（概率论与数理统计专业论文）相依变量部分和乘积的若干极限性质.pdf

摘要 令 ，n 21 为一列独立同分布随机变量序列，当n l ，定义部分和晶= 置 i = l 对它的研究在上个世纪已日臻完善，包括中心极限定理、强大数定理、重对数律等本 文在 蜀 独立同分布结果的基础上，就 是庐一混合序列和p 一混合序列的情形加以 1 考虑对一列强平稳平方可积正妒一混合序列 蜀，n l ，若满足j ( ) c0 0 ，则其 n = l 部分和的乘积渐近对数正态： f 里p 与。如， l 可- j 一8 同时，在一混合序列部分和乘积的渐近对数正态性基础上，以一个三角列的几 乎处处中心极限定理为跳板，证明了在 小枷c 相+ 2 善e ( 竽 竽 o 。 的条件下的几乎处处中心极限定理： 烛击善去，f 警卜j ”! 矿l = f ( x ) 日j a b s t r a c t l e t 五，h 兰1j b eas e q u e n c eo fi n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dp o s i t i v e r a n d o mv a r i a b l e sa n dd e f i n e s o = x ，f o r 摊l + i n t h ep a s tc e n t u r y , t h el i m i tt h e o r e m s f o ft h e p a r t i a ls u l t i s 疋a n dt h ep r o d u c to f 只h a v eb e e nw e l l s t u d i e d t h i st h e s i s c o n s i d e r sd e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s i n t h i s p a p e r w ea s s u m e t h a t x 0 i nc h a p t e ri i ，w es t u d yt h ea s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o no fp r o d u c to ft h ep a r t i a ls u m so f 一m i x i n gr a n d o mv a r i a b l e s 。w ep r o v et h a tt h ep r o d u c to fs u b s e q u e n tp a r t i a ls l i m so f s t r i c t l ys t a t i o n a r yd i s t r i b u t e d ，s q u a r ei n t e g a r a b l e ，p o s i t i v e- m i x i n gr a n d o mv a r i a b l e si s a s y m p t o t i c a l l yl o g n o n n a lu n d e rt h ec o n d i t i o no f ” 。a n a 。 爵小z 纠竽 ( 竽卜 i nc h a p t e ri i i ，w ed i s c u s st h ea l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e mo ft h ep r o d u c to f 参一m i x i n gs u m s 。w ep r e s e n ta na l m o s ts n r e c e n t r a ll i m i tt h e o r e mf o r 也ep r o d u c to f s u b s e q u e n tp a r t i a l s u m so f s t r i c t l ys t a t i o n a r y d i s t r i b u t e d s q u a r e i n t e g a r a b l e ， p o s i t i v e 一m i x i n gr a n d o mv a r i a b l e su n d e r t h ec o n d i t i o no f o ，盯2 = v a 瞄，变异系数r = 盯t ，置= 五十+ 置，k = 1 ，2 ， 指在e z 2 的情况下， 黟r 与e 皿 其中为标准正态随机变量 随后祁永成( 2 0 0 3 ，2 0 0 4 ) 令疋属于参数口 1 ，2 的稳定分布吸引域，得到存在实数列 4 使得 其中i _ ( 口+ 1 ) = 【r pd x ，巾是参数为口的稳定分布 上面提及的文章都是考虑正独立同分布的情况，然而，人wj 在研究独立随机变量的同时， 也一直致力丁削弱对独立的限制，于是人们就提出了能真包含独立随机变量的相依随机变量的概 念，本文第一章就z 。是一混合序列情形加以考虑，得到对一列强平稳平方可积的正混合序 三! 列 工。，n 1 ，若满足2 ( 胛) o 。，则其部分和的乘积渐近对数正态 n = l、 g _ k h u r e l b a a t a r 和a r g r z e g o r z ( 2 0 0 4 ) 在以上基础上讨论了五的儿乎处处中心极限定理，进 一步给出 4 乌 警 炒击砉去1 【警刊叫小 其中f ( x ) 是一2 的分布函数本文第三章把独立性推广到相依随机变量的情形，在矿混合序列 部分和乘积的渐近对数正态性基础上，以一个三角列的几乎处处中心极限定理为跳板，证明了在 z 萋，庐i i 2 ( n ) o oj s 0 o 存在g l 0 及6 使得 。 f ( a l t ) f ( a 2 f ) = p ”7 f ( a t ) ， 即对任给q o ，a 2 0 ，b l ，b 2 ，存在a 0 及6 使得 f ( q x + 6 j ) 4 f ( a 2 x + b ：) = f ( a x + b ) 定义3 e ，n l 是 和 吃) ， 0 ，使得乙 吸引到g ( x ) 被吸引到g ( x ) 1 3 论文结构 一列独立同分布的随机变量序列，它的分布函数为v ( x 1 若存在 5：1。xt一“依分布收敛剑某个分布函数g(x)，则称矿(x)被k “n = l 、7、 的分布函数全体称为g ( k 1 的吸引域 本文共分四章： 苎一量，叩本章，介缁问题的起源，解释文中涉及到的定义，并给u 5 丰目虑的结果 第。_ = 章，在第一章基础上，本文把独立性推广到相依随机变革的情形，介缁矽：混合序列部 分和乘积的渐近正态性性质即设 以，n 1 ) 是一列强平稳平方可积的正的痧混合序列，记 3 e x l 0 ，口2 = 嗡，变异系数r - - - o - 1 2 ，瓯= x i + + 墨，尼：l ，2 ，满足 则 。 和+ 2 飘竽) ( 竽卜抄n = l 0 ，盯2 = 以j 若变 异系数，= 盯，f 且= x l 十+ 五，满足 嘞面i 善n 去 警n 叫籼。 其中罗( x ) 是g 。2 “麓努蠢涵数，尧标准歪态隧槛燮鼍。 鹳网章，重点介绑一些平行的结论本章分为两个小部分： 1 将第二章的方法麻削到p 一混合序列，立即可以得到对混合序列类似的结果 2 ， 介绍u 一统计量的结论， 6 。目竽 竽 。傅 菇 第2 章- i n 合序列部分和乘积的渐近正态性 2 1 引言及引理 d o b r u s f i i n ( 1 9 5 6 ) 首先对马氏过程日i 入了庐一混合的定义对于平稳过程这一足义是由 l b r a g i m o v 0 9 5 9 ) , t 及r o z a n o z 和、r o k o n s k i ( 1 9 5 9 ) 分别陈述的( 我们也可追溯到h i r s c h f e l d ( 1 9 3 5 ) * l l g e b e l e i n ( 1 9 4 1 ) ) 引理2 1 【1 6 1 ，l - k - n l j j 一实三角列，满足s u p m na 2 hm l m a x 。h i 。o ，肝斗。 氧 为中心化随机序列，满足 等 - 一致可积，且哳( ：。d 磊) 1 ，若 磊) 为庐一混合序列， 则d 。彘生斗，其中为标准正态随机变量 引理2 2 令6 。= ，i = 1 ，2 m 则酲。= 2 n b i k = i i = 1 定义互户拿，则 、，z 咒 而 e ( z ) = o ， 阮r z , o ) ：a 巾笔，f = 1 ，2 n 肠吖窆z f ， lz = i ) = e f ( 互+ + 瓦) ( 五十+ 正) 1 【肼j ( 2 1 ) 砌r 去喜孚 _ 荔1 否n 砌r ( 警 + 五1z 。磊。c o v c 孚，孚，= 去 + z 薹薯专 = 孙”+ ：薹刳= 五t n ( , o l b + 2 n - 2 b ) = 扣吨j b ：， 7 阮 = 五 e 弘 列一予u 里变机随积可方乎的 布卜分 同 立瓦 独一 雌= 易 望肌 良 。h 7 1 一女 。h 。 = 7 。d l 一 。 堕o 。 略万 。h = 堕压。 隐 0 m 一，垫丝。 k ，i j 到 0 意 注 由去喜孚= 弘， 结合( 21 ) ，( 22 ) 即得结论 ，令= e 瞧陪灿2 轰2 斗爵，n 斗。 证明令r ：兰毫兰，鼠：e + + e ，七：1 ，2 ，则有 盯 e y = 0 ，v a r y = 1 7 1 烈 f 万s k 一 ：善 ：e 陛岛z 1 2 ： 扭1 i t t 引理2 2 ，得 = 包。 醒。k 妒i + 2 c o v ( 岛，。r ，q ，。r ) i = l i e f ，f “ b , o w r y , 皖 型- = 哼1 ，h 寸。 2 甩2 由强平稳性易知 c o v ( 皇，。i ，以，。弓) 1 5r ，e 岛，。q ，。e i l 丢n - l 善n 点i 巧+ 岛，一i 慨巧+ j = 1 拉= 几， ( 2 3 ) = ：4 一a 2 首先证叁斗o 易知 z 咒 他f 姜轨陛归 i ，蓦。n - j k = i n o i = i6f，】隰kk 舾+ 1 |= 1 ，= l“，=+ ll：，。 2 蒡缸陛归礁，鄞催加 i ，景，魏i = l 眺k = i 崎+ = ：b + b 2 + b 3 考虑到6 r 。 于是 且n o 喜如s ”删，有 包，。i e 巧巧。i 0 釜 l 。g 。l e 巧r + 。 8 巧 y e 岛 岫 = 、l r 月 6 ki v叻 喀 弓 y 1 e +岛包 w 闩 + r | 、 y 1 e +包包 闩 “h 1 一t ”h 一 包 = ，一尼 ”h 一 ，一七 。 i j 一t 。* = +包 u 结 得 巧 r 1 f 噫 h 问 !机d 。_l心卢 。l i 。r a 。2 b _ 墨船s ! i m n o z 害；i 茸夏巧。，m , 3 ：1 栉o g n ：。 对碣注批t 善1 昙篱一 。篓瓢扣| 芸* 。 缭合| 理2 , 2 ，我们寄 、” 7 狮i i mi i 紫mu p 嘉地 j + 卜j 1 对于马，注意到三去蔓岛，再利用混合的基本不等式： t = a 慨璐净2 f 声瑚”沏薯= 2 i f ( d ) ”， 。鲁- - j = 芝n o + 八( 1 ：n 胃v b 。i ；) f 万誓巧+ 。i ，煮，i 苍并巧+ 得到 一i i m l i m s 印昙= o 时呻1 ，玎 。 出( 2 4 ，、( 2 5 翼i 2 6 ) 知 l i m s u p 7 - - ：o h 呻。 z 挖 下鲥我们来估计a a_l2=三芝篁磅簋巧rn 2 n鲁鲁一- 一p p 交；| 邂2 , 2 褥 。五l 刍k o 备n - j 醵e 墨十五1 ，善，霎磅盯矸巧+ 2 ：墨+ 嘎， 嬲日- 2 熙薯( 去蕃皖产巧= 粪露x 杉+ 由f 露墨弓+ ，f 2 ( 庐( ，) ) ”2 知1 | 旋| 乏| e 誓+ s 芝2 f 磷“2 ， ，2 “8 i = k i t 令蜀_ ，郅可得 引瑗2 4 盯。= p 向，肖 e 墨t + ( 2 7 ) 雨t ( 28 1 垒口 = l + 2 e k i + ；= 豸 蜀，n l 是列强平稳平方可积的正的声一混合序列 变异系数r = o f x ，瓯= 五十+ 五，k = i 一2 ，假设 9 o ， 4一孙趴一勘 m 0 阻! !牌蛇骶 兰口殴 2 = 1 + 2 z = 1 e ( 竽) 竽) m u u 志砉c 去卸山 其中为标准正态随机变量 证明首先证明 古喜c 去棚2 喜挚与肌 铒= 等硎脯 s u p 善n = s u p 喜等= s u p 善n 等2 筹 。， 懋i i = 磷等m 。a ；x 。b 吒l , = 懋法一。，”一o 。， 肠慷鲁r 卜 从而蚓靴喜竽r 与肌骀引舶3 一 善意i 与矿 注蒯而1 。吼+ 百( _ _ s k - ) 2 喜函矧舭。觚 引理2 5 1 2 1 1 设 以，疗1 ) 是同分布的一混合序列，对丁某1 - r 2 ，e i 五r o 。，且满足 妻”2 ( 2 ”) o 盯2 = v a r x 】，变异系数r = o x ，最= 五+ + 置= 1 ，2 ，假设 0 2 = 1 + 2 z 芦e ( 竽 ( 竽) m ，抄n = l 0 ，使得当s r 时，有 、 p 【恕i q 一1 i 占j 吒j 民) + p f 上p n 五n o 0 k = l ( 眯n 峨s u p 叫陋 = ：+ 厶 其中 瓦) = ：厶+ l 其t o 1 4j 矗 厶廿志静配) 一暇- i ) ) + 忘1 否n ( 叫) 一而1 。蠢。揣。s 巩u p g 叫矧 对任意同定的m ，由于c k 1 ，a 置， 志蕃( 1 0 9 ( g ) 。1 ) ) 与仉n 斗。 由引理2 4 ， 志蔷 一) 肌 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 由i x j s j 石去砉胁g - 惭g 2 砌r 面s k ) 2 而v a r s r k = 万1l 善k 砌瞄+ 2 。z 坶。v ( 置，) c o v ( 五，x s ) s2 ( o ( j f ) ) “2 ：叫： = 2 ( ( 一f ) ) “2e i 置1 2 = 2 ( v 2 + 盯2 ) ( 庐( ，一f ) ) “2 1 ， 可得 附e s 去c k o 2 + 2 x 2 ( 1 2 + 0 - 2 ) 。y 叫 。1 2 ( 川) j 去【k o 2 + 2 x 2 ( 2 + 0 - 2 ) t 抄j = l j 由妻( 胛) s j 石羞蒜砉 ：斗。，”斗啦 c z 1 2 pf 骅卜佤x l 胛! ”j 1 “吖志鼢c 哪0 p 【习去i 喜b s ( g ) x _ 。( x ) 定理2 1 得证 注2 1 如果 五，n 1 是一列独立同分布的正的平方可积的随机变量序列，此时爵= l ，则利 一：，一叫警厂与 她：f 学陬一肝珊峨到 f 学卜娜 第3 章痧 a 一，。，。，。水。d 的几乎处处中心极限定理 3 1 罨l 言及引理 如篇二章所述，先对随机三角列进行考虑 记戽，n=妻，f=l，2一，胛，对丁f，?，定义吒=b。2+b。2k=i ，否则为o ，记 “ 1 ” l ”1 “ 嚣= ! 生= 三兰，文：嚣+ + 蔓，露：l ，2 ， g 。 一 。； 鬟 ， 定义五，。26 ，。r ，置，。= 五。十五。，1 i 押 引理3 1 s 2 = 2 n - b 1 ，5 ：，c d 7 ，其中c 为常数 证明如第二琶宴同样方法，构造独立同分布正的平方可积随机变量序列 瓦，栉i ，翟：o ， 尹甜z ；鬻1 己掰女= 互+ + 磊，毒1 。易知 喜等2 言蒜霉= 喜静= 鼽霉 骞k ，正= 杰t = i 主u = t 与u 十骞毫 ：一】+ ， 如蒋定义互。= 警，r j ! t j 露( 互，。) = o ， 一 陆( 五，。) = 鲁胁( z ) 。蠢b 2 扣，2 ，卅 泐陲乏。) = 粉陲象 = 喜等， 勋( 喜气) = 哳陲等 = 骞鲁勋l 善乏，j 2 哳( 喜等j = 喜鲁 注意到k ， ( 3 1 ) ( 3 2 ) 。悸等。v ( 半，半) = 盟等一h 黼偿等) = 砉渤( 警) “，磊。c 。v e 孚孚，：+ 2 砉薯多 = 去h 州触j ，- 1 ， 一2 n ( t , + 2 n - 2 ) ：去( z 吣j ， ， 1 4 由羔等：窆z 。，结合( 3 1 ) ( 3 - 3 ) 即得，= 2 ”一岛， v a r ( n ，十：) = e ( l + 2 ) 2 2 e ( 析+ ；) = 2 ( 玩r n i + v a r n 2 ) “ v a r n l = 2 i b ， ( 3 4 ) 嗍= 胁( 姜孚 = e ( 毫要) 2 _ ( 薹。玎e ( 面，) 2 = t 嚆1 2 = i ( ，甜 5 ， 结合( 3 4 ) ( 3 5 ) 即得m 妒( i + 2 ) sc i ，再由( 3 2 ) 结论得证 引理3 2 1 15 1 令 瓦，h 1 ) 为概率空间( q ，厂，p ) 上的一列随机变量，且对任意的”， e x = 。，磷 。，使得踟r ( 喜，( 鲁) = o ( 1 0 9 2 - n ) ，其中 l o g x = l n m a x ( x ，p 1 则存在一个p - 零集c q ，n t a , e n 。，对任意的b o r e j 集4 c r ( 别) = 0 ，有 面1 。怠g - , l i ( s 2 ( c o ) 卜去彳咖 引理3 3 x 。) 如上定义，则任意x ， 脚击喜妻，c 孤n p 小 ( 3 6 ) 其中o ( x ) 是标准正态分布函数 证明对任意有界的l i p 。h i t z n 数f ，不妨设对任意的x , y ，i f ( x ) j c ，i f ( x ) 一厂( y ) i - r l x y 1 c 为常数则 肠悖，( 击 ：喜扣( 去心砉。剐1 蚴s o “ ， 最 ) 而 叫击p 喜吉 令丁= 6 1 ，誓+ 2 c 2 1 5 ，一产有 。川 】| 玑 2 6 c 叫玎面s i i ，( 法 叫吖击 ，( 号簪炉隧m 法h 号筹 + “制e m s 刚j , ji 一，( 鬻 1 = ：】+ 2 + 3 利用妒- 混合的基本不等式i e 粗7 一e y 匹y f 2 q q ( 疗) 得，1 - 2 c z 妒( f ) ，而 厶+ 厶z c e 厂。2 s j , j ，i 一厂( 兰：；! ；孚 坚廖i k i + x 2 j , ，o 1 。 三里 4 2 j o 、 = 了2 2 c 4 f 、智。 2 篙石， 其中 一觞剐吖高h 溉牌鲥：国+ 最石 髂等嘻掣叫唧， 其中。l ，巳c 3 ，。4 ，c 5 为常数 ( 3 7 ) ( 3 8 ) 喜砉掰9 善意2 替替崭1i 虬鲥、 b ， 由( 3 - 7 ) , q 3 - 9 ) 得 砌r 睁( 击 ) = 0 ( 崦吐 由引理3 3 结论，结果得证 7 1 理3 4 以，聆l 是一y r j n y t n n 矿混合序列，且至1 2 ( 2 ”) 。o ，对于某一1 五 2 ，使 = 1 得e i r 0 0 - 22 v a r x l 若变异系数，= d r a 且瓯= 五+ + 五，满足 妖a + z 喜e ( 宰 那么对任意的实数x ( ”) 0 0 烛击龇警n 叫小。 n ， 的分布函数，为标准正态随机变量 志喜2 去 而由引理3 4 ，存在1 丑 2 i c , - 1 1 ：。似一趴，s 五 2 l l o g ( 1 + x ) = x + o ( x 2 ) ，h i 1 ，有 吒窆后删：o p 引 l 取适当的a q s ( x ) 口一 ( 3 1 1 ) 。d竽v 儿 ， 瓯万 如 ，广 、， ( 0 令 f 中 明 其 证 显肚 。击 q 。去 、叫 s ) 一 g ( 。缶k ，e 一势 任 一 耐崦 撇烛 理 、j q ，l 。 、j g ，l 。目 一 、，g，l 昭 。h 7 ，l 志喜c 叫胁吖j 引l 志r q z n g n 执k = l j i 兰，( r 历n o - 0k = l l ( c t 一) 兰z + 占1 脚志喜去1 志喜l o g c k - x 卜加s 1 8 第4 章其它类型相依变量的渐近正态性 4 1p 一混合序列部分和乘积的渐近正态性 p - 混台的概念由k o l m o g o r o v 和r o z a n o v ( 1 9 6 0 ) 所引入- 根据前所述概念，指标z 著趋向尢 穷时随机变量是渐进独立的 引理4 1 叫1 ，1 j j 聆 为一实三角列，满足8 u p ：l a 2 ，i jm i ；女a ；x 。| a 。- e o ，”斗 磊 为中心化随机序列，满足 霰 一致可积，且砌r ( ：鼠) _ 1 ，若 氧 为妒一混合序列， z p ( 2 。) o ， 盯2 = v a r ( x 1 ) ，变异系数，= o - i u ，瓯= x l + + 五，k 2 1 ，2 ，假设 小2 烈学 ( 竽卜耖 。， 则 志喜c 去叫与肌 引理4 4 1 2 “设 x 。，咒1 ) 是同分布的一混合序列，x c t - 某i 兰r 2 ，e 1 x 1 o 。 ，且满足 扩( 2 ”) o ， 盯2 = 脚( 置) ，变异系数r = 盯，最= 五+ + 置，k _ 1 ，2 ， 、 。 c r 0 2 = 1 + 2 z 烈竽 ( 竽卜 假设条件p “2 ( ”) c 。被满足，则 f 皿r 与。础 i 刚”j 奠中 厂为标准正杰随机变量 1 9 龇- f k 一懒硎 f 譬卜舢 注4 2 如果 瓦，n 1 ) 是一列矗立同分布晶正的平方可积的随机变量序列，此时爵：l ，则利 一。例一嬲论( 警广与 42f ，_ 幺存计詈 设 以，n 1 ) 是强平稳序列，分布函数为f ( x ) ，义设h ：r “ r 是一个关于它的m 个n y - 量 对称的函数u 一统计量定义为 = ( q m ) “ ( 五，五) ，”m 1 瓠 h 5 ” 这里的h 称为乩的核函数这类统计晕最早是由h o e 删j n g ( 1 9 4 8 ) 作为样本均值的推广而引入的 不少令人感兴趣的统计量属于这种类型或表示成它们的渐近形式 若m = 1 i 己h ( x ) = x & 定义如上 假设鼬( 墨，瓦) o ，变异系数，= o - p 0 则 ( 1i ：，鲁) 而与 注4 4 若考虑u 一统计量的强大数律性质，我们可以得到以下结果 若= e o o ， 则 s口 斗 恼， q 。扣 ，fj_i 参考文献 1 b c a r n o l da n dj a v i l l a s e n o r , t h ea s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o no f s u m so f r e c o r d s e x t r e m e s 1 9 9 8 ，1 ( 3 ) ：3 5 1 - 3 6 3 【2 1p b i l l i n g s l e y ，c o n v e r g e n c eo f p r o b a b i l i t ym e a s u r e s w i l e y , n e wy o r k 1 9 6 8 3 】n h b i n g h a m ，c m g o l d i ea n dj l t e u g e l s ，r e g u l a rv a r i a t i o n c a m b r i d g eu n i v e r s i t y , n e wy b r k 1 9 8 7 4 g a b r o s a m l e r , a na l m o s te v e r y w h e r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e m m a t h p r o c c a m b r i d g e p h i l o s s o c ，1 9 8 8 ，1 0 4 ：5 6 1 - 5 7 4 5 】y s c h o w a n d h t e i c h e r , p r o b a b i l i t yt h e o r y ：i n d e p e n d e f i c e ，i n t e r c h a n g e a b i l i t y , m a r t i n g a l e s ，2 ”e d i t i o n s p r i n g e rn e w y o r k ，1 9 8 8 6 】r l d o b r u s h i n ，t h ec e n t r a ll i m i tt h e o r e mf o rn o n - s t a t i o n a r ym a r k o vc h a i n p r o b a b t h e o r ya p p l ，1 9 5 6 ，1 ：7 2 - 8 8 7 hg e b e l e i n ，d o ss t a t i s t i s c h ep r o b l e md a sk a r e l a t i o n a l sv a r i a t o nu n de i g e n w e r t p r o b l e m u n d s e i n z u s a a m m e n h a n g m i t a u s g l e i s c h u n g r r e c h n n g z a n g e w m a t h m e c h ，1 9 4 1 ，2 1 ： 3 6 4 3 7 9 8 eh a l l ，ac o m e d yo fe r r o r ：t h ec a n o n i c a lf o r i nf o ras t a b l ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n b u l l l o n d o nm a t h s o c 1 9 8 l - 1 3 ：2 3 2 8 9 0 h i r s c h f e l d ，ac o n n e c tb e t w e e nc o r r e l a t i o na n dc o n t i n g e n c y m a t h p r o c c m n b p h i l s o c ，1 9 3 5 ，3 1 ：2 9 3 3 2 5 1 0 】w h o e f f d i n g ，ac l a s so fs t a t i s t i c sw i t ha s y m p t o t i c a l l yn o r m a ld i s t r i b u t i o n s a 1 2 1 1 m a t h s t a t i s t i c s ，l9 4 8 ：2 9 3 3 2 5 11 i a i b r a g i m o v , s o m el i m i tt h e o r e m sf o rs t a t i o n a r yp r o c e s s e s d a k l a nu s s r ，1 9 5 9 ，1 2 5 ： 7 1 1 7 1 4 【1 2 】gk h u r e l b a a t a ra n da r g r z e g o r z ，an o t eo nt h ea l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e mf o rt h e p r o d u c to f p a r t i a ls u m s i m ap r e p r i n ts e r i e s # 19 6 8 m a r c h2 0 0 4 13 】a n k o l m o g o r o va n du a r o z a n o v , o nt h es t r o n gm i x i n gc o n d i t i o n so fas t a t i o n a r y g a u s s i a np r o c e s s p r o b a b t h e o r y a p p l ，1 9 6 0 ，2 ：2 2 2 - 2 2 7 1 4 m l o e v e ，p r o b a b i l i t yt h e o r y , i ，4 “e d i t i o n s p r i n g e r ，b e r l i n ，19 7 7 15 】m p e l i g r a da n dq m s h a o ，an o t eo nt h ea l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e mf o rw e a k l y d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s s t a t i s t p r o b a b l e t t ，1 9 9 5 ，2 2 ( 1 ) ：1 3 1 1 3 1 6 m p e l i g r a da n ds u t e v ，c e n t r a ll i m i tt h e o r e mf o rl i n e a rp r o c e s s e s - a n n p r o b a b ，1 9 9 7 ，2 5 4 4 3 4 5 6 2 【1 7 】y , c q i ，l i m i td i s t r i b u t i o n sf o rp r o d u c t so f s u m s s t a t i s t ，p r o b a b l e t t ，2 0 0 3 ，6 2 ：9 3 1 0 0 【18 】yc q i ，an o t eo i la s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o no f p r o d u c t so f s u m s s t a t i s t p r o b a b l e t t 2 0 0 4 6 8 ：4 0 7 4 1 3 1 9 1 娃r e m p a l aa n dj w e s o l o w s k i a s y m p t o t i c sf o rp r o d u c t so fs u m sa n du 。s t a t i s t i c s e l e c t r o n c o m m p r o b a b ，2 0