（理论物理专业论文）应用iwop技术从经典变换构造幺正变换算符.pdf

摘要 我们用i w o p 技术构造厂可实现经典征则变换a 的幺i ( e ：i 算符u ( a ) ，当a 为j a c o b i a n 变换矩阵时，u ( a ) 可将独、z 粒子华标及 动量转给为相应的j a c o b i a n 坐标及动量，从而简化对于一些：直接依赖 于j a c o b i a n 坐标的哈密顿量的求解。j 训时，些特定的纠缠态，如三 粒子纠缠态，可通过适当选取的u ( a ) 作用于直积态而得到。此外， 对某些可通过变量代换而去耦合的问题，由待定参数所得出的a 可使 问题得到直接求解。 本文主要内容如下： 第一章：简单介绍常用的表象。 第一章：简要介绍有序算符内的积分技术( w o p ) 与应用。 第三章：、”r j l w o p 技术从经典变换构造幺诈变换算符 第四章：总结 关键词：j a c o b i a n 变换，止规编序，i w o p 技术 a b s t r a c t u s i n gt h ei w o pt e c h n i q u e ，w eh a v ec o n s t r u c t e dt h eu n i t a r yo p e r a t o r u ( a ) t h a tc o u l dr e a l i z et h ec l a s s i c a lc a n o n i c a lt r a n s f o r m a t i o na i fai s t h ej a c o b i a nt r a n s f o r m a t i o nm a t r i x ，u ( a ) w o u l dt r a n s f o r mt h ep o s i t i o n a n dm o m e n t u m o p e r a t o r sf o ri n d e p e n d e n tp a r t i c l e st ot h ec o r r e s p o n d i n g o p e r a t o r si nj a c o b i a nf r a m e w o r k i nt h i sw a y ，m a n yh e r m i t i a n s d e p e n d i n gd i r e c t l yo nj a c o b i a nc o o r d i n a t e sc o u l db es o l v e dm o r ee a s i l y ， a n ds o m ep a r t i c u l a re n t a n g l e ds t a t e s ，s u c ha st h e3 - p a r t i c l ee n t a n g l e d s t a t e ，c o u l db eo b t a i n e dt h r o u g ht h ea c t i o no fu ( a ) o nt h ea s s o c i a t e d s e p a r a b l es t a t e f u r t h e r m o r e ，f o rh e r m i t i a n ，i nw h i c ht h ec o u p l i n gc o u l d b er e m o v e db yt h ev a r i a b l er e p l a c e m e n t ，a p p r o p r i a t eu ( a ) c o u l de n a b l e u st os o l v et h ep r o b l e md i r e c t l y t h em a i nc o n t e n to ft h i sp a p e ri sa r r a n g e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e ri ，w es h a l ls h o r t l yi n t r o d u c ec o m m o nr e p r e s e n t a t i o n s i nc h a p t e ri i ，w es h a l lb r i e f l yi n t r o d u c et h et e c h n i q u eo f i n t e g r a t i o nw i t h i na no r d e r e dp r o d u c t ( i w o p ) o fo p e r a t o r sa n di t s a p p l i c a t i o n s i nc h a p t e ri i i ，b yu s i n gt h et e c h n i q u eo fi n t e g r a t i o nw i t h i na n o r d e r e dp r o d u c t ( 1 w o p ) o f o p e r a t o r sw ew i l ls e tu pu n i t a r yt r a n s f o r m o p e r a t o r sf r o mc l a s s i c a lt r a n s f o r m s k e y w o r d s ；j a c o b i a nt r a n s f o r m a t i o n ，n o r m a lo r d e r i n g ，t h et e c h n i q u e o f i w o p 致谢 本文是在导师范洪义教授的悉心指导下完成的，对于论文的完 成，范老师给予了无私的帮助和具体的指导。在此，谨向范老师表示 最诚挚的敬意和衷心的感谢! 在此期间，范老师对科学的热忱，严谨 的治学态度，丰富的创造性和敏锐的洞察力以及他j f 赢的为人对我今 后无论是在做人，做事，还是做学问f j 都产牛了深刻的影响，使我受 益终生! 另外实验室的唐绪兵，j i 彤彤等同学给予+ 厂大力的帮助和指导，在 此也向他们表示感谢。 胡珊 2 0 0 6 年5 月 第一章常用表象 1 1 坐标、动量表象和粒子数表象 1 令q 、p 分别为厄密的坐标和动量算符，且满足海森堡正则对 易关系( 方为普朗克常数) 2 q ? p _ i h 1 1 假设q 和尸的本征态分别是l g ) 和i p ) ，l j l l j 有 qq ) = g lq ) ( q lg ) = 万( g 一q ) ；1 2 p lp ) = p i ，) ，( p ip ) = 艿( p 一p ) ； 1 3 且 ( 9 忙h d ( g f ，( p 陆肪暑( 驯 1 4 我们所熟知的完备性关系是 ；。o d qq ) ( qi = 1 ，f ：) d pp ) ( p = 1 1 5 用q 和p 定义湮灭算符。和产生算符口+ ，以+ 是日的巳- - 小- - - 八- l d 轭， 口= 击 麇+ i 志 口f = 去 麇一赢p 则易有 哪+ = 1 定义粒子数算符j v = 口+ 口，它的本征态记为in ) ，则有 ( 门i m l 门) = 口 门) j2 o l 门) 中的最低个态lo ) 为基态，则必然有口lo ) = 0 。容易证明 协南f o ) 1 7 门) 张成的空间是完备的 3 而且 愀胛l = 1 ， f j ：( ) 1 8 口l 胛) = 石卜1 ) ，臼in ) = 厢旧1 ) 1 9 吲俐i h g 击 厚志” = 去( 犀压珈。， 即 o ) _ c e x p 愕m o ) 曰2 其中c 是归一化常数，可以由下式定出 _ ( 0 1 0 ) = ! 帅( 9 | 旷l c | 2 量蛳p 卜万7 7 0 ) g2 h 2 厩 钏o ) = 唧一g2 ( 笔) i l 1o 1 11 1 12 1 13 以下为方便起见，取自然单位( 友= = m = 1 ) ，则由( 1 7 ) ，( 1 5 ) 和式( 1 13 ) 得 萨击m 臼_ g f ) 由 = 志f ：) 砌卜射m 刮( q 利用厄米多项式得表达式 或 d 、1 ”一号 r 石j j 小p e j l - h 卜射 ，( g ) = p 2 g 一i 1 14 1 15 嘶一p = 篓描y 埘6 则( 1 14 ) 式变为 蚓萨赤粕如) 1 17 由( 1 8 ) 和( 1 17 ) ，可以写出坐标本征态ig ) 的f o c k 表象 g ) 2 萎1 10 l 门) ( 门l g ) 2 善0 l ，2 j 赢7 已2 ，( 9 ) = ，p 、z ”门 、 玎唧卜西+ - 钟 其中用了厄米多项式的母函数公式 羔掣一p ( 2 俨，2 ) 厶一n = o 71 1 、。7 类似可以导f - j 动量本征态的f o c k 表象为 1 18 1 19 = 批n = o 咖) = 7 - u 4 e ? 21 薹- 扣，- 0 v 玎唧悟枥口+ + 钟， ，御 注意当恢复m ，缈，向后，lg ) 和ip ) 的表达式应分别是 萨( 荆4 唧一n臼+ 一钟 m 厚 p ) = 厂4 唧 _ 乇+ 0 11 2 2 了 妒 忘 1 2 相干态的定义与若干性质 归化的相干态 4 ，5 表达式是 z ) - - d ( z ) 。) = e x p 一吉| z2 + z d j 。) d ( z ) = e x p e 万+ z 口 ， 其中z 是复数，且d ( z ) 有卜列性质： z ) d ( z ) d ( z) = 。( z + z ) e x p 圭( z z 一z + z ) ， d ( - z ) = d 。| ( z ) = d + ( z ) ， d 一( z ) a d ( z ) = 以+ zd 一 是湮灭算符口的本征态 z ) 是无穷多个粒子态的叠加 ( z ) a + d ( z ) = a + + z + c 啦) = z lz ) z ) f z ) = e - i ：l ：2 薹杀l 门) 与坐标本征态不同，相干态是非正交的，易证 ( z lz ) = e x p 一吉( 1 z i2 + i z 1 2 ) + z 。z 相干态的另+ 个重要性质是超完备性，其证明如下： 辟l z ) ( z l l0 ， 2 二p 2 ” j d o e 一 0 门) ( 门l = 1 ，、 ，砂川矽 门) ( 胛 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 2 6 1 2 7 1 2 8 1 2 9 1 3 0 。 。i 参考文献 1 范洪义，量子力学表象与变换论，上海科技出版社，1 9 9 7 2 d i r a cp a m t h ep r i n c i p l e so fq u a n t u mm e c h a n i c s ，o x f o r d ： c l a r e n d o np r e s s ，19 3 0 3 f o c kvz e i t sf a rp h y s ，19 2 8 ，4 9 ：3 3 9 4 j r k l a u d e ra n db s s k a r g e r s t a m ，c o h e r e n ts t a t e s ，w o r l d s c i e n t i f i c ， 19 8 5 5 r j g l a u b e r19 6 3p h y s r e v 13 02 5 2 9 ；r j g l a u b e r19 6 3p h y s r e v 1312 7 6 6 ； 第二章有序算符内的积分技术( 1 w o p ) 与应用【卜6 有序算符内的积分( i n t e g r a t i o nw i t h i na no r d e r e dp r o d u c t ) 技术 简称i w o p 技术，是在d i r a c 符号法的基础上发展起来的种量子力 学算符运算技术，它是一种特殊的数学物理，使得d i r a c 符号法更完 善，更具体，能更好的表达物理规律。 2 1 正规乘积的性质 对于玻色算符a 和a + 的如何函数不失般性可：弓为 & + j 口k 日+ 1 a r ( j ，k ，f ，棚) 其中，k ，f ，朋是正整数或零。利用玻色算符对易关系 “，日+ = 1 ，总可 以将所有的产生算符c ，+ 都移到所有湮灭算符臼的左边，我们称厂( 口，口+ ) 已被排列成正规乘积形式，以：标记【7 。可借此来发展d i r a c 的符号法 与表象理论。 有关正舰乘积的性质有： ( 1 ) 在正规乘积内部玻色子算符相互对易。即以+ 以= ：臼日：， 口+ & ：日日+ ：，所以又有：a + a ：口a + ： ( 2 ) c 数可以自由出入正规乘积记号。 ( 3 ) 由于性质( 1 ) ，故可对正规乘积内的c 数进行积分或微分运 算，前者要求积分收敛。 ( 4 ) 正规乘积内的正规乘积记号可以取消。 ( 5 ) 正规乘积：与正规乘积：v ：之和为：( + ) ：。 ( 6 ) 正规乘彩、开”a - , h 一 ：厂( 口+ ，日) ：的相干态矩阵元为 ( 7 ) 真空投影算符i o ) ( o l 的正规乘积展开式是 下面我们给出其式的严格证明，由粒子态的完备性- - h j 何z r ，= 鲫小1 1 羔1 7 = 1 7 。i 志”( z y | | ：。 0v ，f ：，f ： 1 “ 一却( 。e - * a 1 = = 0 2 2 设lo ) ( o | 的正规乘积形式是：w ：( 待定) ，f - e l 式 得 一p p 参一一t 。 可见：w ：的左右两边恰分别为产生算符和湮灭算符，故可完全括在j e 规乘积记号：的内部，再利用性质( 3 ) 和( 4 ) 完成微分运算，得到 = = e x pp 参p l = = = 8 剐订：眦 2 4 所以我们有io ) ( o = ：w ：= ：e 札：，得证。同时，利用这个关系，可得 n ( n 一1 ) ( 一f + 1 ) ：n ( n 一1 ) ( 心一f + 1 ) l 以) ( 以 =喜：而afnd e “t “r 口， = 07 f， 用此结果可把i o ) ( o i 进一步写成 。) ( 。l = 善尘兰艺 二生- l - n + 去( 一t ) 一击( 一) ( 一2 ) + 2 6 ( 8 ) 包米共轭操作口j + 以进入：内部进行，即 ：( 矿) ：+ ：( 矿) + ： 这条也与性质( 1 ) 密切相关。例如( ：“”“一：) + = 口n ( 9 ) 正规乘积内部以f 两个等式成立，它们也来源于性质( 1 ) ：纠删+ ) ：和似+ ， ：嘉竹z + ) ：书小) ： o 2 对于多模情况，上式可作如下推广 ：言 ( 即一一，+ 一，+ ) ：= ( 一一r + 一，弘，+ p 2 9 2 2 正规乘积内的积分技术 正凶为有了j i e 规乘积的这一一系列。t _ - 生- 质，我们就可以很川页利地将 形如f 牟| g ) ( 9 l ( 妇，一6 ，口型算符) 的被积算符函数化成正规乘积内 、p 的积分形式，将：内的玻色算符作积分参数处理，使积分得以实现。 当然，在积分过程中和积分后的结果中都含有- 记号。如果将最后的 结果的算符排成正规乘积形式，就可以将_ 记号去掉。我们称此技术 为正规乘积内的积分技术，它是有序算符内的积分技术的一科，。 根据上述的算符函数的积分思想，我们具体去对这个积分型算符 作积分处理。现将式( 1 18 ) 代入，并令方= 万：朋= 1 ，得 硗叭以小硗唧 丢+ 压圳 巾) ( o | e x p + 痂2 2 。 把l o ) ( o i = ：p “：代入，得 磅咖i = 量老唧( _ 砉+ 压圳1 c ： e x p ( 一譬+ 4 5 9 口一吉口2 2 ， 我们很清楚地看到，在：p 1 ，“：的左边是产生算符函数，也边是湮 灭算符函数，根据前面的性质，整个被积的算符函数很容易排成正规 乘积形式。可将左边的：移到第个e x p 函数前，将右边f f , j ：移到第三 个e x p 函数后，然后在：内就町以将三个e x p 函数进行合并。 于是式( 3 11 ) 写成 磅批以小量嘉e x p ，+ 舟山睁a 拇“) 2 = 2 ，2 将口：币3 a + 视为积分参数，利用性质( 3 ) ，积分得 g 洲= s e c h - 2 - e x p 悟咖m ( s e ch a - 1 矽叶扣m j ：2 1 3 c a l = ，t l s e c 向允= 而2 , u ，c a n m = 鲁 2 14 “+ l 为了能够把式( 3 1 3 ) 中的：记号去掉，用正规乘积性质- ( 1 ) ，( 2 ) 和( 5 ) 导出个算符恒等式 = ： ，1 = i j 州巾n = 0 0 舟r 州蔫v ： v ，z ： 去( p _ 口+ 臼) n p 一“t “：= ：e x p ( p _ 一，) 臼t 口 ： 2 ，5 这样就可以轻松将( 3 13 ) i ：1 7 1 的- 记号去掉了 咖卜x p 挣砌旯 e x p ( 口t 口+ 1 ) x l ns e c h a e x p ( 知_ 所以，我们可以得到 三s ，( ) ，= e 。 s 。+ ( ) lg ) = 扛旧) s r 。i 。) = s e c h 2 2 e x p 一兰三：t a n h 五 f 。) 2 16 2 17 2 18 在单模压缩算符s 的作用下，式( 2 18 ) 就是个压缩真空态。 下面来讨论这个单模压缩算符s 有关的性质。 根据( q l q ) = 万( g q ) ，我们容易验证s 是个么正算符，即 幽一扛 r j ， e 。脚 = z p 堕扛 r j $ i 十= f j & 型t 川l l - t 型, uk l = ) 矧七邓s 再者，利用算符恒等式( 即b ak e r h a u s d o r f f 公式) 一肛。= b + b 】+ 击邶 + 击一伽删+ 2 19 容易得出 s j a s + = a c o s hi t + a + s i n h 允 s 仃+ s ：仃+ r n s hl + as i n h 彳2 ，n 这就是著名的b o g o l y u b o v 燹抉 8 ( 也称为压编焚换) 。 ( 1 ) 上述讨论表明用d i r a c 的坐标本征态按( 2 1 0 ) 式构造算符，并用 i w o p 技术积分后就给出诱导b o g o l y u b o v 变换的么正算符。 ( 2 ) 即在相窄间中的尺度变换9 斗q 1 能够映射出量子么正变换 s , q s i = a q ，s i p s i = p a 。 ( 3 ) 单就单模压缩算符s ( 式( 2 16 ) ) 本身的结构考虑，因为冬t - ， 譬，a 十。+ 圭可构成s u ( 1 ，1 ) 李代数。但是我们在推导过程中无需也没有 用到李代数的方法。这表明，从d i r a c 的基本表象卜b 发，利用i w o p 技术可揭示出有用的变换。 此外，用i w o p 技术可以改写坐标表象1 9 ) 的态完备性，在 ( 2 12 ) 式中令上卢1 ，得到 e 由l g ) ( g i = e 鲁：e x p 一g2 + 压g g + + 口) 一垒丛 = ：e x p 言( 口十+ 臼) 2 一圭( 日+ 口+ ) 2 ：= t ， 同样，可得动量表象f p ) 完备性 肼( p i 咖= 万1 蛳x p _ p2 + x 互i g ( ) 一圭( = ：e x p 圭( 口十一口) 2 一圭( 臼一( 7 + ) 2 ：= ， 注意式( 1 6 ) 也可以将上面两式改写成纯高斯积分形式 尉以小湖岫x p k 外， 愀p l 咖= 这里q = 击o “) ， j = ：) 咖e x p 一( ，一p ) 2 = ：1 j p = 去( “一) 。 我们也可以很容易证明相干态的超完备性 严d 2 z i l 扣。万。 z ) ( z i：j = ：) 譬唧卜譬1 1 ( 0 | 唧 一粤“口 = 譬：e 酬z i 2 + 口10 ：= = e x p 【乜北= 1 ) 2 利用i w o p 技术，我们可以极为方便地导出若干重要的算符恒等式。 上石 2 3 反正划乘积内的积分技术 反正规乘积的定义与正规乘积具有同等的地位，将反正规乘积记 为! ：；其有关性质也与正规乘积相似，即 ( 1 ) 在反正规乘积j ；内的玻l j l 升a - - 可以对易。 ( 2 ) 在 ! 内的! ! 可以取消。 ( 3 ) 可以对； 内部的c 数积分，只要该积分收敛。 ( 4 ) 真空投影算符反正规乘积形式是 f o ) ( 0 i = 砸( 口) 万( a 十) = 拳洳2 f 口+ 2 2 1 用正规乘积内的积分技术，我1 7 1 - q - 以得到 历( ) 万z * - - 0 + ) = 华吖卜叫小- ) = 辟e x p m2 _ i 孝+ z - - a + ) 喈( ) ： = ：e x p i z f2 + z 以+ + z 日日+ 日1 ：= i z ) ( z l 2 2 2 当z = o 时，即是式( 2 21 ) 下面将给出密度算符p 的反正规乘积排列 9 ，以此可计算般算 符进行反正规排列的公式。 m e h t a 1o 曾给出一个由p 求其p 表示尸( z ) 的公式，即 p ( z ) = 扩| 2 晔( 一) e x p + z 一z + ) ， 2 2 3 这里( * z - - z + ) 是纯虚数，可将此式视为富氏变换： ) 为相干态， 则 p = 乎( 一j p l 4 ) e j 2 庠e x p ( 瞄砌) 辟唧i + ( 以邯_ 纠 e x p ( 口一一f 孝+ ) z 2 2 4 利用反正规乘积技术对一e 式中的d ：孝和d ：z 积分，得 p = 晔俐p 协x 们2 + n 柏+ 砒 i o 2 2 5 这就是密度矩阵p 的反正规乘积展开式。 , 肖4 y - g j 。+ ，对于般的算符厂( a j 口+ ) 来说，只要能求出其对应的 相干态矩阵元，就可以利刖i 式( 2 2 5 ) 在 i j 积分：直接导出以 - , - 舁x z r 付a - t ； 的 反正规乘积展开表达式。 厂( 臼，口+ ) = p 加+ “的反正规乘积的展开表达式如下： 首先求出其相干态矩阵元( 一f 厂( 口，以+ ) i ) 则 ( 一i p 柚+ 。 ) = e x p 一e a + 1 ) j j 2 ， 2 2 6 将其代入式( 2 2 5 ) ，即 口柚+ = 。f d 乃：! # ：e x p 一p 。i 2 + + 口一a + + a + a l i 2 2 7 2 4 密度矩阵的w e y l 编序展开f l l l w e y l 对应规则 12 将经典函数直接对应于量子力学算符。如经典 函数q p ”的w e y l 对应算符是 9 p 一( 圭 ”7 兰1 = 0 万丁箸兰酽一p q 7 ， 2 2 8 可以看出，式( 3 2 8 ) 的右边是具有某种对称性的算符，我们称之 为w e y l 编序( w e y lo r d e r i n g ) ，以区别予其它编序，例如矿p 寸p ”， 矿p ”jp ”q 。 我们记；来反映w e y l 编序，按此定义重写w e y l 对应规则，即 向( j d ，q ) ；= 弦内向( p ，q ) a ( p ，g ) ， 2 2 9 其中( p ，g ) = r 堡2 r e 。| g + 兰) ( g 一兰j = + ( p ，g ) ( 坐标表象w i g n e r 算符) 它表明一个w e y l 编序算符；向( p ，q ) i 的经典对应能够直接的作 q 寸q ，p 寸p 而得到。 而式( 2 2 8 ) 可类似写成 ( 玎羔焉静印”q 7 刊”i 芝1 = 0 鼎印”q 7 j f 咖圳”兰i = 0 枷印么g ) = f d p d q q p ( 舢) 2 3 0 另一方面，q = 击( 臼+ 口+ ) ，尸= 历1 ( 乜一臼+ ) ，于是式( 2 2 9 ) 就可以变成 其中 质： g ( 甜，“4 - ) ；= 2 d2 口g ( 口，口+ ) ( 口，口+ ) ， 口= 击( q 十驴) ， 2 31 2 3 2 g ( 口，口) = h ( p ，q ) ， 2 3 3 ( 口，口+ ) = 7 r ：e x p 一2 ( a - + 一口) ( a 一口) ：。 2 3 4 诚如，与正规乘积和反正规乘积相似，w e y l 编序算符有如下性 ( 1 ) 玻色算符在；内部可以对易。 ( 2 ) 在；内的；可以取消。 ( 3 ) c 数司以任意移入或从；中撤出。 ( 4 ) 可以对；内部的c 数积分，只要该积分收敛。 我们可以从前面的四个性质中概括出w i g n e r 算符的w e y l 编序形式为 a ( p ，q ) = ；a ( p p ) 6 ( q q ) ；， 2 3 5 或者 ( a ，口+ ) ：导；占( 口一日) 万( a + 一口+ ) ；。 2 3 6 相应地，式( 2 2 9 ) 5 f i 式( 2 31 ) 就可以写为 向( j d ，9 ) ；= ；咖由g p 。万( p p ) d ( q o ) i ， 2 3 7 和 i g ( a , a 4 - ) ；= ；p2 口g ( 口，口+ ) 万( 口一日) 万( a i 臼+ ) ；。 2 3 8 现将相千态的超完备性关系纳入w e y l 编序形式。 先求出相干态投影算符iz ) ( z i 的经典对应，即 2 万t r i z ) ( z i ( ，口) = 2 ( z i ：p - 2 一口) 扣一：iz ) = 2 e x p 一2 ( z + 一口+ ) ( z 一口) ， 2 3 9 将它代入式( 2 3 8 ) ，可以得出iz ) ( z l 的w e y l 编序形式， ：) ( z l = 由性质( 4 ) ，得 2 ii d 2 c ze x p 一2 ( ：一口) ( z 一口) 万( 口一日) 万( 口+ 一日+ ) = 2 1 e x p 一2 ( z 一以+ ) ( z 一日) ；。 睁l z ) ( z l = 2 辟州一2z * - - a + ) ( ) ；= l ， 2 4 0 2 4 1 所以， z ) 的超完备性可纳入w e y l 编序。同样对密度算符p 来说， 也可纳入w e y l 编序形式 户= 辟俐州= 2 辟咐唧 一2z - - a + ) ( ) 卜 2 4 2 因此，、l - i 要- 我们知道了一个算符的尸( z ) 表示，就能由式( 2 4 2 ) 和 i w o p 技术算出该算符的w e y l 编序乘积。 如p 肋+ u ，将其反正规乘积式( 2 。2 7 ) 代入到式( 2 a 2 ) ，可以得到它的 w e y l 编序的形式 j i d2 z - a 唧 ( h 一川2 | z ) ( z 珐一。辟| e x p 把。) | z2 + 2 z a + 2 z a + _ 2 a + a 2 4 3 最后我们推导密度矩阵的另外一个w e y l 编序展开形式，把式( 2 2 3 ) 代入到式( 2 4 2 ) 得到 p = 2 睁i j2 ；晔( 一) e x p + p + z 堆。z * - - a + ) ( z a ! ) 掣寿 = 2f 塑7 忡例) e x p 2 * a - a + “口) 。 2 4 4 特- 3 1 j ， - 5p 为单1 , 2 - f f - h , j - ，式( 2 4 4 ) q 茭3 1 = 2 。f a 刀g _ p - e x p 一2 ( + “+ ) ( 一“) ； 2 4 5 另一方面，利用粒子态的完备性，我们可以知道( 口，口) 正规乘积展 开，其形式如一f ： ( 叫+ ) = 辟= e x 叫z | 2 + ( a + z ) n ( 口- z + ) + “ + 口z 一z 口+ 一f 口i2 ： = ；1 e x p 一2 ( 日+ 一口) ( 口一口) ： 2 4 6 由w e y l 对应规则( 2 31 ) 和式( 2 4 6 ) ，我们也可以将w e y l 编序算符 化为正规乘积形式， i e x p i 一2 ( + 口+ ) ( 一口) ； = 2 睁e x p _ 2 ( “) ( 一口) ( 叩) 三2 辟= e x p 2 + 口( 2 a w + ) “( 2 口一) - 2 a + a - # 12 ： = 2 ：e x p i 一2 ( + + 口+ ) ( 一口) ：。 2 4 7 从上章的讨论可知，i w o p 技术用来发展d i r a c 的符弓。法和表 象理论，使原有的d i r a c 表象理论更实用、史完美，能更好的表达物 理规律。它具有物理上的直观、内涵丰富、数学简洁的特点，体现量 子论数理结构内在的美。它能解决一些悬而未决的问题，开拓些新 的研究课题，特别对构造十分有用的新表象、连续变量纠缠态表象及 研究其新性质、新特征、相关的应用问题都很方便。 参考文献 1 f a nh y r e c e n td e v e l o p m e n to fd i r a c sr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y i n f e n gdh ，k l a u d e rjr ，s t r a y e rmr c o h e r e n ts t a t e n e wy o r k a c a d e m i cp r e s s 19 9 4 15 3 2 f a nhy ，z a i d ihr ，k l a u d e rjr p h y sr e v ，1 9 8 7 ，d3 5 ( 6 ) ：18 3 1 3 f a nhy ，z a i d ihr p h y sr e v ，19 8 8 ，a3 7 ( 8 ) ：2 9 8 5 4 f a nhy v a n d e r l i n d ej p h y sr e v ，19 8 9 ，a3 9 ( 6 ) ：2 9 8 7 ； a4 0 ( 8 ) 4 7 8 5 ；a3 9 ( 3 ) ：15 5 2 ； f a nhyf a ny u e p h y sr e v ，1 9 9 6 ，a5 4 ( 1 ) ：9 5 5 f a nhy p h y sr e v ，1 9 9 0 ，a4 1 ( 3 ) ：15 2 6 6 f a nhy ，r u a ntn s c is i n ，19 8 4 ，a 2 7 3 9 2 ；c o m m u nt h e o r p h y s ，19 8 3 ，2 ( 4 ) ：12 8 9 7 w i c kgp h y sr e v ，19 5 0 ，8 0 ：2 6 8 8 b o g o l y u b o unn l e c t u r e so nq u a n t u ms t a t i s t i c s ，( v 0 1 1 ) n e wy o r k ： g o r d o na n db r e a c h ，19 87 9 f a nhyp h y sl e t t ，1 9 9 1 ，a1 6 1 ( 1 ) ：1 ；1 9 8 8a1 3 1 ( 3 ) ：1 4 5 f a nh y w e n ghg c h i n e s ej o u ro fq u a ne l e c t r o n i c s ，19 9 2 ( 3 ) ：213 1 0 m e t h acl p h y sr e vl e t t ，1 9 6 7 ，18 ：7 5 2 11 f a nhy j o u rp h y s ，1 9 9 2 ，a2 5 ( 11 ) ：3 4 4 3 ；h o n g y if a na n dy u ef a n ， i n t e r n j m o d p h y s a 17 ( 2 0 0 2 ) 7 0 1 ；h o n g y if a n m o d p h y s l e t t a 15 ( 2 0 0 0 ) 2 2 9 7 1 2 w e y lh zp h y s ，1 9 2 7 ，4 6 1 第三章应用i w o p 技术从经典变换构造幺正变换算符 从量子理论的建立起，经典正则变换和量子幺正变换之间的对 应就已受到广一泛注意 1 。在这里，对于给定的经典变换，我们将利 用有序算符内的积分技术( i w o p ) 来更方便有效地找到其所对应的 幺正算符 2 3 。 对于一个具有2 n 个自由度的经典系统，其正则坐标和正则动量 分别为( x ii = 1 ，2 ，n ，i = 1 ，2 ， ，并且 kx ，) = o ，p ，p ) = o ， x ip ，) = 巧， 4 1 广义的正则变换为 ，= x j ( x ，p ) ，p = p ( x ，p ) 4 2 由于x ，p 排序所；带：来的刁确定性，这种变换彳 弋l 耋j f ，d3x：户z。：，岛，一i，4j声蚤72 i 声，i，：(兰?兰)j 其中 注意到 所以 f d3 一 i d3 x ( , l i 。川4 = u ( b ：) e x p 圭( ：+ _ ) e x p i ( _ ：三i 弓+ 。二， ， x e 即p 卜 f n e x p p 卜 一x 3p h 如 弓， ， 叫i n t a n h 1 等j nn 、 zp ，吖叩izj | = 己，( 岛) e x p 一i ( 三一刍，一安，刍i ) u 。| ( 岛) 兰r e x p z ( _ ：二lz ；i ：+ t 二，p a ， 掷) e x 怕：x “ n、 p l + r 3x 3p 3 u 一 ，l ( b ：) 兰s ： p 1) u ( b ) = e x p z ( _ ：三t ：刍，：+ 丘三，刍，) e x p 一i ( 三i z 弓，一三，弓 ”- ) 三，p “，l v ( b ：) ：) 、， j i i x z x ，。一 、 、，、 i i i 石 z x ，。l 、， 以o一 “o 0 o ，一 ，- o：=勺 工 工 ，。一 、llllllll m ， 3 x x x ，一 、，il 1 1 x x x ，。 、， ，一 、i - ， 3 0 o ，_j ，厂 ，-、 0 ， 0 ，o o ，l 3 x 、i， _ + ，-1 _ i 、 一 l p xe ，、 p ，一 ； f ，厂 = ，j- 一 l p xe = s ：r 。e x p - i ( _ ：+ _ ) 二，；， u ( b ：) 它代表的变换步骤是首先把粒子1 与2 的子系统变为j a c o b i a n 坐 标，由u ( b ) 完成，然后作另1 次两粒子的独立粒子到其j a c o b i a n 坐标的变换，这“两粒子是指质量i ：的1 - 2 粒子的质心和第三个粒子 组成的系统，第二次变换是由是 r ， e x p 一f ( _ ：+ - ) 三- 刍， 来实现的。 重复以上步骤，我们就司以找到把n 个粒子的独立坐标变换为其 j a c o b i a n 坐标的幺正算符，而i w o p 技术则帮助我们找到它的正规乘 积展开式。 在j a c 。b i a n 表象一f 一组完备力学量如p ，声z ，龛”龛 的共同本征态 i 鼻，最，以，) ，在独立粒子表象下往往是纠缠态，但是由 多，= u ( 彳) 一i 弓，u ( 爿) ，舅，：u ( 彳) 石a ，( 彳) 4 17 可知 u ( 爿) 。lp i ，p ：，屯，z ) = i 鼻，最，爿，x )4 18 其中lp lp ：，x 3 ，h ) = 旧) 恢) k ) f x n ) 为单粒子直积态。并且 旧，p z 焉，x ) 对。t - p ，弓：，三v 三 的本征值即为| 鼻，最，墨，x ) 对于 p z “舅冲本征值。 对于三粒子系统， 怠= ；i 十声：+ 五，。# ! ：丝唑一三i ，爻、：强a4 19 p ，量z ，童： 的共同本征态f i ，：，托) 是纠缠态，若有 ，( 彳) ，满足 则 u ( 爿) 1p l u ( a ) = 鼻，u ( 彳) x 2 u ( a ) = 托，u ( 爿) x 3 u ( a ) = x ， 4 2 0 【，( 爿) “l p ，x ：，_ ) = 1 只，x ：，x 3 ) 易见， a = 这样的u ( a 1 不唯，对彳的具体限制是 0 术表示末确定的量。 比较简单的选取是 a = 或 a = o ，b = ，b = ，b = 肇i 丰l ，a b = j 木j 0 1 3 1 一( 2 + k z 3 ) 0 1 z 一生! j 4 2l 4 2 2 4 2 3 4 2 4 将a 代入( 4 8 ) ，通过i w o p 积分，再将所得u ( 彳) 代入( 4 2 1 ) ，即可 得i 鼻，x ：，x ，) 的具体形式。 对多粒子耦合体系，哈密顿量往往直接依赖。t - j a c o b i a n 坐标，如三 原子分子的哈密顿量 ，。一 术焘，卡惫。 笠一 0 l 1iil 。一一。 。 鸬一一一 笠一 心一一。心心一一。 “ o 0 ，z 。= 产2 2x 2 + 3x 3 优i + m 2 + 优3 h l 七 在这里刍，刍，项已被略去， 在j a c o b i a n 表象下 r nn 、 x 3 一x 2 i ， 4 2 5 舀= 萃赢p 2 + v 2 ( 名：卜( 毫卜( a ) ic 军羲+ v 2 ( 乏) + v ( im “ 向l 妒) = ej 妒) ， 则 4 2 6 4 2 7 ( ) 是无耦合的哈密顿量，其能谱及本征态易求， 台u ( 彳) 。| i 缈) = e u ( a ) 一 ；与白具有相同的能谱，本征态相筹幺i l t - ：变 au ( x ) 。 4 2 8 4 2 9 u ( 彳) 形式的幺正变换的另一个应用是对某些耦合，可以实现从自 由哈密顿量本征态到总哈密顿量本征态的转化。以谐振子为例，二维 各向同性谐振子的哈密顿量是 5 h 0 - - - 去( 鼻2 + g ) + 吉m 0 0 2 ( x 1 2 + = c o ( a + a i + 口；口：+ 1 ) ， 其能量本征值为 4 3 0 4 31 v+ i = h u 乞 地化r u ：研一m 圳 ：且m ： 拈 若 志 互力 。l 上压 = 口 e = ( 胛l + ，? ：+ 1 ) h e o ，胛l ，? 2 = 0 1 ，2 ， 对应的本征态简并 甩i门：)=：7翥i=1彳口”。口；n2甩i ! ! 加入耦合项允x i x ：，则h 。的u ( 2 ) 对称性被破坏，总哈密顿量 5 h = 芝1 聊、p ，, 2 + 2 ) + 圭m a ) 2 ( x ? + x ；) 一五x l x