（理论物理专业论文）两个二能级原子与单模真空场相互作用的量子纠缠.pdf

o 1 中文摘要 在量子光学领域，对原子与光场相互作用系统中量子特性的研究 一直吸引着人们的关注。本文研究了两个二能级原子与单模真空场相 互作用系统中的量子纠缠度，得到了一些有意义的结论。 第一章对原子与光场相互作用的研究历史作了简单回顾。从两个 二能级原子与单模真空场相互作用系统的哈密顿量出发，通过解 s c h r 6 d i n g e r 方程，得到了系统的态矢、密度矩阵和子系统的约化密度 矩阵，建立了本文的工作模型。 第二章介绍了量子熵与量子纠缠的发展史，解释了量子熵与量子 纠缠的关系，阐述了量子熵与量子纠缠的基本理论。 第三章研究了两个二能级原子与单模真空场相互作用系统中的量 子纠缠。应用量子约化熵研究了两个二能级原子与单模真空场之间的 纠缠度；应用量子相对熵研究了双原子之间以及单个二能级原子和单 模真空场之间的纠缠度。结果显示： ( 1 ) 这三种量子纠缠的时间演化相位相同，并呈现出周期性。 ( 2 ) 这三种量子纠缠都依赖于原子问的偶极一偶极相互作用。偶极 一偶极相互作用的增强，引起纠缠度减少，纠缠频率加快。 关键词：量子纠缠，量子熵，二能级原子，单模真空场 o 2 a b s t r a c t i nt h eq u a n t u mo p t i c s ，t h es t u d yo f t h eq u a n t u m p r o p e r t i e s o ft h es y s t e m o ft h ea t o mi n t e r a c t i n gw i t ht h e f i e l dh a sa l w a y sa t t r a c t e dc o n s i d e r a b l e a t t e n t i o n i nt h i st h e s i s ，t h ed e g r e e so f t h eq u a n t u me n t a n g l e m e n ti nt h e s y s t e m0 f t w ot w o - l e v e la t o m si n t e r a c t i n gw i t h a s i n g l em o d e v a c u u mf i e l d a r ee x p l o r e d ，a n das e r i e so fs i g n i f i c a n t r e s u l t sa r eo b t a i n e d c h a p t e r 1i sas i m p l er e v i e wo ft h eh i s t o r y i nr e s e a r c ha b o u tt h e i m e r a c t i o nb e t w e e na t o ma n df i e l d b a s e d o nt h eh a m i l t o n i a no ft h e i n t e r a c t i o ns y s t e m ，w h i c hi n c l u d e st h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt w ot w o 。l e v e l a t o m sa n das i n g l em o d ev a c u u mf i e l d ，t h es t a t ev e c t o ra n dt h ed e n s i t y m a t r i xo ft h es y s t e m ，a n dt h er e d u c e d - d e n s i t ym a t r i c e so f t h es u b s y s t e m s a r eo b t a i n e db ys o l v i n gi t ss c h r r d i n g e re q u a t i o n ，a n dt h eb a s i cm o d e l o f t h i sp r o b l e mi se s t a b l i s h e d c h a p t e r 2i sa ni n t r o d u c t o r yc h a p t e r w h i c ho u t l i n e s t h eh i s t o r i c a l d e v e l o p m e n t o fq u a n t u me n t r o p ya n dq u a n t u me n t a n g l e m e n t ，a n d t h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eq u a n t u me n t r o p ya n dq u a n t u me n t a n g l e m e n ti s e x p l a i n e d t h e b a s i ct h e o r i e sa b o u tt h e ma r ee l a b o r a t e d c h a p t e r 3s t u d i e st h e q u a n t u me n t a n g l e m e n t i nt h e s y s t e mo ft w o t w o 1 e v e la t o m si n t e r a c t i n gw i t has i n g l em o d e v a c u u mf i e l d t h ed e g r e eo f t h e e n t a n g l e m e n t b e t w e e nt w ot w o l e v e l a t o m sa n dt h e s i n g l e m o d e i i v a c u u mf i e l di sc a l c u l a t e db yu s i n gt h eq u a n t u mr e d u c e de n t r o p yt h e o r i e s f u r t h e r m o r e ，t h ed e g r e eo f t h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nt w ot w o - l e v e la t o m s ， a n dt h a tb e t w e e nas i n g l et w o - l e v e la t o ma n das i n g l em o d ev a c u u mf i e l d a r ei n v e s t i g a t e dt h r o u g hu s i n gt h eq u a n t u mr e l a t i v ee n t r o p yt h e o r i e s t h e n t h er e s u l t sa r e p r e s e n t e d a sf o l l o w ： ( 1 ) t h r e ek i n d so ft h eq u a n t u me n t a n g l e m e n te v o l v ep e r i o d i c a l l yw i m t h es a m e p h a s e ( 2 ) t h r e e k i n d so ft h eq u a n t u m e n t a n g l e m e n ta r ed e p e n d e n ts t r o n g l yo n t h ea t o m i cd i p o l e - d i p o l ec o u p l i n gc o n s t a n t t h ei n c r e a s eo ft h ec o u p l i n g l e a d st ot h e d e c r e a s i n g o ft h e d e g r e e s o ft h e e n t a n g l e m e n t a n dt h e i n c r e a s i n go f t h ef r e q u e n c i e s k e yw o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n lq u a n t u me n t r o p y , t w o l e v e la t o m ， s i n g l em o d e v a c u u mf i e l d m 第一章引言 1 1 历史回顾 在量子光学领域中，研究原子与光场相互作用系统的量子特性一 直是人们关注的焦点。研究两个二能级原子与单模光场相互作用的规 律及其非经典效应是量子光学的重要内容，也是前沿领域。为了便于 研究原子与光场的相互作用，1 9 6 3 年j a y n e s 和c u m m i n g s 在讨论微波 激射器时提出了一种简单的光共振非平庸模型，称为标准的 j a y n e s c u m m i n g s 模型【1 1 ( 以下简称j c 模型) ，它是由单个二能级原 子( 或分子) 与一单模量子化光场组成的相互作用系统的理想模型。 由于对它只需作旋波近似就可精确求解，因此不仅在量子光学中，而 且在激光物理、核磁共振和量子场论等许多问题中都常被采用。 原子一光场相互作用的双量子系统是最经典的量子光学系统，它 所作的有关量子效应的预言在光通讯、引力波探测、量子测量、量子 计算等领域具有广阔的应用前景。 2 11 9 8 5 年gs a g a r w a l 的原子相干 捕获，真空r a b i 分裂，1 3 1 9 8 5 年d m e s c s h e d e 等的光场光子反聚束效 应，压缩光嘲产生，1 9 8 7 年和1 9 9 0 年gr e m p e 等的原子崩塌与回 复，【5 ，6 11 9 9 1 年周鹏和彭金生的原子偶极一偶极压缩，【7 1 等量子效应已 在实验室中观察到。 1 9 8 7 年r e m p e 等人利用高q 微波腔中r y d b e r g 原子与辐射场的相 互作用在实验上获得了j - c 模型，【4 ，5 1 因而对j - c 模型的研究就不再仅 仅只有理论上的意义，而是具有重要的实际应用价值。近年来，人们 对j - c 模型进行了一系列推广，如单、多光子j c 模型，【8 ，91 单、多 原子j c 模型，【i o , 1 1 1 非线性j - c 模型，附加克尔介质的k j c 模型， 依赖空间自由度耦合j - c 模型，( 简并) 拉曼耦合j - c 模型，双模相干 场与二能级原子耦合j - c 模型，光场与原子依赖强度藕合的j - c 模型司 等等，得出了一系列有意义的结论。 本文研究的两个二能级原子与单模真空场相互作用系统的模型是 j - c 模型的一种重要推广，它反映了两个二能级原子与单模真空场相互 作用系统中的量子纠缠对原子间偶极一偶极相互作用的依赖性。本文 的工作就是基于这一理想模型进行的。 1 2 基本工作模型 一、工作模型的哈密顿量 我们考虑两个二能级原子与一个单模真空场组成的相互作用的量 子系统。为简单起见，取自然量子单位a = 1 ，在相互作用绘景中，系统 的哈密顿量可表示为： 2 日2 l = 1s p + 脚+ 口+ 善g ( 口+ s 9 + 斛+ 口+ s + 舔9 ( 1 1 ) + q ( s ：1 s 1 2 + s ! q 2 ) ， ( 1 1 ) 式可分解为 h = h o + h ， 2 h 。= ( d o s l o + 瑚+ 口， j = l 珥= 巧+ 吒 2 k = g ( a + s 9 + 麟+ 口+ 掣+ 舔n = q ( s ? 1 s ? + s ! 一s + ( 2 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 3 ) 式中第一项表示两个二能级原子的能量之和，第二项表示单 模真空场的能量。口+ 和口分别是频率为的真空场中光子的产生和湮灭 算符，s ，是二能级原子的反转箅符，为其本征跃迁频率，i = 1 , 2 代表 第i 个原子。 ( 1 4 ) 式是相互作用项，巧是两个二能级原子与单模真空场的相互 作用能，是两个二能级原子之间的偶极一偶极相互作用能。 ( 1 5 ) 式中g 是原子和场的耦合常数，s 。是二能级原子的跃迁算符。 式中第一项表示第i 个原子由上态i + ) 跃迁到下态l _ ) ，同时产生一个光 予的相互作用过程：第二项表征第i 个原子由下态l 一) 跃迁到上态l + ) ， 同时吸收一个光子的相互作用过程；第三项对应第i 个原子跃迁到上态 并发射一个光子的过程；第四项则描述第i 个原子跃迁到下态同时吸收 一个光子的相互作用过程。显然( 1 5 ) 式的前两项对应的跃迁过程导致 系统的能量改变为 a e l = 一峨)( 1 7 ) 在近共振情况下，即光场频率与原子的本征跃迁频率满足国z 时，系统的能量变化a 巨* 0 ，即保持系统能量守恒。由能量时间不确 定关系可知跃迁过程能产生稳定的实光子。但( 1 5 ) 式的后两项对应的 跃迁过程导致系统能量变化为 最= 洄+ ) ( 1 8 ) 它是一个相当大的量，说明这种过程系统能量不守恒。同时由能量一时 间不确定关系可知此过程产生的光子寿命很短，称为虚光子。如果省 略系统能量不守恒的后两项，则称为旋波近似。 ( 1 6 ) 式是两个二能级原子之间的偶极一偶极相互作用项。n 是原子 间的偶极一偶极耦合常数。 因此在旋波近似下，系统的哈密顿量可表示为： 22 = o ) 0 掣+ + 口+ g ( 口+ s ! + n 1 ) m ( 霹碰”+ s 9 掣) ( 1 9 ) p l - i 矿和a 满足对易关系k 矿】= 1 ，作用于光子数态l 吣( 即光子数算符。+ a 的 本征态1 ，有 口+ 目in = 月i h ，( 1 1 0 ) 口+ l ) = h + 1 i + 1 ， ( 1 1 1 ) d j ) = i n 一1 ( 1 1 2 ) 二、工作模型的解 1 系统的态矢随时间的演化规律 在相互作用绘景中，在t = - o 时，考虑两个原子都处于激发态i 十和 基态1 一 的相干叠加态，单模场处在真空态io ) ，则系统开始的态矢为 i 掣，( o ) ) ：c 。s 昙i 一一o ) 一s i n 8 i 8 * 1 + + o ) ，( o s 口石，一万p 0 ，系统的态矢随时间的演化规律遵循s c h r f i d i n g e r 方 程( 壳= 1 ) f 善i ( ，) ) = h ，i ( r ) ) ( 1 1 4 ) o t 通过解s c h r s d i n g e r 方程，可得到t 时刻的态矢演化为 l 甲，( f ) = c 。s 詈l 一一。) 一s i n 兰。” c o ) i + + 。( 1 1 5 ) + c 1 ( ，) i + 一1 ) + c 2 ( r ) l 一+ 1 ) + c 3 0 ) i 一一2 ) 】 式中各系数是 c 羽，鲁a + c t ( 矗- c 2 蜘告毋 蜘警4 一手 式中 8 枷e 培r a = 一 ab b = e “一p 砌 q 。：拉嚅 口：! 二垒竺：! 堑：! 2 6 ：! 二垒二匝! 2 2 系统的密度矩阵计算公式 系统的密度矩阵是 f 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) p ( f ) 司甲，( t ) x w ，( f ) 1 两个二能级原子组成的子系统的约化密度矩阵是 成。( ，) = t r i ( i 甲，( 嘞( ( ，) 1 ) ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) 同样，我们可以得到单模真空场的约化密度矩阵为 p ，( f ) = 。：p c t ) ( 1 2 0 ) 单个二能级原子与单模真空场组成的子系统的约化密度矩阵是 _ p 。( ，) = t r o p ( t ) ( 1 2 1 ) 1 3 本文的工作 本文将研究两个二能级原子与单模真空场相互作用系统的量子纠 缠，具体内容组成如下： 第二章将对b o l t z r n a n n 经典熵和v o nv e u m a n n 量子熵及量子纠缠 的历史作简要概述，解释纠缠与熵的关系，阐述量子熵与量子纠缠的 基本理论。 第三章将研究两个二能级原子与单模真空场相互作用系统中产生 的量子纠缠。应用量子约化熵研究双原予与单模真空场之间的纠缠度； 应用量子相对熵研究双原子之间以及单个二能级原子和单模真空场之 间的纠缠度。 第四章将对全文作总结和展望。 第二章量子熵与量子纠缠的基本理论 2 1 引言 1 8 6 5 年，德国物理学家克劳修斯首次将熵这个概念引入热力学， 用来阐明热力学第二定律。1 8 7 7 年，奥地利物理学家玻耳兹曼提出了 玻耳兹曼关系式，建立了熵与系统微观性质的联系，赋予了熵统计学 的意义。1 9 2 9 年，匈牙利物理学家西拉德又阐述了熵与信息的关系， 揭示了熵的新意义。1 9 3 2 年，v o nn e u m a n n 首先将b o l t z m a n n 经典熵 推广到量子熵。i t 2 1 而s h a n n o n 于1 9 4 8 年在经典熵的基础上建立了信 息理论。【1 3 11 9 8 9 年，p h o e n i x 和k n i g h t ( p - k ) 【1 4 1 1 7 1 首先用v o nn c u m a n n 量子熵研究了光场与原子相互作用时两者之间纠缠的动力学性质。 在统计物理学中，熵是衡量微观系统无序程度的量；在信息论中， 熵成为信息量的量度。尤其在量子光学领域，熵理论的应用受到人们 的广泛关注，熵成为研究量子态混度和纠缠程度的重要工具。 量子纠缠现象作为一种重要资源已广泛应用于量子信息处理和量 子通信中。而各子系的纠缠程度用量子熵来量度，虽然量子约化熵能 很好地量度两体纯态系统间的量子纠缠，但它却不能量度两体混态系 统中子系统间的纠缠。1 9 9 7 年，v e d r a l 和p l e n i o 等提出了量子相对熵 纠缠度理论。【1 8 1 量子相对熵纠缠度不仅可以用来量度两体混态系统中 子系统间的纠缠，而且在量子测量和量子信息处理领域起着很重要的 7 作用，但除了一些特殊的态外，它的计算是十分困难的。 2 2 量子熵的基本理论 一、纯态、混合态 描述系统的态有两种类型：纯态和统计混合态( 或者简称为混合 态) 。如果一个系统的态完全确定，就称其为纯态，可由一态矢描述。 纯态i 甲p ) ) 可由系统的任一物理量的本征态矢h ) 的叠加态来表示： i 甲o ) ) = e ( r ) h ) ( 2 1 ) 式中，lc 。( f ) 1 2 表征系统处在本征态ii n ) 的概率，且满足 i c 。( f ) 1 2 1 ( 2 2 ) 如果系统的态不完全确定，这时只有关于系统的不完全的或然信 息，这反映在对系统概率的描述上。一般情况下，如果系统处在态l 鼍) 的概率为b ，处在态i 的概率为b ，而且有 只+ b + + 只= 只= 1 ( 2 3 ) 那么我们就说，系统是处于态i ) ，i t ) 且概率分别为只，马的统 计混合态。 1 对于纯态，密度矩阵p ( r ) = | 甲( f ) ) ( 甲( f ) i 满足以下三个性质： ( 1 ) 厄米性 户+ ( f ) = p ( r ) ( 2 4 ) ( 2 ) 等密性 r p 2 ( f ) = p ( o ， t r p 2 ( t ) = t r p ( t ) = 1 ( 3 ) 非负性 ( 2 5 ) ( 2 6 ) p ( f ) 可以对角化，本征值为非负实数，且所有本征值之和为1 。 2 对于混合态，密度矩阵p ( r ) 为 p = 耳1 o ) k ( f ) i ( 2 7 ) 从上式可知，混合态的密度矩阵为厄米矩阵，但是 p 2 ( f ) = bi ( f ) ) ( ( r ) i 鼻i ( r ) ) ( ( r ) i ：牟l ) ( 州愀) t r p 2 ( ，) 是复合系统a b 的一个纯态，则存在系统a 的标准正交基i ) 和系统b 的标准正交基l i s ) ，使得 i 甲) = i ( 2 1 0 ) 其中 是满足并= l 的非负实数，称为s c h m i d t 系数。 二、量子熵的基本理论 i 。量子熵 量子熵s 最先由v o n n e u m a n n 引进的。【1 2 1 其地位与经典信息论中 s h a n n o n 熵的地位相当，它是量子信息和量子通讯领域中最基本、最重 要的概念，其定义如下： s = 一t r ( p l n p ) ( 2 1 1 ) 这里，p 为给定量子系统的密度矩阵，玻尔兹曼常数取为k - l 。矩阵p 的求迹运算仅仅依赖于它的本征值。对予纯态，则s = o ：对于混合态， 则s = ：0 。熵量度了对纯态的偏离程度。量子熵与经典玻尔兹曼熵一样 提供了对无序程度的量度。从热力学可知，封闭系统的熵是一个与时 间无关的常数，这意味着如果一个封闭系统被制各在纯( 混合) 态， 则在时间演化过程中它将保持纯( 混合) 态不变。但是物理上人们感 兴趣的是系统如何与它周围的环境相互作用，或系统中各部分( 子系 统) 之间的相互作用，而描述全系统的密度矩阵不能直接展示子系统 的动力学行为，因此需要用到描述子系统的约化密度矩阵，用它来定 义子系统的熵，以此描述子系统的动力学行为。 2 量子约化熵 考虑相互作用的两个子系统a 和b ，子系统的约化密度矩阵可以 定义为： ；a 。瑚= - t r m a ( p ) , ( 2 - 1 2 ) 这里珥( = 4 ，丑) 表示对子系统的变量作求迹操作。 子系统，= 一，b 的量子约化熵可以定义为： s j = 一t r ( p , l n p ，) ( 2 1 3 ) 对全系统a 和b 的部分变量进行求迹操作意味着子系统不再由幺正的 时间演化所支配，约化熵不再是与时间无关的。如果子系统b 是一个 有限的或是不连续的系统，那么子系统a 的约化熵事实上是振荡的； 如果子系统b 是由b o l t z m a n n 分布支配的无限个简谐振子的集合，那 么子系统的约化熵将单调增加到它的极大值。因此约化熵描述了量子 子系统的无序度的演化。 3 量子熵的基本性质 1 1 非负性 s ( p ) 0 ( 2 1 4 ) 当且仅当系统是纯态时，熵为零。 2 ) 凹性 s ( 名，a ) e 丑s ( ) ， ( 2 1 5 ) fj 式中 0 ， = 1 。凹性表明混合态的不确定性不小于各部分的平均 j 不确定性，态的混合( 态制备信息丢失) 引起熵的增加。 3 ) 次加性 两个子系统组成的复合系统a b 处于密度矩阵p 描述的态，a 和b 的密度矩阵分别为p a 和p 。，当p = p a 固几时， s ( p ) = s ( p 。) + s ( p 日) ( 2 1 6 ) 这表明两个非纠缠子系的熵是相加的。但若两个子系是纠缠的，则有 s ( p ) s s ( p ) + s ( p b ) 。( 2 1 7 ) 这时整个系统的熵小于各部分熵之和，这是因为信息可以编码在两部 分的纠缠中。 4 ) 量子熵的三角不等式 a ，b 两个子系统构成的复合系统，它们的量子熵满足下面的三角 不等式 l s ( p ) 一s ( p 口) 喀s ( p a 口) s ( p 。) + s ( p 。) ( 2 1 8 ) 上式当且仅当a 和b 退纠缠时取等号。若两子系统是纠缠的，则 有s ( p 。) s s ( p 。) + s ( 风) ，这是因为信息被编码( 隐藏) 在两部分的纠缠 中，即非定域的量子关联中，任何局部操作都不能提取编码在其中的 信息，这是量子信息不同于经典信息的一个显著特征。如果将全系统 a b 制各在一个纯态，从上面讨论可知：s ( p 。) = o r s ( p 。) = s ( p 。) 。如果 s ( p ，) 0 ( ，= 彳，b ) ，其结果一般地有s ( p 。) s ( p 。) + s ( 岛) ，不同于热力 学熵的可加性。这是因为子系统的约化熵s ( p ，) 在对子系统的变量求迹 时忽略了子系统a 与b 之间的关联。 p h o e n i x 和k n i g h t 运用量子约化熵研究了单、双原子j c 模型中 光场与原子的熵动力学演化，得出如下重要结论：熵是十分灵敏的， 它是量子态纯度的可操作度量，因为它自动包含了系统密度矩阵的各 阶统计矩。场与原子的熵的时间演化，反映了光场与原子纠缠程度的 时间演化。熵值越高，纠缠程度越大。光场的性质可以通过测量原子 的性质来推断。 4 量子相对熵 相对熵在经典信息论中描述了两个概率分布的可分辨性。用密度 矩阵代替概率分布，可把相对熵推广到量子的情况。设p 和盯是两个密 1 2 度矩阵，定义p 相对盯的量子相对熵为：1 1 8 】 s ( p0 西；t r p ( 1 n p ) 一o l ne r ( 2 1 9 ) 其物理意义为态p 和仃之间的“距离”。1 8 1 量子相对熵有许多重要的性 质，对量子统计可区分性有很自然的解释，在量子信息理论中起着重 要的作用。【2 0 】 2 3 量子纠缠的基本理论 量子力学是人类历史上展示优美和力量最成功的理论，和相对论 一起构成了现代物理学的理论基础。它的起源可以追溯到一百多年前 ( 1 9 0 0 年) 由普朗克首先提出的量子概念。但是，关于这个理论的解 释从一开始就存在不同的理解。1 9 3 5 年a e i n s t e i n ，b p o d o l s k y ，n r o s e n 联名发表了一篇简短而重要的文章，对正统的量子力学的完备性 提出了质疑。文章的基本思想认为，借助理想实验的逻辑论证方法， 可以表明量子力学不能给出对微观系统的完备的描述，通常称之为 e p r 佯谬。【2 1 1e p r 佯谬揭示了量子力学最基本、最深刻、最奇特的特 性一量子纠缠现象和量子态的非定域性质。量子纠缠与非定域性是当 代量子信息科学的两个关键性概念，也是实现量子技术的理论基础。 本节简要阐述量子纠缠的基本理论。 一、量子纠缠的历史回顾 2 0 世纪两位最伟大的物理学家e i n s t e i n 和b o h r 曾在1 9 3 0 和1 9 3 5 年就量子力学进行过两次争论。1 9 3 5 年的争论被称为“e p r 佯谬”， e p r ( e i n s t e i n - p o d o l s k y - r o s e n ) 在分析量子力学理论是否完备时，考 察了一个由两个粒子组成的一维系统，并提出了用于判断这个问题的 三个前提：( 1 ) 任何两个互不接触并不可能直接作用的系统，对其中任 何一个系统的测量，量子力学的预言是正确的。( 2 ) 要是对于一个系统 没有干扰，我们能够确定地预测一个物理量的值( 即机率等于1 ) ，那 么对应于这一物理量，必定存在着一个物理实在的元素。( 3 ) 对于任何 两个分开的系统，对其中一个系统做的任何物理操作不应立刻对另一 个系统有任何影响，也可以说自然界没有超距作用。这就是历史上有 名的e i n s t e i n 可分隔原则。 “e p r 佯谬”一文对正统量子力学基本原理和概念的诠释提出了 尖锐的批评。b o h r 随即在同一刊物上以同样的标题发表了一篇文章进 行答辩。但他未能说服e i n s t e i n 。“e p r 佯谬”一文得出的两个论断是： ( 1 ) 量子力学对于“物理实在”的描述是不完备的。这主要针对波函数 的统计诠释。他们认为应该存在可以对物理实在给出更完备描述的理 论，即所谓“隐变量”概念。( 2 ) 量子力学理论是不自洽的。这个问题 的实质涉及到多粒子体系( 或多自由度体系) 的纠缠态概念的澄清， 而在坐标表象上就表现为量子力学的“非定域性”。 1 9 3 5 年，s c h r o d i n g e l 提出了一个理想实验( 即s e h r s d i n g e r 猫) 2 2 1 ， 对波函数的统计诠释提出非难。 1 9 5 1 年，b o h m 【2 3 1 提出了更容易实现的e p r 佯谬的翻版。b o h m 1 4 方案的整个论证建立在以下两个主张的基础上：( 1 ) 定域因果性观点。 如果两次测量( 或一般地说，两个事件) 之间的四维时空间隔是类空 的，两个事件之间将不存在因果性关系。( 2 ) 物理实在要素的观点。任 何一个可观测的物理量，作为物理实在的一个要素，它必定在客观上 以确定的方式存在着。反映在一个完备的物理理论上就是，如果不扰 动一个系统，这个系统的任何可观测的物理量在客观上应当具有确定 的数值。 由这两个主张可知，以类空间隔分开的两个系统具有彼此相互独 立的物理实在性，如果量子力学是一个完备的物理理论，两个系统所 有可观测的物理量客观上应当是确定的，测量值应当彼此无关。这就 是e p r 佯谬的核心思想：定域实在论。 从定域实在论的观点出发，e i n s t e i n 断定量子力学是不完备的。 1 9 5 3 年b o h m 依据e i n s t e i n 的断言提出有必要引入一些附加变量对微 观客体作进一步的描述，这便是局域隐变量理论。局域隐变量的引入， 使得e i n s t e i n 与b o h r 之争有了实质性的进展。1 9 6 5 年b e l l 在分析自旋 l 2 的两个粒子的自旋分量的关联时，在定域实在论和存在隐变量假设 的基础上推导出一个不等式，【2 町即著名的b e l l 不等式，并发现它与量 子力学的预言是不相符的。因而我们有可能通过对b e l l 不等式的实验 检验来判断对量子力学的各种解释是否正确。用实验来检验b e l l 不等 式，除了有内部自由度关联的粒子对以外，还要有比较好的分析探测 设备。因为分析光子的偏振态比分析离子的自旋态要容易，绝大多数 实验都偏向于用光子来做。开始人们曾考虑过用正电子素湮没产生两 个光子的自旋关联，但对能量如此大的y 光子找不到有效的偏振分析 器。而利用原子级联辐射跃迁，选择光子总角动量为0 的情况，可以 产生偏振态关联的可见光光子。这类实验始于二十世纪六十年代末， 几经反复与改进，到了1 9 8 2 年，a s p e c t 等人做了b e l l 不等式验证的实 验。 2 5 1e p r 佯谬争论的结果和b e l l 不等式的实验检验说明了量子系统 的关联( 量子态的纠缠) 的确具有非定域性质。因此，量子力学是一 个非定域的理论，这一点已被违背b e l l 不等式的实验结果所证实，并 展现出许多非经典性的效应。其中，量子纠缠和量子非定域性是量子 力学两个最深刻、最奇特的性质，同时也是当代量子信息科学的两个 关键性概念，是实现量子技术的理论基础。因此，对量子纠缠态及其 量子非定域性的研究一直是量子光学基本理论研究的一个热点方向。 总之，关于纠缠问题的讨论从1 9 3 5 年起至今一直是非常热门的话 题，研究工作空前的兴旺。原因是最初的争论仅限于理论概念和“假 想实验”，从6 0 年代后期起，人们进行了许多验证b e l l 不等式的实验。 8 0 年代所进行的实验已经基本上达到过去只能在理论上讨论的“想象 中实验”的水平。这些理论和实验的发展使人们对量子力学基本问题 有了进一步的认识。 二、量子纠缠的概念 量子态的纠缠特性是量子力学最深刻的性质之一，也是粒子波粒 二象性本质的反映。通常，复合系统的一个态，如果不能写成两子系 1 6 态的直积形式，这个态就是一个纠缠态。一般地说，一个多粒子( 或 多自由度) 体系的量子态，如果它的子系相应的约化密度矩阵是混合 态密度矩阵，则为纠缠态。 其物理意义就是指两个或多个量子系统之间存在非定域、非经典 的强关联，它涉及实在性、定域性、隐变量以及测量理论等量子力学 的基本问题，纠缠态之间的关联不能被经典地解释。量子纠缠现象就 是在多量子系统中，对其中一个量子子系统的测量结果无法独立于其 它子系统的测量参数的最奇妙、最不可思议的现象。理解量子纠缠概 念对于我们理解量子力学的基本理论具有十分重要的意义。近年来， 量子纠缠已经在一些前沿领域特别是在量子信息处理中得到了广泛应 用。例如：为了进行远距离的量子密码通信或量子态隐形传输，人们 需要事先让距离遥远的薅地共同拥有最大的“量子纠缠态”等等。因 此，研究量子纠缠现象具有重要的实际意义。 尽管量子纠缠如此重要，然而，人们对量子纠缠的认识目前还只 处于初步阶段，如何定性和定量地描述量子纠缠是迫在眉睫的任务。 对量子纠缠的定性研究主要有，判定给定量子态是否是可分离态，即 划清可分离态与纠缠态之间的界限，这是一件有意义的事情。目前， 提出的判据有十几种之多，对于二体量子态可操作的必要的可分离性 判据有c h s h 不等式的违背、p e r e s 部分转置正定判据等等；按照不同 的情况对纠缠进行分类，有多种分法，其中按照纠缠体的数量来分， 可分为二体纠缠和多体纠缠。对于二体纠缠态，其基本方式为e p r 态。 三、量子纠缠的量度 量子纠缠的定量描述是指如何用一个具体的量来度量纠缠程度的 大小。1 2 6 量子纠缠的重要性使得对它的定量研究显得尤为重要，并成 为了量子信息理论研究的热点之一。所谓纠缠度，就是指所研究的纠 缠态携带纠缠量的多少。纠缠度的提出，为不同纠缠态之间建立了可 比关系。但目前，除了对两体系统的纠缠度取得了一些肯定的结论以 外，对如何量度多体系统的纠缠度尚处于起步阶段，还没有一个普遍 接受的标准，仍处于探讨之中。 2 7 - 3 0 几种主要的纠缠度 目前，大部分纠缠度都是通过量子熵来定义的，除了对两体纯态 纠缠得到了一些肯定的结果外，对于两体混合纠缠态以及多体纠缠态 的纠缠度量仍在探讨之中，几种主要的纠缠度为：【3 1 】 7 1 量子部分熵纠缠度 部分熵纠缠度即v o nn e u m a n n 约化熵。它仅能描述两体纯态之问 的纠缠，不能描述两体混态的纠缠。 对于一个由两个子系统a 和b 组成的二体纯量子态l 。 ，其部分 熵纠缠度定义为【3 2 】 e ，( i 矿。) ) = s ( p 。) ，( 2 2 0 ) 其中s ( n ) 为p 的v o n n e u m a n n 熵 s ( p d ) = r r ( p zl n p _ ) ( 2 2 1 ) 而n 为体系a 的约化密度矩阵 r 户= z ( iy ( y h 口1 ) ，( 2 2 2 ) 因为系统处于纯态，因此有s ( p 。) = s ( p 。) ，e p 可以定义为a 和b 中任 一个系统的v o nn e u m a n n 熵。 v o nn e u m a n n 熵是二体纯量子态系统纠缠唯一好的量度。部分熵 纠缠度e ，向二体混态的直接推广是v o nn e u m n n n 相对信息熵e ，定义 为： e ，= 谬( p 。) + s ( p 。) 一s ( 户) 】( 2 2 3 ) 但相对信息熵包含了经羹的信息关联，在局域操作和经典j 匿讯( l o c c ) 下可以增加，【3 3 1 不满足v e d r a l 条件，【3 2 1 因而它不是对量子纠缠度好 的量度。 2 量子形成纠缠度d 4 1 ( 1 ) 定义：对于a 和b 的二体混态p 。，形成纠缠度砟( p 。) 为 e p ) = r a i n l n e ，( ， ( 2 2 4 ) 其中 p ，iv , ， ) 是的任意一种分解形式。即 p 。= p 。i 少，) ( y i ， ( f = 一，占) ， ( 2 2 5 ) 而e ，( 慨) ) 为态慨 的部分熵纠缠度，式( 2 2 4 ) 中求极小值是对矶。的所 有可能的分解方式求的，i 虮) 为任意的两体归一纯态，不一定相互正交。 ( 2 ) 物理意义：通过局域操作和经典通讯( l o c c ) 过程，为制备纠 缠态p 所消耗掉的b e l l 的最小数目。 ( 3 ) 性质： 1 ) 分离态的形成纠缠为零，即昧( p ) = 0 该性质可作为判断可分离态的充分必要条件。 2 ) 纯态的形成纠缠度就是其量子部分熵纠缠度。即e ，( 1 少 ) = e ，( i j ；f ，) ) 3 ) 在l o c c 下形成纠缠不增加。【3 4 】 、 形成纠缠度能描述两体纯态和两体混态的纠缠，但其计算往往困 难。目前仅能量度2 2 两体系统和少量对称性特殊系统的纠缠。 3 量子相对熵纠缠度 两体纯态之间的纠缠程度可用v o nn e u m a r m 约化熵度量，但度量 混合态的纠缠程度却是非常棘手的问题。1 9 9 7 年v e d r a l 等提出了用相 对熵度量两体混合态的纠缠度，称为相对熵纠缠度。【1 8 ，3 2 1 其理论要点 如下： ( 1 ) 定义：两体量子态p 。的相对熵纠缠度为 e r ( p 。) = m i n s 6 0 | | 盯。) ( 2 2 6 ) 口蚰d 式中s ( p 。i l 盯。) = r r p 。( 1 n p 。一l n 盯。) 】是量子相对熵，d 是a b 所在的 直积空间中所有可分离态的集合，相对熵中的最小值是取遍d 中的最 小。对于纯态，相对熵纠缠度简化为约化熵。 ( 2 ) 物理意义 既然量子相对熵形象地表示两个量子态之间的距离，根据相对熵 的定义，我们不难看出它的物理意义：它是态p a 。与可分离态盯。之间 的最小距离。一个给定的量子态与可分离态间的最小距离是一定的， 这个最小距离越大，纠缠态的纠缠程度就越大。因此相对熵从最小“距 离”的意义上度量了两体混合态的纠缠程度。 ( 3 ) 性质： 1 ) s ( p | | 盯) 0 ，当且仅当p = 口时等号成立；e ，( p ) 0 ，当且仅当p 为 可分离态时等号成立。 2 ) 局域么正变换不改变相对熵纠缠度。 3 ) l o c c 不增加相对熵纠缠度。 4 ) 对于纯态，相对熵纠缠度等于部分熵纠缠度，即 e ，( 户 ) = 五p ( iy ) ) = 一以h a p 。( 2 2 7 ) 5 ) 相对熵纠缠度与形成纠缠度的关系满足不等式 e ，( p 柚) e v ( p ) ( 2 2 8 ) 相对熵纠缠度既可以量度两体纯态( 部分熵纠缠度) ，也可以量度 两体混态纠缠。除了一些特殊的态外，通常计算十分困难，但在系统 满足一定的条件时，计算可以得到简化。本文将运用相对熵纠缠度分 别研究了两个二能级原子与单模真空场相互作用系统中两个二能级原 子之间以及单个原子和真空场之间的纠缠演化。 第三章两个二能级原子与单模真空场相互 作用的量子纠缠 3 1 引言 量子纠缠是量子力学最显著最奇特的特性之一，纠缠态的非经典 和非局域性使得人们对基本的量子现象有了更好的理解。在e p r 详谬， 2 1 1b e l l 不等到式，【3 5 1 量子密码，【3 6 1 量子远程传态，1 3 7 量子计算 3 8 1 等 问题中，量子纠缠是一个非常关键的问题。在量子信息处理中，它也 被视为一种基本的物理资源。纠缠态的产生与操纵在量子信息的应用 中显得极为重要。目前，量子纠缠的大多数实验实现已由光子完成。 虽然人们很容易控制光予的极化态，且人们也可以通过几公里长的光 纤观察到其量子相干态， 3 9 1 但是，光子不能长时间存储，即使光子被 囚禁于同一腔中，人们对收集到的纠缠态进行操纵也显得相当困难。 另一方面，最近的研究发现，用原子可产生长命的纠缠对，这对量子 信息的贮存提供了可靠的保证。基于c i r a c 和z o l l e r 提出的理论，1 4 0 1 h a g l e y 【4 1 1 在一个微波腔中用脉冲技术产生了一对二能级原子的纠缠 态。在激光、原子和腔模系统中，文献1 4 2 也提出了原子一光子纠缠 产生的方案。 本章研究了两个二能级原子与单模真空场相互作用系统及其子系 统的纠缠度。应用量子约化熵研究了两个二能级原子与单模真空场之 ， 间的纠缠度；应用量子相对熵删研究了双原子之间以及单原子一场 之间的纠缠度。 3 2两个二能级原子与单模真空场的约化密度矩阵 考虑一个由两个二能级原子与单模真空场组成的相互作用系统。 在相互作用绘景中，考虑到旋波近似( r w a ) ，【4 4 ，4 5 1 其有效哈密顿量 h = h o + h l ， 2 h o = a o o 掣+ 0 2 a + 岛 j 1 2 日，= g ( a + 钞+ 舔p ) + q ( 掣s 一( 2 + s 峪p ) ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 式中口+ 和a 是频率为的真空场的产生和湮灭算符，6 0 0 是原子的跃迁频 率，s ，鼠和s 是二能级原子的赝自旋算符，g 是原子和场的耦合常 数，q 是双原子间的偶极一偶极耦合常数，i = 1 , 2 代表第f 个原子。为了 简便，我们考虑共振情况( 6 0 = ) 。 在t = 0 时，考虑两个原子都处于激发态l + 十 ，单模场处在真空态lo ) 。 系统初始态是一个退耦合纯态。态矢为 甲( o ) ) 爿l 。( o ) 徊l ( o ) ) = | + + o ) ( 3 4 ) 在相互作用绘景中，任意时刻t 0 ，系统的态矢随时间的演化规律 遵循s c h r 6 d i n g e