（概率论与数理统计专业论文）利用统计物理模型理论研究股票价格的统计性质.pdf

中文摘要 摘要：本文把接触过程模型应用到股票市场中，使用接触过程构造了股票价 格模型来模拟股票市场中的证券收益率序列。全文共分两部分： 第一部分：引入接触过程的理论，并由此构造股票价格模型，在此基础上构 造了一个停时序列，通过对此停时序列以及接触过程上临界状态与下临界状态的 讨论，来研究股票价格的波动性质，推导出股票价格的特征函数收敛于l e v y 过程 相应的特征函数，从而说明了股票价格分布函数的收敛性质。最后用实际数据模 拟，证明此模型的合理性。 第二部分：研究了深市、沪市地产指数波动的统计性质。我们主要对深市、 沪市地产指数2 0 0 1 年一2 0 0 6 年的日收益率进行研究。首先从平稳序列的角度，采 用偏度峰度检验、k o l m o g o r o v s m i r n o v 检验及h i l l 尾部估计等方法对两证券市 场的地产指数收益率分布进行了实证分析，研究结果表明中国证券市场综合地产 指数收益率序列与g a u s s 分布具有一定的偏离。进一步地根据数据统计分析，得 到两证券市场的地产指数收益率服从幂率分布。最后对地产指数的相关价格进行 统计分析，讨论其相应的统计规律性。 关键词：股票价格：接触过程；停时；地产指数；偏度峰度检验；累积概率分布； k o l m o g o r o v s m i r n o v 检验；幂率；相对价格 分类号：0 2 1 l9 a b s t r a c t a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r , w ea p p l yt h ec o n t a c tp r o c e s st os t o c km a r k e t s u s i n gt h e c o n t a c tp r o c e s s ，w ec o n s t r u c tas t o c kp r i c em o d e lt os i m u l a t et h er e t u r ns e r i e so f s e c u r i t i e s t h ep a p e rc o n t a i n st w op a r t s ： i np a r to n e ，as t o c kp r i c em o d e li sc o n s t r u c t e db ya p p l y i n gc o n t a c tp r o c e s st h e o r y b yu s i n gas t o p p i n gt i m e ，w ed i s c u s st h ef l u c t u a t i o n so f s t o c kp r i c ea tt h es u p p e r - c r i t i c a l s t a t ea n ds u b c r i t i c a ls t a t e a tl a s t ，w ep r o v et h a tt h ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o no f t h es t o c k p r i c ec o n v e r g e n e e st ot h ec o r r e s p o n d i n gc h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o no ft h el e v yp r o c e s s a t l a s t ，w es i m u l a t et h ea c t u a ld a t a ，t h e np r o v ei t sr a t i o n a l i t y i np a r tt w o ，t h ed a t ao fs h e r t z h e na n ds h a n g h a il a n di n d i c e si sa n a l y z e d ，a n dt h e s t a t i s t i c a lp r o p e r t i e so fs h e n z h e na n ds h a n g h a il a n di n d i c e sa r es t u d i e d w es e l e c tt h e d a t af o rs h e n z h e na n ds h a n g h a il a n di n d i c e sd u r i n gt h ey e a r2 0 0 1 - 2 0 0 6 ，a n di n v e s t i g a t e t h es t a t i s t i c a lp r o p e r t i e sb ys k e w n e s s k u r t o s i st e s t ，k o l m o g o r o v - - s m i r n o vt e s ta n d h i l le s t i m a t e ，w eo b t a i naf a tt a i l sp h e n o m e n aa n dt h ep o w e r - l a wd i s t r i b u t i o n so f r e t u r n s f o rt h e s et w ol a n di n d i c e s t h e nw em a k eac o m p a r i s o no f t h ea b s o l u t er e t u r n s ，a l s og i v et h e e x p l a n a t i o n a tl a s t ，w ea n a l y z et h ef l u c t u a t i o no f t h er e l a t i v el a n dp r i c e s ，a n dd i s c u s s t h e c o r r e s p o n d i n gp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n so f t h er e l a t i v el a n dp r i c e s k e y w o r d s ：s t o c km a r k e tp r i c e ；c o n t a c tp r o c e s s ；s t o p p i n gt i m e s ；l a n di n d e x ； s k e w n e s s k u r t o s i st e s t ；a c c u m u l a t i v ep r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n ；k o l m o g o r o v - - s m i m o vt e s t ； p o w e rl a wd i s t r i b u t i o n ；r e l a t i v ep r i c e c l a s s n o ：0 2 1 1 9 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 导师签名： 签字同期：年月日签字同期：年月日 声明 本文郑重声明，本论文的所有工作都是在我的导师王军老师的指导下， 由本人独立创作完成。论文中引用已知的结论均己列在参考文献中。未经本人许 可，任何擅自更改、抄袭本论文之内容的行为，都将承担相应的学术和法律责任。 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特 l l j j j i l 以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：签字同期：年月日 致谢 首先感谢我的导师王军副教授，本论文是在王老师的精心指导和关怀下 完成的。无论是在研究生期i 日j 课程学习过程中，还是在论文选题、研究、定稿的 过程中，王老师自始至终给与了我大力的支持和无私的关怀。两年多的研究生生 活中，王老师渊博的知识、严谨的治学态度和认真负责的工作精神使我受益匪浅， 并将受惠终生。而跟随王老师的学习与课题研究也为我在将来工作中的发展打下 了良好的基础和开端，在此向王老师表示深深的感谢。 感谢我的父母对我多年的培养和教育。在我遇到任何困难时，他们总是积极 鼓励我、支持我，给与我精神上的支持和物质上的帮助，使我能够全身心的投入 到课题的研究中去。感谢在我的生活中给予我帮助的老师、同学。 两年多的研究生生活使我学到了很多的知识，修正了我的观念和目标，感谢 所有在学习研究中传道解惑的老师，在生活上关心帮助过我的同学。 感谢我同门的师姐师弟师妹们，与他们的共同学习生活使我收获颇多。 感谢各位专家、学者在百忙中审阅我的论文，并给出批评意见及建议。 1 引言 2 1 世纪数学技术和计算机技术一样成为任何一门科学发展过程中的必备工 具。美国花旗银行副总裁柯林斯( c o l l i n s ) 1 9 9 5 年3 月6 日在英国剑桥大学牛顿 数学科学研究所的讲演中叙述到：“在1 8 世纪初，和牛顿同时代的著名数学家伯 努利曾宣称：从事物理学研究而不懂数学的人实际上处理的是意义不大的东西。 那时候，这样的说法对物理学而言是正确的，但对于银行业而言不一定对。在1 8 世纪，你可以没有任何数学训练而很好地运作银行。过去对物理学而言是正确的 说法现在对于银行业也正确了。于是现在可以这样说：从事银行业工作而不懂 数学的人实际上处理的是意义不大的东西。”他还指出：花旗银行7 0 的业务依 赖于数学，他还特别强调，如果没有数学发展起来的工具和技术，许多事情我 们是一点办法也没有的没有数学我们不可能生存。”这里银行家用他的经验 描述了数学的重要性。在冷战结束后，美国原先在军事系统工作的数以千计的科 学家进入了华尔街，大规模的基金管理公司纷纷开始雇佣数学博士或物理学博士。 这是一个重要信号：金融市场不是战场，却远胜于战场。但是市场和战场都离不 开复杂艰深，迅速的计算工作。 然而在国内却不能回避这样一个事实：受过高等教育的专业人士都可以读懂 国内经济类，金融类核心期刊，但国内金融学专业的本科生却很难读懂本专业的 国际核心期刊 j o u r n a lo ff i n a n e e ，证券投资基金经理少有人去阅读 j o u r a l o fp o r t f o l i om a n a g e m e n t ，其原因不在于外语的熟练程度，而在于内容和研究 方法上的差异，目前国内较多停留在以描述性分析为主着重描述金融的定义，市 场的划分及金融组织等，或称为描述金融；而国外学术界以及实务界则以数量性 分析为主，比如资本资产定价原理，衍生资产的复制方法等，或称为分析金融， 即使在国内金融学的教材中，虽然涉及到了标的资产( u n d e r l y i n ga s s e t ) 和衍 生资产( d e r i v a t i v ea s s e t ) 定价，但对公式提出的原文证明也予以回避，这种 现象是不合理的，产生这种现象的原因有如下几个方面：首先，根据研究方法的 不同，我国金融学科既可以归到我国哲学社会科学规划办公室，也可以归到国家 自然科学基金委员会管理科学部，前者占主要地位，且这支队伍大多来自经济转 轨前的哲学和政治学队伍，因此研究方法多为定性的方法。而西方正好相反，金 融研究方向的队伍具有很好的数理功底。其次是我国的金融市场的实际环境所决 定。我国证券市场刚起步，也没有一个统一的货币市场，投资者队伍主要由中小 投资者构成，市场投机成分高，因此不会产生对现代投资理论的需求，相应地， 学术界也难以对此产生研究的热情。 包括接触过程在内的无穷质点马氏过程的研究起源于2 0 世纪6 0 年代，主要 用来处理系统中的人收到不同信息时如何做出反应以及反应后的结果。我们尝试 用选举模型来处理股市中的信息对股票价格的影响。主要是通过考察信息对股票 收益率的影响来预测股票的价格。 金融数学模型都是在很多假设的条件下才能成立，这些假设有些与客观现实 有一定差距甚至抵触，因而解决这类问题就不理想，范围也十分狭窄，需要在数 学上改进和发展。世界各国金融背景和管理模式各异，需要大量建立符合自己国 情的金融模型和分析方法，例如c a p m 适合欧式期权不适合美式期权。即使假设比 较合理，由于金融环境和社会需求不断发生变化以及创新运动的发展，为金融理 论和金融数学提出了越来越多的问题，要求我们不断进行探索。 由于实际问题的复杂性和独立性，实证研究已经成为金融数学发展的主要方 向。所谓实证研究主要是强调了数据的重要性，即从金融市场现实中取得数据， 分析数据并建立数学模型，然后揭示数据背后隐含的规律，最后返回数据和现实 中检验结论的正确性。如果离开实际数据的支持和检验，单纯从概念到概念( 即文 科研究人员习惯的定性分析) ，或者单纯从模型到模型( 即理科研究人员习惯的逻 辑推理) ，都很难深刻地、客观地揭示金融市场的发展规律。 在上述背景下，本文第一部分对利用接触过程构造股票价格模型，并加入了 停时的概念，在此基础上完成了其收敛性的证明；第二部分对中国股市中的高频 数据进行了统计分析，希望从中得到一些统计规律性，希望我们根据接触过程所 构造的金融数学模型能更好的逼近实际数据。 2 2 利用接触过程构造股票价格模型及其研究 2 i 绪论 2 1 1 选题背景 随着证券市场的不断发展和完善，对证券市场规律、性质的研究就提出了更 高的要求，因此应用一些有效的数学工具对证券市场的波动进行研究、预测、模 拟等问题已被越来越多的人所注意，这也就成为数理金融学的主要研究内容之一。 近几年来，在国际上统计物理模型被应用到金融学的研究中【1 6 】，这种新的尝试 正越来越多地引起人们的关注。s t a u f 】研和p e n n a 4 1 ，t a n a k a 6 等人已经利用统计 物理模型中的渗流理论研究了股票价格的波动性质，k u r o d a 和m u r a i 利用g i b b s 分布和一维长程渗流理论构造股价模型，并证明了该模型的概率分布收敛于l e v y 过程所对应的概率分布。在他们的研究中，认为股票价格波动的原因是来自于证 券市场中信息( 或消息) 的影响，认为证券市场中的投资人具有“羊群效应”，即投 资人的决策受到其他投资者传播消息的影响，因而股票的价格的波动最终取决于 投资人对证券市场的投资态度。接触过程模型( c o n t a c tp r o c e s s ) 是统计物理模型之 一，本文利用一维接触过程的理论，同时以数学的方法来刻画证券价格的波动， 这在金融领域中是一种全新的尝试。 2 1 2 基本概念 接触过程通常被看作传染病模型，假设在一维格点z 上的格点上存在一个个 体，紧邻个体之间的病毒是以一定的速率传播的，同时携带病毒的个体还以一定 的速率在康复。具体而言，参数为旯的接触过程是组态空间 o ，1 ) 2 上连续时间的马 尔可夫( m a r k o v ) 过程叩。，在任意时刻f ，若矾o ) = 1 ，则认为个体在j 处被传染， 并以期望为1 的速率恢复健康；若仉o ) = 0 ，表示个体健康，其被传染的速率是 被传染邻居总数的a 倍。接触过程最重要的性质是临界值旯。，若五五。，则称 为下临界接触过程，由文献 2 可知，当时间充分大时( f j ) ，接触过程趋于“死 光”( 即个体均为健康状态) ：当旯 a 。，称为上临界接触过程，此时称过程在 t 一时“存活”( 即病毒不会消亡) 。在本文中，我们把接触过程“病毒”看成 为金融投资者所获取的“信息”，利用接触过程来构建股票价格过程。 1 - 1 4321 4 1 - - - +表示病毒传染 o1 2 34 表示恢复 2 2 利用接触过程构造股票价格模型 2 2 1 模型构造 考虑证券市场上某一只股票的交易情况。在第力天( n 人。= 1 ，2 ，n ) ， 假设一个投资人可以多次交易，但每次只能交易一个单位的股票，这里n 表示股 票市场的交易天数。设晶为股票的初始价格，r 为每天的交易时间，表示f 时刻 的该股票价格，其中f 【o ，t 】。我们还假设共有膨( 肘足够大) 人投资这只股票， 4 投资人排列在一维整数点 l ，2 ，m ) c z 上。将投资人分为k 组，用 彳( 后= l ，2 ，k ) 表示，每组包含l 肘足j 个投资人，这里l 叫表示数的整数部分， 则 a = ( 七一1 ) l m k j ，k l m i k j ( k = 1 ，2 ，k 一1 ) ，a 。= ( 世一1 ) l m k j + i ，一，m 。 在每个交易日开始的时候，我们假设只有站在每个组的中心位置 = l 一1 2 ) l m 世j + 纠的投资人独立的收到某种消息，我们为这个投资人定义 一个随即变量s g n 。( f ) ，设该投资人分别以口，或1 - a 一的概率持购买 ( s g n o ) = 1 ) ，卖出( s g n t ( f ) = 一1 ) 靴( s g n i ( f ) = o ) 的观点，之后他向距离最近的 邻居传播好，坏，和中立的投资信息。于是根据接触过程理论，在每天的交易时 间【0 , t 】中，投资人之间可以相互影响，或者说消息可以传播开，而且投资人以常 数速率1 将自己的购买或卖出的观点恢复为中立，这样就导致了股价波动。 谘” k , t ( x ) 表示初始为a 的中心位置时，组中的位置x 在t 时刻的状态，对 接触过程磋( 工) 的解释如下：( 1 ) 当( s g n 。( f ) = 1 ) ( 或- 1 ) 时，若琅，( z ) = 1 ，我们 认为在x 处的投资人在时刻t 受到感染，即持有购买( 或卖出) 的观点，同时收到 感染的投资人以速率1 恢复到中立状态0 。甚” l k , t ( 曲= 0 ，认为在x 处的投资人在 时刻t 持中立观点，而他以速率办一d 。，磙? ( 工) 被距离最近的邻居传染，中为 t 时刻a 组的传染速率。( 2 ) 当( s g n i ( f ) = o ) 时，a 上的随机过程圳( 工) 可以忽略 不计。 由上面的构造可知，”k , t ( k = 1 ，2 ，k ) 为交易日中的k 个接触过程，对 于f 【o ，r 】和充分大肘，根据接触过程的结论吲，过程玎? j “，” 12 h t “，r l l 。, 可以 相互独立，也就是说持有相反观点的投资人不会出现在同一组a 中。因此，设 ( q ) = ：。s 朗。( f ) 马，则股票价格定义为： 芒= 沙，即墨= s o e x p c 善t ( q ) ， ( 2 1 ) 上式中常数c 。在这里我们令形= 妻( q ) ，i 吼卢：。号，则可以得到 研( 纯) 】= 位一卢) 研m 1 1 7 , i 。由上面的定义可知，若e ( q ) o ，l l p a p ，股价上 升，反之，股价v 降。对于接触过程而言，当捎恳的传递远翠z 五时，消息会一直传播下去，从而导致股价大的波动，所以说 & i tr , i 】的大小与a 密切相关，故记为易【li , i 】。由接触过程理论例可知，对于固定 占( 充分小) ，当m 充分大时，有( 1 ) 旯 c ，其中嘲一正常数。 2 2 2 停时构造及收敛性证明 在本节县，将研究上节所构造价格模型式( 1 ) 的概率分布收敛性质，这里我们 主要应用了停时理论和特征函数收敛理论。停时理论在数理金融学中有着重要的 应用，由于股票价格的波动往往与该股票历史的走势相关，而且相关时间的长度 也是随机的，因此我们在这里引入了停时的概念。 t 1 玟0 5 1 ；仇) ， 则各时间带为【1 ，五】，阢+ l ，五】，【五一。+ l ，五】。给定凡 旯。) 时，根据第二节的结论，有 层p 卜宰州旁 以下我们分两种情况讨论当”一m 时，函数e p 妇1 的极限。 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( i ) 当。 f 导时，此时以 以。哇t l r , 一甩a + ：il 1 2 一占，则有三4 一三2 万 占 三万，又去 a 。，所以有 e e 。听w 、i t ： ：n i _ n q e e 岳她 e e 去锄 卜1 - ( ”一+ 一 北州寺) - + 字州去) 1 妯g 吐抄，i 瓦= r 一詈巾1 ) i z - 三z 2 c + d ( 去 = c r 一抛7 12 卅。咖 = 讶一j 1c ( f 一争冉。( 击) 所以有：f u n e f ，j ，f 一，k ： ：户寺， ) ， _ o l j 综合上面的( i ) ( i i ) ，我们可以看到股票价格受到不同程度影响下的波动特 征，即 9 熄e m = 妒s o e ”。翟 其中仍= 讶，仍= j 1c o j 1 ) z 2 。而这正是l e v y 过程的特征函数，由此说明此 模价格模型的概率分布收敛到相应的l e v y 过程的概率分布，这也就从根本上表明 了我们所构造的证券价格模型的合理性。 2 2 3 模型模拟 在本节中，将采用计算机数据模拟对本文所建立的金融模型进行实证研究。 本文实际数据选自中国深圳证券交易所( w w w s s e o r g c n ) 的统计数据。在模拟中， 我们首先建立一天中的接触过程的传染股票价格模型，根据2 4 0 天东北电气 m o r t h e a s t e l e c t r i c a l d e v e l o p m e n t ) l t 殳票价格波动的实际数据( 见图1 ) ，通过统计方 法进行最优拟合，取参数为a = p = o 3 ，5 = 0 1 5 ，c = o 0 0 5 ，2 = 3 0 ，d a y = 2 4 0 由股 票价格过程：s = 墨一。e c ( w ，其中 ( c o , ) = ：, s g n 。( f ) l 秸，f m 经过计算机三次模拟的结果如图2 ，图3 ，图4 通过2 0 0 7 年l o 月2 前2 4 0 天东北电气股票价格走势的实际数据的比较，我们认为本文所建立的股票价 格模型具有较强的实用价值，由模拟也可看出，经调整参数得到的模拟图与实际 图形趋势基本吻合。 图12 4 0 天东北电气股票价格波动 a c t u a lp r i c eo fn e di n2 4 0d a y s 1 0 图22 4 0 天东北电气股票价格模拟 s i m u l a t e dp r i c eo fn e di n2 4 0d a y s 5 4 3 2 p r i c e 淤 5 0 1 0 0 1 5 02 0 0 6 5 4 3 2 p r i c e 一 喇 5 01 0 01 5 02 0 0 图32 4 0 天东北电气股票价格模拟 图42 4 0 天东北电气股票价格模拟 s i m u l a t e dp r i c eo fn e di n2 4 0d a y ss i m u l a t e dp r i c eo fn e di n2 4 0d a y s 3 我国股市高频数据统计研究 3 1 绪论 3 1 1 选题背景 近年来，在世界经济金融化和我国金融体制改革的不断深入的情况下，证券 市场已经在我国国民经济中扮演着极其重要的角色，因此深入研究中国股票市场 的波动规律具有重大的现实意义。深市地产指数和沪市地产指数是分别由深圳和 上海证券交易所的地产股构成的综合指数，它从一个方面反映了我国房地产市场 的活跃程度，对它们进行研究，有助于使我们能更直观地了解中国房地产市场近 期和未来的趋势，这有也助于我们了解中国整体经济的运行状况。1 9 5 2 年， m a r k o w i t z 创立现代组合投资理论( m o d e mp o r t f o l i ot h e o r y ) ，在收益率服从正态分 布的假设下，提出以证券投资收益率的方差来计量风险；而著名的“b l a c k - - s c h o l e s 期权定价公式”则直接建立于期权收益的连续时问正态分布假设之上。然而股票 价格收益的波动是极其复杂的，人们所建立的金融数学模型当然会与一些实际情 况存在一定的背离。下面主要采用m a t l a b 和s p s s 软件，对中国股票市场地产指数 的实际数据进行正态性检验，其次我们还将对深市、沪市地产指数收益率的幂率 性质和相对价格的统计性质进行统计和分析，讨论其相应的统计规律性。 目前，人们对证券指数波动性的研究取得了很大的进展，应用统计学理论和 应用统计物理学理论被广泛地应用到这一领域的研究中。例如s t a n l e y 等人对美 国、法国、英国和日本的主要证券市场指数波动的概率分布情况进行了深入的研 究( 见参考文献) 。近期的一系列研究结果表明，幂率函数性质是包含有相互作用 单元的复杂系统的一种很普遍的性质。对于这个性质的研究，不仅已经应用到物 理系统中，而且正在广泛地应用到金融领域的研究中。特别是最近几年，它已经 成为了连接金融和统计方法的一座桥梁，人们发现幂率函数的性质确实能较好地 解释许多现实的金融和经济现象，因此在国际上，人们对这种研究金融和经济现 象的方法的重视程度正在不断的加强。如下研究内容就是试图通过幂率函数性质 1 2 和数据统计分析方法，来研究近几年深市和沪市的地产指数的概率分布情况，以 期望解释中国房地产市场的波动统计规律性。 3 1 2 价格过程和收益过程 价格是表征股市运动最原始也是最基础的特征变量，价格度量的一种自然考虑 是股指( i n d e x ) ，但v h 于其显著的“广义非平稳性”，致使它的统计特性随时间变 化而呈现出不稳定性，因此也就不便于深刻和准确地加以描述，所以金融研究常 把平稳的收益率作为股市波动的测度。经济学中股票收益定义为资本利得 ( c a p i t a lg a i n ) 和股息红利( d i v i d e n d s ) 之和。在证券投资学中，证券的价格和收 益是对证券进行定价、分析的基础。价格体现了市场的波动，而收益则反映了投 资者投资的价值和回报。反映到金融数学中，价格过程与收益过程也就显得非常 重要。参考文献 5 中给出了价格过程与收益过程的定义。 定义1 i 以s ( t ) ，( t ：- o ，1 ，2 , - - - ) 表示t 时刻的股票价格过程( 或者股票指数) ，用 r ( t ) 和r ( t ) 分别表示t 时刻的平均收益率和对数收益率： ，( f ) = ( s ( f + 1 ) 一s ( o ) s ( t ) = a s ( t ) s ( t ) 噼h 即卅山“帮乩等笋乩 错 相对于证券价格s ( f ) ，一个交易同的价格改变量s ( f ) 相比而言是一个很小的 量。可以假设哪) 列( f ) 一舭h ( h 错卜错为等价无穷，j 、引a r o ) = l n ( s ( t + 1 ) s ( t ) ) * ，o ) 。 在本文中，我们把平均收f f 盍率r ( t ) 作为研究对象来进行研究。 上面我们说的是单个证券或者证券指数的价格和收益率。对于投资组合，设 s ( f ) = ( 墨( f ) ，是( r ) ，最( f ) ) ，万 。，其中s i ( t ) ( i = l ，2 ，) 表示第f 种股票在时刻 f 的价格。记 s ( t ) ：t f f i o ，l ，丁 表示一个价格过程。若取= l ，贝l j s ( t ) = s t ( t ) ， 既可表示某一只股票的价格过程，也可用它来表示股市的指数过程。 对于投资组合的收益率，设一个由种证券组成的投资组合p 。各资产在组 合中的比例分别是，x 2 ，。则投资组合的收益率即为各证券收益率的加权平 均值： ，= 蕾 设价格函数s ( f ) 的初始值为s ( o ) ，在文献 5 】中可见，由定义还可以推出价格 ( 或指数) 过程与收益过程的关系如下： 及 a s ( t ) = s ( t 1 ) ，( f ) t = 1 ，2 ，丁 t s ( f ) = s ( o ) 兀( 1 + ，( 甜) ) t = l ，2 ，t _ f f i l ， s ( f ) = s ( o ) + s ( “一1 ) ，( “) t = 1 ，2 ，t u f f i l ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 在下面各个模型的构造中，我们将首先建立收益过程，并通过二者的关系得 到价格或指数过程。 3 1 3 风险和收益的测度 在投资学中，在做出投资决策前，投资者必须考虑一个问题这项投资的 风险有多大? 收益如何? 为了回答这个问题，人们通常会罗列出投资收益的各种 情况，并指明每种情况发生的概率以及收益率的大小。这样我们就可以求出收益 的预期值( 期望收益) 用符号e ( r ) 表示： e ( r ) = p ( s ) r ( s ) 这样我们就可以用方差来衡量这项股票的风险大小： v a ，( ，) z 万2 = p ( s ) ，( s ) 一e ( ，) 2 为了使衡量风险指标的单位与预期收益率相同，我们可以对方差进行平方根 运算，这样就得到另一个衡量风险的指标标准差( s t a n d a r dd e c i a t i o n ) 1 4 s d ( r ) ；占= 踟r ( r ) 这样我们就分别得到了投资的期望收益率和标准差，前者是预期的收益，后 者是预期收益的风险。理论已经证明，只要未来收益服从正态分布，使用方差可 以很好的测度风险。如果我们可以已知未来收益率的分布，使用上面所说的方差 来测度风险是很方便的。但在实际中，由于投资者可得到的相关信息有限，或者 获取这些信息的成本过高，获得投资的收益率分布往往是不可能的。在这种情况 下，一种比较可行的方法是根据历史数据来测算其方差。尤其是在股票市场上， 上市公司股票的历史数据容易获得，使的预期收益率和风险的计量变得十分简单 其预期收益率和方差的计算公式为： e ( ，) 2 吉善，( f ) 水告喜知r ) - e ( r ) ) 2 = 击喜( r ( r ) - e ( r ) ) 2 其中，n 是历史收益率的个数，r ( f ) 是第i 期的收益率。上述公式视每个历史 收益率的再现机会是相等的，概率都是1 n 。这种根据历史数据计算风险的方法 在证券投资中得到了广泛应用，具有一定的科学性。但是这并不意味着它是完全 j 下确的，在一些情况下，方差的大小并不能准确地指明证券的风险大小，至少对 无风险资产而言是这样的。因此，投资者不应对这种简单的风险测量方法结果盲 目信任，而应加上自己的判断力。 3 2 我国股市高频数据统计性质模拟分析 3 2 1 收益率的“宽峰厚尾”及正态性检验 在本章中，我们采用正态性检验新标准 9 】中的图方法来对上证指数和深证成 指的收益率进行分析和研究。图方法就是采用正态概率纸来对样本进行直观的正 态性检验。正态概率纸纵轴的刻度是非线性的( 不均匀的) ，它是按照标准正态分布 的分布函数曲线下方所围成的面积而刻画的，也就是说纵轴上标有“p ”处的刻 度为标准正态分布的p 分位数o 。1 ( p ) ，横轴上的刻度是均匀的，表示随机变量x 的取值。在本蕈中，横坐标表达的是日收益翠r 的取值。如果随机变量x 是采自正 态分布的总体，则它在正态概率图中的图像将近似为一条直线。 正态概率纸的构造原理： 设总体掌的分布函数为f ( x ) ，需要检验： 风：，( 工) ( ，盯2 ) ，o o o ， 或风：孝( ，o r 2 ) ， d ( 口) 则认为二者的拟合度 差，不符合正态分布。 我们利用m a t l a b 软件分别计算深市地产指数和沪市地产指数收益率的基本统 计量的值，结果汇总如下表： 样本 k o l m o g o r o v - s m i m o v h 值双尾检验p 值c v 值 容量统计量 深市地 1 3 8 6l0 0 0 00 4 8 8 2 0 0 4 9 9 产指数 沪市地 1 3 8 6lo 0 0 00 4 7 6 60 0 4 1 3 产指数 表2 ：k o l m o g o r o v s m i r n o v 检验 双尾检验p 值为o ，因此拒绝沪深两市股指收益率服从正态分布的假设。 通过上述两种检验方法，可以看出，沪深两市地产股指数只收益率序列具有 显著的“高峰厚尾性”，且具有明显的偏态，与从正态分布具有一定的偏离性。 3 2 3 尾部指数的估计 人们进行一项投资，总是希望回避较大的损失。证券投资较大损失的部分就 是反应在投资收益率的左侧尾部上，而对于不在尾部的部分，是属于高收益的部 分或是损失不大的情况对于这些部分，一个风险回避的投资者不会太