（理论物理专业论文）用超对称变换的方法求解若干广义的jaynescummings模型.pdf

! ! ! ! 生主旦盘生蕉盔盘堂堑茎焦途塞挂墨星i 擅要 作为量子力学中为数不多的精确可解的物理模型之一一j a y n e s - c u m m i n g s ( j c ) 模型，自1 9 6 3 年由e t j a y n e sa n df w ，c u m m i n g s 提出以来，一直得到物理学界相关领域的科研工作者的广泛注重因 而也便得到了广泛的应用，各种推广了的j c 模型随之也应运而生。 本文中我们在已有的j c 模型基础之上，提出两种新的模型：双光 子情形的具有两个集体辐射原子的j c 模型；类双光子情形的基于两模 光子数差算符和操作位相的j c 模型，并对它们做出相应的求解( 包括 用超对称变换的方法) 。另一方面，我们又针对两种现有的模型：k e r r 媒质中多光子相互作用的强度相关的j c 模型；原子质心发生运动时j c 模型，用超对称变换的方法做出相关的求解。 超对称变换的方法最初由范洪义教授和李良时博士成功地利用来 求解( 原始的) j c 模型并得到了相应的本征解。由于用该方法求解j c 模型简洁，对称，因而有许多推广了的j c 模型都可以( 或已经) 用它求 解。为此，我们也将准备简要地介绍一下超对称的方法。 该文主要内容如下： 第一章简要回顾j c 模型( 及其一些推广) 的历史背景及该模型的 基本原理。 、 第二章简要说明超对称变换的特点及如何应用。 i ! q 主主照叠燮揍查盘壁堑圭茔焦煎圭 挂墨笙i i 第三章我们提出的两种新的j c 模型( 上面已提及) 并对它们做出 相应的求解( 包括用超对称变换的方法) 第四章我们针对现有的两种模型( 上面已提及) 用超对称变换的 方法求解， 关键词lj c 模型，超对称变换，态的时间演化。 2 q q ! 圭主星銎兰垫查盘兰堑圭笙焦盈塞 整里芏i i j a b s tr a o 七 t h est a n d a r d j a y n e s c u m m i n g s ( j c ) m o d e l ，a s o n eo f t h es e v e r a i e l a c t l ys o l v a b l em o d e l so fq u a n t u mm e c h a n i c s ，p r o p o s e db ye t j a y n e s a n d f w c u m m i n g si n 1 9 6 3 ，h a v e t h e r i g h t o f r e c e i v i n g a l o n g t i m e i n t e r e s t i n gw i d e l yf r o mt h er e s e a r c h e r si nt h er e l a t e df i e l do fp h y s i c s t h e r e f o r e ，i th a saw i d ea p p l i c a t i o ni nt h et e a i mo f q u a n t u mm e c h a r t i c s a n dp r o m o t e g e n e r a t i n g i ts r a m i f i c a t i o n i nt h ec o n t e x to ft h is p a p e r ，w es h a l lr e p o r tt w ok i n d so fj c 皿o d e l s b as e do nt h ep r o p o s e dm o d e l s ：o n eist h ej cm o d e lf o r t w oc o l l e c t i v e i y r a d i a t i n ga t o m si nt w op h o t o np r o c e s s ，t h eo t h e ris t h ej cm o d e lb a s e d o nn u m h e r d i f f e r e n c ea n do p e r a t i o n a lp h a s ei na g e n e r a l i z e dt w op h o t o n p r o c e s s ，a n ds o l v ei t i n c l u d i n gw i t ht h es u p e r s y 删e t r i ct r a n s f o r m a l j n m e t h o d o nt h eo t h e rh a n d ，w es h a l lm a k es o m ec a l c u l a t i o nb yu s i n gt h e 8 “p e r s y m m e t r i cm e t h o df o rt w ok n o w n g e n e r a t e d j cm o d e i s ：( 1 ) t h e i n t e n s i t y d e p e n d e n ti cm o d e iv i a m u l t i - p h o t o ni n t e r n c t i o ni nak e r r m e d i u m ；( 2 ) t h ej cm o d e w i t ha t o m i c c e n t e r o f - m a s s 册o t i o n t h e s u p e r s y m m e t r i ct r a n s f o r m a t i o nm e t h o d 珊s p r i 砸i t i v e l yu s e db y p r o f e ss o r h o n g y if a na n dd o c t o rl i a n g s h il i t os o l v et h es t a n d a r dj c 2 盟! 生一 生堡叠生整盎盘壁塑茎焦缝塞挂兰! 薹一i v m o d e la n dd e r i v et h e c o r r e s p o n d i n ge i g e n v a l u e s a n d e i g e n v e c t o r s s a u c e s s f u l l y b e c a u s eo ft h ec o f l c i s oa n ds y m m e t r yo ft h ism e t h o d ，m a n y g e n e r a t e dj cm o d e l sc a nb e ( o rh a v eb e e n ) c a l c u l a t e dw i t hi t t h u s ，w e s h a l la l t ov a c a t es u i t a b l es p a c ef o ri l l u s t r a t i n gt h ee l e m e n t so ft h e s u p e r s y m m e t r i em e t h o d t h em a i nc o n t e n to ft h is p a p e r is a r r a n g e da tf 0 1 l o w s i n c h a p t e ri ，w es h a l lb r i e f l yi n tr e d u c et h eh is t o r yo fj cm o d e l a n di tsr e l a t e dr a m i f i c a t i o na n ds h o ww h a tt h ej cm o d e li s d u et oi tis n e c e s s a r y t oi l l u m i n a t et h e p r o p e r t i e s o ft h e s u p e r s y m m e t r i ct r a n s f o r m t i o n ，w es h a l lr e f e rt oi ti nc h a p t e ri i ，a n d a is o b r i e f l ys h o wh o wt ou s e i t t h e n ，w ep r e s e n tt w of l e wk i n d so fi cm o d e l sw h i c hm e n t i o n e da b o v e a n ds o l v et h e m ( i n c l u d i n gw i t ht h es u p e r s y m m e t r i ut r a n s f o r m a t i o nm e t h o d l i nc h a p t e ri i i a t l a s t ，i nc h a p t e ri v 。w ep a ya t r e n t i o nt ot w ok n o w nj cm o d e l s ( m e n t i o n e da b o v e ) a n da ls og a i nt h ee n e r g ye i g e n v a l u e sa n de i g e n v e c t o r s b yv i r t u eo f t h e s u p e r s y m m e t r i ctr a n s f o r m a t i o nm e t h o d 地塑j 二一一生国登至蕉查叁生塑鲎焦逾塞 整墨芏v k e y w o r d s ： j c m o d e l ，s u p e r s y m m e tr i ct r a n s f o r m a t t o n ti m e e v o u t i o no ft h e s t a t e 。 致谢 我衷心意谢我的导师范洪义教授他在我三年的项士阶段蛤予 了戎长期的悉心指导，同时范老师对科学的热忱以厦严谨的治学态度 也对戎产生了深刻的影响，使我受益非浅在我的顽士学位论文完 成过程中，范老师也倾注了大量的心血，我对此也向范老师表示真诚 的感谢 另外我的师兄弟：梁先庭，姜年权，胡海一，昊昊，付亮，李超等 以及何海燕同学都蛤予了我很大的帮助，我在这里也向他们一并致谢 最后我要意谢我的父母及关心我的亲戚朋友们，以及感谢那些t 经关心鼓励过我的人们，同时也感谢科大三年来对我的培养 挂卫军 2 0 0 4 年5 月 ! ! ! ! 圭主圄登堂丝盎盘堂筮堂焦堡塞坐丝- 一 第一章j c 模型的基本原理及相关历史 本章我们简单介绍一下j c 模型的基本原理以及简要地说明下 该模型自提出以来一些相关的应用以及随后的相关发展历史， 1 1j c 模型的简单介绍 j a y n e s c u m m i n g s ( j c ) 模型是由e t j a y n e s 和f w c u m m i n g s 于1 9 6 3 年提迎来的，是一种只包含一个原子轻单模辐射场，反映韵是 单原子和单模辐射场之间的相互作用的两能级量子力学模型。它作为 量子力学中为数不多的精确可解的物理模型之一，得到物理学界相关 领域科研工作者的广泛注重，而且也是人们了解比较深入的为数不多 物理模型之 卜2 7 。 根据( 多模) 辐射场和原子相互作用的经典理论，将经典的辐射场 和原子相互作用的哈密顿量量子化以致于所有的物理变量都被著 乍算 符以后，再忽略会导致双光子跃迁的相互作用项，进一步将辐射场量 子化( 称作二次量子化) 并在偶极近似和旋转波近似的情况下得到狄 克( d i c k e ) 模型。j a y n e s c u m m i n g s ( j o 模型实际上就是狄克( d i c k e ) 模型的一种特殊情形 3 。它是在将辐射场和原子均量子化的基础上得 到的关于辐射场和原子相互作用的最简单量子理论模型。 2 q ! ! 生 主圈盘堂垫盎盘至塑堂焦迨叁 一一挂里王2 一 1 2j c 模型的基本原理 在这一节里，我们简要地介绍一下j c 模型的推导过程因篇幅有 限，故不做详细推导，读者可参阅上述的量子光学书籍及文献 1 3 。 根据经典理论，一个原子( 如氢原子) 处在电磁场( 即辐射场) 中时，那么在描述该原子与电磁场相互作用对整个体系的哈密顿量可 以写成： t t = 击肛一卤敏f 圩+ 瞻) + 以= 矾+ 矾+ q ( 1 i ) 其中声是质量为1 1 1 ，电荷为e 的电子的动量，i 是坐标矢量。y p ) 是原 子体系的势能，j p ，) 是电磁场的矢势。根据( i 1 ) 式，可以看出哈 密顿量h 分解成三部分：i 原子的哈密顿量日。= 声2 1 2 m + y p ) ； 2 自由辐射场的哈密顿量口。= 1 1 2 弘雪+ 膏云知矿( 其中西是电位移矢 量，应是电场强度：云是磁感应强度，西是磁场强度) 4 ；3 原子与 辐射场的相互作用哈密顿量 日，= 去p j + j 州+ 去陋p ，圩 ( 1 2 ) 以上为经典理论的形式。在将经典理论过渡到量子理论时，根据量子 力学的基本原理，物理学量都要被看成算符，例如经典动量户换成动 量算符声，在坐标表象中声即为一访v ( 其中v 是梯度算符) 。 由于j c 模型是一种将辐射场也量子化的理论。所以我们还要进 2q q ! 生生圆盘茔丝盔盘堂塑堂焦逾塞挂里芏 s 一 一步将辐射场量子化，也就是将矢势五g ，f ) 量子化。( 矢势j g ，f ) 的量 子化过程读者可以参阅我在上面列举的一些相关文献) 在将矢势j p ，d 量子化后，我们得到 二舻，f ) = 巩噍e x p ( i k 尹) + 氏+ e x p ( - i k ，) l ( 1 3 ) i 。 其中氘是常数 瓠剁2 毛 a ， ( 是对应的辐射场模的圆频率，毛，是对应的辐射场波矢方向的单位 ! ! 塑生士亘登堂焦盔盎主塑鲎焦盈塞挂墨芏2s 子化后的相互作用哈密顿量( l2 ) 式，因( 1 2 ) 式中的第二项含有e ：， 该项与前一项相比非常小，它表征场的不同模之间通过电子与场的耦 合而发生的相互作用，这种相互作用导致双光子跃迁过程，在线形光 学中我们一般略去这一项，由此得 膏，= 一云p 二p ，) + 二舻，) 声) ( 1 5 ) 由于算符五p ，f ) 中( 见( i 4 ) 式) 含有鳌标算符，所以陋仃，盖扁0 。 但对于原子范围来说，例近似为玻尔半径值5 3 x l o 。米，又可见光的波 长约为l o 。米，从而波矢= 等* z 霈x 1 0 ，米，故j i * 3 5 1 0 。“l ， 垫盟l 主国壁堂垫查盘鲎塑堂垡迨塞 挂墨芏4 一 作为近似可取e x p ( - i i 芦) me x p ( o ) ：1 ，再结合( 1 3 ) 式得 五( o ) = - g ，f ) = 以【钆+ 吖】( 1 6 ) 由于此时二( o ) 已经不是坐标变量的函数，所以 i 爿( o ) ，p j = o ( 1 7 ) 这种处理方法相当于在考虑原子和场相互作用时，略去原子的线度。 通常称这种近似为偶极近似。从而相互作用哈密顿量可写为 疗，2 一言二( o ) 声 ( 1 8 ) _ ，l 、一 迸一步引入广义的原子算符( i 以) 为原子体系的能量本征态) 寞。= l 肛) ( 删f( 1 9 ) 又因为任何描述原子行为的算符0 可般地表示为c 3 3 0 = 伽同删) 毫。( i 1 0 ) 所以对于二能级原子，核外电子的动量算符可写为 p = ( + 阔_ 童+ h 茸寸复( i t1 ) 其中j + = j + ) ( 一1 j 一= l ) ( + j 分别表示原子的上升和下降算符。再注意到 在海森堡表象中 争：三k 剀： 2 磊品划2 爿朋 ( 1 1 2 ) 2 q q ! 生主垦登鲎焦垄盘鲎塑鲎焦监塞 挂里星5 一 故得 同理 ( + 旧- ) = 詈幢最h 习- ) = t - ( + i 司_ ) ( 1 1 3 ) ( 州= 等( 峒寸 ( 1 1 4 ) ( 其中巨一置= 蛳表示二能级原子体系的上下两个能级差) 。显然 ( 叫卅- ) 为原子的偶极距阵元，一般而言，它是复矢量。令( 叫卅j = 砌， 其中麝是实矢量，则由( i 1 1 ) ，( 1 1 3 ) 和( i 1 4 ) 式知 声= 一警n p + + 奠) ( 1 1 5 ) 于是个二能级原子与辐射场相互作用哈密顿量可写成 其中耦合常数占。为 曹，= 占仁k + 占烙+ 一)( 1 1 6 ) 气= ( 去卜崛 忉 迸一步结合( 1 1 ) ，( 1 6 ) 和( 1 9 ，式，可得量子化后的也及玩 力。= 寿囊； 机= 概，吖占 ( 1 1 8 ) 综上所述，可知二能级原子与( 多模) 辐射场总哈密顿量为 ! q q ! 生主圉銎茔挂苤盘茎塑茎焦垒盘 挂里芏e f r = h m o s ：+ 概；屯+ 占 f + 巳0 。+ 五。+ 始+ + 雪一) ( 1 1 9 ) kk 为方便起见，我们已用七代替了青，。在上式中我们略去不保持能量守 恒的两项氲良及缸+ 文( 这种近似称为旋转波近似) ，从而得到 詹= 7 i ：+ 慨气+ 气+ 吼仁。毒+ + 缸一) ( 1 2 0 ) 量t 此即为狄克摸式。由于j c 模型反映的是单原子和单模辐射场之间的相 互作用，故只需令上式中的k = 1 便可得到该模型哈密顿量的具体形式 疗= 7 l ：蝴葫+ 五+ 占+ + a 一) ( 1 2 1 ) 上式中a t 项反映的是原子从低能态跃迁到高能态，同时释放出一个光 子，而厅+ 金项则表示相反的过程。 以上我们已经简要地回顾了j g 模型哈密顿量的推导过程。下面我 们将要说明j c 模型自提出以来，该模型具有的一些特有的现象。同时 列举了一些与本文相关的推广的j c 模型。 1 3j c 模型的相关发展历史回顾 自e t j a y n e s 和f w c u m m i n g s 于1 9 6 3 年提出j c 模型以来，该 模型就一直得到广泛的注重和深入的研究。 卜2 在二十世纪8 0 年代， 经过些物理学界相关领域科学工作者们 的研究，发现了该模型具有不能用经典理论解释却完全可用量子力学 ! q q ! 圭主圄登堂垫查盘鲎塑茔焦迨塞挂里至，一 来解释的量子力学效应：r a b i 震荡的周期崩塌和回复效应 5 6 】，电 磁场的压缩效应 7 ，亚泊松光子数统计等 8 。而且这些现象已经得 到了实验的证实 9 - 1 0 3 。实际上，j c 模型可以通过腔场量子电动力 学结构来实现 11 ，也可以由激光致冷粒子离子阱来实现i t 2 。 由于j c 模型在量子光学领域中是如此地重要，以致于物理学界相 关领域的工作者们已经经过长期的努力，得到了许多j c 模型的推广。 例如：强度相关的耦合常数j c 模型 1 3 ，双光子或多光子跃迁情形 1 4 ，三能级原子与两个( 或三个) 腔模相互作用体系 1 5 ，耦合隧 道腔体电动力学模型 1 6 ，n 能级原子与n - 1 个腔模相互作用体系( 以 及该模型对应的强度相关的耦合常数模型) 1 7 。相应地，一种推广 的退化光谱j c 模型也被提出 1 8 。具有两个集体辐射原子的j c 模型 也在文献 19 中得到了讨论，我们将在第三章中将它推广到双光子情 形，并作出适当的求解( 包括用超对称变换的方法) 。基于两模粒子 数差和操作算符的j c 模型也在文献 2 0 中提出并用超对称的方法求 解，我们将在它的基础上适当地推广到类双光子情形，并作出相应的 求解，这一部分工作也将在第三章中完成。 另外，单个( 以及两个) 腔模在类k e r r 媒质中与三能级原子相互 作用体系在文献e 2 1 中得到了体现。在文献 2 2 中又将之推广成强度 相关的在类k e r r 媒质中反映多光子相互作用的耦合情形，我们将针对 这一模型在第四章中求解。质心发生运动的j c 模型的提出 2 3 ，是腔 ! q q ! 壬 主国盘生垫盘盘茔筮堂焦迨圭 挂里差8 一 体电动力学领域在实验技术方面发展的必然结果。我们也将在第四章 对它用超对称的方法求解。 参考文献 13 e 。t j a y n e sa n df w c u m m i n g s ，p r o c i e e e 5 1 8 9 ( 1 9 6 3 ) 2 f ，w c u m m i n g s ，j p 枷r e v a 1 4 0 ，1 0 5 1 ( 1 9 6 5 ) 3 彭金生，李高翔， 近代量子光学导论，科学出版社，1 9 9 6 4 郭硕鸿，电动力学， 高等教育出版社，1 9 9 7 5 j h e b e r l y ，j j s a n c h e z m o n d r a g o na n dn ，b n a r o z h n y ，p h y s r p 上p ，f ，4 4 1 3 2 3 ( 1 9 8 0 ) ；n b n a r o z l m y ，j j s a n c h e z m o n d r a g o na n dj h e b e r l y p h y s r e va 2 3 ，2 3 6 ( 1 9 8 1 1 6 p m - r a d m o r ea n d p l k n i g h t ，p h y s l e t t a 9 0 ，3 4 2 ( 1 9 8 2 ) ；p l k n i g h ta n dp m r a d m o r e ，p h y sr e v a 2 6 ，6 7 6f 19 8 2 ) 7 p - m e y s t r ea n dm s z u b a i r y , p h y s l e t t a 8 9 ，3 9 0 ( 19 8 2 ) ；j r k u l ( 1 i n s k ia n dj l m a d a j c z y k ，p 姆s r e v a 3 7 ，3 1 7 5 ( 1 9 8 8 ) 8 堡：s h o r t a n d l m a n d e l ，p h y s r e v l e t t 5 1 ，3 8 4 ( 1 9 8 3 ) ；g r e m p ea n dh w a l t h e r p h y s r e va 4 2 ，1 6 5 0 ( 1 9 9 0 ) 9 d m e s c h e d e ，h w a l t h e ra n dg m u l l e r ，坳r e v l e t t 5 4 ，3 5 1 ( 19 8 5 ) 1 0 g - r e m p e ，h w a l t h e ra n dn k i e i n ，p h y s r e ”l e t t 5 4 ，5 5 1 ( 1 9 8 7 ) ；5 8 ，3 5 3 ( 1 9 8 7 ) 1 1 s e ee g s h a r o c h ea n dj m r a y m o n d a d v ( a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ，1 9 9 4 ) 1 2 c a b l o c k l e y ，d f w a l l sa n d h r i s k e n ，e u r o p h y s 工叭1 7 ，5 0 2 ( 1 9 9 2 ) 1 3 b ，b u c ka n d c v s u k u m a r ，p h y s l e t t 8 1 a 1 3 2 ( 1 9 8 1 ) 2 q q ! 生主国盟鲎垫盔盘生塑堂焦堡圭 挂里芏9 一 1 4 pl k n i g h t ，p h y ss c r t 1 2 ，5 10 9 8 6 ) ；s j d p h o e n i xa n d p l m i g h t ，jo p t s o c a m b 7 ，11 6 ( 1 9 9 0 ) 1 5 h ，一i y o oa n dj h e b e r l y ，p h y s g e p 1 1 8 ，2 3 90 9 8 5 ) ；c c g e r r ya n dj h e b e r l y ，p h y s r e v a 4 2 ，6 8 0 5 ( 1 9 9 0 ) ；c k l a wa n dj h e b e r l y ，p h y s r e v a 4 7 ，3 1 9 5 ( 1 9 9 3 ) ， 1 6 l i w e iw a n g ，r r p u r ia n d j h e b e r l y ，p h y s r e v a 4 6 7 1 9 2 ( 1 9 9 2 ) e17 a m a b d e l h a f e z ，a - s f o b a d aa n d m m a a h m e d ，p h y s r e v a 3 5 ，1 6 3 4 ( 1 9 8 7 ) ；a m a b d e l h a f e z ，a - s f o b a d aa n dm m a a h m e d ，j ：p h y s a 2 0 ， l 3 5 9 ( 1 9 8 7 ) 1 8 q i a n gw u a n d h o n g - y if a n ，c o m m u n t h e o r p h y s 1 311 3 ( 1 9 9 0 ) 1 9 h o n g - y if a n c o m m u n t h e o r p h y s , 1 15 0 9 ( 1 9 8 9 ) 2 0 h o n g - y i f a n a n d h a i - l i a n gl u ，m o dp h y s l e f t b 1 7 1 5 3 ( 2 0 0 3 ) 2 1 r a z a i t a n d n h a b d e l 一w a h a b ，j = p h y s b a s , 3 7 0 1 ( 2 0 0 2 ) ；r a z a i t a n d n h ，a b d e l - w a h a b ，p 蛳s c r 6 6 ，4 2 5 ( 2 0 0 2 ) 2 2 r ，a z a i t ，i n t - m o dp h y s b 1 7 5 7 9 5 ( 2 0 0 3 ) 2 3 t s l e a t o ra n d m w i l k e n s p h y sg e va 4 83 2 8 6 ( 1 9 9 3 ) ! q q ! 生主圄登堂垫盎盘堂塑鲎焦鱼童 挂里至1o 一 第二章超对称变换的相关理论及应用 在这一章里，我们简要地介绍一下超对称变换的相关理论，并适 当地说明一下如何应用该方法来求解某一模型的本征解。 2 1 超对称方法的相关理论 基本粒子和基本相互作用的最终统一，是物理学家特别是理论物 理学家们为之不懈奋斗的目标。但是大统一理论中存在着所谓的等级 问题，为了摆脱困境，物理学家们提出了超对称的大统一理论。实际 上，超对称方法与玻色自由度及费米自由度都相关。包含在超对称中 的代数是阶化李代数，它的显著特点是同时具有对易和反对易两种关 系f l1 。对于粒子物理学家来说，超对称的方法提供了一个统一时空的 可能途径。另外，爱因斯坦的广义相对论也被证明是局域规范超对称 的必然结果 2 。 在文献 1 中，c o o p e r 等人谈及超对称量子力学中的哈密顿量形 式。它的特点就是如果我们知道基态波函数，我们就不一定需要具体 知道势能的形式。在选择基态的能量为o 的情况下，根据薛定谔方程 得到基态波函数( 设为甄“) ) 满足 - i i o g ) = 芸掣+ u 。k 。) ：。 ( 2 1 ) 2 q q ! 生主国盘鲎挂盎盘堂塑堂焦硷塞 挂里星1 一 由此得到， 喇= 芸锱 ( 2 2 ) 其中 c ，。”0 ) 表示波函数g ) 的二阶导数，这样我们就可以根据已知的基 态波函数g ) 来确定一个势能_ 。同时我们也可以将哈密顿量宣因 式分解为： 其中 从而 月。= a + a ( 2 。3 ) j 。而h 五d + - + = - - - 而“m - z d + ( 2 4 ) k 皓2 ”去o ) ( 2 5 根据( 2 2 ) 和( 2 5 ) 式，可求得 喇一击锱 ( 2 6 ) v mrd 、“， 另一方面，我们又可以根据哈密顿量詹来定义直：越+ 从而来构建超 对称理论，且令反与k ( z ) 相关 直：= 一嘉参+ 。) 圳。) + 去。) ( 2 7 ) 于是我们就可以得到以下形式的矩阵超对称哈密顿量疗 由_ - f 矾? 1 ( 2 8 ) l o 日2 j 这种矩阵哈密顿量为封闭代数的一部分，再令 垂= ( 鞠扯 ：言 泣9 ， 它既包含了玻色算符又包含了费米算符。这样一来，如下的对易和反 对易关系就构成了一个封闭的超对称代数，实际上它就是超对称李代 数，因为它符合构成李代数的要求 3 ，4 【詹，垂】= l 膏，垂+ j - o ，轻，垂 = 轮+ ，垂+ j = o ，轮，垂+ j = 膏( 2 1 0 ) 这里垂可以被看作是一种将玻色自由度转换到费米自由度的算符，而 垂+ 的物理意义刚好相反。 在文献 1 中，c o o p e r 等人还以谐振子为例，说明了超对称方法 的具体应用。对于谐振子而言，其哈密顿量为 啻= h 等 = 胤三，a = 渤珊 泣 其中声是动量算符，府= 五+ 占( a 是谐振子的消灭算符，占+ 是谐振子的产 生算符满足对易关系【占，占+ l - 1 ) 是粒子数算符。为了构造超对称的谐振 子，我们可以重新改写垂及垂+ 为： 垂= ( ： = 占子一；存矿，垂+ = ( ： = a + 子+ ；a + 步+ c z 2 ， 2 q q ! 生 生圄盘茔垫查盘堂塑茎焦途盘芝! 蛩己一 其中痧= ( 0o 和痧+ = ( ：0 遵循通常的费米产生及消灭算符的代数关 系： 舻，矿+ j = 1 ，舻，痧 = 舻+ ，矿+ = o ( 2 1 3 ) 于是超对称哈密顿量可以写成： 由= 鲍+ + 垂+ 垂= ( 一万d z + 等) j 一三阢，矿】 ( 2 ，4 ) 其中上式中的最后一项的效果就是消除零点能，在忽略这一项的情况 下上式就和( 2 1i ) 式保持一致。 在一般的超对称量子力学情况下，可以用j 来代替五，这样一来， 圣和垂+ 分别可表示为：垂= 五矿+ ，垂+ = 二矿，从而垂和垂+ 的效果就相当 于( 2 8 ) 式中的由和膏：。 以上的理论也是我们后续内容的思想源泉。 2 2超对称变换的方法及应用 在文献 5 ，6 中，范洪义教授和李良时博士根据c o o p e r 等人( 上 述) 的思想观点，做了适当的合理的推广得到了超对称变换的方法并 用它成功地求解出了原始j c 模型的能量本征值和本征态。下面我们就 简要的说明一下该方法及它的应用。 ! q q ! 生主圄登堂挂盎盘堂塑芏焦逾圭挂里芏1 4 一 对t - ( 1 - 2 1 ) 式中描述的j c 模型( 令壳= 1 ，五2 三，且用泡利算符表示) 疗= 詈+ 蕊+ a + 五0 文+ 五一一) ( 2 1 5 ) 受( 2 1 2 ) 式的启发，范和李定义该j c 模型的垂和垂+ 分别为 垂= 五+ 子一= ( 0o ，垂+ = 占号+ = ( ： c 2 ，6 ， 该公式和( 2 1 2 ) 稍有出入，因为这里的垂和垂+ 刚好与相互作用哈密 顿量相对应。根据超对称的理论必须引入一个新的物理量( 设为府) 使之与垂和垂+ 刚好构成超对称李代数，也就是要求 【力，q l = 【力，垂+ i = o ，轮，垂 = 妇+ ，垂+ j = o ，轮，垂+ j = 府( 2 1 7 ) 巧合的是求得的力 疗= f 篇+ 。? 。1 = 存+ 五+ 毋：+ 三 c 2 - 8 ， 刚好是t c 模型的一个守恒量。由此我们得到 存= 会t + m 庸+ a + 垂+ ) 一詈 ( 2 1 9 ) 其中4 表示频率失谐量。另一方面引入于 水力 时垂卜扣争去”垂) ( 2 2 0 ) 显然这里的于为旋转算符，起到表象变换的作用。借助于下列关系式 ! ! ! ! 圭主国盘堂挂盎盘堂筮堂焦熊塞挂盟一 【垂+ ，垂】：船：，诠，子： = 瀣+ ，子：j = 0 ，垂+ 子：= 一垂+ ，垂子：= 垂( 2 2 1 ) ( 力，垂及垂+ 被称作超对称生成元) ，得到 从而有 于”- + 垂+ 弦- = c o s 口 + 垂+ ) + s i n 口厢。， 于一t 舌：于= 盘c 。s 口一 ；隆+ 垂+ ) s i 口 4 n 肌一衙= 甜+ 卜乓a 丽1 蜘巾训+ ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 矧删厢+ 争口 t 詈 ( 2 2 4 ) 根据( 2 2 4 ) 式，如果选取 c o s 纷志， s 硼：名辔i ( 2 2 5 ) 4 2 + 4 2 ( 上式是在疗的本征值和本征方程的意义下理解的) 则疗，成为 矗；于。衙= 甜+ 三瓣：一詈( 2 2 6 ) 显然以上为一种对哈密顿量矗的变换，由于这种变换用到了超对称的 方法，故称作超对称变换( 当然这种变换是作用到整个体系上) 。根 据( 2 2 6 ) 式可以看出膏经过超对称变换以后变成对角化的詹，且 针对本征态f ，+ ) 和j 一+ l ，- ) 台的能量本征值( 也即是啻的能量本征值) 分别为 2 q q 生主圄盘堂垫盔盘堂塑圭堂焦盈童挂里生，6 一 e 。+ = ( 一+ 三) + 1 4 a 2 + 4 a z ( n + 1 ) ， 一= 文月+ 三) 历丽丽 ( 2 l2 7 ) 对应的矗的本征态也分别为 司露，+ ) = c 。s 詈f 疗，+ ) + s ；n 詈f 描+ t ，一) ， 司h + 1 ，一) ：c 。s 导卜+ l ，- ) 一s i n 导h ，+ ) ( 2 2 8 ) 根据上面的求解过程可知：用超对称来求得j c 模型方法简洁，而且形 式上也比较对称。它的关键就是找出超对称生成元及该模型的守恒量， 然后构造出相应的超对称变换算符，同时将哈密顿量詹用相应的守恒 量及超对称生成元来表示，再对詹作超对称变换，变换以后选取适当 的角度o ，就可以使变换后的哈密顿量对角化，最后根据对角化的哈 密顿量来确定它的能量本征值及能量本征态，反变换以后就可以得到 原始哈密顿量的能量本征态。在以后的章节里，我们正是沿着这样的 思路求解出了一些推广的模型的本征解。 参考文献 1 f c o o p e r 。a k h a r e a n d u s u k h a t m e ，p h y s r e ；2 5 1 。2 6 7 ( 19 9 5 ) 2 q q ! 生主国型堂丝盔盘生亟鲎焦迨圭挂里壬17 一 2 s f e r r a r a ，d f r e e d m a na n dp v a l ln i e u w e r d a u i z e n ，p h y s r e v d 1 33 2 1 4 ( 1 9 7 6 ) ； s d e s e ra n db z u m i n o ，p h y s l e t t b 6 23 3 5 ( 1 9 7 6 ) 3 万哲先，李代数，科学出版社， 1 9 6 4 4 孙洪洲，韩其智，李代数李超代数及在物理中的应用，北京大学出版社，1 9 9 9 5 h o n g y if a n a n d l i a n g s h il i c o m m u n t h e o r p h y s 2 51 0 5 ( 1 9 9 6 ) 6 范洪义，量子力学表象与变换论，上海科学技术出版社，1 9 9 7 第三章两种新的j c 模型及其求解 在这一章里，我们将根据已有的( 推广的) j c 模型提出两种新的 j c 模型：第一种是双光子情形的具有两个集体辐射原子的j c 模型； 第二种是类双光子情形的基于两模光子数差算符和操作位相的j c 模 型。然后，求出它们的( 能量) 本征解及态的演化，同时也相应地给 出它们的粒子数反转。 3 1双光子情形的具有两个集体辐射原子的j c 模型 双光子情形的具有两个集体辐射原子的j c 模型是针对两个辐射 场模和两个集体辐射原子相互作用的j c 模型的推广。在这一章里，我 们先简单回顾一下两个辐射场模和两个集体辐射原子相互作用的j c 模型，然后再对双光子情形的具有两个集体辐射原子的j c 模型作出求 解( 包括用超对称的方法求本征解以及求出时间演化算符以便求出态 的演化和粒子数反转) 。 3 1 1 具有两个集体辐射原子的j c 模型 在文献 1 中，谈及具有两个集体辐射原子j c 模型。该模型的具 体哈密顿量形式为 h = h o + h ， 或= m 。+ 五：+ 五：) n 2 6 + 幺：) ， 膏，= 五仁。+ 五：+ 子卜号：一+ 毛五：a 。+ 子：+ ) ( 3 1 ) 其中下标1 ，2 分别表示不同的模及两个完全相同的两能级原子。号。一和 子。分别表示泡利上升和下降算符且满足如下的对易关系 l 子。一，子卜l = 一4 ，以【占，旬。】= 士玩，旬。 f ，_ ，= 1 , 2 ( 3 2 ) 这种模型反映的是两个辐射场和两个双能级原子之间的相互作用，表 征两个原子同时发生能级跃迁时，同时吸收或发射一个光子。实际上， 该模型已经在文献 1 中求解出了，而且也用超对称的方法作了求解 2 ，所以我们不准各对其做详细说明。 3 1 2 双光子情形的具有两个集体辐射原子的j c 模型的本征解 超对称量子力学的方法已经引起了物理学界相关领域科研工作者 的广泛兴趣因为它不仅揭示了某物理体系的内在对称性，而且也提供 了一种简洁有效的用于求解量子力学中本征方程的方法 3 。在本小节 里，我们将针对上一节中描述的j c 模型作适当的推广并用超对称的方 法求解出该模型的能量本征值及能量本征态。 用以描述双光子情形的具有两个集体辐射原子的j c 模型的哈密 顿量矗为 2 q q ! 生 主国盐茔垫查盘堂塑堂焦造盘玉塑蛩l z o h = h o + 日” 青。= g 。+ 五。+ 五：+ 盎：) + 詈p 。：+ 屯：) 疗，= ( 甜2 0 2 丸幺托2 a ：2 “九 ( 3 3 ) 该模型反映的是两个原子同时发生能级跃迁时，同时吸收或发射两个 光子。这里反：和幺：应分别理解为杰：o j ：及j 。0 8 - ：。 令 则 手( o 。= 反：。：+ 。屯：= 2 f 又根据( 3 3 ) 式可知该模型的一个守恒量为 再定义 + 五2 + a z + 2 0 0 o 力= 力。+ 力：+ 九 0 口l i + 口2 口2 ( 3 4 ) 0 、 ：l 慨s ， 一1 00 00 a l + 占l + 口a z4 a 2 0 0 五i + 毒i + 五2 + 五： f 。0 盯2 5 1 0 h 0 2 、， l o j，l 1 1 l、， + o o o o o o o o o o 口 + 口 ，l = 们叫引i 町 0 o 0 o o o o 0 盯 ： 2 口 2 口 = d 一 ! q ! ! 生士国登壁垫盔盘堂塑鲎焦迨塞挂里星z 2 一 s i n 口：1 兰! 型j c o s 口：1 丝( 3 1 2 ) 口= # = = = = 一 口= ；= = = = =l j i zj 砰+ a 2 舟4 2 + a 2 膏， ( 上式应从算符力的本征值和本征方程的角度来理解) 。这样我们就得 到对角化形式的哈密顿量香，为 曹；一衍= 甜+ 委扫i 两酰。 ( 3 1 3 ) 根据上式可知哈密顿量啻的本征矢为 j y ：，+ ) = j 盯。，拧：，+ ，+ ) ， j 矿：+ ：，一) = j 刀。+ 2 ，刀：+ 2 ，一，) ( 3 1 4 ) 其中j 虻+ ) 可用矩阵形式表示为 妒：+ ：，) = i 厅。+ 2 ，弹：+ 2 ，一，一) = ( 3 1 5 ) 0 、 oi oi 3 _ 1 6 ) + 2 ) 。i n ：+ 2 ) ：j 当算符舟作用到本征矢j y ：，+ ) 和i 虻峨一) 上时，对应的本征值均为 0 - + 1 x n - + 2 z + 1 勋z + 2 ) 所以原体系哈密顿量膏作用