（无线电物理专业论文）二维介质中高频电磁波散射与逆散射方法研究.pdf

摘要 电磁波散射与逆散射是电磁场工程技术中一个非常重要的领域，但因其算法复杂性 使实现过程存在着相当大的困难。尤其在电磁成像的领域中开发出新的、高效的、精确 的算法仍是一个具有挑战性的研究。 本文从麦克斯韦方程组出发，结合格林函数建立电场积分方程，然后利用积分方程 法对二维介质中的电磁波散射与逆散射方法进行研究。在计算电磁波散射时首先对电场 积分方程进行离散，离散时如何选取合适的离散函数使离散结果更加准确是非常重要 的，所以本文采用了比目前常用的脉冲函数更加精确的插值函数作为离散函数。对离散 后的积分方程用稳定型双共轭梯度( b c g s ) 迭代法求解。由于格林函数与对比源的乘积 可以写成卷积形式，从而在每一次迭代过程中可以同时在x 、y 两个方向采用快速傅立 叶变换( f f t ) 技术加速，使计算速度更快，具有更好的实用性。在计算电磁逆散射过程 中使用了波恩( b o r n ) 迭代方法，此法在每一次迭代过程中都要进行正演计算。由于每次 正演计算都采用b c g s f f t 算法，所以使反演过程快速准确。最后得到一套完整的二维 介质中的电磁散射与逆散射算法及计算软件。数值计算举例说明了本文算法的精确性和 有效性。 关键词：电磁场，电磁散射，电磁逆散射，格林函数，积分方程 s t u d yo nt h em e t h o d so fs c a t t e r i n ga n di n v e r s es c a t t e r i n go f h i g h - f r e q u e n c ye l e c t r o m a g n e t i cw a v e i nt w o - d i m e n s i o nm e d i u m s o n gd i a n g u a n g ( r a d i op h y s i c s ) d i r e c t e db yp r o f w e ib a o j u n a b s t r a c t e l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n ga n de l e c t r o m a g n e t i ci n v e r s es c a t t e r i n gi s av e r yi m p o r t a n t f i e l di ne n g i n e e r i n g st e c h n i q u e so fe l e c t r o m a g n e t i cw a v e ，b u tt h e yh a v eg r e a td i f f i c u l t yi n i m p l e m e n t i n gb e c a u s eo ft h ec o m p l e x i t yo fa l g o r i t h m e s p e c i a l l y ，d e v e l o p i n gn e w 、h i g h e f f i c i e n c ya n d e x a c ta l g o r i t h mi sac h a l l e n g i n gt a s ki ne l e c t r o m a g n e t i ci m a g i n gf i e l d t h ei n t e g r a le q u a t i o n sa r ef o r m u l a t e db ym a x w e l le q u a t i o n sa n dg r e e n sf u n c t i o ni nt h i s p a p e r t h e ni n t e g r a le q u a t i o n sa r eu s e dt os t u d ye l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n ga n de l e c t r o - m a g n e t i ci n v e r s es c a t t e r i n gi nt w o d i m e n s i o nm e d i u m f i r s t , g e t t i n gt h ed i s c r e t i z a t i o no f i n t e g r a le q u a t i o n s ，a n dt om a k et h ed i s c r e t er e s u l tm o l ee x a c t ，w h i c hd i s c r e t ef u n c t i o ni s s e l e c t e di sv e r yi m p o r t a n t s oi n t e r p o l a t i n gf u n c t i o n , w h i c hi sm o r ee x a c tt h a ni m p u l s e f u n c t i o n , i su s e da sd i s c r e t ef u n c t i o ni nt h i sp a p e r t h ed i s c r e t ef o r mo ft h ei n t e g r a le q u a t i o n s i ss o l v e dv i at h es t a b i l i z e db i c o n j u g a t e - g r a d i e n ti t e r a t i o nm e t h o d b e c a u s et h ep r o d u c t b e t w e e nt h eg r e e n sf u n c t i o na n dt h ec o n t r a s ts o u r c ew i t h i nt h ei n t e g r a le q u a t i o n sc a nb e e x p r e s s e di nt h ef o r mo fc o n v o l u t i o n ，w h i c hc a n b ea c c e l e r a t e db ya d o p t i n gt h ef a s tf o u r i e r t r a n s f o r mi nxa n dyd i r e c t i o n sd u r i n ge a c hi t e r a t i o no fb e g s ，t h ea l g o r i t h mh a sm o r e c o m p u t i n gs p e e da n dp r a c t i c a b i l i t y t h ea l g o r i t h mo fb o r ni t e r a t i o ni su s e dt o c a l c u l a t e e l e c t r o m a g n e t i ci n v e r s es c a t t e r i n g f o r w a r dc o m p u t i n gi sp e r f o r m e dd u r i n ge a c hi t e r a t i o n b e c a u s et h eb e g s f f ta l g o r i t h mi su s e da sf o r w a r dm e t h o dd u r i n ge a c hi t e r a t i o n ，t h e i n v e r s er e s u l tw i l lb ef a s ta n de x a c t f i n a l l y , w h o l ee l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n ga n di n v e r s e s c a t t e r i n ga l g o r i t h ma n dc o m p u t i n gs o f t w a r e i nt w o d i m e n s i o nm e d i u ma r eo b t a i n e d n u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h ea c c u r a c ya n de f f i c i e n c yo ft h ea l g o r i t h m k e yw o r d s ：e l e c t r o m a g n e t i cf i e l d ，e l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n g ，e l e c t r o m a g n e t i ci n v e r s e s c a t t e r i n g ，g r e e n sf u n c t i o n ，i n t e g r a le q u a t i o n s n 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名：莹弯壮 麓日期：勰，月p日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印刷版 和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门( 机构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、借阅和 复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、缩印或其他 复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签名：逊 指导教师签名：乏塑客受l 日期：砧年占月加日 日期：撕形年夕月加日 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 1 1 研究课题意义 第一章绪论 电磁散射，是指在己知入射电磁波和散射体电磁参数的条件下研究电磁响应的过 程。电磁逆散射，是在给定入射电磁波并假设散射场数据可通过测量获得的情况下，重 构散射体的几何形状和物理性质的过程。电磁散射与逆散射问题一般又分别称为电磁成 像的正演问题与反演问题。有关电磁成像问题的研究始于本世纪五十年代，最初是为了 通过对电磁散射波的研究来实现对地下矿藏的探测。七十年代，随着x 射线c t 技术在 人体检测医学领域的应用，电磁成像问题的研究进一步引起人们的重视，而电磁成像正 反演算法又是研究电磁成像问题的关键。然而直到八十年代末期，有关电磁成像算法问 题的研究工作始终进展缓慢，基本集中在一维模型。受计算机技术与数值计算方法发展 水平的限制，人们的研究工作偏向于简单的近似。但是近十多年来，随着计算机技术的 发展，内存和计算速度的提高，计算条件得到了很大的改善，电磁成像问题己经成为非 常活跃的研究课题。又由于它在医学成像、无损探测、土木工程、目标识别、地震学、 微波遥感成像、地下资源及地层结构勘探等领域具有很好的应用前景，因而受到了电磁 理论学界、地质学界、医学界等不同领域的共同关注。尽管近年来电磁成像算法有了很 大的进展，但由于实际模型的复杂性，开发出新的电磁成像正反演算法仍是一个很具有 挑战性的问题。 1 2 国内外研究现状 电磁成像问题中确定散射场有测量法和计算法。测量法是在微波暗室或实际场地测 量实际物体的散射场，它是十分重要和不可缺少的一种方法，同时也是检验计算方法是 否正确的一种手段。用解析法计算电磁散射的问题己有相当长的历史。二十世纪以前人 们己经求得球、无限长圆柱、无限长椭圆柱、法向入射的抛物柱面、半平面、无限长的 劈形物体的雷达散射截面。用解析法求解电磁散射的边值问题，有时可以得到精确的函 数表达式，并且可以根据参量变化推断出解的变化趋势。但是这种方法只能解决有限的 问题，满足不了实际工程的需要。于是人们就致力于解决求解边值问题的近似方法和数 值方法。5 0 年代初，人们主要应用的理论分析法是几何光学法、物理光学法。后来美国 的凯勒( k e l l e r ) 等人提出了几何绕射理论，前苏联的乌非姆采夫提出了物理衍射理论。这 第一章绪论 两种理论特别是几何绕射理论在六十年代初开始被广泛地应用。之后由于电子计算机和 近代技术物理的发展，促进了数值方法的新发展，可以将积分方程用矩量法求解。矩量 法、光学法和几何绕射理论在计算雷达散射截面方面是互补的。 在7 0 年代，国外就有关于三维电磁散射模拟的研究。经过几十年的进程，在过去 的十多年里，求解电磁成像问题的数值方法更是得到了很大发展，提出了多种算法。在 散射方面，在1 9 7 5 年h o h m a n n 1 】就用完全解法对积分方程进行求解。此法计算准确， 但要进行直接的大型矩阵求逆运算，因而计算速度慢，所需内存大，只适用于小型散射 体。1 9 9 1 年k l e i n m a n 2 1 开始系统的用n e u m a r m 迭代法、超松弛迭代法、k r y l o v 子空间 和共轭梯度法对散射积分方程离散后形成的线性方程组迸行求解讨论。1 9 9 2 年x i o n g l 3 1 等提出了一种快速求解体积分方程的方法，叫系统迭代法。此法将求解区域分为n 个子 区域，每个子区域内分一定数量的小体元，对每个子区域内的电场采用直接的矩阵求逆， 而将其他区域的影响作为外部激励源采用迭代方法。由于每一次计算只需存储一个子矩 阵并且各子矩阵彼此独立，所以这种方法大大降低了计算机内存的使用且适合于并行处 理。其收敛速度取决于子矩阵数目，与小体元无关，因此所需时间短，适用范围广，对 存在多个异常体时尤为有效。1 9 9 3 年a l u m b a u g h l 4 】根据散射磁场的一阶b o r n 近似针对 二维轴对称情况引入了一个b o r n 核( b o r nk e r n e l ) 进行灵敏度分析，并用b o r n 序列进行 正演计算，将b o r n 序列与完全积分方程的结果进行了对比，发现此法在异常体电参数 对比度较高时发散，适应范围很窄。h a b a s h y t 5 】等提出了局域非线性( l n ) 近似，它无需 迭代，具有所需内存量小、速度快的优点，但在异常体尺寸较大和高电参数对比度的情 况下精度降低，因此适用范围受到限制。到1 9 9 5 年s i n g e r 和f a i n b e r g 6 等提, - r , 了一种收 敛序列叫改进型b o r n 序列( m b s ) ，它可以看作是对b o r n 序列推广。此法在理论上讲无 论电参数对比度多高都绝对收敛，但因实际计算中存在误差使收敛范围受到限制，可还 是要大大优于原b o r n 迭代序列，适用范围更广。另外在计算中发现，m b s 收敛速度很 慢，在均收敛的前提下，其计算速度要比b o r n 序列慢。为加快速度，可将积分方程的 近似解作为迭代初始值进行计算。1 9 9 6 年在h a b a s h y 等人局域非线性近似的基础上， z h d a n o v 和f a n g t n 黜了另外一种求解体积分方程的近似方法一拟线性近似( q l ) ，可看 作是对l n 近似的推广。此法要比l n 近似精确。2 0 0 0 年z h o uc h a o g u a n g 等瞵j 对q l 进 行了修改，提出了改进型拟线性( m q l ) 近似，m q l 近似与q l 近似相比，前者适用于 多个发射源，但只适用于二维情况。后者不适用多个发射源问题，但不受维数得限制。 在国内，2 0 0 3 年魏宝君【9 】等提出了一种改进的局域非线性迭代( m l n i ) 方法，此法将电 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 参数异常体分为近场区域和远场区域两部分。它们的位置和尺寸均随场点位置的变化而 改变，对近场区域影响的计算采用局域非线性近似；将远场区域的影响作为外部激励源， 采用迭代方法进行计算。由于不必进行直接的大型矩阵求逆运算，因而与体积分方程的 直接解法相比，所需的机时更少，并减少了对内存的要求。数值计算结果显示，该方法 也适用于高电参数对比度，且计算精度与体积分方程直接解法的精度相当，是一种计算 大尺度异常体散射场的有效方法。近年来又提出一种崭新的对角张量近似( d t a ) 【l o 】方法 计算正演问题，它假设异常区域内散射电场通过一个与发射源位置有关的散射张量 r ( r ，r r ) 与入射场近似联系起来。对低电参数对比问题，电场强度不同分量之问的交叉 极化较弱，故我们可假设异常体区域内散射电场或总电场的每个分量只与入射场的相应 分量有关。据此假设，散射张量j 可被近似为对角形式，从而这种近似被称作对角张量 近似。它比现有的近似方法具有更高的精度和更广的应用范围而其计算速度与它们相 同。 为了给出一个判别各种算法实际有效性的统一标准，美国空军的r o m e 试验室于 1 9 9 5 年在i e e e a p s 国际会议上提供了一批各种散射体散射场的实际测量数据，以供研 究人员检验逆散射方法的有效性。以后每年更新添加数据，该数据库称作i p s w i c hd a t a 。 从1 9 9 6 年开始，i e e ea p 年会在实测数据成像小组会上提出了很多方法，并通过实测 数据验证了所给出的方法的有效性。 在反演方面，1 9 8 9 年c h e w 和w a n g 分别提出了b o r n 迭代( b i m ) 1 1 , 1 2 , 1 3 1 和变形b o r n 迭代( d b i m ) 1 4 , 1 5 】，此两种方法也是目前比较常用的反演方法。b o r n 迭代方法具有抗噪 声能力强、迭代稳定的优点，并且计算量小。缺点是收敛速度慢、所需迭代次数多，属 于线性收敛，对高电参数对比模型收敛性差。而d b i m 与其相比收敛速度快、迭代次数 少，属于二次收敛，而且可用于高电参数对比度。但计算量大，不过可以用互易定理使 计算变简洁。另外随着迭代次数的增加，随着测量误差的影响，反演精度受到影响，收 敛性也不能保证，这也是d b i m 与b i m 相比主要的不足之处。同年e a t o n 1 6 】提出了一种 更为精确和稳定的完全非线性反演方法，可看作是对b o r n 迭代方法的改进。此法适用 于高电参数对比度模型，精度高而且稳定性强。该方法的缺点是计算速度慢，但可以采 用并行计算来提高运算速度。19 9 0 年c a o r s i 【1 7 】用b o r n 近似反演实现了三维电磁场的反 演，这种方法适于定性成像，即确定异常体的位置和形状，其精确重构异常体电性参数 的能力因受b o r n 近似和反演矩阵病态的限制而受到影响。19 9 7 年v a nd e nb e r gpm 【1 8 】 3 第一章绪论 等提出了一种对比源( c s i ) 方法。此法的优点是在每一次迭代无需进行正演计算，亦无 需人为地选择正则化参数，反演过程更加稳定。在对被探测目标进行全方位测量时由于 所获得的相对独立的信息量较多，采用单频即可精确重构被探测目标的位置、形状及电 参数。在观测受到限制的情况下采用多频测量可在一定程度上补偿或克服由于观测方位 的限制而缺失的信息，对多频数据进行反演仍可以精确重构待探测目标的位置、形状及 电参数。到2 0 0 0 年z h d a n o v 1 9 】以他们提出的拟线性近似( q l ) 为基础，开发了一种反演 三维电磁场的拟线性反演方法。此法是通过引入改进型物质特性张量疡将非线性积分方 程转化为线性积分方程，并用正则化共轭梯度法求解反问题。适用范围取决于拟线性近 似的适用范围。x i e l 2 0 等提出了一种并行整体积分局部微分( g i l d ) 方法。此法将求解区 域分边界和内部区域两部分，用边界区域的整体新磁场积分和内部区域的局部新磁场微 分相结合的方法求反演过程中的电参数。g i l d 与传统的非线性反演相比由于对求解区 域的绝大多数像素形成稀疏矩阵而对其余的像素形成致密矩阵作补充，因而大大减小了 计算量和存储量，可增大求解区域。该方法并行率高，通过优化正则化可以大大改善非 常病态的条件，从而得到高精度的图像。近几年来，在各种反演方法迅速发展的情况下， 一种新的方法一人工神经网络以其独特的学习记忆和非线性逼近能力在反演中得到了 广泛应用。徐海浪等【2 l 】利用b p 神经网络优化方法，实现了电阻率二维非线性反演，但 目前还没有应用到解决三维反演问题。 现在电磁成像技术己广泛应用于各技术领域。例如：在石油探测方面，应用超低频 电磁波开展井间层析成像获得剩余油的分布及监测残余油区或油水、油气边界的变化； 在城市建设中，利用电磁脉冲，特别是超宽带电磁脉冲对地下目标进行探测和成像已得 到了广泛的实际应用；军事上，利用电磁波探测地雷或未爆弹药也得到了广泛的研究； 在生物医学方面，利用高频电磁波微波成像进行非接触式测量或诊断，能较好区分生物 体软组织，还能获得温度分布、血液含量等生物组织重要信息，并且安全。 1 3 研究方法 电磁成像的正演方法基本可以分为微分方程法和积分方程法两大类。微分方程法的 求解范围是整个背景区域，将方程离散形成含大型稀疏矩阵的线性方程组后再进行计 算，适用于复杂背景模型。但由于受计算速度、计算精度和计算机内存等方面的限制， 其应用也受到了很大的限制。积分方程法的求解范围只是电磁参数异常区域，因而与微 分方程相比求解区域要小得多，尤其适用于较为简单的模型。因为其计算量相对较小， 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 成像区域可选为有限区域，且易于在计算机上用并行算法实现，所以，本文采用积分方 程法作为电磁成像的正演方法。 积分方程法包括积分方程的建立和求解两个步骤： 积分方程的建立和格林函数密切相关，格林函数的形式又与背景介质密切相关。二 维均匀介质中的格林函数为汉克尔函数，二维层状介质中的格林函数可以通过对三维层 状介质中的格林函数在某一方向上从到棚积分获得。从麦克斯韦方程组出发，结合 与模型相应的格林函数可建立相应的电磁场积分方程。 积分方程的求解方法可大体分为近似方法和迭代方法。目前对积分方程的求解最为 有效的是稳定型双共轭梯度( b c g s ) 迭代法。此法的求解过程是先将积分方程离散，对 离散后形成的矩阵方程用b c g s 算法进行计算。本文拟采用此算法解积分方程。利用此 算法最为关键的一步是对积分方程的离散，如何选择准确的基函数进行离散至关重要， 这也是本文的一个重点。其次在运用b c g s 算法时考虑到格林函数与对比源的乘积可以 写成卷积形式，因此可以在每次迭代过程中用快速傅立叶变换( f f t ) 进行加速，使计算 速度更快。 电磁成像的反演方法大体可分线性方法和非线性方法。实际上电磁成像的反演过程 都是非线性的，而线性方法是将非线性方程作线性近似，再进行线性求解的一种方法， 因此线性方法的计算过程要比非线性方法简洁。考虑到算法的实现难易程度，本文采用 b o r n 迭代线性方法进行反演。 b o r n 迭代方法是目前比较常用的一种线性迭代方法。具有抗噪声能力强、迭代稳定 的优点，并且计算量小。缺点是收敛速度慢、所需迭代次数多，属于线性收敛，对高电 参数对比模型收敛性差。此算法在每次迭代过程中都要进行正演计算，而在正演计算中 用b c g s f f t 算法可大大加快正演速度，使得迭代次数不会对整个反演算法产生太大的 影响，使此反演算法的部分缺点得以克服。 最后将本文得出的电磁成像正反演算法用计算机f o r t r a n 语言进行编程，开发出计 算软件，并通过实例来验证算法的有效性和精确性。 1 4 论文要解决的问题 本文主要对二维介质中电磁成像的正反演算法进行研究。以期开发出一套完整的二 维电磁成像的计算软件。 在正演方面要解决的问题为： 5 第一章绪论 1 、根据二维不同的背景介质，推导出相应的格林函数。 2 、根据麦克斯韦方程组，结合格林函数建立适用的电场积分方程。 3 、选取精确的基函数对积分方程离散。 4 、对离散后形成的矩阵方程用b c g s 方法编程求解，在编程时用f f t 进行加速， 开发出正演软件。 在反演方面要解决的问题： 1 、b o r n 迭代反演方程的建立。 2 、迭代过程中系数矩阵即雅可比矩阵的构造。 3 、结合正演软件开发出b o r n 迭代的反演软件。 6 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第二章基本电磁理论 2 1 介质的电磁参数及相互联系 l 、电导率、介电常数和磁导率 电磁性质是介质重要的物理性质之一。描述介质基本电磁性质的参数有三个：电导 率o r 、介电常数s 和磁导率。 电导率仃是欧姆定律中联系电流与电场矢量的比例因子( t ，= o - e ) ，表征介质对电 流的传导能力，单位为s m 。电阻率也是表征介质对电流传导能力的参数，其值为电导 率的倒数，单位为q m 。 介电常数s 是麦克斯韦方程组中联系电场强度和电位移矢量的比例因子( d = 占e ) ， 表征介质的介电性和极化。通常使用相对介电系数q 表征介质的介电性，q = 衫岛， 岛= 1 3 6 x 1 0 - 9 f m ，岛是自由空间的介电常数，q 指出介电体的介电常数是自由空间的 几倍。因此，介电常数与电导率不同，即使在真空中，它仍有确定的值岛。 磁导率是麦克斯韦方程组中联系磁场强度与磁感应强度的比例因子( 刀= , u h ) ， 表征介质的磁导率，电导率和介电常数在一般情况下可视为是同外加场强无关的介质参 数，但磁导率则不同，它同外加磁场强度有着复杂的依存关系。与介电常数类似，通常 使用相对磁导率以表征介质的磁导率，所= ，风= 4 7 c x l 0 。h m ，为真空中的磁导 率。 对于非磁性介质，影响低频( 1 0 6 h z ) 电磁波传播的主要因素是电导率，而影响高 频电磁波的主要因素则是介电常数；对于磁性介质，磁导率对电磁波的传播也有重要影 响。 仃，s ，所联系的场量均为矢量，从理论上来说它们都应是张量，仅在近似、简 化条件下视为标量。仃，g ，与空间坐标无关的介质称为均匀介质，反之，称为非均 匀介质。 2 、波数、衰减常数、相移常数、波阻抗及趋肤深度 从表面上看，介质的电导率、介电常数、磁导率参数联系的是不同的场量，彼此相 7 第二章基本电磁理论 互独立，对电磁场的影响也彼此独立。但在实际上，由于电磁运动是相互耦合的，因而 这三者之f b - j 存在一定的联系和相互影响。介质电导率、介电常数、磁导率对电磁场性状 的影响可归并为一个统一的表征参数“波数。波数不仅同介质的固有电磁性质有关， 也同激励场的特征( 频率) 密切相关。就一般介质( 各向异性有耗非均匀) 中的一般电磁运 动而言，波数的具体表达式十分复杂，甚至是不可求得的，假设介质均匀无限各向同性， 且其基本电磁参数盯，s ，不随时间变化，对于谐变电磁场，可导出如下的波数表达 式 k 2 = 一j 掣p + j 嬲) = 国2 t 陋 - j c o , u o - ( 2 一1 ) 波数k 只决定于电磁波的频率和介质特性。由于极化和频散，介电常数等基本电磁 参数在高频时为复数，因而波数k 也为复数。为此，又可将波数表示成 k=口-jfl(z-e) 口为相移常数，为衰减常数，它们均为介质基本电磁参数与频率的函数，具体表达式 口= 斛2 1 + ( 斯2 + ，y 2 ， = 俐2 1 + ( 胡2 一t ) l 2 叫， 相移常数及吸收常数表征介质特性对在其中传播的电磁波的影响，是描述电磁场在 介质中传播规律的重要参数，也是重要的成像参数。介质中电磁波场的电场量和磁场量 之间的关系可用波阻抗来表征。介质的波阻抗定义为 刁= ( 玎 ， 在有耗介质中，介电常数为复数否：占一j 一o r ，波阻抗相应的变为 牙= ( 小( 赤r ， 介质对电磁波的吸收能力或电磁波在介质中传播时的衰减特性是电磁成像至为关 心的问题，它既是工作频率选择的依据，也是重要的成像参数之一。相移常数和波阻抗 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 、在满足旦 1 0 ：的良导电介质中，有如下近似关系 口( 华n + 昙) 啦降) 啦 ( 华 牡( 三一- ) 班降) 牡 巧( 警) 啦( 封”，) 即在此条件下位移电流的影响可以忽略，波数与介质的介电常数无关，且具有相等的实 部和虚部。电磁场以扩散为特征。 、当1 0 旦 1 0 ：时，位移电流和传导电流两者均不可忽略，场的性质具有渐 变过渡的特点。 习惯上，以场强衰减1 e 时的距离万表征介质的衰减特性，并称其为“趋肤深度”， 在良导电介质中，有 肚( 剖2 叫爿 ( 2 - 7 ， 虽然从概念上讲，趋肤深度是表示电磁波穿透的深度，但它并不代表实际有效的研 究深度。研究深度是一个比较模糊的概念。它给出任一测深方法在特定条件下的平均特 征。根据经验，有效研究深度取- f 式更为合适 9 第二章基本电磁理论 驴击锄6 吲2 ， 因此，趋肤深度可作为可探测范围的估计测度。当进行小目标体散射与逆散射计算时， 我们便可以采用高频。 2 2 麦克斯韦方程组 1 9 世纪下半叶，在电磁理论和实验方面的研究已经积累了大量的但不够全面的成 果，迫切要求在更加普遍的观点下加以概括和总结。当时，电磁理论正处在飞跃和变革 的前夕。在这种情况下麦克斯韦方程组在稳恒电磁场方程的基础上建立起来，它是宏观 电磁场理论的基础，揭示了时变电磁场的变化规律；它给出了电场和磁场间的相互作用 以及电场和磁场是不可分割的统一体；它反映一般情况下电荷电流激发电磁场以及电磁 场运动的规律。麦克斯韦方程亦称电磁场方程。 时域中麦克斯韦方程组的微分形式 v d = p( 2 - 9 ) v b = 0 ( 2 1 0 ) v 日玑詈 ( 2 - 1 1 ) v e ：一罢 ( 2 1 2 ) 钟 、 p 一自由电荷体密度，传导电流和运动电流密度 罢位移电流密度 e 一电场强度 0 l d 一电位移矢量b 一磁感应强度 日一磁场强度 对应的麦克斯韦方程组的积分形式 d d s = 工矿 ( 2 1 3 ) qb 嬲= 0 ( 2 - 1 4 ) 一j 伊讲= n 黔谘 4 ， 护讲= 一互詈舔( 2 - 1 3 ) 1 0 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 2 3 边值关系 在两个不同介质的分界面处，分界面两侧的电磁参数如图2 一l 所不， 的边值关系的一般形式为 2 2 1 - ( h 2 一羁) = ， 矗( b 一巨) = 0 靠( b 2 一墨) = o n - ( 0 2 一日) = 仃 龟，心，呸 则时谐电磁场 ( 2 - 1 7 ) ( 2 - 1 8 ) ( 2 - 1 9 ) ( 2 2 0 ) 图2 1 两种不同介质分界面 f i 9 2 - 1 i n t e r f a c eo ft w od i f f e r e n tm e d i u m 它说明在一般情况下，在两个介质分界面处电场e 的切向分量和磁场b 的法向分量 都连续，而磁场露的切向分量和电位移d 的法向分量均有突变，日的切向分量的突变 值正好等于分界面上的面电流密度值，而d 法向分量的突变值正好等于分界面上的面电 荷密度值。 同理，由积分形式的电荷守恒定律，可以证明在导体分界面上电流法向分量满足 边值关系 以( 一j i ) = 一詈( 2 - 2 1 ) 式中盯是导体面上的电荷面密度。 第三章电磁散射与逆散射算法分析 第三章电磁散射与逆散射算法分析 电磁散射与逆散射在很多领域都有非常重要的应用，如医学成像、无损探测、土木 工程、目标识别、地震学、微波遥感成像、地下资源及地层结构勘探等领域。而电磁散 射与逆散射算法又直接关系着其应用的质量。所以研究电磁散射与逆散射算法具有重要 的意义。 本章详细归纳了目前比较常用的电磁成像正反演算法，并对每种算法的原理、优缺 点、适用范围作了详细介绍，为本文选取合适的正反演算法做基础。 3 1 电磁散射算法分析 求解电磁散射的方法可分为微分方程法和积分方程法两大类。 3 1 1 微分方程法 微分方程法的求解范围是整个背景区域，将方程离散形成含大型稀疏矩阵的线性方 程组后再进行计算，适用于复杂介质模型。可采用有限元法【2 3 1 和有限差分法f 冽对微分方 程进行计算。 l 、有限元法 在轴对称的假设下，计算二维散射电磁场，若假设时间因子为e j 科，垂直磁偶极子产 生的电场只有切向分量e ，由麦克斯韦方程组可得出 等+ 靶导( 呜) 卜纠掣( 3 - 1 ) 式中，露2 = 彩2 岛一j ( 虽) 是复波数；毛是真空的介电常数：舜是介质的相对介电常 数；仃是介质的电导率；是介质的磁导率，等于真空的磁导率胁；，- 为半径。 为了提高计算效率和精度，将总场乜分离成背景场e b 和散射场e 3 邑= e 6 + e 5( 3 2 ) 背景电场的切向分量e 6 可用解析式求解 矿= 一j r o a 熹厂( 1 + i k o r ) e - j 舭( 3 - 3 ) 1 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 为了得到总场毛，只须求散射场e 3 ，且散射场e 8 与背景场e 6 有如下关系 可a 2 e s + 万ai - l - 7 i 万a1 哆5 ) + ( 七2 一砖) e b = 。 ( 3 4 ) 用有限元法解方程时，其解的变分积分为 巾s ) - 啦扣) 2 + i a 龙e 。j 2 _ k 2p ) 2 - 2 卵十一 p 5 ， 将该式离散取极小值可得到形式为k e 3 = - , 的稀疏矩阵方程，解此矩阵方程，可求得空 间任意点散射场e 5 。具体离散方法见 2 3 。 2 、有限差分法 设发射源随时间的关系为e 徊，并由于占和z o 很小可忽略位移电流，背景为各向异 性，从m a x w e l l 方程组出发得到的电磁场满足微分方程形式 ve=-jcop,h(3-6) v x h = j l n - i - 以 ( 3 7 ) = o e ( 3 8 ) 式中厶为感应电流密度；以为源电流密度。为更精确地计算源点附近的场分量，可进 一步将总场e 分离为背景场e 6 和散射场e 3 。将( 3 6 ) 、( 3 7 ) 、( 3 - 8 ) 式合并得 v x v xe 5 + j o ) p r c r e 3 = 一j 嘴以( 3 - 9 ) 五= 【矿一】e 6 ( 3 - l o ) 对求解区域用y e e 交错网格口5 1 进行空间离散化，这样每一个磁场分量周围环绕着4 个电场分量，每一个电场分量周围环绕着4 个磁场分量，这种电磁场彼此交错放置的方 法正符合法拉第电磁感应定律和安培定律的自然几何结构，同时也满足在单元节点电场 切向分量连续的条件。因此，在通常情况下，使用y e e 交错网格对偏微分方程进行有限 差分离散不会产生所谓的赝解。 将电场方程用有限差分离散后，组合所有节点形成一个超大型稀疏复对称型方程组 a x = b ( 3 1 1 ) 式中，4 为系数矩阵；露为右端向量，它与背景场有关；x 为待求散射场分布。解此方 1 3 第三章电磁散射与逆散射算法分析 程只能采用迭代法，如可采用i ；乙哆l o v 子空间预条件双共轭梯度法进行求解【2 6 】，此法可降 低矩阵的条件数从而达到提高收敛速度的目的。 3 1 2 积分方程法 积分方程法的求解范围只是电磁参数异常区域，因而与微分方程相比求解区域要小 得多，尤其适用于较为简单的模型。该方法适合于反演过程中的正演计算，计算量相对 较小，且成像区域可选为有限区域，所以，许多科研人员采用积分方程作为电磁成像的 正演方法。但积分方程经离散后形成含致密矩阵的线性方程组，若在计算时存储整个矩 阵，则所需内存量很大，计算速度亦将变慢，从而降低其计算效率。因此，如何计算此 线性方程组至关重要。计算积分方程有多种算法，分述如下： 1 、直接解? 法1 2 7 , 2 8 1 、逐次逼近解法和改进的逐次逼近解法 2 9 , 3 0 , 3 1 1 针对二维轴对称情况，采用柱坐标系，发射源随时间的变化关系为e j 一，忽略位移 电流的影响，设介质是非磁性的，则介质各处的磁矢势( 只有分量) 为 爿( ，r r ) = a 6 ( ，矗) 一j 卿，( ，) 仃( ，7 ) 4 ( ，乇) 西7 ( 3 - 1 2 ) 式中，4 6 为磁矢势的背景值；，为接收点的位置坐标；弁为发射源的位置坐标；q 为电 参数异常区域；，为二维g r e e n 函数；为真空的磁导率，a o = 盯一吼，盯和分别 为电导率异常区域和背景介质的电导率。背景介质可以是均匀介质也可以是层状介质。 将q 分成个小面元q ，j = l ，2 ，- ，。每个小面元内介质电导率恒定，设为町。 发射的电磁波采用低频，因此可以假设在每个小面元内磁矢势恒定，由其中心点的值代 替。由此得到q 内式( 3 - 1 2 ) 的离散形式 4 ( ”) 列( ) 一j 蚴善巴 r ( v ) d ， a ( 仙) ( ，2 - ) ( 3 - 1 3 ) 对不同的发射源位置和所有的小面元，式( 3 - 1 3 ) 可写成矩阵形式。设发射源位置共 有下个，则矩阵形式为 a = a “+ g x a ( 3 1 4 ) 式中，a 和4 6 为n x t 阶复矩阵；三= 咖( 吼，a 0 2 ，a c t n ) 为n xn 阶对角矩阵；g 为阶复矩阵，其元素为q = 一j 毗，( ，) 办。由式( 3 一1 4 ) 得到 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 a = ( ，一g z ) 叫a b ，再根据电磁场与磁矢势之间的转换可得出电磁场强度。这就是积分 方程的直接解法，也称矩量法。该方法计算准确，但须进行大型复矩阵求逆运算，计算 速度慢，所需内存量大，所以只适用于小型散射体。 由式( 3 1 2 ) 还可形成如下的迭代序列 4 ( ，t ) = 4 6 ( ，弁) 一j 吐弛，( ，) 盯( ，) 4 七卅( ，7 ，矗) d ，7 ( 七= 1 ，2 ，) ( 3 - 1 5 ) 这就是逐次逼近解法。该解法所形成的迭代序列只适用于异常体电导率与背景电导率对 比度较低的情况，当电导率对比度大时，则迭代发散，所以适用范围很窄。 将异常区域内的散射电流密度定义为 j f 3 = 盯e = 一j 国盯4 = 一j 国盯( 彳6 + 彳3 ) ( 3 - 1 6 ) 所以式( 3 1 2 ) 可写为 彳5 ( ，_ ) = 硒l j l ( ，沙8 ( ，7 ，矗) d ，= 硒咒( 歹5 ) ( 3 - 1 7 ) 根据文献 2 9 附录中式( a 6 ) ，在任意形状的三维电导率异常体内，下列关系式成立 吼卜别2 咖j l 矮咖 p 埘 在轴对称情况下采用柱坐标系，a h , = r d r d b d z ，先对角度积分，式( 3 1 8 ) 变为 2 兀| _ j 鲥5 + 丢1 2 砒锄碧s 2 砒 p 聊 式( 3 1 9 ) 对任意大小的异常区域q 均成立，故有 斗m + 非譬 仔2 。， 由式( 3 1 7 ) n 厄 - j 一刳叫0 ) , o 厄b f b 2 厄赤 + 赤= 臂 赤 p 2 - ， 臂( x ) = 一j 厕( 2 帚) + x ( 3 2 2 ) 由式( 3 - 2 0 ) 和式( 3 - 2 1 ) 知，0 矸0 1 。式( 3 2 1 ) 可以表示为 a a 3 + m b = r m 6 ( 4 5 + 4 b ) ( 3 - 2 3 ) 1 5 第三章电磁散射与逆散射算法分析 其中，口：下o r + o b ，6 ：氅。定义：一b ：竺1 1 ，式( 3 2 3 ) 表示为 2 吒z 4 0 - b a 仃+ a a 3 = 臂( 叫3 ) + 露( 甜b ) 一科“ ( 3 2 4 ) 将夕看作一种算符，记为心，式( 3 2 4 ) 可表示为 a a 3 = 劈( 耐3 ) + 钟( 叫6 ) 一p a a b ( 3 2 5 ) 由式( 3 2 5 ) 可形成如下迭代序列 a a = 钟( 硝h ) + 霹心( “6 ) 一p a a b ( 尼= 1 2 。) ( 3 - 2 6 ) 式( 3 2 6 ) 就是改进的逐次逼近解法( m s a m ) 。在实际情况下，i i m 声i i - - i p i i ，所以 l 弦嗨l 1 。 由此看出，无论电导率对比度有多大，该解法均绝对收敛，且其收敛性仍要优于原 b o r n 迭代序列，适用范围更广。 2 、局域非线性近似 4 , 3 2 , 3 3 】 可以将三维异常体内散射电场的积分方程改写为如下等价形式 脚，= 聃，+ 产s ( r , r ) a o r ( r ) d r 卜咖g e ( ，灿归m p p 2 7 ， 由于g e ( ，7 ) 在，7 = ，点处是奇异的，所以在该点处场的贡献主要来自于该点附近区域。 由于在，= ，点处e ( r 3 = e ( ，) ，该积分方程可化简成 e ( ，) f ( ，) 民( ，) ( ，d ) 这就是积分方程的局域非线性近似，式中 一，g s ( r , r ) a c r ( r ) d r - l ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 被称为散射张量。 3 、拟线性近似( q l ) 【2 9 ，3 4 】