（应用数学专业论文）极小谱任意符号模式矩阵的研究.pdf

中北大学学位论文 摘要 符号模式矩阵论是组合矩阵论中当前国际上较为活跃的一个研究课题，其重要原因在 于它在经济学、生物学、化学、计算机科学等众多学科中有广泛的实际应用背景。本文主要 刻划了两个极小谱任意符号模式。 第一章介绍了符号模式矩阵研究的历史，给出了一些基本知识、有关结论及本文的主 要结论。 第二章证明了一个扎5 阶符号模式矩阵是极小谱任意符号模式，且它的任意母模式都 是谱任意符号模式。 第三章讨论了一个n 6 阶符号模式矩阵是极小谱任意符号模式，且它的任意母模式都 是谱任意符号模式。 关键词：符号模式；蕴含幂零；谱任意模式 第1 页 中北大学学位论文 a bs t r a c t s i g np a t t e r nm a t r i xi sav e r ya c t i v er e s e a r c ht o p i ci nc o m b i n a t o r i a lm a t r i xt h e o r y , a n do n eo ft h ei m p o r t a n tr e a s o i i si st h a ti th a sw i d ea p p l i c a t i o ni nm a n ys u b j e e l ss u c ha s e c o n o m i c s ，b i o l o g y , c h e m i s t r y , s o c i o l o g ya n dc o m p u t e rs c i e n c e i nt h i sp a p e r ，w ec h a r a c t e r i z e t w oc l a s s e so fs i g np a t t e r n sw h i c ha r em i n i m a l l ys p e c t r a l l ya r b i t r a r ys i g np a t t e r n s h ic h a p t e r1 , w ei n t r o d u c et h eh i s t o r yo fd e v e l o p m e n to i lt h es i g np a t t e r sm a t r i c e s ，s o m e m e t h o di no u rp a p e rh a su s e d ，a n do u rr e s e a r c hp r o b l e m sa n dm a i nr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，w ep r o v et h a ta s i g np a t t e r nm a t r i xo fo r d e r 姐5i sam i n i m a l l ys p e c t r a l l y a r b i t r a r ys i g np a t t e r n ，a n de v e r ys u p e r p a t t e mo fi ti sas p e c t r a l l ya r b i t r a r ys i g np a t t e r n i nc h a p t e r3 , w ep r o v et h a ta s i g np a t t e r nm a t r i xo fo r d e r 亿6i sam i n i m a l l ys p e c t r a l l y a r b i t r a r ys i g np a t t e r n ，a n de v e r ys u p e r p a t t e mo fi ti sas p e c t r a l l ya r b i t r a r ys i g np a t t e r n k e yw o r d s ：s i g np a t t e r n ，p o t e n t i a l l yn i l p o t e n t ，s p e c t r a l l ya r b i t r a r yp a t t e r n 第1 i 页 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行 研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人或 集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担： 论文作者签名：翟苫醢e i i 莓i ：盈垒罕犀旦宣目 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包括：学校 有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件：学校可以采用影印、 缩印或其它复制手段复制并保存学位论文：学校可允许学位论文被查阅或借 阅；学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学 位论文的全部或部分内容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签 名：盔面一日期：鲨全垒茎旦塑塑 导师签名： e i i t t l ：艺丝宰垒璺颦旦 中北大学学位论文 第一章引言 1 1组合数学研究的概况 组合数学( c o m b i n a t o r i a lm a t h e m a t i c s ) 又称之为组合论、组合分析或组合学，是以代 数、数论、拓扑、概率论等学科为主要研究工具，以计算机科学和信息科学中的问题为研究 背景，以离散结构为主要研究对象的一门学科，是数学的一个分支。粗略地说，它是研究任 意一组离散性事物按照一定规则安排或配置方法的数学。 组合数学的产生和发展与其他一些数学分支，如代数学、数论、概率论等的发展交叉在 一起。组合数学和数论可以说是姊妹学科，它们在内容上有一定的共同部分，而且彼此真正 地互相充实丰富。一些著名的数论函数，如欧拉函数，麦比乌斯函数，划分函数等，至今仍 是组合数学研究的对象。组合数学与概率论的关系更为密切。早在1 7 世纪中叶，帕斯卡、费 马、惠更斯等人研究了一些复杂的赌博问题，用的就是排列与组合的方法。他们的工作不仅 奠定了早期概率论的基础，而且建立了组合方法的原理。莱布尼茨最早提出了有关组合数 学的问题。他在1 6 6 6 年的研究论文组合的艺术中，表述了某些现代计算机理论的先驱思 想：一切推理和发现，不管是否用语言表达，都能归结为诸如数、字、声、色这些元素经过 某种组合的有序集合。在此文中，他第一次给出”组合学”这一术语，并希望这门学问能应用 于”整个数学领域。在1 8 世纪伯努利时代即已熟知的”包含排除原理”得到扩充和发展。由 美国数学家波利亚在1 9 3 7 年左右建立起来的”计数定理”是从群、树形、结构图等个数的计 算过程中分析总结出来的。结合起来，构成著名的枚举定理或计数定理。波利亚计数定理已 成为组合数学中强有力的计数工具。1 9 6 4 年，英国数学家罗塔把数论中的麦比乌斯函数及 反演公式应用于定义在一般偏序集上的二元函数类构成的”结合代数”之上，引进广义麦比 乌斯函数及反演公式。这样，他为组合数学提供了一个极为有用的工具。组合数学在国外早 已成为十分重要的学科，甚至可以说是计算机科学的基础。些大公司，如i b m 都有全世界 最强的组合研究中心。m i c r o s o f t 的b i l lg a t e s 近来也在提倡和支持计算机科学的基础研究。 例如，b e l l 实验室的有关线性规划算法的实现，以及有关计算机网络的算法，由于有明显的 商业价值，显然是没有对外公开的。美国已经有一种趋势，就是与新的算法有关的软件是可 以申请专利的。如果照这种趋势发展，世界各国对组合数学和计算机算法的投入和竞争必 然日趋激烈。美国政府也成立了离散数学及理论计算机科学中- 5 1 d i m a c s ( 与p r i n c e t o n 大 第l 页 中北大学学位论文 学，r u t g e r s 大学联合创办的，设在r u t g e r s 大学) ，该中心已是组合数学理论计算机科学的重 要研究阵地。随着计算机科学的产生和发展，组合数学改变旧有面貌，成为一门极富生力的 新兴数学分支。现代组合数学的主要特点是它大量地应用抽象代数学工具和矩阵工具，使 问题的提法和处理方法表现出极大的一般性。另一个重要特点是它适应着计算机科学发展 的现状、趋势和要求，很注重方法的能行性和程序化的要求。 组合矩阵论是近2 0 余年发展起来的一个新分支。内容主要包括矩阵和图的谱、矩阵的 组合性质、非负矩阵的幂序列和矩阵分析等。它用矩阵论和线性代数来证明用于矩阵的精 细分析并揭示阵列的内在组合性质。组合矩阵论不仅与众多的数学领域( 数论、线性代数、 图论和概率等) 有密切的联系，而且在信息科学、社会学、经济数学和计算机科学等方面都 有具体的应用背景。组合数学主要研究满足一定条件的组态( 一种安排) 的存在性、计数及 构造等方面的问题，包括代数组合学、计数组合学、概率组合论、组合数学机械化、对称函 数等。组合数学大体上可分为组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化等方面。 组合矩阵论结合矩阵论和线性代数的方法来证明组合性定理以及对组合结构进行描述 和分类。同时，也把组合论的思想和论证方法用于矩阵的精细分析并用以揭示阵列的内在 组合性质。组合矩阵论不仅与众多的数学领域( 数论、线性代数、图论和概率论等) 有密切的 联系，而且在信息科学、社会学、经济数学和计算机科学等许多方面都有具体的应用背景。 矩阵理论既是学习经典数学的基础，又是一门具有实用价值的数学理论。它不仅是数学的 一个重要分支，而且已经成为现代各个科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强 有力的工具。特别是随着计算机的广泛应用，为矩阵论的应用开辟了广阔的前景。 1 2一般矩阵的基本知识 定义1 2 1 将佗阶实矩阵b 的特征多项式定义为五( 入) = l , k e b l 。 显然，若将死阶实矩阵b 的特征值记为a 1 ，a 2 ，k ( 其顺序是任意的，且重根按其重数 计算) ，则有厶( a ) = ( a a 1 ) q a 2 ) ( a k ) 。 命题1 2 2 设实矩阵b = 】，则b ( 入) = 舻一日( b ) 一1 + 岛( b ) + ( - 1 ) 。e ( b ) 舻一- - + ( - 1 ) n 昂( b ) ，其中e k ( b ) 为b 的所有k 阶主子式之和，k = 1 ，2 ，l 。 显然，墨( b ) = b , 1 + 6 毖- f + ，磊( b ) = l a i 。 定义1 2 3 若存在正整数后，使得b 奄= 0 ，则称实矩阵口是幂零的。 显然幂零矩阵的特征多项式为如( a ) 一 。 第2 页 定义1 2 4 如果死阶实矩阵p = 茁它的每一行和每一列上正好有一个元素等于1 ，而其余 所有的元素均为0 ，则称p 为置换矩阵。 定义1 2 5 设b 为n 阶实矩阵，如果存在扎阶置换矩阵p 使得 p b p t = 三： ， 其中c 和e 分别是k ，f 阶方阵，k 1 ，l 1 ，则称b 是可约矩阵( r e d u c i b l em a t 血) 。 定义1 2 6 若n 阶矩阵b 不是可约的，则称b 是不可约矩阵( i r r e d u c i b l em a t r i x ) 。 由定义知，每个一阶矩阵都是不可约的。以后如没有特别说明，我们所说的不可约矩阵 都是非零的。 1 3 符号模式的基本概述 符号模式矩阵定性理论主要研究符号模式矩阵或实矩阵所确定的定性矩阵类的组合结 构，即研究实矩阵所具有的仅与其元素符号有关而与元素的数量大小无关的组合性质。其 主要研究内容涉及线性动力系统的符号可解性问题、符号稳定性，以及具有特定性质的符 号模式矩阵类的组合性质。它与组合矩阵论、图论、矩阵分析、常微分方程、算法理论和经 济学等都密切相关。 符号模式矩阵研究起源于2 0 世纪3 0 年代诺贝尔奖获得者p a 。s a m u e l s o n 为处理当时国际 经济出现的经济问题而提出的经济数学模式一线性动力系统，研究其符号可解性和符号稳 定性。1 9 4 7 年p a s a m u e l s o n 系统总结了他的经济数学理论，写成( f o u n d a t i o n s o f e c o n o m i c a n a l y s i s ) ) 一书，由哈佛大学出版社出版，并于1 9 7 1 年再版。1 9 7 0 年数学家及生物学家r m m 科，c j e f f r i e s ，y m s v i r e z e v 和d o l o g o f e t 等人先后发现生物学中的生态系统和经济 学中数学模型的许多定性性质是一致的，而符号稳定性概念也在一些化学家( 如上世纪7 0 年 代b l c l a r k e ，j j t y s o n ) 和社会学家( 如上世纪8 0 年代y s h i r a k u r a ) 的各自研究领域中出 现。这表明符号模式矩阵的研究在经济学、生物学、化学和社会学以及理论计算机科学中具 有广泛的实际应用背景。 在前期的研究中，关于矩阵的惯量问题研究的比较多，并且已经得到了很多成果。所谓 矩阵的惯量集，指的是由一个实矩阵的正、负以及零特征值( 包括其代数重数在内) 组成的 一个三维数组。如果对于所有属于同一矩阵类的实矩阵，它们的惯量相等，就称之为惯量 第3 页 中北大学学位论文 难一的符号模式；如果对于某一符号模式，所有满足r + s + t = 扎的非负整数组 ， 都是它的惯量，则称之为惯量任意的符号模式。对于这一问题，我们可以就特定的符号模 式，研究其惯量集，并且在此基础上刻划一些惯量唯一的符号模式，也可以刻划一些惯量 任意的符号模式。到目前为止，已经有大量文献就这两个问题进行了讨论【7 ，1 l ，1 7 ，1 9 】。但 是另外一些问题，例如：符号模式矩阵的复推广，即把一个矩阵a 的元素a l l 用与之相对应 的r a y ( a 1 1 ) 来代替，称为一个复矩阵的r a y 模式，即r a y ( a 。( 此处：一个复数z 的r a y 定义 为r a y ( a ) = 0 如果z = 0 ；r a y ( z ) = z h ) 。如果z 0 ，所有与a 具有相同r a y 模式的 复矩阵所组成的定性矩阵类称为a 的r a y 定性矩阵类。另外一种就是复符号模式矩阵，定 义为a = a l + i a 2 ，其中a 1 骗，a 2 钒。对应的a 的定性矩阵类定义为：q ( a ) = b = b l + i b 2 ，1 日1 q ( a 1 ) ，b 2 q ( a 2 ) 。对于此类问题，我们可以研究其非奇异性，可幂问 题及基指数与周期，方程组的可解性，行列式的r e g i o n ，以及特殊类型矩阵的组合刻划。在 这些方面，前期所做研究不是很多，这些都可以成为我们考虑的对象。 许多国际知名数学家如r a b r u a l d i ( 1 ，s 1 ) ，v k l e e ，c r j o h n s o n ( 2 ，9 ，2 4 ，2 9 ，3 3 】) ，j s m a y b e e ，c a e s c h e n b a c h ( 2 1 ，2 4 ，2 9 ，3 4 1 ) ，c j e i f r i e s 等都界入了符号模式矩阵这一研究领域， 新成果不断涌现。1 9 9 5 年r a b r u a l d i 和b l s h a d e r ( j 8 ) 的专著 m a t r i c e so fs i g n - s o l v a b l e l i n e a rs y s t e m s 系统总结了到1 9 9 5 年为止这一领域中所取得的研究成果，将本课题的研究 推向个新的层面。目前国内在这方面的研究尚处于起步阶段，但部分工作已处于国际先进 水平，特别是华南师范大学柳泊濂教授( ( 3 】) ，中北大学高玉斌教授( 【1 4 ，1 5 ，2 2 ，2 3 ，3 0 ，3 1 1 等) 近 年来的工作引起了国际同行的广泛关注。 符号模式矩阵( 简称符号模式) p 是元素取自集合 + ，一，o 的矩阵。对于给定的实矩阵b = 】，由其每个元素的符号所组成的矩阵称为b 的符号模式矩阵，记为s g n b 。用q 表示全体n 阶 符号模式矩阵组成的集合。对任意p q ，所有与p 有相同符号模式的实矩阵组成的集 合 b l s g n b = p ) 称为p 所决定的定性矩阵类，记为q c p ) 符号模式p 的幂零实现是一个实矩 阵b q ( p ) ，它的特征值只有零。若存在实矩阵b p ( p ) 是幂零的，则称符号模式矩阵p 蕴 含幂零( p n ) 。 令s = 【8 巧】和u = 阻u 】是两个n 阶符号模式，当8 玎o 时，如果t = ，则u 是s 的一个母 模式，- s 是u 的一个子模式。s 的一个子模式不是s 自身，则称为s 的一个真子模式。同样的，s 的 一个母模式不是s 自身，称为s 的一个真母模式。每个符号模式是其本身的母模式和子模式。 对豫阶符号模式p ，若给定任意一个死次首一实系数多项式，( a ) ，都存在一个实矩阵b q ( p ) ，使得且的特征多项式为，( a ) ，则称p 为谱任意符号模式( s a p ) 。若一个谱任意模式的任 第4 页 中北大学学位论文 意真子模式都不是谱任意的，则称该谱任意模式为极小谱任意模式( m s a p ) 。谱任意模式一 定是p n 的。 符号模式的谱任意最早提出于 9 】，该文基于隐函数定理，给出了证明一个符号模式和它 的所有母模式都是谱任意( s a p ) 的方法( 称为幂零一雅可比方法，或”j 方法) 。在文献【1 0 】， 1 1 1 ， 【1 2 ， 1 3 】中已经运用该方法找到了一些m s a p 。 雅可比方法是用来计算实对称矩阵的全部特征值及对应特征向量的一种变换方法。我 们用知( z ) = 矿一a l x n 一1 + 勉扩+ ( 一1 ) n o l n l z + ( 一1 ) n 来表示死死矩阵引约特 征多项式，f = ( ，厶) 是关于z l ，z 2 ，z 住的函数，使得对于所有的i ，j 1 ，n ) 都 存在罄，且雅可比行列式= d e t ( 罄) 记作器譬端。矩阵( 罄) 叫做，的雅可比矩阵。 1 4谱任意的有关结论 谱集盯( 口) 是实矩阵b 的所有特征值( 包括重数) 的集合。设a 为仃阶符号模式，若对任意首 一实系数他次多项式，q ) ，都存在实矩阵b q ( a ) ，使得召的特征多项式为，( a ) ，则称符号模 式a 为谱任意符号模式，简记为s a p 。用零替换符号模式矩阵a 的一个或多个非零元得到的 符号模式，记为a ，则称a 为a 的子模式( s u b - p a t t e r n ) ，或称a 为a 的母模式( s u p e r - p a t t e r n ) 。 每个符号模式都是其本身的子模式和母模式。若a 黾a 的予模式且五a ，则称a 为a 的真子 模式( p r o p e rs u b - p a t t e r n ) 。若一个谱任意符号模式的任意真子模式都不是谱任意模式，则 称该谱任意符号模式为极小谱任意符号模式，简记为m s a p 。 若存在实矩阵b q ( a ) 是幂零的，则称符号模式矩阵a 蕴含幂零，简记为p n 。对于一 个n 阶符号模式矩阵a ，若每个实矩阵b q ( a ) 是非奇异的，则称符号模式矩阵a 是符号非 奇异( s i g nn o n s i n g u l a r ) 。若每个实矩阵b q ( a ) 是奇异的，则称符号模式矩阵a 是符号奇 异( s i g ns i n g u l a r ) 。 有关实矩阵的谱的研究，目前已取得很多结果。然而，对于符号模式矩阵的谱，现在知 道的结果很少，主要文献见【9 】 1 0 】【1 1 】【1 2 】【1 3 】【1 7 】【1 9 】。首先j h d r e w e t a l 在 9 】中讨论了以 第5 页 中北大学学位论文 下反对称三对角模式 = 一+0 一 o+ 0 0 0 o + 7 ： 0 0+ o一+ 并证明了当2sns7 时，瓦是谱任意模式，即： 定理1 3 1 ( 【9 】) 对于2 n 7 和任意实数r o ，r l ，r n 一1 ，存在a l q ( 冗) 使得：l z ，一 a t l l = 扩+ r n l z n 一1 + r n 一2 z n 一2 + + r l z + r o 。 猜想1 3 2 ( 【9 】) 当竹8 时，瓦是谱任意模式。 后来m s c a v e r s e t a l 在 1 2 1 中证明了当2 n 1 6 时，瓦是谱任意模式。围绕以上猜 想，j j m c d o n a l d e t a l 在 t 3 l q 日提出了n 阶符号模式s ，且其中p 列元素全为正，其余n p 列 元素全为负。并给出了 定理1 3 3 ( 【1 3 】) 当1 p n l 时，钆阶符号模式s 是谱任意模式。 接着，t b r i t z e t a l 在【1 0 】中讨论了礼阶符号模式眠( 后) = 陋, j l ，之3 ，0 k n 一2 ) ， 其中第一列元素全为正，加i ，+ 1 = + ( i = 1 ，2 ，屉) ，j + 1 = - ( j = k + 1 ，k + 2 ，n 1 ) ，毗，竹= 一( i = 1 ，2 ，七) ，w n 一= 一，并证明了当佗3 ，0 k n 一2 时，佗阶符号模 式( ) 是谱任意模式，且它们的任意母模式也是谱任意模式。文 1 0 d p 最后给出了关于谱 任意符号模式的必要条件的猜想，即： 猜想1 3 4 ( 【1 0 】) 对几2 ，任意邢介谱任意符号模式至少有2 n 个非零元素。 m s c a v e r s e t a l 在 1 2 1 中讨论了一类包含死的n 阶符号模式d 住 r ( 上k ，2 = ) ， d n t 2 第6 页 0； o o + 十 o + o o ， o 0 o + 一 o + o 0 0 + o o ；o 一 一 一 一 ： 一 o ； 0 中北大学学位论文 其中第一列有，个元素为负且2 r 行，并给出了 定理1 3 5 ( 【1 2 】) 当礼2 r 时，k ，是谱任意符号模式。 定理1 3 6 ( 【1 2 】) 当n 2 r 时，上k ，是极小谱任意符号模式。 定理1 3 7 ( 【1 2 】) 当n 2 r 时，上) 竹，的任意母模式是谱任意符号模式。 g m a c g i l f i v r a y e t a l 在【1 7 】中讨论了两类n 阶符号模式卿k ，它们分别是： = 0+ + + + ：7 , g n ( - 1 ) p s a n ( 一1 ) n 呻一1 s g n ( 一1 ) n 呻一2 k = + + 十+ +一 s a n ( 一1 p 一1 十 + 文中还给出了 定理1 3 8 ( 【1 7 】) 当n 芝3 r 1 p , 一2 时，z 住p 是谱任意符号模式。 定理1 , 3 9 ( 【1 钥) 当礼2 时，k 是谱任意符号模式。 第7 页 中北大学学位论文 m s c a r e t s e t 础在f 1 1 】中讨论了一类死阶符号模式k v ， ，= 其中2 r 佗，最后一行的正元位于第死一，+ 1 列，并证明了 定理1 3 。1 0 ( 【1 1 】) 当n ，- 2 时，的任意母模式是谱任意符号模式。 定理1 3 1 1 ( 1 1 ) 当死r 2 时，是极小谱任意符号模式。 上述这些结果将j h d r e w e t a | 猜想又往前推进了一大步，从而构造出了更多的谱任 意符号模式。 目前关于符号模式矩阵的谱，主要研究问题有： 1 对谱任意符号模式进行刻划。 2 找出一个符号模式是谱任意符号模式的必要条件或充分条件。 3 寻找证明一个符号模式是谱任意符号模式的新方法。 4 确定出谱任意符号模式的最小非零元个数。 1 5本文的主要结论 本论文在参考已有的文献仔细研究的基础上对新的未知的一些符号模式进行谱任意的 研究；找到两个符号模式是谱任意的，然后运用已有的方法，证明它们是极小谱任意的。 第8 页 0； o 0 一 一 一 o o o ， 一 0 o o 一 + 0 0 一 o o o ； ；0 + + + ； ； + o 中北大学学位论文 第一个犯阶5 ) 符号模式p 有如下形式： p= 第二个礼阶( 绍6 ) 符号模式d 有如下形式： d = 本论文所研究的两个符号模式都是在文献【9 】， 1 0 1 1 1 1 ， 1 2 】的基础上启发找到的，证明的 过程运用了最基本的幂零雅可比方法。 第9 页 0 o ； o o + 0 0 o + o o o + + o o 一 一 一 o + 0 o 0 o + o o o 一 + 一 一 ； 一 o 0 一 o o； o o 0 + 0 o o o + + 0 o o + o 0 0 o + o o o o 一 一 一 一 一 o 0 + 1 0 o 0 0 o o + o 0 o 0 o 一 + o o o o o 0 一 一 一 ； 一 一 o o + 中北大学学位论文 第二章第一种极小谱任意符号模式 本章讨论下面的n 阶( n 5 ) 符号模式 p = ( 2 1 ) 该符号模式的证明是运用前文当中提到的幂零雅可比方法来进行的，证明过程分三个 步骤进行：( 1 ) 蕴含幂零性的证明；( 2 ) 谱任意符号模式的证明；( 3 ) 极小谱任意符号模式的证 明。 2 1蕴含幂零性的证明 引理2 1 1 ( 【1 0 】) 设p 是扎阶符号模式，假设存在某个幂零实现b q p ，且曰至少有n 个非 零元，记为玩o 。，魄。如，用变量z l ，如替换b 中这扎个非零元得到的矩阵记为x 如果x 的 特征多项式系数关于变量z ，z n 的雅可比行列式器害姑在幂零点( z 1 ，z n ) = ( 魂，j k a ) 处不等于零，则p 的任意母模式是s a p 。 任取实矩阵b q ( p ) ，由于相似矩阵有相同的特征多项式，不妨设b 有如下形式： b = 其中b 0 ，a i 0 ，t = 2 ，佗 一l l0 o0 0 一眈0 10 i i t 一口，l 一3 00100 ooob10 0 一一20 001 一一l000 0 ( 2 2 ) 第1 0 页 o o ； 0 o + o o o 十 o o o + + o o ， 一 一 一 o + o o o o + o o o 一 + 一 一 ； 一 o 0 一 中北大学学f ) = 论文 引理2 1 2 设尼( a ) = d e t ( a l b ) = a n + 舻一1 + + 厶一l a + 厶，则 = 1 6 ，2 = a 2 6 五= a 一呱一i ，i = 3 ，4 ，5 ，n 一2 ， 厶一i = a n 一2 一， 厶= a n 一1 一 证明 如( a ) = 入+ ll000 0 入一l 0 一3 00 一100 000 入一6一lo 0 a n 一2 00a一1 a n l 一00 0a l l n 将上式第i 行的入倍加到第i + 1 行，i = 1 ，2 ，n 一3 ，再依次按第3 列展开得 如( 入) = a + llo00 a ( 入) 0 - 100 a a ( a ) 0 6 一l0 0 a n 一2 0a一1 一1一0 0 a 其中a ( a ) = 一4 ( a + 1 ) + 留啦 一3 ，将上式第4 行的a 倍加到第5 行，然后按最后一列 展开得 知( a ) = a + 1 a ( a ) a a ( a ) a n - 1 一l oo 010 0一bl a 一2 一a n 0妒 将上行列式第3 行的入2 倍加到第4 行，再按最后列展开得 ，b ( 入) = 入+ l 一1 o a(a)0 一i a 3 a ( a ) + n t i ia 一2 一一6 入2 = a 3 a ( a ) + 一1 一b a 2 a ( a ) + o + 1 ) a a 一2 一( a + 1 ) = ( a 3 一b a 2 ) a ( a ) + ( a 2 + a ) 一2 一( 入+ 1 ) + 一l 第l l 页 中北大学学位论文 = a n + ( 1 一功a n 一1 + ( 眈一6 ) a n 一2 + 等( 纯一概一1 ) a n 一+ ( 一2 一) a + ( 一l 一8 ，1 ) 因此定理成立。 引理2 2 1 证明 引理得证。 2 2谱任意性的证明 坌! 是! 垂! ! 盘= ! ：厶2 ：- 1 o ( b ，a 2 ，一1 ，a 竹) a ( ，2 ，厶一1 ， ) o ( b ，a 2 ，a n 一1 ，a 。) = 一1 0o 000o 1lo 0 一铆 一6 1 0 ：。： 一8 ，l 一4 00 100o 一一3 00 。 一6 1 00 ooo olol 0o0 0011 1 o0 00 110 0 一眈 一610 ； 。 0 一口，l 一4 00 10 一一3 00 一6 1 = 一1 2 3极小谱任意性的证明 由谱任意的定义可知若a 是谱任意符号模式，则下述命题成立： 1 符号模式p 一定蕴含幂零。 第1 2 页 中北大学学位论文 2 符号模式户既不是符号奇异，也不是符号非奇异。 3 符号模式p 的迹是任意的。 引理2 3 1 ( 【1 0 】) 一个n 阶不可约谱任意符号模式至少有2 n 一1 个非零元。 定理2 3 2 对于礼5 ，p 的所有母模式都是谱任意的。 证明设b o ( p ) 有形如( 2 1 ) 的形式。当b = 口2 = = a n 一1 = a n = l 时，由引理2 1 2 可 知，b 为幂零矩阵，故符号模式尸蕴函幂零。再由引理2 。2 1 ，雅可比行列式 a ( ， ，厶一1 ，厶) o ( b ，眈，a n 一1 ，a n ) 在( 6 ，睨，一l ，a n ) = ( 1 ，1 ，1 ，1 ，1 ) 处是非零的。因此，由引理2 2 2 可知p 的所有母模 式都是谱任意的。 定理2 3 3 若p 是谱任意符号模式，则p 是极小谱任意符号模式。 证明设t = 阪i 是p 的一个子模式，且r 是s a p 。 ( 1 ) t l ，l 0 ，否则t 的迹为正；t n 一2 ，”2 o , 否n t 的迹为负。t 的迹等于t 的所有特征值 之和，t 的迹为正或为负与t 是谱任意相矛盾。 ( 2 ) t “+ l 0 ，i = 2 ，n 一4 ，否则丁是符号奇异的。t 为符号奇异的，则t 的行列式为 零，则t 的特征值中至少有一个为零，这与丁是谱任意的相矛盾。 ( 3 ) t n 一3 ，靠一2 0 ，屯一2 一一l 0 ，如1 。n 0 ，否则t 是符号奇异的。t 为符号奇异的，则t 的 行列式为零，则t 的特征值中至少有一个为零，这与t 是谱任意的相矛盾。 ( 4 ) 亡1 ，2 0 ，t 。，l 0 ，t n ，2 0 ，否则t 是符号非奇异的。t 为符号非奇异的，则t 的行列 式不等于零，则t 的特征值中没有零元，这与则t 是谱任意的相矛盾。 ( 5 ) t ，1 0 ，i = 2 ，3 ，死一3 ，t n - l , 2 0 ，否n t 是符号非奇异或者符号奇异的。t 为符号 奇异的，则t 的行列式为零，则t 的特征值中至少有一个为零，这与t 是谱任意的相矛盾。t 为符 号非奇异的，则t 的行列式不等于零，则t 的特征值中没有零元，这与则t 是谱任意的相矛盾。 因此t = p ，定理得证。 第1 3 页 中北大学学位论文 m 第三章第二种极小谱任意符号模式 本文讨论下面的凡阶( n 6 ) 符号模式 d = ( 3 1 ) 该符号模式的证明是运用引言当中提到的幂零雅可比方法来进行的，证明过程分三个 步骤进行：( 1 ) 蕴含幂零性的证明：( 2 ) 谱任意符号模式的证明；( 3 ) 极小谱任意符号模式的证 明。 3 1蕴含幂零性的证明 任取实矩阵s q ( d ) ，由于相似矩阵有相同的特征多项式，不妨设s 有如下形式 s = l 一8 2 一幻 - - q 。一4 0 0 0。 1 0 00 一n l 一3 000 。 o1 00 0 一一2 00001 0 0000006 1 一1 0 一口，10 00 0 0 其中b 0 ，毗 0 ，i = 2 ，n ( 3 2 ) 第1 4 页 o o。； o o o + o o 一 0 o + + o o o 十 o o o o 一 + o o o o 一 一 。 一 一 一 o o + ： o 0 o o o o + o 0 o o o 一 十 o o o o o o 一 一 一 ； 一 一 o o + o o ； o 一 q 一 0 一 o 0 1 o l o 中北大学学位论文 引理3 1 1 设后( a ) = d e t d ，研= + a “一1 + + 厶一l a + 厶，则 = 1 一b ， ，2 = a 2 一b ， ，3 = a 3 一晚， 五= 氐一6 啦一1 ，i = 4 ，5 ，n 一4 ， ，k 一3 = o n 一3 + o n 一2 6 口n l 生， 厶一2 = a n 一2 + a n 一一3 一一2 ， 厶；1 = 一犯。2 ， 厶= a 2 a n 一一1 证明 f s ( a ) = 入+ 1一l00 oo00 a 2 入 - 10 0 a 3 0a一1 ! ；! ! 一4 0 00 。 一1000 a n 一8 000 a 一1 0 0 0 a n 一2 000a- 1 0 0000 00 a b 一1 一一1 0 a n0 00 0a 将上式第t 行的入倍加到第i + 1 行，i 。1 ，2 ，礼一2 ，再依次按第4 ，5 ，：7 ，佗一2 列展开得 知( 久) = a + 1- - 1000 如01 o0 u k 一3a n 一2 0- 10 入2 a n 一3a a n 一2 0一厶一1 一一1 0 a n 0入 其中a 2 = a ( a + 1 ) + 砚，a 一3 = a n - 4 ( a + 1 ) + 譬啦舻一3 一，将上式第4 行的a 倍加到第5 行，然 第1 5 页 中北大学学位论文 后按最后一列展开得 妇( a ) = a + l a 2 入a n - 3 a 3 月竹一3 一c | ，l l l00 olo a n 2 0 一l 妒一2a n b a 再将上式第2 行的倍加到第4 行，然后按第3 列展开得 矗( 砷= a + l 一10 九一3a n 一2 一l p 一3 一l + a 2 舻a n 一2 山入 = 一b ( a 2 + a ) 一2 十入3 厶一3 一一1 十也一从2 厶一3 + ( 入3 + 入2 ) 一2 = ( 舻一b a 2 ) a 一3 + ( p + 卯一凇2 一凇) 一2 + 如一一l = 舻+ ( 1 6 ) 入n 一1 + ( 口2 一b ) a n 一2 + 扛n - 3 4 ( 啦一6 啦一1 ) 入n 一+ ( 一3 + 一2 一一4 ) p 十( 一2 十一6 0 f l 一3 一一2 ) 入2 + ( 一6 一2 ) 入十( 眈一一1 ) 引理得证。 引理3 2 1 证明 3 2谱任意性的证明 箫缕= - b - 1 舢a ( 6 ，凸2 。，一1 ，8 n ) 7 一 第1 6 页 中北大学学位论文 a ( ，丘，厶一1 ，n ) 一：= c 9 ( b ，a 2 ，a n 一1 ，a n ) 一10o oo l1o 0 一眈 一610 一咖 o- b ，00 一一5 00 一61 一m 。一4 00 06 l100 一一3 一a n 一2 00 0061 一b 01 一一2 00 00o一60l 0 a n 0000010 2 将上式按照第4 行，第3 列展开得 引理得证。 11 61 一b o 一6 0o a ( ，2 ，厶一1 ，厶) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一：= = ：- 一 o ( b ，o - , 2 ，a n - 1 ，a n ) 00 ol 0l 一1 眈 110 ：61 ：b1 o 一6 1 = 一6 1 0 3 3极小谱任意性的证明 定t 1 3 3 1 对于佗6 ，d 的所有母模式都是谱任意的。 证明设s q ( d ) 有形如( 3 1 ) 的形式。当b = 0 2 = = a n 一4 = 1 ，a n 一3 = a n 一2 = a n 一1 = a n = 1 2 时，由引理( 3 1 1 ) 可知，s 为幂零矩阵，故符号模式d 蕴函幂零，荐由引理( 3 2 1 ) ，雅 可比行列式 篱o ( b 鲁去筹舢，n 2 ，一l ，) 7 一 第1 7 页 中北大学学位论文 昌昌昌昌昌昌昌宣昌= 昌= 昌= = 昌= 昌= = 昌= = 昌= 高= = 昌暑i i 昌 因此，d 的所有母模式都是谱任意的。定理得证。 定理3 3 2 设d 是形如( 3 1 ) 的符号模式，则d 是m s a p 。 证明设t = 陬l 是d 的一个子模式，且t 是s a p 。t 的所有特征值即为t 的谱。 ( 1 ) t 1 ，1 0 ，否则t 的迹为正；t n 一2 ，n 一2 o ，否则t 的迹为负。t 的迹等于t 的所有特征值 之和，t 的迹为正或为负与t 是谱任意相矛盾。 ( 2 ) t l “l 0 ，i = 3 ，4 ，n 一3 ，否则? 是符号奇异的。t 为符号奇异的，则t 的行列式为 零，则z 的特征值中至少有个为零，这与t 是谱任意的相矛盾。 ( 3 ) t a ，2 0 ，t n 一2 ，住一1 0 ，t 付“n o ，否n t 是符号奇异的。t 为符号奇异的，则t 的行列 式为零，则t 的特征值中至少有一个为零，这与t 是谱任意的相矛盾。 t 2 。3 0 ，否则r 是符号非奇异的。t 为符号非奇异的，则t 的行列式不等于零，则t 的特征 值中没有零元，这与则t 是谱任意的相矛盾。 ( 4 ) “一2 ，2 0 ，t n , 1 0 ，如，3 0 ，否则t 是符号非奇异的。t 为符号非奇异的，n t 的行列 式不等于零，则t 的特征值中没有零元，这与则t 是谱任意的相矛盾。 ( 5 ) t i ，l 0 ，i = 2 ，3 ，n 一3 ，否则r 是符号非奇异的。r 为符号非奇异的，则r 的行列式 不等于零，则t 的特征值中没有零元，这与则t 是谱任意的相矛盾。 所以t = d 。定理得证。 第1 8 页 中北大学学位论文 参考文献 f 1 】b r u a l d i ，r a ，r y s e r ，h j c o m b i n a t o r i a lm a t r i xt h e o r y c a m b r i d g e ：c a m b r i d g eu n i v e r s i t y p r e s s ，1 9 9 1 【2 】王树禾图论北京：科学出版社，2 0 0 4 3 1e 妇s z e y , l b ，k i r l d a n d ，s an o t eo i lk - p r i m i t i v ed i r e c t e dg r a p h s l i n e a ra l g e b r aa n di t s a p p l i c a t i o n s 2 0 0 3 ，3 7 3 ：6 7 4 【4 】r a b r n a l d i ，h j r y s e r c o m b i n a t o r i a lm a t r i xt h e o r y c a m b r i d g e