（理论物理专业论文）变系数burgers系统的孤波结构研究.pdf

摘要 随着科学技术的发展，人们越来越重视对非线性科学的研究。经典的 b u r g e r s 方程作为物理学中重要的非线性耗散方程，广泛的应用于湍流、传热、 传质、大气、交通流、连续随机过程等众多领域。然而，变系数系统能够更准确 地反映出实际问题中介质性质的非均匀性、边界的非一致性等特性。因此，对变 系数b u r g e r s 系统的研究具有重要的理论和实际意义。本文的主要研究内容由以 下四部分来组成： 第一部分用推广的双曲函数展开法，得到了( 1 + i ) 维变系数强迫b u r g e r s 方 程带有任意函数和任意常数的五组精确解。根据其中的一组解，用图形分析方法， 分析了该系统各种可能的孤波结构，得到了运动学特征不同于通常扭结孤立波的 特殊扭结孤立波。 第二部分用齐次平衡法研究( 1 + 1 ) 维变系数强迫b u r g e r s 方程，得到了该方 程的多孤立波解。根据多孤立波解，用图形分析方法对孤立波之间的相互作用进 行分析，观察到了在非均匀介质中及强迫项作用下形成的特殊扭结孤立波相互作 用而产生的合并与分裂等新现象。合并( 分裂) 之后的特殊扭结孤立波可以继续 振荡传播，也可以不传播也不振荡，还可以不传播在原地振荡。 第三部分利用推广的双曲函数展开法研究( 2 + 1 ) 维变系数b u r g e r s 方程，得 到了该方程含有任意函数和任意常数的十九组精确解。根据其中的一组精确解， 对该方程的孤波结构进行分析，得到了形状、运动学特征不同于通常扭结孤立波 的特殊扭结孤立波。 第四部分采用映射方法研究( 2 + 1 ) 维变系数b u r g e r s 方程，得到了该方程的 带有任意函数和任意常数的几组精确解。根据得到的精确解对该方程的孤波结构 进行分析，发现了该方程各种特殊形状的扭结孤立波以及在曲线基座上传播的扭 结孤立波。据我们的了解，对于变系数( 2 + 1 ) 维b u r g e r s 方程目前还没有文献进 行过研究，因此首次对变系数( 2 + 1 ) 维b u r g e r s 系统的研究是本文的创新之处。 关键词：变系数b u r g e r s 系统；孤立波：双曲函数展开法；齐次平衡法；映射法 s t u d yo fs o l i t a r yw a v e s t r u c t u r e so fv a r i a b l ec o e f f i c i e n t b u r g e r ss y s t e m s a b s tr a c t w i 也t h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y ，p e o p l ea t t a c hi m p o r t a n c et o s c i e n t i f i cr e s e a r c ho nt h en o n j i n e a r a san o n - l i n e a rd i s s i p a t i v ee q u a t i o ni np h y s i c s , c l a s s i c a lb u r g e r se q u a t i o ni sw i d e l yu s e di nt u r b u l e n c e ，h e a tt r a n s f e r , m a s st r a n s f e r , a i r , t r a 伍cf l o w , c o n t i n u o u sr a n d o mp r o c e s se t c h o w e v e r , v a r i a b l ec o e 街c i e n ts y s t e m s c o u l da c c u r a t e l yr e f l e c ts o m ec h a r a c t e r i s t i c s ，s u c ha sh e t e r o g e n e o u sm e d i aa n dt h e b o u n d a r yo fn o n u n i f o r m i t y i nt h ea c t u a l p h y s i c a lp r o b l e m s t h e r e f o r e ，t h e i n v e s t i g a t i o no ft h ev a r i a b l e - c o e f f i c i e n tb u r g e r se q u a t i o ni si m p o r t a n ti nt h e o r e t i c a l a n dp r a c t i c a l i ti sc o m p o s e do ff o u rp a r t s i np a r t1 ，w eo b t a i n e df i v eg r o u p so fs o l u t i o n so fa r b i t r a r yf u n c t i o n sa n d a r b i t r a r y c o n s t a n t so ft h e ( 1 十1 ) - d i m e n s i o n a lf o r c e db u r g e r se q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e 衔c i e n t s a c c o r d i n gt oas e to fs o l u t i o n w eu s et h eg r a p h i c a la n a l y s i sm e t h o dt oa n a l y z et h e s t r u c t u r eo ft h es o l i t a r yw a v e a n dt h e ni ti ss h o w e dt h a tt h es p e c i a lk i n ks o l i t a r y w a v ei sd i f f e r e n tf r o mt h eu s u a lk i n ks o l i t a r yw a v ei n 也ek i n e m a t i c s i n p a r t2 ，w eo b t a i n e d t h e m u l t i p l es o l i t a r yw a v es o l u t i o n s o ft h e ( 1 + 1 ) - d i m e n s i o n a l f o r c e d b u r g e r se q u a t i o n w i t hv a r i a b l ec o e 伍c i e n t s u s i n g h o m o g e n e o u sb a l a n c em e t h o d b ym e a n so fm u l t i p l ek i n ks o l i t a r yw a v es o l u t i o n s ，w e i n v e s t i g a t e di n t e r a c t i o no fs o l i t a r yw a v e s a n df i n dn e wp h e n o m e n as u c ha sm e r g e r a n ds p l i to fs p e c i a lk i n ks o l i t a r yw a v e si nt h ei n h o m o g e n e o u sm e d i aa n du n d e rt h e f o r c e de f f e c t s g r a p h i c a la n a l y s i sf i n dt h a tm e r g e ds p e c i a lk i n ks o l i t a r yw a v ec a n c o n t i n u et oo s c i l l a t ea n dt r a n s m i t ；o ri tc a n n o tt r a n s m i ta n do s c i l l a t e ；o ri tc a n n o t t r a n s m i tb u to s c i l l a t ei nt h eo r i g i n a lp o s i t i o n i np a r t3 ，w eo b t a i n e dn i n e t e e ng r o u p so fs o l u t i o n so fa r b i t r a r yf u n c t i o n sa n d a r b i t r a r yc o n s t a n t s o ft h e ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a l b u r g e r se q u a t i o n w i t hv a r i a b l e c o c m c i e n t s a c c o r d i n gt oas e to fs o l u t i o n , w eu s et h eg r a p h i c a la n a l y s i sm e t h o dt o a n a l y z et h es t r u c t u r eo ft h es o l i t a r yw a v e a n dt h e nw eo b t a i n e dt h a tt h es p e c i a lk i n k s o l i t a r yw a v ei sd i f f e r e n tf r o mt h eu s u a lk i n ks o l i t a r yw a v ei nt h ek i n e m a t i c sa n d f o r m i np a r t4 ，w eo b t a i n e dg r o u p so fs o l u t i o n so fa r b i t r a r yf u n c t i o n sa n da r b i t r a r y c o n s t a n t so nt h e ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a lb u r g e r se q u a t i o n 晰mv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s ，u s i n g t h em a p p i n gm e t h o d a c c o r d i n gt ot h ee x a c ts o l u t i o n ，w eu s et h eg r a p h i c a la n a l y s i s m e t h o dt oa n a l y z et h es t r u c t u r eo ft h es o l i t a r yw a v e w ef i n dt h es p e c i a lk i n ks o l i t a r y w a v e sa n dt r a n s m i tk i n ks o l i t a r yw a v e si nt h eb a s ec b r v eo nt h ee q u a t i o n a sf a ra sw ek n o w , i th a sn o tb e e n s t u d i e do nt h e ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a lb u r g e r s e q u a t i o no fv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sf o rt h el i t e m t u r e s oi ti st h ef i r s tt i m et os t u d yt h e ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a lb u r g e r ss y s t e mw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s a n di t i st h ei n n o v a t i o n o ft h i sp a p e r k e yw o r d s ：v a r i a b l e - c o e f f i c i e n tb u r g e r ss y s t e m s ；s o l i t a r yw a v e ；h y p e r b o l i cf u n c t i o n m e t h o d ；h o m o g e n e o u s b a l a n c em e t h o d ；m a p p i n gm e t h o d dir e c t e db y ：p r o f n a r a n m a n d u l a a p pl ic a n tf o rm a s t e rd e g r e e ：s u nj i a n ( t h e o r e t i c a lp h y s i c s ) ( c o l l e g eo fp h y s i c sa n de l e c t r o n i ci n f o r m a t i o n , i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t yf o rn a t i o n a l i t i e s , t o n g l i m 0 2 8 0 4 3 ，c h i n a ) 变系数b u r g e r s 系统的孤波结构研究 内蒙古民族大学硕士学位论文作者声明 本人声明：本人呈交的学位论文是本人在导师指导下取得的研究 成果。对前人及其他人员对本论文的启发和贡献已在论文中做出了明 确的声明，并表示了感谢。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外， 不包含其他人已经发表或撰写的研究成果。 本人同意内蒙古民族大学保留并向国家有关部门或资料库送交 学位论文或电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权内蒙古民族大 学可以将本人学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：刭：逮日期：盘f 旦年月上日 内蒙古民族大掌硕士学位论文 1 绪论 1 1b u r g e r s 方程简介 经典b u r g e r s 方程1 “，+ “n ，+ v u 矗= 0 ( 1 1 1 ) 其中v 为耗散系数，“为所研究问题中相应的物理量。该方程最早是由b a t e m a u 在1 9 1 5 年提出的，并求出了该方程的一个稳定解。此后，b u r g e r s 用它建立了 湍流模型，用来描述河道中湍流现象们，因而被命名为b u r g e r s 方程。从此，人 们开始对经典b u r g e r s 方程的不断深入研究 经典b u r g e r s 方程作为n a v i e r s t o k e s 方程的特例，虽然方程中不含压力梯度 项，但与不可压缩n a v i e r - s t o k e s 方程相比同样具有“对流一和“耗散 的形式， 可以认为经典b u r g e r s 方程仍保留着n a v i e r - s t o k e s 方程的混合型特性。因此，经 典b u r g e r s 方程被看作是n a v i e r s t o k e s 方程的简单模型，这样我们可以通过对经 典b u r g e r s 方程的数值模拟来研究n a v i e r - s t o k e s 方程。人们重视研究经典 b u r g e r s 方程，不仅因为经典b u r g e r s 方程本身是大量物理现象的数学表示和渐近 模拟，同样对经典b u r g e r s 方程的深入研究也有助于其他许多非线性问题的研究。 同时，该方程可以构造出许多精确的孤子解，这为非线性问题的研究提供了有效 的试验模型嘲。 经典b u r g e r s 方程也作为最简单的非线性对流扩散模型，广泛的应用于湍 流、传热、传质、大气、水资源污染及连续随机过程等众多领域。另外，一维冲 击波的传播以及一定条件下声波在具有粘滞性和热传导性介质中的传播等也可 以用经典的b u r g e r s 方程来描述。同时，在有限电导的磁流波、湍流的理论研究、 交通流模型等问题中均出现过经典的b u r g e r s 方程。关于经典的b u r g e r s 方程的 研究，目前已比较成熟和多棒化睁嘲 随着对非线性问题研究的深入，l i g h t h i l l n 町在研究粘性介质中有限振幅声 波传播时发现，实际上b u r g e r s 方程( 1 1 1 ) 中的耗散系数v 是时间的函数，即 口l + 材工+ k t ) 牡。= 0 ( 1 1 2 ) 另外，s c o t t n 力在研究变截面管道中声波传播问题时也找到了此方程。此方程通 常称为广义b u r g e r s 方程。因为该方程比方程( 1 1 1 ) 更具有广泛的意义，且能够 更准确的描述真实的物理系统。d o y l e 等在文 1 8 中用相似方法研究方程( 1 1 2 ) 得到了相似解。q u 在文 2 0 3 中推广了方程( 1 1 2 ) ，得到了更广义的如下变系数 b u r g e r s 方程 i | + a q ) u u j + f l ( t ) u 丘= 0 ( 1 1 3 ) 其中非线性系数a ( t ) ，耗散系数( f ) 是时间，的任意函数该方程能够描述长冲 2 变系数b u r g e r s 系统的孤波结构研究 击波在非均匀两层浅水中的传播圳。在文 2 0 ，2 1 中对该方程的p a i n l e v 6 性质、 b 石c k l u n d 变换以及变换的性质已进行了详细研究。k i n g s t o n 等在文 1 9 中也研 究了方程( 1 1 3 ) ，并且完成了所有有限点的变换分类。c h r i s t o d o u l o s 等魄1 同样 研究了方程( 1 1 3 ) ，得到了它的变换特性。许晓革汹1 利用非线性发展方程的变 系数均衡作用法并借助计算机符号计算，求出了方程( 1 1 3 ) 的一种解析解。 o l i v e r i 运用p a i n l e v 6 分析方法在文 2 4 中研究了另一种广义b u r g e r s 方程，即 “，+ “材，+ 材口+ f ( t ) u = 0 ( 1 1 4 ) 这里f ( t ) 是时间的任意常数。当( f ) = 0 时，方程( 1 1 4 ) 即为经典b u r g e r s 方程。 1 当( ，) = 时，方程( 1 1 4 ) 为球b u r g e r s 方程。当( f ) = i 1 时，方程( 1 1 4 ) 为柱 b u r g e r s 方程。但我们注意到在一定变换下，方程( 1 1 4 ) 可以变成方程( 1 1 3 ) 。 近年来，在湍流问题汹1 、电荷密度波问题陇3 、高温超导体涡流线、以及无 序固体的位错与外延生长问题四3 等不同的物理问题中，均出现了如下带强迫项的 b u r g e r s 方程 “，+ u u ，+ 1 ，甜盟= r ( ，)( 1 1 5 ) 其中r ( t ) 可以是一个关于时间，的确定或随机函数。关于具强迫项的b u r g e r s 方程 的研究已经有了许多进展，a b l o w i t z 等汹3 研究了确定性和随机性条件下的强迫 b u r g e r s 方程，g u r a r i e 等渊得到了方程( 1 1 5 ) 的瞬子解，b a ! o g h 等汹1 得到了在 边界控制下的强迫b u r g e r s 方程( 1 1 5 ) 的稳态解。 考虑到上述两种b u r g e r s 方程都具有重要的物理背景，人们就结合这两种 b u r g e r s 方程得到了更具广义的带强迫项的变系数b u r g e r s 方程，即 材，+ a ( t ) u u ，+ f l ( t ) u 口= r o ) ( 1 1 6 ) 其中非线性系数口( ，) ，耗散系数f l ( t ) 和强迫项r ( t ) 都是时间，的任意函数。目前 关于带强迫项的变系数b u r g e r s 方程的研究相对较少。g a o 等锄1 研究了在流体力学 中出现的带强迫项的交系数b u r g e r s 方程，得到了可能观察到的某些类孤波结构。 x u 等口妇运用h o p f - c o l e 变换法也研究了该方程，得到了该方程的多冲击波解。 上面所提到的( 1 + 1 ) 维b u r g e r s 模型，实际上是一种比较理想的模型，因为它 只能够描述一维问题。实际物理系统一般都是二维以上的高维系统，因此必须用 高维模型来描述。为此人们推广( 1 + 1 ) 维b u r g e r s 模型，得到了描述二维问题的如 下( 2 + 1 ) 维b u r g e r s 模型 跚2 “”，+ 口v u x + “+ 筇甜曩 ( 1 1 7 ) “j 2 ，y 其中口，为任意常数。关于该方程的研究已经有了很多，t a n g 等运用多线性 变量分离方法得到了该系统的y 形孤立波解及其演化特性：c a i 等汹1 利用推广和修 正的f 一展开方法获得了该系统多种形式的行波解；马正义m 1 采用分离变量法得到 内蒙古民族大学硕士学位论文 了( 2 + 1 ) 维b u r g e r s 方程分离变量解；k o n g 等汹1 利用扩展的双曲函数方法获得了 此系统的特殊类孤子结构：w e b b 给出了( 2 + 1 ) 维b u r g e r s 方程的p a i n l e v $ 性质和 一些精确解；徐昌智等汹1 运用变量分离方法得到了该系统新的孤波结构；w a n g 等运用辅助方程研究了( 2 + 1 ) 维b u r g e r s 方程，褥到了新形式的解。 1 2b u r g e r s 方程的研究意义 随着科学技术的发展，人们越来越重视对非线性科学的研究。作为非线性 科学的重要组成部分，孤立子理论与应用研究也必然地受到众多学者的关注。孤 立子解在光纤通信、流体力学和等离子体物理等领域中得到了广泛的应用。因此 寻找非线性演化方程的孤立子( 波) 解具有重要的理论和实际意义。经典的 b u r g e r s 方程是物理学和力学中经常出现的重要的非线性耗散方程，广泛地出现 在湍流、传热、传质、大气、水资源污染及连续随机过程等众多领域。人们重视 研究经典b u r g e r s 方程，不仅因为经典b u r g e r s 方程本身是大量物理现象的数学 描述和渐近模拟，而且对经典b u r g e r s 方程的深入研究也有助于其他许多非线性 问题的研究。 然而，正在上节所述，变系数b u r g e r s 系统和强迫b u r g e r s 系统更具有实际 意义。首先，变系数b u r g e r s 系统能够更好地反映出实际物理问题中介质性质的 非均匀性，如密度分层n 们以及边界的非一致性等。同时，变系数也能够提供许多 复杂情况下更为简便的物理模型，如长冲击波在非均匀两层浅水中的传播乜、多 维波在非线性介质中传播3 等。因此，当前科学与工程技术的许多领域都致力于 研究变系数非线性系统。其次，带强迫项的b u r g e r s 系统可以作为不同领域的各 种不同问题的理论模型，如湍流问题瞄1 、电荷密度波闯题3 、高温超导中的涡流 线问题以及无序固体的位错与外延生长问题等问题的研究中均找到了带强 迫项的b u r g e r s 方程。综上所述，对于变系数b u r g e r s 系统、带强迫项的b u r g e r s 系统以及带强迫项的变系数b u r g e r s 系统的研究具有更广泛而实际意义。另外， 变系数非线性系统、带强迫项的非线性系统以及带强迫项的变系数非线性系统的 研究更有难度，因此值得我们不断探索研究。 1 3 非线性波方程的主要研究方法 由于对非线性方程没有通用的解析方法，只能采取“对症下药 的方法。长 期以来，求解非线性波方程( 组) 一直是物理学家和数学家研究的重要课题，并在 近几十年来取得了很大的成就，先后提出了许多精确求解非线性波方程( 组) 的有 效方法，如比较早期的著名的方法一反散射方法、b a c k l u n d 变换法呻1 、h i r o t a 方法，以及近年来出现了许多新的有效研究方法如齐次平衡法m 1 、p a i n l e v 6 分析方法湖、对称约化方法、t a n h 函数展开法、变量分离方法力、j a c o b i 4 变系数b u r g e r s 系统的孤波结构研究 椭圆函数展开法m 1 等等。但是由于非线性波方程的复杂性，目前还有许多重要的 非线性波方程( 组) 无法精确求解。因此探索求解非线性波动方程的有效可行的方 法仍然是一项重要而艰巨的任务。下面具体介绍与本文相关的研究非线性方程的 几种研究方法。 1 3 1 齐次平衡法 王明亮提出的齐次平衡法m 心1 作为寻找非线性方程的精确解的直接有效的 方法，其基本思想如下： 对于给定的非线性偏微分方程，假定有两个自变量x ，r p ( u , u ，口。，) = 0 ( 1 3 1 ) 式中p 一般表示多项式函数，有一个函数，= w ( x ，f ) 如果存在另一个函数 f - - f ( w ) ，那么函数厂( w ) ，厂( w ) 工，( w ) ，( w ) 口，厂( w ) 口，厂( w ) 撑等的 适当的线性组合，就是方程( 1 3 1 ) 的解。 齐次平衡法的主要步骤如下 步骤l ：由函数f c w ) 的各阶导数组成的解设为 出，) = 篙+ g 【似) 】 = 肿帕钟钟+ g ( w ) 】 ( 1 3 2 ) 此解一般称为形式解，这里朋和刀是非负整数，g 矿( 计】为低阶偏导数的项，然 后通过对方程( 1 3 1 ) 中的最高阶导数项与最高次非线性项的部分平衡分析来确 定对空间g ) 和时间( ，) 的最高阶的导数小和疗。 步骤2 ：将( 1 3 2 ) 式代入方程( 1 3 1 ) ，经过求导整理后，集合w ( x , t ) 的偏 导数的最高幂次的全部项，并令其系数为零，可得关于厂( w ) 的常微分方程，解 这个方程可得 f = g ( w ) ( 1 3 3 ) 步骤3 ：由( 1 3 3 ) 式出发，将前一步所得方程中的( w ) 的各阶导非线性项 换成( 忉的高阶导数线性项，然后将厂( w ) 对m ，相同导数项整理在一起可得 f f w ( x ，) 】 - - - 0 ( 1 3 4 ) 内蒙古民族大学硕士学位论文 5 一 令厂( w ) 的各阶导数前系数为零，得到w ( x , t ) 的一组齐次微分方程组 i - i ( w ) = 0 ( i 3 5 ) 方程组( 1 3 5 ) 使关于以葺f ) 及它的各阶导数的齐次方程组，因此根据齐次方程 组的特性一般可设 w ( 工，f ) = 1 + e x p ( k x + t + c o ) ( 1 3 6 ) 其中k ，c 。是任意待定常数，把( 1 3 6 ) 代入( 1 3 5 ) 就可得到一组代数方程 组，求解这个代数方程组就可以确定需要确定的常数。 步骤4 ：将以五f ) ，f c 以及所确定的一些常数，代入( 1 3 2 ) 就可得到方 程( 1 3 1 ) 的精确解如果以五f ) 设为 w ( 工，r ) ：l + 兰口，e ( 椭+ 1 3 - i - 兰n - i6 。e ( 柳+ m ，p + ( ，+ ，弦 +乞纂，巍ei-k l - - kk - i 咖m ( 1 3 7 ) + c 时 。，广耵厂厨l ，1 “吖厂” ，、 + 2+ l 上j ，j + + ：p ( 用i + 册2 + + 埘n n + i + ，2 + 。+ t n w 可得到某些方程的多孤子解。对于( 2 + 1 ) 维的方程来讲w ( 五f ) 也可设为如下分离 变量的形式弱1 以x ，) = a o + a lp ( x ，f ) + 9 1 2 9 ( y ) + 口3 p ( x ，) 曰0 力 ( 1 3 8 ) a o ，a l ，a 2 为待定常数，p ( x , t ) 是x ，t 的待定函数，q ( y ) 是y 的待定函数。这 时可以得到所研究方程的分离变量形式解。 齐次平衡法是寻找非线性波方程孤波解的十分有效的方法之一，这种分析方 法能够得到一大类非线性物理模型准确解。 1 3 2 推广双曲函数展开法 张桂戌等提出的推广双曲函数法h 巩剐的基本思想是利用非线性方程孤立波 解的局部性特点，将方程的孤立波解表示成为双曲函数的多项式形式，从而将非 线性波方程的求解问题转化为非线性代数方程组的求解问题。最终获得非线性方 程的精确孤立波解。 推广双曲函数展开法具体步骤如下： 步骤l ：孤立波是一种特殊的行波，方程有行波解要求该方程仅有单变量 手= 缸一c t 4 - ，其中k ( 波数) 和c ( 频率) 为待定常数，j 为任意常数。这样 6 变系数b u r g e r s 系统的孤波结构研究 甜化，) = 掰( 手) 。通过下面的导数变换可将非线性波方程转换为标准的仅关于变量 f 的常微分方程 砉一噎，昙= 嗉 m3 一= 一f ，一= 露一 ( 1 3 9 ) a t 8 芒 。a ) c 8 芒 、。 步骤2 ：为了得到常微分方程的精确孤立波解，引入两个基本孤立波函数厂和 彤) = 丽1 ， g 停) = 丽s i n h f ( 1 3 1 0 ) 其中，为非负的待定常数。厂( 孝) 和g ( 手) 满足耦合的r i c c a t i 方程 厂( 孝) = 一( 孝) g ( 孝) ，g ( 孝) = l 9 2 ( 善) 一矿( f )( 1 3 11 ) 及其首次积分 9 2 ( 孝) = 1 - 2 r f ( f ) + ( ，2 一1 ) f 2 ( f ) ( 1 3 1 2 ) 步骤3 ：假设微分方程的解矽是一个关于厂和g 的m 阶多项式，即 用啊 1 = a j f + 以f 广g ( 1 3 1 3 ) 其中，a l ( 汪o ，l ，2 ，朋) 和b j ( - ，= 1 , 2 ，m ) 为待定常数，通过平衡微分方程的最高 阶微分项和非线性项的阶数，确定孤立波解多和阶数m 。 步骤4 ：构造该m 阶多项式，将该多项式代入上述微分方程，根据( 1 3 11 ) 和( 1 3 1 2 ) 式，使得所得方程的各项中只有厂和g 的幂次项且g 的幂次不大于l 。 合并厂和g 的同次幂项并取系数为零，就可以得到一个包含所有待定系数的非线 性方程组。 步骤5 ：针对所得到的非线性代数方程组，应用吴文俊消元法或g r 占b n e r 基 方法确定所有待定常数。 推广双曲函数法作为求解非线性波方程孤立波解的一种非常重要的方法，其 思想简明、直接，此方法适合求解一大类非线性波方程。 1 3 3 映射法 映射法强l 铡是另一种求解非线性演化方程的方法，其最大的特点是可以有无 穷多个不同形式的设解，使得最终求得的解丰富多彩。这种方法的基本思想是用 一个可解的r i c c a t i 方程来“扰动一待求方程，从而利用r i c c a t i 方程的形式解来 内蒙古民族大学硕士学位论文 7 一 统一构造待求方程的显示解。 这种方法的一般步骤为： 对于给定的发展方程 p ( u ，“，材，u u j ，甜射，甜嚣，) = 0 ( 1 3 1 4 ) 作变化u ( x ，f ) = “( 孝) ，孝= x - c t ，并寻找相应常微分方程如下形式的解 u ( x ，f ) = ( 孝) ：兰口，1 ，t ( 1 3 1 5 ) t = o 其中的参数万为正整数且可通过平衡非线性项和最高阶线性项来确定。并且 i , - - v ( f ) 满足带有参数的r i c c a t i 方程 ，7 = b + v 2( 1 3 1 6 ) 其中的v 是善的函数，善= x c t ，c 是行波的速度，然后将( 1 3 1 5 ) 代入( 1 3 1 4 ) 利用( 1 3 1 6 ) 式反复化简，合并v 的同类项并令v 的各次方项前的系数为零得到 关于函的方程组，从而解出口，。最后将求得的a ，和方程( 1 3 1 6 ) 的形式解v 代入 ( 1 3 1 5 ) 式便可得到方程( 1 3 1 4 ) 的解。我们可以利用参数b 的符号判断所得行 波解的数量和形状，因为方程( 1 3 1 6 ) 有如下三种形式的特解 l 、当b 0 时，方程( 1 3 1 5 ) 有如下周期解 1 ，= 拓t a n ( 砖) ( 1 3 1 9 ) y = - b c o t ( q r b ( ) ( 1 3 2 0 ) 3 、当b = 0 时，方程( 1 3 1 5 ) 有如下的有理解 v = 一二 ( 1 3 2 1 ) 亏 对于给定的发展方程( 1 3 1 4 ) ，如果设它有如下形式的解 t g - - 彳( x ) + 量e ( x ) y 【9 ( 力】+ c v 川幻( 功】0 再了i 丽 ( 1 3 。2 2 ) i i l 其中v 满足方程( 1 3 1 6 ) ，这里x = ( x o = f ，而，屯，) ，a ( x ) ，骂o ) ，c j ( x ) 和q ( x ) 为待定的工的任意函数。将( 1 3 2 2 ) 和( 1 3 1 6 ) 式代入( 1 3 1 4 ) 就可以得到一组 8 变系数b u r g e r s 系统的孤波结构研究 4 ( x ) ，忍( x ) ，e ( 工) 和g ( x ) 的约束方程。通过约束方程求的变量4 ( x ) ，尽( x ) ， g ( x ) 和q ( x ) ，再根据r i c c a t i 方程( 1 3 1 6 ) 的特解就可以确定所求方程的解。这 种方法即为改进的映射法队聒5 7 1 。 1 4 本文主要研究内容 本文利用推广的双曲函数展开法，齐次平衡法和映射法等研究非线性方程的 有效方法，分别研究( 1 + 1 ) 维变系数强迫b u r g e r s 方程和( 2 + 1 ) 维变系数b u r g e r s 方程，得到它们的带有任意函数和任意常数的精确解，其中包括多孤立波解。根 据所得到的精确解，用图形分析方法对这些系统的孤波结构进行分析，进而找 到形状、运动学特征不同于通常孤立波的一些特殊孤立波并对特殊孤立波的相 互作用进行分析。 全文共分四章，第一章为绪论部分，首先对b u r g e r s 方程的发现及研究过程 进行了概述并对b u r g e r s 系统的研究意义进行了简要论述。其次介绍了在本文中 所用到的研究非线性方程的几种研究方法。最后介绍了本文的主要研究内容。 第二章的内容可分为两个部分。第一部分中我们运用推广双曲函数展开法研 究( i + i ) 维变系数强迫b u r g e r s 方程，得到该方程的精确解。采用图形分析的方 法对所得到的精确解进行分析，得到相应的孤波结构。由于我们得到的精确解中 包含有任意函数和任意常数，所以能够得到形状、运动学特征不同于通常扭结孤 立波的特殊扭结孤立波。第二部分中我们利用齐次平衡法研究( i + 1 ) 维变系数强 迫b u r g e r s 方程，得到该方程的多孤立波解。根据多孤立波解，用图形分析方法 对特殊孤立波之间的相互作用进行分析，研究它们相互作用的性质。 第三章的内容也可分为两个部分。第一部分中我们利用推广双曲函数展开法 对( 2 + 1 ) 维变系数b u r g e r s 方程进行研究，得到该方程的精确解。采用图形分析 的方法对所得到的精确解进行分析，得到该方程的各种特殊扭结孤立波。第二部 分中我们利用映射法研究( 2 + 1 ) 维变系数b u r g e r s 方程，得到( 2 + 1 ) 维变系数 b u r g e r s 方程的精确解，同样用图形分析的方法对所得到的精确解进行分析，得 到该方程的各种特殊扭结孤立波。据我们了解，对于( 2 + 1 ) 维变系数b u r g e r s 方 程目前还没有文献进行过研究，这是本文的一个创新之处。 第四章结论部分，全面总结了本文的主要研究工作和所得到的一些主要结 论。 2 ( 1 + 1 ) 维变系数强迫b u r g e r s 方程特殊孤波结构 本章利用推广双曲函数展开法和齐次平衡法，研究( 1 + 1 ) 维变系数强迫 b u r g e r s 方程，得到该方程带有任意函数和任意常数的精确解，其中包括多孤立 内蒙古民族大学硕士学位论文 9 一 波解。根据所得到的精确解，用图形分析方法对该系统的孤波结构以及孤立波之 间的相互作用进行分析。 2 1 ( 1 + 1 ) 维变系数强迫b u r g e r s 方程的精确解及特殊孤波结构 2 1 1 ( 1 + 1 ) 维变系数强迫b u r g e r s 方程的精确解 通过平衡( i + i ) 维变系数强迫b u r g e r s 方程( 1 1 6 ) 中的最高阶导数项和最 高次非线性项可得，= l ，因此按照推广的双曲函数展开法的基本思想瀚剐，把 方程( 1 1 6 ) 的解可设为 u ( x ，d = 口o o ) + 口l ( r ) 厂( 善) + 厶( ，) g ( 善) ( 2 1 1 ) 其中 孝( x ，f ) = k ( t ) x + c o ) ( 2 1 2 ) 而 ( f ) ：熹，g ( f ) = 黑 ( 2 1 3 ) c o s h 芒+ rc o s h 亡+ r 另外，f ( 9 n ) 和g ( 善) 满足如下r i c c a t i 方程组 ( ( f ) = 一八毋g ( f ) ，g ( 乡) - l - ，9 2 ( o 一矿( f ) ， ( 2 1 4 ) 9 2 ( 手) = 1 2 矿( 手) + ( ，2 1 ) f 2 ( 孝) 这里州”表示导，厂为任何实数。将式( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 代入方程( 1 1 6 ) ， 口亡 并进行行波约化可得 a oo ) + a l ( ，) ( 0 + a l ( ，) 厂( 孝) 工老( ，) + 口l ( ) 厂( 孝) c ( f ) + b ，( ，) g ( 0 + b l ( ，) g ( 善) 赡( ，) + b i ( ，) 9 7 ( 手) c ( f ) + a ( t ) a o ( f ) 口l ( f ) 厂( 手) 七( f ) + o t ( t ) a o ( f ) 6 i ( ，) g ( 孝) 尼( ，) + 口( ，) 口；( ，) ( 孝) ( 孝) 七( ，) + o t ( t ) a 。( ，) ( 毋6 l ( ，) g ( 孝) 七( ，) + 口p ) 6 1 ( f ) g ( 孝) 口i ( f ) 厂( f ) 七0 ) 4 - 口( f ) 6 f ( ，) g ( 孝) g ( f ) 七( ，) + f l ( t ) a i ( ，) 厂( 孝) 七2 ( ，) + ( d 历( ，) g ( 乡) 七2 ( ，) = r ( t ) ( 2 1 5 ) 将式( 2 1 4 ) 代入式( 2 1 5 ) 计算，可得到关于八f ) 和g ( 孝) 的方程，令( f ) 和 g ( 孝) 的系数为零，得到如下关于待定系数的非线性代数方程组 ， a o ( ，) 一j i c ( ，) = 0 ， b l ( f ) = 0 口( f ) 口 ( f ) 七( f ) 一口o ) 斫o ) 七o ) r 2 + 口g ) 6 ( f ) 七( f ) + 2 f l ( t ) b f ( t ) k 2 ( t ) r 2 - 2 f l ( t ) b i ! ( t ) k 2 ( f ) = 0 2 f l ( t ) a l ( ，) j i 2 ( t ) - 2 a ( t ) a l ( ，) 6 l ( f ) 七( ，) 厂2 + 2 a z ( t ) a i ( f ) 6 l ( f ) 七( r ) + 2 f l ( t ) a l ( ，) 七2 ( ，) ，- 2 = 0 b l ( ，) 七( ，) r = 0 r a l ( ，) + 6 l ( ，沁( ，) ，+ ( ，) 口l ( ，) 七2 ( r ) + z ( ，) 口o ( f ) 6 1 ( o k ( o r a ( t ) a i ( ，) 6 l ( ，) 七( ，) = 0 口l p ) 七( ，) = 0 一口l ( ，) c ( ，) + 口( ，) 6 ；( r ) 七( ，) ，一p ( t ) b l ( ，) 七2 ( r ) ，- - o t ( t ) a o ( ，) 口l ( ，) 七( ，) = 0 b l ( f ) f ( r ) - b 1 ( ，) 七( f ) ，- 2 = 0 一b , ( o c ( ，) 厂2 - c t ( t