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第十七章 反比例函数西城外国语学校 罗巍2009.12.09函数知识在中学数学中有着极为重要的地位和作用，是教学的重点，也是教学的难点. 本章内容是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，让学生进一步理解函数所蕴涵的“变化和对应”思想，体会数形结合、转化、类比、归纳等数学思想方法，感受现实世界中存在各种函数以及如何应用函数解决实际问题.反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数的基础.一、本章特点1突出反比例函数与现实世界的联系.2注重数学思想方法的渗透.二、本章要求 1知识结构框图现实世界中的反比例关系反比例函数反比例函数的图象和性质实际应用2课程学习目标理解反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式(k为常数，k0)，能判断一个给定函数是否为反比例函数.能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点.能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数(k为常数，k0)的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题.再次经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，进一步体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.在学习一次函数的基础上，进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法.3. 2009年北京市数学中考说明中对本章知识的要求：A层次B层次C层次能结合具体情境了解反比例函数的意义；能画出反比例函数的图象；理解反比例函数的性质.能根据已知条件确定反比例函数的解析式；能用反比例函数的知识解决有关问题.4. 教学重点与难点：教学重点：反比例函数的概念、图象和性质及反比例函数的应用.教学难点：对反比例函数及其图象性质的理解和掌握，以及反比例函数的应用.5课时安排本章共安排了2小节以及2个选学内容，教学时间约需8课时，大体分配如下（仅供参考）.17.1 反比例函数3课时17.2 实际问题与反比例函数4课时数学活动小结1课时三、对教学的几点建议1注意做好与已学内容的衔接.2加强反比例函数与正比例函数的对比. 3把突出函数中蕴涵的重要数学思想作为本章的主要线索.4密切反比例函数与现实世界的联系.5注意突破知识的难点和重点.四、具体知识(一)反比例函数的概念1.(k0)可以写成(k0)的形式，注意自变量x的指数为-1；2.(k0)也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3. 反比例函数的自变量x0，故函数图象与x轴、y轴无交点.4. 在解决有关自变量系数问题时应特别注意系数k0这一限制条件.例11. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ C ）A. y=3x B. C. 3xy=1 D. 2. 若y与成反比例，x与成正比例，则y是z的（ B ）A. 正比例函数 B. 反比例函数C. 一次函数 D. 不能确定 3. 平面直角坐标系中有六个点，其中有五个点在同一反比例函数图象上，不在这个反比例函数图象上的点是（B）A点B点C点D点例21. k =0时，函数是反比例函数.2. 如果函数的图象是双曲线，那么k= 0 .注：此类问题要同时考虑两个条件，比例系数；自变量的指数.(二)反比例函数的图象和性质1. 注意与正比例函数的性质进行对比.函数解析式正比例函数y=kx(k0)反比例函数(k0)自变量的取值范围全体实数x0图象直线，经过原点双曲线，与坐标轴没有交点性 质当k0时，图象经过一、三象限；当k0时，图象经过二、四象限.当k0时，y随x的增大而增大；当k0时，y随x的增大而减小.越大，图象越靠近y轴.当k0时，图象的两支分别位于一、三象限；当k0时，图象的两支分别位于二、四象限.当k0时，在每个象限内y随x的增大而减小；当k0时，在每个象限内y随x的增大而增大.越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直.注：双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.2. 反比例函数的其它性质(1)反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形.的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；Oyxy=-xOyxy=xOyx(k0)在同一坐标系中的图象关于x轴对称，也关于y轴对称.AB注：正比例函数与反比例函数，当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.(2)反比例函数中比例系数k的几何意义.过双曲线(k0)上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为.过双曲线(k0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.例31.如果函数是反比例函数，且它的图象在第二、四象限内，那么k=-2.2.如果函数是反比例函数，且在每一象限内y随x的增大而减小，那么k= 1.例41.已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第二、四象限.2. 已知反比例函数，当时，随x的增大而增大，那么一次函数的图象经过（B ）A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限3. 已知ab0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（ C ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4. 已知函数y=k(x-1)和 (k0)，它们在同一坐标系内的图象大致是（ B ）注：同一道题中的相同字母代表同一个值；根据其中一个函数的特点，确定待定系数的符号，再根据待定系数的符号确定另一个函数图象的位置，是解此类问题的重要方法.例51.在反比例函数的图象上有两点，且，则的值为（ A ）A. 正数 B. 负数C. 非正数 D. 非负数2. 在函数（a为常数）的图象上有三个点，则函数值、的大小关系是（D）A. B. C. D.0)的图象上有三点A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3( x3，y3)，已知x1x20x3，则下列各式中正确的是（ C ）A. y1y2y3 B. y3y2y1 C. y2y1y3 D. y3y1 0)的图象上，且横坐标为2. 若将点先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的点为.则在第一象限内，经过点的反比例函数图象的解析式是（ D ）AB.C.D.2. 已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，则的值为-4 .3. 如图，直线y=kx(k0)与双曲线交于A、B两点，若A、B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1y2+x2y1的值为（ C ）A. -8 B. 4 C. -4 D. 0注：比例系数k的值等于反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标之积.(三) 实际问题与反比例函数1. 求函数解析式的方法：待定系数法；根据实际意义列函数解析式.2. 注意学科间综合，但重点放在对数学知识的研究上，对跨学科问题不宜过难.例8haOhaOhaOhaO1. 已知三角形的面积一定，则它底边上的高与底边之间的函数关系的图象大致是（D）. ABCDxy12122. 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示设小矩形的长、宽分别为，剪去部分的面积为，若，则与的函数图象是（A）51Oxy210A51Oxy210B2Oxy210C102Oxy210D10注：以上两题是根据题意直接列出的解析式.在实际问题中应注意自变量的取值范围.例91. 近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例.已知400 度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是.(x0)2. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压P(千帕)是气球的体积V(米3)的反比例函数，其图象如图所示(千帕是一种压强单位).求出这个函数的解析式；当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？答案：；120千帕；立方米.3. 为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例(如图所示)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克.请根据题中所提供的信息解答下列问题：药物燃烧时y关于x的函数关系式为_，自变量x 的取值范围是_；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_.研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_分钟后，学生才能回到教室；研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：，0x8，；30；有效.4. 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系：x (元)3456y (个)20151210请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式. 若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？答案：反比例函数能表示其变化规律.因为表中每对x、y的值的乘积均为60，是一个定值.；，当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润.注：以上四题是用待定系数法求出的反比例函数解析式. 当两个变量的乘积是定值时，是反比例函数；当两个变量的比值是定值时，是正比例函数.在求函数最值问题时，可以将解析式进行变形，以便作出判断.(四)反比例函数与其它知识的综合应用例10 找规律1. 将代入反比例函数中，所得函数值记为y1，又将x=y1+1代入函数中，所得函数值记为y2，再将x=y2+1代入函数中，所得函数值记为y3，如此继续下去，则y2005=_. 2. 两个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，P2005在反比例函数图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，x2005，纵坐标分别是1，3，5，共2005个连续奇数，过点P1，P2，P3，P2005分别作y轴的平行线，与的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），Q2005（x2005，y2005），则y2005=例11用函数的方法解决方程、不等式的有关问题1.如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象，则关于x的方程kx+b=的解为（ B ） Axl=1，x2=2 Bxl=1，x2= -2Cxl= -2，x2= -1 Dxl=2，x2= -12. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线与轴的交点的坐标及的面积；(3)求方程的解（请直接写出答案）；(4)求不等式的解集（请直接写出答案）.答案：(1)，y=-x-2. (2)C（-2，0），. (3). (4)-4x23. 不解方程，判断下列方程解的个数. 答案：无实数解；有两个实数解.4. (1)已知矩形的长、宽分别是和，那么是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是矩形的周长和面积的倍？对上述问题，小明同学从“图形”的角度，利用函数图象给予了解决，小明论证的过程开始是这样的：如果用分别表示矩形的长和宽，那么满足，请你按照小明的论证思路完成后面的论证过程Oxy11223344(第4题 图2)Oxy22446688(第4题 图1)(2)已知矩形的长和宽分别是和，那么是否存在一个矩形，它的周长和面积分别是矩形的周长和面积的一半？小明认为这个问题是肯定的，你同意小明的观点吗？为什么？答案：(2)不同意小明的观点y1xOABC注：函数与方程、不等式有着密切的联系，用函数图象解决方程、不等式的有关问题，直观简捷.例12 函数与几何图形综合1. 如图：等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线(k0)与有交点，则k的取值范围是（ C ）ABCD2. 如图，已知直线与双曲线交于 两点，且点的横坐标为(1)求的值；(2)直接写出使正比例函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；(3)若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积.答案：(1)k=8；(2)x-4或0x4；(3)3. 如图，直线（0）与坐标轴交于A、B两点，P是双曲线（0）上一点，且PO=PB.(1)试用、表示A、P两点的坐标；(2)若POB的面积等于1，试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式.答案：(1) A（0，），P（，）；(2) （0）.4已知：直角三角形OAB在直角坐标系中的位置如图，OAB=90，AOB=30，点A的坐标为（），点B的坐标为（4，0）.(1)若将三角形沿x轴向右平移a个单位，此时点A恰好落在反比例函数的图象上，求a的值；(2)若将三角形绕点O旋转30，点B恰好落在反比例函数的图象上，求k的值答案：(1)a=9；(2)当三角形绕点O逆时针旋转30时，；当三角形绕点O顺时针旋转30时，.5. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）.利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；双曲线上是否存在一点P，使得POC和POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由.答案：反比例函数解析式为，m=4；存在点P（2,2）6已知：如图，在第一象限内正比例函数的