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第二章矩阵分析,数值分析,第一章矩阵分析,1.1范数,1.4摄动分析及条件数,本章要点,本章作业,2,3,4,6,P51.,范数的概念及其计算,1.1范数,“范数”是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维向量长度概念的一种推广,数域:,数的集合,对加法和乘法封闭,线性空间:,可简化为向量的集合,对向量的加法和数量乘法封闭,二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度,高维向量的长度能否定义呢?,也称为向量空间,定义1.,一、向量和矩阵的范数,-(1),-(2),-(3),显然,并且由于,-(4),例1.求下列向量的各种常用范数,解:,定义2.,例2.,不难验证其满足定义2的4个条件,称为Frobenius范数,简称F-范数,而且可以验证,tr为矩阵的迹,-(5),-(6),类似向量的2-范数,例5:,设A(aij)M.定义,证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.,证明：设,从而,定义3.,-(7),简称为从属范数或算子范数,显然，由定义不难推出,定义4.,由(8)式,可知算子范数和其对应的向量范数是相容的,-(8),-(9),根据向量的常用范数可以得到常用的矩阵算子范数,-(10),-(11),-(12),例4.,求矩阵A的各种常用范数,解:,由于,特征方程为,容易计算,计算较复杂,对矩阵元素的变化比较敏感,不是从属范数,较少使用,使用最广泛,性质较好,定义5.,而,因此,-(13),显然,即,所以,定理2.,-(14),定理1.,定义6.,1.4摄动分析及条件数,即有,-(15),-(16),-(17),-(18),所以,又因为,可得,(16)和(17)两式相乘,得,(18)式表明,由常数项产生的误差,最多可将解的相对误差放大倍,在上式能直接使用范数吗？,-(19),如果假设,则由定理1.,可知,且,(19)式化为,-(20),-(21),-(22),定义7.,-(23),显然,即任意方阵的条件数必不小于1,根据算子范数的不同也有不同的条件数:
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