（理论物理专业论文）三势阱中的玻色爱因斯坦凝聚的开关特性.pdf

摘要 本文应用平均场近似的方法，研究了弱耦合的三势阱中玻色一爱因斯坦凝聚的开关 效应。第一章，我们介绍了玻色一爱因斯坦凝聚相关背景知识，包括玻色一爱因斯坦凝聚 的理论预测和实验实现，并介绍了一些近期玻色爱因斯坦凝聚在量子计算、精确测量 等应用方面的研究成果。第二章是实现三势阱中玻色一爱因斯坦凝聚开关特性的理论框 架，包括粒子之间的相互作用，玻色一爱因斯坦凝聚的平均场描述，量子系统的正则形 1 式以及有限维量子系统与经典哈密顿系统的对应等。第三章是本文的主要工作，首先我 们给出了三势阱中的玻色一爱因斯坦凝聚开关特性理论模型，然后对中间势阱基态能等 于零的情况进行了讨论，给出了中间势阱相互作用和初始粒子分布对开关特性的影响以 及能够实现开关特性的中间阱基态能的阈值范围。研究了中间势阱基态能对粒子输运的 影响，考察了作为量子系统的重要物理量一相位对系统的影响，其中包括初始相对相位的 作用以及相位随时间的演化情况，讨论了系统的动力学稳定性。 研究表明，在相当大的参数范围内，当粒子置于左边阱中时，可以通过在中间势阱 中加入少量粒子控制左阱粒子向右阱的隧穿，且隧穿率敏感的依赖于中间势阱的初始粒 子分布，从而呈现出明显的导通与截止行为。最后一章是结论，给出了实验上该理论模 型的实现方案以及一些潜在的应用。 关键词：玻色一爱因斯坦凝聚开关效应三势阱平均场近似 i i 摹圭；冀蓁蠢；鬟萋霆；墼冀。鋈鎏雾翼荦薹竖l l 。陌蒌蒌手荤重篓! b i 。冀冀瓣雾； 咎咎蒌。薹萎薹罂茸l i 蠢l i ；霞薹嚣! 塞霆：蒿厩璺：霾霸型巍鲞墓錾震鋈蒜冀墓蕃。墼嚣馥羹l l l 。到囊雾荟，爹善； 鋈浮q 塞雾型 l 霎囊l 霞触霉奏辔；篓毒曩塞i 薹囊蒂蠢；睁堡l | 囊荦l ! 哩苎攫一型主薹髓羁! 雩! ! ! ! 掌! i 帚窆l 锤芋h 酗l l l ；墓萋菱；i i 叁兰蚕一l 萋霎蚕i 琶囊冀髦! l l l l ；叁叁凄耋差蚕羔霉；虿壑重荤? 蓁萄妻雾主萎i 蓦 l 募ll 蓁蓁薹薰。蓁蓁羹翥；墅冀霪囊羹雾：薹妻薹：重副乏襄奏孽奏薹蠹曩瞎l i l 肴l l 霉薹萋萋震茬璧l l 琶l l l k 鬟l 鹌兰霎l 辇i 薹m 酉l 量羹妻囊蔫 雾羹望p | 羹；l 茎l 萎i e 主主嚣霉三；i 耋茎：兰垂l 霎钉l l l 鋈i 飞一霎萋罾霎i 茎羹鋈l i i ；叁蓁蓁囊i f 霾! 基冀枣耄；奏霪委蓄兰墓! l 妻萎i 薹誉矗矗蠢妻雪荠；蝥i 囊羹妻鐾燃霎蓁i 委萋霉霉矗蓄妻，型翳两鍪矍i i 笔夔蚕l l | 辩荔鋈鎏；萝粪5 辇i 墓i 霾璧羹鎏；鋈霎囊! 奏奏i i 鼋 囊刊再霞睁荔堑| | l 琶羹i 里；冀藩l 孽；霪冀耄霎醒莲墓羔日日：l 菱蚕霎，琶l 羹| 萎耋 5 薹蠢l 雾薹i i 圄篓；攀霎羹| l 雾翼廷，基| l l 薹再；蕃篓搴更；薹霎芦而羹塞i i 坠薹“誉摹鬈錾一蠢i j l 鬈妻囊雾i i 毒基基辇擎霪螽o o 量i i 舀兰薹 l l l 鋈鳍l | i 霉：霪i i 茎茎羹囊羹垂鋈霪；薹蠢蠢! l l | 璧霎掌掌鋈霎霎l 蓁塑i l ；i 主薹薹i 萃塞；i 行曼茎| ；鋈莲! 荔昏圣昏蠢；冀蓁鋈鋈霎| 荔笺蕈霎i 蠢| 碧氰引载雾；篱誊蓬i 冀雾吾篓 ! | | i ( 1 莲翼矍翼鐾囊霭g ￥| 三霎羹l 鬻_ i 妻 型菱翥l 室萋羹l l l 霪；至i i i 蕈蘸鎏孽萋l l 謇笋g 彗囊i 曼l ；譬奏妻拇；f 雩冀薹；墓菱霸i | 奏| i 蓬莲lt 霎髦星；霪l 冀蕃! 霎定孽薹幽萼喜；兰主兰；墓引薹薹；藩篇罄羹l l l 薹薹委；蘸! - 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e i n s t e i n 统计的系统由于粒子 的不可分辨性有着非常奇特的性质。举个简单的例子，如果有十个b o s o n s 处于两个微 观状态，十个粒子占据一个状态的统计权重与每五个粒子各占据一个状态的权重是一样 的，这种相同的权重是非常违反常理而令人不安的。因为对于可分辨的粒子，这个权重 比应该是1 ：2 5 2 。也就是说由于不可分辨粒子的相互影响，对于b o s e 体系更容易发生 所有粒子处于同一状态的情况( 也就是b o s e - e i n s t e i n 凝聚) 。e i n s t e i n 在提出b o s e e i n s t e i n 统计的同时就注意到了上述的这种粒子在量子能级上分布的奇特的性质。在一个确定 的，足够低的温度下，部分( 乃至几乎全部) 原子将进入最低能量的量子基态。这就是 我们所说的b o s 争e i n s t e i n 凝聚( a b b r e v i a t e da sb e c ) 。 更为严格的定义吣9 m 1 1 1 ，是从单粒子简约密度矩阵( o n e p a n i c l er e d u c e dd e n s i t v m a t r i x ) 出发的。我们定义 p ( 亏，尹，f ) = 见卜! 砷( 焉，亏，不，f ) 、王，妒( 亏，戛，焉，) 呶，峨 s 。( 1 1 ) = ( 妒( 昂，f ) 串( 尹，f ) ) 皿妒是描述系统多体状态的正交波函数，以是每个状态对应的概率。量( 而，) 是标准b o s o n 场算符。因为p ( 而，t t ) 是一个h 锄i t i a i l 算符，所以可以对角化为对角元为实本征值的矩 阵。这样我们总可以找到一组完全的正交的单粒子本征函数基矢x ( f ，) ，使得 p ( 危，尹，t ) = 毽( t ) 始+ ( 焉，f ) 骼( f ，) ( 1 2 ) i 如果在某一时刻，一个或者多个啦( t ) 处在总粒子数的数量级，则称系统发生了 b o s e e i l l s t e i n 凝聚。更具体的，如果只有一个本征值啦( t ) 有的量级，而其它的都在1 的量级，则这个系统叫做单一b o s e - e i 璐t e i n 凝聚( s i m p l eb e c ) ；否则叫做非单一 b o s 争e i r l s t e i n 凝聚( n o n - s 证l p l eb e c ) 。发生凝聚的组分的洳( f ，t ) 叫做凝聚波函数，而对 应的o ( t ) ( 这里记做大写表明其已变为宏观量) 叫做凝聚体的平均粒子数目。 进一步我们将 雪( f ，t ) = 加概( 尹，t ) ( 1 3 ) 2 叫做序参量( o r d e rp a r a m e t 神，也叫做宏观物质波函数。 b o s 争e i n s t e i n 凝聚的发生条件是相空间密度( p h a s e s p a c ed e n s i t y ，以共轭的位置坐 标和动量坐标为坐标) 在自然单位制中近似大于一，或者也可以表达为d eb r o 西i e 波长a 大到使得近邻原子的d eb r o 西i e 波能够相互交叠，具体表达为n a a 2 6 1 2 b o s e - e i n s t e 协凝聚体之所以引入注目，是由于它的宏观量子现象，即每个在凝聚体 中的原子一定展现相同的行为，所以本来非常微小的难以观测的原子级别的行为奇异的 被放大为宏观的量级所表现的性质从基本量子力学角度考察原子玻色一爱因斯坦凝聚 问题，可以加深对这一重要物理观念本身的理解，并从中了解其实验发现过程的艰难和 技术的关键所在。根据爱因斯坦的凝聚理论，只有当组成理想气体的原子热运动的物质 波( 热波) 波长( 相当于原子波包的平均宽度) 与原子之间间距可相比拟时，原子波包 才能相干地重叠起来，形成一种相干的宏观量子态一物质的第五态。在这种状态下，个 体原子不能独立存在，只有众多原子的集体协同行为或宏观特性才是重要的。这样的 特性使得我们可以非常巧妙的测试我们对量子力学框架意义以及量子随机性的理解。 其它具有宏观量子性的体系包括超导体( s u p e r c o n d u c t o r ) ，超流体( s u p e m u i d ) 和 激光( l 嬲e r ) 。它们这些体系都有由单一量子能级的宏观占据所带来的神奇而有违直觉 的性质。当1 9 3 8 年f l o n d o n 和l 啊s z a 研究液氦日4 和h 3 的超流性( s u p e r f l u i d i t y ) 和 超导性( s u e r o o n d u c t i v 时) 时，他们就认为这些系统经历了b o s 争e i n s t e i n 凝聚。虽然这 些系统性质与b o s e e i l l s t e i n 凝聚有关，原子强关联性使得它们与e i i l s t e i n 考虑的理想气 体完全不同。b o s e - e 缸t e i i l 凝聚体有它的独特之处：它比液氦超流体要稀薄，相互作用 更弱；但是比激光中不相互作用的光的相互作用要强得多。 这四个发现都是当代物理学界的杰出成就，对物理基础理论和实际生活带来了深刻 的影响。 1 2 在稀薄气体中的实验实现 在有了这些理论预言之后，实验中一直希望观测到单纯的b o s e e i i l s t e i l l 凝聚，人们 希望在稀薄气体中能够实现这一宏观量子现象。在这种参数范围( 低密度，低温度) 的 b o s 争e i n s t e i n 凝聚转变是热力学所禁止的，也就是说没有b o s 争e i n s t e i i l 凝聚的平衡态。 这是因为这个区域的热力学平衡状态是固体( 晶体) ，而固体不可能发生凝聚。所以实 验中的一个重要的挑战就是尽量延长系统能够处在亚稳态的时间，以便有足够的时间对 系统降温，发生凝聚以及进行数据测量。正是现实中的这些限制对气体的密度，温度提 出了严格的要求。一般来说，要求1 0 m c m - 3 以下的密度，而越稀的密度要求越低的临界温 度。因为原子的寿命主要被各种碰撞所决定，所以亚稳态的延长需要考虑两种因素的竞 争，即好的碰撞和坏的碰撞，好的碰撞主要是两体的弹性碰撞，这种碰撞不会改变粒子 体系的速度分布，而且还会在降温过程中更加有利于热量的扩散使得系统快速达到平衡， 这种碰撞是非常有利于系统降温以及凝聚后保持这种状态的，可以延长系统的寿命。坏 的碰撞包括背景散射，两体偶极弛豫以及三体的非弹性碰撞形成分子的过程，这些都会 导致粒子被加热或破坏系统的均匀程度。 此外，来自真空或其它环境的自然界“噪音”无时无刻不在扰动原子的运动，它使 得大量原子同时凝结在单一的量子态上十分困难。只有把系统冷却到尽可能低的温度， 才有可能形成宏观量子态。事实上，由于原子的热波波长与温度和原子质量的平方根成 反比，而原子质量很大，在室温下热波波长很短，与原子的间距相差几个数量级，如果 要在实验室中实现原子的玻色一爱因斯坦凝聚，就必须把原子温度冷却到肚的数量级， 这在没有发明激光冷却原子新技术以前几乎是不可能的。 首先人们把注意力放在了氢上，早期的实验用液氦冷却氢，但是当温度很低时，氢 会粘在氦表面上而与其结合，并且由于氢原子相关制备测量系统的技术困难，使得这方 面实验工作开展的相当困难，所以这种实验失败了。 接下来m r r 的h h 器s 畸1 等人开始用磁场束缚( m a 印甜c 脚i n g ) 法，尝试产生 b o s 吨融e i n 凝聚。在磁陷阱中的原子不和容器有接触，所以表面吸附结合问题被消除 了。另外，磁陷阱使得原子可以用蒸发的方法被继续冷却。蒸发冷却( e v a p o r a t i v e c o o l i n 曲 的概念就是：让最高能量的原子离开陷阱，而剩下原子的平均能量也就是温度就会降低。 同时降低温度可以减小原子占据的空间，也就是说增加了剩下原子的密度。这样最重要 的相空间密度因为密度的增加和温度的降低而显著的增加。但是偶极子的弛豫作用和测 4 图1 3 从上向下看的上图的实验成像口，屯朝 图1 4 不同温度下形成的粒子云的密度曲线口4 朝 现在的实验中常用激光陷阱和磁陷阱，而重力的影响也需要适当的去除。实验中实 现的碱金属气体数目为1 0 。1 0 1 0 ，密度为1 0 u 。1 0 1 s c m ，温度为础。5 0 肚，寿命为 s 。m i n ，因为碱金属的质子数z 为奇数( o d dn u m b e r ) ，所以当中子数a 也为奇数( o d d n u n l b e r ) 时为b o s o n ，遵循b o s e _ e i 船t e i n 统计。实验中已经实现b o s e e i n s t e i n 凝聚的 碱金属包括铯1 3 3 c e l 3 3 ，铷8 7 r b 盯，铷8 5 r b 髓，钠2 3 n a 勰以及锂5 i j 5 等八种元素。 1 9 9 5 年首次在稀薄碱金属原子气体中实现玻色一爱因斯坦凝聚现象，极大的促进了 物理学家在这个领域的实验和理论的研究，随着囚禁简并量子原子气体的实验技术的飞 速发展，2 0 0 1 年美国m d b 撇t t ，j a s 踟e r ，m s c l l a p m 锄的研究组直接在光阱中实 现了玻色一爱因斯坦凝聚n2 1 ，图1 5 。这就为研究超冷原子的在光阱中的输运以及自旋相 关动力学提供了一种独特的工具。通过叠加两束相对而行、线性极化的激光产生的周期 广场来束缚玻色原子成为近来的研究热点。由于光格子中超冷原子类似于固体中的 b l o c h 电子，更为重要的是没有杂质和声子的散射，因此该系统不仅可以用来观测b l o c h 振荡、w a n n i * s t a r k 台阶等重要固体物理的现象，也可以用来实现粒子在光格子中的传 输，从而将光格子作为传输粒子流的载体来实现一些基本的原子器件。1 9 9 6 年牛谦等从 理论上预言在光格子的玻色一爱因斯坦凝聚可以观察到以上现象n 3 1 。很快d a l l a l l 的研究 小组就通过实验在光格子系统中观察到了原子的b l o c h 振荡现象n 钔；w i l k i n s o n 的研究小 组观察到了w a n n i 昏s t a r k 共振现象n 钉。l9 9 8 年，b p a n d e 母d n 和m a k a s e v i c h 利用重 力场作用下的光格子冷原子得到的隧穿几率n 6 1 与z e r 理论基本相符。2 0 0 7 年 b t s e a l n 锄等人提出了用光晶格实现原子器件的理论模型n 7 1 实现原子系统的玻色一爱因斯坦凝聚以后，人们主要对两个方面的问题感兴趣， 一 方面就是玻色一爱因斯坦凝聚能否对高新技术产生影响，如实现稳定的物质波相干放大 输出，得到比普通光波和电子波波长更短的“光源 一原子物质波激光器；另一方面， 更加关注基础理论和基本实验方面的问题，如玻色一爱因斯坦凝聚的形成过程口羽，玻色一 爱因斯坦凝聚原子的量子隧道效应n 们和存在原子间相互作用时的宏观量子行为一低温碰 撞导致原子一分子转换的f 馏h b a c h 效应嗍。为了直接表现玻色一爱因斯坦凝聚原子的宏 观量子效应，e 大学的a n d 蝴n 和s e c h 成功地完成了驻波场中的玻色一爱因 斯坦凝聚体在波节间的量子隧道效应实验n 9 1 ，它呈现出类似于超导电子系统的直流 j o s e l ) h o s o n 效应的宏观量子干涉现象( 图1 6 ) 。 8 图1 5b e c 的形成过程：s c i e n c e ，2 9 7 ( 1 9 9 8 ) ，1 0 0 5 霉 e 图1 6b e c 的j o s 印h o s o n 宏观干涉现象：s c i e l l c e ，2 8 2 ( 19 9 8 ) ，16 8 6 在原子玻色一爱因斯坦凝聚实验发现的前前后后，许多理论物理学家和实验工作者 开始考虑怎样由原子玻色一爱因斯坦凝聚产生原子激光的问题，他们提出了各种实验方 案，1 9 9 6 年底，融t 甜e 小组首先在实验上取得了实质性进展乜1 l 。通过相干的射频光场 把磁阱中处于玻色爱因斯坦凝聚状态的原子激发到磁量子数为零或其它没有约束的塞 曼能级上，他们发现原子会经历一个相当理想的集体拉比( 鼬i ) 振荡。通过射频扫描 的办法，可以得到一个保持原子相干性的稳态输出。这些没有约束的相干原子会在重 1 3 一些基于玻色一爱因斯坦凝聚的装置的近期研究成果 最近几年，玻色一爱因斯坦凝聚已经逐渐成为原子光学、碰撞物理、多体物理、超 流、量子漩涡、量子相位等许多领域的“超低温实验室”。在为量子力学等基础理论提 供了印证的同时，在应用方面，玻色一爱因斯坦凝聚也同样引起了许多科学家的兴趣。 随着量子信息技术的发展，越来越多的人们把玻色一爱因斯坦凝聚作为实现量子信息的 重要载体。并在基础物理、精确测量以及量子计算等领域都做了大量的工作，其中很大 一部分工作是致力于发展基于玻色一爱因斯坦凝聚的装置，比如电子束分裂器( b e 锄 s p l i t t e r ) 、原子波导( a t o m i cw a v e 鲥d e s ) 、原子传送带( a t o m i cc o n v e y o r b e l t s ) 。这些基 本装置的实现为进一步发展基于玻色一爱因斯坦凝聚的更为复杂的应用装置( 如玻色一爱 因斯坦凝聚干涉仪) 提供了可能。也有一些工作提出了超冷原子( 玻色一爱因斯坦凝聚) 器件与一些电子元器件的类比，包括基于玻色一爱因斯坦凝聚的原子电池( a t o m b a t t e r y ) 、 原子二极管( a t o md i o d e s ) 和原子三极管( a t o mt i 彻s i s t o r s ) ，从而预言了实现上述装置 的理论可能性。 随着原子芯片的发展，物理学家们在不断尝试开发基于玻色一爱因斯坦凝聚的原子 干涉仪。虽然对于原子干涉仪的研究还刚刚起步，但已有一些基于玻色一爱因斯坦凝聚 的探测器的研究成果，包括利用b e c 探测微电路或磁化膜上方的磁场形状；测定带电 线路的电场分布；以及利用b e c 的动力学行为精确测量c 舔i m * p o l d e r 力等。另外还有 利用n k 温度的玻色原子鹏s r 测量重力，其精确度据估计为酬9 4 1 0 s 瞳引，见( 图1 9 ) 。 图1 9 不对称双势阱测重力实验示意图 2 基本理论和方法 2 1 无相互作用的玻色一爱因斯坦凝聚 对于囚禁在三维简谐势阱中的n 个无相互作用的全同玻色子系统，势函数可以写成 ( 尹) = 三m ( 砖护+ 砖矿+ 以z 2 ) ( 2 1 ) 这是一个三维谐振子，其单粒子哈密顿的本征值为 ”= ( + 三) 眦+ ( + 丢) + ( 他+ 三) 眦( 2 2 ) 其中，和为标志谐振子态的量子数。对于处在热平衡态的系统，能态占据由 玻色一爱因斯坦统计描述 (，；，z)=2：；j南。-(23) 其中卢= ( b t ) 一，b 为玻尔兹曼常数， p 为化学势。总粒子数为 - 量万当巧一“2 4 ) 在高温极限下，上式中化学势p 为负且 e 爿 一p ) 1 ”( 2 5 ) 则玻色爱因斯坦分布过渡为玻尔兹曼分布。假设随着温度的降低，在某一温度下， 系统的化学势等于基态能e 咖。将p = 晰代入上式得到 = o + 量鬲丽五( 2 6 ) 其中0 为处在基态的粒子数。当远远小于b t 时，将积分代替求和( 半经典近 似) 有 1 4 虬川r 妣饥饥 - o + 上万意赢 对上式进行积分，我们得到凝聚原子数o 与温度t 的关系式 - 、r 。= ：f - ( 乏】3 】c 2 8 ， 定义 瓦= 等( 嵩卜们4 警一( 2 9 ) 为临界温度。其中( 仃，为黎曼函数，= ( 屿) y 3 为俘获频率的几何平均。图2 1 给 出了无相互作用条件下简谐势阱中凝聚粒子数与温度的函数关系 毛 z c o 甏 占 盟 罂 宅 8 t e m p e 旧t u 悖丌厂r c l 图2 1 无相互作用条件下简谐势阱中凝聚粒子数与温度的函数关系曲线 2 2 粒子的相互作用 最早，e 砥e i n 所考虑的凝聚体是理想的没有粒子间相互作用的。对于理想三维粒 子体系，当d eb r o d i e 波长或热波长入= 刍= 彘= 砺柰面满足n 入3 2 6 1 2 ，也就是 d eb r o 班e 波长或热波长与粒子平均间距具有相同数量级时，系统将发生凝聚。理想的 均匀的一维，二维粒子体系不能发生凝聚相变，因为从数学上确定凝聚温度的e 积分发 散。 但是实际中的b o s e 粒子系统不能简单地用理想的无相互作用的模型考虑。首先， 如果利用一般的对于自由粒子的处理方法，认为系统处于硬壁的盒子里，所得基态函数 ( 也就是凝聚体所占据的状态) 将是正弦函数。在盒子的中心部位将会出现不合实际的 很大的粒子密度( 对应于正弦自变量为的情况) 。而任何形式的排斥相互作用将会导 致除了盒壁的任何其它部位为均匀密度的基态波函数的出现。所以说，理想的没有相互 作用的b o s e 体系对于边界条件过于敏感。其次，即使从1 9 9 5 年的首次实验实现 b o s 争e i i l s t e i n 凝聚引，就发现没有相互作用的系统模型不能完全定量解释实验数据。比 如实验上，凝聚体的轴向宽度以及轴向与径向速度比都比理想模型的预测要大口1 。 实际当中的b o s e 体系的b o s 争e i n s t e i i l 凝聚也不同于具有强相互作用的日e t 超流体。 超流体虽然定性的可以体现出b 0 s e e i n s t e i n 凝聚体的性质，但是由于原子间的强相互作 用出现了不同于b o s c - e i i l s t e i n 凝聚体的高热导率和超流动性。 冷稀薄气体中的弱相互作用可以用单一的有效散射长度代替。利用量子散射的分波 面法，对于：o 的波，发现相距t b 的两个原子的概率以( 梳) l 减小，导致有效散射强度只 为j - o 的s 一波散射的( b t e ) ，所以我们只考虑s 一波散射。 对于势场为y c r ，的s 洲吨e r 方程的s 一波散射解为 似r ) = c 伽t 型与型( 2 1 0 ) 就是s 一波散射长度( s w a v e s c a t t 嘶n g l 肌g t l l ) 。对于正的8 ，波函数相对于没有相 互作用的情况口= o 向外被排斥了，所以等效于存在排斥相互作用；反之，对于负的， 相当于吸引相互作用。排斥的时候可以被看作是硬球势的半径，但是在真实情况中任 何位置波函数妒( ，) 都不会消失。在磁场中口l 遵从 ( b ) = ( + 南】( 2 1 1 ) 其中为f 髓h b a c h 共振的线宽，玩为发生共振对应的磁场强度，为磁场趋于无 穷时的s 一波散射长度。发生f 鹪h b a c h 共振时，趋于无穷远，这样我们可以把相互作 用等效为 u ( i ：) ；型6 ( f ) ( 2 1 2 ) 这个近似是对于稀薄超冷碱金属气体的最重要结果之一。 2 3g - p 方程 在实验实现b o s e e i n s t e i n 凝聚很久之前，人们就开始了对于具有弱相互作用 b o s 争e i n s t e i n 凝聚体的理论研究。在1 9 6 2 年，e u g 锄ep g f 0 豁和l p p i t a e v s k i 制分别 独立的用平均场理论研究了弱相互作用的b o s e - e 幽e i n 凝聚体并提出了以他们两人姓 1 6 氏命名的( 的s s p i t a e v s k i 方程( ( 衲s s - p i t a e v s l ( ie q u a t i o i l s ) 。当相互作用的力程远大于平 均粒子间距时，光滑的缓慢变化的平均作用力将起主要作用。这样模型可以利用平均场 理论( m e 觚f i e l dt h e o 巧) ，也叫自洽场理论( s e l f c o n s i s t 锄tf i e l dt h e o 刚处理。这种方 法将完全的多体问题简化成一组耦合的非线性s c h r 6 d i n g e r 方程组。 具体做法是利用h a r 吮e 近似，将体系的波函数近似分解为每个坐标函数的乘积 皿( 磊，而，矗，t ) ug ( 磊，t ) ( 2 1 3 ) 9 ( i ，t ) = 夕( 豸) e 一“弛矗( 2 1 4 ) 当粒子数目很多时，可以从多体h 锄i l t o n i a n 日= 砉蒜+ 丢薹y ( 磊一磊) ( 2 - 5 ) 将s d l r 6 d i n g e r 方程简化为 访去妒( 铂) ：一嘉v 2 妒( 引) + 妒( 即) 门妒( 即) 1 2 y ( 孑一三) 虚( 2 1 6 ) 其中 妒( i ，t ) = 圻劢( 爹，t ) ( 2 1 7 ) 进一步，将y ( 蕾一芽) 近似为y 6 ( 孑一三) ，可使方程进一步的简化，得到 访未矽= 一嘉v z 妒+ 吲钟“2 1 8 ) 最后一项就是非线性的相互作用项，特点是出现了波函数模的平方项，使得微分方 程变为非线性的。这个模型与实际符合得很好m 3 2 1 ，被广泛的应用，另外实际中还有 b o g o l i u b o v 近似n 1 。 2 4 量子系统的正则形式与经典哈密顿 二十世纪八十年代，人们发现，虽然量子力学与经典力学遵循不同的力学规律，然 而，在经过一系列精确的变换之后，量子力学可观测量的平均值在形式上可以满足与经 典哈密顿力学完全相同的正则形式。近些年，人们正逐渐意识到这种观点在处理 b o s 争髓1 s t t = i n 系统时是非常重要的，尤其对于处理b o s 争e i n s t e i n 系统。由于b o s e e i i l s t e i n 凝聚系统是非线性量子系统，波函数线性叠加原理不再成立，传统的量子力学方法难以 处理；此外，由于b o s e e i n s t e i i l 系统的宏观量子性，一般情况下我们只关心b o s e e i n s t e i n 系统的宏观性质，比如凝聚、振荡、自俘获等，而不关心单个原子的性质。这时将各物 理量平均值的演化问题转化为经典力学微分方程问题将会为我们带来很大方便。 条件 对于由n 个势阱组成的系统，总的波函数可以表示为各个阱中波函数的叠加，即 n 皿( 尹，t ) = 嘶( t m ( 尹) ( 2 1 9 ) = 1 其中，砒( 矿) 表示第i 个势阱中的凝聚体波函数，波幅( a i i l p l i t i l d e ) q ( t ) 满足归一化 in ( t ) 1 2 = 1 ( 2 2 0 ) = l 当n = 2 时，将式( 2 1 9 ) 代入式平均场下的g p 方程，可以得到 访丢q = ( 毋+ c l in l l 2 ) q q 2 d 2 ( 2 2 1 ) 访丢a 2 = ( 易+ 吃i n 2 1 2 ) d 2 一吃l n l ( 2 2 2 ) 其中，蜀= 门一嘉i v 哦f 2 + y ( 刮他1 2 卜，乌= ，堑警丝i 哦严杭相邻势阱间的耦合强度 t j l ：= 嗡= t ，= 2 ，( 一嘉v 呶v 锄+ y ( f ) 饥锄卜因此上式可以更方便的写成非线性 s c l 丽d 咄盯方程的形式 t ，t 丢【：】= = 茜r ( ：】。( 2 2 3 ， 其中 。：=【正i1。；iall2正乞兰in2i：j。-c：z：z；t， 我们令q = 吃= c ，日= ，r 2 一c 2 ，易= 一，y 2 一c 2 表示两能级之差。利用 1 2 ：( 1 口1 1 2 + l 口2 1 2 ) 2 可以将二能级系统重新写成 。t 丢【：】= ：。舀i 【：】。：c 2 2 5 ， 1 8 -自r=【：三_p!詈i掣2_jd噎12：三!。1萎i。l。，】c：z：t；， i三一詈一( 1o l l 2 一1 0 21 2 ) j 、。u 7 这就是双势阱中b o s e 。e i n s t e i n 凝聚的二模( 坩。一m o d e ) 模型一捌。 考虑具有n 个自由度的量子系统，吩( t ) 是波函数妒关于一组正交基的第歹个波幅 ( a i l 叩l i t u d e ) ，在这组正交基的矩阵表象中s c h r 6 d i l l g e r 方程为 访丢吩= ( 日妒b ( 2 2 7 ) 对于线性且子系统，系统的总能旦h 州例蜘故( 脚) j2 莩如q2 矗h 因此s c h r 6 d i n g e r 方程可以写成 晓丢吩= 矗h ( 勺，) ( 2 2 8 ) 对于非线性情形，( 妒1 日i 妒) 一般不再是系统的总能量，而是化学势p 。但可以证明， 不管是线性还是非线性系统，都可以定义一个h 使其满足矗h = ( 日妒) j ，而这个h 就是 系统的总能量。 由于口j ，为复数，定义吩= 孕一吗，口；= 扣吻令危= 1 ，则有 南= 等南+ 筹鸯= 击卜去+ 吩南】心2 9 ，石2 苟面+ 苟瓦2 酉卜两+ 吩瓦j “2 2 9 ) 南= 薏老+ 蔷毒= t 【口；毒一吩老卜c 2 3 。，虿2 砖石+ 砖瓦刮i 吩两一吩石j ( 2 3 0 ) t 丢2 毒”“2 3 1 ) 瑶弓= 一者”“2 3 2 ) 口；乘以( 2 3 1 ) 式两迈，吩乘以( 2 3 2 ) 式两边相加得 扣2 = 卜毒勺老卜川亿3 3 ， 口；乘以( 2 3 1 ) 式两边，q 乘以( 2 3 2 ) 式两边相减得 1 9 3 三势阱中的玻色一爱因斯坦凝聚的开关特性 自从1 9 9 5 年第一次实现玻色一爱因斯坦凝聚以来，超冷原子气体的研究激发了大量 理论和实验工作者的兴趣n 川。玻色一爱因斯坦凝聚具有重要的理论研究价值，在精密测 量、“原子芯片 和量子计算机等领域也有着广阔的应用前景。最近几年，有过许多基 于玻色一爱因斯坦凝聚的装置的研究报道，其中不少工作致力于类比经典电路中的电子 元器件。文献乜8 1 研究了三势阱中玻色一爱因斯坦凝聚的类三极管行为：文献心7 1 做了超冷 原子器件与一些基本电子元件的类比，提出了实现这些原子器件的方法；一维光晶格中 单原子三极管的实现方案也有报道h 。 我们知道，电子元件的导通和截止对应于基本逻辑常量0 和1 ，是构成如今大规模集 成电路的基础。在本文中，我们研究了三势阱玻色一爱因斯坦凝聚系统的粒子输运行为， 发现当中间和两边势阱具有不同相互作用时，系统呈现出类似开关的导通和截止行为。 ( 图3 1 ) 蚴粥谢 ( a ) ( b ) ( c ) 图3 1 三势阱的导通和截止示意图。( a ) 将所有粒子置于左阱中，系 统处于截止状态；( b ) 在中间势阱中放入极少量的粒子以增大中间势 阱中的能量；( c ) 一段时间后，几乎所有初始布居在左阱的粒子隧穿 到了右阱中，而中间阱中一直保持很少的粒子数 本文的理论模型是在平均场框架下从g r o s s p i t a e v s 妊方程得到的。以前的许多工作 都对两势阱或三势阱的玻色一爱因斯坦凝聚系统作了研究n 2 1 7 1 ；其中有些文献h 日研究了 两势阱系统中的r o s e l l z e i l e r 跃迁。有些文献h 弘5 1 1 还讨论了三势阱系统中的非线性 l a i l d a u z 饥e r 隧穿以及j o s 印h s o n 振荡到自俘获的转变。 3 1 三势阱模型 对于超冷原子系统凝聚体的动力学行为可以用g r o s s p i 协e v s b i 方程很好的描述 仇击妒( 即) = 【- 嘉v 2 + 咿) 妙( 州+ 彬) 妒( 即) m 即) i ( 3 1 ) 其中9 ( 尹) ：掣，仇是原子质量，。c r ，粒子间相互作用散射长度。对于三势阱系 统g p 方程中的波函数妒( f ，t ) 可以展成每个阱中波函数的叠加 妒( t t ) = 瑚( ) 破( 尹) + d 玎i ( t ) 丸( f ) + a r ( t ) 也( 矿) ( 3 2 ) 其中锄( f ) ，( 矿) 和佴( 矿) 分别为左边、中间和右边势阱中的波函数。则方程( 3 1 ) 可以 写为 t：(圣】=j，【蚤】，2。7：；， 我们的模型中选择左阱和右阱具有相同的基态能和粒子间相互作用。考虑能 量为相对量，这里左右阱中的基态能可以取为零，则( 3 3 ) 式的h 锄i l t o n 量可以写成 日= c i l 啦1 2 一兰 。 一等 + l 口，1 1 2 一詈 一互 + i 口，i i 一i o 一兰 勺1 8 r 1 2 这里是中间阱与左右两阱的基态能量差，t ，是相邻两阱的耦合参数，本文中令 ”：l ，q 、和勺分别代表左阱、中 2i 璧；鼋l l统，定义q = 而一，= 圻- e 和n r = 舻= 毋一，= 啡一分别为左阱和中 间势阱、右阱和中间势阱的相对相位。并利用归一化条件：-l|+，l，l+tlr=1可以得到三 x 子数的变化。当所有粒子置于左阱中时，中间阱的能量相对很低，粒子会一直被抑制在 左阱中；把很少的粒子置于中间阱中以提高阱中的能量，使之与左右两阱的能量大致匹 配，粒子将从左阱隧穿到右阱中。从而实现了以很少的粒子控制系统的导通与截止的功 能。 本文只考虑排斥相互作用情形即c l ，c ，i 和c r 均大于零。按照上述物理机制，我们对 左右两阱选取较小的相互作用( 这里以q = 勺= o 2 5 为例) ，考察随着中间阱中相互作 用c 厢的增加，隧穿到右阱的粒子数最大值的变化情况。从图3 3 可以看出，对于 矿= 1 ，磅= o 情形，如图3 3 ( a ) ，随着的增加，隧穿到右阱的最大粒子数铲“急剧减 小并趋于零( 3 0 ) ；而对中间阱有少量粒子( 矿= o 9 9 嘏= o 0 1 ) 情形图3 3 ( b ) ，气 在较大的取值范围内，总能保证俨达到最大( 俨1 ) 但仍然存在一个临界值使得 当相互作用大于这个l 临界值( 袁= 7 4 3 ) 时，严会急剧减小。因此在3 0 到7 4 3 这段范 图3 2 右阱和中间阱中粒子数随时间的变化曲线。相应的参 数分别为t ，= l ，= o ，q = o 甄= 6 3 0 。实线对应于右阱中 的粒子数f l r ，虚线对应于中问阱中的粒子数，l ，1 三个阱中 初始原子分布为( a ) 初始原子分布为舻= 1 嘏= o 和一= o 。 ( b ) 矿= o 9 9 ，磅= o 0 1 和舻= o 围内为可以实现导通和截止的工作参数区问我们可以选择在这个范围内的任意c ，值 以实现导通与截止功能。为了更直观的刻画系统导通和截止效应的优劣，我们定义，? 为 右阱和中间势阱最大粒子数的比值 叩：巢( 3 1 0 ) 栌亭u 川， 图3 3 ( c ) 给出了巧随中间阱相互作用岛的变化曲线。可以看出，当初始粒子数分布 为舻：1 ，嘏= o 时，右阱和中间两阱最大粒子数的比值7 7 接近于零( 图中虚线) ：而把少 量粒子置于中间阱中( 舻= o 9 9 ，碚= o 0 1 ) ，7 将随中间阱的粒子相互作用强度的增