（概率论与数理统计专业论文）不同分布na阵列加权和的收敛性与强大数定律.pdf

摘要 n a 序列的概念是由j o a g - d e v 和p r o s c h a n 于1 9 8 3 年提出的 称随机变量x 。，恐，n 2 是n a 的，如果对于 1 ，扎) 的任何两 个不相交非空子集a 。和a 2 ，都有 c o v ( f l ( x i ，i a 1 ) ，厶( x j ，j a s ) ) 0 其中 和，2 是任何两个使上述协方差存在的且对每个变元均非降 ( 或均非升) 的函数称随机变量序列 x i ，i 1 ) 是n a 的，如果对任何自 然数礼2 ，x ”，溉都是n a 的 由于n a 随机变量在许多与实际应用密切相关的模型( 如可靠性理 论，渗透理论，多元分析) 中有着极为广泛的应用，近年来关于n a 极限 理论的发展十分的迅速，获得了许多与独立序列相类似的结果但独立随 机变量序列只是现实中一种特殊的情况，与生活中很多现象不符，而n a 的概念却假设了随机变量序列中各个不相交的部分具有某种相关性，并 且在单调函数的变换下，这种负相关性保持不变它很好的模拟了应用 中出现的各种情况，为数学手段在这一领域的更加广泛应用打开了方便 之门 本文分为三章第二章和第三章是主要部分 第二章主要讨论了在p 2 阶矩的情况下，具有不同分布的n a 阵列 加权和的依概率收敛和完全收敛，同时讨论了n a 阵列加权和的驴收敛 的条件，所获得的结果将相应文献从n a 部分和的情形推广到更为一般 的加权和的情形 t 第三章利用指数矩有限条件，建立并证明了不同分布的n a 阵列加权 和的强大数定律，所得结果将相应文献从独立随机变量的情形推广到不 同分布的n a 情形 关键词：n a 阵列；加权和；完全收敛；强大数定律 a b s t r a c t t h ec o n c e p to fn aw a si n t r o d u c e db yj o a g - d e va n dp r o s c h a ni n1 9 8 3 r a n d o mv a r i a b l e s ，x 1 ，x 2 ，k ( n 2 ) a r es a i dt ob en e g a t i v e l ya s s o c i a t e di f f o re v e r yp a i ro fd i s j o i n ts u b s e t sa 1 ，a 2 0 f 1 ，2 ，n ) c o v f l ( x i ，i a 1 ) ，2 ( x j ，j a 2 ) ，0 w h e n e v e rf la n d f 2a r ec o o r d i n a t e w i s ei n c r e a s i n ga n dt h ec o v a r i a n c ee x i s t s ar a n d o ms e q u e n c e s x i ，i 1 ) i sc a l l e dn e g a t i v e l ya s s o c i a t e di ff o ra r b i t r a r y n a t u r a ln u m b e r sa r ea l ln e g a t i v e l ya s s o c i a t e d r e c e n t l yt h el i m i tt h e r o yo fn ar a n d o mv a r i a b l e sh a sb e e nd e v e l o p e dq u i c k l y o na c c o u n to ft h eb r o a da p p l i c a t i o no fn ar a n d o mv a r i a b l e si nm a n ym o d e l s ( s u c ha s t h er e l i a b i l i t yt h e r o y , f i l t e r i n gt h e r o ya n dm u t i v a r i a t es t a t i s t i c a la n a l y s i s ) a n dag r e a t m a n yc o n c l u s i o n sc o n s i s t e n tt oi n d e p e n d e n ts i t u a t i o nh a v eb e e no b t a i n e d b u ti n d e - p e n d e n tr a n d o ms e q u e n c e si sj u s tak i n do fp a t i c u l a rc a s e ，n e g a t i v ea s s o c i a t i o nh a s o n ed i s t i n c ta d c a n t a g eo v e rt h eo t h e rk n o w nt y p e so fn a g e t i v ed e p e n d e n c e ，i n c r e a s i n g f u n c t i o n so fd i s j o i n ts e t so fn ar a n d o mv a r i a b l e sa r ea l s on a ，s oi ts i m u l a t e sp e r - f e c t l yav a r i t yo fc a s e si na p p l i c a t i o n t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s ，c h a p t e rt w oa n dc h a p t e rt h r e ea r e m a i np a r t s i nc h a p t e rt w ow em a i n l yd i s c u s sc o n v e r g e n c ei np r o b a b l i t ya n dc o m p l e t ec o i l - v e r g e n c ef o rw e i g h t e ds u m so fa r r a y so fn ar a n d o mv a r i a b l e sw i t hd i f f e r e n td i s - t r i b u t i o n su n d e rm o m e n tp 2 ，a tt h es a m et i m ew ed i s c u s st h ec o n d i t i o n so f 2 c o n v e r g e n c e ，t h er e s u l t sw eo b t a i n e da r ee x t e n d e df r o ms u m so fn at ow e i g h t e d s u m s i i i i nc h a p t e rt h r e ew ee s t a b l i s ht h es t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r sf o rw e i g h t e ds u m s o fn ar a n d o ma r r a y sw i t hd i f f e r e n td i s t r i b u t i o n sb yu s i n gc o n d i t i o no fe x p o n e n tm o - m e n t t h er e s u l tp r e s e n t e di nt h i sp a p e ri se x t e n d e df r o mt h ei n d e p e n d e n ti d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e dc a s et ot h en as e t t i n gw i t hd i f f e r e n td i s t r i b u t i o n s k e y w o r d s ：n ar a n d o ma r r a y s ；w e i g h t e ds u m s ；c o m p l e t ec o n v e r g e n c e ；s t r o n g l a wo fl a r g en u m b e r s i v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：坳妇乏驴加7 年月己日 l 1 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密区 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者签名： 导师签名： 日期： 日期： c 月、日 0 ，成立 l i mp i 一x l ) = 0 1 一 硕士学位论文 则称 k ) 依概率收敛于r v x 简记k 马x 定义5 设x = x ( ) 是定义在概率空间( q ，p ) 上的r v ，如果矗i x l d p _ a 定义1 0 称r v 序列 r ；7 7 , 1 完全收敛于常数c ，如果对任意的 0 p t n e l ) o 。 n = ：1 定义l l 称r v 序列 碥；n 1 ) 是强稳定的，如果存在常数序列 n 。 和 k ，0 a 。下( 3 0 使得 三碥一k _ 0 。s a n 一9 一 不同分布n a 阵列加权和的收敛性与强大数定律 定义1 2 称r v 序列【；n 1 ) 服从强大数定律，如果 ) 是强稳 竹 定的，这里& = 虬 是= 1 1 2 研究背景 长久以来，人们在研究独立随机变量的同时，也一直致力于削弱对独 立的限制因而人们提出了一些能真包含独立系列的相依列的概念，其 中之一便是j o a g - d e v 和p r o s c h a n ( 1 ) 提出的n a 列的定义 定义称随机变量x ，佗2 是n a 的如果对于 1 ，n ) 的任 何两个不相交非空子集a 。和a 2 ，都有 c 伽( ，l ( k ，i a 1 ) ，尼( z j ，j a 2 ) ) 0 其中 和五是任何两个使上述协方差存在的且对每个变元均非降 ( 或均非升) 的函数；称随机变量序列 x ，i 1 _ 是n a 的如果对任何自 然数佗2 ，x 1 ，k 都是n a 的 由于n a 列在可靠性理论、渗透理论及多元统计分析中有着极为广泛 的应用，因而备受国内外学者的广泛关注到上世纪九十年代中期，n a 列 的理论研究已取得了很大的发展1 9 9 2 年m a t u l a 对n a 建立了k o l m o g r o v 型的上界不等式和三级数定理【2 】，再加上p e t r o v 所建立的可适用于n a 序列的推广的b o r e l c a n t e l l i 引理，打开了人们研究n a 序列a s 收敛和完 全收敛性状的道路人们发现n a 列与独立随机变量列有着极为相似的 极限性质，其中m a t u l a 建立了k o l m o g r o v 型强大数定律【2 】，苏淳和王岳宝 建立了m a r c i n k i e w i c z 强大数定律 3 】3 ，苏淳、赵林城、王岳宝建立了矩不 等式【4 ，还有其他强极限性质，如文( 5 ，6 】- 另一方面，在1 9 4 7 年许宝禄和r o b b i n s 在文献 7 提出了完全收敛性 3 一 硕士学位论文 的概念，完全收敛性是极限理论中非常重要的领域，且对独立同分布部 分和的完全收敛性的研究也已趋成熟，见文【8 - 1 1 由于部分和是加权和 的特例，又由于在实际问题中更多遇到的是加权和的情形，所以研究加 权和的收敛性更为重要至今，对于独立加权和的完全收敛性的结果已 为数不少，见文【1 2 1 5 自然地，关于n a 列的加权和的完全收敛成了学 者们感兴趣的另一个主题文献 1 6 】得到了如下结果： 定理ap 2 ，设 托，k 1 ) 为n a 列，e x k = 0 ，a 幽1 k 礼) 为三角 实数列，满足以下条件口。2 七= o ( n 6 ) ( 竹_ o 。) ，l a n k i = d ( 1 ) ，1 k 佗，佗1 ， 对某0 6 ；2 成立若席= s 詹u 嘶1 ) z ) = o ( 1 ) p ( i x i z ) ，v z o ，v n 1 ，a 。七，1 k n ，礼1 】满足a n k = c 、n k ，i l 、元1 ) ，a n 知= 1 对所有礼1 ，此处0 c g 七 c 1 ( a ) e l x i 百r - - 刁i o 。，一1 p 一； ( b ) e l x l l o g ( 1 + i x l ) 0 有 扩2 p ( m a x 。i a n i 五i e ) 0 和z 0 ，则 p ( 1 x i z ) e i x f l 7 3c h e b y s h e v m a r k o v 型不等式 令x 为r v ，夕( z ) 0 为r 上的非降函数，那么 郴列等 4 对任意的正数r 和c e i x i ( i x i c ) j e i x l 7 5 口不等式 x ，y 为两随机变量，r 0 有如下不等式成立 e i x + y 1 7 g ( e i x l 7 + e i y l 7 ) 其中g = 1 ，若0 1 ，满足；1 + ；1 = 1 ，则有 e i x y i ( e i x i p ) ；( e i y i a ) ： 7c a c u c h y - s c h w a r z 不等式 e x y i ( e x 2 ) i 1 ( e y 2 ) 8 初等j e n s e n 不等式 对任意的整数r 2 和n ，有 nn l 鼍i ( 霹) 吾 9j e n s e n 不等式 令g 为r 1 上的凸函数g ，假设x 和g ( x ) 的数学期望都存在，那么 g ( e x ) e g ( x ) 对于严格的凸函数，等号成立当且仅当x = e x a s 1 0 对任意0 r s ( e i x i r ) ；( e i x i s ) ( 丢壹i l r ) ；( 嘉壹i x j l s ) ； j 2 jj 5 1 1 l 设e i z 0 0 ，记y = a t ( x 6 ) ( 一0 0 a b o 。) ，贝0 对1 p 0 0 ，有 e i x e x l p e l y e y i p 1 2 ( m i n k o w s k i 伴随不等式) e ( f 码i ) e 1 1 7 ( r 1 ) j = 1j = 1 6 一 不同分布n a 阵列加权和的收敛性与强大数定律 e ( i 玛i ) 7 e l x j i p ( e l z j l 7 ) 考( r 1 ) i = 1i = 1 1 4 相关的引理及定理 引理1 1 】设x l ，恐，为n a 变量， a 1 ，a 2 ，a m 是集合 1 ，佗) 的两两不相交的非空子集，记q ；= # ( a ) ，其中# ( a ) 表示集合中的元素的 个数；如果 五：r 伽_ r ，i = 1 ，m 是m 个对每个变元均非降( 或同为对每个变元均非升) 的函数，则 ( x j ，j a 1 ) ，厶( x j ，j a 。) 仍为n a 变量 引理2 【2 】( 推广的b o r e l - c a n t e l l i 引理) ( i ) 若曼p ( a 。) 0 ，使s u p e i x n l l + 。 ，则 ) 是一致可 积的 一7 一 硕士学位论文 定理3 4 j 设 恐，j ) 为零均值的n a 序列，对某个p 2 ，有 疗一l 岛= s u pe i x j i p 记，知= 磁 ，s 1 ，奄= 瓯，岛= s u pe x ，则存在仅与p 3j = 0， 有关的常数岛1 ，使得对任何自然数a 与n ，有 e ( m 蛾a x n s n 缈( 几岛+ ( n t i s ) 詈) 推论2 2 2 】对0 p c o ，e i x i p 的充要条件是ep ( i x i 佗；) n = l 它也等价于en n - 1 p ( i x i n ) c o t i = l 引理3 1 2 4 1 设 拖，1 k 佗) 为零均值的n a 序列，有p 2 ，且 e l x k l p c o 则存在仅与p 有关的常数0 0 ，1 j 仃，扎1 ，对某一p 2 ，有e i x i o ， o 埘，1 j n ，n 1 ) 是实 数阵列，且器黑l n 脚l = d ( 凡一口) ，0 a 虿1 且对某个p 2 ，有e j x l p 0 0 ，且 e x 2 n i - c 。e ) 。 一8 一 不同分布n a 阵列加权和的收敛性与强大数定律 定理3 设 ，1 j 佗，扎1 是均值为零的n a 阵列， 口嘶，1 j n ，n 1 ) 是实数阵列，令& = ，若1 z = 0 以及s u p n 一1 e l a 耐i o o ，则对v p ( 0 ，7 ) 有 n 2 1j = l 1 i m e旷吾口可ip=0n-100j 。一 。 j f f i l 定理4 设 i ，1 i n ，n 1 是均值为零的n a 阵列， o 。 ，1 i 登i n 礼，礼1 ) 是实数阵列，且满足a 。= l i ms u p a 叩 0 满足p ( 1 i x ) c p ( i x i x ) 对v x 0 ，1 j 礼，n 1 ，对某个p 2 时，有e x p 0 ，由m a r k o v 不等式 p ( i s 1 纠掣 所以要证结论只需要证 e l & i p _ o ( 竹_ o o ) 由【4 定理l e i & p c ( e l o 。j x 嘶i p + ( e ( o 研j ) 2 ) 暑) ( 2 2 1 ) 硕士学位论文 e i x n j i p = p 矿- 1 p ( i k j i x ) d x - ，o ，- o o p x p - 1 c p ( i x l x ) d x = c e i x p 因为 nnn e l a n j x 町i p = f o 嘶i p e l x 幻i p c l n 耐i p e i x i p j = lj = lj = l 又由初等j e n s e n 不等式：对任意的整数r 2 和n 有 l x j l 7 ( 霹) 主 j = l3 = 1 我们可得上式 e i 口删x 0 i p c e i x p ( 7 o 为) 暑 j = 1j = l 同理可证 ( e ( a 叨x 南) 2 ) 墨( c e i x l 2 g 毛) 暑 j = lj = l 则由( 2 2 1 ) 式及( o 毛) = o ( ( 1 0 9 n ) - 1 ) 可得 j = l e i i p c ( 吃) 暑_ o ( n _ o 。) j = 1 即可得结论 ( 2 2 2 ) 定理2 2 2 设 ，1 j 礼，n 1 ) 是均值为零的n a 阵列，存在随机 变量x ，满足p ( i x n j i x ) p ( i x l z ) ，对比 o ， n 耐，1 j n ，礼1 ) 是 实数阵列，且l m s j a s x 。 。幻i = o ( n n ) ，0 a i 1 ，对某个p 2 ，有e i x i p 礼9 ) + e a n j x n j 厶i 。町* i j i n q ) ) n i 一口 m ( n g 一阳l o 可i p e i x i p + 一钾l a n j l p e i x i p ) n 1 o t m c n q w j = ll n 可l p n 1 一口 m c n 叶n _ 舻1 i a n j i p j = l c n q + 口一p g l 礼礼一p 口 c n q + a 一，l 口一p a c n ( 。+ 口) ( 1 呻) 一0 ( n _ 。) j = l t l 最= u a 砸 佗口， n q ) u ( a 砸k t 一n 9 ，o 衄 一n q ) 】 1 i j 一 0 n u = n a 己，l 硕士学位论文 只要我们能够证明下面三式 n = 1 n p p ( a 。) o 。 r t , p q p ( b n ) 。o ：一 n = 1 f 矿一2 p ( m ，a x ，i i 2 n 1 一n ) 。 厶一 、1 m n 一 7 n = 1 一一 而要证( 2 2 4 ) 式，即相当于证 ( m ，a ! x 。i 岛l 4 n 1 一。) da 三nb 三n ( 1 m s 。a s x 。i t , , , i 2 n 1 - a e ) 全玩 任取u d n 用h a 表示a 中元素的个数 则。m 姬a x ni 口可( u ) l n 1 一a ，m 鲫a s x 。i t m ( u ) l n q ) 1 o r 2 = # 歹：1 j n ，a n j 义0 ( u ) 一佗9 ) 1 易见当o t l = q 2 = 0 时，对v 1 js 佗 所以 均有( u ) = o 删) l m m a x 。i s a ) i 2 l m 。a x 。i ( u ) i n a ，但仍有 a n j o 五响( u ) 佗1 - 。 对其余j 均有) = o 可) 所以不仅有舻 寄t l = lf = 1 vo o o f 矿_ 2 ：一 n p ( i i n ) j = l n 卿f p ( i x l n e ) z 一 j = l u p - 1 p ( i x i r i g 1 o o ( 2 2 6 ) 妒一2 p ( o 竹i x n l - - n q ) p ( n 脚) 佗2 ) 】 n p p 2 ( i x i n ( q 十。) n p n - 2 p ( g + n ) 由( 2 2 3 ) 式可得，当n 充分大时我们有 p ( 1 m 三。a 三x ni t m l 2 n l - , 1 e ) p ( 1 m s 。a s x 。i t m e n l - a c ) 取a 2 ( 1 v _ 口_ - 2 q n ) 由文献 4 】定理2 e ( 1 m 三。a 三x ni t m e t m ) 2 a e 几l m s j a s x 。e i z n j ( 2 2 7 ) 一e p + ( n m m a x 。e ( z n j e ) 2 ) 1 1 5 一 。斛 矿 。瞄 言= 脚 d c 一 言 c 一 硕士学位论文 由m a r k o v 不等式及上式 矿一2 p ( 1 m a x 。i t m e 焉i n 1 一“) 矿一2 n 拟1 一n e ( 1 m m a x 。i t m e t m l ) 2 a 三矿2 佗吨州1 。h 。m 垡a x 。别一e p 因为l l ，e l l 俨 + ( n m m a x 。e ( z n j e ) 2 ) a 】 而l m 三j a 三x ne ( z , q e ) 2 1 m ) ，a x 。e z 2 j 逻蓉e 。勃罨n - 2 , 1 e x 2 所以l m m a x 。e i z n j e 1 2 a n 2 q ( x - 1 ) 几也e x 2 结合( 2 2 8 ) 式知 妒一2 p ( 1 m 。a xt t m e l n l - a ) s c n=l 综合( 2 2 6 ) ( 2 。2 7 ) ( 2 2 9 ) 可得 n = l ( 2 2 8 ) r b p - 2 孔- 2 n l 一n n 2 “卜d 铭_ 2 口+ 站o - 2 a ) n = 1 ：c 厂 j 一 n 1 一。) z ) = 0 以及 n s u pn _ 1 2 l j = l 若1 3 a s d s ，n l + 他。1 p i n 删i s ；) d s + 佗一1 p i ( 一s ；m 可 s ；) ) 3 a s ；i d s 因此要证( 2 2 1 3 ) 式我们只需要证明 厶= s u p n 。1f 付2 1 j = l p l a 巧| s ； d s 3 n s ；1 ) i ) d s n n 2s 1 1 n s f 1 - -f l - s h 厶： 1 n 2 s u p n 一吾 8 n ，( n 删x 叮 s ；) 口町i s ；) + s ；p ( 1 a 町l s ) ) e l a 可l 川n 可l s ；) e a 埘i 川砀i s ；) 2 n 一；e l n 可a 巧i 佗；) j = l 2 n 。1 e l 。删| r 2s 纠u p n 一善讹i 如l r = 2 n 根据m a r k o v 不等式，我们有 ，o o “ 厶s u 、p n 。p i 【- s ；讹可 n 2 1jn：=j s ；) 一e ( 一s ；，( 口耐x 易 s ；) ) 】| o s i l ，如 ( 2 2 1 8 ) s ；1 ( e l a 嘶义易1 2 ，“口巧j i s i l ) + s ；p l 叉乇i s ；) ) d s e j a 巧j1 2 i ( 1 a 町l s ；) d s w s 喇u p n 1zs 乇；善 ， t l c s 。u p n 一1 , c os 一；j n n 2 l n j = l + c s u p n 一1 n 1 n p 1 8 柳i s d s e i n 嘶j 2 川n 。j j i s ；) d s p i s 兰 d s j = l 1 8 一 s 一 。触 og 。触 似 不同分布n a 阵列加权和的收敛性与强大数定律 ：c s 粤n 一厂”s 一；妻j n 之l n 。蒿 我们记 e l a 幻k j l 2 i ( 1 a 删i s ；) d s + c s n u p 。佗一l ，一f p l a n ，x , o s ；) d s n c s u p f n 蚤鲁 8 一；e i o 叮义0 1 2 i ( 1 a 可义0 i s ；1 ) d s e a n j f r 最= s u p t l 1 根据题设条件有 争l 慑 暑，n 墨 o 。 对于1 j n 有 8 - ；e i o 可1 2 x ( 1 a 巧x 幻i s ；) d s 譬2 霉佗。j = le j i ” s 一；e f n 叮k j l 2 r ( 1 a 面x 易i s ；) d s + 1 8 一荸e i o 嘶x 砌1 2 i ( 1 a 巧x 0 i s ；) d s o o t m 4 - 1 m 一；e i n 力叉易1 2 ( 1 。可x 易l ( m + 1 ) ；) d s m = n ，m = m 一；e i o 町 2 l ( 1 a n j x n j l ( m + 1 ) ) c 仇一詈e i 。j 1 2 i ( 1 a n j s j l ( m + 1 ) ；) =c 竹l = 1 oo 七= 1 + 1 d s m 一；e l 。巧x 巧1 2 ，( 后 l n 形义巧l k + 1 ) 七= 1 e a , o x , 0 1 2 ，( 后 l o 巧x 可1 7 k + 1 ) 1 9 。o fm 孚 二一 m = k ( 2 2 1 9 ) 一 删。 c 一 硕士学位论文 c k 1 一；e n 叫义毛1 2 ，( 七 i n 可x o l 7 后+ 1 ) k = l c e a 嘶l ( 2 2 2 0 ) 结合( 2 2 2 0 ) 式可得e 。，进而我们可得2 ；】_ 我们有 p ( n 叫1 瓯i2 s ) p ( n 一 暑n ( 砀一e x ：j ) ；) + p ( n 一；1 耋( 确一e 硝) ；) 记 a - = p ( n 一；( 一e x 二j ) 号) a 。2 尸( 佗一；蚤( 碥一e 硝) - ，i f ) 则由m a r k o v 不等式以及g 不等式 a 。sc n 一锄( 一e ) 1 2 j = l c n 一；e ( 墨，一e 磁，) 2一o 、 ”j“j 。 j = 1 c n 一；e 碍一0 ”j ，= i 一2 0 不同分布n a 阵列加权和的收敛性与强大数定律 c n 一；e l n n j 嘲。柳i j = l 心序分1 薹i + c n s u p i 一1 t l 由 2 3 】引理2 有 由题设条件 p n l 。1 茹1 0 0 ，l ? 一 对任意的6 0 ，存在8 0 ，当 于是 s u p i _ f l l “j = l 1 咒7 p i o 町i z ) = 0 a 时，有 p l a 脚x 嘶i 礼；1 】6 n 一1 c n 掣一1 j = lp i 钆弧c 巧 由6 任意性可知a 1 _ 0 由j e n s e n不等式有 a 2 c n 一；e i x ： j = l c n 一；( 佗觏 | 铭；) + j = l c n s u p i 一1 i p ( i n 嘶i 钆) j = l + c 礼l 一三, j s ；u p 。i l l p ( 1 a n j x , oj z ) 如) p ( i n 。j i x ) d x j = l 一2 l 一 佗；1 ( 2 2 2 1 ) ( 2 2 2 2 ) 硕士学位论文 对任意的6 0 ，存在a 0 ，当死； a 时，若 从而有 z 佗；， 垆1 ；p ( 1 n 叮伽) 矿 a 2 阱时；z 7 如 c j + c 甜一；瘩 c j 由6 任意性可知a 2 _ 0 从而可得 即证明了 p ( n 一吾l l ) 一0 n - ；o 叮三0 j = l 从而证明了( 2 2 1 1 ) 式和( 2 2 1 2 ) 式，所以可得 。1 i m 。e n - ；n 可l p = 0n + _ j = i 一2 2 一 有 ( 2 2 2 3 ) 不同分布n a 阵列加权和的收敛性与强大数定律 3 不同分布n a 阵列加权和的强大数定律 3 1 引言 独立随机变量序列只是现实中一种特殊理想的情况，与生活中的很 多现象不符，因此对于非独立随机序列的研究成为概率极限理论的一个 热点n a 序列是在金融、统计、工程建设中应用很广泛的一类随机序 列，因为在这些领域中可以经常看到具有负相关的事情n a 的概念很 好的模拟了应用中出现的各种情况，为数学手段在这些领域的更加广泛 的应用打开了方便之门本章利用指数矩有限条件，建立并证明了不同 分布的n a 阵列加权和的强大数律，所得结果将独立随机变量序列的情 形推广到不同分布的n a 情形 3 2 主要结果及证明 定理3 2 3 设 t ，1 i 几，n 1 是均值为零的n a 阵列， o 帕1 i 佗，佗1 ) 是实数阵列，且满足a 。：l i ms u pa 叩 o 。，其中a 叩：量芸 对于某0 0 ，令& = 妻a n i x n l ，k = 礼i 1 ( f 0 9 n ) i 1 ，且e e x p ( h x 7 ) 0 则有 l i m 掣：0 们 n 。 证明：要证 1 i m 掣：0 。s n - 4e ) o o n 2 3 根据 。 n - - - - - 1 n - 1 p ( m a x 、1 一1 2 t l = 1 n - l p ( m s ，a s x 。i 尸( m a x 、1 j 2 l i m z m a x 2 i + 1 e 2 “n 1 ( 1 0 9 2 州) ；) ( 3 2 1 ) e 2 “1 ( 1 0 9 2 m ) ；，i d ) = 0 m a x 1 s j s 2 2 2 警( 1 0 9 2 i + 1 ) = 0a 8 1 i m 掣：0 们 n - * 0 0 o n 即要证结论只要证明( 3 2 2 ) 式 令对于v i 1 记 磊i = x j ( i “b n ) ，i + 1 、三 【i 1 ) ” j 乃= ( 磊i e a 。t ) i = l 一2 4 一 ( 3 2 2 ) 脚 l 一妒 冯再 一焉 舞 & 一k 不同分布n a 阵列加权和的收敛性与强大数定律 所以对任意的g 0 p ( m 娥a x 。i 岛1 k ) p ( 黜m a 三x ni x n jl k ) - t - p ( m 娥a x 。i 乃+ 僦e a n i 纠 k ) p (