（应用数学专业论文）广义多项式分式和问题的全局优化.pdf

第一章绪论 1 1 全局优化算法的概述 最优化是应用数学领域的重要组成部分，从2 0 世纪6 0 年代开始，就有人从事线性 规划和非线性规划局部数值算法的研究，但直到2 0 世纪7 0 年代中后期才出现有关最 优化研究的论文集经过4 0 多年的发展，目前f l o u d a s ，a k r o t i r i a n a h s 和c a r a t z o u l a s 等人“1 已然证实最优化不仅无所不在地应用于应用数学领域，而且贯穿应用科学、基 础科学( 如f l o u d a s 著的课本 5 】) 和工程学的所有分支因此，对最优化问题求解的理 论和算法的研究是当今数学和计算机科学研究的重要课题之一在刚过去的几年间， 我们在最优化的新理论和与之相关研究的算法和算法实现，以及重大科学问题中它们 的应用方面都取得了意义重大的进展，并且针对非凸优化及其应用的不同方面出版了 一系列关于全局优化的优质课本，如，实用双层最优化捌( b a r d ，1 9 9 8 ) 、凸分析和全局 最优化1 3 l ( n l y ，1 9 9 8 ) 、求解离散的和连续的非凸问题的再写的线性化技巧川( s h e r a l i 和a d a m s ，1 9 9 9 ) 、全局优化引论”1 年( h o r s t 、p a r d a l o s 和t h o a i ，2 0 0 0 ) 、确定的全 局最优化；理论、方法及应用( f j o u d a ，2 0 0 0 ) 、随机子适应优化1 ( z a b i n s k y 2 0 0 3 ) 等书 1 1 1 最优化问题的一般形式 众所周知，大部分工程优化设计问题可以表示成在一组约束条件下一个目标函数 的极值问题，即； r lo p t ，( z 1 ，z 2 ，z 。) ， l s t 吼( 。1 ，z 2 ，) o ，i = 1 ，f ， i吩( 。1 ，z 2 ，z 。) = o ，j = 1 ，m 式中：o p t 表示优化( o p t i i i l i z e ) ；s t 表示受约束于( s u b j e c tt o ) ；( z 1 ，z 2 ，z 。) 表示决 策变量；，( z 1 ，z 2 ，茁。) 表示目标函数；吼( z 1 ，。2 ，。) so 和吗( z 1 ，。2 ，) = 0 分别表示不等式和等式约束满足约束条件的全体n 维向量z 一( 1 ，。2 ，z 。) 1 构成口的子集n ，即 n = z 兄“i9 。( z ) o ， j ( z ) = o ，i = 1 ，f ，j = 1 ，m ) ， 1 第一章绪论 子，则对于一个全局优化问题，随着演化代数趋向于无穷，它将以概率1 找到全局最 优解 遗传算法是一种不依赖具体问题的直接搜索方法，在模式识别、神经网络、图象 处理、机器学习、工业优化控制、自适应控制、生物科学、社会科学等方面都得到了 应用在人工智能研究中，人们认为遗传算法、自适应系统、细胞自动机、混沌理论 与人工智能一样，都是对今后的计算技术有重大影响的关键技术 1 2 本文所研究问题的背景与现状 在运输计划、政府减缩和金融投资等领域提出了一类特殊的全局优化问题一分 式规划，有效的全局优化方法已经成为影响这些领域发展的关键之一确定性全局优 化算法恰恰满足了这类问题的需要，因此，确定性算法的理论分析、算法构造与实际 应用等方面成为研究热点 针对分式规划问题的不同形式，人们提出了许多算法下面我们进行简单的回顾 考虑如下问题： 一骞描 s t z x 1 假设分子和分母均为大于0 的仿射函数 ( a ) x 为多面体 1 9 6 2 年，c h o r e s 和c o o p e r 4 7 1 对p = 1 的情况提出了一个有效的单纯形算 法；1 9 9 1 年，k o n n o 和a b e ”对p = 2 情况构造了以单纯形算法为基础的两个 全局最优算法；1 9 9 9 年，k o n n o 等人删对p = 3 的情况设计了一种试探性算 法k u n o 5 1 和王阻】分别于2 0 0 2 年和2 0 0 5 年将上述问题推广到一般情况，即 p 2 ，并分别给出相应的全局最优算法； ( b ) x 为紧凸集 h o a i 和p h u o n y ”1 2 0 0 3 年给出的算法进行求解b e n s o n 5 4 2 0 0 4 年针对广义 线性分式规划，利用单调优化的知识构造了一种统一的单调方法，其中利用多面 块的方法确定目标函数最优点的上界 2 假设分子和分母均为大于0 的非线性函数 9 第一章绪论 ( a ) m ( o ) 为有限凹函数，以( 。) 为有限凸函数 1 9 9 5 年，q u e s a d a 和g r o s s m a n 9 “应用低估函数构造了一个分支定界算法 2 0 0 1 年，d u r ，h o r s t 和t h o a j 【5 “首先通过转化，将原问题转化为一个参数非线性 规划，然后对这个参数非线性规划利用分支定界算法求解f r e u n d 和j a r r e 。”1 通 过对最优函数值的低估设计了一个算法2 0 0 2 年，b e n s o n 9 “”利用两种不同 的等价转换，将原问题转化为易求的等价问题，并提出了相应的分支定界算法 ( b ) 分子和分母均为凸二次函数 针对p 一1 且x 为闭凸集的情况，2 0 0 1 年，g o t o h 9 ”利用d i n k e c b a n c h 参 数策略，线性高估函数和细分策略构造了一个分支定界算法 ( c ) 分子、分母及约束均为多项式函数 2 0 0 4 年，n y ，p h a n 和k o n n o ”“首次对p = 1 的情况进行研究，并提出一个 多面块确定上界的分支定界算法，其中利用一些转化技巧先将原问题转化为单调 优化问题 对于分子和分母均为凸函数且p 2 的情况，解决此类问题的算法还不多见，这 也可能是今后的一个研究方向 尽管针对不同的分式规划问题，人们提出了各种各样的算法，但据我们所知，到 目前为止，还很少有人研究如下形式的分式和问题； ( p ) z x = 。io 盈乱s 磊，i = 1 ，) cr “ 其中p 2 ；q ( 茹) ，由( z ) 和玑( z ) 都是广义多项式，即 南( z ) 这里，q ，弓。，垮。，嚷，哪蜘喙。和，y 2 n 都是任意的实常数，= 1 ，p ，蠡= 1 ，m t 由于问题( p ) 中每一分式项前带有实系数，或者说带有符号，分子和分母又都是 广义多项式，所以使得求解更加困难但因为很多实际问题均可化归为这类问题，即 1 0 m 司万 k 豪| | 吩 奄 ，触q | | 一 艄 ， g 一 毗 搬； 渤 醴 啦捌 娟： 越 水。 码跚 ，睁o o 越 限。 码h i | 唧 第一章绪论 它们包含的分式问题的形式很广，所以找到求解该类问题的有效算法具有更大实际意 义，对优化研究工作者来说则具有更强的理论和计算挑战性，因此，在本文的第二章 给出寻找多项式的范围的界的工具一t a y l o r b e r n s t a i n 算法【“】之后，我们在第三章 将问题( p ) 转化为等价问题，然后再提出了有效的分支定界算法 第二章t a y l o r b e r n s t a i n 算法 b e r n s 捌n 算法已经成为寻找多元多项式范围的界的一个重要工具其重要特征 如下： 界的计算表达丁关于这些界尖锐程度的信息； 避免了对高次多项式十分费劲的函数估计； 当对分一个盒子，且在其中一个子盒子上应用b e r t l s t a i n 多项式获得该子盒子范围的 界时，那么，不必再做任何其它的工作，我们就可获得另一子盒子范围的界； 对于充分小的盒子，b e r n s t 舡n 多项式给出多元多项式的准确的范围 2 1l i 对l o r _ b e r n s t a i n 多项式 1 b e m s t a i n 多项式 因为任意n 维盒子x 都可以经仿射变换映射到n 维的单位盒子u = 【o ，l 卜上 所以，我们仅针对x u 时的情况进行讨论 在n 维的单位盒子u = o ，中上，给定m 次n 元多项式为 p ( x ) = a i x l ，x r “， ( 2 1 ) i s 其中，x = ( z 1 ，z 。) 即是n 元变量，i = ( i h ， 。) 毋是x 的 元非负的变整 数指数，s = i i i s m ) ( 即i 和m 的分量满足o 茎讧s k ，女= 1 ，2 ，n ) ，a i 兄 是x 1 = 磅z 窘r 的系数， 记，= ( t ， r 一1 ，i ，十碚， ，+ ，i f ) ( osi ，+ 七s ”b ) ，( ￥) = ( 等) r t - ( ：) ， 则相应的b 口n s t a i n 多项式为 其中，b e r n 8 t a i n 系数 其中，b e r n 8 t a i n 系数 p ( x ) = h ( u ) b r ( x ) i s 即，= 薹鬻训e s j j 、j ， 1 2 设d 是u 对分后的任一子区间，轨迹b ( d ) 也已算出且再次假定将d 沿着第r ( 1 r n ) 元的方向对分为子区间d 。和d 。，即 d 。= 涩，五1 】瞎，m ( 孑) 】【d 札，孑】 d 。：匣。，万1 x m ( 当) ，孑 - 当，孑。1 则，执行下面的算法可从轨迹b ( d ) 得到b ( d 。) 和b ( d 。) 剖分算法； b ( d 。) ，b ( d 。) ，d 。，d 。】= s d ( d ，b ( d ) ，r ) ， 输入区间d u ，轨迹b ( d ) 和将要分枝的方向r ( 1 rsn ) ，输出子区间d n ， d 。及相应的轨迹b i 姜； ：薯i 囊。；： 羹羹薹囊 i 薹荔? _ i n i ：7 霎囊垂 骖垂萋萋胃x ；鏊薹薹鋈辇妥夏善；雾辇。 i 篓茎羹蠢貉霎。l 鍪羹j l g i 墼薷；2 l 冀；一霎i 墓l i j ：霎登i i ： s k e l b o e算法2 0 0 3 年，g r a n d e s 【1 1 1 又一次取得了进展利用区间技术进行全局优化可以保证找到全局最 优解区间技术主要用来计算目标函数的全局信息、函数的界限、李普希兹常数和高 阶导数等一般利用区间技术的全局最优化方法都采用分支与定界的策略m _ 1 引此方 法以下面的伪代码的形式给出： 1 i n i t i a l i z eal i s to fb o x e slb yp l a c i n gt h ei n i t i a ls e a r ( 血x 0i nl 2 d o m i l el d ( a ) r e m a v et h ef i r s tb o xx f r o ml ； ( b ) ( p r o c e s sx ) d o o n eo ft h ef o l l o w i n g ： i r e j e c tx ； i i - r e d u c et h es i z eo fx ： i i i d e t e r m i n et h a txc o n t a i n sa nu n i q u ec r i t i c a lp o i n t ，t h e nf i n dt h ec r i t i c a lp o i n t t oh i g ha c c u r a c y ； i v s u b d i v i d ext om a k ei tm o r e1 i k e l yt os u c c e e da tr e j e c t i n g ，r e d u c i n g ，o rv e r i - f y i n gu n i q u e n e s s 第二章1 1 a y l o p b e r n s t a i n 算法 3 t 蚵l o r 多项式 首先，引入一些记号： a = a 1 ，a 2 ，a 。) ，l a i d 1 ，( z ) a 1 l + - + l a 。l ，a ! = a 11 a 。 砂，+ + 厂( ) a z i l 如i n 令( x ) 是包含在区间x 中的所有盒子的集合令u ( x ) 为区间x 的宽度 ，( r ) ，叫( x ) = m a x x m i n x ；若x ，( 彤) ，u ( x ) = m a x u ( x 1 ) ， ( 2 2 ) 若x u (瓦) 令m(x)为区间x的中点若x，(r)，m(x)=(maxx+minx)2；若x ，(毋)，m(x)=m(xt)，m(五；)若对所有y，(x)都有了(y)f(y)，我们称f ：，( x ) 一，( r ) 为，的一个包含函数若对任意y ，( x ) ，有u ( f ( y ) ) 一u ( 7 ( y ) ) l u ( y ) o ，则称，的包含函数f 收敛阶为n ( 这里l 和。是正常数) 设函数，：x r 在区间x 上仇+ 1 次可微，则函数，的m 阶t a y l o r 展开式 如下： ，( x ) - ，( c ) + 妻掣( x _ c ) a + 掣( x _ c ) ，x x l l = 1l l = m 十1 ( 2 3 ) c = m ( x ) ，且x 称p ( x ) 为i 、a y l o r 展式的多项式部分，r ( x ) 为t a y l o r 展式的 余项部分 假设厂的m + 1 阶导数的包含函数存在且有界，则它具有保序性那么，相应的 m 阶t a y l o r 展式弓。，( x ) 可表示如下【6 2 】： b 。m ，( x ) = 哥( x ) + r ( x ) ，( 2 4 ) 这里面( x ) 是多项式部分p ( x ) 在x 上的确切范围，兄( x ) 包含余项r ( x ) 在x 上的 范围l i n 和r d l 【n e 【6 2 】证明了m 阶t a y l o r 展式具有m + 1 阶收敛性 定理2 3 假定m 阶，i a y l o r 展式定义如上”】，那么 ，( x ) 垦吃。，( x ) ， u ( b 。，( x ) ) 一u ( 了( x ) ) = o ( u ( x ) “+ 1 ) ( 2 5 ) 1 6 第二章t a y l o r b e r n s t a i n 算法 l 饥和胁礼e 在上面的算法中演示了1 a y l o r b e r n s t a i n 多项式和t a y l o r 多项式 具有相同的m + 1 阶收敛性的性质定理2 4 令f l 。( x ) 由算法( l r ) h 计算而得，则 ，(x)耳。，(x)， u ( 吁。# 。( x ) ) 一u ( 7 ( x ) ) = 0 ( u ( x ) ”+ 1 ) 2 2 t a y l o r b e r n s t a i n 算法 从式( 2 6 ) 可知，当u ( x ) 越来越小时，d 迅速变大，以致于在式( 2 7 ) 中b e r l l s t a i n 多项式的最高次幂n ，n ，结果，当定义域的宽度趋于零时，算法r 的b e r 璐t 缸n 步计算变紧因此给出了一个算法，该算法使用了一个基于n 次的b e r i l s t a i n 多项式 的不同的b e r s t a i n 步( n 是我们可能用到的b e r n s t 缸n 多项式的最小次数) ，且配有 再分和顶点检测工具下面我们给出算法t b 算法： 墨。( x ) = t b ( x ，m ) 输入盒子x，函数，的表达式和它的m阶taylor式，输出x上，的范围的界 限b 。( x ) 算法开始 1对于给定的函数，利用berz和hofstatter【63】的taylor模型技巧计算式(23)中的多 项式p 的t a y l o r 系数和余项区间月( x ) ， 2 得到的t a y l o r 系数与式中的幂式( 2 ，1 ) 联系，将该形式下的系数表示为a i 3 利用b e m s t a i n 多项式界的算法： 芦( x ) = b o u n d e r ( x ，a i ) ，( 2 1 0 ) 计算x 上的精确范围面( x ) 4 利用步l 得到的冗( x ) 和步3 得到的歹( x ) ，计算x 上函数，的范围的界限 弓日( x ) = f ( x ) + r x ) ( 2 1 1 ) 5 返回b 。( x ) 1 8 第二章7 i 匆l o r b e r n s t a i n 算法算法结束 定理2 5 设弓。( x ) 由t b 算法而得，则，( x ) 弓。( x ) ， u(b。(x)一u(7(x)=o(u(x)”+1)1 9 第三章广义多项式分式和问题的分支定界篁鎏 2 1 满足 首先，由第二章介绍的1 匆l o r - b e r n s t a i n 算法，我们求出标量、码、l ，和 o 玉b 吩( 茁) ，o o0 = 1 ，k ) 和口j o0 = k + 1 ，p ) 1 令日= ( ，s ) r 印10 屯，岛墨勺茎码，j = 1 ，2 ，p ) ，则我们获 得下面的等价问题( p 1 ) ： ( p 1 ) m i n 扛) = 哟s 了1 + 屯s 7 1 j = 1 j = + 1 s t 码( 。) 一巧茎o ，勺一吗( g ) 茎o ，j = 1 ， 岛一码( z ) 墨o ，出扛) 一句兰o ，j = k + l ，r ，p g k ( z ) 曼o ，而= l ，m ， z x ，( t ，5 ) 日 定理3 2 假定和( 矿，r ，矿) 分别表示问题( p ) 和( p 1 ) 的一个全局最优解， 则矿是问题( p ) 的一个全局最优解的充要条件是( 矿，圮s + ) 是问题( p 1 ) 的一个全局 最优解，且辞= 码( 矿) ，s ；= 呜( 矿) ，j = 1 ，p 证明令z 4 是问题( p ) 的一个全局最优解假设= 嘞( z + ) ，s ；= 如( ) ，j = 1 ，p 则( z + ，矿，矿) 是问题( p 1 ) 的一个目标函数值为 ( 矿) 的可行解令( z ，t ，s ) 是问题( p 1 ) 的一个可行解，则 q 搿笔小1 ) ，e 斛b ，p 这意味着 由z + 的最优性可得 喜町善州曼挚 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 0 一勺 呵。，村 + 巧一封 町 x 芦 一 器 呵 ，斟 + 瑞 k 触 一一 曲m 攻读硕士学位期间写作或接受的论文 1 申培萍，袁瑰霞一类广义非线性比式和问题的全局优化算法周口师范学院学 报录用 2 】p e i p i n gs h e n ，g u i ) ( i ay u a n g f 。6 0 f0 p t i m i 勰瓿d 扎，d r 舰m 吖g e 礼e m 比e dp 0 咖d m i n f 竹u c 托。伽汀凡礼c “d 瑚m a t h e m a t i c a lm e t h e d so fo p e r a t i o n sr e s e 盯c 1 已修改 3 】m ag u a n _ z h o n g ，1 a ng u i 一) d a u p p e rb o u n da n dl o w e rb o u n de s t i m a t eo f m o n o t o n ei n c r e a s i n gn a c t a lf 、l m c t i o n c h i n e s eq u a r t e r l yj o u r n a io fm a t h e m a t i c s 录用 x 第三章广义多项式分式和问题的分支定界算法 定义域n或它的子域即上求馋一系列的线性规划以便生成不增的上界和不减的下 界，并直到它们充分地接近彼此为止该算法的基础是剖分矩形q为其子矩形，其中 每个子矩形与分支定界树的节点相联系，每一个节点又与相应子矩形上的线性规划相 联系在算法的第k(三1)阶段，假定我们用集合q收集活动节点 x 第三章 广义多项式分式和问题的分支定界算法3 3 数值实验 为了验证该算法的可行性，我们采用c + + 编程，在c e l e r o ni v ( 1 6 9 3m h z ) 微机 上对多个例子进行计算该计算过程中有两点需要说明：第一，利用伯恩斯坦轨迹算 法求出f，呦，l，0=1，p)；第二，利用单纯形算法求解线性松弛规划(rlp)例1 ( p )l i n ( z ) = 一z i + 3 。1 一茁；+ 3 2 2 + 3 5 z 2 。1 + 1茁；一2 霉1 + z 一8 2 2 + 2 0 s t 2 2 1 + 0 2 6 ， 3 2 1 + 0 2 8 ， 一z 1 + z 2 一1 ， x = z ：1s 茁1 3 ，1 z 2s3 解：为了求解问题( p ) ，第一步：给出凡，( z ) ，竹。( z ) ，d ，( z ) 和d 2 ( z ) 的上、下界对 于所有的z x ，1 t 量自妻 篓；耄 丽审盘算? 酗羞! i j ；i 耐姜嗣薹l ；蓑型菇湍； 截务猫黼障；垂；两露；鹜妻i e 一口；l j 嚣l 一箧g ；氆墼? 毫； 旭萋；暖璧访量i ；。；掣 鹱嚣魏霞甲“。灌溶隧肾鹭埋i 嚣；鹂鍪蔗型露( 羔l ! i i 萼i i 蠢| 嚣 茎i 噩i 一一i l | i 2 一l j 二 j | j l i 囊整i 睦鼙l 篓耋! 囊摹i 一耋j 薹薹差j 三i 耋i 萝朝；篓霎； i i 一鸯；蠹霪! 毒ll墓；羹g；一用37，16，101 在过去的几十年中，从开始的铅笔直尺到现在的大型计算机，从过去的肉眼观测到今 天的卫星探测；遥感定位等等都在发生着极大的变化毫无疑问，搜索工具和搜索方法的 不断更新都对搜索论的发展起了巨大的推动作用现在不论是在纯数学领域还是应用数学 领域都出现了很多以“搜索”命名的论文不但原有的一些结论得到了显著的提高，而且 与其它学科的交叉及出现的新型搜索问题都在逐步成为焦点值得一提的是类型很不相同 第一；萋1 缝i i 争i ，t # ；。薹喜l ! l l 鍪叻薄镁徭忽粥剡刮：姆蕉美罐饔溢搿艘霪弼强戡鹜雯 戮翮班烈篱繇鞲赞，晕鲁；剥静同嘲鍪囊蠢萄嚣雾楚冀翼花费时间为醵型圳冀甏蘑堑臻： 鏊萋一露篝潼荤窝善夔蠹豢鬟鲐鏊鬟錾霪爱髦甄鍪塑凌翥曼裂j 星莛蠢篓萋南泽蕊磊 婆骣藕赠黧肖制裂毳袭祭惠强鬻黧蕈髦簖戮囊漆j 耳芾- 彝黄焉擘，义域租其上的函熬嚣 蓥冀秀和露辚妒驰钥娟萄磊喀篇型矗薰嚣嚣嚣赫尉瑟荐的喜录；漆蹯阡晰轨嚣冀鍪霪鸶 多项；漫降世嚣辫；娄建鹱嚣；霉浔渤，型壁旺 上擎圳彤习p 姆i 曼雾注零簿藉嚣錾馨 麓熹萋蘑嚣囊；妻藩堇裂粥些器重疆嚣雾雾黧毳爨薷鹾荔鬟鐾蓊雪：萄篓囊鬟星谨嚣荫薹 一薹錾鸯莲掣至! 囊鬟霉至至一鏊。誊尹：一囊嚣等0 0 0 0 薹誊鼍| 二耄_ | | | | 一 | | 囊鋈塞| | 冀鋈蕊彗l j j | | j | | | | 冀墓蓬_ _ | | 三三冀莆 耋 藿取嚣装薪鹫暮引甚曩锄。筷释缘评一篓醪蓊铜葡誉一楚霆鎏嚣嚣篓鬻荆职鲻鹫菰 巅绺凌蘩羹霎熏萄静懿蛙揣找髦j 鲡 x 第三章广义多项式分式和问题的分支定界算法 考虑f 面厂义多项式分式和问题 f m m ，2 骞辎， ( p ) s t 玑( z ) o ，七：1 ，m ， i iz x = 扛lo 盈翰磊，i = 1 ，) cr ” 其中p 2 ；码( z ) ，嘭( z ) 和肌( 。) 都是广义多项式，即： t 1 ， 丁2 ， t 3 k n j ( z ) 一喙茁曩塑i ；l 一墓恳蠢= 霎| ；l ；一薹羹羹蓦羹 出魁。 融；gu r n a io fs y 1 b o l i cc o m p u t a 土i o n 2 0 0 2 ，3 4 ：1 4 5 1 57 1 6 】y a n gl ，x i ah a ni n e q u a l i t y _ p r o “n gp r o g r a ma p p l i e dt og i o b a l o ptimizationp r o c e e d i n go ft h e a s i a n r e c h n o l o g y c o n f e r e n c ei nm a t h 咖a t 豳2 0 0 0 ，b 1 a c b b u r g ： a ，r c mi n c 2 0 0 0 4 0 一5 1 17 】杨路全局优化的符号算法与有限核原理山东：山东教育出版社2 0 0 1，2 1 0 一2 2 0 1 8 h a n z o nb ，j i b e t e a nd g l o b a lm i n i m i z a t i o no fam u l t i 、吼r i a t ep 0 1 y 1 1 0 m i a lu 8 i n g m a t r i ) ( m e t h o d s j o u r n a lo fg l o b a lo p t i m i z a t i o n 2 0 0 3 ，2 7 ：1 3 1 1 9 l g r a n v i l l i e r sl as y m b o l i c - n u m e r i c a lb r a n c h 甜ldp r u n ea l g o r i t h mf o rs o l v i n gn o n _ 1 i n e a rp o l y n o i i l i a ls y s t e m s j o u r n 缸o fu n i v e r s a lc o m pu t e rs d e n c e 1 9 9 8 ，4 ( 2 ) ： 1 2 5 一1 4 6 2 0 b y r n erp ，b o g l eidl g l o b a lo p t i m i z a t i o no fc o n s t r a i n e dn o n c o n 、慨p r o g r a l s u s i n gr e f o r m u l a 屯i o na n di n t e r v a l 跖a l y s is c o m p u t e r sa n dc h e m i c a le n 西n e e r i n g 1 9 9 9 ，2 3 ：1 3 4 1 1 3 6 1 【2 1 g a ucy ，s t a d t h e r rma n e wi n t e r v a lm e t h o d o l o g i e sf o rr d i a b l ec h e m i c a lm o d - e l i n g c o m p u t e r sa n dc h e m i c a le n g i n e e r i n g 2 0 0 2 ，2 6 ：8 2 7 - 8 4 0 【2 2 k l e p e i sjl，f l o u d a sca a bi n i t i ot e r t i a r ys t r u c t u r ep r e d i c t i o no fp r o t e i n s j o u r n 以o fg l o b alo p t i m i z a t i o n 2 0 0 3 ，2 5 ：1 1 3 【2 3 k l e p e i sjl ，p 嘲am ，f l o u d a sca an e wc l a s s0 fh y b r i dg l o b mo p t i i i l i z a t i o n 参考文献 2 2 0 ( 4 5 9 8 ) ：6 7 1 6 8 0 【3 8 】康立山、谢云、尤矢勇等非数值并行算法一模拟退火算法北京；科学出版社 1 9 8 4 f 3 9 1 王凌智能优化算法及其应用北京：清华大学出版社 2 n n l 【4 襄i n o u r a 曩iy ，a n d r 毒l e nb a 奥 m p a r i s o no fs i i n u l a t e da 珊e 主i i n gc o o j i n gs t r a t e g i 妻 j o u r n 量三io fp 量量羔i c sa ：m a t h e m a t i c a ia n dg e n e r 蠢；1 9 9 8 ，4 l ：8 3 7 3 8 3 8 5 4 1 1a l im ，t 占r na ，i t a n e ns a 蔓i r e c ts e a r c hs i m l a t e da n n e a l i n ga l g o r i t h m ；主r o p ；! m i z 曩i i ni 曩蔓l v i n g 建垂釜；i 甍萎囊奏sv 卵i 8 b j 三薹1 9 9 7 4 2 】w 址bw ，c h 寒妻gyj n a c j j j a 垂垂dm 是；h o 矗j ；主r 唾鸯i 墓i 襄霹n o n l i n e 塞lg l 至蠢蠢io 囊；：i m i z 巍i i o na n ds i ；i 蚯a b i l i 蠡p r o b l e m s j o u r n 薹；o fg l o b a lo p t i m i z 主；i 羹妻1 9 9 7 ，1 0 ( 2 ) ： 1 0 7 1 4 1 4 3 】磊耋r 寒蠹e l l i jm ，c o h o o njp ，at 、妻i 8 t a 霉垂s i 咖l a t j 蠢塞囊n e 重量n gm 釜；h o d o l o g 矿5 誉 g r e i il a 毛羹s