（理论物理专业论文）受控磁场作用下几何量子门的研究.pdf

摘 要 摘要 几何量子计算是利用量子系统的几何性质去构造几何量子门。本文研究的目 标是利用量子系统的几何相位，在非绝热周期演化过程构造几何量子门，并提出 了通过控制磁场和初态来完美保持量子信息的方案。 ( 1 ) 本论文首先介绍了量子信息和量子计算的发展以及几何量子计算的一 些基本知识。 ( 2 ) 比较详细的阐明了动力学对称性和几何相位之间的紧密联系。在此基 础上，我们研究了具有动力学对称性的两个物理系统，其哈密顿量分别为日( f ) 和 h 7 ( f ) = 日( f ) + ，z ( f ) 五，研究表明这样的两个物理系统具有相同的几何相位。 ( 3 ) 基于核磁共振系统，我们提出了构造几何量子门的方案。并指出：通 过调节一些磁场参数，可使动力学相位与几何相位成比例或满足特定的关系来实 现几何量子门。然后，进一步控制初态的方位角，使其保真度等于1 。这意味着 量子信息在量子计算过程中完全不会失真。 ( 4 ) 最后，讨论了量子开放系统中如何调控包含退相干因子的几何量子门 的新方案，自洽地实现包含退相干信息的统一的纠缠几何量子门的条件，并指出 了今后该领域的研究方向。 关键诃： 几何相位；几何量子计算；几何量子门；保真度。 j o w a n g 2 0 0 9 4 1 5 a b s t r a c t a b s t r a c t g e o m e t r i cq u a n t u mc o m p u t a t i o ni saw a yt oc o n s t r u c tt h eg e o m e t r i cq u a n t u m g a t eb yu s i n gt h eg e o m e t r i cp r o p e r t i e so fq u a n t u ms y s t e m i nt h et h e s i s ，t h eg e o m e t r i c q u a n t u mg a t ei so b t a i n e du n d e rn o n - a d i a b a t i ce v o l u t i o nb ya p p l y i n gt h eg e o m e t r i c p h a s es h i f t so fq u a n t u ms y s t e m t h er e s u l t ss h o wt h a tt h ei n i t i a lt h es i n g l e - q u b i ta n d t w o q u b i ts t a t e sm a yb ep e r f e c t l yp r e s e r v e di np r o c e s so fq u a n t u mc o m p u t a t i o n 1 w ef i r s t l yi n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to fq u a n t u mi n f o r m a t i o na n dq u a n t u m c o m p u t a t i o na sw e l la ss o m eb a s i ck n o w l e d g ea b o u tg e o m e t r i cq u a n t u mc o m p u t a t i o n 2 t h ei n t i m a t ec o n n e c t i o nb e t w e e nd y n a m i c a ls y m m e t r ya n dt h eg e o m e t r i c p h a s ei s e l u c i d a t e di nd e t a i l f u r t h e r m o r e ，w es t u d yt w op h y s i c a ls y s t e m so f d y n a m i c a ls y m m e t r y , w i t hh a m i l t o n i a n s ( f ) a n dh ( f ) = 日( f ) + ff i ( t ) x i r e s p e c t i v e l y t h er e s u l t ss h o wt h a tt w op h y s i c a ls y s t e m sh a v et h es a m eg e o m e t r i c p h a s e s 3 as c h e m ei s p r o p o s e dt oc o n s t r u c tg e o m e t r i cq u a n t u mg a t e si nn u c l e a r m a g n e t i cr e s o n a n c es y s t e m b ya d j u s t i n gs o m em a g n e t i cf i e l dp a r a m e t e r s ，a tf i r s to n e c a nl e tt h ed y n a m i cp h a s eb ep r o p o r t i o n a lt ot h eg e o m e t r i cp h a s eo rs a t i s f yt h e s p e c i f i cr e l a t i o n s h i p t h e n ，b yc o n t r o l l i n gt h ea z i m u t h a la n g l ei nt h ei n i t i a ls t a t e ，w e c a nr e a l i z et h eg e o m e t r i cq u a n t u mg a t et h a tt h ef i d e l i t yi se q u a lt oo n eu n d e rt h e c y c l i ce v o l u t i o n t h i sm e a n st h a tt h eq u a n t u mi n f o r m a t i o ni sn 0d i s t o r t i o ni np r o c e s s o ft h eg e o m e t r i cq u a n t u mc o m p u t a t i o n 4 a tl a s t ，w ed i s c u s sh o wt or e a l i z et h eg e o m e t r i cq u a n t u mg a t ew i t ht h e d e c o h e r e n c ee f f e c t si nt h eq u a n t u mo p e ns y s t e m k e y w o r d s ：g e o m e t r i cp h a s e ；g e o m e t r i cq u a n t u mc o m p u t a t i o n ；g e o m e t r i cq u a n t u m g a t e ；f i d e l i t y j q w a n g 2 0 0 9 4 1 5 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：互谴豫 签字日期：叫年莎月了日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：互庭啾 签字日期：叩年月3 日 导师签名： 穆祥 签字日期：砰莎月驴日 第一章综述 第一章综述 1 1 量子计算的发展及研究现状 量子计算机的概念来源于研究可逆计算机，研究可逆计算机则是为了克服计 算机中的能耗问题。早在二十世纪七十年代计算机发展的初期，人们就发现能耗 会导致计算机芯片的发热，从而影响芯片的集成度，限制计算机的运行速度的进 一步提高。l a n d a u e 最早考虑了这个问题，他考察了能耗的来源后指出：能耗产 生于计算过程中的不可逆操作【1 1 。例如，对两比特的异或操作，有两比特的输入， 但只有一个比特的输出，在这一过程中损失了一个自由度，因此该过程成为不可 逆过程，按照热力学原理，必然会产生一定的热量。但这种不可逆性也是可以避 免的。事实上，只要对异或门的操作做简单改进，即保留一个剩余的比特，该操 作就能变为可逆的。因此在物理原理上并没有限制能耗的下限，消除能耗的关键 是将不可逆操作改造为可逆操作。 b e n n e t t 2 】后来更严格地考虑了此问题，并证明所有经典不可逆的计算机都可 以改造为可逆计算机而不影响其计算能力。但是即使这样，经典计算机因其物理 过程在本质上是不可逆过程，所以仍存在能耗问题。在量子力学中，可逆操作可 以用一个幺正变换来表示。b e n i o f f 3 】最早使用量子力学语言来描述可逆计算机。 在量子可逆计算机中，用二能级的量子体系作为比特的载体，体系处于1 0 ) 或1 1 ) 能态上，但不处于它们的叠加态。量子可逆计算机的研究，其核心任务是，对应 于具体的计算，寻找合适的哈密顿量来描述。早期的量子可逆计算机，实际上是 用量子力学语言表述出来的经典计算机，因为它并没有利用量子力学的本质特 性，如量子叠加性和相干性。f e y m a n n 4 】首先指出，这些量子特性可能在未来的 量子计算机中起本质作用，如用来模拟量子系统。d e u t s c h 找到一类问题，对该 类问题，量子计算机存在多项式算法( 多项式算法是指运算完成的时间与输入二 进制数据的长度，即比特的位数存在多项式关系) ，而经典计算机则需要指数算 法。 1 9 4 8 年，c e s h a n n o n l 5 】数学概率论应用到信息领域，给信息以定量的科学 j q w a n g 2 0 0 9 4 1 5 江西师范大学硕士学位论文 描述。此后的5 0 多年来，以s h a n n o n 的理论为核心的经典信息理论推动了通信 技术的发展，促进了社会的进步。 显然，信息科学的概念和原理同样受基本物理规律支配，经典信息科学是以 经典物理学为基础的。1 9 9 4 年，s h o r 6 】提出了著名的大数因式分解量子算法，从 而对经典通信中的密码安全问题产生了巨大的冲击，因为经典密码通信的安全性 是以大数因数分解在当前经典电子计算机中很难实现为基础的。经典信息安全问 题引起了全世界的恐慌和不安，人们转向寻求其他的信息安全的模式，希望能从 以量子力学为基础的物理规律中找到更安全的通信模式。因此，s h o r 的发现掀 起了研究量子加密通信的热潮，同时也极大地激发了人们研究量子计算机的兴 趣，量子信息这棵大树又长出了一个大的分支，开始了新一轮的蓬勃发展。 关于量子计算机的概念早在二十世纪八十年代初就由f e y n m a n 4 将量子力学 和计算机结合而萌芽。后来，b e n i o f f 7 1 提出了量子图灵机的概念，1 9 8 5 年d c u t s c h 8 l 提出了量子计算机的概念，1 9 9 2 年，b r a s s a r d 和b c r t h i a u m e l 9 1 0 】在理论上证明了 量子计算机的运算速度比经典图灵机快。虽然早己有量子计算机的概念，但是由 于没有可以操作的实例来显示量子计算机在解决实际问题时的功能，所以在很长 一段时间内，量子计算机的发展始终徘徊不前。如前所述，直到1 9 9 4 年，p s h o r 用量子纠缠性和叠加性提出著名的大数因子分解的量子算法一s h o r 算法【6 】，使 得r s a 密钥系统受到巨大挑战，才又激发了人们研究量子计算机的高潮。1 9 9 6 年，g r o v e r 提出了在无序库中搜索某些满足特定条件的项目的算籼r o v e t 量 子搜索算法【1 1 1 ，使得从没有排序的n 个数据中搜索一个确定的数据只需次 运算，而利用经典计算机完成此项任务平均需用2 次运算。 在实验方面，量子计算机的发展也十分迅速。例如：利用激光操纵离子阱中 囚禁的冷离子来实现量子计算的方案【1 2 】。1 9 9 5 年，利用离子阱技术首先在实验 上实现了c n o tf - i t ”】。核磁共振技术在实验方面发展较快，从1 9 9 6 年到现在， n m r 实验从两量子比特发展到七量子比特，其实验内容有算法、信息和模拟等 方面，例如：利用核磁共振技术首先实现了两个量子比特的g r o v e r 搜索算法【1 4 1 5 l 。 随后，五量子比特的d j 算澍1 6 1 在核磁共振上得到了实现。最近，7 个量子位的 s h o r 算法也在核磁共振上实现了【1 7 】。另外，新的实验方案也在不断涌现，超导 中的磁通量子比特和电荷量子比特也是最近被看好的实验方案【1 8 】。 j o w a n g 2 0 0 9 4 1 5 第一章综 述 1 2 量子信息和几何量子计算简介 量子计算与量子信息的研究对象是用量子力学系统来完成信息处理任务，通 过使用量子状态( 量子比特) 取代经典码( 经典比特) ，特别是多粒子系统的量 子纠缠态，量子相干性和非局域性的使用，量子计算机比经典计算机可以成倍地 提高计算速度。量子计算机可以加速某些函数的运算速度，攻破现有的密匙体系， 量子因特网具有现有因特网所无法比拟的优点，量子密码可提供不可破译、不可 窃听的保密通信等。量子信息技术可以突破现有信息技术的物理极限，为物理及 信息科学的发展提供新的原理和方法。 量子状态的变化可以用量子计算机的语言来描述。类似于经典计算机是由包 含连线和逻辑门的线路建造的，量子计算机是由包含连线和基本量子门排列起来 能处理量子信息的量子线路建造的。因此，实现量子计算机的必要条件就是要找 到一个量子系统：它是由两个独立的能级来定义一个量子比特，我们可以使量子 比特初始化到基态；同时，我们还必须能控制这个量子比特，完成单量子比特的 任意旋转，也即是实现了单量子门。另外，两个同样的量子系统能够相互耦合组 成两量子门，这样，我们就可以组成量子计算所需的各种量子门，进行完整的量 子计算。当然，我们计算完成之后还要能够读出结果，而且，在计算过程中量子 系统必须保持量子相干性。这些条件看似简单，但调控、耦合、测量量子系统要 求量子系统和外界有较强耦合，而保持量子相干性又要求量子系统与外界隔绝， 它们是相互矛盾的条件，要找到一个同时具备各个条件的量子系统十分困难。目 前已经提出的这样的物理系统有离子阱、腔量子电动力学( c a v i t yq e d ) 、量子 阱、核磁共振( 很) 以及固态量子比特等。 几何量子计算是利用量子物理系统中的几何性质来构造几何量子门处理量 子信息。几何量子门仅依赖于量子系统整体几何性质而与动力学性质无关。因而 几何量子计算同其它量子计算方案比较，不仅可以有效地减少计算及通信过程中 的误差，而且可以提高抗退相干的能力【1 9 - 2 3 1 。 在量子理论中，物理状态是由波函数来描述的，波函数的相位可分为动力学 相位和几何相位。因此，几何量子计算的关键是怎样去消除动力学相位或使动力 学相位是几何相位的函数，从而可以仅用几何相位构造量子门。理论上几何量子 j q w a n g 2 0 0 9 4 1 5 江西师范大学硕士学位论文 门能够通过相应量子系统的绝热演化构造，但是，在绝热演化中需要非常长的操 作时间，在此之问可能已经发生退相干现象，因此实验上很难实现绝热几何量子 计算【2 3 1 ，其潜在的应用价值不大。 利用量子系统非绝热演化中形成的几何相位去构造量子门可以缩短操作时 间【2 4 1 。为此，为了在非绝热过程中实现几何量子计算，人们建议使用单圈循环或 多圈循环转动去消除动力学相位【2 5 1 。很明显这些操作会增加误差。另一个有效消 除动力学相位的方法是控制外部磁场，在某些特定的磁场参数下获得几何量子门 【2 6 1 0 理论与实践都清楚地表明：不仅非绝热演化会破坏量子系统的周期性，而且 量子系统的退相干也会破坏系统的周期性【2 刀。因而最有应用潜力的几何量子计算 应该在非绝热非周期性演化的物理系统中产生。因此，有必要把现有几何量子计 算的研究由周期循环演化扩展到非周期演化的物理系统，在物理系统非周期性演 化中实现几何量子门。由此可以有效地减少因不能保留周期演化的物理体系操作 带来的误差。 在非周期演化中，动力学相位是非线性的。因此，传统的基于周期演化的量 子相位理论及方法都不能应用至归e 周期演化的物理系统当中。 不变性理论可以有效地解决非绝热非周期量子系统的动力学问题，尤其是不 变性理论可以适用于时间关联的哈密顿系统。动力学不变性理论现已成为研究、 构造非绝热演化几何量子门的一种有用的方澍2 8 , 2 9 。 在真实的物理世界中，退相干一直是很大的问题，量子系统同周围环境的作 用将导致系统信息的损失和周期性的破坏。因为退相干效应使得量子叠加态衰变 成量子统计混合态，所以退相干是最主要的限制量子计算的因素之一1 3 0 , 3 h 。尤其 是退相干强烈地影响了量子门的速度和量子门的误差率。 退相干是系统与其“环境”不可避免的相互作用所产生的量子纠缠所致。然 而，量子纠缠是量子测量问题的本质，是实现“波包塌缩和量子退相干的关键， 因为这种量子纠缠会在量子力学框架内消去被测系统的量子相干项，使其发生量 子退相干或者说“波包塌缩 ，实现一个确定的实验观察结果【3 2 】。 目前有两类过程可以克服退相干性问题：即量子态的被动稳定和主动控制两 方面。前者被称为避错码( e r r o r - a v i o d i n gc o d e s ) ，它依赖于系统存在态的子空间， j q w a n g 第一章综述 这种子空间是由于系统存在于某种对称性而跟环境耦合形成的【3 3 ，3 4 】；第二种方 法，是通过利用对系统适当的开环控制，去掉环境对系统的不必要的相互作用。 例如，通过对有热库相互作用的二态量子系统加上适当可控脉冲驱动场，从而平 均掉系统跟环境耦合所产生的退相干性 3 5 - 3 8 】。 1 3 本文的研究工作 本论文研究的目标是利用量子系统的几何相位，在非绝热周期演化过程构造 几何量子门，并提出了通过控制磁场和初态来完美保持量子信息的方案。 ( 1 ) 本论文首先介绍了量子信息和量子计算的发展以及几何量子计算的一 些基本知识。 ( 2 ) 比较详细的阐明了动力学对称性和几何相位之间的紧密联系。在此基 础上，我们研究了具有动力学对称性的两个物理系统，其哈密顿量分别为日( f ) 和 h ( f ) = 日( f ) + ，z ( f ) 置，研究表明这样的两个物理系统具有相同的几何相位。 ( 3 ) 基于核磁共振系统，我们提出了构造几何量子门的方案。并指出：通 过调节一些磁场参数，可使动力学相位与几何相位成比例或满足特定的关系来实 现几何量子门。然后，进一步控制初态的方位角，使其保真度等于1 。这意味着 量子信息在量子计算过程中完全不会失真。 ( 4 ) 最后，讨论了量子开放系统中如何调控包含退相干因子的几何量子门 的新方案，自洽地实现包含退相干信息的统一的纠缠几何量子门的条件，并指出 了今后该领域的研究方向。 j q w a n g 2 0 0 9 4 1 5 江西师范大学硕士学位论文 参考文献 1 】1 段路明，郭光灿，量子信息讲座第一讲量子计算机，物理，2 8 ：5 3 5 8 ( 1 9 9 8 ) 。 2 】b e n n e t t c h ，q u a n t u mi n f o r m a t i o na n dc o m p u t a t i o n ，p h y s t o d a y 4 8 ：2 4 3 0 ( 1 9 9 5 ) 【3 】b e n i o f f p ，t h ec o m p u t e ra sap h y s i c a ls y s t e m ：am i c r o s c o p i cq u a n t u m m e c h a n i c a lh a m i l t o n i a nm o d e lo f c o m p u t e r sa sr e p r e s e n t e db yt u r i n gm a c h i n e s ， j s t n t p h y s 2 2 ：5 6 3 - 5 9 1 ( 1 9 8 0 ) 【4 】f e y n m a n r ，s i m u l a t i n gp h y s i c sw i t hc o m p u t e r s ，n t zt h e o r p h y s 2 1 ：4 6 7 4 8 8 ( 1 9 8 2 ) 【5 】s h a n n o n c e ，am a t h e m a t i c a lt h e o r yo fc o m m u n i c a t i o n ，b e l l s y s t e m 瑟幽z 2 7 ：3 7 9 4 2 3 ，6 2 3 6 5 6 ( 19 4 8 ) 6 】s h o np ，a l g o r i t h m sf o rq u a n t u mc o m p u t a t i o n ：d i s c r e t el o g a r i t h ma n df a c t o r i n g ， p r o c o f t h e3 5 曲a n n u a ls y m p o s i u mo nf o u n d a t i o n so fc o m p u t e rs c i e n c e , 1 e e e c o m p u t e rs o c i e t yp r e s s 12 4 13 4 ( 19 9 4 ) 【7 】f e y n m a n r ，q u a n t u mm e c h a n i c a lc o m p u t e r s ，o p t i c s n e w s 1 1 ：1 1 - 2 0 ( 1 9 8 5 ) 8 】d e u t s c h d ，q u a t u mt h e o r y ：t h ec h u r c ht u r i n gp r i n c i p l ea n dt h eu n i v e r s a l q u a n t u mc o m p u t e r , p r o c e e d i n g sr o y a ls o c i e t yo f l o n d o na 4 0 0 ：9 7 - 1 1 7 ( 1 9 8 5 ) 9 】m e t r o p o l i s n ，r o s e n b l u t ha w ：r o s e n b l u t h m n ，e ta 1 ，e q u a t i o no fs t a t e c a l c u l a t i o n sb yf a s tc o m p u t i n gm a c h i n e s ，zc h e m p h y s 2 1 ：1 0 8 7 1 0 9 2 ( 1 9 5 3 ) 10 】b e r t h i a u m e aa n db r a s s a r d go r a c l eq u a n t u mc o m p u t a t i o n ，p r o c o ft h e w o r k s h o po i lp h y s i c so fc o m p u t a t i o n ：p h y s c o m p 9 2 ：19 5 19 9 ( 19 9 2 ) 【11 】r i v e n r a h a m i r aa n da d l e m a nl ，o nd i g i t a ls i g n a t u r e sa n dp u b l c i k e y - c r y p t o s y s t e m s ，m i tl a b o r a t o r yf o ，c o m p u t e rs c i e n c e , t e c h n i c a lr e p o r t , l v i i t l c s t r 一212 ( 1 9 7 9 ) 12 c i r a c j ia n dz o l l e r p ，q u a n t u mc o m p u t a t i o n sw i t hc o l dt r a p p e di o n s ，p h y s r e v l e t t 7 4 ：4 0 91 4 0 9 4 ( 1 9 9 5 ) j q w a n g 6 2 0 0 9 4 1 5 第一章综 述 【13 】b o g h o s i a n b ma n dt o y l o r w s i m u l a t i n gq u a n t u m m e c h a n i c so naq u a n t u m c o m p u t e r , p h y s i c a d 1 2 0 ：3 0 4 2 ( 1 9 9 8 ) 14 】c h u a n g i l ，v a n d e r s y p e n l m k ，z h o uxl ，e ta 1 ，e x p e r i m e n t a lr e a l i z a t i o n o f aq u a n t u ma l g o r i t h m ，n a t u r e 3 9 3 ：1 4 3 - 1 4 6 ( 19 9 8 ) 15 】c h u a n g i l ，g e r s h e f e l d na n dk u b i n e e m ，e x p e r i m e n t a li m p l e m e n t a t i o no f f a s tq u a n t u ms e a r c h i n g ，p h y s r e v l e t t 8 0 ：3 4 0 8 - 3 4 11 ( 1 9 9 8 ) 16 】m a r x r ，f a h m ya f ，m y e r s j m ，e ta 1 ，a p p r o a c h i n gf i v e b i tn m rq u a n t u m c o m p u t i n g ，p h y s r e v a 6 2 ：0 12 310 ( 8p a g e s ) ( 2 0 0 0 ) 【1 7 】c ht s e n g ，s o m a r o o s ，s h a f t ye ta 1 ，q u a n t u ms i m u l a t i o nw i t hn a t u r a l d e c o h e r e n c e ，p h y s r e v a 6 2 ：0 3 2 3 0 9 ( 9p a g e s ) ( 2 0 0 0 ) 【18 】m a k h l i n ys c h o n ga n d s h n i r m a na ，j o s e p h s o nj u n c t i o nq u b i t sw i t h c o n t r o l l e dc o u p l i n g s ，n a t u r e 3 9 8 ：3 0 5 - 3 0 7 ( 1 9 9 9 ) 19 p z a n a r d ia n dm r a s e t t i ，h o l o n o m i eq u a n t u mc o m p u t a t i o n ，p h y s l e t t a 2 6 4 ： 9 4 9 9 ( 19 9 9 ) 【2 0 j a j o n e s ，e ta 1 ，g e o m e t r i cq u a n t u mc o m p u t a t i o nu s i n gn u c l e a rm a g n e t i c r e s o n a n c e ，n a t u r e ( l o n d o n ) 4 0 3 ：8 6 9 - 8 71 ( 2 0 0 0 ) 【21 gf a l e i ，e ta 1 ，d e t e c t i o no fg e o m e t r i cp h a s e si ns u p e r c o n d u c t i n gn a n o e i r e u i t s ， n a t u r e ( l o n d o n ) 4 0 7 ：3 5 5 3 5 8 ( 2 0 0 0 ) 2 2 】l m d u a n ，e ta 1 ，g e o m e t r i cm a n i p u l a t i o no ft r a p p e di o n s f o rq u a n t u m c o m p u t a t i o n ，s c i e n c e 2 9 2 ：1 6 9 5 - 1 6 9 9 ( 2 0 0 1 ) 【2 3 】d l e i b f r i e d ，e ta 1 ，e x p e r i m e n t a ld e m o n s t r a t i o no far o b u s t ，h i 曲一f i d e l i t y g e o m e t r i ct w oi o n q u b i tp h a s eg a t e ，n a t u r e ( l o n d o n ) 4 2 2 ：41 2 4 15 ( 2 0 0 3 ) 【2 4 】x b 。w a n ga n dm k e i j i ，n o n a d i a b a t i cc o n d i t i o n a lg e o m e t r i cp h a s es h i f tw i t h n m r ，p h y s r e v l e t t 8 7 ：0 9 7 9 0 1 ( 4p a g e s ) ( 2 0 0 1 ) 【2 5 】s l z h ua n dz d w a n g ，u n i v e r s a lq u a n t u mg a t e sb a s e do nap a i ro f o r t h o g o n a lc y c l i cs t a t e s ：a p p l i c a t i o nt on m rs y s t e m s ，p h y s r e v a 6 7 ： 0 2 2 319 ( 9p a g e s ) ( 2 0 0 3 ) 【2 6 】z s w a n g ，e ta 1 ，n o n a d i a b a t i cg e o m e t r i cq u a n t u mc o m p u t a t i o n ，剧咖r e v a 7 6 ：0 4 4 3 0 3 ( 4p a g e s ) ( 2 0 0 7 ) j q w a n g 7 2 0 0 9 4 1 5 江西师范大学硕士学位论文 2 7 】a f r i e d e n a u e ra n de s jo e q v i s t ，n o n c y c l i cg e o m e t r i cq u a n t u mc o m p u t a t i o n 纠咖r e v a 6 7 ：0 2 4 3 0 3 ( 4p a g e s ) ( 2 0 0 3 ) 2 8 l b s h a o ，z d w a n ga n dd yx i n g ，i m p l e m e n t a t i o no fq u a n t u mg a t e s b a s e do ng e o m e t r i cp h a s e sa c c u m u l a t e di nt h ee i g e n s t a t e so fp e r i o d i ci n v a r i a n t o p e r a t o r s ，p h y s r e v a 7 5 ：014 3 01 博p a g e s ) ( 2 0 0 7 ) 【2 9 】z s w a n g , g e o m e t r i cq u a n t u mc o m p u t a t i o na n dd y n a m i c a li n v a r i a n t o p e r a t o r s ，p h y s r e v a 7 9 ：0 2 4 3 0 4 ( 4p a g e s ) ( 2 0 0 9 ) 【3 0 】z s w a n g ，e ta 1 ，g e o m e t r i cp h a s ei no p e nt w o l e v e ls y s t e m ，e u r o p h y s l e t t 7 4 ：9 58 - 9 6 4 ( 2 0 0 6 ) 311z s w a n g ，e ta 1 ，e f f e c t so fas q u e e z e d v a c u u mr e s e r v o i ro ng e o m e t r i cp h a s e ， p h y s r e v a 7 5 ：0 2 4 10 2 ( 4p a g e s ) ( 2 0 0 7 ) 【3 2 】z s w a n ga n dr s w u ，i n t e r p r e t a t i o nf o rp r o b a b i l i t yw a v ea n dq u a n t u m m e a s u r e dp r o b l e m ，n t zt h e o r p h y s a c c e p t e d ：2 7j a n u a r y2 0 0 9 【3 3 】l m d u a na n dgc g u o ，p r e s e r v i n gc o h e r e n c ei nq u a n t u mc o m p u t a t i o nb y p a i r i n gq u a n t u mb i t s , p h y s r e v l e t t 7 9 ：1 9 5 3 - 1 9 5 6 ( 1 9 9 7 ) 【3 4 】p z a n a r d ia n dm r a s e t t i ，n o i s e l e s sq u a n t u mc o d e s ，p h y s r e v l e t t 7 9 ： 3 3 0 6 3 3 0 9 ( 1 9 9 7 ) 3 5 】a m s t e a n e ，e r r o rc o r r e c t i n gc o d e si nq u a n t u mt h e o r y , p h y s r e v l e t t 7 7 ： 7 9 3 - 7 9 7 ( 1 9 9 6 ) 【3 6 】r l a f l a m m e ，c m i q u e l ，j p p a za n dwh z u r e k ，p e r f e c tq u a n t u me r r o r c o r r e c t i n gc o d e ，p h y s r e v l e t t 7 7 ：19 8 2 01 ( 19 9 6 ) 【3 7 c h b e n n e t t ，d p d i v i n c e n z o ，j a s m o l i na n dw k w o o t t e r s ，m i x e d - s t a t e e n t a n g l e m e n ta n dq u a n t u me r r o rc o r r e c t i o n ，p h y s r e v a 5 4 ：3 8 2 4 3 8 51 ( 1 9 9 6 ) 38 】a e k c na n dc m a c c h i a v e l l o ，q u a n t u me r r o rc o r r e c t i o nf o rc o m m u n i c a t i o n ， p h y s r e v l e t t 7 7 ：2 5 8 5 2 5 8 8 ( 1 9 9 6 ) j q w a n g 8 。 2 0 0 9 4 1 5 第二章基础理论 第二章基础理论 2 1 量子计算的基本知识 2 1 1 量子比特 经典比特是一个有两个状态的物理系统，它可以制备为两个可识别状态中的 一个，如是或非，真或假，0 或1 。在数字计算机中，一个电容器极板之间的电 压可表示信息比特，有电荷代表i ，无电荷代表0 。像经典比特一样，量子比特 也有一个状态，其可能的状态是i o ) 或1 1 ) ，与经典比特相比，量子比特可以是状 态的线性组合，即叠加态， i ) = 口i o ) + 1 1 ) ，i 口1 2 + l p l 2 = 1 ， ( 2 1 ) 其中口和是复数。也就是说，量子比特的状态是二维复向量空间中的向量。1 0 ) 和1 1 ) 状态构成此向量空间的一组正交基。量子计算机就是用量子比特来描述信 息的，比如：磁场中电子自旋或者核自旋向上和向下的两个方向；光子的两个偏 振方向1 个) 和i 山) ；原子中电子的两个能级态等。量子计算机进行量子计算的过程 就是这些量子力学系统的量子态在量子计算机中的演化过程，我们无法准确测定 量子比特处于哪一个量子态，也就是无法确定口和的准确值。量子力学告诉我 们，只能获得这个量子比特越来越多的信息，但无法完全确定其状态。我们只能 说i 沙) 为i o ) 的概率为h 2 ，i ) 为i i ) 的概率为例2 ，这个量子比特的状态可介于 1 0 ) 和1 1 ) 之间的任何量子态上。 经典比特可以看作量子比特的特例( 口= 0 或= 0 ) 。如一个原子只有基态和 激发态两个可能的量子态j o ) 和1 1 ) ，我们知道它既可以只处于态i o ) 或者态1 1 ) ， 此时对应的是经典比特，也可以同时处于l o ) 和1 1 ) 两个态的叠加态，如( 2 1 ) 式 中的量子态i ) ，此时对应的是量子比特。如果我们由一对特定的标准正交基 j q w a n g 9 2 0 0 9 4 1 5 江西师范大学硕士学位论文 l o ) ，1 1 ) ) 张开一个二维复向量空间，就可以说是一个二维的h i l b c r t 空间。而一个 量子比特就是定义在二维复向量空间中的一个单位向量。一般地，n 个q u b i t 的 态张开一个2 ”维h i l b c r t 空间，存在2 ”个互相正交的态，通常取2 ”个基底态为i i ) ， f 是一个”位二进制数。刀个量子比特的一般态可以表示为2 ”个基底态的线性叠 加，可表示为 l l l 1 l 少) = m ( 2 2 ) 式中，f 分别取刀个0 和1 ，为复系数，满足i 甲。1 2 = 1 。 f 量子比特可以几何表示为 y - e i r ( c o s 扣+ e 妒s i n 剐， 3 ) 其中p ，缈，厂都是实数。总体相位因子e 驴没有任何观测效应可以略去。所以有 效形式为 c 。s 詈i o ) + i n 抄0 ， ( 2 - 4 ) 参数秒和缈定义了三维单位球面上的一个点，如图1 - 1 ，此球面称为p o i n c a r e 球 面。 图1 - 1 量子比特的p o i n c a r e 球面表示。 在实验中，任何两个态的量子系统都可以用来制备量子比特，常见的有：光 j o w a n g 2 0 0 9 4 1 5 第二章基础理论 子的正交偏振态、电子或原子核的自旋、原子或量子点的能级、任何量子系统的 空间模式等。 2 1 2 量子逻辑门 1 单量子比特运算 单量子比特的量子f - 1 由2 x2 的幺正矩阵u 构成，且u u = i ，其中u t 是u 的 共轭转置，是2 x 2 的单位阵。每个幺正矩阵都定义了一个有效的量子门，所以 有无限个单比特量子门。下面，我们介绍最重要的一些矩阵， h a a d 廿 日= 铷丑 协5 ， p a u l i x p a u l i y p a u l i z p h a s e 以及三个旋转门( 分别绕曼，夕和三轴) ， 足