（概率论与数理统计专业论文）具有非lipschitz系数的中立型随机泛函微分方程.pdf

博二l 学位论文摘要 摘要 本文研究了中立型随机泛雨微分方程、带p o i s s o n 跳的中立型随机泛函微分方程 与带m a r k o v 切换的中立型随机泛函微分方程在非l i p s c h i t z 条件与非线性增长条件 下，本文建立了这几类方程解的存在唯一性定理，并对其解的渐近性质给出了估计另 外，运j h j 随机l y a p u n o v 函数方法、广义i t 6 公式详细讨论了一般参考函数意义下的p 阶矩砂1 随机稳定性、几乎必然砂7 随机稳定性、有界性这种妒7 稳定性推广了许多 文献常讨论的指数稳定性与多项式稳定性 首先，本文介绍了随机微分方程、中立型随机微分方程及带m a r k o v 切换的随机 微分方程的发展与现状例举了这几类方程在实际中的应用问题 第2 章，在非l i p s c h i t z 条件与弱化的线性增长条件下，证明了中立型随机泛函微 分方程解的存在唯一性定理在更一般的非线性增长条件下，进一步讨论了此方程解 的估计另外，建立了此方程解的矩矽，y 稳定的r a z u m i k h i n 型定理，并给出其特殊情况 下的指数稳定与多项式稳定的结论 第3 章研究带p o i s s o n 跳的中立型随机泛函微分方程在非l i p s c h i t z 条件与更为 一般的非线性增长条件下。本章建立了方程解的存在唯一性定理，并讨论了解对初值 依赖的稳定性相应的例子说明了本章结论的应用 第4 章讨论了带m a r k o v 切换的巾立型随机延迟微分方程在非l i p s c h i t z 条件与 线性增长条件下，建立了解的存在唯。性定理。进而，运用广义i t 6 公式获得其解矩砂7 有界及矩砂7 稳定的充分判别条件最后，给出具体的例子验证了本章的结论 考虑到无限时滞的影响，第5 章进一步研究了无限时滞m a r k o v 切换的中立型随 机泛函微分方程在非l i p s c h i t z 条件与非线性增长条件下，证明了方程解的存在唯一 性定理建立了此方程解的p 阶矩妒稳定的r a z u m i k h i n 型定理运用b o r e l c a n t e l l i 引理，获得了妒1 轨道稳定的充分判别条件 。 关键词：中立型随机泛函微分方程，p o i s s o n 跳，m a r k o v 切换，无限时滞，存在唯一性， 妒有界，妒7 稳定 博 学位论文a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e ri n v e s t i g a t en e u t r a ls t o c h a s t i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，n e u t r a l s t o c h a s t i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hp o i s s o nj u m p i n ga n dn e u t r a ls t o c h a s t i c f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hm a r k o v i a ns w i t c h i n g u n d e rr l o n l i p s c h i t zc o n d i t i o n s ，t h ee x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s st h e o r e m so fs o l u t i o n sf o rs u c hn e u t r a le q u a t i o n sa r e e s t a b l i s h e d ，w h e r en e wa p p r o x i m a t i o n sa r eu s e di nt h ep r o o fo ft h e o r e m s i na d d i t i o n ，t h e e s t i m a t i o no ft h es o l u t i o n sa r ep r e s e n t e d m o r e o v e r , u s i n gt h el y a p u n o v ef u n c t i o na n dg e n e r a l i z e di t 6f o r m u l a ，t h epm o m e n ts t a b l e ，t h ea l m o s ts u r es t a b l ea n dt h eb o u n d e d n e s sw i t h t h eg e n e r a ls e n s es t a b i l i t yw i t ht h er e f e r e n c ef u n c t i o n 砂1a r ed i s c u s s e d n ef i r s tc h a p t e ri n t r o d u c e st h ec u r r e n ts i t u a t i o na n dt h ed e v e l o p m e n to fs t o c h a s t i cd i f - f e r e n t i a le q u a t i o n s ，n e u t r a ls t o c h a s t i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n ds t o c h a s t i cd i f f e r - e n t i a le q u a t i o n sw i t hm a r k o v i a ns w i t c h i n g s o m ea p p l i c a t i o n sp r o b l e mw i t ht h o s ee q u a t i o n s a r ep r e s e n t e d c h a p t e r2p r o v e st h ee x i s t e n c e - a n d u n i q u e n e s st h e o r e m so fn e u t r a ls t o c h a s t i cf u n c - - t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hn o n l i p s c h i t zc o n d i t i o na n dw e a k e nl i n e a rg r o w t hc o n d i t i o n u n d e rm o r eg e n e r a ln o n l i n e a rg r o w t hc o n d i t i o n ，t h es o l u t i o n so fs u c he q u a t i o n sa r e d i s c u s s e d m o r e o v e lr a z u m i k h i n t y p et h e o r e m so n 移7s t a b i l i t ya r ee s t a b l i s h e d ，t h es p e c i a l c a s e sa r ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n dp o l y n o m i a ls t a b i l i t y c h a p t e r3i n v e s t i g a t e sn e u t r a ls t o c h a s t i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hp o i s s o n j u m p i n g u n d e rn o n - l i p s c h i t zc o n d i t i o na n dn o n - l i n e a rg r o w t hc o n d i t i o n ，t h i sc h a p t e re s t a b l i s h e st h ee x i s t e n c e a n d - u n i q u e n e s st h e o r e m s m o r e o v e r , t h es t a b i l i t yo ft h es o l u t i o n s d e p e n d i n gt h ei n i t i a ld a t ai sd i s c u s s e d t h ec o r r e s p o n d i n ge x a m p l ea r ep r e s e n t e dt oi l l u s - t r a t et h ea p p l i c a t i o n s c h a p t e r4d i s c u s s e sn e u t r a ls t o c h a s t i cd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hm a r k o v i a n s w i t c h i n g u n d e rn o n - l i p s c h i t zc o n d i t i o na n dl i n e a rg r o w t hc o n d i t i o n ，t h ee x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s st h e o r e m sa r ep r o v e d m o r e o v e la p p l y i n gg e n e r a l i z ei t 6f o r m u l a ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e df o rt h e 妒b o u n da n dt h e 妒7s t a b l e s o m ee x a m p l ea r eg i v e nt oi l l u s t r a t e t h er e s u l t s c h a p t e r5f u r t h e rs t u d i e si n f i n i t ed e l a yn e u t r a ls t o c h a s t i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hm a r k o v i a ns w i t c h i n g u n d e rn o n l i p s c h i t zc o n d i t i o na n dn o n - l i n e a rg r o w t h c o n d i t i o n ，t h ee x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s st h e o r e m sa r eo b t a i n e d r a z u m i k h i n - t y p et h e o r e m s o np t l lm o m e n t 妒1s t a b i l i t ya r ee s t a b l i s h e d u s i n gb o r e l c a n t e l l il e m m a ，s u f f i c i e n t 一一 c o n d i t i o n sa r eo b t a i n e do n 移1t r a j e c t o r ys t a b i l i t y k e y w o r d s ：n e u t r a ls t o c h a s t i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，p o i s s o n ，m a r k o v i a ns w i t c h i n g ，i n f i n i t ed e l a y , e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s ，砂7b o u n d e d n e s s ，妒1s t a b i l i t y m 一 博+ = 学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景及现状 常微分方程在物理、力学、化学、生物学、经济与金融学、控制理论、航天工程 等领域中的应用发挥了重要作用这类方程用来描述一类确定性的运动规律，建立数 学模型时，常忽略了环境因素的影响因而，在大多数情况下，常微分方程对现实世界 的刻画是比较粗略的然而，随着科学技术的发展，要求对实际问题的描述越来越精 确因此，随机因素的影响就不能轻易地被忽略，于是对某些实际过程的分析也就有 必要从通常的确定性观点转到随机的观点，从而对某些实际系统的描述，也就自然地 从确定性的常微分方程转到随机微分方程 随机微分方程的研究，是随着随机过程理论与常微分方程理论的发展而迅速 发展起来的然而，早在随机过程的严格数学理论建立之前，就已经提出了微分系 统的随机积分问题1 9 0 2 年g i b b s t l 】讨论了统计力学问题，研究了保守力学系统的 h a m i l t o n j a c o b i 微分方程组的积分，初始状态是随机的，这是最早提出的随机微分方 程问题1 9 0 8 年，l a n g e v i n 2 1 在研究b r o w n 运动时就得到形如 仇- 如d - i ：一触+ 荆 仇 2 一z + 可【t j 的微分方程其中，z 表示液体颗粒在某一方向的运动速度，一触表示介质对颗粒 的影响，即为摩擦力作用项，( t ) 表示介质中分子运动对颗粒的碰撞构成的随机作 用力这种形式的方程称为l a n g e v i n 方程在具体的物理问题研究中，虽然经常遇 到l a n g e v i n 方程，然而对它确切而又严格的数学描述，直到1 9 5 1 年h 6 发表了著名 的i t 6 型随机微分方程的论文【3 】之后才建立，这也使得随机微积分的意义得到合理 的解释i t 6 型随机积分的建立极大地促进了随机微分方程理论的发展，在半个多世 纪里a r n o l d 4 ，f f i e d m a n i s ，h a s m i n n s k i i l 6 1 ，m o h a m m e d i t ，k a r a t z a s t s 】，k o l a m n o v s k i i t 9 】， o k s e n d a l t l o l ，m a o 1 1 一埘，胡宣达【1 4 】，胡适耕【1 5 1 等人的著作值得关注 一般的随机微分方程具有如下形式： d x ( t ) = ，( z ( t ) ，t ) d t + 9 ( z ( ) ，t ) d w ( t ) ，t 0 ， ( 1 1 ) 其中w ( t ) = ( w l ( t ) ，t n m ( t ) ) t 为m 维b r o w n 运动但在现实模型中总是不可避免 地存在滞后现象，即事物的发展趋势不仅依赖于当前状态，而且依赖于事物过去的历 史于是，带延迟的随机微分方程得到大量的研究，理论上称其为随机泛函微分方程， 其一般形式为： d z ( t ) = ，( 觑，t ) d t + g ( x t ，t ) d w ( t ) ，t 0 ， ( 1 2 ) 博士学位论文第。章绪论 其中对任意t 0 ，0 丁0 0 ，定义函数 x t ( ) ：【- - t ，0 】_ r ”， 秒_ x ( t + 口) 这两类随机微分方程理论与应用的研究，现在已有大量的文献资料譬如，关于随机 微分方程解的存在性的研究可参考文献 9 , 1 0 , 1 3 , 1 5 - 2 0 随机微分方程稳定性理论的研究， 正如同确定性微分方程稳定性理论的研究一样，是研究它的解的定性理论的一个重 要方面，它无论对于基础理论的研究，还是应用技术的研究，都具有十分重要的意义 因此，关于稳定性方面的文献尤其居多，这里参考了 m 2 1 4 2 1 - 3 0 1 一般来说，解决泛函微 分方程的稳定性问题都是依靠构造合适的l i a p u n o v 函数或l i a p u n o v 泛函来实现，于 是，构造一个或多个合适的l i a p u n o v 泛函( 或函数) 便成为居多学者进行科学研究的强 有力的数学手段但是针对具体的随机微分方程、随机泛函微分方程，构造一个合适 的l i p a u n o v 函数是非常困难的为了克服这种困难，近些年来，m a o 把常微分方程以 及泛函微分方程的r a z u m i k h i n 型定理 3 1 斟】引入到随机泛函微分方程理论中，并运用 r a z u m i k h i n 型定理解决了随机泛函微分方程的稳定性问题，从而建立了随机泛函微 分方程的基本理论以及各种稳定性的充分性判据【3 2 1 另一方面，在越来越多的实际建模的微分方程中，带时滞的状态变量进入到微分 部分，这种方程称之为中立犁延迟方程这类方程得到大量的应用譬如，b r a y t o n 4 3 】 用偏微分方程来描述无损耗式传输问题，可将其转化为如下的中立型微分方程： 景【z ( t ) 一k x ( t 一下) = ，( z ( t ) ，z ( t 一1 ) ) r u b a n i k 1 4 l 研究弹性杆的振动问题时遇到如下方程： f 岔( t ) + , 4 x ( t ) = e f l ( x ( t ) ，圣( t ) ，可( t ) ，痧( t ) ) + ，y 1 雪( t 一7 - ) 【雪( ) + 谚z ( t ) = 止( z ( t ) ，圣( 亡) ，可( ) ，痧( ) ) + 7 2 岔( t 下) d e s c h 等 4 5 1 根据文献c o l e m a n 与g u n i n 【铜，g u r t i n 与p i p k i n t 4 7 1 及m i l l e r 4 s 建立的模 型归纳出如下一般的中立型泛函微分方程： 割d 坤) + 即刊州s = a + 即叫如) d s + f ( 氓 其中a 为一b a n a c h 空间上的岛半群算子考虑环境噪声的影响，k o l m a n o v s k i i 与 n o s o v 9 1 讨论了中立型随机泛函微分方程 a x ( t ) 一d ( 妩) 】= f ( x ，t ) d t + g ( x t ，t ) d w ( t ) ， ( 1 3 ) 其中既= x ( t + 0 ) ：一7 0 o ) 为c ( - 丁，o 】；舯) 值随机过程众所周知，在一致 l i p s c h i t z 条件与线性增长条件f ，方程( 1 3 ) 存在唯解，可参考文献f 1 3 , 1 5 , 1 8 最近，在 一2 一 博l 学位论文 第一章绪论 非l i p s c h i t z 条件下，文献 1 9 , 2 0 证明了方程( 1 3 ) 唯一解的存在性关于中立型随机微 分方程( 1 3 ) 解的渐近性质的研究近来也涌现了大量的文献 3 6 , 4 9 - - 5 3 1 至此，以上捉到的随机系统都是以b r o w n 运动作为唯一的随机t 扰源而4 i 难设 想，一个实际系统常不免有多种随机因素介入由于突变现象，比如分支和系统内部 联系紊乱，参数的转移以及在不同时刻对系统的输入和输出量测量时存在着随机误差 等，使得大量物理系统具有可变结构，易于随机改变对于具有这种特点的系统，人们 常常用混合动态模型来刻画，即系统的状态空问既包含离散状态，也包含连续状态 在这类系统中，m a r k o v 切换的随机系统是近十多年来备受人们青睐的一类动态模型， 即某个有限状态m a r k o v 链7 ( ) 0 0 ) 进入方程( 1 2 ) 的系数，形成所谓m a r k o v 切换 的随机泛函微分方程： d x ( t ) = ，( 矾，t ，r ( t ) ) d t + g ( x t ，t ，7 ( t ) ) 如( t ) ， ( 1 4 ) 其中，：c r + s r n ，夕：c 酞+ s 一舯m ，s = 1 ，2 ，) 是7 ( t ) 的状，： 态空间 研究m a r k o v 切换的随机系统具有十分重要的实际意义例如，下面跳跃系统 f 圣( t ) = ，( z ( ) ，“( ) ，7 ( t ) ，t ) ， 尊 【y ( t ) = 九( z ( t ) ，7 ( t ) ，t ) 其中，f ：融r m s r + _ 瞅，h ： s r + 一舻，可以用来描述目标跟踪 系统、制造系统、太阳能接收器、飞机控制系统( 参考【蚓) m a r k o v 切换的随机系统 的稳定性和控制理论研究，最早可追溯到k a t s 和k r a s o v s k i i 与l i d s k i i 5 5 1 的工作矩 稳定性问题m i l s t e i n l 5 6 1 最早进行了研究s w o r d e r 【5 7 】利用随机比较原理获得了线性 均方控制问题w o n h a m s s 】利用动态规划方法得到了同样结果更多的应用模型可参 考t 5 4 ，5 9 - 6 5 1 近年来，许多作者，如【7 ，1 3 , 2 3 , 2 9 5 4 , 6 6 - 8 0 1 ，对m a r k o v 切换的随机系统的稳定性、 稳定化以及控制理论等问题，进行了较好的研究 但以上文献大部分都是要求在一致l i p s c h i t z 条件或局部l i p s c h i t z 条件下建立的 微分方程解的存在性、稳定性等相关结论然而很多实际微分模型并不满足l i p s c h i t z 条件例如混合平方根过程 及一维的半线性m a r k o v 切换的随机微分方程 d x ( t ) = a ( r ( t ) ) x ( t ) d t + b ( r ( t ) ) a ( i x ( t ) 1 ) d w ( t ，) 其中口：r + _ r + 定义为 一3 一 博j ：学位论文第。章绪论 巾，= j ：浆e 1 呸筹： 这样的模型出现在很多的科学工程的应用中譬如在金融工程领域，1 9 8 5 年c o x 8 1 1 首次用平方根过程来描述利率模型，类似方程在期权定价模型 8 2 , 8 3 1 中被考虑最近， 关于这种非l i p s c h i t z 系数的利率模型的研究得到很多作者的关注，可参考【8 锚7 1 在非 l i p s c h i t z 条件下，文献 1 9 , 2 0 , 8 8 , 8 9 】给出了随机泛函微分方程解的存在唯一证明，但对于 带m a r k o v 切换中立型随机泛函微分方程解的存在唯一性及稳定性的研究还没有文 献涉及本文将系统讨论这方面的问题 本文主要是研究中立型随机泛函微分方程与m a r k o v 切换的随机泛函微分方程， 在非l i p s c h i t z 条件下，解的存在唯一性另外，在全局解存在的条件下，本文研究了不 同方程解的各种稳定性，例如解对初值依赖的稳定性，重要的是研究了以妒为参考函 数的各种解的矩砂7 稳定及砂一r 轨道稳定其中，第2 章讨论 d x ( t ) 一d ( x t ) 】= ，( 兢，t ) d t + g ( x t ，t ) d w ( t ) ，t 0 ， ( 1 5 ) 在非l i p s c h i t z 条件下，此方程解的存在唯一性，并给出了其解的估计另外，对于解的 矩砂，y 稳定建立了相应的r a z u m i k h i n 定理第3 章研究带p o i s s o n 跳的中立型随机泛 函微分方程 d x ( t ) 一d ( 魏) 】= ，( 轨，t ) d t + g ( x t ，t ) d w ( t ) + h ( x t ，t ) d n ( t ) ，t 0 ， ( 1 6 ) 其中n ( t ) 是具有强度为入的p o i s s o n 过程，且与b r o w n 运动相互独立本章建立了在 非l i p s c h i t z 条件下方程( 1 6 ) 解的存在唯一性定理，并讨论了解对初值依赖的稳定性 第4 章考虑m a r k o v 切换的中立型随机延迟微分方程： d 陋( t ) 一d ( z ( t 一7 - ) ，r ( t ) ) 】= ，( z ( t ) ，z 一下) ，t ，r ( t ) ) d t + 9 ( z ( t ) ，x ( t - r ) ，t ，r ( 亡) ) d 叫( t ) ，t 0 ， ( 1 7 ) 其中r ( t ) 是与b r o w n 运动w ( t ) 独立的取值为有限状态的m a r k o v 链本文推广了 m a o f 5 2 j 的结论，建屯了，在非l i p s c h i t z 条件与非线性增长条件下，方程( 1 7 ) 解的存在 唯一性定理进而，得到了其解矩砂7 稳定及妒一r 轨道稳定的充分判别条件考虑到无 限时滞的影响，第5 章进一步研究了无限时滞m a r k o v 切换的中立型随机泛函微分方 程： d x ( t ) 一d ( x t ，r ( t ) ) 】= ，( 鼠，t ，r ( t ) ) d t + g ( x t ，t ，7 ( t ) ) d 叫 ) ，t 0 ( 1 8 ) 类似地，我们得到了，在非l i p s c h i t z 条件与非线性增长条件下，方程( 1 8 ) 解的存在唯 一性定理以及解的矩妒1 稳定与妒，y 轨道稳定的充分判别条件 4 博：t 学位论文第章绪论 1 2 记号与概念 记号 d 表示空集 厶表示关于集合a 的示性函数，即，若z a ，则“( z ) = 1 ，否则厶x ) = 0 郧表示n 维欧几里德空间 r n m 表示n m 矩阵空间 t r a c e ( a ) 表示矩阵a = ( ) n n 的迹，即，t r a c e ( a ) = ：1a i i r 一= ( 一( 2 0 ，o ，r + = 0 ，c o ) c ( 一7 ，o 】；鼢) 表示定义在【一l 0 】上的连续融值函数q o 之全体，并赋之范 数1 1 牮, 1 i = s u p 一， 口 oi 妒( 口) i b c ( ( 一，o 】；r r , ) 表示定义在( 一o 。，0 1 上的连续有界r ”值函数妒之伞体，并赋 之范数i | = s u p o 。 口 oi 妒( p ) i 驴( q ；c ( 【一r ，o 】；r “) ) 表示r n 值随机变量之伞体，且满足e i i p o 。 该( q ；r n ) 表示兀可测的r “值随机变量之全体，且满足e i i p o 。 咳( s 2 ；b c ( ( 一。o ，o 】；r n ) ) 表示五可测b c ( ( 一。o ，o 】；酞“) 值随机变量妒之全体， 且满足i i 洲琶车s u p 一。 p oe i v ( o ) l l 免( 一7 - ，o 】；r n ) 表示兀可测的c ( 一l o 】；r ”) 值随机变量妒之全体，且满足 刚训p ( 2 0 咳( 【一下，o 】；r n ) 表示五可测的有界c ( 【_ 7 ，o 】；r n ) 值随机变量之伞体 p ( 【o ，h i ；r n ) 表示b o r e l 可测函数h ： n ，6 】_ r n 之全体，且满足rl h ( t ) l p d t o o c p ( o ，h i ；r “) 表示满足r l x ( t ) l p d t a s 的础值五适用的随机过程 z ( ) a t b 之全体 m p ( n ，6 】；r n ) 表示满足e r l x ( t ) l p d t 0 若i j ，则0 表示从状态i 到状态j 的转移概率，且 3 产一 假设m a r k o v 链7 ( t ) 与b r o w n 运动叫( ) 相互独立易知，t ( t ) 的几乎每个样本轨道 是右连续的阶梯函数，且在r + = 0 ，o o ) 上的任何一个有限子区间上至多有有限多 个跳跃点m a r k o v 链r ( t ) 可表示为关于p o i s s o n 随机测度的随机积分事实上，设 蟛( i j ) 为r 卜相邻的左闭由开区间，其长度为b ，p ( ) 为酞上的l e b e s g u e 测度定 义函数叼：s r _ s 为 叼c z ，歹，= 丢，一瓦可e 其a 他i j , 则 d r ( t ) = h ( 7 ( t 一) ，可) u ( 出，d y ) ， 其中v ( d t ，d y ) 是p o i s s o n 随机测度【矧，密度为d t u ( d y ) 引理1 1 ( i t 6 公式) 给定函数y ( z ( t ) ，t ) c 2 , 1 ( 础r + ；r ) ，x ( t ) 为i t 6 过程，即 d z ( t ) = ，( z ( t ) ，t ) d t + 夕( z ( t ) ，t ) d w ( t ) 则v ( t ，z ) 亦为i t 6 过程，且满足 d v ( x ( t ) ，t ) = l v ( x ( t ) ，t ) d t + k ( z ( t ) ，t ) 9 ( z ( t ) ，t ) d w ( t ) ， 其中 l v ( x ( t ) ，t ) = k ( z ( t ) ，t ) + k ( z ( t ) ，t ) ，( z ( t ) ，t ) + 吉t r a c ep 丁( z ( ) ，) ( z ( t ) ，) 夕( z ( t ) ，t ) 任意给定函数v ( x ，t ) c 2 , x ( a - r + ；r ) ，定义算子c y ：c ( - 7 - ，o ；舯) 一r ，对任意 妒c ( 一r ，o 】；酞n ) ， c y ( 妒，t ) = k ( 妒( o ) ，t ) + k ( 妒( 0 ) ，t ) ，( 妒，t ) + 专t r a c e 囟t ( 妒，t ) m 搿( 妒( o ) ，t ) 夕( 妒，t ) ， 其中，对任意t r + ，z = ( x l ，) 丁r ”， 哳= ( 掣，掣) ，归( 掣) 6 博l ：学位论文 第一章绪论 引理1 2 ( 广义i t 6 公式) 给定函数y ( x ，t ，i ) e 2 , 1 ( r n r + xs ；r ) ，z ( ) 为方程 d x ( t ) 一d ( x ( t 一7 ) ，r ( t ) ) = ，( z ( t ) ，z ( t 一丁) ，t ，7 ( t ) ) d t + 夕( z ( t ) ，x ( t 一丁) ，t ，r ( ) ) d 叫( ) 的解则对任意停时0 n 死 1 且尬咳( q ；r ”) ，则 e ( s u p im,i)(击)pelmblat 0 ，则葡 啦 小哪卜电s u 田p 咖s 眦小g e 小圳2 币 其中 f ( 笔) p ， 。 p 2 ， f ( 詈) p 7 2 ， 。 0 ，z o 0 ，z ( t ) ，口( t ) 在区间 o ，卅上为连续函数 设u ：r + 一r + 为连续非减的凸函数，且对任意7 0 ，有乱( r ) 0 若 z ( ) z o 十v ( s ) u ( x ( s ) ) d s ，t 【0 ，t i ， 则 z ( t ) g - 1 ( g ( z 。) + o ( s ) d s ) ，t o ，引， 其中 g ( 铂) + v ( s ) c l s d o m ( o 1 ) ， 及g ( r ) ：石d s u ( s ) ，r o ，g 一1 为函数g 的逆函数特别，如果x 0 0 ，kd s u ( s ) = 。，则x ( t ) = 0 ，t 0 ，卅 基本不等式 引理1 9 ( y o n g 不等式) 对任意a ，6 r ，p 【0 ，1 】， 0 i o i p l 6 i 1 一p sp 1 0 i + ( 1 一p ) l b l ， i n i 抛缸1 6 l 1 一国p i 口i + 刁八- 一，i b l 引理1 1 0 ( 离散h 6 i d e r 不等式) 对任意a i , b i 取，( 1 i 七) ，七2p ，q 1 且 1 肋+ 1 q = 1 ，有 i 妻础t i ( 妻l p ) v p ( 妻9 ) v 口 引理1 11 ( j e 邶e n 不等式) 设妒：r _ r 为凸函数，：q _ r 是概率空间 ( q ，厂，p ) 上的随机变量，且e 0 ，记c ( | _ 1 ，0 】；舯) 表示定义于f 下，0 】上的有界连续即值函数妒之全 体，赋之范数i i = s u p r p 0 ，t 0 ，l - o ( - r ，o 】；r “) 表示所有五可测c ( 一下，o 】；r n ) 值的随机变量 妒= 妒( 口) ：一7 口o ) ，且幄：- s u p r 口 o e l 妒( o ) 1 2 o 。c 2 ( n ，h i ；瞅) 表示所 有舯值、五适应过程 ，( t ) 。s 垤6 ，且ei 厂( t ) i p d t o oa s m 2 ( o ，6 】；r n ) 表示所有 c 2 ( n ，b l ；r ”) 中的过程 ，( ) ) 口s b ，且满足ecf f ( t ) 1 2 d t 0 ，跏20 ，z ( t ) ，v ( t ) 在区间【o ，卅上为连续函数 设t | ：r + _ r + 为连续非减的凸函数，且对任意r 0 ，有札( r ) 0 若 x ( t ) x o + v ( s ) u ( x ( s ) ) d s ，t 0 ，卅， 一1 2 一 博一i 二学似论文第二章中髓型随机泛函微分方程 g ( z 。) + o 可( s ) d s ed o m ( g 一1 ) ， _ - 。 及g ( 7 ) = f od s u ( s ) ，r 0 ，g d 为函数g 的逆函数特别，如果x o = 0 ，f o 。d s u ( s ) = o 。，则z ( t ) = 0 ，t 【0 ，卅 引理2 2 设条件( a 1 ，) ( a 2 7 ) 与条件( a 3 ) 满足如果z ( ) 是具有初值( 2 2 ) 的方 程( 2 1 ) 的解，则有 e ( s u pi z ( s ) | 2 ) c 2 e 胛， ( 2 4 0 s 0 i 。 e 1 ， 1 3 一 q 0 厶 、一、 sd 、i ， s ，、 秒 z + 、l ，o zg ， 一 g 一 、l ， ， z 中 则 其 以及压缩性条件( a 3 ) ，可以推出 妒1 2 扣( 引一d ( 5 ) 1 2 + 击妒( 。) 1 2 仡i i z ? 叫1 2 + 击妒1 2 _ v t l l 圳+ 南岭酽+ 五1 m ) 1 2 凶此， 注意到， 这意味着 e fs u p 0 s t e ( s u p i矿(s)12)佃(sup0st - r s t 、叭s ) 1 2 ) +l 一以 + 击e ( 烈。妒( s ) | 2 ) s u pi x n ( s ) 1 2 i i , 1 1 24 - s u pi x n ( s ) 1 2 ， - r s to s t 矽( s ) i 。1 万 l 上 刮2 +( 1 一k ) ( 1 一以) e i i 1 1 2 e fs u p o s t州s ) 1 2 ) ( 2 5 ) 另外，用到基本不等式i a + b + c 1 2 3 ( 1 a 1 2 + l b l 2 + i e l 2 ) ，h 5 1 d e r 不等式，d o o b 鞅不等 式以及条件( a 1 ，) ( a 2 7 ) 得到 e fs u pi ，( s ) 1 2 1 0 s t s 3 e i ( 。) 1 9 + 3 e 。l s u p o s tij 厂0 8 ，( z ? ，r ) j i o ，h 】( r ) d r l 2 lijj + 3 e 剥z 3 出 嘶) 1 2 _ 3 e 1 5 ( 0 ) 1 。+ 6 t e 厂。i f l ( x ：，s ) 一f ( 0 , s ) 1 2 d s + 6 t 厂tl f ( 0 ，s ) 1 2 d s j 0 j 0 2 + i ，s ) 一 2 s l + l， 2 j + 2 4 e 2 m 瑶s ) 刊。 s ) 1 2 d s + 2 4f o t1 9 ( 0 s 汗d s 3 e k ( o ) 1 24 - 6 k t ( t + 4 ) + 6 ( t + 4 )