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洲北t 业人学坝j 学位论文 空间各向异性两体势向列相液晶形变研究 摘要 从分子间相互作用出发研究液晶的宏观性质是液晶统计物理学的重要任务。由于液晶 分子为有机大分子，通常只能通过模型两体势描写其相互作用，如：l e b w o h ll a s h e r 模型 ( l - l 模型) ，但是该两体势模型仅跟于空蒯各向同性相互作用，不包括分子间偶极型相互 作用对其贡献。 最近，o r u h n 和h e s s 基于向列相的宏观弹性自由能密度公式提出了一种空间各向异性 两体势形式。在此基础上，r o m a n o 和l u c k h u r s t 提出了两种两体势模型，模型一和模型二。 本文基于分子两体势研究向列相液晶的形变。该两体势是空间各向异性的并且依赖于液晶 的弹性常数。 理论处理中假定具有理想向列序，这意味着分子长轴取向方向与液晶指肉矢是重合 的，而总自由能等于总相互作用能。以解析形式研究了三种基本的f r a e d e r i c k s z 转变并对 混合排列向列相液晶盒中的指向矢分布进行了数值计算。检查了文献中最近提出的两种从 弹性能到两体作用势的映射方案，即模型一和模型二。我们得到如下结论；第一，模型一 可以给出三种基本f r 6 e d e r i c k s z 转变阈值磁场的正确形式，而模型二不能；第二，模型一 可以描写h a n 液晶盒中发生的指向矢形变，模型二也不能：第三，对于具有自由表面的 液晶层，模型一没有内禀易取向方向，而模型二具有内禀易取向方向。 关键词：空间各向异性两体势，理想向列序，液晶形变，f r 6 e d e r i c k s z 转变 ：丝塑丝丝丝竺丝型垫堡墨丝些塞 s t u d y o fd i s t o r t i o n si nn e m a t i c l i q u i d c r y s t a l sb a s e d u p o ns p a t i a l l y a n i s o t r o p i cp a l rp o t e n t i a l a b s t r a c t t h ee s s e n t i a lt a s ko fl i q u i dc r y s t a ls t a t i s t i c a lp h y s i c si ss t u d y i n gm a c r o s c o p i cp r o p e r t i e so f l i q u i dc r y s t a l b a s e do nm o l e c u l a ri n t e r a c t i o n t h em o l e c u l e o fl i q u i d c r y s t a li so r g a n i c m a c r o m o l e c u l e ，s ow eu s u a l l yd e s c r i b et h ei n t e r a c t i o nw i t hp a i rp o t e n t i a lm o d e l ，s u c ha s l e b w o h l l a s h e rm o d e l ( l - lm o d e l ) h o w e v e r , t h i sm o d e lo n l yd e s c r i b e ss p a t i a l l yi s o t r o p i c i n t e r a c t i o n ，e x c l u d i n gp a i r w i s ea d d i t i v ei n t e r a c t i o n r e c e n t l y , o r u h na n d h e s s p r o p o s e d a s p a t i a l l ya n i s o t r o p i cp a i rp o t e n t i a l ，w h i c h a p p r o x i m a t e l yr e p r o d u c e dt h ee l a s t i cf r e ee n e r g yd e n s i t y t h e nr o m a n oa n dl u c k h u r s to b t a i n e d t w op a i rp o t e n t i a lm o d e l s ，i e m o d e lia n dm o d e li i i nt h i sp a p e r , d i s t o r t i o n so fn e m a t i cl i q u i d c r y s t a l sa r es t u d i e db a s e du p o nt h em o l e c u l a rp a i rp o t e n t i a lm o d e lw h i c hi ss p a t i a l l ya n i s o t r o p i c a n d d e p e n d e n t o ne l a s t i cc o n s t a n t so fl i q u i dc r y s t a l s t h ep e r f e c tn e m a t i co r d e ri sa s s u m e di nt h et h e o r e t i c a lt r e a t m e n t ，w h i c hm e a n st h e o r i e n t a t i o no ft h em o l e c u l a rl o n ga x i sc o i n c i d e sw i t ht h ed i r e c t o ro fl i q u i dc r y s t a la n dt h et o t a l f r e ee n e r g ye q u a l st ot h et o t a li n t e r a c t i o ne n e r g y t h r e ek i n d so f t h eb a s i cf r 4 e d e r i c k s zt r a n s i t i o n a r ei n v e s t i g a t e da n a l y t i c a l l ya n dn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n sa r em a d ef o rt h ed i r e c t o rp r o f i l e si na h y b r i dn e m a t i cc e l l t w om a p p i n gs c h e m e sf r o mt h ee l a s t i ce n e r g yt ot h ep a i rp o t e n t i a lp r o p o s e d r e c e n t l yi nt h el i t e r a t u r ea r ec h e c k e d ，i e m o d e lia n dm o d e li i t h e nw eg i v es o m ec o n c l u s i o n s a sf o l l o w e d ： f i r s t ，w ec a no b t a i nt h ec o i t e c tt h r e s h o l dm a g n e t i cf i e l do ft h eb a s i cf r 4 e d e r i c k s zt r a n s i t i o n b ym o d e li b u tw ec a l l tb ym o d e l i i s e c o n d ，w ec a nd e s c r i b et h ed i r e c t o rp r o f i l e si nah y b r i dn e m a t i cc e l lb ym o d e li ，b u tw e c a l l tb ym o d e li i t h i r d m o d e lih a sn o ti l i n e re a s yd i r e c t i o n ，b u tm o d e li ih a s k e yw o r d s ：s p a t i a l l ya n i s o t r o p i cp a i rp o t e n t i a l ，p e r f e c tn e m a t i co r d e r ，d i s t o r t i o no fl i q u i d c r y s t a l ，f r d e d e r i c k s zt r a n s i t i o n 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特另, j d h 以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写的研究成果，也不包含为获得河北工业大学或其他教育机构的学位或证书所使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的晚明并表 示了谢意。 学位论文作者签名：弓浚秘凳 日期：僦年绸i 目 关于学位论文版权使用授权的说明 本学位论文作者完全了解河北工业大学有关保留、使用学位论文的规定。特授权河北 工业大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文 的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：j 汉事苞君 导师签名 r 期：锣r 绎z 同1 7 目 同期：僦毕占冈f 7 日 一型! ! 二些盔兰堡! ：兰些笙；：! ! ； 第一章绪论 1 8 5 4 年r c v i r c h o w 发现了髓磷脂( 广义的溶致液晶) 。1 8 8 8 1 8 8 9 年埃尼采儿( fr e in i t z e r ) 和雷曼( o l e h s a n n ) 发现了热致液晶。奥地利植物学家f r i e d r i c hr e i n i t z e r 在1 8 8 8 年在研究 胆辔醇类化合物的植物生理f r6e d e r i c k s z 作用中，发现把胆甾醇苯酸脂( c h o le s t e r y l b e n z o a t e ，c s m c o z c z v h 4 s ，简称c b ) 晶体加热到1 4 5 5 。c 时晶体会熔为混浊粘稠的液体，继续加热到 1 7 8 5 。c ，混浊粘稠的液体会变成完全透明的液体。同时，r e i n i t z e r 在冷却透明液体时，在透明态 转变点之下观察到了清晰的紫色，桔红色，绿色，也就是所谓的蓝相。这种变化表明，液态的胆甾 醇苯酸脂可以发生某种相变，这个由混浊液体变成清亮备向同性液体的温度称为物体的淌亮点 ( c l e a r i n gp o i n t ) ，在熔点到清亮点的温度范围内物质处于不同于备向同性液体的中介态 ( m e s o p h a s e ) 。同期，在德国卡尔斯吕爱大学还有一位使用偏光显微镜的结晶光学创始人o t t o l e h m a n n 。r e i n i t z e r 将自己的发现和样品交给了l e h m a n n 进行研究。l e h m a n n 发现己熔融的混浊粘 稠液体具有双折射现象。这是晶体所固有的特性。于是l e h m a n n 定义这种集液体和晶体二重性质于 一体的状态为液晶态，建议称之为“f l u s s i g ek r i s t a l l e ”，英文译为l i q u i dc r y s t a l ，中文译为 液晶。这种状态在有生命和无生命体系中部是存在的，而且液晶材料具有温度效应，电光效应，理 化效应，磁效应，超声效应等。 液晶的发现虽然距今已经有一百多年的历史，但是它的应用历史却比较短，在未曾找到实际用 途之前，跃期的只是停留在少数科学家的实验室里，被当作珍品做一些探索性的实验研究。到二十 世纪三十年代中期科学家们对液晶的合成以及液晶的重要物理特性才有了一定的系统认识。其后经 历了二十多年的冷落阶段，直到五十年代末期才建立了关于液晶 e 较正确的理论。五十年代末期人 们了解到，一些液晶材料在物理热图像方面有应用的价值于是激发了人们进一步探索液晶在技术 方面可能有的用途。六十年代末期，动态散射现象的发现使液晶在显示器传方面显现出光明的前景。 液晶显示器件消耗的功率极小，容易达到显示面积丈而占有体积小的要求，相对来说也不难达到彩 色显示的目的，也可以用于多路驱动操作，这些优点使得液晶显示器件进入了个蓬勃发展的阶段。 然而，由了二液晶本身的复杂性，液晶的宏观性还有许多未被了解，液晶的微观理论，由于是多体问 1 卒卣j 符向异性曲休势向列相液晶j 够变硼f 究 题t 有些问题也朱被解决，所有这些都有待于人1 f ：j 进一步探讨平研究。 1 - 1 - 1 液晶的分类 1 1 液晶理论中的基本概念1 1 ，2 液晶相介于同相和各向同性液相之间，因此液晶相义称为中介相( m e s o p h a s e ) ，而液晶也被称 为中介物( m e s o g e n ) 。它同时具有流动性和物理性质各向异性。从成分和出现中介相的物理条件来 看，液晶大致可以分为热致液晶( t h e r m o t r o p i cl i q u i dc r y s t a l ) 和溶致液晶( 1 y o t r o p i cl i q u i dc r y s t a l ) 两大类。热致液晶是指单成分的纯化台物或均匀混合物在温度变化下出现的液晶相。溶致液晶是两 种或两种以上组分形成的液晶，其中一种是水或其它的极性溶剂，在一定浓度溶液f 出现的液晶相。 聚合物液晶最早是在溶致液晶相发现的，现已有了热致聚合物液晶。由于聚合物的分子耍比一 般的有机分子大很多，在性质上也有所不同，因此现在常常把聚合物液晶单独加以考虑。 对于热致液晶，从分子排列的有序性来区别液晶相，可以分为三大类：向列相( n e m a t i cp h a s e ) 、 胆甾相( c h o l e s t e r i cp h a s e ) 和近晶相( s m e c t i cp h a s e ) 。 在液晶向列相，分子的质心位置是混乱无序的，如同普通液体一样，但分子的取向存在一定的 有序性，即存在分子取向的择优方向，如图1 1 所示。 2 图1 1 向列相液晶的分子排列 f i g 1 1 t h ea l i g n m e n to f t h en e m a t i cl i q u i dc r y s t a lm o l e c u l e s 在液晶胆甾相，分子的质心位置也是混乱无序的，从局部来看胆甾相与向列相非常类似，差 窄间再问异性州蚱势向列拥液晶j 静史研究 题，有些问题也朱被腑扶。所有这些都有待。- 人们进一步探讨平研究 1 - 1 1 液晶的分类 舯一l 液晶理论中的基本概念1 1 捌 液晶相介十同相和各向同性液相之间，因此液品相x 称为中介相( m e s o p h a s e ) 而液晶也被称 为中介物( m e s o g e n ) 。它同时具有流动畦和物理性质各向异性。从成分和出现中介相的物理条件来 看，被晶人致可以分为热致液晶( t h e r m o t r o p i el i q u i dc r y s t a l ) 和溶致液晶( 1 y o l r o p i cl i q u i dc r y s t a l ) 两大类。热致液晶是指单成分的纯化合物或均匀混台物在温度变化下出现的液晶相。溶致液晶是两 种或两种以上组分形成的液晶，其中一种是水或其它的极性溶剂，在定浓度溶液f 山现的液晶相。 聚合物液晶最早是在溶致液晶相发现的。现已有了热致聚台物掖晶。由于聚合物的分子要比一 般的有机分子大很多，在性质上也有所不同，因此现在常常把聚合物液晶单独加以考虑。 对于热致液晶，从分子排列的有序性来区别液晶相，可以分为三大类：向列相( n e m a i i c p h a s e ) 、 i i _ a l f i 相( e h o l c s t e r i c 口h a ) 和近品相( s r a e c i i cp h a s e ) 。 在液品向列相，分子的质心位置是混乱无序的，如同普通液体一样。但分子的取向存在一定的 有序性，即存在分子墩向的择优方向，如图1 1 所示。 2 圈1 1 向列相液晶的分子排列 f i gl lt h ea l i g n m e n to f t h en e m a l i cl i q u i dc r y s t a lm o l e c u l e s 在液晶胆甾相，分子的质心位置也是混乱无序的， 在液晶胆甾相，分子的质心位置也是混乱无序的， 从局部来看，胆甾相与向列相非常类似，差 从局部来看，胆甾相与向列相非常类似，差 、f 一阼 t i q _ l l ：工业大学瑚l 。学位论文 别在下分子取向的择优方向作螺旋式旋转，而螺旋轴垂直丁择优方向，如幽1 2 所示。胆甾相液晶 可以分为有胆甾环的膳甾相液晶和无艟甾环的腰甾相液晶两人类，后者义称为手征性向列相液晶。 z 图1 2 胆甾相液晶的分子排列 f i 9 1 2t h ea l i g n m e n to ft h ec h o l e s t e r i cl i q u i d c r y s t a lm o l e c u l e s | l | n ? l l | l l ? ln t l7 l l l l lf 图1 3 近晶a 相液晶的分子排列 f i g 1 3 t h ea l i g n m e n to ft h es e m a t i cl i q u i dc r y s t a l m o l e c u l e s 3 主型查旦墨壁! 燮釜血型塑鎏曼丝銮型塑 在液晶近晶相t 分子质心的三个空间坐标中有一个被限制，形成一层层的分子层结构。层状 液晶比向列相液晶具有较高的有序性。按照分子圾向的择优方向与分子质心在分子层内的不同排列， 已经发现了超过1 0 种的近晶相。例如，在近品a 相，分子取向的择优方向平行丁分子层法线，而分 子的质心在分子层内是无序的，形成一层层的二维流体，如图1 3 所示。 在胆甾相和并向同性相之间，在大约一摄氏度的温度范围内，可以出现监相( b l u ep h a s e ) ，蓝 相义可以分为b h i 、b h i i 和b h i i i 。 1 9 7 7 年合成并证实了第一种板状分子液晶。板状分子液晶可以分为板状向列相( n n 相) 、手征性 板状向列相( n i 相) 和枉状相( d 相) - - ：k 类。在柱状相中，按照柱的堆积方式和柱内分子排列方 式不同，又分为多种的枉状相。 l - i 2 指向矢 在液晶向列相，分子的质心位置是混乱无序的，但分子的取向存在一定的有序性，即存在分子 取向的择优方向。可以引入单位矢量厅来描写该择优方向，元称为指向矢。棒状分子的长轴倾向于 沿指向矢疗定向排列，而确定这种定向排列究竟完整到什么程度，是分子统计理论的内容。 在液晶的连续体理论中，将指向矢开视为宏观点的函数。当然，从微观上看，宏观点仍然包含 了足够多的分子，以致疗作为“分子取向的择优方向”有意义。在连续体理论中，我们不再考虑单 个液晶分子的运动，因此可以粗略的讲，再给出了分子的长轴取向。 液晶向列相的指向矢厅在空间是任意的，可以用很小的外力来控制。研究指向矢i 对外电磁场 和边界条件( 由表面处理得来) 的响应，是连续体理论的任务。 1 - 1 3 液晶连续体的基本弹性形变及其自由能表达式 用指向矢自来描述向列相液晶的状态。在没有任何外场或边界扰动时，向列相处于i 为常数( 不 随空间位置改变) 的状态。在外场作用下或者是由于边界条件的存在，亓可以随着在液品中的位置 变化而发生改变。在液晶的连续体理论中，我们假设除去在液晶中的一些奇异点或奇异线之外，指 向矢i 是位置的连续函数。当液晶中各处的指向矢偏离了它为常数时所指的方向时，我们称液晶发 生了形变，发生形变的液晶的内部将产生反抗形变的回复力，或者更确切一些说是回复转矩。向列 4 型苎王、业查兰坚! ：兰些丝苎 相液晶中的形变可以分为三种类掣：展曲( s p l a y ) 、丰h 曲( t w i s t ) 利弯l 拍( b e n d ) 。展曲的特点是v i 0 丰h 曲的特点是v 疗与元相平行而弯曲的特点是v 亓与再相垂直。当不考虑表面弹性能项的时候 可以得到向列相液晶的f r a n k 弹性自由能密度，c i 的表达式为 ，= 丢k 。勺亓) 2 + 后：o - v 亓) 2 + ，g v i ) 2 芙丁胆甾相的螺旋形结构，考虑到螺距的影响，f r a n k 弹性自由能密度为 正，= 圭 t ，c vi r + t 。( i - v i + 予 2 十t 。c 元v i r c z ， ( 1 1 ) 、( 1 ，2 ) 式中的三项分别描述了展曲形变自由能密度、扭曲形变自由能密度、弯曲形变自由能密 度。其中k l l 、如2 、和分别表示展曲、扭曲和弯曲弹性常数p 表示胆甾相螺距。 由于液晶和基板表面相互作用，使得基板表面附近的液晶分子的指向矢会倾向于沿一定方向排 列，这个方向称为易取向方向，一般用单位矢量嚏来表示。基板表面对液晶的这种作用称为锚定作 用。在实际应用中，可以利用对基板表面机械处理或沉淀化学物质来控制锚定的大小和方向。表面 对液晶指向矢分布的影响可用表面自由能来反映。锚定能是表面自由能中各向异性部分，它反映了 基扳作用于液晶使液晶指向矢趋向于易取向轴方向的强弱。锚定能通常采用r - p 公式 工= 一i 1 爿妨，覆) 2 ( 1 3 ) 其中a 为锚定强度系数，亓。描写指向矢在基板处的易取向方向，亓为表面处的指向矢。 0 1 - 2 强锚定条件下向列相液晶的f r 6 e d e r i c k s z 转变的阀值磁场m 2 测定向列胡三个弹性常数的最简单方法，是测定在外磁场中液晶的形变。在两片经过表面处理 的玻璃片之间装入一薄层向列相液晶，这样的装置一般称为液晶盒。由于玻璃表面是经过处理的 所以沿玻璃表面液晶的指向矢有确定的排列取向。如果对液晶施加一个与指向矢取向相垂直的磁场， 那么液晶内部将受到两个转矩的影响：一个是外磁场对液晶分子施加的转矩；另个是由于受到边 界条件限制而引起的形变转矩。在平衡状态下，两个转矩的作用相抵消一旦磁场强度超过一定的 闽值那么从能量上来看，液晶内部的分子将更适合于转向外磁场方向排列。这就是所谓的弗雷德 5 里克兹( f r 6 e d e r i c k s z ) 转变。 基本的f r 6 e d e r i c k s z 转变有三种。在强锚定条什r ，第一种f r 6 e d e r i c k s z 转变的蚓值磁场为 ”吾低 c l 。， 税矧胁池“c k s z 黜嘲h 0 - 吾压，( i 乩z t 3 ) 黼 l 一3 两体势模型概述 m a w r 和s a u p e 通过分子间色散作用力，首先建立了向列相液晶的分子场理论口一1 。l e b w o h l 和 l a s h e r 将分子质心固定在简单立方晶格的格点上，假定邻近分子间存在色散作用，实现了液晶向列 相的m o n t ec a r l o 模拟p i 。随后人们发现液晶向列相的分子两体作用势可以通过唯象方法来建立，它 只需要考虑液晶分子的对称性以及向列相的对称性，不涉及分子间相互作用的量子力学本质【6 ，1 。由 于液晶分子通常是有机大分子，它们的相互作用十分复杂，这种唯象处理至少在目前的研究阶段是 合理的。 最近，g r u h 】1 和h e s s 基于向列相的宏观弹性自由能密度公式提出了一种两体作用势形式【8 】。这 一两体作用势有两个特点，一是它不仅依赖于两分子长轴取向，而且依赖于连接两分子质心连线的 单位矢量，即是空间各向异性的：二是两体作用的势参数直接依赖于液晶的宏观弹性常数k 1 、k 2 和k 3 。随后人们对这种两体势进行了m o n t e c a r l o 模拟“，证明它的确可以描写均匀向列相。 卜4 本文主要工作 本文以向列相液晶为研究对象，基于分子两体势研究向列相液晶的形变。所用两体势是空间各 向异性的并且依赖于液晶的弹性常数。理论处理中假定具有理想向列序，这意味着分子长轴取向方 向与液晶指向矢是重合的，而总自由能等于总相互作用能。以解析形式研究了三种基本f r 6 e d e r i c k s z 转变并对混合排列向列相液晶盒中的指向矢分布进行了数值计算。检查了文献中最近提出的两种从 弹性能到两体作用势的映射方案。 6 i 1 t i 北丁业人学坝i 。学位论文 第二章空间各向异性两体势向列相液晶形变研究 展曲、弯曲形变 2 1 引言 g r u h n 和h e s s 所提出的两体作用势模型有两个特点，是它不仅依赖于两分子| 丈轴取向，而且 依赖于连接两分子质心连线的单位矢量，即是空间各向异性的；二是两体作用的势参数直接依赖丁- 液晶的宏观弹性常数k 1 、k 2 和k 3 。 本章先给出空间各向异性两体势形式和文献中最近所提出来的两种模型，并根据两体势的上述 特点，从另外的角度研究该两体势，即在理想有序的条件下，研究液晶的形变性质，从而揭示出它 的内禀特性。在理想有序条件下，分子取向始终沿着液晶指向矢( 分子优先取向方向的单位矢量) 1 l , 1 2 l 。我们假定有n 层液晶分子，分子层平行于x y 平面。分子排列在x y 平面上是均匀的，但沿z 轴方向( 层法线方向) 变化。进一步假定分子取向在x z 平面内变化。在此基础上研究了第一种和 第三种基本的f r 6 e d e r i c k s z 转变并对混合排列向列相液晶盒中的指向矢分布进行了数值计算。 2 - 2 1 两体作用势 2 2 基本方程 ( 一) 、空间各向异性两体势 按照文献 8 ，分子质心固定在简单立方晶格的格点上，近邻分子间存在如下两体作用： 巾。= 占 丑陋g ，) + 只h ) 】+ ( 叩a 一；) + 嵋) + p 阪。，) + b ( 吼肥) ( ：，) f = 卢，p ，i = p i ， 口，= 面，i ，口t = 矾j ， b m2 磊，巩 ( 22 其中p 2 为二阶勒让德多项式；卢。和a 分别为液晶分子i 和k 的质心位矢；厅，和u k 分别为沿两分 7 一一 至堕叠血墨丝堕主! ：鎏血型翅丝星丝竺! 巫丛 子长轴的单位矢量； ，u ，v ，p 为势参数，v 取一1 ：e 为火丁零的数，具有能鼙的茸纲。 如幽2 1 所示 图2 1 曩为液晶分子i 的长轴取向，f 为液晶分子i 和k 的质。连线 f i 9 2 1 i i sa nu n i tv e c t o ra l o n gt h es y m m e t r ya x e so fm o l e c u l e si ，fi sav e c t o rp o i n t i n gf r o m t h ec e n t e ro f m a s so f m o l e c u l eit ot h ec e n t e ro f m o l e c u l ek 由上式可以看出该两体作用势不仅依赖于两分子长轴取向皿及u k ，而且依赖于连接两分子质心 连线的单位矢量i ，即是空间各向异性的。 ( 二) 、空间各向异性两体势的理论模型 下面给出空间各向异性两体势的理论模型，由此说明两体作用势的势参数直接依赖于液晶的宏 观弹性常数k 】、k 2 和k 3 。 1 、空间各向异性两体势的理论模型一1 9 1 ( 1 ) f r a n k 弹性自由能密度 非手性向列相液晶的f r a n k 弹性自由能密度表达式： 助：丢k ，( v 亓) ：+ 足：( i 婶自) ) ：+ k ，协( v x 元) ) z ( 2 | 3 ) 其中k 表示三个弹性常数，h 表示指向矢。 且有： v 妊莩象，阳l = 丢占卿薏 8 勺为) l 勺亓) ， 荽一_ o n 2 ，。元) 2 舐2缸3 、“ 一o n 2 堕 苏l盘2 帅州= 莠薏 却】锄3 舐3蕊1 一一 一 型j ! ! 些尘兰堡! 兰些笙苎 忙( v 亓氓= 1 1 2 ( v x i ) ，一”，( v x i ) ： g 勺i ) ) ：= 吃( v i ) 一n i ) ， ( i xc 甲再) ) ，= n 。( 甲i ) ：一h 2 ( v x 再) 。 三个互相垂直的单位矢量e 。( 口2 i ，2 ，3 ) 组成的实验窒坐标系，且坐标x 。具有长度茸纲。进行 无量纲化，则弹性自由能密度表达式为，。l = va2 ，a 为任意长度。 ( 2 ) 空间各向异性两体势的理论模型一 对于分子势模型，考虑到三维的简立方晶格中三分量单位矢量为玩和无量纲晶格格点坐标为 a ，那么两个晟近邻原子之间的偶次各向异性相互作州势可以写为级数展开式 其中 且有： 西= 聃= c o n s t + f 2 + 3 + f 4 + t ：= c ：。( a ；+ a ：) + c ：拍： 。3 = c 3 3 a l a k b l k t 。= c 。，( a ? 十a ：) + c 。，( a 。a 。) 2 + c 。( a ；+ a ：) b ：+ c 。b ： i=pji=毛gj=覆jigk=露kib。k=聂juk-pk 卜n ”两朋f 刮j 心川i 刮i 心刮f ( 2 4 ) c 。表示齐次的展开系数，每一项“为h 阶的一个多项式，忽略h 5 的“项，并且设 c 4 1 = 。4 2 = c 4 ，4 = 0t 而q 3 0 ，由g r u h n 和h e s s 对此所做的研究可得到各向异性两体势的表 达式为 o 。= 旯 b r 口，j + g ( a 。j 】+ 0 b i k a 。一1 9 ) + 幔r 6 。j + p 陋r q ，+ g ( a 。j k r 6 。， 势参数为 ( 2 5 ) 9 窄问并向异性两体辨向列桐液品形变埘究 五：；a ( 2 k 。一3 k ：+ k ，) = 3 a ( k ：一k ，) y ：；a 取。一3 k ：一巧) p ：；a ( k k ，) ( 2 6 ) ( 25 ) n ( 2 6 ) 定义的曲体作f i _ j 势模型称为模型一。 2 、空间各向异性两体势的理论模融一【”l 进一步的推导，在弹性自由能密度表达式中不失一般性，我们定义任一点的疗= 毛= ( o ，0 ，1 ) ， 这样有： 引弧班鲁一象 亿， 辑( v 再) ) 2 = 叫；+ ( v 捌；= ( 詈一吾 2 + ( 警一鼍) 2 ， 考虑两个近邻点j 和i ”有：i 。一i = 历，而为沿一笛卡尔坐标的单位矢量( 即与瓦，口= 1 , 2 ，3 相 一致) ，再，i ”为相应的指向矢元7 = e 3 ，再”= 瞎，叩，f ) ，进一步假设：孝。o ，叩zo ，f z l ，且 蚓- i i 一纠，蚓- 1 1 一引，即与在向列相中指向矢变化十分缓慢相一致。则以上的元勺亓) 与 元( v 疗) 出现的导数可以近似为： 挈：p 一盯；) 矿历2 ( 2 9 ) 出口【0 e l s e 则由( 23 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 式可得 当而= e 一， 1 0 v 亓= f ， 元勺h ) = 理 堕：r 一1 ， 6 ， , , i - f l ：1 业人学倾l 学位沦义 当r h = 、 当r h = i ， 2 - i - = k l f2 + k 2 刁2 v - 疗= r 再- ( v h ) = “ 堕：f 一1 ， 戚， 2 q = k i r l 2 + k 2 2 v 疗= f 一1 ， 疗勺i ) = 0 ， g 勺h ) ) 2 = f2 + r 2 2 w = k ，倍2 + 7 2 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 我们进一步设定两个单位矢量中的一个沿晶格轴的方向，即霸，= e 一3 , u 一，= 皓，玎，f ) 时6 p = f ，可从 式( 2 5 ) 得到相类似的表达式 当s 一= e 一 当j = 邑 当i = 民 a 。= 0 tq ? = o - o o = 主盼一y 十2 p 磐2 + ( _ p + p 加2 】一肚 ( ：1 3 ) a f = 0 ，口，= r ， 。呜= 吾 ( - y + p 活2 + ( a - v + 2 p b 2 卜加 ( 2 1 4 ) 8 j = 1 td ，= 窄闻再向异性两体井向列相液品形变砌究 。一西。= 一 三( 九十v ) + + 兰p 心2 + h 2 ) + p c c ：s ， 其中h ，b ，c 的表达式为： a = 百9 掌2 ( f 2 + r 2 ) ，b = ；町2 营2 + 叩2 ) ，c = 罢( f 2 + 叩2 ) 2 在小角度形变f ，比较以上两组结粟，可以得到： 我们注意到两体作用势( 2 。4 ) 式中包含了所有的高阶项，虽然这些高阶项对于级数展开式中的 低阶项有一定的贡献，但是这也引入了更多的展开系数，增大了运算的难度。这些展开式把三个弹 性形变常数和两体作用势的四个势参数联系在一起，为了更方便的求解式( 2 1 6 ) ，我们选p = 0 即将方程式( 2 4 ) 中的所有4 阶和高阶项均删去，则有 解为 蝎= 吾以一v ) 从：一争 母一眇小川 九= u = v = _ 2 ，a ( k l a 【_ k 1 + 一三人足， p = o 2 k 2 一k 3 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 25 ) 和( 2 1 8 ) 定义的两体作用势模型称为模型二。 以f 讨论中，( 2 1 ) 、( 2 6 ) 看作模型一以及( 2 1 ) 、( 2 1 8 ) 看作模型二进行讨论。其中，因 1 2 ， 圯 力 订 荆 川 w n 七 从 脯 从 河北丁业人学倾i + 学位论义 子a 的作州是可以取v 一1 。当三个弹性常数相等kl = k 产k ，有x = “= p = o ，模型一利模型二简化为 l e b w o h l l a s h e r 模型”3 。 2 - 2 2 液晶分子层 假定有n 层液晶分子，分子层平行于x y 平面。分子排列在x y 平面上是均匀的，但沿z 轴方 向( 层法线方向) 变化。以上假定与通常的液品盒条件相符合，即盒厚上的线度，远远小t 盒面上 的线度。进一步假定分子取向在x z 平面内变化，极角为0 ，印有i 分子的取向 琶= ( s i n t g i ，0 ，c o s 毋, ) ( 2 1 9 ) 为方便起见，我们用角标j 表示分子所在的分子层，j = 1 2 ，n 。当j 分子在第j 分子层时，i 分子 和它的同层邻近分子均具有取向。j ，而它下一层和上一层的邻近分子分别具有取向e j 1 r l o j + i 。对j 分 子的4 个同层邻近分子，有 置= ( - j ，0 ，o ) ，i ：= 0 , o ，o ) ，墨，= ( o ，一l ，o ) ，i 。= ( o ，1 ，0 ) ( 2 2 0 r ) 对2 个邻层邻近分子，有 墨，= ( o ，0 , - 1 ) ，瓦= ( o ，0 ，1 )( 2 2 0 h ) 将( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 式代入( 2 1 ) 和( 2 2 ) ，得到j 分子层上一个分子与邻近分子的相互作用 中( j ) = 吼 r = j = z 。+ p ) ( 3 s t n 2 q 一) + ( s i n 2 q 一；) 十v + z s ( 一吉+ v 一五一p ) + g ( 1 一占，砸a + 丢p c o s 2 ( 0 , ，一g 。) 一j 1p 吾( c 。s 2q + c 。s 2 臼川) 一- + c o s 口jc 。s 够。c 。s ( 已一够+ ) 一爿+ v 三c 。s 2 e g + ，) 一； + s ( 1 一i ，) ( 兄+ 主p c 。s 2 ( 。一o j 一) 一j 1p 吾( c 。s 2 q + c 。s 2 q 一。) 一 + c 。s 哆c o s g 一。c 。s 蛾一够一，) 一； + v 兰c 。s 2 睁一哆一，) 一； ( 22 1 ) 在( 2 2 1 ) 式中出现了两个园子( 1 一万j 和( 1 一厶) ，是因为对于第1 层上的分子，它没有下层 1 3 卒间再向异性两仲势向列相液晶彤变删 究 上的邻近液品分子：而对第n 层上的分子，它没有上一层上的邻近液晶分子。 2 2 3 界面作用和磁场作用 n 层分子构成的液晶薄层，可以具有自由表面，也可以受到基板作用。若存在弱锚泊作州，可 以假定基扳与表面层上的分子j 具有作用能 g ，g ，亓) = 一叩。仁，牙) 2 其中玎。为大于零常数；亓为基板易取向方向。若r 基板和上基板处易取向方向的极角分别为o o 羽i 吼，即 则( 2 2 2 ) 式给出 开= ( s i n 盆o ，0 ，c o s o o ) 矛= s i n o o ，0 ，c o s o o ) g ，l = 一，7 。c o s 2 ( 0 1 一o o ) g 。= 一叩。c o s 2 ( 眈- o o ) ( 2 2 3 a ) ( 2 2 3 b ) r 2 2 4 a ) r 2 2 4 b ) 若存在磁场作用，在磁场作用下液晶单轴分子受到的取向作用势为 t s i 厶= 一扣甜 ( 2 ：s ) 其中r 。= 锄一r i 为分子磁化率各向异性。当i 分子处于第j 分子层时，( 2 2 5 ) 式给出 厶( _ ，) = 一i r l 。( h ，s i n q + 日：c 。s q ) 2 ( 2 2 6 ) 2 - 2 4 平衡态方程 假定分子层上的液晶分子数密度为o ，我们可以写出单位面积液晶层上的自由能： f = 盯喜 丢刚，+ 删，卜k d 饵。， 在理想有序的近似条件下，( 2 2 7 ) 式中没有熵的贡献项。 在平衡态下，f 应对o j 取最小，必要条什是 暑= 。 将( 2 2 7 ) 代入( 22 8 ) 式得到平衡态方稃： s ( 3 a + 3 p + a ) s j n 2 q o 一啦删n z 乜以。杞q + c o 以加1 十磐+ ；舢s 2 睁鸣。) 一圭p b ：q + 胛s 。；。( 2 q ) + ；”s i n 2 p ，一q “垮一。一- b ；p s ；n ：包一q 一j r ；( c 。s2 哆+ c 。sz 臼，一) 一一1 + 互3l 1 1 + j 3 户c 。s 2 包一q 一，) 一；p s j n 2 已+ c 。s 9 一，。i 。( 2 已一q 一。) + v s i n 2 ( 0 j 一嘭一，) 一巩，s i n q + ：c 。s 巳) ( _ tc 。s q 一日：。i 。够) + r 。s i n 2 ( o j 一岛) + 占。卵。s i n 2 ( o 一鼠) ：0 自由能( 2 2 7 ) 式和平衡态方程( 2 2 9 ) 是我们以下两节讨论问题的基本方程。 2 3f r 6 e d e r i c k s z 转变 2 3 - 1 从垂面捧列状态到沿面排列的转变 ( 2 2 8 1 ( 2 2 9 ) 当不加外磁场时，液晶分子垂直于基板表面排列，即关于易取向方向有吼：瓯，：0 。外磁场方 向沿x 轴方向即有月，= 日，h ：= 0 。只研究强锚泊边界条件，在( 2 2 9 ) 式给出的方程组中，当 j = l 和j 2 n 时，由于u w _ m 而分别给出b = 0 。= o 和以= 哦= 0 。冈此( 2 2 9 ) 式给出的方程组， 退化为n 2 个方程。 可以通过线性化分析方法，给出f r 6 e d e r i c k s z 转变的阈值磁场，假定o j 是小量，( 2 2 9 ) 式给出， 一( 6 p + 3 y + 卢) ( 包一一2 巳+ 巳+ ) + 叩。h2 0 j ：0( 2 3 0 ) 将模型一的( 2 6 ) 式代入( 2 3 0 ) 并除以晶格常数a ，得到 1 5 窄闽并向异忡阿体辫向列相液品彤变研究 其中 ”盟掣+ z ，h2 e j = o z 。= 仉a 3 ，k 3 + = 3 - a k 3 a ( 2 3 1 ) ( 23 2 ) 在理想有序的假定f ，上式中是液晶的磁化率各向异性。迸一步注意到，因子 ( 口川- 2 0 ，+ q + 1 ) a 2 是二阶导数d 2 8 d z2 的差分形式，( 2 3 1 ) 式转换到连续函数，给出 v 窘屹胸= 。 ( 2 s ，) 由于已经做了理想有序的假定，分子取向和液晶指向欠方向是重台的。按照液晶连续体理论的相同 步骤，( 2 3 3 ) 式给出阈值磁场： 胪= i 7 1 ( 2 3 4 ) 其中d 是液晶层的厚度，