（理论物理专业论文）中性标量介子结构与φ介子电磁辐射衰变研究.pdf

两南大掌由贞士学位论文捅要 中性标量介子结构与巾介子电磁辐射 衰变研究 专 业理论物理 硕士研究生杜昌乔 指导教师周明震( 副教授) 摘要 q c d 求和规则是一种非常重要的非微扰方法之一，它在强子的唯象理论方面 已经有了极其广泛的应用。本文介绍了q c d 求和规则的理论基础和基本步骤，并 重点介绍了s v z 求和规则和光锥求和规则的基本思想和它们各自的特点及区别。 根据当前实验数据所得出的对a o ( 9 8 0 ) o rf o ( 9 8 0 ) 介子在的电磁辐射衰变中大值 耦合常数g 柳的结论，认为a o ( 9 8 0 ) 含有西成分，我们对标量介子的结构做出如下 假设，认为a o ( 9 8 0 ) ，f o ( 9 8 0 ) ，仃是由( u u + a d ) 4 5 和西混合组成的观点，其构成为： a o = c o s f l l n 元- + s i n f li 西 ，i 仃 = 一c o s ag 万 一s i n ai 面 ，lf o = s i n 口lq q - - c o s i z 西 ，这里f 厩 - ( f 材万 一l d d ) 4 2 ，f 孵 _ ( i 獗 + f d d ) 2 。其中引 入了参数混合角口，。以此为基础我们运用光锥q c d 求和规则研究了耦合常数 。，：其中利用睁巾混合机制，并计算到光子三粒子t w i s t - 4 分布振幅的所有贡献， 考虑了夸克质量的s u ( 3 ) 昧对称破缺效应；同时，我们利用大耦合常数，理论推导 出专跏过程的衰变宽度，并给出其数值与现有实验值进行对比。 最后我们的结论为： ( 1 ) 辐射衰变矽专a 0 7 ；若混合角参数为= 5 9 3 。3 7 。，则耦合常数 g 甄，= 1 6 4 2 + 0 0 5 1 ，衰变宽度r ( ja 0 7 ) = 3 气6 + 1 。5 ；1 0 - 7 g e v 与从p d g 所得 结果一致； ( 2 ) 辐射衰变寸f o r 和痧一0 7 ：若混合角参数为口= 4 7 。o 3 4 ，耦合常数 岛矗，= 1 6 9 + 0 3 2 ，g 衙= 0 0 6 0 + 0 0 1 2 分别与k l o e 实验组所得结果基本一 致，由此给出衰变宽度i ( 一f o r ) = t q 2 + 1 6 ：x l o _ 7 g p y 小于p d g 结果，而 r ( 一0 7 ) = 4 r o _ 1 7 + 2 1 ：1 0 - 7 g e v 无对应的实验数据。 关键词：标量介子结构，矽介子电磁辐射衰变，光锥q c d 求和规则 西南大学硕士学位论文a b s t r a c t 曼曼曼曼曼曼曼曼! 曼曼曼皇曼曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼曼曼曼曼皇! 曼曼曼曼曼曼蔓曼曼皇曼曼罡曼! 曼曼! 曼曼寰n1 曼曼曼鼍曼曼 m a j o r ：t h e o r e t i c a lp h y s i c s d i r e c t i o n ：p a r t i c l ep h y s i c s a u t h o r ：c h a n g - q i a od u s u p e r v i s o r ：m i n g z h e nz h o u ( a d j u n c tp r o f e s s o r ) a b s t r a c t r q c ds u mr u l ei so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tn o n p e r t u b a t i v em e t h o d sa n dh a s b e c o m eap o w e r f u lt o o li nh a d r o n sp h e n o m e n o l o g y t h i sa r t i c l ei n t r o d u c e dt h e f o u n d a t i o na n db a s i cs t e po ft h et h e o r y ，i n p a r t i c a l l yb a s i ct h o u g h t ，c h a r a c t e r i s t i c sa n d d i f f e r e n t i a t i o no fs v zs u l t ir u l ea n dl i g h t - c o n eq c ds u mr u l e a c c o r d i n gt ot h ec u r r e n t t h e e x p e r i m e n t a l v a l u ef r o mt h e e l e c t r o m a g n e t i c r a d i a t i o no f 咖m e s o n f o r a 0 ( 9 8 0 ) d ，f 0 ( 9 8 0 ) m e s o n ，t h el a r g ev a l u eo fc o u p l i n gc o n s t a n t s ，i m p l i e dt h a t a 0 ( 9 8 0 ) c o u l dh a v ea 露c o m p o s i t i o n s ow e m a k eaf o l l o w i n ga s s u m p t i o n ： a 0 = c o s f l l n 万 + s i n f li 西 ，i 仃 = - - c o s t 2g 虿 一s i n ai 西 ，a n df o = s i n ag 虿 一c o s j 西 ，w h e r ei 聆万 = ( j 材历 一ld d ) 2 ， ig 虿 = ( i 历 + l 痴 ) 2 t h e p a r a m e t e r s 仅，d a r e t h e m i x i n ga n g l e s a n dt h e n , w ei n v e s t i g a t er a d i a t i o n d e c a y s # - - - ) s yb yu t i l i z i n g 睁巾m i x i n gs c h e m e ，t a k i n gi n t oa c c o u n to fa l lc o n t r i b u t i o n s o ft h et w i s t - 4p h o t o n t h r e e - p a r t i c l ed i s t r i b u t i o na m p l i t i t u d e sa n dt h es u ( 3 ) f l a v o r s y m m e t r i cb r e a k i n ge f f e c t a tt h es a m et i m e ，w eu s et h e s ec o u p l i n gc o n s t a n t st od e r i v e d e c a yw i d t ho f # s yp r o c e s s e s ，a n dc o m p a r eo u rr e s u l tw i t he x p e r i m e n t a ld a t ai no u r m o d e l f i n a l l y ，o u rr e s u l ta r cl i s t e da sf o l l o w i n g ： ( 1 )ja o y d e c a y ： g 慨，= 1 6 4 2 o 0 5 1 w i t h = 5 9 3 。3 7 。 a n d r ( 专a o r ) = 3 6 + 1 1 - 2 5 ；xlo 。g e vi sc o n s i s t e dw i t ht h ee x p e r i m e n t a lr e s u l tf r o mp d g ； ( 2 ) 忙铆a n d 哪d e c a y s ：w h e n 口= 4 7 。o 3 ， ，= 1 6 9 + 0 3 2 a n dg 细= 0 0 6 0 o 012a r ea g r e e m e n tw i t ht h ee x p e r i m e n t a lr e s u l tf r o m k l o e ， r e s p e c t i v e l y b u tf ( # jf o r ) = 4 o q + 吐l - 3 6 ；xlo g evi sl e s st h a nt h er e s u l t sf r o mp d g t h e r eb en o e x p e r i m e n t a l d a t a f o r 矽j0 7 a n d o u r p r e d i c t i o n i s r ( 一形) = 4 8 0 - i r + 2 7 6 1 5xl o g e vi no u rm o d e l k e yw o r d s ：t h es t r u c t u r eo fs c a l a rm e s o n ，e l e c t r o m a g n e t i cr a d i a t i o nd e c a yo f 巾 m e s o n ，l i g h tc o n eq c ds u mr u l e s ； i u 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加了 标注。 学位论文作者：珠苎马督 签字日期川舜帆f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生部可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：囹不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：衣，土昌备导师签名：1 銎斗锈乙 i 签字日期：z ol o 年4 月旧签字日期：知j o 年年月if 日 两南大学硕十学位论文第一章引言 笔一童引言 粒子物理学是探索物质结构最小组成成分及其相互作用规律的最前沿的科学。 物质结构的研究已从最初的原子层次拓展到夸克和轻子这一新层次。而弱电统一 理论( c w s ) 1 l 与描述夸克之间强相互作用的量子色动力学( q c d ) 【2 】理论组合成基 本粒子理论中的标准模型。在标准模型中传递相互作用的媒介子分别是光子( 传递 电磁相互作用) 、中间玻色子，z o ( 传递弱相互作用) 以及胶子( 传递强相互作 用) 。标准模型理论是近半世纪以来探索物质结构及其相互作用力长期积累的知识 和智慧的结晶，是2 0 世纪最重要的成就之一，是迄今为止公认的描述弱、电、强 三种相互作用的最好的理论，经受住了几乎所有实验的检验，人们也在期待实现 弱、电磁和强相互作用理论的统一，但是标准模型和q c d 还有一些问题需要进一 步的研究。可以相信，标准模型理论的发展必将导致深层次新的动力学规律的发 现和建立。 7 1 9 6 7 年，温伯格( s w e i n b e r g ) 和萨拉姆( a s a l a m ) 提出了电磁相互作用和弱相互 作用统一理论，并预言了弱中性流的存在以及传递弱相互作用的中间玻色子的质 量 3 】。1 9 7 9 年标准模型预言的中性流过程的发现，1 9 8 3 年欧洲核子研究中心( c e 刚叼 发现了带电的( 肜) 和中性的( z o ) 中间玻色子，实验上测到的中间玻色子的质量与 理论预言惊人地一致。以及1 9 9 5 年美国费米国家实验室发现了标准模型预言的最 后一个夸克( t o p 夸克【4 】，对f 轻子( 以及相应的中微子) 的预言，轻子跟核子的深度 非弹性散射实验，两喷注以及三喷注实验证实了强子内部存在胶子等，这些都很 好地检验了标准模型的正确性。量子色动力学理论的基本成分是夸克和胶子，它 们被紧紧束缚在强子内部，不能呈现自由的状态，只可能间接地由强子实验观测 到它们的存在，由于实验上不能直接观察到夸克和胶子，对q c d 的检验要远比量 子电动力学和弱、电统一模型理论的检验困难得多。 同样在1 9 6 7 年美国斯坦福直线加速器中一i 二, ( s l a c ) 在电子打质子的深度非弹性 散射实验中发现了标度无关性规律( s c a l i n gl a w ) 。实验上标度无关性规律的发现以 及布约肯在理论上的发展意味着夸克之间很强的相互作用在高动量迁移下变弱， 具有渐近自由的特点。量子色动力学的渐近自由特点致使微扰理论得到了巨大的 成功，然而微扰理论仅在高动量迁移下的物理过程中可以得到应用，对于低动量 迁移的物理现象和强子结构，它仍无能为力。自然界的六种夸克中前五种夸克( u 、 d 、s 、c 、b ) 只存在于强子束缚态内部，而最重的项夸克t 产生以后寿命极短，很快 ，21 2 衰变为底夸克b 。从表达式口，( q 2 ) = 粤= 4 x ( f l ol o g 告) 还可以见到跑动耦合常数 | 刀、 当能量q 2 变小时它逐渐增大以至于达到无穷大，这可以定性地理解为什么夸克在 西南大学硕十学位论文第一章引言 皇曼曼曼! 曼罡曼曼曼曼舅! 曼曼皇i 一_ 一i i 量舅曼皇曼曼曼曼曼舅曼曼曼曼曼曼曼皇曼曼曼皇曼曼曼曼舅曼曼 强子内部不能以自由状态分离出来，因为当两个夸克之间的距离增大时，夸克之 间交换胶子的能量q 2 变小，跑动耦合常数变大，以至于耦合强度变为无穷大，这 意味着夸克之间的相互作用随着分开的距离增加而增加，使得夸克和胶子永远束 缚在强子内部，人们形象地称此物理现象为“夸克禁闭”。这正像橡皮筋一样，拉 的愈长弹回的强度愈大，永远束缚在一起。物质结构在新层次下的物理图像与先 前原子、原子核的层次完全不一样，已不是太阳系在微观世界的重复。这表明支 配下一层次的新的物理规律决定了不同的物理图像和观念。目前在量子色动力学 框架里，虽然可定性地解释了夸克囚禁在强子内部的结构图像，但是要想定量地 解释夸克囚禁疑难和强子结构图像仍是高能物理中一个重大的难题。格点规范理 论正试图从量子色动力学理论最终解决夸克禁闭这一难题。由于格点规范理论本 质上是非微扰理论，其理论方法不依赖于相互作用的强弱，因此科学家们正努力 获得强相互作用的全部解，而不仅是渐近自由解。渐近自由和夸克禁闭是量子色 动力学理论的两个重要特点，目前人们对夸克禁闭性质知之不多，夸克囚禁是由 量子色动力学物理真空性质造成的。微扰量子色动力学理论是建立在微扰真空的 基础上，而量子色动力学物理真空完全不同于微扰真空。在物理真空中真空不空， 它充满着夸克、反夸克对以及胶子，物质与真空中的夸克、反夸克对和胶子不断 发生相互作用造成新的强子结构图像。因此揭示真空的本质将导致找到夸克囚禁 疑难解。目前美国在布鲁克海文正在进行的相对论重离子碰撞实验就是要从实验 上揭示物理真空的性质。该实验力图在极端条件下将夸克和胶子从质子和中子中 解放出来，也就是实现从夸克的禁闭相到退禁闭相的跃迁。只有完全掌握了渐近 自由和夸克禁闭这两个特点，人们才能说对强相互作用有了深刻的理解。 在处理涉及大动量传递跟强相互作用有关的过程的时候，为了让理论有预言的 能力，我们需要把相关的量分解成微扰可算的部分和包含非微扰效应的不能微扰 处理的部分。q c d 微扰论主要就是用来处理那些微扰可算的部分。在计算介子衰 变振幅时，不可避免地会遇到各种强子矩阵元。计算这些矩阵元是粒子物理中最 基本也是最困难的问题之一。因为它们的计算涉及到q c d 非微扰效应。就目前来 看人们从第一原理出发解决非微扰问题是很困难的，因此人们只能借助各种唯象 理论来研究强子的衰变过程。通常广泛使用的方法有：手征微扰论( c h p t ) 5 、q c d 因子化方法( b b n s ) 6 、共线因子化方法 7 】、格点规范理论 8 】、重夸克有效理论 ( h q e t ) 9 】、夸克模型 1 0 】、微扰q c d 方法( p q c d ) 11 】、q c d 求和规则 1 2 和光锥 q c d 求和规贝j j ( l c s r ) 1 3 1 4 等。每种理论都既有优点又有缺点。例如，q c d 因子 化方法在研究b 介子的非轻衰变b 一7 7 ，斌中取得较大成功。在该方案中，衰变振 幅被表示成半轻形状因子，强子光锥分布振幅和硬散射振幅的卷积。其中硬散射 2 两南大学硕十学位论文第一章引言 振幅可以由微扰q c d 计算给出，而形状因子、光锥分布振幅则作为输入参量。手 征微扰理论和重夸克有效理论是在低能下的两种有效理论。分别很好地被用于描 述轻到轻和重到重的衰变过程，但是它们描述重到轻的过程就遇到了困难。夸克 模型使用简单而且有好的物理直观尹但它与q c d 的关系是不清楚的。微扰q c d 理 论可用于计算重到轻过程，这是由于有大的动量转移，即硬胶子交换过程。详细 地分析表明，p q c d 计算结果的可信度取决于能否消除或压低奇异性，它来自于在 壳胶子、在壳轻夸克和在壳重夸克。虽然改进的p q c d 能够压低软贡献，但这要依 赖于轻介子分布振幅的端点性质q c d 求和规则自从三十年前被发展以来成为处理 强子衰变中的重要方法，得到广泛的应用。然而它也存在一些问题为了克服这些 困难，光锥q c d 求和规则被发展起来，它是q c d 求和规则同描述遍举过程的强子 光锥分布振幅结合而形成的。与传统的q c d 求和规则相比，光锥求和规则的o p e 是在光锥x 2 = 0 附近，代替了小距离x = 0 ，因而，非微扰动力学由轻介子( 或光子) 的光锥分布振幅来反映，代替真空凝聚。由于它按算符的t w i s t 展开，因此包含了 更高量纲算符的贡献，从而克h 艮t q c d 求和规则在计算强子矩阵元方面存在的一 些不足。 在处理强子矩阵元的各种唯象理论中，除了格点规范理论和q c d 求和规则外， 我们都需要将强子的光锥分布振幅或者光锥波函数作为非微扰动力学的输入参 量。事实上，都需要这样处理遍举过程。 本文的主要内容是用q c d 求和规则和光锥q c d 求和规则，对矽js y 过程进行 研究。本文的基本框架是，第二章，我们简要地介绍q c d 求和规则和光锥求和规 则。主要涉及到夸克流的关联方程，算符乘积展开，关联函数的强子表示，关联 函数的微扰q c d 计算，色散关系和b o r e l 变换，夸克一强子对偶假设，最后是q c d 求和规则的应用。第三章到第五章是我们的工作部分，在第三章我们用光锥q c d 求和规则对矽寸s y 的耦合常数进行研究并考虑至l j t w i s t - 4 分布振幅的贡献。第四章 我们用q c d 求和规则计算衰变常数屯和疋它们是在第三章中通过光锥求和规则 所得耦合常数g 捕，中的参数，在第五章的数值分析中要用到这两个参数。同时在第 五章我们用量子场论相关知识推导了衰变宽度的表达式，并利用所得的耦合常数 对衰变宽度进行数值计算并与当前实验所得结果进行对比和讨论。最后一部分( 第 六章) 是我们的总结与展望。 3 两南大学硕十学位论文第二章q c d 求和规则和光锥求和规则 第二章q c d 求和规则和光锥求和规则 微扰q c d 应用到大动量迁移下的单举和遍举过程取得了很大的成功，奠定了 q c d 理论的基础。然而这是在假定微扰真空以及小距离相互作用不受阿贝尔规范 场大距离结构的影响下获得的。因此微扰q c d 和微扰真空忽略了很重要的物理内 容：强子态的禁闭问题和大距离相互作用效应。格点规范理论正努力解决非微扰 q c d t ! j ! 论，然而由于计算量大等技术上的原因，目前它对解决非微扰理论的还力 不从心，有待今后的发展。七十年代末i ：h s h i f m a n ，v a i n s h t e i n 和z a k h a r o v 建立的s v z 求和方法( q c ds u mr u l e s ) 1 2 给出了另一种可能的途径去考虑非微扰效应。q c d 求和规则的基本假定是q c d 理_ 论的物理真空完全不同于微扰真空。存在着一系列 的真空凝聚，如夸克凝聚，胶子凝聚，等。这些真空凝聚反映t q c d 的非微扰 特征。q c d 求和规则对这些真空凝聚处理的方法是将它们作为q c d 理论的待定参 量，由实验上自洽地确定它们的值，再应用到一系列过程作为非微扰参量输入， 从而给出确定的理论预言。q c d 求和规则的基本思想是在q c d 框架中从渐进自由 出发处理束缚态的问题，也就是说：从小距离到较大距离( 此时禁闭效应变得非常重 要) 移动过程中，渐进自由开始破缺，反映夸克和胶子被永远束缚在强子中的共振 态出现，在q c d 真空中，非微扰效应的能量修正的出现，表明渐进自由破缺，具 体表现为夸克胶子真空期待值的引入。三十年来，这种方法取得了相当大的 成功 1 5 。q c d 求和规则的优点是众多的在本章节中可以看到。然而，q c d 求和规 则也有局限性。虽然它能较好地给出相同量子数强子基态的一些特征与性质，但 是不能很好的处理激发态以及更高共振态和连续态。再者，这种方法的精度也是 有限受输入参数的影响。关联函数的算符乘积展开不可能取无限，通常都是取展 开的开始几项，比如，在q c d 求和规则中，一般展开到凝聚量纲为6 的项，而目前 有人最高取到1 0 ；而在光锥求和规则中，一般展开至t j t w i s t - 4 ，目前基本上还没有考虑 更高阶的t w i s t 贡献。并且，关联函数的强子表示中，对激发态以及更高共振态和 连续态的强子色散积分结构的具体形式尚不清楚。在解决此问题时，经常会采用 夸克一强子对偶假设近似。总之在用q c d 求和规则处理具体问题时，必须要充分 考虑和具体分析预言所带来的不确定性。这个不确定性，一般要求小于3 0 。下面 就详细的介绍q c d 求和规则的程序步骤和基本的理论方法。 2 1q c d 求和规则 为对q c d 求和规则有个整体的认识，我们首先来看q c d 求和规则的三个基 础： ( 1 ) 在中等能区，当为q c d 真空时，认可关联函数作算符乘积展开到有限项。 4 两南大学硕士学位论文第二章q c d 求和规则和光锥求和规则 i ； 一 一i i ! 曼曼曼曼曼曼! 曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼 ( 2 ) 对关联函数在色散关系中的谱函数可用几个能量最低的强子态作中间态插入， 并认为它们饱和了谱函数在一个好的精度范围内。 ( 3 ) q c d 求和规则途径的基本假设是理论的“双重性( d u a l i t y ) 原理一也就是所谓的 夸克强子对偶关系近似成立。 再看用q c d 求和规则计算强子非微扰参量一般步骤： 1 对要研究的强子态构造试探流，选取适当的关联函数。 2 用色散关系给出关联函数的强子表示，即用一系列强子态来表示关联函数。 3 利用算符乘积展开( o p e ) 研究关联函数，给出关联函数的q c d 表示。即把短程效 应用p q c d 给出，长程效应用真空参量表示。 4 对两种表示作b o r e l 变换，消除强子表示中的减除项，尽量压低高激发态及连续 态的贡献。 5 按理论的双重性原理将经过b o r e l 变换后的唯象关联函数和算符乘积展开( 其中包 括按维数展开( q c d s r ) 和按t w i s t 展开( l q c d s r ) ) 关联函数相等即 兀咖( m 2 ) = 兀伽( m 2 ) 6 选取b o r e l 参数m 和有效阈值参数，找到合适的b o r e l 参数窗口，并进行误差估 计，最后给出o c d 求和规则的预言值。 对于l q c d 求和规则步骤与上基本相同，从后面的对论述中可看到仅在第三点 上有区别。下面我们将对q c d 求和规则进行具体的介绍。 2 1 1 夸克流的关联方程 在完全q c d 理论中，拉氏( l a g r a n g i a n ) 密度为 1 = 一百1 吒a ，g 叫+ 呒( 汤一m g ) ( 2 1 ) q 这里，g u 。是胶子场强张量，y 。是夸克场( g = mc j i 墨c 是夸克的味道指标) 。一 般而言，所有强子和强子过程的性质都l ： ：t l a g r a n g i a n 密度决定。然而，直接的式( 2 1 ) 和其对应的f e y n m a n 规则的运用，仅局限于微扰理论框架中。即要求其过程中有 大的动量转移，使强耦合系数口。= g ；4 x 比较小，从而才可以进行微扰展开。但 对多数现象，如束缚态问题，强子化过程等，在强子内部夸克都都处于囚禁状态， 这就需知j 道_ q c d 动力学的距离量级为尺栅1 人d c d 时的性质。此时，微扰展开已 不在适用因耦合常数口。过大。 为了避免长程问题，考虑没有初末态强子的过程，其中出现的都是在短离 传播的夸克。这样的想法看似不可能实现的，但是在电子电子( p p 一- - e - e 一) 作用的弹性散射过程中，虚光子产生和吸收的夸克一反夸克对都是在小距离下传 播的行为。用公式表示产生和吸收夸克一反夸克对过程的振幅如下， 两南大学硕十学位论文第章q c d 求和规则和光锥求和规则 皇曼等曼曼曼曼曼曼寰曼曼舅! 皇量曼曼曼曼皇曼曼曼! 曼曼曼曼蔓曼曼皇曼舅舅曼曼曼曼曼曼曼曼曼皇皇笪曼曼曼舅ir ；。 一i 寰 n ，( q ) = f id 4 x e 岬j = ( q , q ，一q 2 9 ，) r i ( q 2 ) ( 2 2 ) 其中g 是虚光子的四动量，满足q 2 a ，则 ii x o 1 、 q 2 a 卿。最后相应的关联函数的两点距离则由重夸克质量决定， i 1 ( 2 m 。6 ) 。 ( 二) 、在光锥x 2 = 0 附近按t w i s t 的展开 我们考虑下面形式的矩阵元： i id 4 x e 郴 ， ( 2 1 2 ) 其中，q 2 = 电2 非常大，并r p 2 = 0 利用( 2 5 ) ，可得到 7 西南大学硕士学位论文第_ 章q c d 求和规则和光锥求和规则 i s d 4 x p 郴 = f ，d 4 期工两 ( 2 ，1 3 ) 值得注意的是，在这里与上一节有所不同可以有较高自旋算符的贡献l o r e n t z 对称性( 假设没有自发破缺) ，在小距离 = o ) 附近的展开中，自旋算符真空期望值 是零，而此处不作该要求我们先把这些算符约化成l o r e n t z 群的不可约张量表示： 吒砌= q 胁】+ 巩，q 朋扈p ，】+ ， ( 2 1 4 ) 矿 其中下标带有中括号的表示指标是全对称的，因此q m 】是一个m 阶零迹全对称 张量，荷载l o r e m z 群的个不可约表示p 。表示相应的指标要去除掉，则有下面式 子成立( q a 丘：肌如】= q 肌。】) 可以明确的是，第项的自旋最大( 为m ) 因此( 2 2 ) 可以如下形式： i j d 4 x p = f j d 4 x e i q x e ( x m x 。1 j 地 = 巾4 x e 2 ) “( p z ) “a m ( 2 - 1 5 ) 5 蕃以州伽川( - 耖”荔 = 私m ，器c 其中，( x 2 ) ”( 搠0 ) 与较低的自旋算符贡献相对应。最后的一个等号利用p 2 = 0 ， 而这罩 口( 所，疗) = ( 2 i ) ”4 2 + ”一5 石2 一。r ( 2 + n + 掰一占) r ( 一珑) 从上式可知，在p q q 2 1 ，所考虑的矩阵元是按m 而不是按n 展开然而，当n 增 加l 的时候，相应的算符的量纲增) j 1 l ，同时自旋增加1 另外，当m 增加l 的时候， 算符的量纲增加2 ，同时自旋不变因此定域算符t w i s t ( t ) 被定义为它的量纲( d ) 与自旋 ( s ) 的差值t = d s 。所以矩阵元( 2 1 2 ) 不是按量纲展开而是按t w i s t 展开。关于短距 离展开和光锥展开的区别，有更多的文献可以参考 1 6 】。 2 1 3 用强子态表示关联函数 在计算关联函数兀。之前，先来看看它究竟涉及到多少物理可观测的强子态。 这里的不变振幅n ( q 2 ) 是关于变量9 2 的解析函数，并且不仅仅是它的类空区域， 也可以是它的类时区域，甚至还可以是它的复数值。在我们的关联函数中不仅具 8 西南大学硕士学位论文第二章q c d 求和规则和光锥求和规则 有量子数的矢量介子有贡献，而且激发态的矢量介子和连续态的两体和多体强子 态也有贡献。所以关联函数的强子态表示，可以通过在式( 2 2 ) 中插入强子态的完备 基得到： 2 i m h ，( 9 2 ) = ( o 阮愀刀 歹，l o ) a r 。( 2 尼) 4 ( q - p 。) ， ( 2 1 6 ) 其中，求和号是对所有被流_ ，p 产生的强子态l ，2 ) 的求和，d r 。表示强子态的相空间 积分。 为计算方便，我们将基态矢量介子贡献从中分离出来，剩余的来自激发态矢 量介子和连续态的贡献合并记为： z l m h ( q 2 ) = 刀6 ( 9 2 一所；) + p 6 ( 9 2 ) 口( 9 2 一s ：) ， ( 2 1 7 ) 其中用到了公式( v ( q ) l j , , i o ) = 兀搬矿占r ，杉是矢量介子的极化矢量且有 s q = 0 。 是矢量介子的衰变常数，是典型的由长程动力学决定的强子参数。 s ：是合并连续态和激发态贡献后的等效阀值。p 6 ( 9 2 ) 是色散密度，目前还无法直 接由强子态分析给出，需要用到后面的夸克强子对偶假设理论给出。 2 1 4 用微扰q c d 计算关联函数 关联函数除了可以用强子表示之外，还可以用算符乘积在x = 0 附近的展开， 将其长程作用与短程作用分离。对于n 。可用系列局域算符展开为 f j d 4 x 已r 歹( x ) 以少( x ) ，矿( o ) 九y ( o ) ) = ( 吼一9 2 巩，) g ( q 2 ) 仍， ( 2 1 8 ) d 可得到， h ( q 2 ) = c d ( 9 2 ) ( 2 1 9 ) d 上面所得是按算符的维数展开，其中算符的真空凝聚 由非微扰效应决 定，而相应的w i l s o n 系数c d ( 9 2 ) 是微扰可算的。在这里，最低维数为d = 0 ，是单 位算符，相应的微扰贡献：c o ( 9 2 ) = 兀一( q 2 ) ， 三1 。对于展开中d 0 的项，真空凝聚不仅包含夸克场矿和少，还包含胶子场g ：。高维的凝聚项，需 要再插入更多的真空胶子和夸克，所以，其结果是如q 2 压低的。因此，即使 在中能区q 2 1 g e v 2 ，展开式( 2 1 9 ) 作开头几项截断，也是可行的。 另外，我们有 0 3 = 咖q = g ：，g 州 ，口 q = 弦p ，等g 掣y睇= ( 洒，y ) ( 矿，y ) ( 2 2 0 ) 醇= 厶。哦，哆g 叫 其中，r ，表示各种l o r e n t z 矩阵和颜色矩阵。p 分别表示夸克凝聚算符( d = 3 ) 、胶 9 西南大学硕士学位论文第一章q c d 求和规则和光锥求和规则 子凝聚算符( d = 4 ) 、夸克一胶子凝聚算符( d = 5 ) 、四夸克凝聚算符( d = 6 ) 和三胶子 凝聚算符( d = 6 ) 。在大部分q c d 求和规则应用中，算符量纲d 6 的凝聚项贡献都 很小，这里我们就不再详细讨论。 应该注意的是：在短距离1 4 q 2 ，还存在一种真空场涨落，它吸收了外夸 克流的全部动量。这种效应被称为“直接瞬子效应”，破坏了上面的凝聚项展开。 对于矢量流，这种短程非微扰效应仅仅出现在高维( d 1 0 ) 项中，对o p e 截断影响 不大。然而，在包含赝标( j p = 0 一) 和标量( j 户= 0 + ) 夸克或者胶子流中，这种直接 瞬子效应由于在中能区被增加而变得很重要。 2 1 5 色散关系与b o r e l 变换 前面给出关联函数的强子表示和o p e 的结果，但是要将两者联系起来，还需 进一步的讨论。从2 1 1 节的讨论，我们知道关联函数( 2 2 ) 在9 2 为较大负数时，它 表示短距离的夸克一反夸克涨落，用p q c d 就能处理；而在9 2 0 时，它被分解 为一系列强子态的表示。下面我们将推导在任意q 2 0 ) ，那么，等式( 2 2 1 右边的第 一项圈积分项将趋近于0 ，只有第二项存在。第二项的分子除了割缝以外都为零， 仅在割缝区域为上、下岸值之差，下面讨论如果兀( 9 2 ) 不消失，对等式( 2 2 1 ) 的一 个必要修改。第二项积分能用1 - i ( q 2 ) 的虚部来表示。q 2 r 曲时，运用s c h w a r t z 反射原理： i - i ( q 2 + i s ) 一i - l ( q 2 一括) = 2 i i m h ( q 2 ) 。经过代换，我们得到新的色散关系： 1 - i ( q 2 ) ：1 彳凼半 ( 2 2 2 ) 万f 二 s q l c 后面的表达式中将省略不写无限小量( 一份) 。我们可以发现它是紫外发散的通过其 关联函数的计算。其结果就是虚部i m 兀( s ) 在s j 时，不趋近于0 。处理这个问 题的标准方法是：引入一个减除项兀( 0 ) 。因此，减除后的关联函数是， h ( q 2 ) = l - i ( q 2 ) 一h ( o )( 2 2 3 ) 相应的修正后的色散关系为， 觚2 ) = i q 2 ，j 凼石i m - 丽i ( s ) ( 2 2 4 ) 万，。s l j 一印 将这个关系应用至l j ( 2 1 7 ) ，得到， 呦= 意岛霄篇+ n 对大多数情况来说，减除项兀( 0 ) 可能是常数或者关于9 2 有限的多项式。其干扰可 以由下面的b o r e l 变换将它们全部消去。 引入b o r e l 变换的定义： n ( m 2 ) - - b m , f i ( 9 2 气= _ l i m 一譬( 争呦 ( 2 2 6 ) 和两个重要变换公式： 气：( 扪七- 0 ，：( 万导 ：丽1 可e x p ( - m m 2 ) ， ( 2 2 7 ) 其中，k 0 。更为复杂函数的b o r e l 变换可以参考文献 1 7 。运用( 2 2 6 ) 和( 2 2 7 ) 到 ( 2 2 5 ) o ? ，可以得到求和规则更为简便的形式， n ( m 2 ) = 彭p 一弗肼+ fd s p 6 ( s ) p 一5 m ( 2 2 8 ) 未 从上式可以看b o r e l 变换确实消去了色散关系中的减除项，并且对于来自激发态 和连续态贡献给出了一个指数压低因子。从而，最大限度保证主要考察的基态介 西南大学硕士学位论文第二章q c d 求和规则和光锥求和规则 子性质的可靠性。 2 1 6 夸克强子对偶假设 通过色散关系着i b o r e l 变换，强子表示给出了求和规则( 2 2 8 ) 式，同样将它们运 用至i j o p e 的结果中去，再把二者等同起来，就可以得到关于衰变常数的表达式。 刀p 前删2 + 点出p “朋2 = 嘉妣“2 2 撕) 。 1 1 2 n c t s ( 妒l r ) 2 q 2 叻 m 2 。 1 2 m 2一8 1 一万4 这里的口。是在能标为埘寸的取值。 另外，用下面的讨论来估算对激发态和连续态的积分是合适的。在深度类空 区域q 2 专棚，所有的凝聚项贡献可以忽略( 因幂压低) 。极限l - ( q 2 ) 一兀严一( 9 2 ) 有 利于得到它们对应的色散关系的近似方程， 旷一i d s i m h 吁( s ) ，1 2q 2 j ：凼等署 此关系被称之为整体夸克一强子对偶假设。为了满足这个假设，需要积分等式的 两边有相同的渐进形式， h n 兀0 ) 一