有 很好处理效果的偏微分方程图像处理模型 关键词：偏微分方程，数字图像处理，图像恢复，各向异性扩散，时滞正则化技 术，粘性解 作者：吴静 指导教师：朱宁 a p p l i c a t i o n so fac o u p l e dp d em o d e li nh n a g ep r o c e s s i n g a p p l i c a t i o n so fac o u p l e dp d e m o d e l i ni m a g ep r o c e s s i n g a b s t r a c t t h i st h e s i sm a k e sa ni n d e p t hs t u d ya n da c c u r a t ec a l c u l a t i o no nat y p eo f e n e r g y f u n c t i o n a lu s e df o ri m a g ep r o c e s s i n gw h i c ho f t e na p p e a r e di nr e c e n tp a p e r so r li m a g e p r o c e s s i n gb a s e do np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b a s e do i las p e c i a lm e t h o df o rd i s cje 1 ep t o b l e mw h i c hi sp r o p o s e di n 【1 a n dt h ei d e ao f 【2 】o fu s i n gac o u p l e dp 1 ) et o s i m p l i f yt h en u m e r i c a li m p l e m e n t a t i o n ，t h i st h e s i sp r o p o s e dan e wp d em o d e lw h i c h i n c o r p o r a t e st i m e - d e l a yr e g u l a r i z a t i o na n dc u r v a t u r e b a s e dd i f f u s i o n o u rm o d e lt a k e s t h ef o l l o w i n gf o r m ： 象刊”) 1 w i d i v ( 品) 蝴v 珏书m i n 引v 出铷肛v g 翻 一z l v u l ( u 一，) ， 面o q v ：一；( 一i r a v g o 钏1 ) 瓦2 一孑【”一 引。1 ) ( z ，0 ) = ，( 。) ， v ( x ，0 ) = ，( z ) ， z r “，t 0 x 酞“t 0 z r “ x r “， w h e r ei ( x ) i st h ei m a g et ob ep r o c e s s e d ，札i si t ss m o o t h e dv e r s i o n ，归i saw e i g h t i n g p a r a m e e r ，7 _ i sat i m e - s c a l ef a c t 。r ，g 一= ( 嘉孑) 2e x p ( - q i z 口l 。- ) i sag a u s s i 。ns m 。t h i n g k e r n e lw i t h8p r e - s p 。1 6 。d 。，9 ( 8 ) 2 南w i t hp a r a m e t e rk 0 ，ci sac o n s t a l l t t h em o d e li s h i g h l yn o n l i n e a ra n dd e g e n e r a t e ，t h e r e f o r ew ec a n th o p ei th a sa s o l u t i o nw h i c hi sd i f f e r e n t i a li nt h ec l a s s i c a ls e n s e s ow ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no f s o c a l l e dv i s c o s i t ys o l u t i o n sw em a k eas u i t a b l er e v i s i o no ft h ed e f i n i t i o nw h i c hh a s b e e nu s e di nt h ep a s tp a p e r so nt h es i m i l a rp r o b l e m sa n dr e - d e f i n et h ev i s c o s i t ys o l u t i o n ss t r i c t l y m e a n w h i l e ，a p p l y i n gt h et h e o r yo fc l a s s i c a lp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n a n dv i s c o s i t ys o l u t i o n s ，as e r i e so fe s t i m a t i o n so fv i s c o s i t ys o l u t i o n sa r ed e r i v e d ，s o m e d e t a i l sa n dd e f i c i e n c i e sn o tp r o v e di nr e l e v a n tp a p e r sa r es u p p l e m e n t e da n dt h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n ds t a b i l i t yo ft h ev i s c o s i t ys o l u t i o no ft h ec o u p l e dp d em o d e l a r ep r o v e d f i n a l l yw eg i v et h ea c t u a lr e s u l t so fo u rm o d e li ni m a g ep r o c e s s i n g t h e e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a to u rm o d e lc a ni n c o r p o r a t et h ep a s ti n f o r m a t i o no ft h e g r a d i e n to fz , i n t ot h ed i f f u s i o np r o c e s sa n dh a sas u p e r i o r i t yi np r e s e r v i n gs h a r pe d g e s i i a p p l i c a t i o n so fac o u p l e dp d em o d e li ni m a g ep r o c e s s i n g a b s t r a c t a n df i n es t r u c t u r e s s oo u rm o d e li sam e a n i n g f u l ，r e a s o n a b l ea n de f f e c t i v ep d ei m a g e p r o c e s s i n gm o d e ln o to n l yi nt h e o r yb u ta l s oi np r a c t i c e k e y w o r d s ：p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( p d e ) ，d i g i t a li m a g ep r o c e s s i n g ，i m a g er e s t o r a l i o n ，a n i s o t r o p i cd i f f u s i o n ，t i m e d e l a yr e g u l a r i z a t i o n ，v i s c o s i t ys o l u t i o n s w r i t t e nb yw uj i n g s u p e r v i s e db yz h un i n g 够7 8 1 7 4 2 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独市进行研究t 作所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料。，对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承 担本声明的法律责任。 研究生签名： 墨整 日期：丛：竺： 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。，除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的拿部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位苏办理。 研究生签名： 导师签名： 墨盈l 叁i 日期：乜盘：望 日期：区垒 类梢合p d e 在图像处理中的心用辩l 审综述 第l 章综述 1 1数字图像处理的基本概念 在社会生产和科研活动中，人们要频繁地接触图像，如照片、图画、书报、医 学x 光片和卫星遥感图像等图像是人们认识客观世界的重要知识来源科学研究也 表明，人类所获的外界信息有7 0 是通过人的视觉系统，也就是通过图像获得的 所谓图像处理，就是对图像信息进行加工以满足人的视觉心理或应用需求的 行为图像处理的手段有光学方法和电子学( 数字) 方法前者已经有很长的发展历 史，从简单的光学滤波到现在的激光全息技术，光学理论已经同趋完善，而且处理 速度快，信息容量大，分辨率高，又很经济但是光学处理图像精度不够高，稳定 性差，操作不便从2 0 世纪6 0 年代起，随着电子技术和计算机技术的不断提高和普 及，数字图像处理进入高速发展时期所谓数字图像处理就是利用数字计算机或者 其他数字硬件，对从图像信息转换而得的电信号进行某些数学运算，以提高图像的 实用性目前数字图像处理技术已经广泛地应用于工业、医疗保健、航空航天、军 事等各个领域，在国民经济中发挥着越来越大的作用 数字图像处理的研究内容主要包括： 图像变换：通过图像的变换，改变图像的表示域及表示数据，给后继工作带 来极大方便例如，f o u r i e r 变换、小波变换对图像在频域中进行分析、处理，以获 取我们需要的信息；而使用离散余弦变换及离散小波变换则可对图像数据进行压 缩，从而便于图像传输和存储 图像增强：图像在生产、传输过程中往往会失真，所得图像和原图像有某种 程度差别人们可以估计出使图像降质的一些可能原因，针对这些原因采取简单易 行的方法，改善图像质量 图像分析：为了有效地研究和分析图像，往往需要对给定的图像及己分割的 图像区域用更为简单明确的数值、符号或图形来表示这些按一定的概念和公式从 原始图像中提取出来的数值、符号或图形反映原图像的重要信息及原图像的主要特 征 图像压缩：多媒体和互联网的发展，使得图像的传输越来越重要为了减少 传输图像时所需花费的代价，必须采用合适的方法对图像进行压缩和编码，以便于 图像的传输和存储 图像重建：图像的重建起源于c t 技术的发展，是门新兴的数字图像处理 技术，主要是利用采集的数据来重建出图像图像重建的主要算法有代数法、迭代 一类描台p d e 在图像处理i r i 的应用 筇【审综述 法、f o u r i e r 反投影法和使用最广泛的卷积反投影法等 模式识别：模式识别也是数字图像处理的一个新兴的研究方向，其研究的l j 的是构造自动处理某些信息的机器系统，以代替人完成分类和辨识的任务当今的 模式识别方法通常有3 种：统计识别法、句法结构模式识别法和模糊识别法目前应 用厂泛的文字识别( o c r ) 、指纹识别和条形码技术就是应用模式识别技术开发出来 的 1 2偏微分方程与图像处理 出于计算机硬件和处理速度性能的大大提高，图像处理技术的发展也越来越 快，在计算机视觉和图像处理的应用领域，对于图像( 信息) 处理技术的要求也越来 越高，如从低层次的图像去噪、图像分割到高层次的图像分析、模式识别、目标跟 踪等，都需要不断地寻求一些新的处理方法来满足日盏发展的对于图像处理的技术 要求 将偏微分方程( p d e ) 运用于图像处理的想法可追溯到图像处理起步的早期，而 其得到广泛关注并成为一研究热点则始于八十年代k o e n d e r i n k 3 、w i t k i n 4 1 的工作 以及这一领域最有影响的p e r o n a 和m a l i k 5 的工作随着近代科学技术的迅速发展， 数学特别是偏微分方程所起的作用越来越大，新的问题不断涌现，如物理中的液晶 和超导方程、金融中的随机微分方程等等而用偏微分方程现代理论来建立图像处 理模型、指导离散过程与实际计算越来越受到理论和应用专家的重视，也展现了偏 微分方程在图像处理领域强大的生命力和巨大的应用前景 用偏微分方程处理图像的方法有其自身的优越性：首先，偏微分方程是连续的 模型，离散的滤波表现为连续的微分算子，因而使得网格的划分、局部非线性滤波 分析易于实现；其次，偏微分方程使得图像处理方法的合成十分自然；最后，偏微 分方程方法建立在坚实的理论基础上，并具有一定的稳定性，且可根据实际需要来 建立各种类型偏微分方程的模型，而灵活多样的数值方案也给图像恢复方程的数值 计算以极大的帮助 1 3 选题背景 近来，基于偏微分方程和几何曲率流驱动的图像分析与处理越来越成为研究 关注的热点我们考虑从观测的噪声数据j 恢复原始图像u 的一般性问题设，定义 在r 2 中的矩形q 上，在图像恢复计算的应用中，通常未知图像缸与观测数据，具有关 2 类耦合p d e 在图像处理巾的应用 筇1 章综述 系，= + n ，其中n 为附加的高斯白噪声我们需要通过，来重构u 最简单的模型 是f r i t s c h f 6 提出的线性扩散过滤模型： “= d i v ( g ( 1 v 2 ) v “) 其巾 “w j 2 卜符零刈卜 l v ，l 的作用是边缘检测，图像的边缘处- i w l 较大，j j g ( p v l l 2 ) 较小，扩散慢，从而对 图像的边缘影响小该模型的缺点在于由于噪音的影响，会出现大量不相关联的极 大梯度模，在定位边缘时会出现虚假边缘点 为此，p e r o n a 和m a l i k 5 对边缘检测理论提出重要改进，他们在1 9 8 7 年提出了历 史上第一个非线性扩散过滤模型： 毗= d i v ( g ( 1 v u l ) v u ) ，乱( o ) = i ，( 1 2 ) 其中 9 ( s ) 2 南( a o 为参数) - 该模型允许根据图像梯度模大小实现有选择的扩散磨光，在边缘处实行弱光滑以保 护重要信息然而该模型仍存在严重缺陷：一方面，当初始图像，被噪声严重污染 时，i w l 大幅度振荡，进而l v u l 大幅度振荡，会导致大量虚假边缘的出现：另一方 面，模型方程本身是不适定的问题 继上述模型被提出之后，又有许多非线性扩散模型被提出一个重要的突破就 是a l v a r e z l i o n s m o r e l 7 提出的基于曲率同质扩散方法，该方法所使用的模型如下： u 删( v g * u ) l v u l d i v ( 嵩) ， ( 1 3 ) 其中9 ( v g 一+ u ) 2 = f 司可锄，v 表示卷积运算，k o 为参数该模型使 得函数“的水平曲线沿着垂直于v u 的方向a g ( v a 。+ u ) 速度扩散易见，图像在边 缘( 梯度模较大) 邻域实行适宜的弱光滑，对边缘点本身实行较小程度的光滑，而对 其它区域实行强光滑 除了上述的各向异性的扩散模型之外，变分方法也有效地应用于噪音图像的重 构中r u d i ne ta 1 【8 】提出的全变分方法的模型是求下列最优化问题： m i n i m i z el i v “ 3 f 1 4 1 类耦合p d e 在图像处理i i - 的府用筇l 章综述 其中 z “= 上jz | “刈2 卸 该问题自然地与下列非约束问题相联系： m i n i m i z e 上i v u i + ；l u 邛( 1 5 ) 为了达到选择性光滑，s t r o n g 年d c h a n 9 1 ，s t r o n g 1 0 l 改进了上面的模型，提出空间选 择性仝变差方法该方法最优化对应的能量泛函，得到下列变分问题： e ( “) = m ! n ( 。) i v ”i + ? 疗- i u 一1 2 ， ( 16 ) 其中，n ( z ) 是依赖于空间变量的参数，控制着对局部的光滑化程度它的选 择基于图像的特征和噪声水平，例如在接近边界处取为o ，在光滑区域处取 为1 ( 1 6 ) 的e u l e 卜l a g r a n g e 方程为： d i v ( 吣) l v v u u l ) 一卢( u - - 0 = 。 ( 1 7 ) 相应的发展方程为： u ( z ，0 ) a 然后取 n 0 ) = g ( v g 。 u ) 1 + k 固g ：；礴 ( 1 8 ) 其中g 。( 。) = ；e x p r 、_ 4 i x 矿l ，、，k o ，口 o 为参数 结合空间选择性全变差方法 模型( 1 8 ) 和基于曲率流的各向异性扩散模型( 1 3 ) ，c h e n v e m u r i w a n g 1 1 对变分问 题( 1 6 ) 作进一步的分析、计算，略去一些复杂项，提出下面的模型： 毗= i w l d l v ( 嘶) l v 、，。u i ) 一卢l w l ( u 叫， u ( 。，0 ) = ，( z ) ， z n ， ( 1 9 ) 宴：0 ， o na n ， 4 一 u 卢 卜亿m 堕叫蚝 眦 z口 ，一卜 v z d ， 0 ：茎塑笪! 里望生鬯堡竺型! ：塑坐旦塑! 堇堡垄 其忆叱。) = - 胛g 。川= 再可南砑，g 水) = ；e x p ( 一朵) ，k 。，a ( j 为参数，b o s e $ 【_ l c h e a 2 1 又引进具有时滞的正则化技术，提出新的耦合系统模型： 害一i v 训d i v ( 尚) 小l v 州川) “1 掣：l v g 。一r 2 ) ， 具有绝缘边界和初始条什： q 圳) = m ) ，笔= o ，巾，o ) = m ) ，z q ，t o ( 1 1 1 ) 其中 取代了( 1 9 ) 中的v g ，+ “项，并由耦合方程给出该技术将图像函数“过去的梯 度信息传递到当前时刻数值分析结果表明耦合模型在保护特殊边缘( 角点、铰接 点) 具有明显的优点 本文将沿用这一思想，并结合文献【1 1 中对于离散问题的一种特殊处理法，讨论 耦合系统模型： 鱼0 - 7 1 = g ( 蚓v 删iv ( 品) 吼 一卢i v u l ( u 一，) ， 象= 一( ”一i v a m 札( z ，0 ) = ，( 。) ， ”( z ，0 ) = ，( z ) ， v u i v u l m i n c ，l v 让f ( ) ) 十v g ， o 舯，t 0 ， z 瑕”， 0 ， z r “， x r ”， 其中c 为一常数我们将证明该模型解的存在唯一性问题，并给出应用于实际图像的 例子 本文的各章安排如下：第一章为综述，介绍图像处理的一些基本概念以及偏微 分方程在图像处理领域的研究发展历程，阐述偏微分方程应用于图像处理的优越 性，说明偏微分方程为图像处理提供扎实的理论基础，并给图像处理的不同分支以 有机的结合和联系；第二章是图像处理方程的数学基础，对我们的模型进行推导， 并结合经典偏微分方程理论和粘性解理论进行解的存在性、唯一性和稳定性研究： 第三章是在第二章的基础上，给出了具体的数值算法，并给出应用于实际图像的例 子；第四章总结了全文的工作、创新点和理论、实际意义，并指出今后进一步的研 究方向 5 兰塑墅量里塑兰兰塑堕竺塑：! ! ! 塑 笙! 童望堡竺些查矍塑墼堂茎些 第2 章 图像处理方程的数学基础 2 1 模型的导出 图像处理的准则往往是构造一个能量泛函，求出它的极小解，就是新的处理过 的l 划像我们记 一，弘，勘卜小) 2 再嘉，k 。肌= 鲁， g o = ( 熹甩x p ( 一黔一 o 锚笛s t r o n g 平1 c h a n 9 提出的模型( 1 6 ) 以及b o s e 和c h e n 2 】讨论的耦合系统模型( 11 0 1 中 函数9 的取法，我们考虑如下常见的能量泛函： e ( 钍) = l 【9 ( v g 。t 锃) i v t 毒l + 声( 乱一) 2 d x ，f 2 1 1 ， 一一 当e ( 札) = r 啦ne ( 鲫) 时，对”曙( f 2 ) 及任意的r ，考虑函数 州= 曰( 珏+ e ) 2 以1 9c v a o + ( n + e 目) ) f v ( “+ 刊f + 声( “+ e u 一矿j 如 ( 2 ，2 ) 在e = 0 处取得极小，因此 州刮矿乳。 = l g ( v g o * u ) 等叩让f n ”( 卅2 脚卅。k ( 2 3 ) 丽在q = r n 时有 胁喜虮 ( g 矿恤2 zf v 札噻肌 z g “m 州y k 2 上咖， 上i v 乱i 晰刊d z h 2 知，噻上吲，如】匆协。、 2 上叱) ( 1 = 1i v 出) 蛾h 。；”( 可) ( f v “1 9 ) v g 一】d v = l 。( 。) f ( i v “tv g 。 d z ， , 1 1 2 。类耦合p d e 往图像处理中的应用 第2 章图像处理方棵的数学基础 所以当t z c 2 f 时有 f ) e l 跳l 。：o 0 d i v ( g ( v g o * u ) 嵩) 卜v u 咖v g 一 ”删( “ m u 的任蒽性得 一d i v ( g ( v g 。+ “) f v v u 。1 ) + ( v u 9 7 ) * v g o + 2 卢( u 一，) = 。 ( 26 ) 从而 吲v 鼢刚i v ( 呙) 讪( v g 剁) 晶+ ( 1 w f m 阱2 肌卅= o 7 ) 即 胛劬u ) i v u v ( 呙) + v 卯g 刑) 吼一i v u 似i v u l g ) ；v 刨铆l v u 卅= 。 ( 28 ) 在模型( 2 8 ) 中，由于g ( v g ，+ u ) 的存在，边缘检测依赖于已被光滑化的图像的 梯度，故图像中重要的边缘，特别是角点和铰接点表现出明显的圆滑化基于以上 考虑，我们试图在图像的光滑过程中不与g a u s s 核做卷积，于是引进具有时滞的正则 化技术时滞正则化的想法早在c o t t e r 和a y y a d i 1 2 的模型中就有所体现与基于同 质扩散模型不同，后者的扩散是由图像的几何性质决定的，m 1 2 1c 0 的模型的扩散是 通过将一个扩散张量加入方程中实现的c o t t e t 秉i a y y a d i 对矩阵( v u l ) ( v u l ) ? 实施 了时滞正则化，并在扩散方程中使用合成矩阵作为扩散张量三( u ) ： 窑_ d i v ( 印“) 吼) ( 2 9 ) 这样，该张量就控制扩散沿v u 垂直方向进行通过对( v u l ) ( v “j ) 7 和( v u ) ( v “) 这 两个矩阵的时滞正则化进行适当的结合，方程( 2 9 ) 就能在同质区域上同时沿平行 于v u 和垂直于v u 的两个方向上扩散，而在边缘处仅沿垂直于v u 的方向扩散由 于方程( 2 8 ) 是沿垂直于v “的方向扩散的，所以我们试图对i v “i 实行时滞正则化，并 与空间正则化相结合，从而在有可能是边缘的地方减少扩散具体实现方法：我们 用9 ( u ) = 南来代替g ( v g 。+ u ) ，其中 为方程丁镑+ u = l v 田t “i 的解 7 5 0 2 h r 0 ， 类耦合p d e 在图像处理中的应用 第2 章图像处理方稃的数学基础 2 2 模型的简化 在这一部分我们用，( ) 来表示原始图像，用u ( 。) 来表示处理后的图像考虑下 面的耦合系统模型： 瓦o u 刊”) t v u i 如( 嵩) m 一卢i v “i ( u i ) ， 甓= 一孑1 ( w i r a ，叫) ， u ( z ，0 ) = i ( x ) ， v ( x ，0 ) = i ( x ) ， v u l w l ( i w l g ( ) ) + v g 。 z n ，t 0 ，f a l z n ， 0 ，f b ) ( 21 0 ) z n ， z n ， 其中，( 。) 是q 上的l i p s c l l i t z 连续的有界函数，g 一( ) = 4 拓e x p ( 一貉) 为g a u s s 光滑 核，r 为时间尺度参数，9 ( s ) = 南( o ) 关于( 2 1 0 a ) 式中的有关项，我们有如下的解释： ( 1 ) i v u i d i v ( 斋击) 为退化扩散项，它使得让在垂直于v 让的方向上扩散，而 在v u 的方向上不扩散 ( 2 ) g ( ) 用于边缘检测，口为光滑非增函数，且9 ( o ) = 1 ，g ( x ) 0 ，a ( x ) _ 0 ( 当茁_ 。o ) 它使得函数u 的水平曲线沿着垂直于v u 的方向以9 ( ) 速度扩散图像 在边缘( 梯度模较大) 邻域实行适宜的弱光滑，对边缘点本身实行较小程度的光滑， 而对其它区域实行强光滑 ( 3 ) v g ( v ) - v u 为边缘附近的反应项或双曲项，这一项允许了发展的不连续性， 该不连续性预示着物体边缘的存在这一项会引起激波的产生，有助于边缘保护 ( 4 ) 项( u 一，) 使得稳定解u 为初值图像珀q 一个逼近，从而解决了迭代次数的问 题 ( 5 ) 时间t 为尺度参数 上述模型为各向异性的非线性扩散与具有时滞的正则化技术的结合各向异性 的非线性扩散对边缘的检测比较精确，在图像处理中有明显的效果，故经常使用； 而具有时滞的正则化技术将迭代过程中的每一步图像的信息传到下一步，故从图像 本身来说，在光滑过程中选其作为扩散系数比选g a u s s i a n 过滤的效果更好，这已从 高噪音图像的降噪效果得到了验证我们的模型最大的优点就在于此， 为了方便讨论，不妨假设仃= 卢= k = r = 1 ，设q = 丌 0 ，1 是黔中的矩形 对，( z ) 作反射延拓，使，( 。l ，0 2 ，z 。) = i ( - z 1 ，x 2 ，一，z 。) = ，( z 1 ，一x 2 ，一，z 。) = 8 一类耦合p d e 在图像处理r l 的应用第2 章图像处理方稃的数学基础 = ( z ，z 。，一：f 。) 然后关_ j 一各空州变量作周期延拓成孵上的以2 为周期 的l i p s c l 、i 化连续的有界函数，仍记为( ) m 丁我们提出的模型是处理离散问题的数 学模型，注意到离散问题的特点，也为了l 叫题研究简单起见，根据 1 j 中的想浊，我 们转而考虑以下模型： 象刊”) l w i m ( 品) m v u 一卢l v u l ( u i ) ， 霉：一一f v g 。叫) ， u ( 。，0 ) = i ( x ) ， ”( z ，0 ) = ，( z ) ， 陔模型可进一步转化为 筹= 出) n j ( v u ) u 。，+ 扒训v ” - i w l ( u 一，1 ， 象= 一；( 叫v “m u ( z ，0 ) = i ( x ) ， u ( z ，0 ) = i ( x ) ， j v “i 【r a i n c ，l v u l g 协) ) + v 岛】 zer “，t 0 ， z 时， 0 ， ( 21 1 ) ze 碾“， z r “， v u 卜i x t u l i n i n v u i 鲁) 崛 。e p ，t 0 ， ( a ) zer “，t 0 ， ( b ) ( 2 1 2 ) 茁贰“， z 豫“ 其中g ( 。) 2 骄1e x p ( 一譬) ，9 ( ”) 2 卉，( p ) = 曲一鬻，p 眠c 为一 正常数在本文中利用了双重指标求和的约定 由于方程( 2 ，1 2 a ) 是退化的和拟线性的发展方程，而且不满足一致椭圆性条件， 不熊期望它有古典解。为讨论其解的存在性，我们对模型进行光滑化，构造以下的 逼近问题： 筹叫n 玉( v 坛一9 1 州v u 十g 。，l b 。( v u 5 ) ( 札5 一5 ) ， 瓦o v = 一；扣- j i v g ，硝i ) ， 札。( z ，0 ) = 。( z ) ， v ( x ，0 ) = j 。( z ) ， v 叫硝( v “5 ) 卜渺( v 叫筹) zer n ，t 0 ， ( a ) z r “，t 0 ， ( 6 ) ( 2 - 1 3 ) o r “， x r “ 其中o e 0 1 如果对任意的c 2 ( r ”r ) ，若札一妒在( z o ，t o ) 时x 0 、丁】耿得极大值， 贝 j 当v 曲( 。o ，t o ) o 时有 筹( t 。) 一9 ( ”( ) ) n 。( v 毋( 。) ) 曲。，( t 。) 一口7 ( t j ( z o ，t o ) ) v u ( z o t o ) - v 咖( z o ，t o ) 1 + i v 西( 。，知) l 。i 。 。，l v ( 。，t 。) i 望掣) + g 。， 2 - 1 7 + | v ( z o ，t o ) iu 一州x 0 ，t o ) o ； 当v 西( z o ，t o ) = 0 时有 箬( 。) 一目( ”( 孤“) ) l i m 。s 。u p 【n 玎( p ) 蠊( 如) o ； ( 21 8 ) 同时( z ，0 ) i ( x ) ，z 础，则称u ( z ，t ) 是方程( 21 2 a b ) 的粘性下解，其中 满 足( 2 1 2 b ) ； 2 如果对任意的c 2 ( 船r ) ，若“一咖在( 跏，t o ) r ” 0 ，t 取得极小值， 贝0 当v ( z o ，t o ) o 时有 警( 如) 一9 ( u ( 如) ) 。巧( v 咖( 如) ) 妒。，( 南) 一v ( x o ，t o ) ) v v ( z o ，t o ) v 妒( 黝，t o ) ) + i v 妒( z 。，t 。) i m i n 。，| v 毋( z 。，t 。) i 望掣) + g 。 2 1 9 + i v 妒( z o ，t o ) 1 ( t 一j ) ( 。o ，t o ) 0 ； 当v 咖( z o ，t o ) = 0 时有 警( 钔一f ( ( 如) ) l i m i n f 。妇( p ) 虹q ( 如) 】o ； ( 2 删 同时u ( z ，0 ) ( 。) ，z 础，则称u ( z ，t ) 是方程( 2 1 2 a 一6 ) 的粘性上解，其中 满 足f 2 1 2 b ) ； 3 若函数u g ( r “x 【0 ，t ) 既是粘性上解，又是粘性下解，则称u ( z ，z ) 是方 程( 2 1 2 a b ) 的粘性解 注记：以往的文献对粘性解的定义中，当v 妒( 黝，t o ) = o 时取极限的过程均为 1 1 篆穷p 铂，p ) 氟，( 。o ，南) 和l i ；身o 巧( p ) 九川x o , t o ) ，口+ uy t ” 1 1 娄耦合p d e 在图像处理中的应用 筇2 章图像处理方稃的数学基础 在这样的表达式中人们会以为此式表示 陋po ”( p ) z ，x 0 ) t o ) 和 1 i r a ，+ i 。n fn u ( p ) 】咖x l x j ( z o ，幻) p - 4 ) p ” 这样粘性解的存在性无法证明，为此我们做了修正，改为： li尝t-，(p)撕，to)im删i10 - ( j ) ) 妒( z 。，m o _ p 显然两者是不同的，而证明的结果仅能做到厉者 下面是粘性解的一个基本定理 引理2 1 ( 参见 1 3 ) 设。u s c ( ( o ，t ) x 哦) ，哦是一个r 肌的一个局部紧子集，其 中i = 1 ，2 ，批是自然数设毋是定义于( o ，t ) q 1 上的开区域上的 函数，：( t ，x 1 ，辄) 斗( t ，。v 一，巩) 关于t 一阶连续可微，关于( 茁1 ，z 女) q l x q k 二阶连续可微设w ( t ，z ，x k ) = u l ( t ，z 1 ) + u 2 ( t ，1 2 ) + - - u k ( t ，z k ) 一 曲 ，。l ，- ，z 女) 在( t 牙l ，雪2 ，孟 ) ( 0 ，t ) q l n 女取得极大值，即u 7 0 ，。1 ，：z ) 训( t 互l ，峦2 ，氟) ，对任意的0 0 ，存在g ，使得：b ：c ，当( 6 。，q i ，x i ) 培+ ：( t ，x i ) ，k 一面i4 - l t 一叫 r ，h ( t ，孔) j + + i i x t | | m 则对每一个e 0 ，有x i s 肌( 批阶的对称矩阵) ， 使得： 。；i ，一。；+ i i a m ，f1 1 0 ( i i i ) b l + b 2 + + k = 也( t 雪1 ，孟2 ，圣女) 其中a = d 。咖( t 牙l ，牙2 ，牙k ) 2 4 1 解的有界性 2 4先验估计 定理2 2 若，在r ”t - 是l i p s c h i t z 连续的，且对任意的t 【0 ，o o ) ，若u 5 c ( s “x 0 ，t 】) n 工”( o ，t ；w 1 , 0 0 ( 础) ) 为逼近问题( 2 1 3 ) 的解，则成立以下的不等式： 罾6 札絮7 8 1 2 ( 22 1 ) h 必 蟊 “ 暇 a 0 ) ，则西 c 2 ( r “r ) 设? ，一曲在( z o ，t o ) 点取到极大值，则有v 咖( z u ，t o ) = 0 ，i z i i i ! t 。：0 若不然，没t 。 0 ，由于旷是粘性解，由定义得筹( z 。，o 这与等e6 o 矛盾故u 一s u p ( 5 一s u p l 6 ) 0 ，即得2 ，s u p ，+ 6 t 一 同理，设咖( z ，) = i 船n f ，一d t ( d o ) 所以有噼，一5 t u 6 s u p r4 - d t 舭 、 、r n 2 4 2 解的梯度估计 定理2 3 若u 8 c 。( r “碾+ ) 为问题 ) v v 可以证明t ，i n t ，5 t 琏” 令6 _ o ，即得谣i p 旷i 曼i ) 5 口 z 腿” 之解，则对于任意的t 【o ，邪，有| | v u 5 ( ，t ) l i p ( r n ) 国，其中不等号一致的成 立，c 仅与，( z ) 、t 有关 证明：由定t t 2 2 - 2 的证明，可得对任意的( z ，t ) r “【o ，o 。) ，i u ex ，t ) i m ，这 里m 0 ，是一个仅依赖于朋日常数 对( 2 2 2 0 ) 式两边对z k 求导，然后两边同时乘以2 u 氛，并对求和，得到 = 2 9 “( ) - 口0 ( v u 6 ) u ：一钍+ 2 9 “( ) v v v u 5 k 。+ 2 9 6 如) v 。v u 5 “；。 一2 9 5 ( u ) 噶( v u 8 ) u e u sq 一2 m i n c ，酽( v u 5 ) 筹) + g 。m v u e ) “ 一2 b 8 ( v u 5 ) ( u 氛一i 。e 。) u 氛 1 t 型2 4 对任意的郴介矩阵a 、b ，成立 i t r ( a 7 s ) i 2 t r ( a 7 a ) t r ( b t b ) 1 3 ( 2 2 3 ) 勉 ， 堑斟 吖 扩 k 仉 n n t 、， n 旷 r 可 叮 z 一旷v 类耦合p d e 在图像处理中的应用 筇2 章图像处理方程的数学基础 其中a 7 是a 的共轭转置矩阵，7 1 t ( a ) 表示矩阵4 的迹等号成立当且仅当j 4 、8 是实 钮阵且a = a b ，其中0 _ 是实数当a 、b 是实对称矩阵或h e r r n i t e 矩阵时，有 0 l t j ，( a m l 2 t r ( 4 2 ) 丁r ( b 2 ) ( 22 4 ) 现由于a 、b 是实对称矩阵，向闷a 0 ，i 到此仔任实对称矩阵g ，便a cc 利用上面的结论可得： i t r ( a b ) 2 = 1 1 1 r ( g g b ) 1 2 t r ( c - c ) r r ( ( g b ) tg b ) f 2 2 5 1 = t r ( o c ) t r ( b r c c b ) = t r ( a ) t r ( b a b ) 7 由旷( ”) 5 奇赤+ 。可得： 氏烈”) = 西辛街予，氏以”卜可南甲( 如一丁4 + v i v j 。， 故 旷7 ( ”) 1 2 旷( ”) ，旷”( ”) i c g 。( ”) ( e 为与n 有关的一个常数) 现在来计算 ，= 2 9 “( ) u z 。0 ( v 札8 ) u ；u = ( 旷7 ( v m j ( w 5 ) “：帕) ( 2 如。u 。e 。) 6 ( 旷( ”) ) 2 吲v “5 ) u ；而】2 + 去( 2 “扩 设a = ( 噶( v 5 )