（理论物理专业论文）几个非线性演化方程的解析解.pdf

摘要 随着非线性科学研究的进展，非线性方程在物理学、力学、地球科学、生命科学、 应用数学和工程技术科学中有着广泛的应用所以，对非线性方程的求解，一直是数学 家和物理学家感兴趣的问题本论文对几个重要的非线性偏微分方程进行了求解，并对 解的性质进行了一定的分析 ( 1 ) 求褥t o + 1 ) 维k p 方程的b t l c l d u n d 变换，并利用它得到了该方程的多孤子解和 l u m p 解研究了( 2 + 1 ) 维k p 方程三孤子的相互作用，发现在一定条件下三个同振幅孤 子相互作用时振幅的最大值可达到相互作用前的9 倍 ( 2 ) 利用函数展开法求得了变系数b u r g e r s 方程、变系数k d v 方程和变系数 k d v - b u r g e r s 方程在一定条件下的若干精确解，包括变速孤立波解、奇异行波解和其它 类型的解 ( 3 ) 用w t c 方法求解了具有三个任意变系数的( 3 + 1 ) 维z a k h a r o v - k u z n e t s o v ( z k ) 方 程，得到了它的单孤立波解对解分析表明，该波在运动过程中，振幅保持不变而速度 则随时间发生变化 ( 4 ) 对包括阻尼k d v 方程、柱k d v 方程和球k d v 方程在内的一类k d v 方程进行 了求解，得到了这一类方程积分意义下的广义解该解表示的波，振幅和速度一般随时 间变化 ( 5 ) 利用同伦分析方法求得了b u r g e r s 方程的扭结型孤立波解，发现用该方法求得 的解与精确解十分吻合，说明同伦分析法对于求解一类非线性演化方程扭结形孤立波的 近似解时非常有效 1 i a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fn o n l i n e a rs c i e n c e ，n o n l i n e a re q u a t i o n sa r ea p p l i e d w i d e l yi np h y s i c s ，m e c h a n i c s ，g e o s c i e n c e ，l i f es c i e n c e s ，a p p l i e dm a t h e m a t i c s ， a n de n g i n e e r i n g f i n d i n gt h es o l u t i o n so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n si sa n i n t e r e s t i n gw o r kt op h y s i c a ls c i e n t i s t sa n dm a t h e m a t i c i a n s i nt h i sp a p e rw e o b t a i n e dm a n ys o l u t i o n so fs e v e r a li m p o r t a n tn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u m i o n sa n ds t u d i e dc h a r a c t e r so f e q u m i o n s ( 1 ) w eo b t a i n e dt h eb i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o no f ( 3 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lk p e q u a t i o n ，a n dd e r i v e dt h em u l t i s o l i t o ns o l u t i o na n dl u m ps o l u t i o n w ea l s o i n v e s t i g a t e dt h r e es o l i t o n si n t e r a c t i o nf o r ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a le q u a t i o n ，a n df i n d ， u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ，t h a tt h em a x i m u ma m p l i t u d ec a nr e a c h9t i m e so f i n i t i a li n t e r a c t i o ns o l i t o n sf o rt h r e es o l i t o n st h a tw i t hs a m ea m p l i t u d e s ( 2 ) b yu s i n gt h ef u n c t i o ne x p a n s i o nm e t h o dw eg o ts o m es o l u t i o n sf o r b u r g e r se q u a t i o n ，k d ve q u a t i o n a n dk d v - b u r g e r se q u a t i o nw i t hv a r i a b l e c o e f f i c i e n t s m a n ye x a c ts o l u t i o n si n c l u d i n gs o l i t a r yw a v e ，s i n g u l a r i t yt r a v e l i n g w a v es o l u t i o n sa n do t h e rk i n do fs o l u t i o n sa r eo b t a i n e d ( 3 ) ac l a s so fe x a c ts o l i t a r yw a v es o l u t i o n sf o rt h e ( 3 + 1 ) 一d i m e n s i o n a l z a k h a r o v k u z n e t s o v ( z k ) e q u a t i o nw h i c hc o n t a i n s t h r e ea r b i t r a r yv a r i a b l e c o e f f i c i e n t sa r eo b t a i n e db yu s i n gt h ew t cm e t h o d t h er e s u l t si n d i c a t et h a tt h e c o e f f i c i e n t so ft h ee q u a t i o nw i l ln o tc h a n g et h ew a v ea m p l i t u d e ，b u tc h a n g et h e w a v ev e l o c i t y ( 4 ) t h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o n sa r eo b t a i n e df o rac l a s so fk d ve q u a t i o n s ， i n c l u d i n gt h ed a m p i n gk d ve q u m i o n s ，t h ec y l i n d r i c a lk d ve q u a t i o n s a n d s p h e r i c a lk d ve q u a t i o n s t h er e s u l t si n d i c a t et h a tt h ea m p l i t u d ea n d t h ev e l o c i t y o f t h ew a v e sc h a n g ea st i m ec h a n g e s ( 5 ) w e s o l v e dt h eb u r g e r se q u a t i o nb yu s i n gt h eh o m o t o p ya n a l y s i sm e t h o d a n do b t a i n e di t sk i n ks o l i t a r yw a v es o l u t i o n s t h er e s u l t si n d i c a t et h a tt h i s m e t h o di sv a l i dt of i n dt h es o l i t a r yw a v es o l u t i o n sf o rac l a s so fn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s i i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大 学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名：彳移红踊 日期：2 祝占j 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文 的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：杨确导师签名弘麦凶魄沙形 第一章非线性物理与非线性演化方程简介 1 1 非线性物理简介 几个世纪以来，物理学研究的主要是线性问题，即运动方程为线性方程，物质方程 为线性方程的情形，无论是在力、热、声、光、电现象或在微观世界中，研究工作的状 况均是如此线性与非线性，是事物客观属性及运动规律中对立、统一的两个方面从原 则上讲，线性是特殊的、相对的，而非线性才是普遍的、绝对的线性系统的主要特点是： 系统的整体性质可由组成它的各个子系的叠加而得出，这就是熟知的线性叠加原理许 多实际系统在一定条件下可以看作线性系统由于在一定条件下线性是一个很好的近似， 以及对线性系统的处理比较简单，因而长期以来，人们对线性问题研究得比较充分，而 对非线性问题的重要性与普遍性则认识不足，并很少研究 物理学中对于非线性问题的研究，始于机械振动，而后扩及至流体力学和声学领域 6 0 年代以来，随着激光的问世，- i 1 新兴的学科非线性光学应运而生；同一时期， 热力学的研究也从线性步入非线性阶段，量子非线性问题的研究，早在2 0 年代即由德布 罗意和爱因斯坦从理论角度提出，其后陆续有所发展随着认识的深化，非线性物理学 必将逐步得到发展和完善 物理现象从本质上讲应是非线性的，而线性规律，仅是物质世界的近似描写事实 上，非线性问题与物理学相伴而生物理学形成伊始，开普勒( k e p l e r ) 对天体轨迹的研究， 就是对非线性问题探索之发端；1 8 1 3 年法拉第( f a r a d a y ) 通过振动水槽实验发现水中有槽 振动频率一半的分频，法拉第可算是观察分岔现象之始祖；1 8 3 4 年罗素( r u s s e l l ) 在爱丁 堡戈拉斯高运河上发现了孤立波：在此之后庞加莱( p o i n c a r 6 ) 在天体物理的研究中， 瑞利( r a y l e i g h ) 在声和光的衍射研究中，雷诺( r e y n o l d s ) 对流体湍流的研究中均发现了不 少非线性问题近2 0 年来的科技进展表明，非线性问题已不是物理学中的个别特殊现象， 它已渗透到力、热、电、声、光、原子物理和粒子物理等物理学的各个领域而且达到 物理学及其相关学科的每一新的进展几乎都与“非线性”相关的程度 1 1 1 孤立子理论的产生【l ，2 1 1 8 3 4 年英国科学家s c o t tr u s s e l l 偶尔观察到了一种奇妙的水波1 8 4 4 年，他在英 国皇家科学促进协会第1 4 届会议报告上发表的论波动一文中，对此现象作了生动 的描述： “我观察过一次船的运动，这条船被两匹马拉着沿狭窄的运河迅速前进着突然， 船停了下来，而被船所推动的大堆水却并不停止，它们积聚在船头周围激烈地扰动着， 然后水浪突然呈现出一个滚圆而平滑、轮廓分明的巨大孤立波峰它以巨大的速度向前 滚动着，急速地离开船头，在行进中它的形状和速度并没有明显的改变我骑在马上紧 跟着观察它以每小时约八、九英里的速度滚滚向前，并保持长约3 0 英尺、高约l 1 5 英尺的原始形状后来，渐渐它的高度下降了当我跟踪l 2 英里后，它终于消失在逶 迤的河道之中这就是我在1 8 3 4 年8 月第一次偶然发现这奇异而美妙的现象的经过 r u s s e l l 当时未能成功地证明并使物理学家们信服他的论断，从而埋怨数学家们未 能从已知的流体运动方程预言出这一现象之后有关孤立波的问题在当时许多物理学家 中引起了广泛的争论直到6 0 年后的1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和d e v r i e s 研究了浅水波的运动， 在长波近似和小振幅的假定下。建立了单向运动的浅水波运动方程 鲁一2 v 贮l0 x b l 2 2 + 三3 ；口窘1 ( 1 - ) 西 3 叙2j 、7 这里r 为波峰高度，为水深，g 为重力加速度，“是与液体均匀运动有关的常数，o - 是 由 旷：；，一旦 ( 1 2 ) 定义的常数，r 是毛细管现象的表面张力，p 是液体的密度他们对孤立波现象作了较 为完整的分析，并从方程( 1 1 ) 求出了与r u s s e l l 描述一致的，即具有形状不变的脉冲状的 孤立波解，从而在理论上证实了孤立波的存在方程( 1 1 ) 就是通常所说的k o r t e w e g d e v r i e s 方程，简称k d v 方程然而这种波是否稳定? 两个孤立波碰撞后是否变形? 这些问 题一直没有得到解答，以至有些人怀疑，认为方程( 1 1 ) 是非线性偏微分方程，解的叠加 原理不满足碰撞后两个孤立波的形状很可能被破坏殆尽这种观点致使有不少人认为 这种波“不稳定”在没有新的发现之前。孤立波处于长期被埋没之中 k d v 方程默默地度过了漫长的6 5 年，偶尔在文献中被提一下，有时甚至被忘掉( v a n d e rb l i j ( 1 9 7 8 ) ) 一直到了2 0 世纪5 0 年代，由于f e r m i ，p a s t a 和u l a m 的工作，才出现了 新的局面他们将6 4 个质点用非线性弹簧连接成一条非线性振动弦，初始时这些谐振子 的所有能量都集中其一，其他6 3 个的初始能量为零按照经典的理论认为：只要非线性 效应存在，就会有能量均分现象出现，即任何微弱的非线性相互作用，可导致系统由非 平衡态向平衡态过渡但实际计算结果却使他们大吃一惊，即上述达到能量平衡的观点 是错误的，经过很长时间后，几乎全部能量又回到了原先的初始分布，这就是著名的 f p u 问题当时由于只在频率空间来考察，未能发现孤立波解，所以该问题未能得到正 确的解释后来人们把晶体看成具有质量的弹簧拉成的链条，并近似模拟这种情况 t o d a 研究了这种模式的非线性振动，果然得到了孤立波解，使f p u 问题得到正确的解答， 从而进一步引起了人们对孤立波研究的兴趣 随后。1 9 6 2 年p e t t i n g 和s k y r m e 将s i n e - g o r d o n 方程用于研究基本粒子时，数值计 算结果表明：这样的孤立波并不散开，即使两个孤立波碰撞后也仍能保持原有的形状和 速度 1 9 6 5 年美国著名科学家z a b u s k y 和k r u s k a l 用数值模拟方法详细地考察了等离子体 中孤立子碰撞的非线性相互作用过程，摄到了比较完整和丰富的结果，并进一步证实了 孤立子相互作用后不改变波形的论断他们的这些结果使人们感到惊喜 由于得到的上述结果，以及在许多物理模型中相继发现都存在这种碰撞后具有不改 变波形的稳定的孤立波的事实从而使得许多物理学家和数学家对此产生了极大的兴趣， 开始掀起了孤立子问题研究的热潮，并逐步形成了较为完整的孤立子理论 今天k d v 方程可被看作是数学物理的基本方程之一对于k d v 方程的研究，促使 形成和发展了一套新的数学方法，其中具有划时代意义的是散射反演法( 逆散射变换法) 这种方法的主要特点和优点是对于这批相当复杂的非线性方程可通过组合若干个线性 方程而精确地求解近二十多年来，这种方法和随之发展起来的求孤立子解的其他方法， 如b i l c l d u n d 变换、h i r o l a 方法、延长结构法等相互促进，并逐步完善这种方法最早由 c 晒k m ( g a r d n e r , g r e e n ，k r u s k a l ，m i u r a ) 在k d v 方程中发现，后经l a x 、a k n s 等人把它 推广到一大批很广泛的非线性演化方程( 包括方程组和高维情况) 中去，使它们成为线性 精确求解的一种比较普遍的方法后来。又把它和微分方程的定性理论联系起来，开展 了很好的工作，为微分方程理论的研究开辟了新的途径 1 1 2 混沌理论发展的历史 “混沌”是一种非常普遍的现象，这种现象直到本世纪6 0 年后才引起了人们很大的 兴趣，到7 0 年代才诞生了混沌学混沌学的研究涉及到数学、物理学、化学、生物学、 宇宙学、工程和地质学、人脑科学以及社会学等许多的领域，具有重要的理论意义和实 用价值简单地说，“混沌”现象表示某种紊乱的、不清楚的或不规则的现象，表现了系 统内部的复杂性、随机性和无序性，然而产生混沌的机制往往又是简单的非线性，是丝 毫不带随机因素的固定规则因此，混沌过程又不同于随机过程我们知道，牛顿力学 描绘了一个完全可逆和确定论的世界图景在这一图景中，世界是有序、精确和简单的， 而”混沌”概念的提出。给这种经典力学的观念带来了冲击，因为可逆和确定性成为了一 种极为罕见的例外而真正展现在人们而前的则是由多种要素、种种联系和复杂相互作 用构成的网络世界，存在着不可逆性和不确定性混沌的概念界定为：“混沌是确定性非 线性系统的有界的敏感初条件的非周期行为” “混沌”的发现者是法国的一位伟大的数学、物理学家h p o i n c a r 6 他在研究天体 力学时。特别是在研究三体问题时发现了混沌现象他以太阳系的三体运动为背景，证 明了周期轨道的存在在详细研究周期轨道附近流的结构时，发现在双曲点附近存在着 无限复杂精细的“栅栏结构”他发现了三体引力相互作用能产生惊人的复杂行为，确 定性动力学方程的某些解有不可预见性，这就是人们现在所说的动力学混沌现象 1 9 1 8 年，gd u r i n g 对具有非线性恢复力项的受迫振子系统进行了研究，提示出了许 多非线性振动的奇妙现象，建立了标准化的动力学方程- - d u f f i n g 方程 1 9 2 7 年荷兰物理学家b v a n d e r p o l 在研究三相复振荡器时，建立了著名的v a n d e t p o l 方程早期的混沌探索的另一个突出的成果是在生态领域，经过数代人的努力，提炼出 了l o g i s t i c 方程 + l = “x o ( t 一矗) ， ( 1 3 ) 这就是描述生物种群系统演化的典型模型，常称为虫口模型 混沌学研究的另一个重大突破发生在遍布于现实世界的耗散系统对此作出杰出贡 献的学者是美国气象学家l o r e n t z 1 9 6 2 年，b s a l t a m a n 通过简化流体对流模型得到了一 个完全确定的三阶常微分方程组当时，l o r e n t z 把它作为大气对流模型，用计算机作数 值计算，观察这个系统的演化行为在计算观察中，确实看到了这确定性系统的规则行 为，同时也发现了同一系统在某些条件下可出现非周期的无规则的行为，这是与当时气 象界的权威观点相矛盾的，但却与l o r e n t z 的经验和直觉相吻合，因为长期的天气预报 确实始终没有成功过，这就是著名的“蝴蝶效应”( 图1 1 ) 在1 9 6 3 年发表了著名论文确 定性非周期流嘲中和后续发表的三篇论文中，他提出了一系列混沌运动的基本特征，如 确定性非周期性、对初值的敏感依赖性、长期行为的不可预测性和第一个奇怪吸引子一 l o r e n t z 吸引子 图1 1 蝴蝶效应 1 9 7 1 年，法国的数学物理学家d r u e l l e 和荷兰f t a k e n s 联名发表了著名论文论湍 流的本质，在学术界第一个提出用混沌来描述湍流形成机理的新观点他们通过严密 的数学分析，独立的发现了动力学系统存在一套特别复杂的新吸引子，并描述了它们的 儿何特征，证明与这种吸引子有关的运动即为混沌发现了第一个通向混沌的道路，并 命名这类新型吸引子为奇怪吸引子，确立了他们在混沌学发展史上的显赫地位作为杰 出代表的r m a y 在1 9 7 1 年开始从研究理论物理转向研究生物学，他用数值计算研究虫 口模型，既看到了规则的周期倍分岔现象，又看到了不规则的“奇怪现象”，同时还发现 随机运动中会出现稳定的周期运动 1 9 7 5 年，j 下在美国马罩兰大学攻读博士学位的华人李天岩和他的导师j y o r k e 联名 发表了一片震动整个学术界的论文周期3 蕴含混沌【4 】基本思想是y o r k e 受 l o r e n t z l 9 6 3 年论文的启发而得，李天岩给出了具体的证明，这就是著名的l i - y o r k e 定理 此定理描述了混沌的数学特征，为以后一系列的研究开辟了方向文章中“混沌”一词 便在现代意义下正式出现在科学词汇之中 混沌学研究的又一位功臣是分形学的创始人法国数学家b ，m a n d e l b r o t ，混沌运动在 相空间的复杂图像表明传统的几何学的局限，需要创造新的几何工具1 9 7 3 年， b m a n d e l b r o t 正式提出了分形几何的概念，相继出版了分形对象一形、机遇和维数 等专著，奠定了分形研究的基础1 9 7 6 年，年轻的m a n d e l b r o t 在美国科学杂志上提 出了“英国的海岸线有多长? ”，回答是“不确定的”，它取决于测量时所用的尺度 m a n d e l b r o t 的工作为探索种种不规则的回转曲折的相空间提供了理想的工具，有力地推 动了混沌的研究走向高潮1 9 8 2 年出版了标新立异之作自然界中的分形几何，分形 几何诞生了分形几何是描述不规则事物的规律性的科学分形著名的实例有：康拖尔 ( c a n t o r ) 集合，科赫( k o c h ) 曲线( 图1 2 ) ，谢尔宾斯基( w s i e r p i n s k i ) 垫片( 图13 ) 等 图1 2 雪花曲线一个典型的科赫曲线 芭毫；! ；! ! 圳； 鲋i 毫毫毫毫 鬻o n l 崔_ _ n o i ! ； - - - - - - ；毫 - 一- - 。 - i i , - - ； ： - 一- - - 毫一；： ：，：r a m , ： o n - - - j i i 一- 图1 3 谢尔宾斯基垫片 7 0 年代，美国物理学家m j f e i g e n b a u r m 在他的论文一类非线性变换的定量的普 适性嘲中，发现了倍周期分岔过程中分岔间距的几何收敛性，并发现收敛速率即每次缩 小的倍数为4 6 6 9 2 0 1 6 0 9 1 ，这就是著名的f e i g e n b a u r m 常数他建立了关于一维映射混 沌现象的普适理论，发现了尺度变换的方法，给出了一条走向混沌的具体道路，把混沌 学研究从定性分析推到了定量计算阶段，成为混沌学研究的一个重要里程碑 1 2 物理学中的非线性方程 在物理学的众多问题中经常会遇到大量的能反映各种因子或各种物理量之间相互 制约和相互依存关系的非线性方程，一般可以称为非线性演化方程( n o n l i i l e 缸e v o l u t i o n e q u a t i o n ) 下面列出几个重要的非线性方程： 1 2 1b u r g e r s 方程 b u r g e r s 方程是非线性耗散( 热传导、扩散和黏性) 方程，其一般形式是 坼+ u u x - - l y u 。= o ， ( 1 4 ) 其中l ， 0 ，为耗散系数 b u r g e r s 方程是湍流统计理论的一个简单模型i t , - 8 1 ，它也可以作为描述人口演变的动 力学模型【9 11 0 1 在文献 1 1 1 中，b u r g e r s 方程被用来描述交通流文献【1 2 1 中，考虑有限振 幅波在介质中的传播时，对粘滞热传导介质，导出的控制方程即为b u r g e r s 方程考虑在 细杆中传播的小振幅波，若粘性和热传导效应不容忽略，则控制方程可归结为b u r g e r s 方程 1 3 i 关于该方程的更多介绍，请参看文献 1 4 ，1 5 1 相对而言，b u r g e r s 方程比较简单，所以很多数值方法都常用它来检验其求解非线性 问题的有效性【1 6 - 2 2 1 1 2 2 k d v ( k o r t e w e g d ev r i e s ) 方程 k d v 方程是非线性的频散方程，其一般形式是 辑+ 口u l t ，+ 励m = 0 ， ( 1 5 ) 其中口是非线性项系数，为频散系数 k d v 方程是数学物理领域内一基本方程，对它的研究促进了非线性科学的发展，最 终形成了研究非线性现象的一门理论孤立子理论孤立子首先由英国科学家s c o t t r u s s e l l 于1 8 3 4 年观察到，直到6 0 多年后的1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和d ev r i e s 研究了浅水波 的运动，在长波近似和小振幅的假定下，建立了单向运动的浅水波运动方程，才从理论 上解决了这一问题【1 1 现在不断发现，相当广泛的一批描述弱非线性作用下的波动方程和方程组，在长波 近似和小的且为有限的振幅假定下，均可归结为k d v 方程l , 2 3 1 例如：( 1 ) 冷等离子体的 磁流体波的运动；( 2 ) 非线性晶格的振动；( 3 ) 等离子体的离子声波；( 4 ) 在弹性杆中的纵向 色散波动；( 5 ) 在液、气两种混合态的压力波运动；( 6 ) 在一个管底下部的流体的转动；( 7 ) 在低温下非线性晶格的声子波包的热激发；( 8 ) 血管中血液的流动例；( 9 ) 凝聚态物理；( 1 0 ) 超导物理；( 1 1 ) 生物物理【2 5 1 等 1 2 3k d v - b u r g e r s 方程 k d v - b u r g e r s 方程是既包含频散作用又包含耗散作用的非线性演化方程，其一般形 式是 m + u u x 一憎。+ “。= 0 ， ( 1 6 ) 其中l ，是耗散项系数，为频散系数 在研究液体内含有气泡的流动时，控制方程可归结为如下的k d v - b u r g e r s 方程1 2 日 文献2 7 2 9 1 中，把k d v - b u r g e r s 作为研究湍流的模型，并应用该模型研究了能量逆转和间 隙湍流问题研究细长杆中纵向应变波的传播时，也可导出k d v - b u r g e r s 方程【3 0 j 1 2 4k d v - b u r g e r s k u r a m o t o 方程1 3 1 镯l k d v - b u r g e r s k u r a m o t o 方程又称为b e n t l e y 方程其一般形式是 珥+ u u x + o t u x x + 阢+ ，= 0 ，( 1 7 ) 其中口表征耗散作用，为频散系数，表征不稳定作用 k a w a h a r a t 3 1 1 非常明确地指出，对于一个耗散和频散的动力系统，即便有较大的 r e y n o l a s 数，也不一定足以产生不规则的湍流运动，必须考虑流动的不稳定性因此， 他认为必须同时考虑不稳定、耗散和频散的作用，提出研究湍流运动，要应用b e n n e y ( 3 2 1 方程，即方程( 1 7 ) 他对该方程作了数值分析，再次确定了混沌与湍流之间的联系 1 2 5m k d v 方程 m k d v 方程又称为变形( 改进、修正) 的k d v 方程，其一般形式是 q + o f u 2 群，+ “。= 0 ，( 1 8 ) 其中口表征非线性作用，为频散系数 m k d v 方程一般是用摄动法求解较复杂的非线性演化方程时，高阶近似所满足的方 程如文献 3 4 】中在研究非线性弹性体中波的传播时，就得到了该方程文献【3 5 】在研究 处于强磁场中的等离子体，当粒子、电子和离子具有涡旋分布时波的传播时，也得到了 此类方程 1 2 6 非线性k l e i n g o r d o n 方程 非线性k l e i n - g o r d o n 方程的普遍形式为 一靠“。+ v ( 甜) = 0 ， ( 1 9 ) 其中c o 为常数，z ( u ) 为系统的势能；y ， ) ：华，它是的非线性函数 在方程( 1 9 ) 中，若取 y ( 甜) = 靠( 1 一c o s u ) ，( 石= c o n s t )( 1 1 0 ) 则它可化为 一+ 名s i n u = o ( 1 1 1 ) 方程( 1 i i ) 称为s i n e g o r d o n 方程 常见的k l e i n g o r d o n 方程还有 一爵“。+ 口“一材2 = o ， 及 一蠢+ 硎一甜3 = 0 方程( 1 1 3 ) 称为立方k l e i n g o r d o n 方程 s i n c g o r d o n 方程在非线性光学中有着广泛的应用口6 】 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 1 2 7f i s h e r 方程 f i s h e r 方程是非线性的反应一扩散方程，其最简单的一种形式为 珥一一勋( 1 一“) = 0 ( 1 ， 0 ，七 o ) ， ( 1 1 4 ) 其中v 和k 分别称为扩散系数和反应系数 f i s h e r 最早提出用此方程来描述基因的变化【3 7 1 ，此方程也可用来描述人口的增长， 燃烧的火焰 3 8 1 等 1 2 8b o u s s i n e s q 方程 b o u s s i n e s q 方程的一般形式为 u u - - 6 2 u = 一口一( 甜2 ) 。= o ， ( 1 t s ) 其中口，均为正常数 该方程常用来描述浅水中的非线性波【3 9 】 1 2 9 非线性s c h r f i d i n g e r 方程 非线性s c h r f d i n g e r 方程，简称为n l s 方程，又称立方s c h r o d i n g e r 方程，它是描写 非线性波的调制( 即非线性波包) 方程，其一般形式为 以+ 口“。+ i “j 2 甜= 0 ， ( 1 1 6 ) 其中口和分别称为频散系数和l a u d a u 系数 非线性s c h 埔d i n g e r 方程的应用非常广泛它可以用来描述深水中的非线性波i 蚓，非 线性光学现象【4 州，弹性杆中的调制波1 ，非线性电子线路中的波m 1 ，热尘埃等离子体中 的波h 3 1 等 1 2 1 0k p ( k a d o m t s e v p e t v i a s h v i l i ) 方程 k _ p 方程的一般形式为 昙詈+ 鲫罢+ 卢窘l + 雾= 。， c l ，乃 瓦l 百+ 鲫瓦+ 萨i + 言矿刮 u 。 其中口、卢和c o 为常数 k p 方程可以认为是k d v 方程在2 + 1 维空间的推广， - d e2 + 1 维方程中起的作用与 k d v 方程在1 + 1 维方程起的作用同样重要【似删，如热尘埃等离子体中的尘埃声波的传播 便可用该方程来描述【5 0 】 更多的非线性演化方程，请参看文献 3 6 1 第二章k p 方程多孤子碰撞的研究 对非线性演化方程的求解是非线性科学的一重要组成部分在过去的几十年中，非 线性数学物理研究领域内的一大重要成果就是发现了各种精巧的方法，如逆散射法l 删、 b i l c k l u n d 变换法【1 4 , 5 1 ，5 2 1 、h i r o t a 双线性法1 4 4 1 、d a r b o u x 变换法1 1 5 , 5 3 、延拓法 5 4 , 5 5 】、p a i n l e v 6 分析法1 5 6 ，5 7 1 、l i e 群法 s 8 5 9 1 等但到目前为止，对非线性演化方程的求解，仍然没有一个 普适的方法 近年来，很多数学家和物理学家又提出许多新的方法去求解非线性偏微分方程，如 齐次平衡法【6 m 侧、t a n h 函数法f 6 7 7 ”、s i n e - c o s i n e 法m 7 4 l 、双曲函数展开法【7 5 q 7 】、j a c o b i 椭圆函数展开法口8 s 2 1 、同伦分析法【昭】等 本章第一节，我们用齐次平衡法得到了( 3 + 1 ) 维k p 方程的2 个b i i c k l u n d 变换，然后 利用b a c l d u n d 变换得到了k p 方程的多孤立子解及有理函数解在第二节，我们研究了 k p 方程所描述的三孤子在碰撞过程中的共振现象，理论分析和数值计算结果均表明： 当三孤子碰撞过程中发生共振时，孤子的振幅可以达到碰撞前的9 倍 2 1k p 方程的精确解 作为对著名的k d v 方程高维扩展形式的k p 方程，在物理学尤其是等离子物理中已 经得到了十分广泛的应用抖8 6 j 因此，k p 方程作为一种与等离子体物理研究紧密相关 的非线性演化方程，对它的深入研究将有利于实际物理问题的解决 o + 1 ) 维k p 方程的一般形式为 去慝+ 铡罢+ 芦窘卜矿a 2 u “窘- o d 其中口、，、万为非零常数且 0 ，( x , y ，z ) 为空间自变量，t 为时间文献【8 7 】用 h i r o t a 双线性方法研究了方程( 2 1 1 ) a = - 6 ，夕= l ，y = 艿= 3 的情形并得到了它的多孤立波 解；文献【8 8 】用h i r o t a 方法研究了方程( 2 1 1 ) o r = 6 ，= 1 ，- - - 1 ，j = 0 的情形，得到了它 的多孤立波解并对解进行了一定的讨论但文献【8 7 】和【8 8 】中所用方法比较麻烦，推导 起来有一定难度文献 8 9 】给出了方程( 2 1 1 ) 当t r = - 6 , p = l ，= _ 3 ，j = o 时的块( 1 u m p ) 解， 并考察了该解的演化，得到了一些有意义的结论本文考虑一般情况下的方程( 2 1 1 ) ， 首先给出了此方程的b a c k l u n d 变换，然后在此基础上给出了它的单孤子解和多孤子解， 并得到了它有理函数形式的l u m p 解 石玉仁，杨红娟等，两北师j c c 人学学报( 自然科学版) ，2 0 0 6 ，4 2 ( 4 ) ：3 4 i l - 2 1 1k i p 方程的b f i c k l u n d 变换 为简单起见，对方程( 2 1 1 ) 作变量代换 “：b ；黟 = 厣之，- ，口i ， 一 并略去变量上的撇号，可将( 2 1 1 ) 化为标准k p 方程 采砌罢+ 卦s 芬啦参观 ( 2 1 2 ) 其中晶：s i g n ( a ) ，岛= s i g n ( r ) ，s i 献力为符号函数，定义为 一睚誊 若晶，旬 o ，称( 2 1 2 ) 为k p - l i 方程；若毛，岛 o ，称( 2 1 2 ) 为 - i 方程下面对它们进行 利用齐次平衡法并借助计算机代数系统m a t h e r a a 6 e a 很容易求出方程( 2 1 2 ) 的一 b 配k l u n d 变换( 详细过程请参看文献( 9 0 】) ： “( x ，们：2 0 2 万l n c p + ( x , y , z , t ) ( 2 其中o ，y ，z ，) 为( 2 1 2 ) 式一特解，伊由下两式确定： 吼十+ 3 q + 3 岛+ 6 u o 妒= = 0 ， 4 a ) 识仍+ 4 纯仇。一3 旌+ 3 q 刃+ 3 乞衫+ 6 蔹2 0 ( 2 1 4 b ) 式( 2 1 4 ) 意思是：若伊( 工，j ，z ，f ) 满足方程( 2 ，1 4 ) ，则( 2 1 3 ) 式是方程( 2 l 2 ) 的一个精确 解因五可以通过求解方程( 2 ，1 4 ) 得到方程( 2 1 2 ) 的精确解，从而得到方程( 2 1 1 ) 的精确 如果把( 2 1 3 ) 式代入方程( 2 1 2 ) 左端并注意到( x ，弘z ，) 满足( 2 l 2 ) 式，可得 去匿抱罢+ 骞 + ，毛雾+ ，乞虿0 2 1 孳 孝“( 蓑 2 ，警 + 等峨可0 2 l n c p 砌：0 2 叫l n 妒l 叫， ：2 篓l 盟| 兰丝芷塾! 等望婴! 坠盟 缸2l 舻2 ( 2 1 5 ) 式表明：若 伊( + 十3 q 够咿+ 3 乞+ 6 够珥) 一 ( 怯仍+ 4 纯一3 旌+ 3 毛刃+ 3 岛谚+ 6 u o p 2 ) = o ， ( 2 1 6 ) 则方程( 2 1 2 ) 自动成立( 2 1 3 ) 式和( 2 1 6 ) 式一起构成了方程( 2 1 2 ) 的另一b a c k l u n d 变换 容易看出，若( 2 1 4 ) 式成立，( 2 1 6 ) 式也是成立的反之则不然，故( 2 1 ，4 ) 式可看作 ( 2 1 6 ) 式的一特殊情形 2 1 2k p 方程的多孤立波解 利用b i c k l u n d 变换，可以求得方程( 2 1 2 ) 的若干精确解对于一般的( x ，y ，z ，f ) ， 求解( 2 1 4 ) 式或者( 2 1 6 ) 式非常困难若取= 0 ( 它显然是方程( 2 1 2 ) 的解) ，则( 2 1 6 ) 式 简化为 妒( + 败。+ 3 毛+ 3 岛) 一( 纯仍+ 4 纯一3 砖+ 3 毛刃+ 3 乞谚) = o ( 2 1 7 ) 方程( 2 1 7 ) 称为f 方程，对该方程的求解有一系列成熟的方法，比如h i r o t a 提出的一串 展开法由于求解过程比较麻烦，故这里直接给出用该方法解得的一串解： 仍= 口d + 口i e b ，( 2 1 8 ) 仍= 盯o + o r l e 岛+ d 2 f 岛+ 4 2 q p 岛怕 ， f 3 = 口o + 口i p 鱼+ 口2 p 巩+ o t 3 e 岛+ 彳1 2 a l 口2 f 巩+ 以+ _ 2 3 口2 口3 p 以+ 靠+ 爿1 3 口i 口3 e 风+ 岛+ 爿1 2 如4 1 3 口l 口2 c b p 岛+ b + 以 ( 2 1 9 ) ( 2 1 1 0 ) 仍= a o + a l e 8 + 毋+ i f 3 e 岛+ a a e 岛+ 4 2 嘶毋+ b + 4 3 0 r t t 2 3 e 玮+ 岛+ 4 4 0 r l 口4 e 岛+ 岛+ 4 3 口2 a 3 e 岛+ 岛+ a 2 4 a 2 口4 e 岛+ 6 + 如泸+ + 4 2 4 3 鸽i 口l a 2 g 3 e 4 + 岛+ 马+ 4 2 以4 4 l 嘶啦啊+ 畦帕+ ， ( 2 1 1 1 ) 4 3 如以l c 6 a 3 a 4 e 8 + b + 岛+ 4 3 如4 2 鸭毋坞嵋+ 4 2 如呜4 以1 q 锡吩轳+ 岛+ 6 + 日 上面式子中q = 毛x + 上，y + q ：一q f + 4 ，其中q = 砰+ 塑型攀( f = l ，2 ，3 ，) ， 毛，蜀，口，为任意非零常数，巧为任意常数( f - 1 ，2 ，3 ) ， 。 1 ( 置一七，) ( q q ) + ( 毛一七，) 4 + 3 毛( 厶一l j ) 2 + 3 s 2 ( 墨一s ，) 2 月= ：一- - ：；- 二- - - - - 二一” ( t + t ) ( q + q ) 一( 置+ 勺) 4 3 q ( 厶+ 与) 2 3 e 2 ( s , + ) 2 = 去 - 一砺历孺五可可再函4 k , 瓦3 f 瓦i 疆j 鬲- 丽 分别将( 2 1 8 ) 、( 2 1 9 ) 、( 2 1 1 0 ) 、( 2 1 1 1 ) 代入( 2 1 3 ) 式( 甜。= o ) ，可得k p 方程的单 孤子解，双孤