（概率论与数理统计专业论文）随机环境中的随机游动的完全收敛性.pdf

摘要 概率论是研究随机现象的规律性的科学，它在自然科学、技术科学和社会科学中都 有广泛的应用概率极限理论是概率论的重要研究方向之i 对于概率极限理论，收敛性的讨论是核心问题，概率论中有一系列收敛的概念，包括 依概率收敛、依分布收敛、几乎必然收敛等，本文研究了随机环境中的k 锱t e n - s p i t z e r 随 机游动的完全收敛性 本文在前人研究的基础上讨论了随机环境中的随机游动的完全收敛性我们的主要 工作是将完全收敛的概念运用到随机环境中的随机游动中。我们在较弱的条件限制下。证 明了随机环境中的随机游动的完全收敛性 本文共有三个章节第一章中介绍了随机环境中的随机游动的概念及研究成果，并介 绍了慢变化函数的定义，一些定理的证明所用到的性质及不等式；第二章是本文的核心， 我们在较弱的条件限制下在定理2 1 1 、定理2 1 2 中证明了随机环境中的随机游动的完 全收敛性，并给出了相应的推论，在定理的证明过程中使用了截尾的方法；第三章在定 理3 1 1 中证明了有关阶的估计，可以用来验证定理2 1 1 、定理2 1 2 的条件最后，结 合定理3 1 1 作为定理2 1 1 、定理2 1 2 的应用，我们给出了定理3 1 2 定理3 1 3 关键词：随机环境中的随机游动、慢变化函数、完全收敛、强大数定律 a bs t r a c t t h e o 巧o fp r o b a b i h t yi 8as c i e n c eo fs t u d 妒n gr e g u l a u r i t yo fr a n d o m p h e n o m e n a ，w h i c hi 8e x 七e 璐i v e l y 印p l i e di nn a 七u r e8 c i e n c e ，t e c h n o l o g i c a l 8 c i - e n c ea n d8 0 c 谢s c i e n c ee t c p r o b a b i l i t yl i m i tt h e o 巧i so n eo ft h eb r a n c h e s o fs c i e n c eo fp r o b a b i l i t y c o n v e r g e n c ei 8a ni m p o r t a n tc o n c e p t i o ni np r o b a b i l i t yl i m i tt h 争 o r y t h e r ea r eas e r i e so fc o i l v e r g e n c ee o n c e p t i o i l ss u c ha sc o r l v e r g e n c ei n p r o b a i b i l i t y c o n v e r g e n c ei nd i s t r i b u t i o n ，甜m o s ts u r ec 0n _ v e r g e n e ee t c i nt h i 8 p a p e r ，w ed i s c u s st h ec o m p l e t ec o m r e r g e n c ef o rk e s t e n _ s p i t z e rr a n d o mw a l k i nr a n d o ms e e n e r y t h i 8t h e 8 i 8i sb a s e do nt h e 行u i t 8o fo t h e r sa n dd i s c u s 8t h ec o m p l e t e c o m r e r g e n c ef o rr a n d o m w a l l 【si nr a n d o ms c e n e r i e s w ep r o 、r et h ec o m p l e t e c o m r e r g e n c ef o rr a n d o mw a l k 8i nr a n d o ms c e n e r i e s ，s o m em i l ds u m c i e n 七 c o n d i t i o n 8f o rc o m p l e t ec o i l v e r g e n c ea u r eo b t a i n e d t bp r o v et h i 8t h e o r e m ， w eu s et h em e t h o do ft r u n c a t i o n t h i 8p a p e ri 8d i v i d e di n t ot h r e ec h 印t e r s i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r 伊 d u c et h eb a c k g r o u n da n dt h el a t e s tr e s e a r c ho nr a n d o mw a l l 【8i nr a n d o m 8 c e n e r i e s ，i n c l u d i n gs o m el e m m a sa n du s e f u l i n e q u a t i o i l s i nc h 印t e rt w o a n dt h r e e ，w ep r o v ef i v et h e o r e m 8a n dt h e i rd e d u c t i o 璐 k e yw o r d 8 ：r a n d o mw a l ki nr a n d o ms c e n e r y c o m p l e t ec o m r e r g e n c e ， i n d e p e n d e n c e ，l a wo fl a r g en u n l b e r s ，s l o w l yv a i 叽n gf u n c t i o n 1 l l 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果 据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说 明并表示谢意 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的 学位论文在解密后适用本规定 作者签名： ；俸 1 l 上址 导师签名：主量丝 第一章引言华东师范大学硕士论文1 第一章引言 1 1 背景介绍 随机环境中的随机过程是概率论中个比较活跃的课题，其问题的提出可以追溯到 物理学中的不同均匀介质的传输问题，例如质点在散射物中的运动，这不仅涉及质点的随 机运动，而且运动还受到散射物的几何和拓扑的影响随机环境模型在自然科学和社会经 济生活中均有广泛的应用。例如在生物学中用来描述物种群体的繁衍过程；在物理学中可 以用来描述无结晶半导体的电传输；在汽车保险业中通常用p c i 渤n 随机过程作为对保险 客户事故的数学模型而随机环境中的随机游动( f 泌l d o mw 棚【i nr 毗l d o ms c e n e r y ) ( 简 记r w r s ) 是它的个特例 首先我们介绍一下z 上的简单随机游动( 戤m i a o mw 址【) ( 简记r ) 和r w r s 直 观上，简单随机游动可以描述如下；t = 0 时刻，在每个z 位置上放一个不均匀的硬币， 它出现正面朝上的概率为p ，此时称确定了z 上的一个环境质点在z 上按如下方式运 动tt = 0 时刻从原点出发，抛在原点处的硬币，若正面朝上，则向右移动一个单位到1 ； 若反面朝上，则向左移动个单位到一l 处若经过t 步运动到n 处，则抛n 处的硬币， 若正面朝上，则向右运动到n + 1 处；反之则向左运动到竹一1 处在上面描述的随机游 动中，环境是固定不变的如果环境也是随机变化的，假设在每个z 处有若干个不同的硬 币，比如七个，且第i ( z = 1 ，2 ，詹) 个硬币出现正面朝上的概率为鼽质点在z 上的 运动如下。亡= 0 时刻仍从原点出发，为确定下一步的运动，首先把原点处的硬币均匀放 在个盒子里并随机抽取其中一个，比如第i g = 1 ，2 ，后) 个，则抛第i 个硬币，由第 i 个硬币按照前面描述的方法来决定向右或向左运动若经过t 步运动到扎处，为确定下 一步的运动，同样先随机从n 处的1 ，2 ，个硬币中随机抽取一个，然后抛出，根据 同样的规则决定下一步的运动，该过程可以看成随机环境中的随机游动 本文的安排如下。在第一章中介绍了随机环境中的随机游动和完全收敛的相关知识、 研究成果及一些引理等；在第二章中给出了主要结论及定理的证明；在第三章中给出了 有关的阶的估计 下面给出随机环境中的随机游动的一般定义。 第一章引言 华东师范大学硕士论文2 定义1 1 1设x 1 ，恐，k ，是r 上的独立同分布随机变量序列，满足e 氍= o ，y 口r ( 墨) = 1 & = 五是其前n 项部分和设 】，( z ) ，z z ) 是独立同分布的零 t = l n 均值的实值随机变量序列且与 五，i n 独立记磊= y ( 慨】) ，其中m 表示取z 的整数部分我们称磊为随机环境中的随机游动( r a n d o mw r a l l ci nr 觚d o ms o e n e 叮) ，称 s = ( & ) n n 为随机游动，( y ( z ) ) 2 z 为环境磊首先是由k e 8 t e n 和s p i t z e r 【7 1 引入的， 因此又称为随机环境中的k e 8 t e n - s p i t z e r 随机游动磊可以解释为如下模型。如果y ( z ) 代表参观第z 景点所需要支付的门票，则磊可以解释为前n 次随机参观所花费的门票 总费用为方便起见，在下文中出现的& 和磊，若未作特殊说明，均和此定义中的含义 相同 根据定义可以看出，磊是一些不独立的随机变量的和，不独立性是由随机游动的可 能重复出现引起的事实上，如果风景y ( z ) 是独立的，则正如l e w i 8 l n 】所陈述的那样，磊 可以看作是相伴序列的部分和，假设& ，岛，& 巳知，则 y 限】，1 t 佗) 是相伴 的。但遗憾的是，为了研究磊的极限理论，我们并不能使用通常的对相伴序列的处理方 法，因为我们对 y 限】，1si n ) 之间的相关性难以描述，本文主要讨论了磊的完全 收敛性 关于随机环境中的随机游动，近年来许多专家和学者已经进行了多方面的研究，并 取得了很好的成果，如k e s t e n 和s p i t z e r1 7 1 曾研究了z n 的弱收敛性，他们假设 x 。) 和 y ) ) 是独立同分布随机变量列，并分别有口，p 阶稳定性，其中q ，p 是相关的，并 且1 s 是独立同分布零均值的随机变量序列，则对r 芝 1 ，e i x l r 1 ，o ev& p 2一 矿 脚 第一章引言 华东师范大学硕士论文4 ( 1 ) 薹删妒蚓等 刚 其中6 = e 墨，当1 t 2 时6 = o ，当0 o ，n 1 ，有p 【i i q g p i x i 叫另一种方法是下去掉独立同分布的条件，本文讨论的完全收敛性属于后一种情况 第一章引言华东师范大学硕士论文5 1 2 引理及其证明 定义1 2 1 ( 慢变化函数)称z ( z ) 0 为z _ + + o o 的慢变化函数，如果： 霉等_ 1 对任何t 。 注1 2 1如果z ( z ) o 为。一+ o o 的慢变化函数，则 z 掣_ 1 对任何u o ( 托) x 2 x 黑脚器_ 1 x 4 + 2 x 0 霉+ + 2 + 十 引理1 2 1如果 ( o ) 0 为z _ + o o 的慢变化函数，则 ( 1 )对任何r o ，7 0 。任何自然数k ，有 k c 2 k 7 z ( ，7 2 k ) 芝二7 z ( 刁) c 2 k r z ( 7 2 k ) ( 1 2 1 ) j = 1 ( 2 )对任何r o ，任何自然数k ，有 c 2 耳7 2 0 2 x ) r z 0 ) c 2 j r r z 国2 k ) ( 1 2 2 ) j = k 证明 ( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) 式的左边不等式显然成立，仅证( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) 式的右边 不等式先证( 1 2 1 ) 的右边不等式 记岛，。：圭2 t r ，岛，。：o ，则有岛，。：掣，歹1 故 缸：l 因此，我们有 g 掣岛，1 伤2 j 7 ( 1 2 3 ) 叩“do 岛 一 曲 k 芦 = 所 k 他 第一章引言 华东师范大学硕士论文6 由定义1 2 1 知，可取凰充分大，使j 时，就有 再由注1 2 1 ( i i i ) 知，可取甄 充分大，使k 琢时，就有 2 瓢忡k ) i 粪黜( 叩矽t ) 叫，7 】l 2 骼z 向2 k ) i 岛，- f 加“) 一z 幻) 】i j 2 j 于是当k j q 时，改写( 1 2 4 ) 式为 k 耳一l z 细分) + 岛，- 【j 向+ 1 ) 一z 向) 】 j = l j = 硒+ l ( 1 2 4 ) = ，- z 细2 k ) 一岛，l p 0 + 1 ) 一z n ) 】 ( 1 2 5 ) j = 1 则( 1 2 5 ) 左式美沙2 ( 叩) 一q 笺，驴z ( ? 7 ) i 血写舻i 则( 1 2 5 ) 左式沙2 ( 叩) 一q 驴z ( ? 7 ) i 盟写蕞挚幽l j = 1j = 硒+ 1 一o 昙妻犹( 叩 自j = l ( 1 2 5 ) 右式岛2 耳r z ( ，7 2 k ) + l 釜岛，1 f f ( 叩矽+ 1 ) 一z o ) 】i f = 1 c 2 耳7 z ( 7 7 2 k ) 联立( 1 2 5 ) 、( 1 2 6 ) 、( 1 2 7 ) 三式即得( 1 2 1 ) 式的右边不等式 再证( 1 2 2 ) 的右边不等式成立 o 。 记岛，2 = 2 打，则有岛，2 = 啬故 扛巧 a 掣r 岛，2 岛掣r oo ”f ( ，7 ) = ( 岛，2 一岛+ ，。) z h ) j = kj = k ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) u 川 掣 叩 “ 一 + 矿 吁 r毋 芦 一 k 2 叩jc j ；= i l 第一章引言 华东师范大学硕士论文7 o o = 鼠2 z ( 7 7 2 耳) + 岛+ l ，2 f z 向+ 1 ) 一z 伪) 】 ( 1 2 9 ) i = k 由定义1 2 1 知，可取凰充分大，使j 梳 k ，就有 l 燮并l j 白 k 时，改写( 1 2 9 ) 式为 r z 幻分) 一岛+ - ，2 【z 幻+ 1 ) 一z ( 叩) 】 j = kj = 硒+ l 硒 = 2 z ( ，7 2 k ) + 岛+ l 。2 【z ( 叩+ 1 ) 一z 彻) 】 ( 1 2 1 0 ) j = k 则( 1 2 1 0 ) 左式璺r j ( ，7 ) 一q ，一象，2 1 ) r f ( ，7 + 1 ) i 垃岽弹l 则( 1 2 1 0 ) 左式z 铆) 一q 2 d + 1 ) r z 向+ 1 ) 垃瓷篙笾i j = j rj = j b + 1 i ” l r f 幻2 ) 一去2 0 + 1 ) r z ( 叩+ 1 ) 吉r z 彻) ( 1 2 1 1 ) - j = k 。j = k o h。j = k ( 1 2 1 。) 右式g 2 k r f ( 7 2 耳) + i 釜岛+ l 2 【j ( 叼+ - ) 一z ( 7 7 ) 】i 岛2 脚z ( ，7 2 k ) + q 2 州r i + 1 ) 一z ( ，7 刮 蜘 f = k 岛2 k 7 z ( 叩2 k ) + g 2 ( 州) r 2 硒+ 1 ) 一z ( ? 7 2 k ) 】l c 2 k 7 z ( ? 7 2 k ) ( 1 2 1 2 ) 由( 1 2 1 0 ) 、( 1 2 1 1 ) 、( 1 2 1 2 ) 三式可知( 1 2 2 ) 式的右边不等式成立故引理得证 引理1 2 2 设 玛】是鞅差序列，2 ，则 e i & i r g 佗羞一1 e i 玛| r j = l 其中，g = 8 p 一1 ) m a x ( 1 ，2 r _ 3 ) ) r 注1 2 2 引理1 2 2 见【2 4 】中p 2 3 4 箜二主! ! 宣 堡查塑堇盔堂塑兰丝8 引理1 2 3设9 1 ，鲍，蜘，t 为正的常数，当o 亡st ( 或一t t o ) 时 e - s 矽舻2 记g = 缈，则对o z g t 有 j ；l p & z e 一霉2 ( 2 回 ( 或p & 一z ) e 一一2 q ) ； 对z g t 有 记 则 p & z ) e n 2 ( 或p & 一z ) e 一死2 ) 注1 2 3引理1 2 3 见 2 4 1 p 2 3 7 引理1 2 4 ( d z m 凹d r 伽) 设 冯) 是独立随机变量列，e 玛= o ，z o ，令，2 l & 。薹玛，a = 盟l & l z z r p ( 婴麓l & i z el 瓯r ，( a ) e l & | r 注1 2 4引理1 2 4 见 2 4 】p 2 3 2 引理1 2 5 ( b e r r y _ e s 8 e e l l 不等式)设 ，n 1 ) 是独立同分布随机变量列，e = o ，刀霹= 矿2 o ，el k l 3 o o 记p = ei 噩1 3 沪，则有 一黑| p 去喜虬 小酬墨如南 其中如是正的常数，西( z ) 表示标准正态分布的分布函数 注1 2 5引理1 2 5 见【2 4 】p 6 6 注1 2 6 ( e s s e e n 不等式的推广) ( 见【2 4 】p p 6 7 6 9 ) 令g 是满足下列两个条件的 函数9 ( z ) 的集合； ( 1 )9 ( z ) 是在( o ，o 。) 上非负单调不减的偶函数； ( 2 ) z 夕( z ) 在( o ，。o ) 上单调不减 设置，恐，是独立随机变量列，e = o ，且对某个夕g ，e 霹9 ( 玛) 1 ，t o ，a ，6 o ，口2 为实数满 足，一l 一 + 詈口+ o 及鸶口+ p l 一 o 若下面三个条件成立。 ( t ) & = 【酽】， ( 蓄蕾) ( 谢) 其中 8 u p ei 荨( n ，z ) 口l = d ( ) ， z z e 【i y ( o ) i 卅6 z ( i y ( o ) n 】 o o 则下面二式成立t ( n ，。) = 孝 o 后n ，【瓯】= z ) 耋呐妒 恶嘲e ) 2 g ) o ，( 2 1 4 ) 式成立此定理下面的证明中都认为 0 是任意给定的，为方 便记，不再重复提及 令 巧= y 慨】川y ( 【剐) l 。叩) ，乃n = 巧t 其中叩 0 待定则 薹舻p 分墨+ 。2 壬g 妒1 2 ( 分) p u 喾1 川y ( 俐。，7 ) ) + p 茹+ ，刚2 = ： + j 1 2 下面分别证明 o o 及j 1 2 o o 我们分两步来完成 第1 步证明：厶 o o 由于 j r l = ( r 一1 ) z ( ) p u 篓1 ，( i y ( & 】) i 。，7 ) ) j = l 十1 ( r 一1 ) z ( ) p i y ( & 】) i 叩) j 2 l 佰1 + l = p 一1 z ( ) p i y ( o ) i 。叩 ，= 1 i = l o 。 2 弦l ( ) p 1 叩2 k l y ( o ) i 叩2 k + 1 ) j = 1j r = j 第二章定理及其证明华东师范大学硕士论文1 2 k = p 叩铲si y ( o ) i 叩2 k + 1 ) r z ( ) j r = 1 j = l 因此利用引理1 2 1 ( 1 ) 及定义1 2 1 知 o o c 2 鼢z ( 2 x ) p 刀2 k l y ( o ) i 。 ，7 2 x + 1 j r = l c 薹2 器靳2 q 协铲 l y ( 0 ) h 2 n c e 【i y ( o ) i r tz ( i y ( o ) n 】 o o 故我们得到 e 2 。 第二章定理及其证明 华东师范大学硕士论文1 3 + j = 12 j p 一1 心( ) p ( 罢筠+ 。l 琢l g 2 ) = ：j 5 2 l + 如 这样为证如 o o ，只需证明如l o o 及场 ( ) + 1 池z ) y ( z ) 州y ( z ) 陲叩) i 2 s ( 2 j + 1 ，z ) ( ，7 ) 之2 ) p - 1 z ( ) p ，( i & i ( ) ) j=1缸=1 + l p 一1 z ( ) p i l ( ) ) j = l k = 1 由引理1 2 3 知 因此。得到 如妻州) f ( 2 j ) 釜e 一攀，其中g ： j = 1 知= 1 七 fe x j ：k 一 j j = 1 j l z 2 壹) f ( ) 釜e 一端：妻砂叫z 西) 董e _ ( 严t j = l 知= 1 j = 1 七= 1 c rz ( ) e 一( ) 轴 可知 再证j 1 2 1 l ，t 1 时，e i y ( o ) i n + 6 f ( 1 y ( o ) n 】 ， 则必有 e l y ( o ) r o 。 、， 三三矿 第二章定理及其证明 华东师范大学硕士论文1 4 当0 孟 1 时，则有 当0 t l 时 e i y ( o ) i 。 叩) 】sc 2 ( 1 一f ) 刀 一r 由， 1 ，我们知 ( 1 一r ) _ 0 ，j _ o o 故只要歹充分大，就有 ，罂翳+ ，e i i 吾- 2 n + l 一_ 2 这些事实表明t 要证如1 o o ，只需证 t2 p _ z ( ) p 嚣+ 。i 一e 瑞l g 。2 ) o o 由于 z 幺一e 瑞=晤( 礼，z ) y ( z ) ，( 1 y ( z ) i 。7 7 ) 一层( m ，z ) y ( z ) j ( i y ( z ) i 。，7 ) ) 】 第二章定理及其证明 华东师范大学硕士论文1 5 由引理1 2 4 知 p 三：嚣+ 。i 毛一e 毛i e 2 壬) s q2 一挚e i 传( + 1 ，z ) y ( z ) j ( i y ( z ) i t 7 ) 一e ( + l ，z ) y ) j ( 1 y ) i 。，7 ) ) 】l 口 i z i ( 2 ，+ 1 ) 。 = e 一口2 一挚e e i 睡( + 1 ，z ) y 扛) ，( i y ) l t ，7 ) 一e ( + 1 ，z ) y ( z ) 纠s ( + 1 ) 川m ) 卜叩捌) ) 】l 口i ( & ，趴一，+ 1 ) ) ( 2 1 5 ) 由引理1 2 2 知( 2 1 5 1 式 故 一口2 一挚孚( + 1 ) e 陪( 矽+ l ，z ) l 口e 【| y ( o ) l 叮，( i l ，( o ) l t 7 ) j 陋l s ( + 1 ) 厶1 c ( r 一1 ) z ( ) g 一口2 一挚譬( + 1 ) = l e 悖( + 1 ，z ) i 口e 【i y ( o ) i a j ( i y ( o ) l 。，7 ) 】 i 叫( + 1 ) 我们由( 佗) = h 】口及s u p e i ( n ，z ) | 口= 0 ( 扩) 知 别e z j 1 2 l c ( + 1 ) a 差一1 2 。p 一1 一鼍z ( ) ( + 1 ) p e f i y ( o ) r ，( 1 y ( o ) | t 叩) 】 j = 1 i 霉l ( + 1 ) g p 一1 一 + 口一1 + 所j ( ) e 【i y ( o ) i 叮j ( i y ( o ) 1 2 叩) 】 j = l 忙i ( + 1 ) c p 一1 一詈+ 号什口) z ( ) e 【| y ( o ) i q ，( 1 y ( o ) l 。，7 ) j = 1 歹 = c ( r 一1 一詈+ 詈口+ 国z ( ) e i y ( o ) i 口，幻2 k 一1 i y ( o ) i 。刀2 k ) z 一 、 z 一 、，i、 一- 、， 一 ，一 ， 歹= l j r = 1 + c r 一1 一詈+ 詈叮+ p ) z ( ) e 【i y ( o ) i 叮，( i y ( o ) i 。 叩) 】 j = 1 = ：如+ 厶 第二章定理及其证明华东师范大学硕士论文1 6 要证l o o ，只需再证毛 o o 和厶 o o 我们先证厶 o o 由r 一1 一+ 鸶g + p o 及慢变化函数的性质，我们有 厶= c 2 j p 一1 一詈+ 詈口+ 伪z ( ) e 【i y ( o ) i 口，( i y ( o ) i 。 ，7 ) 】 j = 1 c 2 j p 一1 一詈+ 詈口+ 所z ( 夕) i t 7 i 旦c 2 r 一1 一詈+ 詈叮+ 卢z ( 2 ) 毛= c p 一1 一詈+ 詈口郇z ( ) e 【l y ( o ) i 口，铆2 k 一1 i y ( o ) i 。7 2 ) = c e 【i y ( o ) l 口j r ( ，7 2 k 一1 l y ( o ) i 。7 7 2 k ) 】( r _ 1 一詈+ 考g + 所z ( ) c - 2 k ( r 一1 一詈+ 暑口+ 卢) j ( 2 k ) e 【i y ( o ) i 口一r t 一6i y ( o ) l n + 6 ，( t 7 2 k 一1 i y ( o ) i 。，7 2 k ) 】 s c 2 k p 一1 一睾+ 詈什钟z ( 2 x ) 彻2 k ) 卫鼍咝e i y ( o ) r + 占j ( 叩2 k 一1 l y ( o ) l 。叩2 x ) 】 = c 2 k ( 一1 一 + 詈叮+ 卢) z ( 2 k ) e f l y ( o ) i n + 6 ，( 7 2 k 一1 i y ( o ) i 刀2 k ) 】 由鸶g + p l 一 o ，知 厶够薹器驯0 ) l 州蛔却2 n 1 l y ( 0 ) 卜们嘲 c e i y ( o ) l r t + 勺( i y ( o ) i 。) 】 o 。 故矗 o o 故厶 o 。故定理得证 注2 1 1若e 【y ( o ) 】= 6 o ，则定理2 1 1 更一般的结论为 耋删妒吲譬 州 此注的证明与定理2 ，1 ，1 的证明方法类似，只需对 y ( 。) ，z z ) 进行中心化即可 推论2 1 1在定理2 1 1 中若取z ( z ) = 1 ，则结论为 争即 器恻s ) 刚 ( 2 ) 第二章定理及其证明华东师范大学硕士论文1 7 若此时还有亡= 1 ，r = 2 ，则结论变为 此式蕴涵 薹尸 器嘲) o ，口 壶，6 o 满足 一；+ 口 o 及口+ 矽一1 一 o 若下面三个条件成立 ( i ) e 【i y ( o ) l t + ( i y ( o ) l t ) 】 o o ， ( t 1 ) & = 妒】， ( i 越)s u p e i 荨( 死，z ) 口l = d ( ) 则 薹掣尸确) 刚 仁， 证明 同1 2 3 4 若c z ( z ) m o o ，则本命题可类似b a u m 与k a t z 【5 】中的方法得 到不妨设z ) t + o o 一+ o o ) ，易知 薹掣p i 址c 薹仰 茹+ l i 驰呷q ( 2 鹕) 令 我们有 巧t = y ( 【& 】) ，( | y ( 【& 】) 矽) ， p 黝+ 。刚。2 ) + 1 p i y ( o ) l + p 勿三粉+ 。i z j 竹i 。2 ) ( 2 1 9 ) 巧 住：l = n 勿 第二章定理及其证明华东师范大学硕士论文1 8 由引理1 2 1 ( 1 ) 知 z ( ) p i y ( o ) i j = l = z ( ) p 2 x i y ( o ) i 。 2 + 1 j = 1k 习 k = p 2 x i y ( o ) l 。 2 k 1 z ( ) k = l j = 1 c z ( 2 k ) 2 k p 2 k l y ( o ) l 。 + 1 ) x = 1 c e f i y ( o ) i t ：( 1 y ( o ) i ) 】 类似与定理2 1 1 第2 步的证明中对历n 的写法，我们同样改写乃住 乃n = b 七= y ( 吼】) j ( 1 y ( 【吼】) i 。) 知= l七= l = ，z ) y 0 ) j ( i y p ) i 2 j ) h s ( n ) + 专，z ) y ( z ) ，( i y ( z ) i ) j 霉( n ) 一：+ 瑞其中：( 佗) = m 口 进而，我们有 蚤删m 茹+ - 陬协2 壬) 薹。( ) p 茹+ ti | 铊。 + 薹。( ) p 黝+ t i 瑞l 啦。) = ：厶+ 厶 为证定理2 1 2 成立，只需再证毛 o o 和j l b o o 我们同样分两步来完成 第1 步证明：如 o 。由于z ( z ) t + ( z _ + o 。) 当0 t 1 时，我们有 力嚣+ ，l 等1 黝+ 1 2 一怛渤z ) y ( 圳y ( z ) 阻刮 一一 i z i ) 1 c ( 1 一 ) 2 一 o 一1 ( z ( 矽) ) 一1 e i y ( o ) i 。z ( i y ( o ) n 】 2 尚土o d _ ) 式( 2 1 1 0 ) 、( 2 1 1 1 ) 表明，为证厶 o 时，由引理1 2 4 及的定义我们有 2 著。( 分) p 匕篓+ 。l 一e i s 2 ) c z ( ) 一口2 一譬e l 瞎( + l ，z ) y ( z ) ，( i y ( z ) l 分) j = 1 陋i s ( + 1 ) 一e ( + 1 ，z ) y ( z ) j ( i y ( z ) l 。) ) 】l 口 第二章定理及其证明 华东师范大学硕士论文2 0 由 y ( z ) ，z z 与 五，i n ) 的独立性知 c z ( 矽) s - 口2 一j 2 l e k ( + 1 ，z ) i g e 【l y ( o ) l 口，( i y ( o ) i 。) 】 j = l 陋i s ( + 1 ) c 2 一譬z ( ) ( 矽+ 1 ) 卢e 【i y ( o ) i 口j ( 1 y ( o ) i 。2 j ) 】 j = l 扣i ( 2 j + 1 ) c 一暑+ 斛口z ( ) e 【i y ( o ) i 口j ( i y ( o ) i ) 】 j = l j = c ( 一詈+ 斛口) z ( ) e 【i y ( o ) l 口j ( 2 k 一1 i y ( o ) l 。s2 k ) 】 z 一 、7 z 一”、 j = l k = 1 + g ( 一暑+ 舛口) z ( 矽) e 【i y ( o ) i 口j ( i y ( o ) i 。1 ) 】 由q 一；+ p o 知 sc e 1 y ( o ) i 口j ( 2 x 一1 i y ( o ) i 。2 k ) 】一詈+ 斛a z ( ) + g k = l j = k c 2 k 一詈+ p 扣z ( 2 k ) e 【i y ( o ) r ，( 2 j r 一1 i l 厂( o ) l 。2 k ) 】+ g j r = l = c 2 k ( 一詈+ 口+ a z ( 2 耳) e 【l y ( o ) i 口一一6 i y ( o ) i 件占j ( 2 k 一1 i y ( o ) i 。2 x ) 】+ c j r = 1 sc 2 耳( 一1 一 + 斛a z ( 2 耳) e 【i y ( o ) i 件占j ( 2 k 一1 i y ( o ) l 2 k ) 】+ c 由已知口+ p l 一 o 知 石c e 【j ( 2 k ) l y ( o ) i 件6 ，( 2 k 一1 i y ( o ) l 2 k ) 】) + c j r = l g e 【i y ( o ) l 蚪6 z ( 1 y ( o ) i 。) 】+ c o o 故 ，故厶 ( ) + l z ( ) p j ( 1 & i ( ) ) e ) j = l 七= l 分+ l z ( ) p i 瓯i ( 矽) ) j = 1 缸：l 由引理1 2 3 知 故 2 ，十l 。 七 厶z ( ) e 一笔铲其中：g = e 碍= 詹 j = l 奄= l j = l j l b 壹删) 釜e 一端：妻删) 釜e _ - 。一：g 壹 j=1缸=1j = l 知= l j = 1 最后一个不等式由a 可得由以上证明过程我们知； 故定理得证 ，l = 1 z ( ) e 一 ( 彩) 蚺1 o o 掣p 婚s ) 刚 推论2 1 2在定理2 1 2 中若取l ( z ) = l o g ( 1 + z ) 则结论为 n = 1警掣p 吲s ) 刚 ( 2 1 1 3 ) 第三章阶的估计华东师范大学硕士论文2 2 第三章阶的估计 3 1 阶的估计 在定理2 1 1 及定理2 1 2 中均需要对e k ( ，l ，z ) 口】( 口2 ) 进行阶的估计，那么如何进 行估计呢? 下面我们给出关于e k ( z ) q 】( g 2 ) 的阶的估计或许具有独立的兴趣 定理3 1 1设 x 。，n 1 是独立同分布的随机变量序列满足s e h = 0 ，e l 墨l p o o 其中2 3 时类似可证不失一般性，不妨 设y 口r ( 魁) = 1 - 对v z r ，n n 有 p p 晶 z + 1 ) = ( r ( 专譬) 一圣( 专譬