（概率论与数理统计专业论文）平面多项式微分系统的中心问题与极限环分支.pdf

博士学位论文摘要 摘要 本文主要研究平面多项式微分系统退化奇点与无穷远点的可积 条件以及中心焦点判定与极限环分支，全文由七章组成 第一章对平面多项式微分系统极限环分支问题与中心问题的历 史背景与研究现状进行了全面综述，并将本文所做的工作作了简单的 介绍 第二章研究了一类三次多项式系统无穷远点的中心条件与赤道 极限环分支通过将实系统转化为复系统研究，给出了计算无穷远点 奇点量的递推公式，并在计算机上用m a t h e m a t i c a 推导出该系统无 穷远点前七个无穷远点奇点量，进一步导出了无穷远点成为中心的条 件和七阶细焦点的条件，得到了三次系统无穷远点分支出七个极限环 的一个实例( 本章内容发表在a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n d c o m p u t a t i o n 2 0 0 6 ，v 1 7 7 ( 1 ) 上) 第三章研究了一类五次多项式系统无穷远点的中心条件与赤道 极限环分枝问题给出了计算五次多项式系统无穷远点奇点量的线性 递推公式，运用这个公式及计算机代数系统m a t h e m a t i c a ，计算了一 类五次系统无穷远点的前十一个奇点量同时得到了无穷远点的中心 条件首次构造了一个在无穷远点产生十一个极限环的五次多项式系 统( 在( c o m p u t e r sa n dm a t h e m a t i c sw i t ha p p l i c a t i o n s 上已接 收) 第四章研究了一类七次系统无穷远点的中心条件与赤道极限环 分支问题通过将实系统转化为复系统研究，给出了计算无穷远点奇 点量的递推公式与系统无穷远点前十四个奇点量，进一步导出了无穷 远点成为中心的条件和十四阶细焦点的条件，在此基础上首次得到了 七次系统无穷远点分支出十三个极限环的一个实例 博士学位论文摘要 第五章研究了一类有两个小参数和八个普通参数的五次系统的 退化奇点与无穷远点( 赤道) 的中心条件与极限环分支通过两个同 胚变换将退化奇点与无穷远点转变成初等奇点，进而计算了原点( 退 化奇点) 与无穷远点的l y a p u n o v 常数( 奇点量) ，并由此得到了退 化奇点与无穷远点的中心条件在原点和无穷远点的同步扰动下，得 到了极限环的f ( 7 ) ，2 l 和 ( 2 ) ，6 ) 分布( 本章内容发表在( a p p l l e d m a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n 2 0 0 6 ，v 1 8 1 ( 1 ) 上) 。 第六章研究了一类更广泛的复自治微分系统 ( 其中毛w ，t 为相互独立的复变量，口叩，是复常数，p , q 为互质的整 数，刀为自然数) 的原点( 它是系统( 1 ) 的退化奇点) 定义了这类 奇点的广义奇点量并研究了奇点量的结构给出了计算奇点量的代数 递推公式并得出了奇点为广义复中心的充要条件本章结论是文 4 l ， 4 6 结论的推广 第七章研究了一类更广泛的多项式微分系统 ( 其中z ，w ，t 为相互独立的复变量，口础，是复常数，b q 为互质的整 数，玎为自然数) 的无穷远点，定义了这类无穷远点的广义奇点量并 研究了奇点量的结构，给出了计算无穷远点奇点量的代数递推公式并 得出了无穷远点为广义复中心的充要条件本章结论是文 4 6 结论的 推广 氅一 妒 叱 ” 如一杉咖一打 弘每 钾 器。 叼 叭 m 出一订出一盯 博士学位论文摘要 关键词：平面多项式微分系统，中心，退化奇点，无穷远点，奇 点量，极限环分支 博士学位论文摘要 a b s t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h ep r o b l e m so fi n t e g r a l c o n d i t i o n s ， c e n t e r - f o c u sd e t e r m i n a t i o na n db i f u r c a t i o no fl i m i tc y c l e sa td e g e n e r a t e s i n g u l a rp o i n ta n dt h ei n f i n i t yo fp l a n a rp o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m i t i sc o m p o s e do fs e v e nc h a p t e r s i nc h a p t e rl ，t h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dt h ep r e s e n tp r o g r e s so f p r o b l e m sa b o u tc e n t e r - f o c u sd e t e r m i n a t i o na n db i f u r c a t i o no fl i m i tc y c l e s o f p l a n a rp o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e mw e r ei n t r o d u c e da n ds u m m a r i z e d a tt h es a m et i m e ，t h em a i nw o r ko ft h i sp a p e rw a sc o n c l u d e d i nc h a p t e r2 ，c e n t e rc o n d i t i o n sa n db i f u r c a t i o no fl i m i tc y c l e sf r o m t h ee q u a t o rf o rac l a s so fc u b i cp o l y n o m i a ls y s t e mw i t hn os i n g u l a rp o i n t a tt h ei n f i n i t yw e r es t u d i e d b yc o n v e r t i n gr e a l p l a n a rs y s t e m i n t o c o m p l e xs y s t e m , t h er e c u r s i o nf o r m u l af o rt h ec o m p u t a t i o no fs i n g u l a r p o i n tq u a n t i t i e s w e r e g i v e n , a n d ，w i t hc o m p u t e ra l g e b r as y s t e m m a t h e m a t i c a ，t h e f i r s t7s i n g u l a rp o i n tq u a n t i t i e sw e r ed e d u c e d a tt h e s a m et i m e ，t h ec o n d i t i o n sf o r t h ei n f i n i t yt ob eac e n t e ra n d7d e g r e ef i n e f o c u sw e r ed e r i v e dr e s p e c t i v e l y ac u b i cs y s t e mt h a tb i f u r c a t e s7l i m i t c y c l e sf r o mt h ei n f i n i t yw a so b t a i n e d t h i sr e s u l tw a sp u b l i s h e do n ( a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ) ) 2 0 0 6 ，v 1 7 7 ( 1 ) i nc h a p t e r3 ，c e n t e rc o n d i t i o n sa n db i f u r c a t i o no fl i m i tc y c l e sf r o m t h ee q u a t o rf o rac l a s so fq u i n t i cp o l y n o m i a ls y s t e mw i t hn os i n g u l a r p o i n ta tt h ei n f i n i t yw e r es t u d i e d t h er e c u r s i o nf o r m u l a t oc o m p u t et h e s i n g u l a rp o i n tq u a n t i t i e so fq u i n t i cp o l y n o m i a ls y s t e ma tt h ei n f i n i t yw a s g i v e n 、矾t ht h i sf o r m u l a , t h ef i r s te l e v e ns i n g u l a rp o i n tq u a n t i t i e so fa c l a s so fq u i n t i cp o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e ma tt h ei n f i n i t yw e r e c o m p u t e dw i t hc o m p u t e ra l g e b r as y s t e mm a t h e m a t i c a t h ec o n d i t i o n sf o r t h ei n f i n i t yt oh eac e n t e rw e r ed e r i v e da sw e l l a tl a s t ，as y s t e mt h a t 博士学位论文 摘要 a l l o w st h ea p p e a r a n c eo fe l e v e nl i m i tc y c l e si nas m a l le n o u g h n e i g h b o r h o o do ft h ei n f m i t yw a sc o n s t r u c t e da tt h ef i r s tt i m e t h i sr e s u l t h a sb e e na c c e p t e do n ( c o m p u t e r sa n dm a t h e m a t i c sw i t ha p p l i c a t i o n s ) ) i nc h a p t e r4 ，c e n t e rc o n d i t i o n sa n db i f u r c a t i o no fl i m i tc y c l e sf r o m t h ee q u a t o ri nac l a s so fp o l y n o m i a ls y s t e mo fd e g r e es e v e nw e r es t u d i e d 1 1 l em e t h o dw a sb a s e do nc o n v e r t i n gr e a lp l a n a rs y s t e mi n t oc o m p l e x s y s t e m , t h er e c u r s i o nf o r m u l af o rt h ec o m p u t a t i o no fs i n g u l a rp o i n t q u a n t i t i e so ft h ei n f i n i t yw e r eg i v e n , w h i c ha l l o w su st oc o m p u t et h e g e n e r a l i z e dl y a p u n o vc o n s t a n t s ( t h es i n g u l a rp o i n tq u a n t i t i e s ) f o rt h e i n f i m t y t h ef i r s t1 4s i n g u l a rp o i n tq u a n t i t i e so f t h ei n f i n i t yw e r ed e d u c e d a tt h es a m et i m e ，t h ec o n d i t i o n sf o rt h ei n f i n i t yt ob eac e n t e ra n d1 4 d e g r e ef i n ef o c u sw e r ed e r i v e dr e s p e c t i v e l y as y s t e mo fd e g r e e7t h a t b i f u r c a t e s1 3l i m i tc y c l e sf r o mi n f i n i t yw a sc o n s t r u c t e da tt h ef i r s tt i m e i nc h a p t e r5 ，c e n t e rc o n d i t i o n sa n db i f u r c a t i o no fl i m i tc y c l e sa tt h e d e g e n e r a t es i n g u l a rp o i n ta n di n f i n i t y ( t h ee q u a t o r ) i nac l a s so fq u i n t i c p o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t ht w os m a l lp a r a m e t e r sa n de i g h t n o r m a lp a r a m e t e r sw a ss t u d i e d t h em e t h o dw a sb a s e do nt w o h o m e o m o r p h i ct r a n s f o r m a t i o n so ft h ei n f i n i t ya n dd e g e n e r a t es i n g u l a r p o i t i n t ol i n e a r s i n g u l a rp o i n t , w h i c ha l l o w s u st o c o m p u t et h e g e n e r a l i z e dl y a p u n o vc o n s t a n t s ( t h es i n g u l a rp o i n tq u a n t i t i e s ) f o rt h e o r i g i na n di n f i n i t y t h ec e n t e rc o n d i t i o n sf o r t h ed e g e n e r a t es i n g u l a rp o i m a n di n f i n i t yw e r ed e r i v e dr e s p e c t i v e l yt h el i m i tc y c l ec o n f i g u r a t i o n so f ( 7 ) ，2 ) a n d ( 2 ) ，6 ) w e r eo b t a i n e du n d e rs i m u l t a n e o u sp e r t u r b a t i o na t t h e o r i g i n a n di n f i n i t y t h i sr e s u l tw a sp u b l i s h e do n a p p l i e d m a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ) ) 2 0 0 6 ，v 1 8 1 ( 1 ) i nc h a p t e r6 ，t h eo r i g i no fac l a s so fg e n e r a lc o m p l e xa u t o n o m o u s p o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m 博士学位论文 摘要 = 弘“w “+ ：4 t 4 ， “乒2 。n + 2 ( 1 ) = 一q w “z 。一6 叩4 ：4 4 + 出2 叶2 嘉2弘“w4+善2n。4w，5芦n+1wn+荟2nd 乙 。2，w 2 n2 n 【而= 一g “z l 荟w 4 z ，= 一弘”1 w ”一荟 原创性声明 本人声明，呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作取得的成果就我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其它人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南 大学或其它单位的学位或证书而使用过的材料与我共同工作的同志 对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明 作者签名：赵 荤 日期：鱼五年且月五日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部内容或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学 位论文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文 作者签名：酶导师签名刮4 日期：趣纷月血日 博士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 常微分方程定性理论，从法国数学家庞卡莱( hp o i n c d r e ) 在1 8 8 1 至1 8 8 6 年发表以微分方程所定义的积分曲线为代表的四篇奠基性的论文开始，到现 在已经历了一个多世纪的发展随着科学技术的迅猛发展，定性理论在天体力学、 生物、化学、自动控制、无线电技术、卫星通讯及经济等领域得到了广泛的应用， 工程技术的发展反过来也促进了常微分方程定性理论的发展，计算机技术应用于 微分方程的研究就是一个很好的例子特别是近二十年来计算机代数系统的出现 与推广给定性理论的发展带来了新的发展契机本文应用计算机代数系统研究了 定性理论中的极限环与中心等问题 1 1 极限环的研究现状与发展 极限环问题的研究，在常微分方程定性理论中扮演了一个重要的角色著名 数学家t i i l b e r t 在1 9 0 0 年巴黎国际数学家大会上提出了影响数学发展的2 3 个问 题第1 6 问题的后半部分就是极限环问题，这个问题是：对于右端为不高于即次 的实平面微分自治系统 妄= 讹办等锻( 蚺 ( 1 1 ) 这类方程最多有多少个极限环，当达到最大数目时它们的相对位置如何? 这个问 题一直吸引着众多数学工作者的关注，其困难程度也一直困扰着人们为了解决 这一难题，己出现了大量的研究论文，也产生了大量的研究方法与优秀的成果， 在很大程度上促进了定性理论的发展( 见 1 】) 我国数学工作者在这一问题上的 成果是最具代表性的，如对疗= 2 的情形，有文 2 - 8 对于门3 的情形，上世纪 八十年代以前的结果很少，较好的结果属于法国数学家d u l a c 9 在1 9 2 3 年得到 的极限环有限性定理，但其证明有错，后经1 1 y a s h e n k o 和e c a l l e 修订 1 0 - 1 1 八十年代后，这方面的工作取得了很大的进展若用日( 雅) 表示刀次多项式系统能 博士学位论文第一章绪论 达到的极限环的最大个数，则史松龄等人得到了h ( 2 ) 4 ，李继彬、黄其明 1 2 一1 4 得到了h o ) 1 1 另外得到h 0 1 l l 的还有 1 5 ，1 6 之后，很多文章 1 7 2 1 都 讨论了三次系统的极限环问题，但极限环的个数都没超过1 l ，到2 0 0 5 年，韩茂 安、郁培 2 2 与刘一戎、黄文韬 2 3 分别得到了胃( 3 ) 1 2 ，这是到目前为止关 于三次系统最好的结果对高于三次的系统，文 2 4 得到了日( 4 ) 1 5 ，杜超雄 2 5 也得到了h ( 4 ) 1 5 ，文 2 6 得到了( 5 ) 2 4 但是，所有这些工作离h i i b e r t 第1 6 问题的解决还非常遥远，即使是二次系统这种最简单的非线性情况，极限 环的最大个数问题仍悬而未决因此，著名数学家s s m a l e 2 7 认为对h ) 的 研究是h i i b e r t 问题中最困难的一个问题本文试图从两个方面展开研究：其一 是研究由原点( 退化奇点) 扰动出极限环问题，其二是研究由无穷远点( 赤道) 产生 极限环问题 1 1 1 退化奇点的极限环分支 由高阶细焦点扰动产生极限环( 也称高阶h e p f 分支) 的思想，首见于f r o m m e r 的工作，并由b a u t i n 2 8 加以发展，秦元勋等人首次予以实现后经许多数学工 作者研究产生了不少具体的方法，其中最常用的有hp o i n c d r e 后继函数法、 l i a p u n o v 常数法与规范型法，这几个方法的运用都牵涉到焦点量或l i a p u n o v 常数的计算，通过焦点量或l i a p u n o v 常数可确定细焦点的最高阶数，而细焦点 的最高阶数决定了通过微小扰动在其邻域内产生极限环的个数，因此，要解决由 细焦点产生的小振幅极限环问题，首要的工作是焦点量或l i a p u n o v 常数的计算 问题焦点量的经典算法是hp o i n c d r e 后继函数法，l i a p u n o v 常数的计算方法 是p o i n c d r e - l i a p u n o v 形式级数法，1 9 7 9 年g s b b e r 等人 2 9 证明了焦点量与 l i a p u n o v 常数的等价性并给出了第一个不为零的焦点量与l i a p u n o v 常数之间的 关系1 9 8 0 年史松龄 3 0 从l i a p u n o v 常数计算出发得到了一个关于极限环存在 性的易用定理，随后他又在文 3 1 中证明了l i a p u n o v 常数基中元素个数的唯一 性用经典方法计算焦点量( l i a p u n o v 常数) ，牵涉到大量的积分和解方程组，不 2 博士学位论文 第一章绪论 易在计算机上实现，因此焦点量( l i a p u n o v 常数) 的算法及计算机实现等问题引 起了众多学者的关注其中n g l l o y d 与j 1 lp e a r s o n 3 2 3 3 3 给出了一个计算焦 点量的专用程序：j c h a v r r i g a 3 4 给出了求焦点量的极坐标方法；杜乃林、曾 宪武 3 5 也在极坐标形式下用求解形式级数法得到了一类求焦点量的递推公式， 李承治 3 6 给出了求二次系统焦点量的一个易用公式；此外，研究焦点量 ( l i a p u n o v 常数) 计算的还有 1 7 ，3 7 - 4 0 1 9 8 9 年刘一戎、李继彬 4 1 对复自治微 分系统引入了奇点量的概念把焦点量、鞍点量与奇点量统一起来又定义了l i e 不变量概念并由此得到奇点量结构定理，并给出了两种计算奇点量的方法，使人 们对焦点量与鞍点量的性质有了更深刻的认识2 0 0 2 年刘一戎、陈海波 4 2 又给 出了计算奇点量的递推公式，此公式只需以复自治系统右端系数为符号进行有限 次加、减、乘、除四则运算，避免了通常计算焦点量所需的复杂的积分与解方程 运算，使奇点量的计算较容易在计算机上实现采用这个方法，文 4 1 相对容易 地推导出二次系统和缺二次项的三次系统的奇点量公式，并在文 2 3 中得到关于 原点对称的缺二次项的三次系统双焦点同步扰动产生1 2 个小振幅极限环的目前 为止最好的结果用复系统形式研究焦点量计算的还有 4 3 4 5 到2 0 0 0 年为止，对高阶细焦点极限环分支的研究都是关于初等奇点的退化 奇点极限环分支的研究在2 0 0 1 年以前未见有结果，2 0 0 1 年刘一戎在文 4 6 中首 先研究了一类实平面多项式系统( 以原点为退化奇点) j = ( - y + g x x r 2 卜。娶m 。， 陪 4 - 5 y ) ( x 2 + y 2 h 。罄( 圳 原点的中心条件与极限环分支该文通过引入极坐标变换 r = r c o s o y = r s i n 0 ( 1 3 ) 用p o i n c d r e 后继函数法定义了退化奇点的焦点量，并证明了焦点量可确定细焦 点的最高阶数及通过微小扰动在其邻域内产生极限环的个数，使退化奇点的中心 焦点判定也落脚在焦点量的计算上来进一步，通过变换 z = x + 砒1 = x 一砒t = i t ( 1 4 ) 将实系统( 1 2 ) 转化为复系统： 博士学位论文第一章绪论 孑v + 喜 m 。， 等“卜k = 妻2 m - 2 给出了退化奇点的奇点量定义与算法，证明了奇点量与焦点量的等价性，从而把 实系统的焦点量的计算转化为其复伴随系统的奇点量的计算进一步引入了原点 的分支函数，给出了几个判断极限环存在的易用的定理并把 4 1 定义的l i e 不 变量的概念推广到这类奇点运用这一方法，作者还研究了一类五次系统原点的 中心条件与极限环分支，得到了五个小振幅极限环的结果文e 4 7 也研究了一类 五次系统原点的中心条件与极限环分支。并得到了五个小振幅极限环的结果本 文第五章用一同胚变换将退化奇点转化为初等奇点研究了一类五次系统退化奇 点的中心条件与极限环分支，得到了七个小振幅极限环的结果 1 1 2 赤道极限环分支 要完整地研究平面多项式系统极限环的最大个数问题，还需研究无穷远点的 极限环分支关于这方面的研究2 0 0 0 年以前很少，仅见 4 8 - 5 1 ，9 6 研究成果少 的主要原因有两个，一是问题本身困难，二是没有好的研究方法对这个问题的 研究主要集中在p o i n c d r e 球面的赤道上没有实奇点的奇次多项式系统这类系 统由赤道( 无穷远点) 分支出的极限环的最大个数问题即使是对最简单的三次系 统也未完全解决1 9 9 3 年韩茂安 5 0 研究了一类三次系统赤道极限环的稳定性 并给出了一切解正向右界的判据，同年，t 融b l o w s 与c r o u s s e a u 5 1 通过广义 极坐标变换x ：! ! 型，y ：竺旦把无穷远点转化为坐标原点，然后用p o i n c d r 。 ， 后继函数定义无穷远点的焦点量，通过逐步积分给出了产生七个极限环的条件， 并研究了一类三次系统赤道极限环分支问题，得到一个在赤道上分支出5 个极限 环的三次系统的实例2 0 0 1 年刘一戎 4 6 也研究了无穷远点的极限环分支问题 并实现了方法上的突破通过广义极坐标变换x ：c o s 8 ，y ：s i n o ，然后用 ， p o i n c d r e 后继函数法定义了无穷远点的焦点量与细焦点的阶数，进一步通过把 实系统转化为复系统，给出了无穷远点的奇点量定义与算法证明了奇点量与焦 4 博士学位论文第一章绪论 点量的等价性，从而把实系统的焦点量的计算转化为其复伴随系统的奇点量的计 算并引入了无穷远点的分支函数，给出了几个判断赤道极限环存在性的有用的 定理还定义了无穷远点的l i e 不变量，给出了无穷远点的奇点量结构定理文中 还给出了一个三次系统从无穷远点分支出四个极限环的实例之后相继有 5 2 - 6 0 等工作本文第二、三、四章采用文 4 6 的方法分别研究了一类三次、五次与七 次多项式系统的赤道极限环分支若记l ( n ) 为n 次多项式系统赤道极限环的最大 个数，则文 5 1 ，6 0 得到了1 0 ) 5 ，文 5 5 得到了1 0 ) 6 ， 5 8 得到了 j ( 3 ) 7 ，文 5 2 得到了i ( 5 ) 4 ， 5 6 ，6 1 得到了i ( 5 ) 6 ， 5 9 ，6 2 得到了 1 ( 5 ) 8 ， 5 3 得到了，( 7 ) 3 ， 5 7 】得到了，( 7 ) 9 本文第二章也得到了 ，( 3 ) 7 ，第三章得到了z ( 5 ) l l ，第四章得到了，( 7 ) 1 3 的几个到目前为止最 好的结果 1 1 3 原点与无穷远点同步扰动条件下的极限环分支 关于原点与无穷远点同步扰动产生极限环的问题研究极少，首见于1 9 9 3 年文 5 1 的工作，给出了一类三次系统在无穷远点分支出5 个极限环，同时在原点分 支出两个极限环的实例之后直到2 0 0 5 年之前没有别的文章研究此类问题2 0 0 5 年文 4 7 运用文 4 6 的方法研究了一类五次系统原点与无穷远点同步扰动下的 极限环分支，得到了极限环的【( 5 ) ，2 1 和【( 2 ) ，4 1 分布的实例本文第五章也研 究了一类原点为退化奇点的五次系统原点与无穷远点在同步扰动下的极限环分 支，运用两个同胚变换分别把退化奇点与无穷远点转化成原点，且均为初等奇点， 进而计算了原点与无穷远点的奇点量，得到了极限环的( ( 7 ) ，2 ) 和【( 2 ) ，6 ) 分布 的实例 1 2 中心问题 无论是细焦点还是无穷远点的极限环分支问题都与中心问题密切相关，系统 5 博士学位论文第一章绪论 的有限奇点或无穷远点成为中心的充分必要条件是所有的焦点量全为零通常我 们在研究焦点量时只需求出前面有限个焦点量，因为根据h i l b e r t 有限基原理。 一定存在前面有限个焦点量能把所有的焦点量表示出来，这有限个焦点量称为焦 点基因此研究中心条件与研究焦点基问题是等价的，解决中心问题即同步解决 了细焦点的阶数问题，从而解决了有限奇点或无穷远点极限环的最大个数问题 所以中心问题的研究也是非常重要的系统的有限奇点或无穷远点前面有限个焦 点量为零的条件是有限奇点或无穷远点为中心的必要条件当然，中心条件的确 定还需用其它方法去证明，如求首次积分或积分因子等 1 2 1 原点的中心问题 二次系统原点的中心条件己由也d u l a c ，w k a p t e y n 。n b a u t i n | lf r o m m e r 及叶彦谦，李承治等人彻底解决( 见文献 2 第二章参考文献) ，三次及高于三次 的多项式系统的中心条件只在极特殊的情况下得到了解决，缺二次项的三次系统 中心条件由 la cax ph 1 4kob ( 见文献 3 ) 与m a l k i n 6 3 分别于1 9 5 0 年和1 9 6 4 年解决l u n k e v i c h 和s i b i r s k y 6 4 也于1 9 6 5 年运用代数不变理论证 明了系统的可积性1 9 9 5 年，c r o u s s e a u 和d s c h l o m i u k 6 5 运用d a r b o u x 积分 法又重新证明了此系统的可积性另一特殊的三次系统即k u k l e s 系统的中心条 件也还未完全解决关于这个系统，z u k l e s 6 6 于1 9 4 4 年得到0 ( 0 ，0 ) 为中心的一 组条件，到1 9 9 0 年两位中国数学家金小凡与王东明 6 7 用计算焦点量的方法举 出了一个系数不满足k u k l e s 条件但却以0 ( o ，o ) 为中心的k u k l e s 系统的例子，很 快c j c h r i s t o p h e l 和n g l l o y d 就在【6 8 中从理论上证明了金与王的结论 此后，又有一些结果完善k u k l e s 系统的中心条件，如c j c h r i s t o p h e r 和 n g l l o y d 6 9 7 2 但对一般的k u k l e s 系统，以o ( o ，o ) 为中心的充要条件仍未 解决特殊三次及高于三次的系统其中心条件已有大量结果，如 1 7 ，1 9 ，3 4 ， 7 3 8 1 近来，中心问题的一个自然推广是由文 8 2 提出的具p ：一4 共振奇点 的多项式微分系统存在p ：一鼋共振中心的条件，已有的研究工作有 8 2 - 8 6 ，文 6 博士学位论文第一章绪论 8 7 把这一问题推广到一般的具p ；一g 共振的复平面多项式微分系统，定义了 广义中心概念，并把文 4 1 的奇点量与l i e 不变量概念推广到广义奇点量与广义 l i e 不变量概念，研究了广义奇点量结构与广义中心条件，得到原点为广义中心 的充要条件是存在解析的首次积分并在此基础上研究了几类系统的广义奇点量 与广义中心( 可积) 条件受文 8 7 及 4 6 的启发，本文第六章研究了一类更广泛 的复平面多项式系统 黟一+ 。耋：矿 一一。娶，m6 ， 悟中“卜k = 杰2 n + ：v 儿矿妒一。弘 原点的广义奇点量与广义中心条件，并把文 4 6 的奇点量与l i e 不变量概念推广 到广义奇点量与广义拟旋转不变量概念，研究了广义奇点量结构，得到了文 4 1 ，4 6 ，8 7 结论的推广 1 2 2 无穷远点的中心问题 与有限奇点对应，若无穷远点的充分小邻域内充满闭轨，则称它为中心为 了研究赤道极限环无穷远点的中心条件也是一个值得研究的问题对这个问题 的研究只有极少量的工作 4 6 ，4 7 ，5 7 - 6 2 ，8 8 本文第二、三、四、五章在研究 几类系统无穷远点极限环分支的同时，还解决了无穷远点的中心条件问题本文 第七章研究了一类更广泛的复平面多项式系统 序肛+ 荟2 n 矿 k w 4 + 酚2 nm ， 【万d w = 一掣“：”一荟2 n w 4 z ，= 一弘”v 一荟2 n 呒 。 无穷远点的广义奇点量与广义中心条件，定义了无穷远点的广义奇点量与广义拟 旋转不变量，研究了无穷远点的广义奇点量结构，得到了无穷远点的广义中心条 件本章结论是文 4 6 关于无穷远点的理论的推广 7 博士学位论文第一章绪论 1 3 本文的特色工作 微分方程定性理论有着丰富的内容和远大的发展前景，还有许多重要的问题 需要解决本文在前人工作的基础上，对平面多项式系统退化奇点与无穷远点的 中心条件与极限环分支进行了较深入的探讨，概括起来，本文的特色工作具有以 下几个方面： l 解决了几类多项式微分系统无穷远点的中心条件与极限环分支问题，得到了 ，( 3 ) 7 ，( 5 ) _ - 21 1 ，( 7 ) 1 1 的结论，就极限环个数而言，这是多项式微分 系统赤道极限环分支中目前为止最好的结果 2 研究了一类五次系统退化奇点与无穷远点的中心条件，并在同步扰动下研究 了退化奇点与无穷远点的极限环分支，得到了极限环的( ( 7 ) ，2 ) 和( ( 2 ) ，6 ) 分布，就原点和无穷远点同步扰动的情形，这是目前为止最好的结果 3 研究了一类更广泛的复平面多项式系统退化奇点的广义中心问题，定义了这 类系统的广义奇点量与拟旋转不变量，并建立了奇点量计算的易于在计算机 上实现的线性递推公式。得到了退化奇点为广义中心的充要条件是存在收敛 的首次积分 4 给出了将退化奇点转化为初等奇点的同胚变换，建立了退化奇点与初等奇点 的奇点量之间的关系 5 研究了一类更广泛的复平面多项式系统无穷远点的广义中心问题，定义了这 类系统的广义奇点量与拟旋转不变量，并建立了奇点量计算的易于在计算机 上实现的线性递推公式，得到了无穷远点为广义中心的充要条件是存在收敛 的首次积分 6 给出了将无穷远点转化为初等奇点的同胚变换，建立了无穷远点与初等奇点 的奇点量之间的关系 8 埴士学位论文 第二章 第二章一类在无穷远点有七个极 限环的三次多项式系统 本章研究了类三次系统无穷远点的中心条件与赤道极限环分枝问题通过 将实系统转化为复系统研究，给出了计算无穷远点奇点量的递推公式，并在计算 机上用m a t h e m a t i c a 推导出该系统无穷远点前7 个无穷远点奇点量，进一步导 出了无穷远点成为中心的条件和七阶细焦点的条件，得到了三次系统无穷远点分 支出7 个极限环的一个实例在不构造p o i n c d r e 环域的情况下，较为精确地指出 了极限环的存在位置 2 1 引言 在平面微分方程定性理论中，极限环分支问题，尤其是无穷远点( 赤道) 的 极限环分支问题是一个重要而又困难的问题，关于赤道极限环分支的结果也极 少，韩茂安 4 9 等阐述了研究大振幅极限环的一般方法，t r b l o w s 等研究了一 类三次系统在无穷远点分支出了5 个极限环的结论 5 1 ，刘一戎提出了一个研究 一类多项式系统无穷远点极限环分支的新方法 4 6 ，刘一戎、陈海波还给出了一 个三次系统产生6 个极限环的实例 5 5 黄文韬也给出了一个三次系统产生6 个 极限环的实例 6 1 但对平面三次多项式系统可以由无穷远点扰动出来的极限环 的最大个数尚不清楚为此作者应用文献 4 6 中的结论，对一类三次系统计算出 其无穷远点的前7 个奇点量，并给出该系统由无穷远点分支出7 个极限环的一个 实例 对于实平面三次多项式系统 j 鲁2 4 声+ 4 l y + 如，+ 九砂+ 如，+ + 鳓舻 2 ) ，( 2 1 ) 【鲁= b , o x + b o ，+ x 2 + 且。x y + y 2 + ( h 彦2 + y 2 ) 在广义极坐标变换 9 簋士学位论文 第二章 c o s 8 s i n 0 z 2 ，j ，2 pp 下满足初值条件一。= 的解记为 p = p ( o ，j i ) = u ，占妒 k = l ( 2 2 ) ( 2 3 ) 其中：v l ( 0 ，回= p 一，屹( o ，占) = 0 ，k = 2 3 称系统( 2 1 ) 无穷远点的第0 个焦 点量为v t ( 2 j ：r , 8 ) - i ，a p e 2 ”- l ，第j 个焦点量为也| 十1 ( 2 万，j ) ，k = l , 2 ，。 系统( 2 1 ) 经变换 g = x 4 - 秒，w = r 一砂，丁= i t ，f = 4 = t ( 2 4 ) 化为下列复系统： 4 。= 型盟笋矗i ，e l o - - - 型鱼粤虫， 4 0 l = 鱼等产虫，j ，o l = 生半， 如= 型型气蚣f ，如= 笙垡号世， a i l = + 一k + k ，旦l = ( 一a o z b + ) f ， 如= - a 2 d + a n - a l m + b ：o - b h + b mf - = - a 2 0 + a tn - a 了o z - b 2 0 + b t t - b m ( 2 6 ) 假定a 叩和为互相独立的复数，：， r 和r 为互相独立的复变量，占为实数， 则系统( 2 5 ) 的伴随系统( 2 1 ) 为实系统的充要条件是对v ( o r ，所，有： 注：本文中一a o 表示a 。的共轭 1 0 删 卿 彬 忆 吨= 屯 而 出一刀由一打 j 妻士学位论文第二章 2 2无穷远点奇点量 使得 由文献 4 6 中的定理得： 定理2 1 对系统( 2 5 ) j = 。，可逐项确定形式级数 砟m = 击薹帮) - - ， 删焉i 删 瓢铲薹寺万旧) 一刍i 孑严 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 其中工( ：，w ) = c 印，1 4 为齐3 m 次多项式；c o o = l , c 3 ”。- - o ( k 1 ) ，且当 a + p = 3 m a 夕时 c 知= 南【( a 一2 p 一3 k + 3 ) 0 t 卜i 一( 卢一2 口+ 3 _ ，+ 3 ) 6 ，卜l 】c 。+ t + 2 ，e ，+ ，+ 2 t - 6 ， i t , j 以= ( i 一七一m ) a k , 川一( 1 - ，一删) 屯纠p m h 2 一，+ ，+ 2 ， j 且 以笔_ 1 屹。l ( 2 死o ) ，r e = l , 2 , j j r ( 2 9 ) ( 2 t o ) ( 2 1 1 ) 在定理2 1 中，以称为系统( 2 5 ) 。在无穷远点的肌阶奇点量， “, 4 1 s 一为 代数等价记号。= 1 v 2 。( 2 ，r ，0 ) 竺以表示存在系统( 2 5 ) 。系数的多项式函数器， j 窟 使得 _ 一l v 2 。l ( 2 乃o ) = f ，( 以+ 器肌) ( 2 1 2 ) k l 定理2 i 给出了系统( 2 1 ) ，= 0 无穷远点焦点量与