（理论物理专业论文）反常霍尔效应和自旋霍尔效应的理论介绍和比较研究.pdf

反常霍尔效应和自旋霍尔效应的理论介绍和比较研究 摘要 众所周知，发现于十九世纪末的导电系统的霍尔效应是一个普遍的电磁学效 应，它是磁场作用于载流子的洛伦兹力在宏观上的一种表现。在实验上，霍尔效 应是载流子的类型和密度测量等技术手段的物理基础。本文将讨论与霍尔效应相 关的两个效应，铁磁金属的反常霍尔效应和自旋霍尔效应。以上两类现象都和霍 尔效应有关。由于问题的复杂性和重要性，人们在传统输运理论基础上，创造各 种新的概念方法体系，来研究这些现象。本论文将有选择地综述其中的一些主要 理论方法，然后也将给出我们自己在介观输运方法方面的一点研究结果。并通过 对现今已经发展起来的理论和方法进行总结和比较，探讨它们的优缺点、等价性、 能否互补等问题，能够应用的条件，为理论的进一步发展提供基础。 本论文首先介绍了霍尔效应的理论发展历史，及对反常霍尔效应与自旋霍尔 效应的一些理论解释和存在的问题。在第2 章中首先介绍了反常霍尔效应的准经 典理论的玻尔兹曼方程。其理论基于将电子运动的量子态看成波包，并受测不准 原理限制，将波包的位置平均值和动量平均值的变化看作一个准粒子的位置和动 量的变化，而使系统外界对准粒子的影响服从经典理论。然后根据费米分布统计 函数而导出玻尔兹曼电导率方程。然后，重点介绍了准经典理论的近期进展。主 要是从贝里相角度出发重新审视最早l u t t i n g e r 提出的内禀机制，并认为在很多 情形下反常霍尔效应主要是由内禀机制引起的，即动量空间布洛赫函数的贝里曲 率决定了霍尔电导率。在新的运动方程中，第二项产生的反常速度与外磁场b 无关，方向垂直于外电场e ，正是这个反常速度给出横向电导率( 霍尔电导率) 的内禀根源。随后介绍了基于量子机制的严格的输运理论，介绍了线性响应理论 及由此发展起来的k u b o s t r e d a 电导率公式。进而，我们介绍准经典玻尔兹曼方 法和k u b o s t r e d a 公式在反常霍尔效应中应用的等价性。其中重点探讨了内禀机 制和边跳机制的解释中两种方法是等价的，发现虽然两种方法的理论机制不同， 但是可以得出相同的结论。论文的第3 章，我们简要介绍自旋霍尔效应中的几种 研究方法。并且，我们将对两种不同的介观输运方法进行了比较研究。在前些年 的自旋霍尔效应相关的一些研究工作中，人们分别利用了基于k e l d y s h 非平衡 g r e e n 函数和l a n d a u e r b u t t i k e r s 散射波函数的方法研究了典型半导体系统中的自 旋输运问题。就我们所知，对这两种方法的异同从未有人给出过研究。我们提供 了一个从l a n d a u e r - b u t t i k e r s 散射波函数中导出的用于无多体相互作用的介观 系统的非平衡格林函数公式。我们还将阐明，对于无相互作用问题，这两个等价 的工具虽然在哲学上有不同的意义，但是，在理论应用上却可以相互补充。论文 最后，我们对这两个领域的研究进行了简单的总结和展望。 关键词：反常霍尔效应：自旋霍尔效应；玻尔兹曼方程；k u b o s t r e d a 公 式；散射波函数方法 t h et h e o r e t i c a li n t r o d u c t i o na n d c o m p a r i t i v es t u d yo ft h ea n o m a l o u sh a l l e f f e c ta n dt h es p i nh a l le f f e c t a bs t r a c t a sw ea l lk n o w , h a l le f f e c tw h i c hf o u n di nt h en i n t hc e n t r yi sag e n e r a l e l e c t r o m a g n e t i c se f f e c ti nt h ec o n d u c t i v es y s t e m i nt h ee x p e r i m e n t ，h a l le f f e c ti st h e p h y s i c sf o u n d a t i o nt ot y p et h ec a r r i e ra n dm e a s u r et h ed e n s i t nt h et h e s i sw i l ld i s c u s s t h ea n o m o l o u sh a l le f f e c ta n dt h es p i nh a l le f f e c tw h i c ha r em o d e r ne x t e n s i o n so f c l a s s i c a lh a l le f f e c t d u et ot h ei m p o r t a n c ea n dc o m p l i c a t i o no ft h ep h e m o n e m a ， p e o p l eh a v ed e v e l o p e ds o m en e wc o n c e p t i o na n dm e t h e d st os t u d yi t a n dw ew i l l s t u d ys e v e r a lm e t h o d s ，a n dp r e s e n tat h e o r e t i c a lw o r ko fo u ro w ni nt h em e s o s c o p i c t r a n s p o r tt h e o r y o u ra i mi st op r o v i d eab a s i so ft h ep r o g r e s so ft h et h e o r y , b y r e v i e w i n gt h ed i s c o v e r ya n dh i s t o r yo ft h ea n o m a l o u sh a l le f f e c ta n dt h es p i nh a l l e f f e c t ，d i s c u s s i o nt h ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e s ，e q u i v a l e n c e ，c o m p l e m e n t a r y b e t w e e nt h et h e o r i e s a tt h eb e g i n n i n go ft h ef i r s tp a r t ，w er e v i e w e dt h eh i s t o r yo ft h et h e o r yo ft h e h a l le f f e c t ，a n dt h et h e o r yt oe x p l a i nt h ep h e n o m e n o no fa n o m o l o u sh a l le f f e c ta n d s p i nh a l le f f e c t ，a n de x i s t i n gp r o b l e m s t h e n ，i nt h ec h a p t e r2 ，t h eb o l t z m a m n e q u a t i o nw a si n t r o d u c e dw h i c hi sb a s e do nt h es e m i c l a s s i c a lw a v ep a c k e tt h e o r y i n t h i st h e o r y , t h ee l e c t r o ni sd e s c r i b e daw a v ep a c k e t ，s ow ej u s tn e e dt oc o n s i d e rh o w w a v ep a c k e t se v o l v e t h e n ，w ef o c u s e do nt h er e c e n tp r o g r e s so ft h es e m i c l a s s i c a l t h e o r y , t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ea n o m a l o u sh a l lc o n d u c t i v i t ya n dt h eb e r r y c u r v a t u r eo ft h eb l o c hs t a t e si nm o m e n t u ms p a c e t h e r ea r ea l la n o m a l o u ss p e e d u n r e l a t e dt h ee x t e r n a lm a g n e t i cf i e l d ，i tc o n t r i b u t et ot h ei n t r i n s i cs o u r c eo ft r a n s v e r s e c o n d u c t i v i t y t h e n ，w ei n t r o d u c e dt h er e g o r o u st h e o r i e sb a s e do nt h ec o m p l e t e q u a n t u mm e c h a n i s m ，l i k el i n e a rr e s p o n s et h e o r ya n dk u b o s t r e d af o r m u l a t h ef i n a l o ft h i sc h a p t e r , w ed i s c u s s e dt h ee q u i v a l e n c eb e t w e e nt h es e m i c l a s s i c a lb o l t z m a m n e q u a t i o na n dt h ek u b o s t r e d af o r m u l ai nt h ea p p l i c a t i o no f t h ea n o m a l o u sh a l le f f e c t j i i a n dw eh a v ef o u n dt h a tt h et w od i f f e r e n tt h e o r yc a no b t a i nt h es a m ec o n c l u s i o n i n t h ec h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c e ds o m et h e o r yt oi n t e r p r e tt h es p i nh a l le f f e c t i ns o m e s t u d i e sr e l a t i n gs p i nh a l le f f e c ts e v e r a ly e a r sa g o ，p e o p l eh a v eu s e dt h em e t h o db a s e d o n k e l d y s hn o n e q u i v a l e n t g r e e nf u n c t i o na n dt h em e t h o d b a s e do n l a n d a u e r - b u t t i k e r ss c a t t e r i n gw a v ef u n c t i o ns e p a r a t e l yt os t u d yt h es p i nt r a n s p o r t p r o b l e m si nt h es e m i c o n d u c t o rs y s t e m b u t ，w ef o u n dt h e r ea r en oo n ec o m p a r et h e d i f f e r e n c e sa n ds i m i l a r i t i e so ft h eb o t ht h e o r y s o ，w ec o m p a r e dt h et r a n s p o r tt h e o r i e s o ft h em e s o s c o p i cs y s t e m w ep r o v i d e dam e t h o dt h a tc a nd e d u c et h en o n - e q u i l i b r i u m g r e e n sf u n c t i o nf r o ml a n d a u e r - b u t t i k e r s s c a t t e r i n gw a v ef u n c t i o na p p r o a c hi n n o n i n t e r a c t i n gm e s o s c o p i cs y s t e m s w es h o wt h a tf o rn o n i n t e r a c t i n gp r o b l e m s ， t h e s et w oe q u i v a l e n tt o o l sa r eb a s e do nv e r yd i f f e r e n tp h y s i c a lp i c t u r eb u tc a nb e c o m p l e m e n t a r yt oe a c ho t h e ri nt h e o r e t i c a la p p l i c a t i o n s t h e n ，f i n a l l y , w es u m m a r y t h ew h o l ew o r k ，a n dg i v ea no u t l o o ko fs o m ep r o b l e mi nt h ef u t u r es t u d y k e yw o r d s ：a n o m a l o u sh a l le f f e c t ；s p i nh a l le f f e c t ；b o l t z m a m ne q u a t i o n ： k u b o s t r e d af o r m u l a ：s c a t t e r i n gw a v ef u n c t i o na p p r o a c h i v p 期， e h 足 m s e f f ( k ) h 甲叽( r ) q 。 丁 g r g 。 g r p 霍尔电阻率 自发霍尔角 常规霍尔系数 反常霍尔系数 饱和磁化强度 电子的费米能级 分布函数 哈密顿量 波包 准粒子的动量 散射矩阵 推迟格林函数 时序格林函数 反时序格林函数 编时算符 主要符号表 v i i 电子有效质量 晶格常数 自旋霍尔电导 霍尔电压 布洛赫波 电流密度 统计算符 拉格朗日量 准粒子的位置 贝里曲率 散射率 自能 超前格林函数 阶跃函数 反编时算符 k c 、 尼 w r ( p ， p 工 k f 舻 伊 叽 。弓 学位论文独创性l 声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他机 构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在 论文中作了明确的声明并表示了翊 意。 研究生魏强i 箩盘 学位论文使用授权声明 嗍：卅j ；， 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使刚学位论文的规定，即：学校有权 徕留送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩 印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江：师蓖大学可以用不同方式在不同 媒体上发表、传播论文的金都或部分内容。保密i 1 ，j 学位沧文在解密后遵守此鼢泌。 研宄生签名：净多f 乙剥璐名：触隅砷，n 妒 、i ” ， 1 1 霍尔效应的发现川 第1 章引言 1 8 7 9 年，e d w i nh a l l 在实验中观测到常规霍尔效应。在紧接的两年内，他 测量铁、钴、镍等铁磁性材料时发现了三个新的特点：( 1 ) 霍尔系数比早期测量 过的金和铜的霍尔系数大1 0 倍；( 2 ) 随着温度的升高，霍尔系数迅速增大；( 3 ) 霍尔电压与外加磁场不再有线性关系，而且，当磁化强度达到饱和时，它就变成 常数。这三个特性实际上标志了反常霍尔效应的发现。 一个非磁性的金属或半导体薄片在外加电场e 和磁场b 时，材料中的载流子 受到外加电场的力而沿一个方向运动，同时，运动的载流子又和外加的磁场作用 而在垂直方向产生附加的横向运动。这横向的运动将造成薄片两侧电荷的积累， 从而在这个方向产生一横向霍尔电压v i 。横向霍尔电阻率以，的大小依赖外加磁 场的大小，即 风，= r o e ( 1 1 ) 其中心称为常规霍尔系数，它的大小与载流子数成反比，符号取决于载流子的 类型，这就是常规霍尔效应。然而铁磁性的金属材料样品里，横向电阻率尸。，的 大小除了包括( 1 1 ) 式中的常规项外，还有另外增加了与样品的磁化强度m 大 小有关的反常项，当样品达到饱和磁化强度m 。时，它就变成了常数。 图1 1 给出了横向霍尔电阻率p 。与磁场大小b 的关系曲线：户。，先随b 迅速 线性增加，经过一个拐点后线性缓慢增加，直至饱和。显然，这不能简单用磁场 的洛伦兹力来解释。因而，通常人们称这种现象为反常霍尔效应。由于它和自发 磁化有关，也称为自发霍尔效应。根据经验，有 风，= r o n + 4 万r m ( 1 2 ) 第1 章引言 其中b 称为反常霍尔系数，通常它大于常规霍尔系数rn 少- - + n n n 上，且 强烈地依赖于温度。另外，在铁磁性金属中，即使没有外加磁场b ，仅有x 方向 的电场e 时，也会出现横向霍尔o g - 压, 。实际上，为了让此现象明显，常用一 弱的磁场b 使样品内的磁畴都平行取向。 图1 1霍尔电阻率与磁场大小的关系曲线示意图 常规霍尔效应有着广泛的应用，如确定半导体的导电类型，测定载流子浓度 和迁移率，以及制造霍尔传感器等等，而反常霍尔效应则是探究和表征铁磁材料 中巡游电子输运特性的重要手段和工具之一。它的测量技术被广泛应用于许多领 域，最重要的应用是在新兴的自旋电子学方面。例如，在一v 族半导体中掺入 磁性锰原子，从而实现材料铁磁性与半导体性的人工联姻，促进了稀磁半导体材 料的诞生，稀磁半导体材料最初就是通过在低温和高温范围内测量样品的反常霍 尔效应发现的，而且反常霍尔效应在稀磁半导体材料整个应用过程中的性能表征 都有着不可替代的作用。 1 2 反常霍尔效应理论解释 尽管反常霍尔效应有着至关重要的作用而且这种现象的发现已有一百多年 的历史，但关于理论机制仍存在很多争议。到目前为止，还没有建立完整的理论 2 第1 牵引言 体系对有关实验结果做出非常合理的，定量的解释。争论的焦点是该效应是内禀 机制还是外在机制，以及如何处理杂质、缺陷和声子等的散射问题。为了证实和 解释霍尔现象，许多的研究者在这方面做了大量的实验研究工作。例如，k u n d t 发现霍尔电阻近似与磁化强度成线性关系【2 】；s m i t h 和s e a r s 于19 2 9 年提出上面 列出的霍尔电阻与磁化强度的经验关系式( 1 2 ) 【3 。然而，在对反常霍尔效应机 制的理论解释方面基本没有大的进展。直到1 9 5 4 年，k a r p l u s 和l u t t i n g e r 4 , 5 t j 一 从理论上详细研究了自旋，轨道耦合作用对自旋极化巡游电子的输运影吼第一 次提出了反常霍尔效应的内禀机制。他们完全忽略杂质、声子等散射，把外加电 场作为微扰动展开，推导出在包含自旋轨道耦合相互作用的理想晶体能带中运 动的载流子，存在一个正比于贝里曲率的反常速度。正是由于这个反常速度的存 在，在外加电场下，同时考虑到上白旋和下自旋的电子占据数不相等，导致电子 将会有个净的横向电流，产生反常霍尔效应。也就是说，反常霍尔效应是自旋 轨道耦合的必然结果，仅和材料的固有能带结构相关，而与材料的内禀特性、散 射无关。按照这个理论，反常霍尔系数尺。与总电阻的平方p 2 成正比。这与当时 几种过度金属的实验观测结果是一致的，如铁就是典型的一个例子。 图1 2 反常霍尔效应螺旋散射机制示意图 然而，这个结论很快受到s m i t t 6 1 的质疑，他批驳了k a r p l u s 和l u t t i n g e r 的观 点，认为在真实的材料中总是存在缺陷或杂质，电子的运动将会受到散射，结果 对于理想周期性晶体，内禀的反常霍尔系数足将会消失为零。进一步，他提出 了螺旋散射机制，认为对于固定自旋方向的电子，由于自旋轨道耦合相互作用， 电子受到杂质的散射是不对称的，结果定向运动的电子偏离原来的方向，形成横 向的电荷积累，它的直观物理图像如图1 3 所示。螺旋散射主要由被散射的载流 子偏离原来路径方向的角度铭p j ( 也称为自发霍尔角) 来表征： 。h = p 形 ( 1 3 ) 第1 章引言 因此，根据螺旋散射可以得到霍尔电阻率风与p 成正比，即 氏o cp ( 1 4 ) 而且霍尔电阻率p 。，还依赖于散射势的类型和作用距离。 k o h n 和l u t t i n g e r 8 】为了修正没有考虑散射的局限性，他们重新把密度矩阵 对自旋轨道耦合和杂质散射势的强度一起进行微扰展开，结果在新得到的霍尔 电阻率的表达式中，除了原来的k a r p l u s 和l u t t i n g e r 9 】结果外，还增加了一项杂 质散射作用的贡献。后来，l u t t i n g e r 1 0 】进一步运用这种方法具体研究了没有关联 作用的弱杂质散射模型，基本发现有相同的结果，然而，在他的电导率表达式里， 对霍尔电导率贡献的散射项不依赖于散射势，而仅仅取决于体系的电子结构，这 点是奇怪的，但是他没有给出具体的解释。最后他回应了s m i t 的质疑，他指出， 在理想周期晶格结构里反常霍尔系数足并没有出现抵消的情况。 在接下来的十年内，以l u t t i n g e r 和s m i t 为代表的两种观点一直争论着，始 终没有得到调和。然而在1 9 7 0 年，b e r g e r t 1 又提出反常霍尔效应的边跳机制， 使人们对反常霍尔效应的量子力学的起源更加迷惑。边跳散射机制模型如图1 3 所示。 - - - - ) i 毛，一一一，一一一一 图1 3 反常霍尔效应边跳机制示意图 当自旋轨道相互作用存在时，由于自旋轨道作用取决于自旋角动量s 和轨 道角动量l 的矢量积，与二者之间的夹角有关，于是散射后对于固定自旋方向的 电子运动轨迹将有一个横向跳跃缈与螺旋散射参数铭和平均自由程五有关： t a n 铭铭a y a p a y ( 1 5 ) 因此，根据边跳机制可以得到霍尔电阻率腙与p 成二次方关系，即 氏芘p 2 ( 1 6 ) 这似乎可以成功的解释在铁、镍和铁镍合金中实验观察到的艮与总电阻平方p 2 成线性关系的现象。边跳机制模型与具体散射势的形式无关。 4 第1 章引言 螺旋散射和边跳散射机制都属于外在机制，都是由于杂质或声子散射造成 的，在b e r g e r 与s m i t 进一步交换各自观点后，似乎认为反常霍尔效应是由于杂 质散射引起的外在机制造成的，而l u t t i n g e r 最早提出的内禀机制却渐渐失去了 原有的主导地位。然而，考虑到在实际材料中，人们很难对杂质的散射势建立准 确定量的模型，外在机制预测的结果很难与实验定量的比较，因此主要由外在机 制导致反常霍尔效应这个结论是值得怀疑的。 1 3 自旋霍尔效应的理论解释m 3 电子除了电荷，还有自旋，自旋可能向上或向下。不难想象，在外加电场中， 材料中的自旋向上的电子和自旋向下的电子由于各自形成的磁场方向相反，会各 自向相反的两边堆积，这就是自旋霍耳效应。初始常做简化模型，在自旋一轨道 耦合的作用下诱导在一侧边界附近处自旋激化，而在另一侧反向激化，自旋霍尔 效应是产生于多种内禀和外在的自旋一轨道耦合机制，并依赖于样品的几何形状， 尺寸，杂志散射和系统载流子的密度。最近，自旋霍尔效应在理论方面受到了很 大的关注，很大程度上是因为它与电流的产生，电流的传输和非平衡激化的控制 息息相关，同时实验的发现也为理论研究点燃了热情，尤其是在半导体材料方面 的研究。 早期的理论研究认为，自旋霍耳效应源自如上所说的对自旋向上和对自旋向 下的散射不对称。由于引起散射的杂质、缺陷、声子都是完整晶格以外的因素， 故这种现象称为外在自旋霍耳效应自旋霍耳效应起源于晶体中的自旋一轨道相 互作用，由之引起前面所介绍的反常霍尔效应机制中的边跳机制和螺旋散射两种 散射对自旋霍耳效应都可有各自的贡献当一自旋未极化的电流在金属中流过 时，自旋一轨道相互作用产生了对导电电子的非对称散射，于是具有一特定自旋方 向( 如自旋向上) 的电子比自旋方向相反( 向下) 的电子有较大的概率被散射到右 边；而自旋向下的电子将比自旋向上的电子更倾向于被散射到左边。由于在没有 磁化的情形中，自旋向上和向下的电子数相等，将不会造成样品两侧电荷不平衡， 但将有自旋的不平衡，有较多的自旋向上的电子流向样品的一边，同时有较多的 第1 章引言 自旋向下的电子流向相反的一边。这样就在横向产生一自旋流。在横向开路的条 件下，边界条件要求每个电流都应在边界处消失。因此，要求横向自旋流在到达边 界时要衰减。最后形成一稳定的自旋极化的积累( 如图1 4 所示) 。 图1 4自旋霍尔效应示意图 而后来人们认为自旋霍耳效应仅和材料的固有能带结构相关，是材料的内禀 特性，和散射无关【13 , 1 4 】。这一观点也引起了不少的争论，由于自旋轨道相互作用， 系统的电子能谱将发生变化。对于原子，具有相同主量子数n 、轨道量子数l 的 本征能级可容纳自旋相反的2 个电子，而计入自旋轨道相互作用后，将产生能级 劈裂，1 个n ，】能级劈裂为r l 和1 相同而磁量子数m 不同的2 个子能级。对于固 体，则发生与原子能级相对应的能带的劈裂和交叉，结果是有的自旋方向的电子 能级低，自旋相反的电子能级高。这样，当外场引起电子流时，就可能出现不同 自旋方向的电子运动不平衡，从而造成自旋流动。由能带结构出发，从参与流动 的电子的波函数推求位置算符的矩阵元，得到波包的横向位移，这是直观理解内 禀自旋霍耳效应的思路。如对自旋一轨道耦合的二维电子气中能带结构的分析表 明 1 5 】：外电场确实可在垂直于电场的方向引起自旋霍尔流，这就是内禀自旋霍耳 效应。遗憾的是这些理论都还缺乏实验证据，关于自旋霍尔效应和相关的霍尔电 流有大量的理论文章，但实验方面的文献却屈指可数，2 0 0 4 年k a t o 【16 j 在电流流 过三维n g a a s 层中利用k e r r 显微镜光学检测到白旋霍尔效应，样品的应力测量 受晶向的影响很小，由此推断是外在机制导致了自旋霍尔效应；2 0 0 6 年s t e r n 在 室温下用z n s e 做了类似的实验【17 1 ，得到了相同的结论。2 0 0 5 年w u n d e r l i c h 1 8 1 在 对二维p - g a a s 层实验中发现由于内在机制导致的自旋霍尔效应。此外，在 a 1 g a a s 量子井二维电子系统中发现外在机制诱发的自旋霍尔效应。2 0 0 6 年 v a l e n z u e l a 和t i n k h a m t l 9 】在a 1 中通过外在机制自旋电流诱导横向电压获得自旋霍 尔效应。自旋霍尔效应是纳电子科学的重要课题，是量子信息发展的重要基石。 6 第1 章引言 目前研究表明：可以通过门电压控制自旋霍尔效应中自旋电子的积累，有着非常 深远的应用前景。 1 4 本论文的主要工作及研究目的 本论文主要讨论了与霍尔效应相关的两个效应。第一，铁磁金属的反常霍尔 效应。该效应的发现也有半个多世纪的历史了，然而它的微观机理到目前还不是 很清楚。近来，由于自旋电子学的兴起，人们需要理解和探究稀磁半导体材料的 性质，反常霍尔效应是探测和确定给定温度下材料体系铁磁态最基本的表征工具 之一，这就迫使人们对反常霍尔效应理论机制进行深入的思索。为了解决反常霍 尔效应中内外机制的争论，人们需要建立一个可同时处理内外机制的普适理论。 考虑到实际材料里，杂质和缺陷等无序总是存在，显然这个理论必须有处理由这 些无序引起的散射问题的能力。然而系统解释所有的实验结果的理论到目前远没 有建立，还有很多的困惑需要澄清。第二，近几年的自旋霍尔效应。自旋电子学 的中心任务之一是在非磁半导体内注入自旋极化的电流( 或纯自旋流) 。最近人 们提出所谓自旋霍尔效应的机制，即根据自旋一轨道耦合，在半导体内的电流可 自发地诱导出垂直方向的自旋流的现象。论文中采用了半导体异质结2 d e g 的研 究方法避开自旋流不能严格定义的问题。其中介观系统的各条引线是理想的金属 导线，其上自旋流是可以严格定义的。并采用如k e l d y s h g r e e n 函数法等介观输 运方法来计算一些非平衡物理量，比如介观系统中的自旋极化密度，从而研究由 自旋流引起的边界处的自旋累积。 以上两类现象都和霍尔效应有关。由于问题的复杂性和重要性，人们在传统 输运理论基础上，创造各种新的概念方法体系，来研究这些现象。本论文有选择 地综述其中的一些主要理论方法。最后给出我们自己在介观输运方法方面的点 研究结果。 第2 章反常霍尔效应 第2 章反常霍尔效应 这一章首先介绍反常霍尔效应的准经典理论的玻尔兹曼方程，其理论基于将 电子运动的量子态看成波包，并受测不准原理限制，将波包的位置平均值和动量 平均值的变化看作一个准粒子的位置和动量的变化，而使系统外界对准粒子的影 响服从经典理论。然后根据费米分布统计函数而导出玻尔兹曼电导率方程。随后， 重点介绍了准经典理论的近期进展，主要是从贝里相角度出发重新审视最早 l u t t i n g e r 提出的内禀机制，并认为在很多情形下反常霍尔效应主要是由内禀机制 引起的，即动量空间布洛赫函数的贝里曲率决定了霍尔电导率。在新的运动方程 中，第二项产生的反常速度与外磁场b 无关，方向垂直于外电场e ，正是这个反 常速度给出横向电导率( 霍尔电导率) 的内禀根源。接下来，主要介绍了基于量 子机制的严格的输运理论，介绍了线性响应理论及由此发展起来的k u b o s t r e d a 电导率公式。进而，我们介绍准经典玻尔兹曼方法和k u b o s t r e d a 公式在反常霍 尔效应中应用的等价性。 2 1 电导率计算的准经典方法 2 1 1 电子的准经典运动 凝聚态物理学在固体中电子运动性质研究方面提供了大量成功的说明。这种 成功主要并不是因为在这个领域里的理论和实验有多么符合，而是因为涌现了很 多新的概念和现象。它韵中心理论就是固体在电磁场中的响应由其能带占础决定。 由此得出的电子的等效速度和有效质量。这种简单的电子动力学模型非常的有 用，使得人们可以忽略其它严格的理论和方法。 因为用标准的格林函数方法对直流电的反常霍尔效应进行定量的计算往往 第2 章反常霍尔效应 非常繁杂，而且到最后的结果也只能用到平均近似的方法，而难以得到精确的结 果。所以解释反常霍尔效应的理论往往都局限在哈密顿量很简单的模型以及忽略 了能改变磁场秩序的多体相互作用部分。即使如此简单，反常霍尔效应还是很难 取得实质的进展。 所以，很多人就选用准经典方法来研究反常霍尔效应。准经典方法是基于应 用在电子输运中的经典b o l t z m a n n 方程发展起来的【2 0 , 2 1 。这量子力学中，对任意 有经典类比的力学系统，如果一个态的经典描述近似地成立，则这量子力学中这 个态就可以用一个波包表示，所有的坐标和动量都有近似的数值，其精确度由测 不准原理限制。 在晶体中，电子在很强的周期势场中运动，并不能简单的看成自由粒子，不 过为简单起见，可以用布洛赫波组成波包。由于波包包含能量不同的本征态，必 须考虑到时间因子，把布洛赫波写成 儿兰幽1 虮，( r ，t ) = p l “k ( r ) ( 2 1 ) 其中z r 。，( r ) 为周期函数。把与k 。相邻近的各k 状态叠加起来就可以组成与量子态 k 。相对应的波包。为了得到较稳定的波包，k 必须很接近k 。，有 k k o + k ( 2 2 ) 则k = a 必须很小。式( 2 1 ) 中的e ( k 7 1 按k 展开可以只保留到线性项， e ( k7 ) 兰e ( k 。) + k ，( v 。e ) “ ( 2 3 ) 则波包的数学形式表示为 咖) ：r “戳 4 ) 2 其中“。，( r ) 是以原胞为周期的函数，所以它的影响只是给波包附加一定的细致结 构而并不影响整个波包的形状。并解得到波包中心 r 0 。玄( v “e ) k o f ( 2 5 ) 将波包中心看成一个准粒子，则该粒子的速度为 v k o2 云( v 。e ) 。 ( 2 6 ) 9 第2 章反常霍尔效应 由于a 很小，e ( k 1 是在布里渊区中的变化，所谓很小，应是相对于布里渊区 的线度1 以( 以为原包的线度) ，所以一般要求 以，即波 包必须远大于原胞。因此，在实际问题中，只能在这个线度内把电子看成准经典 粒子。例如在输运过程中，只有当自由程远远大于原胞的情况下，才可以把电子 看做一个准经典粒子。 如果在外力f 作用下，电子在d t 时间内，外力对电子做功 w = f v k d t ( 2 7 ) 电子的能量也必须有相应的变化。由于电子能量e ( k ) 决定于状态k ，这说明在 外力的作用下，状态k 必须有相应地变化d k ，并且根据功能原来有 d k v k e = f v k d t ( 2 8 ) 将( 2 6 ) 式代人上式得 ( 方警一f 卜= 。 汜9 ， 从而得出结论在平行于v 。的方向方案与f 的分量是相等的，因而有 7 1 坐：f( 2 1 0 ) 根据( 2 6 ) 式和( 2 1 ) 式，我们可以得出电子在外力作用下运动状态随时间t 演 化的方程，并将方程写成牛顿方程的形式，因为外力作用引起k 随时i qi ；t 9 变化， 从而引起速度随时间的变化，即加速度孚，为了方便起见，将加速度写成分量 的形式则有 盟：旦f ，三型 ：三y 堕旦f 型1 d td tl 应睨力7d t l 睨 = 嘉等局去砸) 旺 从形式上看上式类似于牛顿定律拿：土f 的形式，只是( 2 1 1 ) 式用个二 阶张量代替了土，称这个二阶张量为倒有效质量张量。 下面以简单立方晶体，紧束缚近似下的s 能带为例，系统的能级为 1 0 第2 章反常霍尔效应 e s ( k ) = t - j o - 2 j , ( c o s 砖口+ c o s l 乜+ c o s 砭盘) ( 2 1 2 ) 则系统的有效质量为 m ：= 蔫( c o s 心乜) c t = x , y , z ) ( 2 1 3 ) 从上式可以看出有效质量并不是一个常数，而是k 的函数。一般情况下是一个张 量。有效质量不仅可以取正值也可以取负值，其实有效质量的这种性质本质上是 量子机制在准经典理论中的另外的表现形式。为了简化运算，假设在一维情况下， 应用( 2 6 ) 和( 2 1 3 ) 式，可以得出电子的速度和有效质量 y ：三堕：坐s i n 施 、7 矗e l k7 1 l ，”+ ( 尼) = 7 ；2i c d l 2 七e ： 、1 - 1 = 庇2 ( 2 以a 2c o s k a ) 一1 ( 2 ，4 ) 根据( 2 1 0 ) 式，在恒定电场作用下，电子在k 空间做匀速运动，由于k 限 制在约化布里渊区内运动，在加上有效质量的性质，电子就会在晶格中出现振荡。 其物理解释就是波包在运动到能量的边界时就会反射回来，其原理可以追溯到惠 更斯原理。根据相同原理，根据( 2 6 ) 式和亢坐d t = ( 一g ) v ( k ) b 式，电子在恒定 磁场中存宴窄间作螺旋运动。 2 1 2 准经典理论的电导率公式 因为能带理论是一种单电子近似理论，每一个电子的运动都看成近似独立 的，具有一系列确定的本征态，用不同的波数k 标志。这样一个系统的宏观态就 可以用这些电子的本征态的统计分布来描述。对于系统的平衡态，费米统计的基 本原理可以归结为一个完全确定的所谓费米统计分布函数 厂( e ) 2 万壶而 ( 2 1 5 ) 其中的b 称为电子的费米能级，等于系统中电子的化学势，可以由系统中电子 总数决定，即 厂( 剐= n ( 2 1 6 ) ， 第2 章反常霍尔效应 琢和芍表不对糸统所有的本，仳态相刀口。 费米分布函数相当于经典统计中的麦氏分布，用k 标志运动状态，在c k 内 的状态数目为2 矿裔，用兀啡) ，丁 表示费米礅则在以内的电子数就等 于 幽= 兀 琳丁 2 矿裔 旺1 7 ) 在加上一个恒定的外场e ( 区别于能级符号e ) 时，实际上会很快形成一稳定的 电流密度j ，服从欧姆定律 j = g e ( 2 1 8 ) 这种新的定态分布也可以用一个于平衡时相似的分布函数f ( k ) 来描述，单位体 积内在以中的电子数为2 厂( k ) 两d k ，它们的速度可写成v ( k ) ，因此对电流密 度的贡献为一2 矿( k ) v ( k ，( 2 d 厅k 厂，积分可得总的电流密度 j = - 2 q l f ( k ) v ( k ) 两d k ( 2 1 9 ) 因此一旦确定了分布函数厂( k ) ，就可以直接计算电流密度。通过这种非平衡情 况下的分布函数来研究输运过程的方法，就是分布函数方法。 通过分布函数来研究输运过程，可以一般的概括为一个关于分布函数的微分 方程，即玻尔兹曼方程。玻尔兹曼方程是从考察分布函数如何随时间变化而确立 的。分布函数的变化有两个来源，一个是由外界条件所引起的统计分布在k 空间 的“漂移”，另一个是由于晶格原子的振动或杂质的存在等原因而使电子与之发 生的碰撞。 玻尔兹曼方程的一般形式为 驾。v m 吖) 一( 黔v 以州) + m ，r ，r ) 一m ，r ，r ) o ( 1 【，k ) 两d k ( 2 2 0 ) 萁中方稗右沩第一、一项即为分布函数存k 牢间和宴牢间的漂移项，第三项为 1 2 第2 章反常霍尔效应 分布函数由于碰撞二发生的变化工贝，称为碰撞i 贞。在具体的足态电导l 刚题中，分 布函数厂( k ，r ，f ) 不依赖于时间f ，也与位置r 无关，并考虑坐d t = 一百q e ，则玻尔兹 曼方程可以简化为 一q 力e v k m ) = m 卜m ) 。( k ， k ) 斋 旺2 1 ) 引入弛豫时间来描述碰撞项后，玻尔兹曼方程变为 一导e v 。厂( k ) ：一二q 羔l 型 ( 2 2 2 ) 力f 其中f 为弛豫时间，为k 的函数，兀( k ) 为系统平衡态时的分布函数。式( 2 2 2 ) 的解就是电场e 存在时的定态分布函数，将厂( k ) 按e 的幂级数展开为 厂( k ) = 厶( k ) + z ( k ) + 兀( k ) + 五( k ) + ( 2 2 3 ) 由于在一般电导问题中，电流与电场成正比，服从欧姆定律，从一般理论的观点， 这相当于弱场的情况，所以这里分布函数也只需用考虑到e 的一次幂，则将 ( 2 2 3 ) 式代人( 2 2 2 ) 式，求得z ( k ) 为 俳一q ze v k e ( 掣 = q v e v ( k 掣 2 4 ， 将式厂( k ) = f o ( k ) + z ( k ) 代人( 2 1 9 ) 式中，得到 j 叫1 2 z o ( k ) v ( k ) 两d k g ，2 z ( k ) v ( k ) 两d k ( 2 - 2 5 ) 再将( 3 2 4 ) 式代人 j = 一2 9 2 ，f v ( k ) v ( k ) e a f 眦o ( k ) iz d 乃k 厂 2 2 6 ) 这就是欧姆定律的一般公式，写成分量形式，有 厶= 易 ( 2 2 7 ) 其中 c r , a = - 2 q 2n ( k ) 啡) 掣裔 眨2 8 ， 议就县由鼻盎的阶张量的分量的形式。 第2 章反常霍尔效应 2 2 电导率计算的严格方法一线性响应理论瞳2 1 准经典的电子输运理论虽然有它的有点，但同时也存在很多不足。特别是在 处理纯量子现象比如电子在能级间的跃迁问题。 线性响应理论是处理近平衡体系的量子统计理论框架。对系统加一个随坐标 和时间变化的微扰( 如电场和磁场) ，系统的响应( 如电极化、电流和磁化强度 等) 与系统本身的性质有关。对弱的外界扰动疗，响应一般是线性的，与疗，成 正比。若外界扰动很强则出现非线性响应。这一节将讨论在有外界扰动时怎样求 出系统的态和力学量的平均值，并就t = 0 和丁 0 两种情况分别讨论。 2 2 1t ：0 的情况下 考虑一个相互作用多粒子系统，其哈密顿量是h ，薛定谔绘景中的态矢量 满足下面的方程 i 掣：疗帆) ) 眨2 9 ， 去形式解为 f 沙s ( f ) ) = p 一砌f 妙。( o ) ) ( 2 3 0 ) 在仁f 。是引入依赖时间的微扰疗“( f ) ，则在z f 。是的薛定谔方程是 i 掣疗廿( 砌) ( 2 3 ，) 假定其形式解为 i y s ( f ) ) = e 一曲痧( f ) i 少s ( o ) ) ( 2 3 2 )