（应用数学专业论文）一类含有临界sobolevhardy项的四阶奇异椭圆方程无穷多小解的存在性.pdf

摘要 摘要 本篇文章研究了带有临界s o b o l e v h a r d y 项的一类四阶奇异椭圆方程问 题解的存在性。通过利用变分方法工具，结合集中紧性原理，证明了四阶奇 异椭圆问题无穷多小解的存在性。 文章的主要成果在于利用作者k a j i k i y a 在文献【2 7 】中建立的一种新型的 对称山路引理给出了问题( 1 1 1 ) 无穷多解的存在性，同时证明了解收敛到零 的特性。 然而，在利用对称山路引理的过程中，遇到了很多困难。最主要的一点 就是h 2 , 2 ( q ) 嵌入到l 2 ”( q ) 不再是紧嵌入。这里我们利用集中紧性原理来克 服这一难点。 关键词 双调和算子；临界s o b o l e v h a r d y 项；变分方法；紧性 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e rd i s c u s sac l a s so ff o u r t ho r d e re l l i p t i cp r o b l e mw h i c hi ss i n g u l a r p o t e n t i a la n di n v o l v e sc r i t i c a ls o b o l e va n dh a r d yt e r m s b ye m p l o y i n gv a r i a t i o n a l m e t h o da n dc o n c e n t r a t i o n - c o m p a c t n e s sp r i n c i p l e ，t h ee x i s t e n c eo fi t si n f i n i t e l ym a n y s m a l ls o l u t i o n si sv e r i f i e d t h en e wr e s u l to ft h i sp a p e ri st os h o wt h a tt h ee x i s t e n c eo fi n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n so ft h ep r o b l e m ，a n dt h e r ee x i s t sas e q u e n c eo fi n f i n i t e l ym a n ya r b i t r a r i l ys m a l l s o l u t i o n sc o n v e r g i n gt oz e r ob yu s i n gan e wv e r s i o no ft h es y m m e t r i c m o u n t a i n - p a s s l e m m ad u et ok a j i k i y a 【2 7 i no r d e rt ou s et h es y m m e t r i cm o u n t a i n - p a s sl e m m a ，t h e r ea r em a n yd i f f i c u l t i e s t h em a i no n ei ns o l v i n gt h ep r o b l e mi sal a c ko fc o m p a c t n e s sw h i c hc a nb ei l l u s t r a t e d b yt h ef a c tt h a tt h ee m b e d d i n go fh 2 , 2 ( q ) i n t ol 2 ”( q ) i sn ol o n g e rc o m p a c t h e n c e t h ec o n c e n t r a t i o n - c o m p a c t n e s sp r i n c i p l ei su s e dh e r et oo v e r c o m et h ed i f f i c u l t y k e y w o r d s b i h a r m o n i co p e r a t o r ；c r i t i c a ls o b o l e va n dh a r d ye x p o n e n t ；v a r i a t i o n a l m e t h o d ；c o m p a c t n e s s i v 刖吾 上_ j l 一 月u舌 众所周知，基础科学的发展对现代社会科技与文明的进步，起到不容忽 视的促进作用。同时，科技的日新月异，也带动了物理学、生物学、化学的 迅猛发展，并且不同学科之间的联系越来越紧密。而数学在研究解决交叉学科 中的众多问题方面，地位可以说是举足轻重，发挥着十分关键的作用。微分 方程问题的研究由来已久，偏微分方程是数学的一门重要分支，与实际生活 可谓有着休戚相关的联系。实际生活中的许多问题，都可以转化为偏微分方 程问题来解决。 带有临界项的二阶椭圆方程问题，自作者b r e z i s 和n i r e n b e r g 在文献【3 】 中，研究当8 = 0 时的情况以来，获得了非常丰富的研究成果，参看文献 ( 【1 ，5 ，6 ，8 ，1 0 ，2 3 】) 。在文献【1 5 】中，作者g h o u s s o u b 和y u a n ，考虑了奇 异项的情况。通过在有界区域中，选取适当的对偶集合来构建p a l a i s s m a l e 型序列，给出了h a r d y s o b o l e v 次临界和h a r d y 临界问题的无穷多非平凡解的 存在性。 近年来，四阶非线性椭圆问题，成为了当今偏微分方程研究中的热门 问题之一，得到了国内外专家学者的重视。尽管已经有大量的文章对于带 有h a r d y s o b o l e v 临界项的奇异问题进行了研究( 如当8 0 时，参看文献 【2 ，7 ，l l ，1 2 ，1 6 ，2 0 】) 。在文献【3 】中，作者c h e n 和l i 利用集中紧性原 理和扰动方法，证明了一类定义在区域冗中，带有h a r d y s o b o l e v 临界项问 刖萏 题的无穷多个非平凡小解的存在性。 到目前为止，我们所知道的，作者a l v e s d oo 和m i y a g a k i 考虑了一类含 有奇异项的四阶椭圆方程问题非平凡解的存在性，但并没有给出无穷多个 解。作者z es h e n 和m y a n g ，在文献中研究了一类带有奇异项的的拟线性 椭圆方程无穷多个解的存在性。文献【9 】中，他们找到了一类带有奇异项的 四阶椭圆方程无穷多个解的存在性，其证明的工具是变分方法和集中紧性原 理。但是关于一般项f ( x ，t ) 的情况，很少有类似的结论。 目前，对称山路引理有两种类型。其中一种对称山路引理给出了存在临 界值的一个序列发散到无穷，另外一种是说存在临界值的一个序列收敛到 零。这两种对称山路引理分别适用于超线性椭圆方程和次线性椭圆方程。在 文献【2 7 】中，k a j i k i y a 利用后者给出了建立在对称山路引理基础上的临界点 定理，并将此定理应用到了一类次线性椭圆方程中。但没有将此定理应用到 带有临界s o b o l e v 项和h a r d y 项的四阶奇异椭圆方程问题上得到如本文的结 论。利用山路引理结合变分方法来研究椭圆型偏微分方程已成为人们普遍采 用的方法。然而，在利用对称山路引理的过程中，遇到了很多困难。最主要 的一点就是日2 ，2 ( q ) 嵌入到l 2 “( q ) 不再是紧嵌入。 本篇文章的主要内容为：第一章中我们讨论一类包含临界s o b o l e v h a r d y 项的四阶奇异椭圆方程： 令qcr 是一个有界区域， ，2 u = p 学+ a ，( z ，让) ，z q ， iu 瑶2 ( q ) ，n 5 ， 一2 一 ( o 0 1 ) 日u舀 其中，2 是双调和算子， 肛，入是两个正参数，并且2 “( s ) = 刿n - 4 ，0 8 o ， 使得对于任意的a ( 0 ，入) ，有一组非平凡的序列【u 礼) ，是问题( 1 1 1 ) 的 解，且当n 0 0 时，g 竹_ 0 。 说明a 1 作者在文献 1 9 1 中得出了当p = 1 ，8 = 0 时，在条件( 正) - ( 死) ，再加上( t 4 ) 条件同时满足的情况下，问题( 1 1 1 ) 具有无穷多个解的结 论。尽管作者应用了较多的条件，但是并没有指出解的特性。然而，本篇文 章指出，问题( 1 1 1 ) 的无穷多个解序列具有收敛到零的特性并给出了相应的 证明过程。 说明a 2 在本篇文章中，问题( 1 1 1 ) 将文献【9 】中非线性项的具体形式 替换为了一般形式f ( x ，) ，因此，具有更加广泛的应用范围。并且与文献 1 1 9 1 相比，非线性项f ( x ，t ) 不需要满足条件( 乃) 。 说明a 3 如果对称性条件不满足，( 即，( z ，一u ) = 一f ( x ，u ) ) ，在本篇文章 中，我们依然可以利用同样的方法证明问题( 1 1 1 ) ，至少存在一个非平凡 解。 说明a 4 很多泛函f ( x ，t ) 满足条件( 孔) 一( 乃) ，如厂( z ，u ) = 札，f ( x ，u ) = u ，等等。 一3 一 h u舌 在第二章中，我们讨论四阶奇异椭圆问题，证明其无穷多小解的存在 性，即存在一个解序列趋于零。 令x 是一个巴拿赫空间，记 ：= acx 0 ) ：a 是在x 中关于原点对称) 由于a ，我们定义属r ( a ) ，如下， r ( a ) ：= i n f m n ：j 妒c ( a ，r m o ) ，一妒( z ) = ( 一z ) ) ) 如果不存在映射砂如上，对任意的m n ，那么r ( a ) = + o o 接下来我们列 出属的一些特性。然后，用到了作者k a j i k i y a 在文献【1 5 中建立的对称山路 引理。为了得到无穷多个解，列举了需要的一些引理最后主要通过利用变 分方法工具和集中紧性原理，证明了本文的新结论，定理a 成立。 一4 一 笫1 葶预备知识 第1 章预备知识 1 1 引入及已有结论 令qcr 是一个有界区域，一类包含临界s o b o l e v h a r d y 项的四阶奇异 椭圆方程 ，a 2 um = b ，t 辨他m ，联q ， ( 1 1 1 ) 【u 瑶名( q ) ，n 5 ， 其中，a 2 是双调和算子， p ，a 是两个正参数，并且2 + + ( s ) = 刿n - 4 ， 0 8 0 一5 一 第l 章预备知识 我们将在接下来给出h a r d y s o b o l e v 不等式中的最佳常数如下： 卧2诞嘏毛忡，一,ul | 2 如 ( 1 1 3 ) 其中，岛称为著名的s o b o l e v 不等式最佳常数，而成被称做著名的h a r d y 不 等式最佳常数。与此同时，我们利用 x 1 ：=( 1 1 4 ) 作为2 的第一特征值。再根据狄利克雷边值问题，现在我们给 h 定义在 瑶2 ( q ) 上的能量泛函， m ，= 互1 上m 加赤z 譬如a 上脚 这表明了临界点的存在性等价于解的存在性。作者r a b i n o w i t z 在文献【2 5 】中 指出，在假设条件 t 2 成立的情况下，j c 1 ( 碥2 ( q ) ，冗) 。 文献【1 9 】考虑了一类非线性二阶椭圆问题，并且证明了，此类非线性二 阶椭圆问题具有无穷多个解的结论。 假设厂( z ，乱) 满足下述条件： 陬】：y ( x ，u ) c ( n r ，r ) ，y ( x ，一u ) = 一y ( x ，u ) ，对于v 让r ； m 】1 i m i u i o 。高驰乞= 0 ，对于z q 一致成立； f 死】：l i r a i u i 。o + 丛= 0 0 ，对于z q 一致成立； 一6 一 第l 孥预符知识 【丑 ： ，( z ，u ) u f ( x ，u ) o b l u l 扩，对于几乎处处z q ，u r ， 其中f ( x ，u ) = 片f ( x ，t ) d t ，b 0 ，a 0 定义1 1 1 令x 是一个巴拿赫空间，icc 1 ( x ，冗) ，且c r 。如果泛 函，在水平集c 上满足p a l a i s s m a l e 条件，即 存在x 的任意子集合序列 “n ) ，使得 含有一个收敛子列。 ，( u n ) _ c 且，7 ( u n ) _ 0 引理1 1 2 令0 s 4 r i “n 1 2 出， = ，l i m l i ml m i r 学兆 不失一般性，我们不妨假设，在瑶2 ( q ) 上，序列u nju ，在m + 上，i u n l 2 7 ，监辱旦j 猡。这里，我们记朋+ 为r a d 。n 有限正测度的 核。那么，q 中存在至多个可数集合j 和一个点集合使得下列条件成立： ( i ) 尻t ，型2 “( 8 ) ； ( i i 肛窄+ 协咿。； ( i i i ) ( i v ) 7 = i u 1 2 + 屯凤秽；7 2 ”引：屯凤椤；7 2 ”8 ； 规上学虻z 譬圳卅 一7 一 第1 草预祷知识 这个结论的证明和作者l i o n s 在文献【1 3 ，1 4 中的证明是类似的，并且 是作者s m e t s 在文献【2 1 】中对于引理的应用，我们在这里省略此证明过程。 在假设条件( 乃) 7l i m i 训o o 而磐学= 0 ，对于z q 一致成立，成立的 条件下，我们得到 m u = 。( 学) ，脚旧( 譬) ， 因而，对于任意 0 ，存在a ( e ) ，b ( e ) 0 ，使得 m u + 学， 训叫卅e 学 因此，对于某个c ( ) 0 ，我们有， 脚) 一扣咖蚓卅学 ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 引理1 13 假设条件( 死) 7l i m i u 卜呻o o 而磐谐= 0 ，z q ，成立。那么， 对任意的入 0 ，泛函在 c ( 喝赫 卢。凤 商n - 8 枷( 茄啬) i q i ) 中满足局部( p s ) 。条件，当下面条件成立时： 一8 一 第1 章预备知识 如果对于某个序列 “n ) 讹一c 0 ，使得对 于任意的a ( 0 ，入+ ) ，有一组非平凡的序列_ 乱n ，是问题( 1 1 1 ) 的解，且当 n _ 时，_ 0 。 说明a 1 作者在文献【1 9 】中得出了当p = 1 ，8 = 0 时，在条件( 死) - ( 乃) ，再加上( 7 4 ) 条件同时满足的情况下，问题( 1 1 1 ) 具有无穷多个解的结 论。尽管作者应用了较多的条件，但是并没有指出解的特性。然而，本篇文 第1 争预备知识 章指出，问题( 1 1 1 ) 的无穷多个解序列具有收敛到零的特性并给出了相应的 证明过程。 说明a 2 在本篇文章中，问题( 1 1 1 ) 将文献【9 】中非线性项的具体形式 替换为了一般形式f ( x ，t ) ，因此，应用的范围更加广泛，并且与文献 1 9 1 相 比，非线性项f ( x ，t ) 不需要满足条件( 乃) 。 说明a 3 如果对称性条件不满足，( 即f ( x ，一 i t ) = 一f ( x ，乱) ) ，在本篇文章 中，我们依然可以利用同样的方法证明问题( 1 1 1 ) ，至少存在一个非平凡 解。 说明a 4 很多泛函f ( z ，t ) 满足条件( 乃) 一( 死) ，如f ( x ，u ) = 乱虿1 ，( z ，乱) = u ，等等。 第2 章一类带有i 临界s o b o l e v h a r d y 项的四阶奇 异椭圆问题无穷多小解的存在性 2 1 引入 在这个部分中，我们将证明问题( 1 1 1 ) 的无穷多解及其任意小序列的存 在性。 令x 是一个巴拿赫空间，记 ：= ( acx 0 ：a 是闭的，且关于原点对称) 假如a ，我们定义属f ( a ) 如下： r ( a ) ：= i n f m n ：| 妒c ( a ，r m 【o ) ，一( z ) = ( 一z ) ) ) 说明2 1 1 如果不存在如上所描述的映射西，对任意的m n ， 那么f ( a ) = + o 。记七表示为集合x 中对称闭子集a 组成的集合 族，0 乒a ，f ( a ) k 。接下来我们列出属的一些特性( 参看文献【2 7 】) 。 引理2 1 2 假设4 和b 是集合x 中不包含原点的闭对称子集，那么下 述结论成立： ( 1 ) 如果存在一个从集合a 到b 的奇连续映射，那么r ( a ) r ( b ) ； ( 2 ) 如果存在一个从集合4 到集合b 的奇同胚，那么等式r ( a ) = r ( b ) 成立： 一1 6 ( 3 ) 如果r ( b ) 0 ，当e 中的任一序列 u 豇 满足l i m k 。l ( u k ) = c 弓及 l i m k 。伊( u k ) l l s = o ，都有一个收敛子列。 ( q ) 对任意k n ，存在一个a k 七，使得s u p u 九j ( u ) 0 ， 那么，下面的( r 1 ) 或者( r 2 ) 成立： ( 矗1 ) 存在一个序列( 妣) ，使得，7 ( u 七) = 0 ，i ( u k ) o 因此，对于任意的e o ( 0 ，e 1 ) ，都存在r o r 1 ，使h ( r o ) = e o 成立。 下面我们来定义 x ( t ) 1 ，o t 凰，l t 2 z - t a 。c 。- e 1 ，t r 1 , c ，x ( ) 【o ，l 】，风亡兄1 ) 那么很容易得出x ( t ) 0 ，1 】，x ( t ) 是c 。的令妒( u ) = x ( 1 l u l l ) ，接下来考虑 泛函i ( u ) 的扰动： g = 三小u 1 2 d z - t t 妒( u 例) 上学如 一州u ) 上即，u ) 姒 一1 9 一 ( 2 3 1 ) 第2 章一类带有临界s o b o l e v - h a r d y 项的p q 阶奇异椭圆6 d 题无穷多小解的存“：性 那么 g 三舯2 d x - z q o ( 舯z d z ) 掣州 其中 一h ( t ) = l t 2 一z x ( t ) t 2 “( 8 ) 一a c 及 百( t ) ： 日 ) ，o 。r o ， ie l ，t r 1 通过以上证明，我们有以下结论： 引理2 3 1 令a ( u ) 如( 2 3 1 ) 中的定义，那么 ( i ) g c 1 ( 瑶2 ( q ) ，r ) ，g 是偶的，且有下界； ( i i ) 如果a ( u ) e o ，那么，万( i i 让i i ) e o ，因此，| i 风，且，( u ) = g ( t 正) ； ( i i i ) 存在a + 使得，对于a ( 0 ，a + ) ，g 满足局部( p s ) 条件， c 0 ，使得r ( 仳瑶2 ( q ) ：g ( “) 一6 ( 局) ) 0 ) k i 正, y j ：首先，通过定理a 中的( 死) ，对于任意固定的u 瑶2 ( q ) ，u 0 ，我们有 f ( z ，刖) m ( p ) ( p “) 2m ( p ) _ 。，当p _ 0 其次，给定任意的k n ，令e k 是一个瑶2 ( q ) 上的k 维子空间，那么， 存在常数盯七，使得 u l i 仃k l u l 2 ，v , e k 因此，对于任意的u e k ，i l u l i = 1 及p 足够小，我们有 g 譬上m 如岩出旺譬如加如 换句话说， u e k ：i l u l l = p ) c 札碥2 ( q ) g ( u ) 一6 ( 七) ) o ，口 2 4 定理证明 现在我们将给出定理a 的证明，如下： 一2 l 一 半q 一 i l 第2 章一类带有临界s o b o l c v - h a r d y 项的阴阶奇”椭圆6 d 题无穷多小解的存在1 ，l ： 定义 证明：令 七= a 瑶2 ( q ) 0 ：a 是闭的，a = 一a ，r ( a ) 后 2 艘眦s u a p g ( 乱) 通过应用引理2 3 1 ( i ) 及引理2 3 2 ，我们知道一。o c k 0 。因此，满足引 理2 2 1 中的( c 1 ) 和( 岛) ，进而得到g 有一个解序列 u n ) ，收敛到零。通过 应用引理2 3 1 ( i i ) ，定理a 成立口 一2 2 参考史献 参考文献 【1 j g a z o r e r o ，i ea l o n s o ，m u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sf o re l l i p t i cp r o b l e m sw i t h c r i t i c a le x p o n e n to rw i t han o n s y m m e t r i ct e r m ，t r a n s a m e r m a t h s o c 3 2 3 ( 1 9 9 1 ) 8 7 7 - 8 9 5 【2 】d c a o ，s p e n g ，an o t eo nt h es i g n c h a n g i n gs o l u t i o n st oe l l i p t i cp r o b l e m s w i t hc r i t i c a ls o b o l e va n dh a r d yt e r m s ，j d i f f e q n s 1 9 3 ( 2 0 0 3 ) 4 2 4 - 4 3 4 【3 】h b r e z i s ，l n i r e n b e r g ，p o s i t i v es o l u t i o n so fn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n si n - v o l v i n gc r i t i c a le x p o n e n t s ，c o m m u n p u r ea p p l m a t h 3 4 ( 19 8 3 ) 4 3 7 - 4 7 7 【4 】e s n o u s s a i r , c a s w a n s o n ，j y a n g ，c r i t i c a ls e m i l i n e a rb i h a r m o n i ce q u a 。 t i o ni nr p r o c r o y s o c e d i n b u r g hs e c t a1 2 1 ( 1 9 9 2 ) 1 3 9 - 1 4 8 【5 】j g a z o r e r o ，i ea l o n s o ，h a r d yi n e q u a l i t i e sa n ds o m ec r i t i c a le l l i p t i ca n d p a r a b o l i cp r o b l e m s ，j d i f f e q n s 1 4 4 ( 1 9 9 8 ) 4 4 1 4 7 6 6 1j c h a b r o w s k i ，o nm u l t i p l es o l u t i o n sf o rt h en o n h o m o g e n e o u sp - l a p l a c i a n w i t hac r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t ，d i f f i n t e g e q n s 8 ( 19 9 5 ) 7 0 5 - 7 16 一】j c h e n ，s l i ，o nm u l t i p l es o l u t i o n so fas i n g u l a rq u a s i l i n e a re q u a t i o no n u n b o u n d e dd o m a i n ，j m a t h a n a l a p p l 2 7 5 ( 2 0 0 2 ) 7 3 3 7 4 6 【8 】k c h o u ，c c h u ，o nt h eb e s tc o n s t a n tf o raw e i g h t e ds o b o l e v - h a r d yi n e q u a l 。 i t y , j l o n d m a t h s o c 4 8 ( 1 9 9 3 ) 1 3 7 1 5 1 一2 3 参考文献 【9 】m b y a n g ，z es h e n ，i n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n sf o rac l a s so ff o u r t ho r - d e re l l i p t i ce q u a t i o n si nr ，a c t am a t h e m a t i c as i n i c a ，e n g l i s hs e r i e s ( 2 0 0 8 ) 1 2 6 9 1 2 7 8 【1o 】a f e r r e r o ，eg a z z o l a ，e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rs i n g u l a rc r i t i c a lg r o w t h s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ，j d i f f e q n s 17 7 ( 2 0 01 ) 4 9 4 - 5 2 2 【11 】x m h e ，w m z o u ，i n f i n i t e l ym a n ya r b i t r a r i l ys m a l ls o l u t i o n sf o rs i g u l a re l - l i p t i cp r o b l e m sw i t hc r i t i c a ls o b o l e v h a r d ye x p o n e n t s ，p r o c e d i n b u r g hm a t h s o c ( 2 0 0 9 ) 5 2 ，9 7 1 0 88 ( 1 9 9 5 ) 6 7 3 6 7 9 【12 】n g h o u s s o u b ，c y u a n ，m u l t i p l es o l u t i o n sf o rq u a s i l i n e a rp d e si n v o l v i n g t h ec r i t i c a ls o b o l e va n d h a r d ye x p o n e n t s ，t r a n s a m e r m a t h s o c 3 5 2 ( 2 0 0 0 ) 5 7 0 3 5 7 4 3 【l3 】p l l i o n s ，t h ec o n c e n t r a t i o n - c o m p a c t n e s sp r i n c i p l ei nt h ec a c u l u so fv a r i a t i o n ：t h el i m i tc a s e ，i ，r e v m a t i b e r o 1 ( 19 8 5 ) 4 5 - 12 0 【1 4 】p l l i o n s ，t h ec o n c e n t r a t i o n c o m p a c t n e s sp r i n c i p l ei nt h ec a c u l u so fv a r i a t i o n ：t h el i m i tc a s e ，i i ，r e v m a t i b e r o 1 ( 19 8 5 ) 14 5 2 01 f15 】n g h o u s s o u b ，x s k a n g ，h a r d y s o b o l e vc r i t i c a le l l i p t i ce q u a t i o n sw i t h b o u n d a r ys i n g u l a r i t i e s ，a n n a l e si n s t h p o i n c a r 舌a n a l y s en o nl i n d a i r e2 1 ( 2 0 0 4 ) 7 6 7 - 7 9 3 2 4 参考文献 【16 】d k a n g ，s p e n g ，s o l u t i o n sf o rs e m i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m sw i t hc r i t i c a l s o b o l e v - h a r d ye x p o n e n t sa n dh a r d yp o t e n t i a l ，a p p l m a t h l e t t 18 ( 2 0 0 5 ) 1 0 9 4 11 0 0 【l7 】t k u s a n o ，m n a i t o ，c a s w a n s o n ，r a d i a le n t i r es o l u t i o n so fe v e no r d e r s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ，c a n a d j m a t h 19 5 ( 19 8 8 ) 12 81 13 0 0 【l8 】y f u r u s h o ，t k u s a n o ，e x i s t e n c eo fp o s i t i v ee n t i r es o l u t i o n sf o rh i g h e ro r d e r q u a s i - l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ，j m a t h s o c j a p a n4 6 ( 1 9 9 4 ) 4 4 9 4 6 5 【19 】s l i ，w z o u ，r e m a r k so nac l a s so fe l l i p t i cp r o b l e m sw i t hc r i t i c a le x p o n e n t s ， n o n l i n e a r a n a l 3 2 ( 19 9 8 ) 7 6 9 - 7 7 4 【2 0 】d r u i z ，m w i l l e m ，e l l i p t i cp r o b l e m sw i t hc r i t i c a le x p o n e n t sa n dh a r d yp o t e n t i a l s ，j d i f f e q n s19 0 ( 2 0 0 3 ) 5 2 4 - 5 3 8 【21 】d s m e t s ，ac o n c e n t r a t i o n - c o m p a c t n e s sp r i n c i p l el e m m aw i t ha p p l i c a t i o n st o s i n g u l a re i g e n v a l u ep r o b l e m s ，j f u n c t a n a l 1 6 7 ( 1 9 9 9 ) 4 6 3 - 4 8 0 【2 2 】c a s w a n s o n ，u n i q u e n e s sf o rs e m i l i n e a rp o l y h a r m o n i cp r o b l e m s ，n o n l i n e a r a n a l 2 5 ( 1 9 9 5 ) 1 0 5 5 1 0 6 2 【2 3 】e a s i l v a ，m s x a v i e r , m u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sf o rq u a s i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m si n v o l v i n gc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t s ，a n n a l e si n s t h p o i n c a r a n a l y s e n o nl i n d a i r e2 0 ( 2 0 0 3 ) 3 41 3 5 8 一2 5 参考文献 【2 4 】y w a n g ，y s h e n ，m u l t i p l ea n ds i g n c h a n g i n gs o l u t i o n sf o rac l a s so fs e m i l i n e a r b i h a r m o n i ce q u a t i o n ，j d i f f e q n s ( 2 0 0 9 ) ，d o i ：1 0 1 0 1 6 0 j d e 2 0 0 9 0 2 0 1 6 【2 5 】p h r a b i n o w i t z ，m i n i m a xm e t h o d si nc r i t i c a l p o i n tt h e o r yw i t ha p p l i c a t i o n s t od i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，c b m er e g i o n a lc o n f e r e n c es e r i e si nm a t h e m a t i c s ， v o l u m e6