（理论物理专业论文）物理中三个逆问题的多种严格解方法的探求研究及具体实现.pdf

一 望尘l 7 1 ：些塑t 堕! 塑：竖型生兰塑堡堂丝! ! 堡竺! ! 一一一 摘要 f 逆问题作为物理研究领域的重曼绀成部分，很多重大发现和进展郁与其有关。 一年 ! m ，、 i f1 研究【岛温超导机理的需婪，比热声予谱反演( s p l ) f d 题被许多物理学家所关注。 虽然这个问题f n 严格解当时就已经提出，f h 至今仍未能付诸具体的实现。有很多的困难， 如适定性，实验数据小完备等问题，都阻碍着反演的具体实现。而且这些困难同样存在 j 一其它一喈物理逆问题中j 奉论文的研究目标之一就是要实现一个具体的反演问题 ( s p t ) ，克服这一过程中的大量原则性以及具体的困难。 我们从比热声子谱反演问题带有消发散参数的严格解出发，研究并提出了它的存在 唯性定理。俊现些方法无法在具体问题中成功获得反演结果的重要原因就是不能满 足存在唯性定理提出的条件。考虑到存在唯一性定理的重要作用，我们发展的渐近行 为控制理论被i 止明在实际应用中是非常有效的。选择适当的完备集合，自然满足所需的 渐近行为，首先得到了普适雨数方法( u f s ) 。由此方法和比热实验数据首次获得了实际 ，蠲温超导体 钇钡铜氧) 的声r 谱，j 中刊 弹性散射实验结果符合的很好一 i 叫h j 我俐趣发艘出j ，r i e m a n n l a g u e r r e 表示方法( r l ) 。( f 乍为一个完全的实表示方法， 它比普适函数方法u f s ) 具育更多的优点。在高温超导体比热反演中，获得了更好的声 于谱结果。而且由m o b i u s 反演严格解证明这一方法，为m o b i u s 反演方法找到了一个新 的心j h 。r 1 本文研究的比辐射；瞽反演问题，是由我们首先提出的一个新的物理反演问题，它在 反遥感和“隐彤”研究领域口j 能会有重要的应用。对于这个问题。我们使用了几种反演 ，叫各解方法进行研究f 带有消发散参数的严格解及存在唯一性定理：普适函数方法 ( u f s ) ：r i e m a n n l a g u e r r e 表示方法( r l ) ：m o b i u s 反演严格解等，得到了它们的严格解 公式族。作为个实际应用，使用u f s 方法计算一个理论谱模型的反演结果，同理论 结果符合的非常好，可以看出这个方法在实际反演计算中是非常适合的。这个工作得到 了p h y s i c a lr e v i e we 评审人的高度好评( 见附录) ，被认为“是高度原创性的”。) 黑体辐射反问题在1 9 8 2 年提出之后就成为重要的逆问题研究领域之。f 吸引着很多 物婢学家的关注，但是这个问题的实际应用同样面临很多的困难) 我们将普适函数方法 ( u f s ) 使用在这个反问题研究中，获得了它的严格解表示。由这个方法计算个理论 潜的反演结果和理论结果符合的很好，说明它适台于实际的反演应用0 同时我们还使用 r i e m a n n - l a g u e r r e 表示方法( r l ) 研究这个反问题，得到了它的严格解表示。最后通 过m 6 b i u s 反浈方法e 止f | 这个f “格解表4 i 。 ( 哒个逆问题的婵沦研究以及具体反演实现，无论在反问题的基础研究和实际应用 l ：均是很有意义的少一v ， 天键队反演刚题：严格群：酱适函数：r i e m a n n l a g u e r r e 表示：渐近行为控制 塑型尘竺些型些塑兰! ! ! 兰堡坚塑! ：塑丛查丝塾笪璺塑l 一 a b s t r a c t a sa n i m p o r t a n tp a r t o f p h y s i c s ，i n v e r s ep r o b l e m i sr e l a t e dw i t hl t s s o m e i m p o r t a n t d e v e l o p m e n t sm a n yp h y s i c i s t s h a v ep a i da t t e n t i o nt ot h es p e c i f i ch e a t p h o n o ns p e c t r u m i n v e r s i o nd r o b l e i n ( s p l ) f o rt e ny e a r sb e c a u s eo ft h en e e df o rs t u d y i n gt h em e c h a n i s m o fh i g h t e r n p e r a t u r es u p e r c o n d u c t i v i t yt h o u g ht h ee x a c tf o r m u l ao f t h ei n v e r s ep r o b l e mw a sd e v e l o p e d a tt h a tt i n l e t 1 1 ei n v e r s i o nr e s u l t sc o u l d n ib eo b t a i n e db yi t i np r a c t i c et h e r ea r em a n yd i f f i c u l t i e s s u c ha st h ei 一p o s e dp r o b l e m ，t h ei n c o m p l e t e n e s so f d a t ae ta l ，w h i c hb l o c kt h ei m p l e m e n t a t i o no f t h ei n v e r s ep r o b l e m t h e ya l s oe x i s ti ns o m eo t h e ri n v e r s ep r o b l e m so n eo fo u ro b j e c t si s t o r e a 】i z eac o n c r e t ei n v e r s ep r o b l e m ( s p i ) b yc o n q u e r i n gm a n yp r o b l e m si np r i n c i p l e a n di n p r a c t i c e a c c o r d i n gt ot h ee x a c ti n v e r s i o nf o r m u l aw i t he l i m i n a t i n gd i v e r g e n c ep a r a m e t e ri n s p i ，t h e u n i q u ee x i s t e n c et h e o r e mw a ss t u d i e da n dd e v e l o p e d t h e c o n d i t i o no fu n i q u ee x i s t e n c et h e o r e m c o u l d n tb es a t i s f i e d ，w h i c hr e s u l t si nt h a ts o m em e t h o d sc o u l d n to b t a i nt h ec o r r e c ti n v e r s i o n r e s u l t si nc o n c r e t ep r o b l e m s w ed e v e l o p e dt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o rc o n t r o lt h e o r y ( a b e ) ，a n di t i sp r o v e dt ob eh i g h l ye f f e c t i v ei np r a c t i c et h eu n i v e r s a lf u n c t i o ns e tm e t h o d ( u f s ) i sd e v e l o p e d b ys e l e c t i n gp r o p e rc o m p l e t es e t w h i c hs a t i s f i e st h ea s y m p t o t i cb e h a v i o rn a t u r a l l y i t i st h ef i r s t t i m et h a tap h o n o ns p e c t r u mo f y b c oi so b t a i n e df r o mi t se x p e r i m e n t a ls p e c i f i ch e a td a t ab yu f s m e t h o d a n dt h er e s u l t sa r ec o m p a r a b l et ot h a tf r o mn e u t r o ni n e l a s t i cs c a t t e r i n g w ea l s od e v e l o p e da n o t h e re x a c tf o r m u l ai ns p i ，r i e m a n n - l a g u e r r er e p r e s e n t a t i o no ft h e e x a c ts o l u t i o ni th a sm o r ea d v a n t a g e st h a nu f sm e t h o da sap u r er e a lr e p r e s e n t a t i o n t h eb e t t e r p h o n o ns p e c t r u mc a nb eo b t a i n e df r o my b c oe x p e r i m e n t a ld a t ab yu s i n gt h i sm e t h o d w ea l s o p r o v e di tb ym o b i u si n v e r s i o nm e t h o da n di t b e c o m e san e wa p p l i c a t i o nt om o b i u si n v e r s i o n m e t h o d i no u rt h e s i s ，an e wi n v e r s ep r o b l e m ，a ni n v e r s ee m i s s i v i t yp r o b l e m ，w a ss u g g e s t e di tw i l l h a v ei m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si na n t i r e m o t es e n s i n ga n dh i d d e nt e c h n o l o g y i ti sp r o p o s e df i r s t l ya n d w eg i v e m a n ye x a c ts o l u t i o n sa c c o r d i n gt o t h e s ei n v e r s i o nm e t h o d s ：t h ee x a c ts o l u t i o nw i t h , e l i m i n a t i n gd i v e r g e n c ep a r a m e t e ra n du n i q u ee x i s t e n c et h e o r e m ；u n i v e r s a lf u n c t i o ns e tm e t h o d ； r i e m a n n l a g u e r r er e p r e s e n t a t i o nm e t h o da n dm o b i u si n v e r s i o nm e t h o d i ti ss h o w nt ob ev e r y u s e f u li nan u m e r i c a lc a l c u l a t i o n sb yu s i n gu f sm e t h o d t h eu f sm a k e st h i si n v e r s i o nm e t h o d p r a c t i c a l a n dc o n v e n i e n tf o rr e a l i s t i cc a l c u l a t i o n st h i sw o r ki s “h i g h l y o r i g i n a l a sh i g h l y a p p r e c i a t e db yr e f e r e eo fp h y s i c a lr e v i e we ( s e ea p p e n d i x ) t h ei n v e r s ep r o b l e mo f b l a c k b o d yr a d i a t i o n ( b r i ) b e c a m ea h o tf i e l da f t e ri tw a sp r o p o s e d b yb o j a r s k ii n i9 8 2i ta l s om e e t sm a n yd i f f i c u l t i e sw h i l ei ti sa p p l i e dt oc o n c r e t ep r o b l e mt h e e x a c tf o r m u l ao fu f sm e t h o di so b t a i n e di nt h eb r i u f sm e t h o di s a p p l i e dt oc a l c u l a t ea n u m e r i c a l e x a m p l e ，t h en u m e r i c a l r e s u l t s a g r e e w i t ht h et h e o r e t i c a lr e s u l t si t p r o v e s t h e a d a p t a b i l i t yi np r a c t i c e t h er i e m a n n l a g u e r r er e p r e s e n t a t i o nm e t h o di sa l s op r o v e db ym o b i u s j n v e r s ef o r m t l a t h es t u d i e so f t h e s et h r e ep r o b l e m sa r es i g n i f i c a n ti nt h ef u n d a m e n t a lr e s e a r c ha sw e l la st h e p r a c t i c a la p p l i c a t i o n so f i n v e r s ep r o b l e m s k e y w o r d s ：i n v e r s e p r o b l e m ；e x a c t s o l u t i o n ；u n i v e r s a lf u n c t i o n s e t ；r i e m a n n l a g u e r r e r e p r e s e n t a t i o n ；a s y m p t o t i cb e h a v i o rc o n t r o l ； 第一章概述 如所周知，山逻辑角度看，每个命题均有其逆命题物理学的发展中，已经解决 了大量的问题，冈此其反问题的研究便成为可以注意的方面如果所研究的反问题解 是存在唯一的，就有可能成为开拓新的生长点的契机杨振宁教授在分析对称性理论 时，曾强调e i n s t e i n 将n o r t h e r 由对称性论证守恒律的程序倒过来，由已知守恒律和 l o r t e n t z 协变等要求，七探索和构建新的理论历史证明e i n s t e i n 的思路对寻求未知规 律是非常有效和成功这也许可作为反问题研究的一个成功的例子 本文中午要研究卜| 蚵：个反问题： l 黑体辐射反m 题【2 1 2 比热一声子谱反演问题1 1 3 比辐射率反演问题1 3 1 这二个反问题中，晟早提出的是比热声子谱反演问题，在1 9 4 2 年m o n t r o l 就提 出r 这个反问题1 1 ，但是一直发展到8 0 年代末这个问题都没有能够得到一个比较理 想的封闭严格解表示由于8 0 年代末高温超导的发展，使人们又开始关心这个问题， 也促使这个问题得到了进一步的发展1 9 8 9 年，戴显熹等利用f o u r i e r 变换方法给出 了这个问题带有消发散参数的严格解公式1 4 】1 5 ，同时给出了解的存在唯一定理利用 这个严格解方法可以立刻解析反演得到e i n s t e i n 谱和d e b y e 谱这两个具有明显物理意 义的理论谱结果【5 】1 9 9 0 年陈难先给出了利用l a p l a c e 变换和m s b i u s 公式的严格解 公式 9 1 ，这个工作获得了n a t u r e 主编j o h nm a d d o x 的高度评价【1 0 这个方法在反 演理沦研究方面具有很大的价值，它可以用来研究很多相关的反演问题，而且也有可 以得到相席的严格解表示但是最早利用这个方法却无法获得象d e b y e 谱这样的解析 反演结果，一直到最近，我们在这个问题上才有所突破，给出了利用m s b i u s 严格解公 反演d e b y e 潜的解析汁算1 1 1 八年代初，遥感领域的研究直接促使b o j a r s k i 提出了黑体辐射反问题2 1 ，这 个反问题的提出开创了一个新的物理研究领域，其后的很多年中，在b o j a r s k i 研究的 基础上，人们小断提出新的方法来研究这个反问题，比如w i e n 近似方法 5 8 1 1 6 0 1 ， r a y l e i g h j e a n s 近似1 6 l j ，一些改进近似方法【6 2 6 3 ，k i m 和j a g g a r d 提出的级数解 【6 5 】，m e l l i n 变换解【6 0 ，l a p l a c e 变换解法1 9 ) 9 以及f o u r i e r 变换解法 6 6 5 1 2 1 3 等 等在这些研究中最让我们有兴趣的是有关封闭的严格解表示的研究能够得到严格 解表求的主要就是利用l a p l a c e 变换，f o u r i e r 变换和m e l l i n 变换得到的结果，其中我 们比较感兴趣的是根据l a p l a c e 变换和m s b i u s 公式得到的严格解结果和由f o u r i e r 变 换得到的带有消发散参数的严格解结果同时这两种方法在我们所研究的比热一声子 潜反问题中也同样可以得到严格解表示。 在计究比热一卢子潜反演问题以及黑体辐射反问题的过程中，许多相关的物理反 演问题也小断提出，逐渐的丰富着反问题的研究领域，其中有很多问题和比热一声子 2 第一章概述 港反演问题以及黑体辐射反问题具有类似的形式，即第一类e r e d h o l m 积分方程问题 针对这一炎问题的发展，大量的反问题解法小断的出现1 4 一 2 6 】形成了一个非常热门 的”究领域，这些小仅埘反问题研究领域的发展起到r 促进作用，同时也极大地推进 了相关物理计究领域的进展在我们研究的过程中，就提出了一个新的物理中的反问 题：比辐射率反演问题 比辐射率的研究在遥感以发遥测领域中是非常霞要的课题，但是这个问题一直是 通过2 以及实验的手段进行研究的我们首先提出了比辐射率反演问题【3 ，这个问 题可以帮助酬究者从另一个途径获得比辐射率的数据，而且是更加全面完备的数捌， 这是非常具有苈惑j 的这个问题的提出被p h y s i c a l r e v i e we 的审稿人给予了高度的 评价： t h i sm a n u s c r i p ti sh i g h l yo r i g i n a l ，i ti sf o rt h em o s tp a r tw e l lw r i t t e n a n dc o n t a i n sa ne x c e l l e n tr e s u l t t h i si st h es o r to fa r t i c l et h a tih o p et o f i n dw h e naf l e wi s s u eo rp r ea r r i v e s m yh i g h e s tr e c o m m e n d a t i o nt h a t y o up u b l i s ht h i sp a p e ra sar a p i dc o m m u n i c a t i o n a ss o o na st h ea b o v e m a t t e r sa r ef i x e d 我们在这个问题上作为第一个尝试者，需要对这个问题进行全面的理论研究，希单能 够得到它的严格解方法以及可以具体戍用的方法 对于反问题的求解，能够得到严格解并且将其应用在实际问题的计算中获得理想 结果，这是每个研究者希挈达到的目标，也是任何一个理论研究丁作的重要同标之一 黑体辐射反问题和比热声子谱反演问题在得到几种严格解表示之后经过了十年的时 间，却仍然没有将这些严格解方法应用在实际问题的计算中获得有效的结果，这充分 说明了这些反问题的严格解方法具体实现的困难出现这个情况的原因很复杂，有很 多的难点需要人们一步一步的解决；完备实验数据的获得；实验数据的精度；逆问题 的适定性问题等等这些问题对严格解方法的具体实现设置了“重重障碍” 反演计算通常要求输入的实验数据不仅精确，而且更要在一个无穷大的区间上有 测量结果如比热声子渚反演问题要求在整个温度区问f 0 ，o 。) 上进行测量，这显然 是无法满足的同时实验测量数据总是存在误差，而这类反演问题解的不稳定性就可 能导致在小误差条件下解的重大偏差在实际求解过程中类似存在的问题还有很多， 这些问题能古解决就成为反演实际数据成败与否的关键所在 在数学表示上，这二个反问题都是第一类f r e d h o l m 积分方程的求解问题对第一 炎e r e d h o l r n 积分方程数值求解曾经有过大量的研究，而且得到了很多的计算方法，如 最大熵方法 2 9 3 0 3 1 】，正则化方法( 3 3 3 4 1 3 5 1 等等，许多物理学家曾经使用这些方 洼肿物理中的反问题避 = 研究 3 2 ) 【8 5 j - f 8 9 】，希单能够利用这些方法来计算实际的反演 心题化更多的肼究仍只是集中在理论潜( 精确数据) 的汁算上，利用这些方法对于 实际问题进 j ：反演丽获得比较好结果的例子是比较少的我们的口的就是希望找到一 些严格解表示的h 算方法，能够适用于这些统计物理的反问题计算中，获得比较理想 3 的反演结果 尢使用带有消发散参数的严格解方法做反演汁算可以发现，它所给出的解的存在 唯一定理判据是古得到满足会直接影响反演结果的成功与台根据这个定理，我们找 到了两个新的严格解表j 方法 7 】来计算实际比热数据的反演结果 普适函数方法 ( u f s ) 和r i e m a n n l a g u e r r e 表示方法( r - l ) 两个新的严格解表示适合于实际数据进 行反演求解，它们充分利用了渐近行为控制( a b c ) ，满足存在唯一定理的条件，保证 了解的正确性通过使用这两个方法对y b c o 比热实验数据的反演计算，也可以充分 的表明这两个严格解方法的适用性另外这两个表示方法也充分利用了解析计算的优 势，尽可能的将复杂计算都通过函数集合的方式通过数学解析表示避免了，更加适合 于实际的数据汁算 在提出了这两种新的反演严格解方法之后，我们将这两种方法推广到黑体辐射反 问题和比辐射率反问题中，并且利用这两种方法来实现对应反问题的具体实现由于 我们选取的这一：个物理反问题是比较有代表性，它们4 i 仅在反问题理论研究中具有重 要的价值，同时这些问题本身具有很好的物理背景，它们的解决会促进相戍物理研究 领域的进展同时我们还探讨了在m s b i u s 反演方法的意义下来获得r i e m a n n - l a g u e r r e 表“、方法的可能性，给出了完整的证明，扩展了r i e m a n n l a g u e r r e 表示方法的适用范 罔 奉文的组织如下； 第二章从比热声子潜反演问题带有消发散参数的严格解公式和解的存在唯一定 理出发，推导得到普适函数方法( u f s ) 和r i e m a n n l a g u e r r e 表示( r l ) 方法 然后以y b c o 的比热数据为输入，利用两种方法对这个比热数据进行反演，获得反演 声子潜，这是这个领域中第一次由实验比热数据利用反演方法获得声子谱结果并且 同中子非弹性散射实验的声子谱结果基本符合最后还利用m s b i u s 反演方法证明了 r - l 表示，扩展这个方法的适用领域 第二章详细讨沦并且提出了一类新的反问题一比辐射率反演问题给出了这个 问题带有消发散参数的严格解表示，解的存在唯一定理以及相应的u f s 方法和r - l 表 示方法在u f s 方法中，算了一个理沦潜模型的反演结果最后还给出了这个问题 的m 6 b i u s 反演严格解表j j ，并儿利用这个表示i 止明了相应的r l 表示方法 第四蕈讨论r 普适函数方法( u f s ) 和r i e m a n n l a g u e r r e 表示方法( r l ) 在黑体辐 射反问题当中的表，了：利用u f s 方法汁算了一个理沦谱模型最后同样根据m s b i u s 反演方法给出了r l 表示方法的另一个证明 第血章对u f s 方法和r l 表示方法在二个反问题中的应用进行了一个总结和讨 沦 第六誊对其它一些相关研究课题的讨沦，主要是讨沦关于热力学映照关系在b o s e e i n s t e i n 凝结瑚沧研究中的些廊用 第二章比热声子谱反演问题 2 1 概述 比热一声子谱问题从量子理论建立开始，就倍受嘱r 。 e i n s t e i n 和d e b y e 的理 沦就与此相关小过这些都是研究正问题在1 9 4 2 年， m o n t r o l l 首先提出7 关于 反问题的”究1 1 ，但是一直到8 0 年代末，这个问题始终没有能够得到真正的解决 3 7 】 3 8 9 j 【3 9 4 0 】 4 1j 在8 0 年代末，由于高温超导研究的发展，对于高温超导体系声子谱的研究成了非 常热门的问题，其中一个主要的原因是：电声子相互作用对高温超导现象的形成到底 具有多大的影响? 作为一种可能的高温超导微观机理，这个问题的研究引起了很多研 究者的兴趣但是要测量高温超导体系的声子谱具有相当的困难，通常需要是利用中 子非弹性散射实验测量体系卢子潜，可是这样的实验设备很少，而且价格昂贵、实验 费用较高，全世界也没有多少地方可以进行这样的实验对于很多理论1 = 作者来说， f jr 谱实验数据的获取成为r 非常困难的事情阕此通过比热反演得到体系声子谱的 理沦方法，自然就成为了一个实际可行的方法因为测量体系比热的实验要求相对中 子非弹性散射实验而言，比较容易满足，在很多的实验室都可以进行这样的实验并 且利用反演方法在实验测量一次的条件下可以获得体系两类不同的数据，对于实验而 者也是有很大价值的冈此这个问题的研究就促使很多的物理学家进入这个领域 似设蕈整化的有效晶格体系哈密顿为： 疗= h 鼽 ( 2 1 ) 从这个哈密顿出发我们可以得到晶格比热的表示为 卯占z 。( 等) 2 丽e x p 瓣( h w k b t ) ，( 州u ，( 2 。) 其中，9 ( u ) ，t ，k b 和h 分别表示体系的态密度( 或者叫声子谱) ，温度，b o l t z m a n n 常数利p l a n k 常数根据上血的方程( 2 2 ) ，如果9 ) 给定，通过积分可以计算得到 体系的定群比热，这是比热一声子潜的正问题那么它对麻的反问题为：根据实验测 量得到的体系比热结果g i ( 丁) ，如何汁算得到体系的卢子普g ( u ) 这个问题被提出之后，尽管引起大量研究者的讨论 1 3 7 1 1 3 8 】【3 9 1 1 4 0 4 1 】但是在 1 9 8 9 年之前，这个问题始终都没有能够真正的在理论上得以解决，甚至连严格解表示 部没有得到。使得这个问题的进展变的非常缓慢在f 9 1 中，陈难先利用数论中改进的 m 6 b i u s 公f 4 8 】给出厂以l a p l a c e 变换为基础的形从严格解，而且陈难先还利用这个 方法酬究j ，其它很多的反演问题，也得到了一些严格解表示但这个表示方法在当时 来训，还有很多的实际问题，比如m 6 b i u s 函数的确定，级数的收敛，l a p l a c e 反变换 5 第二章比热声子谱反演问题 的计算等等，都在实际应用中具有很明显的困难而且使用这个方法一直没有反演得 到象d e b y e 漕这样有意义的理沦谱，而在戴显熹等提出的带有消发散参数的严格解表 示方法下就可以解析反演汁算得到这些结果 5 1 因此对于这个方法的实际应用还有 很长的路要走一直到最近，我们通过仔细的研究，发现对于这个方法利用m 6 b i u s 公 。的性质，还是可以进行一些理论解析计算的，比如e i n s t e i n 谱，d e b y e 谱的解析反 演也还是解析汁算得到1 1 1 虽然在解析算中有了一些突破，但是要最终能够在实 际问题中使用这”j 方法，仍然需要解决很多的实际问题我们在后面的部分中还要对 这个方法进行些i0 沦 本文中希梁能够找到这样一种方法：4 i 仅在理论上解决这个反演问题，给出严格 解表示，而且能够将其府用到具体的实际计算当中，得到可靠的反演声子谱结果这 步的实现对于反演方法的发展具有相当罩大的理论和应用价值这里我们主要是利 用戴显熹等在1 9 8 9 年提出的带有消发散参数的严格解公式以及解的存在唯一性定理 【4 1 f 5 1 作为理论基础来研究的下面我们首先来看一下这个严格解方法 2 2反演严格解及唯一存在定理 在求解此积分方程的时候，主要是利用f o u r i e r 变换方法，为了保证f o u r i e r 变换 的存在，就需要满足f o u r i e r 变换存在的条件： 1 变换函数或反变换函数在其相应的自变量空间中连续或者至多有有限个第一类 小连续点； 2 在自变量趋于士。时函数单调下降地趋于0 比热反演问题( 21 ) 式中的晶格比热函数显然无法直接满足这个条件，根据d u l o n g p e t i t 定律和热力学第二定律，晶格比热具有如下的渐近行为： e p ，( 丁) 一a t “( t 一o 。) 一b t ”( t - 40 )( 23 ) 根据统j 学可知。8 1 = 0 ，8 2 一d 其中d 表示晶格系统的维度为了能够使用 f o u r i e r 变换，引入消发散参数s ，取 02s l s s 2 d 这样在方程( 2 2 ) 两边除以p ，再利用如下的变换： = l “丽h w ，z = l “亍t 。 就可以得到： q o ( z ) = k o ( g 一。) f o ( y ) d y ( 24 ) ( 2 5 ) ( 26 ) 5 22 反演严格解及唯一存在定理 其中使明，_ 卜商的定义： q 0 ( z ) = 而( y ) = k o ( ) = 7 ( 2 6 ) ，可以利用f o u r i e r 变换的卷积定理进行计算本文所使用的f o u r i e r 变换定 义如f ：设，( z ) 是定义于一 _ 1 ，( z ) 没有零点； ( 2 ) 当r e z 0 ，( ( z ) 的零点为z = 一2 n ( n = 1 ，2 ，3 ，) ； ( 3 ) 当0sr e z l ，c ( 。) 的零点问题是一个著名难题，日前还没有解决r i e m a n n 曾经提出一个著名的猜测：在这个带上，零点应当全部集中在z = ；+ i y o 这条线上； 在比热一声子潜反演问题中，z = i k + 8 + l ，而且0 s ” n = u 、4 立刻可以得到e 。旧) 为 刚丁”1 ( 警) ( ( s + m 心- + 面k u t ) m + m + 2 ) 再根据广义r i e m a n n z e t a 函数的一个性质 乏卜叫”l ，q 1 由( 2 3 3 ) 式就可以得到 f 23 7 1 ( 23 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) ( 丁) = e 。g 警) “”1r ( s + m + 3 ) + m 心+ f 面k u t ) 一e 等e ( s + m h - + e 等) ) ( 2 a ， 可知如果卢子潜具有g m ( u ) 的形式，那么可以得到它对应的比热为( t ) 根据线性 叠加原理，如果声子潜具有( 2 3 0 ) 的求和形式，那么可以得到相应的比热表示( t ) 为 。 c v ( t ) = b m c m ( t ) ( 2 4 2 ) 这样我们就找到了比热函数的展开函数集合为 g m ( t ) ，而且根据前血i 的推导，从 l a g u e r r e 完备函数集合的性质可以知道，这个函数集 c m ( 丁) ) 也同样是完备集合虽 然它f i 是一个正交函数集，但是这个函数具有h e r m i t e 函数集合所4 i 能比拟的优势； 它是一个完全的实函数集，不象h e r m i t e 函数集合那样是复数的函数集合，这对于计 算来说大大减少了复杂程度，因此对于实际应用而言具有非常大的优越性汀) 的 形式可以从( 图2 3 ) 和( 图24 ) 中看出 虽然上面找到了比热和声子谱在l a g u e r r e 表示下的展开集合，但是还矸i 能说j ! j j 比 热展开集合 g 。) ) 所对戍的反问题解一定是声子谱展开集合 ( t ) ) 下面我们来 址明g 。( u ) 确实是( t ) 的反演结果，从理论上完整的解决这个问题 这个问题的让明实际上就是求解比热形式为e m ( r ) 的声子潜反演问题根据( t ) 的表j j 可以得到它的渐近行为 。( f 鼎”1 r ( s n + 3 ) c ( s + m + 2 ) ( 丁刊 ( 24 3 ) ik b 2 ”1 ( s 十 ) !( 7 1 - 0 ) 23 比热反演的u f s 表示和r l 表示 p - 、 o t 图2 3 ：r i e m a n n l a g u e r r e 表示中，比热基函数的形式g m ) ，m = 0 2 ，s = 2 ，f = k b “x s o t 冈24 。r i e l l l i i i l l | - k a g u e ir p 表示中，比热旱函数的彤式( u ) ， m = 3 5 ， s = 2 ，f = 西 第二章比热一声子谱反演问题 从上式可以发现，比热展开函数的每一项c 。) 的行为同晶格比热的渐近行为是基奉 类似的根据变换( 25 ) ，定义p ；s + m + 1 ，可以得到 q o ( z 】= c m ( 如e 。) e 。 = 埘( ) ( 警) “一刊。扎，+ f 百k b t oe 。) 一 面k b t o 以( p “1 + f 面k b e 。) ) ( 24 4 ) 苒先算其f o u r i e r 变换国o ( ) ，根据积分公式： 仁e ( , u - s - i k ) x m ，l 恤弘= 堕铲r ( # - s - i k ) a 巾帅( 2 4 5 ) 可得 q o = 去仁e 砘。q o ( 妯 ：等f ( s + 2 + i k ) ( ( s + 1 + i k ) r ( # - s - i k ) 丝2 s + 堂i k - # a 。， 将亩o ( k ) 的表示代入严格解公式( 21 3 ) ，得到 c小翥(彘)”1仁，r(it-s-ik9，( 警) ”“挑p 卜丽i 瓦l 砀i 一。矿“1 1 f 黜 再根据下面的一个积分表示 爵1 仁a - o - i t c f ( 6 拙) e i k y 船e 咖e 1 就可以最后得到 g ( u ) = ( 和) “一1 e - 和2 = ( 和) 5 + ”e - f “2 这正是9 。( u ) 的表示，冈此就证明了c m ( 丁) 的比热一卢子潜反演结果就是9 。( u ) 考 虑到比热甚函数集合是一个完备函数集，如果给定的比热利用这个函数集展开可以表 1 ：为 。 仉( t ) = b m c m ( t ) ( 25 0 ) 那么比热声子潜反演的结果为 9 ( u ) = b i n 9 。( u ) ( 25 1 ) m = 0 钾 姐 2 2 2 24 比热反演问题的实际应用 这样的一个严格解公式，将比热一声子谱的反演求解计算转化为根据比热数据求系数 b 。的汁算，获得了展开系数后，利用( 25 1 ) 的求和就可以得到需要的反演声子谱结 果这个方法比u f s 方法相比具有史大的优越性：完全的实表示函数，避免了复数计 算带来的复杂性利用基函数集合的性质避免了复杂的反演求解过程，唯一需要的仅 仅是对实骑比热结果进行整理和求比热基函数的展开系数就可以了但是对于r _ l 表 爪方法，【f 】j 基函数集 ( 丁1 ) 小是正交函数系，冈此展开系数的求解小能使用正交 条件获得，但一般条件下利用最小二乘法都可以获得比较好的的展开结果 2 4比热反演问题的实际应用 上血我们利用两种小同的完备集合获得了两个新的严格解方法：u f s 方法和 p d e m a n n l a g u e r r e 表示方法这两个严格解方法的共同之处在于利用完备集合的性质 来满足反演严格解的存在唯一性定理，将反演计算转化为对输入数据的完备集合展开 算它们又有一些1 i 同：u f s 方法中的h e r m i t e 基函数集合是一个正交完备集，因 此h 算展开系数可以利用正交化条件由积分表示获得，但是由于实验数据的有限和不 连续性，导致了积分计算的困难，但通过对实验数据拟合的方法可以解决这个问题 对于r - l 表示方法，比热基函数集合f c k ( t ) ) 不是正交集，因此只有利用最小二乘法 等函数展开方法来获得展开系数同时r - l 表示方法中的展开函数集合是完全的实表 示集合，同u f s 表示方法相比较，可以说在数值计算上比较容易，而且对应的解展开 集合g 。( u ) 的表示更加简单，计算方便可以说两种方法各有各的好处总体来说，这 两种方法都是适合于实际廊用的汁算方法，它们可以充分的利用解析计算的严格性和 精确性，将所有的复杂汁算通过理沦方法避免了，符合实际计算需要的简便使用性 对于这两种方法的具体应用。下面我们就利用y b c o 的实验比热数据反演进行验证 2 4 1实验数据的获取 要想在反演汁算中获得理想的结果，那么实验数据的选择就必须考虑很多的实 际耍求，这是和实验条件以及实验要求有关的，如实验数据的测量精度( 比如相对精 度1 0 “) ，测量温区( 至少达到能够利用比热的渐近行为条件进行外延：低温区 e 、一a t 5 ：以及高温区的c v 常数) 等等都是必须满足的要求另外考虑研究这个 反演问题的物理需要，我们选择y b c o 高温氧化物超导体作为研究对象对于这样的 特殊材料，氧含量的精确控制也同样是实验必须注意的 有了对实验数据的基本要求以后，我t l 】对很多的实验数据进行了选择f 7 8 1 7 9 1 1 8 0 f ， 在寻找数据的过程中我们仍然发现了很多的问题，找到能够同时满足这些条件的实验 数据具有一定困难这主要是阕为能够找到的实验结果都是为了一些其它的研究目的 进行测量的，而无法满足反演算的这些要求最终我们找到了b e s s e r g e n e v 等人的t 作【4 3 】，他们测量了y b c 0 69 2 在一个比较大温区范围的比热数据，而且实验的精度 和氧含量等条件也基奉上符合要求 1 8第2 - 章比热声子谱反演问题 有r 比热实验数据之后，紧接着就需要对实验数据进行处理一般的比热测量实 验，都是在常压条件下的结果，也就是定压比热g ，而4 i 是我们所需要的定容比热 c l 。这个问题，根据同体理论f 4 4 1 中的说明，由于固体在定雁条件下，奉身体积的变 化非常小，可以忽略_ i ，冈此就忽略g 和g l ，之间存在的差别，认为c p = c v 这 样就司以直接利用实验得到的定乐比热数据 在实验测量所获得的比热数据中，小仅包含有晶格比热的贡献，还会包含有电子 比热等其它些部分的贡献，这其中电子比热的贡献是主要部分，我们必须要将这一 部分从总的比热数据中扣除但是由于高温超导的机理还是一个没有解决的问