（理论物理专业论文）噪声作用下的空间周期随机系统中的非平衡相变和输运.pdf

摘要 本文研究了空i 副周期性的邻域耦合振子系统。该系统受到一个定力的作用， 同时还受加性噪声和乘性噪声的影d l a j ( 这两种噪声都是高斯白噪声) 。当f = 0 时， 系统会出现非平衡二阶相变。当加性噪声比较弱时，该相变为r e e n t r a n t 型。双稳 态的平均场非零解会随着对称破缺而出现，并随之产生非零的几率流。在加性噪 声和乘性噪声不相关、甚至于没有乘性噪声的作用的时候，振子之间的耦合仍可 阱引起非零的几率流。通过控制恒力，的变化，系统中将产生在零和非零平均场 ( = 0 和0 ) 之间的连续或者非连续跃变( 这种跃变不是相变) 。平均场和 几率流作为恒力f 的函数，有时会引起回滞现象。通过控制恒力f 的变化，当 存在平均场和几率流所形成的回滞时，在f = 0 点的几率流将有确定的方向和大 小。同时，加性噪声和乘性噪声之间的关联对系统的相变或非平衡跃变和输运会 产生一定的影响。 关键词：噪声，输运，相交，回滞 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , b ya s p e c i a lm o d e l ，w ei n v e s t i g a t et h es p a t i a l l yp e r i o d i cs t o c h a s t i c s y s t e mw i t hl o c a l l yc o u p l e do s c i l l a t o r ss u b j e c t t oac o n s t a n tf o r c e ( e x t e r n a lf o r c e ) f t h i ss y s t e mi sd r i v e nb yt h ea d d i t i v ea n d m u t t i p l i c a t i v en o i s e s ( b e i n gg a u s s i a nw h i r e ) a n o n e q u i l i b r i u ms e c o n do r d e rp h a s et r a n s i t i o ni s f o u n dw h e nf = 0 t h i sp h a s e t r a n s i t i o ni sr e e n t r a n tw h e nt h ea d d i t i v en o i s ei s w e a k a c c o m p a n y i n g 、i t l lt h e s y m m e t r y b r e a k i n g ，a b i s t a b l es o l u t i o nf o rt h en o n z e r om e a df i e l da p p e a r s t h em e a n f i e l di sn o n z e r o ，a tt h em e a n t i m e s ，an o n z e r of l u x a p p e a r s t h ec o u p l i n g o ft h e o s c i l l a t o r sc a ni n d u c et r a n s p o r to fp a r t i c l e se v e ni nt h ea b s e n c eo ft h ec o r r e l a t i o no f t h ea d d i t i v ea n dm u l t i p l i c a t i v en o i s e s ，a n dw i t h o u tt h e m u l t i p l i c a t i v en o i s e w i t h v a r y i n gt h ec o n s t a n tf o r c ef ，ac o n t i n u o u so rad i s c o n t i n u o u st r a n s i t i o nb e t w e e nt h e s t a t e sw i t hp o s i t i v ea n dn e g a t i v em e a n f i e l d s ( 0a n d 2 o ) 是方程( 2 2 i ) 的解，在时间f 有解毒( f ) = x 。首先我们把( 2 2 。1 ) 写成下面的积分形式： 专o + f ) 一x = f 【厅( ( f 7 ) ，) + g ( 善u ) ，r ) f i t ( 2 2 5 ) 并且认为函数h 和函数g 可以用下的方式展开： 矗( 孝( f ) ，) = h ( x ，f ) + ( x ，一) ( f o ) 一x ) + g ( 善0 ) ，f ) = g ( x ，t7 ) + g 7 ( z ，r l ( 4 ( t ) 一x ) + ( 2 , 2 6 ) 将( 2 26 ) 代入( 2 2 5 ) 可以得到： 芎( ，+ r ) 一x = f a ( x ，弦+ 弘( x ) ( 告( ) 一x ) d r + + f 占( 丘f ) r ( ，) d r + f g ( t f + ) ( 善( f ) 一x ) r ( f 7 ) 加+ ，( 2 ，2 7 ) 对于积分中的手u + f ) 一x 反复n ( 2 2 7 ) 迭代，得到： f ( f + r ) 一x = ( z ，f 。) a t + p ( x ，r ) p ( ，) d r d r + r 1 + j ( 引) 扣( v ”) r ( ，) d r ”，i 第二章f o k k e r - p l a n e k 方程基础 + jg ( x ，r ) r ( ，) a t + 占( 剐) p ( 剐”) r ( f ) a t a t r + ff 7 + fg b ，f ) b ( x ) f ( f ”) r ( ，) 西+ 通过反复用( 2 2 7 ) 迭代展开，再应用( 2 1 4 ) 对( 2 2 8 ) 作平均得： ，+ ff + r ， ( 亏( f + r ) 一x ) = ( x ，) a t + i h ( x ，r ) ( z ，r ”) a t a t + ( 2 2 8 ) + f g ( x ，f ) g ( t ，) 2 a ( t ”一f 7 ) a t a t 7 + ( 2 2 9 ) t 利用j 函数的性质可以得到： 因此 i g ( x , ，) 2 6 ( t - t ) a t ”= g ( x ，) 1 2 6 ( t ”一，) a t ”= g ( x ，r ) ( 2 2 ，1 0 ) ( 善( r + r ) - x ) = ( t f ) +li h l b ) h x ，c ”w p d f + + ig ( x ，r ) g ( z ，r ) 西+ ( 2 2 1i ) 在f 斗0 的极限f ，有： d 1 ( x ，f ) = 而( x ，f ) + g ( x ，t ) g ( x ，f ) f 2 2 1 2 ) 其它没有给出的积分项在r 一0 的极限下对d ( 1 ( z ，f ) 该项没有贡献。用n f 4 n ；亏 法可以得到： 。( 2 ( x ，r ) = 1 2 l ，i m 。l ，72 j g ( 墨，) g ( t ，”) 2 6 ( ，一，”) 西伽”：9 2 ( 五。( 2 2 1 3 ) 通过对更高阶的系数d ”做这样的讨论，发现 3 的项全为零，最后的结论是： d m ( x ，) ：厅( 圳) + 罄鲨g ( 圳) d 2 ( x ，f ) = 9 2 ( x ，f ) f 2 2 1 4 ) d ( ”) ( z ，f ) ：0 ，”3 第二章f o k k e r - p l a n c k 方程基础 d m 称为漂移项，其中h ( x ，f ) 称为决定性漂移，还有一项是噪声漂移项： 磁。：翌业g ( 列) ：昙昙d ( ) ( 2 2 1 5 ) 黜z 黜 d ( 2 称为扩散项。 2 ，3i t 6 和s t r a t o n o v i c h 定义 微分方程( 2 2 1 ) ，具有( 2 1 4 ) 的高斯分布并有占关联的l a n g e v i n 力的作用。 像这样的方程及其l a n g e v i n 力的特性在数学中没有完全的定义。很明显不能画 出真实意义上的占关联函数，也就是说，r ( ) 和r ( ) 对于一定的时间i 屯一f ，f 是完 全独立的。函数r ( f ) 在一个时间序列中至少有一定的线宽。假设l a n g e v i n 力的 关联方程有一个有限的但是非常窄的宽度5 ，这个宽度相对于时间变化所引起的 系统变化要小。对于这个有限的关联时间s ，l a n g e v i n 力的频谱密度不能独立于 其频率，当频率大于1 g 时，频谱密度会被截断。在实际中，噪声的频谱密度在 某一高频率时截断的特性是很合理的。因为如果不是这样的话，噪声的总强度会 变得无限大。利用这个过程，l a n g e v i n7 y ；| i ( 22 1 ) g e 出了漂移项和扩散项系数 ( 2 2 ，1 4 ) 。 数学上不会用这样的“物理的过程”。同样，也不会用这样酌物理方法来处 理巧函数。用数学的方法需要对于( 2 2 1 ) 变换了一个形势，从( 22 5 ) 开始就用到 f 斗0 的极限处理： r f + f 亭( r + f ) = z + f h ( 4 ，f ) 出+ f g ( 善，f ) d w ( t )( 2 3 1 ) ，r 因为对于斗0 ，旷= i _ ( r ) 不存在，因此d w = w d t = r ( t ) d t 不能被采用，所以必 须用s t i e l t j e s 积分，这样的过程中矿= r f f ) ，并且有： w ( ) = o + f ) 一( f ) = r ( t ) 西 ( 2 3 2 ) 因为r ( f ) 是高斯分布，所以w ( r ) 也是高斯分布。所有的关联函数都从( 2 16 ) 中得 到。经过积盐以后。( 2 1 。6 ) 中所有的蠲数将会消失，比如( 早；2 ； ，f 0 ， 第一二章f o k k e r - p l a n c k 方程基础 r ，0 ，f ，0 ) ： w ( 0 ) = o ( w ( o ) = o ( 23 3 ) ( w ( 砌啡= 臀鬟 以上的过程和其高斯特性，定义了一个在s 寸。极限下的更好的过程。 在( 2 3 1 ) 中就可以用和( 2 2 5 ) 同样的方法去掉随机变量亭( r ) ，然后就荦导到以 下的积分形式： 4 = 出p ( w ( r ) ，r ) 咖( r ( 2 3 4 ) 这样的积分算法还没有被定义。这里t 6 ( i ) s l r a t o 月w i c h ( s ) 定义分别为 爿1 2 l i m 苫 y 、。( w ( t ) ，。) w ( 一w ( t ) ( 2 3 5 ) 4 = 嬲荟n - i 西( 里芝丛盟，至龇。叫训 ( 2 3 1 6 ) 其中2 m m x ( r 一f 。) ，0 = 】 知= f 。在加定：s l t m ( w ( ) ，t ) 和增量 ”( o ) 一w ( 一) 是不相关的，它只依赖于最后一点一的变量。( t ) ；然而在 s t r a t o n o v i c h 定义下在t 点和钆点w 对面的作用是等价的。 现在把( 2 3 5 ) 和( 2 3 ，6 ) 用于( 2 3 1 ) ，第一层迭代为( 在积分中设舌：x ，并有 ( f ) x = p ( 列“r + k ( 剐+ f 7 ) 咖( r7 ) + 0 0 2 办( x ，h 0 1 f ) + g ( j ，r + 2 f ) w ( f ) + ( 2 37 ) 其中o 。，1 。因为( 2 ，3 3 ) ，下个迭代是在对( 2 2 9 ) 平均后应用( w ( f ) ) ：o 得到 的，这里只保留到f 项。因此 9 塑= 塞! ! 些些堕墨燮一 ( 双r ) 一x ) 瑚( 州+ 。卅( g w “) g ( x , l + 0 2 r ) w ( 7 ) 咖( 7 7 、o r h ( x ，f + 。f ) + ( 工，+ 。3 f ) g ( 列+ 3 。2 f ) ( j w ( 一) 咖( t ( 2 ，3 8 ) 对于两种不同f f o 定_ y ，这种随机函数的积分是不同的 ( p 州，) = ( 掣一r 净 s 功 ( j ) p ( r 跏o7 ) ) = ( 半一7 ) 2 o( 2 3 9 ) 0， 一 ( p 肌州华) = r 叫 所以对于( 2 2 4 ) 的漂移项，可以得到 i ：d ( 1 ) ：h ( x t ) d ”= h ( x ，f ) + g ( x ，t ) g ( x ，r ) ( 2 3 1 1 ) 也就是说在i t 6 定义下噪声漂移项是不存在的。但是对于扩散项( 2 3 7 ) 就够用了， 不会用到随机函数积分，所以在两种定义下，都得到： d = l _ ，l 。i m ，1 - 9 2 ( x ，f 十。2 f ) ( w 2 ( f ) ) + 2 9 2 ( x ，r ) ( 231 2 ) 很明显，定义s t r a t o n o v i c h 和( 2 2 9 ，2 2 1 0 ) 相符合，并能引出( 2 2 1 4 ) 的漂移项， 所以一般都用s t r a t o n o v i c h 定义。 下面给出式( 2 3 9 ) 和( 2 3 1 0 ) 的推导过程： f i 一1 、 w 跏) 5i 丢”( 叫w ( 廿州叫) ：芝 ( w ( t ) w ( k ，) ) 一( w ( f j ) w ( 一) ) = ( 2 一- 2 r , ) = 0 ( 卜黼，) = 辫w 毗。毗， ：i 1 乙9 1 ( w ( t ) w ( t + ，) ) + ( w ( r 。) w ( t ，) ) = 0 第二童! ! 坐! ：! ! 竺唑互矍苎型 一 一( w ( t ) w ( t ) ) 一( w ( t ，) w ( t ) ) = 去( 2 t + 2 r m 一2 r ，一2 t ) 忙o = ( f 。一) = f 2 4k r a m e r s m o y a l 展开 定义一个条件几率密度为：随机变量孝在时间一， 的时候有单值矗一在 h e i 目j t 一： ( 2 41 ) 在这样的定义下，几率密度( x ，f + f ) 在时间f + f 和几率密度( x ，r ) 在时间f 由 下面的方程相联系( f o ) 一w ( x ，h f ) = f p ( x ，f + f k t ) w ( x ，t ) d x ( 2 4 2 ) 为了微分a m ( x ，t ) a t 的展开，必须知道对小的时间间隔f 的条件几率 p ( x ，h f x ，f ) 。首先假设所有的矩都是已知的( ”1 ) ，并有如下形式 峨( z f ) = ( 腾。十r ) 一 气两，= j ( x - - x ) ”p ( x ，f + f i x , t ) d x ( 2 4 3 ) 其中的b 冲，代表在时间f 随机变量有单值一。推导以上条件几率的展开有几种方 法，现在就列出一种。 由以下等式： p ( 工，+ f ix ，f ) = f 占( y z ) j d ( 夕，f + f 1x ，t ) d y ( 2 4 4 ) 并用一般的t a y l o r 序列展开占函数 d f v x ) = 6 ( x ，x + y 一曼3 第一章f o k k e r - p l a n c k 方程基础 = 艺n = 0 学舻x ， ，： = 宝n = o 学f 一割舻x ， ，： 这样就可以得到 咐圳一r ) _ 薹* 割f ( y - x m 小力蛳) = 瞧击( 一甜啪 小止x ， = j ，+ 喜去( 一影帅工水一， 上式第二行的推导用到了( 2 4 3 ) ，最后一行的a ( x x ) = 拶( z 一z ) ，用到了 ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) d l x x j ( x j 2 6 ( x x 。) ( x ) ( 2 4 7 ) 把( 2 4 6 ) 代入( 2 4 2 ) 可得： ( x ，+ f ) 一( x ，) ：a w ( x , t ) f + o ( r 2 ) 凹 = 喜( 昙) ”p 。一x ”t ( _ 沙( x 出7 川 = 喜( 一釉蛐 圳叫咐) ( 2 4 8 ) 现在设矩坂可以通过f 展开t a y l o r 序列( t l 1 ) 鸠( 苴，f ，r ) l n ! = d “( x ，咖+ o ( r 2 ) ( 2 4 9 ) 因为在f = 0 的时候条件几率p 的有以下的值： 尸( 。，m7 ) = jx - - x ) ( 2 4 - l o ) 所以7 - o 的项为零。式( 2 4 1 0 ) 使方程中带有这个项的项为零。当只考虑f 的线性项 时，可以得到 _ a z g ( i x , t ) 三喜( 二争幽憋韭蟹： 避! d 第一章f o k k e r - p l a n c k 方程基础 这里的偏导符号同时作用于d ”3 ( x ，) 和w ( x ，) 。其中，这里的k r a m e r s m o y a l 算符定义为： n 坛( x ，r ) = ( 一a 融) d “( z ，f ) ( 2 4 1 2 ) 式( 2 4 1 1 ) 就称为k r a m e r s m o y a l 展开。 2 5 单变量f o k k e r - p l a n k 方程 如果( 2 4 8 ) 的k r a m e r s m o y a l 展开在第二项之后被截断，就可以得到 f o k k e r p 1 a n k 方程 w ( x ，r ) = l y e w ( x ，f )( 2 5 1 ) 铲一阮卅等d ( 2 ) ( 剐) ( 2 5 2 ) 出 + 对于非线性l a n g e v i n 方程( 2 2 1 ) ，在( 2 1 4 ) 条件下漂移项d ( 1 和扩散项d ( 2 由 ( 2 2 1 2 和2 2 1 3 ) 给定2 ，所有的k r a m e r s m o y a l 高阶项d ( ”在竹3 的时候都为零。 n ) k ，由( 2 5 2 ) 条件给定的方程( 2 5 1 ) 就是几率密度w ( x ，r ) 的确定性方程。 方程( 2 5 1 和2 5 2 ) 可以用以下的形式表示 百o w + 面o s = o ( 2 53 ) 西 蹦) = d ( 1 阮争昙d ( 2 ) ( 叫忡一 ( 2 5 4 ) n y 口( 25 3 ) 是几率分布的连续性方程，所以s 就称为几率流。如果该几率流在边 界x = x m m 和x = 。为零，就可以保证归一化： m a x f ( x ，f ) 出：c o l _ 2 s t( 2 5 ，5 ) 对于自然边界条件( 。= 一m s , x , 。= 。) ，几率密度缈( x ，) 和几率流s ( x ，f ) 同 样在x = o 。的时候变为零。对于定态过程，几率流必须为常数，在自然边界条件 下，几率流始终为零。 第二二章f o k k e r p l a n c k 方程基础 2 6f o k k e r p l a n k 方程的稳态解 对于非时间关联的漂移项和扩散项，设d 2 ( x ) 0 o w ( x ，f ) = l f p w ( x ，t ) = 一( a o x ) s ( x ，f )( 2 6 1 ) 三f p ( x ) = 一兰d ( x ) + 马d ( x ) ( 2 6 2 ) 出o x 9 对于稳态解，7 9 程( 2 6 1 ) 中的几率流必须为常数。当几率流在某一个x 值为零的 时候，这个几率流将在每个z 处为零。这样对于s ：0 d ( 1 ) ( 堋垆詈糕嬲咧加2 b 帆 ( 2 6 3 ) 处理( 2 , 6 3 ) 得到： 嗽) = 两n oe x p ( 磋) _ 舻， ( 2 6 4 ) 这里的o 为积分常数，适当的选择可以使既归一化。在( 2 6 4 ) 中引入以下势 函数： 吣) = 1 1 1 d ( 2 j 一迮鬻矗7 ( 2 6 t 5 ) 用这样的势函数，几率流就可以写成以下的形式： m ，。一d ( 2 b 矿州昙妒忉( 洲 ( 2 6 6 ) 在稳态对于给定的几率流2 可以得到： 彬。( x ) = e ( j ) 一一口( t ) j ? ：i ；舞 ( 2 6 7 ) 其中n 为归一化常数，可以由以下关系式决定 f ( z ) 出= 1f 2 68 1 第三章郜域耥台的空间周期随即系统 第三章邻域耦合的空间周期随机系统 本章研究了一个空间周期邻域藕合系统。该系统受到高斯白色的乘性噪声和 加性噪声的驱动，同时还受到一个恒力的作用。应用第二章的方法，并结合平均 场近似，我们对这个系统进行了处理，给出了这个系统的f o k k e r p l a n c k 方程。 由于这个方程无法给出完全的解析解，本章中只给出了对系统的定性分析。在下 一章中我们利用计算机在平均场近似下求解解析给出的自恰方程，并画出了一些 系统特性曲线。同时，我们也直接从l a n g e v i n 方程出发，用数值模拟方法对系 统进行分析。具体的方法和过程在本章中给出，其结果以及和该结果与平均场近 似方法的比较将在下一章中具体给出。 3 1 基本模型 考虑f 面的晶格模型，系统的状态由d 维晶格的一系列离散晶格点i 处的变 量 一) ( i = 1 ，2 ，) 来描述。对于这样的过阻尼布朗粒子系统，用无量纲 l a n g e v i n 方程描述为： 毒训砂地) 驰) 一昙车( 薯一。) 圮+ ， ( 3 1 1 ) 其中函数厂( t ) 和g ( x 。) 为： ( x ，) ：一d u _ o ( x , ) 盘x g ( 一) ：一鱼掣( 3 1 2 ) 黜 这里的( 一) 和u ( t ) 都是变量x i 的空间周期势函数，其周期为b a = l 。式 ( 3 。l ，1 ) 中的d 是耦合系数，f 是恒力。是在晶点 处2 d 个邻域点求和。g ，( ) 和叮) 都是高斯白噪声，4 ( 0 为乘性噪声，r l ( f ) 为加性噪声，它们满足以下关 系： 第三章邻域耦音的空间周期随即系统 ( 茧( r ) ) = ( 研( f ) ) = 0 ， ( 点( r ) 乞o j ) = 2d i 毛占9 一t 3 ， ( 3 1 3 ) ( r d ( t ) r l j ( t i ) ) = 2 d 2 8 v d ( t r ) ， ( 删乃p ) = 2 咒厩即一f ，( - 1 五 1 ) 其中d 1 和d 2 分别为乘性噪声和加性噪声的强度，而五是这两种噪声之间的关联 系数。 3 2 对模型的数学处理 我们这里所考虑的系统是一个无限系统，引入w e i s s 平均场近似： 兰( 习2 f ( 肋，该近似已经被广泛的应用 5 ，6 ，9 ，1 7 。所以在非线性随机方程( 3 1 1 ) 中引入此平均场，所有的振子近似地有一个统一的演化。其近似方程为： 膏2 厂( x ) + g ( x ) f ( ，) 一d ( x 一) + 可( ，) + f ， ( 3 2 1 ) 设 ( 。，) 2 厂( x ) 一d ( x 一) + f ， g t ( x ) 2g ( x ) ， ( 3 2 - 2 ) 9 2 ( 工) = 1 ， 这时方程( 3 2 1 ) 变为 膏2 ( x ) + g i ( x ) f ( r ) + 9 2 ( x ) 叩( f ) ( 3 ，2 3 ) 用第二章( 2 2 1 2 2 1 4 ) 同样的处理方法，得到漂移项4 ( x ，) 和扩散项b ( x ，卢) ( 分 别对应于第二章中的d ( 1 和d ( 2 ) 4 ( 。，) = h ( x ，) + d i 蜀( z ) g 。i z ) + 旯瓦西：g l ( 功+ ， = 厂( x ) 一d ( x u ) + d i g ( x ) g 。( z ) + a 五j i g ( x ) + f( 3 - 2 4 ) b ( x ) = d g 沁) 十d ：g ；( x ) + 2 五酉瓦。( x ) = d i 9 2 ( x ) + 马+ 2 ad f f 币d = g ( x ) ( 3 2 5 1 第兰章邻域梢台的字问刷期随即系统 这样方程( 3 2 ，1 ) 符合f o k k e r p l a n k 方程 9 ，1 8 ( p 和l ，分别对应于第二章的几率密 度和几率流) ： a ，p ( x ，f ，r ) = 一a ，j ( x ，f )( 3 2 6 ) 其中的几率流j ( x ，f ，) 为： j ( x ，r ) = a ( x ，) j d ( x ，r ) 一a ，b ( x ) p ( x ，r )( 3 2 7 ) 在稳态下( 卜c 。) ，几率密度j p ( z ，) 寸p ( x ，) ，几率流 ，( 工，0 斗，= 定值。 这时( 3 2 7 ) 变为： j5 a ( x ，乒) p ( x ，) 一a 。b ( x ) p ( x ，弘)( 3 ，2 ，8 ) 这个微分方程是这个系统的普遍形式。由该系统的周期性边界条件得 p ( a ，) = p ( 6 ，) ，j ( a ，) = d ( b ，) = j 。为继续推导方便，现在设 嘶扣? 瓮謦。 b z ， 由基本的数学方法可推得： a ： 掣 = 旦三掣一警a 。e ，e ，2 ，。， 并且有： 一 亿舻等 ( 3 2 11 ) 将方程( 3 2 8 ) 两边同时除以p 。”，并应用( 32lo ) 和( 3 2 1 1 ) ，就可以得到： j ，b ( x ) p ( x ，“) ；丽一d 一妒 ( 3 2 1 2 ) 从日到6 对方程( 3 2 1 2 ) 进行积分，就得到： 里( 1 2 1 ( ! ! 型2 1 ：兰! ! ：二皇( 盟! ! ! ：壁2 1 ：兰： 卜。扯讧协 = n i l p 一。帅1 】 其中的归一化常数为： ( 3 2 1 3 ) 第三章邻域耦舍的空间周期随即系统 ( ) = 掣型丝盟 ( 3 2 1 4 ) 。f e - c , ( x , a ) d x , 在周期性边界条件下，方程( 3 2 6 ) 的稳态解为： 如力= 盥等竺一署p 埘出 ：! ! 1 2 ；：；：三鼻卜。c 一，一，一。c 。，一，一c x 一，】。， ( 3 2 1 5 ) 日( 功! 、 一 这里的口h x ，、是h e a v i s i d e 分阶方稗i 目一仙桑斯曲： 所以这时的平均场为 b ) = p ( b ，) b ( b ) f e - c ( 0 ，l 厂就是正的；如果。( 6 ) 0 ，就是负的。由于稳态 几率密度见，o c l b ( x ) e x p 且爿( x ，z r ) b ( x9 a x ) 满足周期性边界条件和系统的周 第三章邻域耦台的空间周期随即系统 期性等条件，在以下的讨论中考虑两种。n z s ac p ( b ) = 0 和中( 6 ) 0 。当西( 6 ) = 0 时 必然得，= 0 。但是中( 6 ) = 0 只会得到几率流的平凡解，所以并不是所期望的普 遍情况。 - a 中( 6 ) q 就可以得到非零几率流，0 ，这也是唯一能得到非零几率 流的条件。这时有： 咖肛p 篙等等糍学 简化该不等式得： 科6 们：。j “k x ) - z a t x - t ) 、；出o。( 玩舻 丽出o 对于五= 0 的条件可以进一步简化 f f ( x ) z d ( x - , u ) 出o ：d g 一 x ) + d ， d z 0 ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 这是唯一能保证在五= 0 的条件下得到非零几率流的条件。考虑至l j f ( x ) 和g ( x ) 都 是周期函数，不等式( 3 3 t 3 ) 可以进一步简化为 i 挚二盥出o ? d i 9 2 ( x ) + d 2 。 很明显除了以下的条件以外，上面的这个不等式是正确的。 ( 3 3 4 ) 嬷g-(x)+d2dgd 妊旒d g d 出 ( 3 3 5 ) ? l 。? l2 ( x ) + 2 7 对于对称积分区有 2 ：w ( 。x ) + d 2d x ：od 1 咖d x 而 ( 3 捆 这是唯一使( 3 3 4 ) 不成立的条件。由此我们可以得出结论，系统的的几率流由系 统的平均场决定。当平均场= 0 ，不存在几率流，也就是j 。0 ；当平均场且0 的时候，存在非零的几率流j 0 。 下面将讨论系统在不同情况下的系统的性质。( 1 ) 如果f = 0 ，在空间对称情况 下，方程( 3 2 1 7 ) 总是有平凡解卢= 0 ：当多重解出现的时候，得到0 。如 果噪声之间的关联系数五o ，从方程( 3 2 a 5 ，3 2 1 7 和3 2 1 8 ) 中可以分析得： 1 9 第三章邻域耦音的空间削期随口i j 系统 只要f ( x ) 是奇函数，同时g ( x ) 为偶函数，很容易从方程( 3 1 1 ) 分析知任何状态 扛，( ，) ) 都是和 一x i ( f ) ) 有相同的几率，所以这个时候对称破缺可以出现；如果 旯= 0 ，当f ( x ) 是奇函数而g ( x ) 为奇函数或者偶函数的时候，同样可以出现对称 破缺 9 。当a = 0 的时候，系统必然不存在几率流，也就是j = 0 。只有当非零的 平均场0 存在时，才会出现非零的几率流。如果f 0 ，系统的粒子就会沿 着这个恒力的方向运动，这时候不会出现相变，只有非对称态“0 存在。 3 4 数值模拟方法 以上系统的定性的分析得到系统的一些特性。在平均场近似下，通过计算机 解平均场的自恰方程可以得到系统的数值特性。但是该数值解是在平均场近似下 得到的，需要对系统的数值模拟以验证该近似结果。 这里需要用m o n t ec a r l o 方法对这个随机系统进行模拟。对于方程( 3 1 1 ) 的 随机过程，在正方晶格点阵中，设其晶格点数量为l 。那么这个晶格就是上。三型 的，在这个晶格的边缘用周期性边界条件。对每个晶格进行编号，这样每个晶格 点就可以表示为x ，这样对于i 点晶格的微分方程为： d 出x = f ( x ) + g f ( x ) 专( r ) + ( f ) ， f - l ，= r ( 3 4 1 ) 其中= ( 。，x n ) ，并且 ( x ) = ，( x 。) 一i d ( x - x j ) ( 3 。4 2 ) ，朗( f ) g f ( z ) = g ( t ) ( 3 4 3 ) 其中的，”( f ) 表示是晶格点f 邻域的所有点( 对本文所涉及的正方晶格，其邻 域一共4 个点) 。这个方程可用两种不同的算法进行积分，分别为m i l s h t e i n 方法 和h e u n 方法 1 9 。 用m i l s h t e i n 方法可以给出i 点的振子运动方程在时间间隔研下，在时间，上 的递推序列： 第三章邻域耥台的空间_ l 封期 鞋【即系统 加删= 忉懈c 删掣p + g j ( x ( r ) ) 2 d l 毋毒( f ) + 2 日函珐( f ) ( 3 ，4 4 ) 这里的噪声缶( f ) 和吼( r ) 是相互独立的并满足零均值高斯分布特性。因为( 3 4 1 ) 是在s t r a c o n o v i c h 定义下计算的，所以推导出了后面的两项。这个方法中6 t 是计 算过程的关键，即使每个时间间隔对整体的计算影响比较小的时候，也必须用较 小的6 t ( 比如，对于d i = d 2 = 0 2 用f i t = l x l o 。4 ) 。对于较大的乘性噪声和加性 噪声强度，系统涨落比较大并且变化迅速，这时需要更小的时r b j 间隔所。这种 情况下，偏差随运算时间延长而逐渐增大，m i l s h t e i n 方法变得不再适合。 而h e u n 方法本身就是基于二阶r u n g e k u t t a 方法，对随机系统的积分以如 以下的形式： 加删吲卅扣( 删堋删卜望芋酏) g f ( x ( f ) ) + g 。( y ( f ) ) 卜肛d _ z d t 巩( f )( 3 4 5 ) 其中的方程 m ( f ) = t ( r ) + f ( x ，( f ) ) & + g ( 一( f ) ) 戋( f ) 云瓦瓦+ 硒歹硫( f )( 3 4 6 ) 这个方法和m i l s h t e i n 方法相比允许较大的时间间隔f i t 。对于振子之间的耦合强 度比较大的情况和对于噪声强度比较大的情况都适用。 最后的序参量为： ( m ) ( ( 垮| ) t l l 上。 ( 3 4 7 ) 这里的( ) 。和( ) 一。分别是对时间的平均和对全部计算次数的平均。对于时 间平均，选择的平均时间t 必须远大于关联时间。而计算次数的平均应该取至少 十个相互独立的系统做平均。如果系统的晶格点阵选择三比较大，这时系统晶格 点阵的计算量是非常大的，计算量和r 成正比。对于一般的串行程序需要很长 韵计算时间，再有条件的情况下，最好能厦太型并行计算机作并 说班一 第三章邻域耦台的卒间削期随即系统 在这个模拟过程中要用到一系列的白的高斯噪声，这样的噪声可以用随机数 产生。应用一个0 o 0 ) 相交。这时= 0 是个非稳定解，而 = 是双稳态解。图4 , 2 1 ( a ) 就是对平均场自恰方程的数值解，在不同的耦 冒4 2 1 ( a ) 在d i = d 2 = 1 ，五= 0 ，d = - 6 ，- 4 ，一l ，0 ，l 的情况下，函数户= 户( ) 随 卢变化的曲线a ( b ) 对系统触数值模拟结果，序参量随振子耦合系数的变化曲线，一实线 是平均场近似的计算结果，实心点线是在2 d 维系统中6 4 x 6 4 有限点阵的数值模拟结果。 2 4 第四章系统计算和分析 合常数d 的情况下，函数卢= f ( ) 和函数f = 有不同的交点。随着d 的增大， 出现的稳定解逐渐增大。很明显，对于平凡解a t = 0 ，系统是对称的；对于多解 情况，卢0 的解对应于芦= 的双稳态。这和上面的分析相符合。当序参数 卢= ( x ) 0 所对应的有序态出现时，系统出现对称性破缺。这时存在系统由状态 卢= 0 到状态0 的变化，或者相反的变化，其条件为a 。f ( ) i ，o o = i ，并且 = 0 。 同时，有限正方点阵的数值模拟结果在图4 2 1 ( b ) 中给出。该结果是基于 l a n g e v i n 方程( 4 1 1 ) 计算出来的。由于计算条件和时间的限制只做了一个6 4 x 6 4 的有限方阵。这个模拟结果证明了平均场近似计算结果的正确性。同时也说明了 状态= 0 和芦0 之间的相变的存在。另外从这个图上很容易看得出，虽然平均 场近似计算结果和数值模拟结果相符合，但这个平均场近似结果还是把有序态的 范围扩大了。 4 3 非平衡相变 在f = 0 和旯= 0 的情况下，由以上的分析可以知道在一定的条件下，这个非 线性系统会出现非平衡相变。下面我4 1 i n 出的相变图证实了这一点。图4 3 ，l 和( b ) 就是耦合系数d 随乘性噪声d l 变化的相变曲线。这个相变图有以下的性 质：( 1 ) 浚变化为二级相变，因为存在序参量卢在状态卢= 0 和状态0 之间变 化所对应的对称破缺，同时序参量变化是连续的；( 2 ) 曲线以上部分对应于零平 均场( 掣= 0 ) ，面曲线的下方部分对应于非零的平均场( 弘0 ) ；( 3 ) 当加性噪声的 强度比较弱的时候，比如对应于图4 3 1 ( a ) 中d 2 = 0 0 2 和0 0 5 ，r e e n t r a n t 型的非 平衡相变就会出现。这种相变的特性是有序态在某一临界值产生，然后在更高的 某一临界值消失。这就形成了图4 3 1 ( a ) 中两条曲线的突起。这种相变的出现是 与加性噪声、乘性噪声和系统的非线性之间的有效协作相联系的 6 ：( 4 ) 当系 统的加性噪声强度增加的时候，比如图4 3 1 ( b ) 中对应的功= o 1 ，o 2 和1 ，前 面所出现的r e e n t r a n t 型的相变不再出现。两种噪声和振子之间的耦合对系统的有 第四章系统汁算和分析 不同的影响。对于一定的乘性噪声，当加性噪声比较弱的时候，加性噪声、乘性 噪声和系统的非线性之间的有效协作增加系统的非线性特征。这时，阵子之间很 小的耦合就很容易产生有序态。这就是4 3 1 ( a ) 中突出的峰的形成原因。对于大 的加性噪声强度，乘性磲声增加了系统的自由度，并使系统更容易达到无序态。 然而振子之间的祸合有着相反的效应，所以随着乘性噪声强度的增加，相变点所 对应的祸合强度也逐渐增大。这就形成了图4 3 1 ( a ) 的右边部分和图4 3 1 ( b ) 的变 化情况。 图4 3 1 在f = 0 和a = 0 的情况下的相变图。振子之间的耦合系数d 随乘性噪声系 数变化的曲线。( a ) 在加性噪声比较弱的时候，d 2 = 0 , 0 2 ，0 0 5 。这种情况下，对应于这 个比较弱的加性噪声，r e e n t r a n t 型的相变出现；( b ) 对于加性噪声较大的时候的相变， d 2 = 0 1 ，0 2 和l 。这样的情况下，r e e n