（理论物理专业论文）非线性薛定谔方程的孤子微扰理论及应用.pdf

摘要 孤子理论是非线性科学中的一个十分重要的分支，它在物理学 的许多领域中有着日益广泛的应用。而孤子的微扰又是孤子理论中 最有实用价值的重要内容之一它大体可以分为两大类一是建立 在逆散射变换基础上的孤子微扰理论。它在理论上有着重要的学术 价值，但其思路较迂回曲折，数学计算较繁另一种直接微扰论较 为系统的方法是将孤子方程线性化后再按j o s t 函数的平方作微扰展 开。这两种方法均只适用于可积系统。颜家壬教授近年来发展了一种 基于分离变量法的孤子微扰理论法，它适用于可积和非可积系统， 而且思路和计算较为简便本人首先用此方法处理了自散焦非线性 薛定谔方程的孤子微扰问题一方面是由于问题的重要性，另一方 面也是为丰富颜教授所发展的孤子微扰理论的内容，为它提供一个 重要的实例其次我们还用此方法处理了玻色一爱因斯坦凝聚中的 亮孤子稳定性问题 全文共分为五章t 第一章简要介绍孤子的发展史以及孤子微扰 问题的几种常用的方法，并指出这些方法存在的些缺点，同时也 叙述了我们方法的大致思路和主要特征第二章给出了关于非线性 薛定谔方程的微扰理论，并通过具体工作来说明我们的基于直接微 扰理论的两种不同的思路方法第三章简单的介绍和回顾b e c 理论 的产生发展及实验研究过程，推导出了凝聚体宏观波函数满足的g p 方程然后讨论了b e c 中暗孤子和亮孤子的实验情况和理论研究现 状第四章本人基于直接微扰理论研究了b e c 中亮孤子的稳定性问 题。第五章为总结和展望 关键词：非线性薛定谔方程，孤子，微扰，玻色一爱因斯坦凝聚 a b s t r a c t s o l i t o nt h e o r yi so n eo ft h ei m p o r t a n tb r a n c h e so fn o n l i n e a rs c i e n e e i t h a sc r e s c e n ta p p l i c a t i o ni nm a n yf i e l d s t i l es o f t e np e r t u r b a t i o np r o b l e mi s a ni m p o r t a n tp a r to ft h es o l i t o nt h e o r y i te x i s t si nal a r g en u m b e ro fr e a l n o n l i n e a rs y s t e m sa n dc a l lb er o u g h l yd i v i d e dt ot w ok i n d s o n ei sb a s e do n t h ei n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r m a t i o n ( i s t ) w h i c hh a si m p o r t a n tl e a r n i n gv a l u e b u tt h i st e c h n i q u ei si n c o n v e n i e n tt ot h o s ew h oa r en o tf a m i l i a rw i t hi s t a n o t h e ri st h ed i r e c tm e t h o dw h e r et h es q u a r e dj e s ts o l u t i o n s & r ee m p l o y e d a st h eb a s i sf o rp e r t u r b a t i o ne x p a n s i o na f t e rs o l i t o ne q a t i o nb e e nl i n e a r e d t h e ya r ej u s ta p p l i c a b l et oi n t e g r a ls y s t e m s p r o f e s s o rj i a r e ny a n ，w h oi sm y t h e s i ss u p e r v i s o r ，h a dd e v e l o p e dad i r e c ta p p r o a c ho ft h ep e r t u r b a t i o nt h o e r y b a s e do ns e p a r a t i n gv a r i a b l et e c h n i q u e ，w h i c hi sa p p l i c a b l et ob o t hi n t e g r a b l e a n du n i n t e g r a ls y s t e m s i ti sm o r es i m p l ea n dc o n v e n i e n ti nm e t h o da n d c a l c u l a t i o n it a c k l et h ep e r t u r b a t i o np r o b l e mo ft h en o n l i n e a rs c h r h d i n g c r e q u a t i o nb e c a u s eo fi t si m p o r t a n c e a tt h es a n 2 ct i m e ，i te n r i c h e dt h es o l i t o n p e r t u r b a t i o nt h o e r yo fp r o f e s s o ry a ua n do f f e r e di m p o r t a n te x a m p l e s n e x t ， is t u d i e dt h es t a b i l i t yo fb r i g h ts o l i t o n si nb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t eb a s e do n t h cd i r e c ta p p r o a c h t h i st h e s i sc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e rh a st w op a r t s f i r s t j w eb r i e f l yi n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n th i s t o r yo ft h es o l i t o na n dd i s c u s ss o m e g e n e r a la p p r o a c h e st od e a lw i t ht h es o l i t o np e r t u r b a t i o np r o b l e m s ，a n dp o i n t o u ts o m ed r a w b a c k so ft h e s ea p p r o a c h e s s e c o n d l y , w ep r e s e n tt h eg e n e r a lp r o - c e d u r eo fo u ra p p r o a c ha n di t sm a j o rc h a r a c t e r i s t i c s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w e e s t a b l i s ht h ep e r t u r b a t i o nt h e o r yf o rt h en o n l i n e a rs c h r h d i n g e re q u a t i o n ，a n d s t u d yi t ss p e c i f i cp e r t u r b a t i o n w ew i l le x p l a i nt h et w od i f f e r e n ta p p r o a c h e s ， w h i c ha r eb a s e do nt h ed i r e c ta p p r o a c ht h r o u g ht h ew o r kt h a tw eh a v ed o n e i nt h et h i r dc h a p t e rw eb r i e f l yi n t r o d u c et h ef o r m a t i o na n dd e v e l o p m e n to f b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n st h e o r ya n di t se x p e r i m e n t s t h e nw ed e r i v et h e n o n l i n e a rg r o s s p i t a e v a s k i ie q u a t i o nt h a ts a t i s f i e st h ec o n d e n s a t em a c r o s c o p i c w a v ef u n c t i o n a tt h ee n do ft h i sc h a p t e r ，w ed i s c u s st h et h e o r e t i c a ls t u d i e s a n de x p e r i m e n t sg d a r ks o l i t o n sa n dh i 痨ts o l j t o n s 啦转锱争冀i 魏髓e 啦c 。n d e r m a t e s ，r e s p ( 蛾t i v e t y c h a p t e rt s b u rc o n t a i n so u rs t u d yo ft h eb r i 曲ts o l i t o n s t a b i l i t yp r o b l e m ，b a s e do nt h ed i r e c tp e r t u r b a t i o na p p r o a c h w es u m m a f i g 。 o u rw o r ka n dd i s c u s si t sp r o s p e c ti nc h a p t e r f i v e 。 k e yw o r d s ：n o n l i n e a rs c h r s d i n g e r e q u a t i o n s o l i t o n ，p e r t l l r b a t i o n ，b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e i i i 第一章引宙 人类的发展史表昵科学的理论总是从简单到复杂，从特殊到一 般，从粗糙到精确，一步步逐渐深化的因此，以数学为工具，以物 理学开路的严密自然科学在初期阶段总是力图把描述对象简单化、 近似化，在数学方面采取的一个重要办法就是线性化。但是，随着 科学的发展和人类向更完美的目标的持续追求，复杂的自然界不断 促使我们逐渐地把一个个线性理论发展为非线性理论。非线性化是 科学发展的必由之路一些学者已将非线性科学誉为上世纪继相对 论和量子力学之后自然科学的“第三次大革命”。正如一位物理学家 所说“相对论的建立排除了对绝对空间和时间的牛顿幻觉；量子力 学的建立则排除了对可控测量过程的牛顿迷梦；非线性科学的建立 排除了拉普拉斯决定论的可预见性的狂想”。非线性科学的建立是研 究非线性现象共性的一门学问，它的研究主体是混沌、分形和孤立 子，而且这三者彼此互相联系在本文中，我们将研究其中的孤子 问题。 最早对孤立子这种非线性现象的描述可能是1 8 4 4 年，英国科学 家、苏格兰海军工程师罗素在对英国科学协会作题为波动论的 报告中，记载了他在1 8 3 4 年曾一次偶然的机会在运河中观察到一种 奇特的现象：“我看到两匹骏马拉着一条船沿运河迅速前进。当船 突然停止时，随船一起运动的船头处的水堆并没有停止下来。它激 烈地在船头翻动起来，随即突然离开船头，并以巨大的速度向前推 进一个轮廓清晰又光滑的水堆，犹如一个大鼓包，沿着运河一直 向前推进。在行进过程中其形状与速度没有明显变化。我骑马跟踪 注视，发现它保持着起始时约3 0 英尺长，1 - 1 5 英尺高的浪头，约以 每小时8 - 9 英里的速度前进，后来在运河的拐弯处消失了”。什么力 量使水堆没有依托的情况下竟然能运动那么远的距离而形状基本保 持不变? 这是个令人深思的奇怪现象。为了探究上述的水波鼓包到 底是一种什么样的现象，随后，罗素在水槽的一端用一重锤垂落入 水中，对重锤激起的水浪的运动情况进行了反复的观察他发现这 种水浪与运河中出现的奇特水波基本相同。通过实验，他还总结出 承渡浆移动速度v 、农翡深度d 及泰波接疫a 之阕豹关系： 沪= 口( d 十d ) ，r 11 ) b 为比例常数。实验结果说明，水波的运动速度与波幅的潞度有关， 渡疆蘧懿速囊鞍快，盈渡睡懿宽囊麓高度之滋瞧攘靖较肇，然 莛罗 素逛年未能从流体力学出发给孤立波以合理的理论解释，因此没有 引起人们的充分重视。 现在我们寒分别考察鱼散秘翡线性效波懿影响。首先考察一个 单缝翡色散逮程，波韵方程懿形筑为 妒+ 妒$ # $ = 0 将方撩瓣鳃展斑乎瓣波 仇( ，) = 。蝌p u t ) 】 将( 1 3 ) 代入( 1 2 ) ，褥列 o 一k 3 ( 1 ，3 ) ( 1 4 ) 不难肴出，式( 1 3 ) 所描述的波动系统是由一暴列沿正x 轴传播的单 色平藤波纛台两形成的渡包。由于各个分波鹦波矢量k 僚不丽，其 待摇遗发氇各苓帮等霹趣，鬻使耪戆露裁务个分渡鳇念戏结象震 波包状，以后也会黼为各个波速的不等而最终导致波包的弥散和消 失。 其次，考察一个翠鲢鳃 # 线悛过程，设它露毽下嚣辨嚣线性方程 忱一6 t p c p = = 0 来描写，最然它具有如下形式髀 妒然妒( 石+ 巷妒) 。 ( 1 5 ) ( 1 6 ) 它表承沿负x 轴传播的一列非线性波，其传播速度”= 6 妒与质点偏 离平衡位置的距离的大小成正比。这性质鼹菲线性振动糨非线悭 渡瑗褥蠢戆，琵是窀馨致了凌魁在赞舞时发燕形变；枣予壤煮穰离 2 平衡位置距离较大处波的传播速度大于其前方质点偏离平衡位置距 离较小处的波的传播速度，因而在传播过程中，前者将逐渐赶上后 者，而使波包前半部的波形变陡，即使它的前半部分凝聚变窄。 如果同时存在色散和非线性效应，方程变为 妒一6 妒妒。+ 妒骝= 0 ( 1 , 7 ) 这就是1 8 9 5 年，两位荷兰科学家科特维格( k o r t w e g ) 与德弗雷斯( d e v r i e s ) 对浅水槽中单向运动的奇特波动现象用一波动方程进行理论 分析，在长波近似和小振幅的假定下，建立的单项运动浅水波的非 线性浅水波方程，即著名的k o r t e w e y d e v i e s ( k d v ) 方程。其中妒一是 弥散项，使初始局部脉冲脉冲扩展开来，并随着波的行进使波形变 矮变宽；而非线性项妒的作用恰恰相反，它使波形前倾同时使波 形变窄变尖。在特定的条件下( 特定的波形和传播速度) 这两种现 象互相平衡和抵消，形成了稳定的孤立波。所以说孤立波是色散和 非线性现象平衡的产物。 但是此后孤立波现象的研究与k d v 方程又被默默地遗忘了几十 年掀起这一领域研究热潮的应归功于鸟莱姆( s u l a m ) 。1 9 5 5 年，在乌 莱姆领导的美国阿尔莫斯国家实验室，著名物理学家费米( e ，f e r m i ) 、 帕斯塔( & p a s t a ) 和乌莱姆数值计算了用非线性弹簧联结的6 4 个质点 组成的弦的振动，习的是从数值实验上验证统计力学中的能量均分 定理他们对少数质点进行激发，按照能量均分原理，由于弱的非 线陛相互作用，经长时闻以后，初始的激发能量应有涨落地均衡的 分布到每个质点然而计算结果令人意外，长时间以后能量几乎全 部回到了初始集中在少数质点上的状态。这个结果预示着这个非线 性系统可以出现孤立波这就是著名的f p u 同题。1 9 6 5 年，美国数 学家采布斯基( z a b u s k y ) 与克鲁思卡尔( k r u s k a l ) ，把f p u 的非线性 振子系统的能量不均分问题与k d v 方程联系了起来他们还是采用 数值模拟的方法，用计算机又计算了两个具有不同速度孤立波前后 追逐中发生的现象设有同向行进两个孤立波，波幅较高在后的孤 立波，逐渐赶上前面幅度较低的孤立波，于是两个孤立波相遇了。 令人惊奇的是两个孤立波相退后，又能很好地分离开来继续前进， 而原来的波包形状没有发生大的变化即两个在空间传播的孤立波 3 具鸯磁攮特牲，说骥：1 ) 孤立波嚣誊懿稳定；2 ) 象一个物爱粒 子。人们将具有碰撞特性酶孤立波称为“孤立子，s o l i t o n ”，简称“孤 子”此后人们发现，在许多物联体系中都存在k d v 方程，说明孤 立波悬一种普遍存在的物理现象。于是k d v 方程被看作为数学物理 懿一拿麓本方程。藤寒天疑又遴一步发凌，狳k d v 方程黔，其它酶 一些偏微分方程也葫孤立波解，从此一个广大的孤立波研究领域展 开来了 孤立子是由非线性场所激发的、髓量不弥数戆、形态上稳定懿 准粒子。这耱灌粒子其有一弼栽予辑具有豹特性，热麓繁、凄耋、 质量、电荷、自旋等等，它们也遵循一般的自然规律，如能量、动 量、质嫩守恒定律另一方面，它又有自身的特征一波动性，在一 切可以出现波动黪分质里，在一寝条孛孛下都霹存在。除上霹分缨懿 浅承袋多 ，在永娶深楚、嚣俸奔凌、电磁场、等离子舔、生物体、激 及微观粮子的波动性中都可能宥孤立波存在它是一种行波，它既 可以以速度v 在空间传播，又可以处于静止状态，成为非传播的孤 粒子。每鬟子力学所擐述的徽溉靛予相比，孤立予遵循经典运动规 稼，鞭放牟骥运费方程或啥密镶逅蘸方程。掰辍甄立子愚一释薪螫 的准粒乎，它是本燃纪物理学中提出的一个黧饔的新概念 尽臀从1 8 3 4 年8 月司各特罗素观察到河藤上稳定的孤峰兀立 懿承液，1 8 9 5 年穗褥维格蠢德舞燕导窭k d v 方程及其羧子薅隧来 已经许多年了，但孳 超人们对它的普遍关注帮还是本世纪六七十攀 代的事对此，国内外已经有了很多综述和糟千专著柱短短的二 十年中，从天文学到“基本”粒子，从浅水波传播、流体力学到晶格 毽沦、嚣线瞧毙学、簿枣子馋翰壤、霆髂镌瑗、凝聚态毯璞、怒导穆 理、弹憔力学、统计力学、声子，工程学、毒| 料科学、气象学、海洋 学、高分子理论。分子生物学，甚愿气功、经络等等，孤子这一新的 概念碍剃了极其广溅地应用【? ，l ，翘 入镌广泛逮磷究了奚骞嚣子察瓣务静穷弦：k d v 穷程及冀赣 广；磁豫一戈登( s g ) 方程；非线性薛定谔方程；广田( h i r o t a ) 方程；码布西尼斯( b o u a s i a e s q ) 方程，非线性格点方程；玻恩一莫 费尔德方程；自透射方程；嚣线饿嬲网终方筏等，井将这糖方程应 4 鬻子各耱领蠛。久懿采爰了鍪耱数学理论，盔籍鼗麓反演方法，无穷 多个守恒律，贝壳兰得( b e k l u n d ) 变换等。方程的解也从孤子推广 为反孤子、呼吸予、碰撞解及挝结解、涡旋解、瞬子解、磁单极子解 等。 旎期，大家仅限予研究经浆翡孤子理论。1 9 7 7 年，弗量德稳络 和李撮道把它推广为量子的，弗得到结论t 对任何一种玻色子场系 统，只要经典孤子存在，则总桴在相应的鬣子孤子解，蕊少在弱耦 合懿情形时是热她。德程】把魇蠢孤子解分为嚣大类；搬扑楼孤子秣 菲事嚣孛 往孤子。愁丁等麓s l a c 袋横登就怒基于妒一4 弱方程酌孤子 解，并由此讨论了夸克的禁闭黼题粒子物理中为什么可以应用孤 子? 我们认为一方丽瞢遍存在的粒子系统撼相互作用耦合的，其场 方程一般是非线镶螅。这些努稷的一类有意义翦缌就爨孤子解。男 一方瑟 粒子是稳定鹃或平稳定静，邃歪好楣应于孤子。第三方瑟， 由平酾波叠加得到的波包必然骚扩散，这是鼍子力学中的老问题。 所以如果波粒二象性始终成或，粒子也只能是孤子。由此推广，我 】稳傣势羲亩，掰嵩存在糍纛佟用的俸系，只要其中农辗对稳定懿 客体，孤子理论都大有用武之缝困诧，孤子及其数学方法磐褥遴 一步发展，也将蓖加深入地皮用到各个领域。 猩孤子理论中有一类重要阕题一一孤子的微扰问题。因为导出 檬臻j 线蛙方器豹模蘩往徒麓赛发瑾憨诧煞，瑟实繇鞠疆孛，考虑 到菜题实际因素，如阻恧、外加驱动等，钱往要讨论包含修正项的 对应方程这时严格求勰一般是不可能的，然而把修派项( 即实际 的系统和这些理想化酶模塑之闻往往存在的一些细微藏异，我们称 之凳徽撬) 羲 筝奎囊蔻毽，蔫徽糖理沦遘褥磷窕是寝有效鹣。瞧歪蘧 因为微扰的存在舆有普遍幢，随此研究徽抗对菲线性演化方程的孤 子解的影响具有更为实际的意义微扰可以分为两类t 一类是哈密 顿微扰( h a m i t o n i a np e r t u r b a t i o n ) ，另一类是耗散微扰( d i s s i p a t i v e f 蠛u 痨8 主i o 珏) 。 孤子微扰理论种类繁多，内容丰富例如；1 修正守憾律( m o d i f i e d c o n s e r v a t i o nl a w s ) 徽扰理论，喻密顿微扰瑗论，拉格朗日徽扰理论； 2 基予逆散射变换( i s t ) 徽挽理论；3 蕊手妻接法鹣徽挽理论； 5 4 毒点微攘理沦；5 缓蛙徽捷理论；8 基予h i r o t a 方法戆微魏瑾论 等等。继较为普遍的是建立在逆散射理论基确生豹微挠理论这种 方法是由k a u p 【3 ，k a r p m a n 和m a s l o v 提出洙的，并在随后的一些 工作中得以扩充f 4 ，5 】，k i v s h a r 朔m a l o m c df 6 】对大量这方面的工作 骰了较巍详尽瓣憨缨。滚方法燕宠在遂教射嶷换的蓑麓上，要求来 受檄揽彩噙酶方程熊够用逆敲射法求解。辫褥只适用于可积系统。 此理论处理孤子微扰问题的能力很强，能成功的处理很多的孤子微 扰问题，但思路迂潮曲折且对于那些不懂得i s t 法的人来说想运 爱戴毽沦是菲豢蓬滚瓣。势了发褒一套蔑逶矮予霹积系统又适薅予 菲可秘系统的孤子穷程的镦挽联论，o s t r o v s k y 7 1 首先撼出了所谓 的“宣接法”，这种方法的基本思路是首先将禽微扰豹非线性方程线 性化，然后用微扰展开法来求备缓( 一般是一级) 近似方程其中 较秀系统戆徽法冕选取j o s t 薅瓣警方终为锾挽震嚣基，墓霾j e s t 耨又 是用邀散射法求孤子解时遇蓟的菜一辅助方缀的基本解因此该直 接法井来摆脱对逆激射法的依赖，它在实际撩作过程中巧妙的运用 了一些邀散射理论的结论，故同样只适用于埘积系统 簇家至数授在1 l 罄天懿骚究麓麓上，发晟了一套基予分离变量法 的孤子徽扰论直接汝在一般情况下，各级近似方程是可以分离变 量( 或近似分离变激) 的问题的关键是求解各级近似方程中所含 线性微分算子及其菸辘算子的本援函数，并耀它们来梅造歪交归一 完釜熬徽撬蓑嚣基。该方法鹩掩赢莛无论本鬣馑麓题稳求解逐是正 交完备性的证明在方法上是自成体系的它不依赖于前人的工作， 因而完企摆脱了对翘妻散射法的依赖故此法不仅适用于可积系统， 也适耀乎嚣可积系统。其男一特点是思路耋接，容易瑾瓣幂拜接受。 越静，在效学诗葬上也薅显院箕 趣方法篱单。邃秘方法姓溪了十余 种非线性方程的孤子微扰同趣缴近又用它成功地解决了暗孤子微 扰这一世界难题 柱蒎下寒我第二章中，我j l 冬溪过建菲线缝萍定谔方獠静援绩疆 子解放亮孤子薅骰强子微扰，进一步详尽的鹚述我们的赢接法及其 改进方法在第三镦中将砖玻色- 爱因斯堪凝聚中的孤子的研究现 状进行综述，并予第四章中我零j 用颜教授的赢接法所得出来的关于 菲线豫薄定谔方纛戆赛孤子擞撬瓣戚暴采聚突袭色爱溪蘩拯凝聚 6 中的亮孤子稳定性问题，对这部分工作进行了具体的介绍。最后在 第五章中进行总结和展望 7 第二章非线性薛定谔方程的微扰理论 2 1 前言 非线性薛定谔( n l s ) 方程模型是现代科学中最重要也是最普遍 的非线性模型之一。作为描述波包在弱非线性色散介质中传播的普 遍方程，它出现在物理和应用数学的许多分支中，包括非线性量子 场理论，凝聚态物质和等离子体物理，非线性光学和量子电子学， 流体物理，微扰和相变理论，生物物理等。非线性薛定谔方程最著 名的解是孤立波或孤子解。孤子的典型特征是以一个局域波的形式 在与另外一个孤子相互作用的时候，保持了类粒子的性质。非线性 薛定谔方程孤子理论最初是在1 9 7 1 年，由z a k h a r o v 和s h a b a d 发展 的多年以后，对于n l s 方程的孤子理论的发展出现了不少重大的贡 献【1 0 ，1 1 1 。今天，在预言孤子存在的可能性【1 2 】，以及m o l l e n a u e r ，s t o l e n 和g o r d o nf 1 3 的实验发现之后，n l s 方程的光孤子被认为是自然数 据比特和超高速光学通讯系统的新生代重要选择。 在宴际应用中，诸如非线性薛定谔孤子的牛顿粒子行为、静孤子 现象、以及弱周期外力驱动下出现的分形等【1 4 】，各种各样的微扰对 孤子行为的影响引起了研究者的广泛兴趣【6 】。k a u p 3 在研究非线 性薛定谔方程受阻尼影响时，通过将包含微扰的动力学方程转换到 散射空间，首先建立了该方程的微扰理论随后，k e e n e r 和m c l a u g h l i n 使用的格林函数法【15 】，以及i c h i k a w a 研究l a n g m u i r 波包受非线性 l a n d a u 阻尼影响时采用的“绝热近似法”都对该方程的微扰理论作 出了重要的贡献其中k e e n e r 和m c l a u g h l i n 利用双重尺度技巧和格 林函数建立了一套形式上独立于逆散射理论的直接法微扰理论。但 我们明显的可以看出t 展开基矢是依靠逆散射理论来求得的。k a u p 后来的工作【1 6 ，l7 】、以及h e m m n 发展的直接法微扰理论【1 8 】也存在 着同样的问题，它们实际是类似的h e r m a n 使用的展开基矢是利用 算子的本征函数和逆散射理论里面的j o s t 函数的关系，以及k a u p 的 工作作为基础来构造的这些基矢的构造包含了相当复杂的推导。 本章按照我们所发展的直接法，通过一个非线性薛定谔方程的扭 0 结孤子熊佟鸯其体豹铡子，来建立菲线性蓦邀湾方程豹微烧理论。 并讨论+ r 微扰对孤子晦影响对于我们酶改进的直接法，我们也在 文章中飨予了描述通过两种方浓我们所得到的结果是一致的。我 将在文巾具体予以说明 2 2 微扰的非线性薛定谔方程的线性化 我们考虑微找瓣嚣线性薛定谔方程鳐酱避形式 f 饥一；+ 2 u 1 2 牡* e 丑两，( 2 1 ) 这里，8 为衡量微扰强弱的小谶( 0 s 1 ) ，表示微扰具体形 式的璞r | u l 为u ，珏聋，嚣。的g 知函数纛没有微扰彩嗨的情况 下，嚣戴= 0 ，方覆1 ) 靛变为椽灌翡饕绫瞧薅定谱方程 i “t 一札。十2 1 u 1 2 拙：= 0 ( 2 2 ) 它具有熟下形式粒攀孤子解 u ，”= a t a n h 融和一2 ；0 + 2 挑) 】e x p t k + i ( 2 a 2 + b 2 ) t + 醌 ，( 2 3 ) 这里的。b ，鼹四个实参数，它f f 】决定糟孤子的高度( 宽度) ， 孤子黪涟度，初始饿置穰初贻像耀。本章我 】考虑的是檄挽对菲线 毪辞宠海方程荸孤子解懿影璃，嚣魏方程2 1 ) 灌是酶翻始条 串蠢 t ，0 ) = 士a t a n h 和恤一2 0 ) j e x p ( 袖+ i o o ) ( 2 4 ) 现在我镪裁曩多重嚣壹阕足塞法( 凳2 6 嘲寒嫒徽撬匏尊线镶薅定谔 方程缀黻纯首先我们辱l 入一萦秘时闺“黉”变量 “2e ”t ，n 0 ，l ，2 ，一， 撮据求姆法则，对时闻酶镛譬熬稠痉戆晨帮舞 岛= + e 岛，+ 魏，+ 与此间时，我们将n 和r f u l 展弹为如下的渐进级数 堪= 矬秘+ c u ( 1 + 2 鼋击秘， 】0 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 钧 j r 【u = r m o 】+ e 兄( 1 【u ( m ，u ( 1 l + t 一，( 2 8 ) 将展开式( 2 6 ) 一( 2 8 ) 带入到微扰方程( 2 1 ) ，同时令e 的相同幂的系数 为零，我们可以得到如下的各级近似方程 z u ：一u 婴+ 2 1 u | 叩u ( o ) = 0 u 1 一t 罂+ 2 阻o 】2 f i ( 1 ) + 4 t u ( o 1 2 u ( 1 ) = r l u ( o 】一 “l ? ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 初始条件相应的重新写为 u ( o 印，0 ) = + a t a n hf a ( x x o ) 】e x p ( i b x + i ) ， t m i ( x ，0 ) = 0 ，n = 1 ，2 ，3 ( 2 1 1 ) 零级近似方程( 2 9 ) 为标准的非线性薛定谔方程，它的单孤子解由 ( 2 3 ) 式给出，我们将其重新写为如下形式 u ( o ( z ，t o ) = 士ae x p ( i 口) t & n h ；， 其中 z = n 0 十f ) ，氏= 2 b ， 0 ：皇z + 文瓯：2 a 2 _ b 2 a 。 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 由于微扰的影响，此时孤子参数a ，b ，和d 都依赖于时间“慢” 变量t ，t 一另外n ，b 不依赖于t o ，而和6 依赖于o ，其函数关 系由( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 的后两式给出。由方程( 2 1 2 ) 一( 2 1 4 ) 可以得出 u 罂 = 士唧o p ) f 口k ( t a n hz + z s e c h 2 z ) + 口2 矗。s e c h 2 z + i b t 。z t a n hz + i a 6 t 。t a n h z + i a m kt a n h z ( 2 1 5 ) 为了方便起见，我们引入了一个新的空间变量z ( 在与孤子一起 运动的坐标系内的空间变基) 来代替原实验室坐标系内的空间变量 x ，即钆一+ 2 a b o ；，以一口晚。这样，一级近似方程( 2 1 0 ) 和相应的 初始条件( 2 1 1 ) 式变为 t u 2 +2 i a b u ( z 1 ) 一0 2 粤+ 2 a 2e x p ( 2 i 0 ) t a n h 2z u ( 1 ) + 4 a 2t a n t l 2z ? ( 1 ) = r u o 千i e x p ( i o ) a “( t a n h z + z s e c h 2 z ) + 2 & l s e c 2 。 + i b t 。z t a n h z + l a s t lt a n h z + i a 婚1t a n h z 】 u ( 1 1 ( z ，0 ) = 0 ( 2 1 6 ) 对方程( 2 1 6 ) 我们引进如下变换 u ( 1 ) = c x p ( i 日) ( 1 ) = e x p ( i o ) a ( 1 + i b ( 1 1 】( 2 1 7 ) 这里， ( 1 ) 和b ( 1 ) 为两个实函数，它们分别为复变函数口( 1 ) 的实部 和虚部通过以上变换，我们可将方程( 2 1 6 ) 的求解转变为两个实 变函数的联立方程问题的求解 a 。2 掣“，7i = e s t i 。”? ( 埘) 1 恐。鼬。十z 融2 z ) 千。2 汹c h 2 2 1 8 1 i 一嬲一n 2 厶l ( ，= , r e r u ( o 】e w ( 一i p ) 4 - k ，z t a n h z 士( 口6 # 。+ n 蜒“) t a n h z 、。 相应的初始条件变为 ( 1 扛，0 ) = b ( 1 ( z ，0 ) = 0 ，( 21 9 ) 这里我们定义两个算子为 “墨十2 s 槲z ，厶= 嘉+ 6 s e c l l 2 z - 4 ( 2 2 0 ) 他们是线性自共轭的 2 3 正交完备化基矢的构造 方程( 2 1 6 ) 的求解现在实际上已经转化为联立方程( 2 1 8 ) 的求 解我们通过对方程( 2 1 8 ) 所对应的齐次方程分离变量，或直接对其 施行拉普拉斯变换求解的过程中，会遇到下面的耦合方程本征值问 题 fc ，咖= 柳 i | 二2 妒兰 ， 1 2 ( 2 2 1 ) 拳j 丽篓子疡穆嚣手方程( 2 2 1 ) 懿上式，佟溪予方程2 。2 1 ) 懿 下式，我们可将方程( 2 2 1 ) 转换为下面等价的形式 2 l 曲= a 7 吵， l 诤= ) 雌 ( 22 2 ) ( 2 2 3 ) 由于c 。和。都是线性自共轭算子，所以，算子厶厶和t ，互 为共轭箕子，因此，本征函数鬃 好瑚 互为共轭本征函数系。下面 我粕采求惩主述零薤僮瑟瑟戆连续谱。 对于方程( 2 2 0 ) ，当。一+ 士。o 时，我们有t d 2 d z 2 ，岛一 d 2 d z 。一4 ，于是，方程( 2 2 1 ) 的本征值问题写为 溉三麓 江。t ， 由方程( 2 2 4 ) 很容易得出，当g - - - 4 士。，西和妒的渐进行为为e 龇 弱霹，我f 】褥裂a = 一妒，x 一一( 女2 + 4 ) 。瓣拢，我鼹裁设 妒叫“妇出，奠(225)-ik i 币( z ，) = 一z 叭- z - ，) 、 将( 2 , 2 5 ) 霞入( 2 2 1 ) 串，毒 倦l 1 q + + 2 i k o # 一埘k 2 0 卅+ 2 i k a 。鬣兰0 ( 2 z s ) 1 2 口+一女2 仃+ k ，篙l 丽口= 1 将# 耩o - 曩嚣为 j 口= o o + a l t a n h z + 0 2 磊蠹巧z + 。3 嚣繁毪+ 0 4 磊击+ a 5 黼e i n h z ， r 9 。7 、 i 口= b + b l t a n h z + 如耐1 。z + 如耋馨己+ b ，。龃1 。瓦+ b 5 爨潦鼍 将2 2 7 ) 代入( 2 2 6 ) 孛，毙较幂级数懿系数，褥出的一芷雩叠， a l 。i v 依+ 4 c ，龇：0 ，k = 鼯，b l = i k c ，b 2 = c 。代入( 2 2 7 ) 中有 ( 譬“羽t a n h z ) ， 曩磁 口一e ( 譬+ i k c t a n h ；+ s e c h z ) 、 。 瓣鸯 j = e “。c 而( + i t a n h z ) 。 l 妒一e 仕。c ( 譬+ i k c t a n h z + s e c h z ) ( 22 9 ) 其审e 为常数。我稍可潍蘧过蔗交穗麓证磅来确定常数e 。即通遗 下式 ，。r ( 岛女) 硒o ，) d z = f 舻( 女) 毒o ，k ) d j d 7 ) ， ( 2 3 0 ) j 一，一 可淤褥离。瓦磊；蠢灞函魏，我髓可浚缮翻连续谱静本征函数 眵(：，嚣：!：；i密臻ex。p)(。ik。+)(k2+2ikta+nhz),2iktanhz 2 s e c h 。 ( z s t ) l 眵冬，罅= 了嚣；l 帮固攀臻z ) ( 2 + + 2 。) 该本征值闻驻j 罨存在一组对j 嗷于本征值 一0 的分立谱，他们是 在证明连续谱本征暇数完备性 r 7 曲( z ，女) 每( ，) d k = d 和一# ) ( 2 3 2 ) j 是否成藏时，发现必须加入鼹个分立谱驰本摄函数方姥使宠备往成 立，鬻憩嚣缮凄戆它靛是 批) = 历1州垆去鼬2 z ( 23 3 ) 这墓，我稻要搔蹬静是谴稍并不满跫联巍方程( 2 2 1 ) 实际上弦 容易检虢出他们满足的关系是 2 谚( z ) = 0f 2 ，3 4 ) 本摄函数系 甜一 ( 五月) ，钡( s ) ) 和 * 币( z ，张妒t ( z ) ) 构成了 一组磁交完备的基矢 下蠢我爨善笼绘蠢蒸矢静 寝静 懿鬟突瞧证霹。邃曩我爱终 1 4 为示例给出连续谱的正交性的证明。直接考虑如下的正交性积分 上。烈毛砷纵互h ) d 一赢习寿意丽丽_ 。出d “h k ( k 2 + 2 i k t a a h z ) ( k ；十2 i k lt a n hz + 2 s e c h 2 。) 一2 7 r k i k l 而舞页丽上。出d “h 扣( ：2、( 4 十舻) ( 4 + 研) j 一。 、1 + 2 i k t a n hg + 2 k 2 s e c h 2 z + 2 i k k t a n hz - 4 k k lt a n h 2z + 4 i kt a n hz s e c h 2 z ) f 2 3 5 1 然后我们利用到下列用留数定理得出来的公式( 求的具体过程 省略) 竹) = 仁秒h z d z = i 。i i l l l 雨 ，。， ”k 如) _ - 。矿如8 e 聍州”焉 j d o o 儿u 1 q ， 砸) 一仁扩豢d z = i 2 z 咖n ( 参 ，。 厶( ) = e l k z s e c h zd z = 二”c o s h ( 7 r k 2 ) j 一 孙) = 仁沙豪d z = i k ”c o s 吣啪) ( 23 6 ) ( 2 3 7 ) f 2 3 8 1 ( 2 3 9 ) ( 24 0 ) 掷) = 仁砂。纛出_ ( 1 埘) ”2 c o s h ( ” ( 2 4 1 ) ， 7 7 ( 。) 2 上。e i k z 嘲z _ 王hz _ 。z = i 7 r 2 2 c o s h ( k 2 ) 嘞2 e ”2c 。s h 何k 2 ) ( 2 4 2 ) 仁扩。荣出 = ( 1 一”2 ) 7 r c o s h ( 7 r k 2 ) + 2 e 一”2 2c o s h ( t r k 2 ) ( 24 3 ) 掷) = 仁一。砒z 如 一撕c o s h 2 ) 锄2 ( 1 + k 2 ) 器江4 4 ) 我们可以证明连续谱的正交性。连续谱和分立谱的正交性可以 用同样的方法证明分立谱和分立谱的正交性证明可以直接由函数 的奇偶性得出至此，我们可以给出正交性的总结如下： ，o 。 毋( ：，) 妒( z ，h ) d z = 妒( z ，女) 妒( z ，k 1 ) d z d ( 一1 ) ， ( 2 4 5 ) j o 。j 一。o r ，o 。 妒( z ，k ) 市- ( 。) d z = 妒( z ，) 孑l ( 。) d z = 0 ， ( 2 4 6 ) ，。 妒l ( z ) 币l ( = ) d z = 1 ( 2 4 7 ) j o 。 接下来我们进行关于基矢 奶和仰) 的完备性证明。我们直接 从下面的积分出发 上o 。咖( z ，。) 市( z 7 ，。) 幽2 磊万万1 再可上。幽e 1 订。( k 2 + 2 i k t a n h z ) ( k 2 + 2 i k t a n h z + 2 s e c h 2 。1 ) 2 蕊盯1 厕上。d e e ( i ( z - z o k ( 。4 蚴执a 血z l + 2 k 2 s e c h 2 2 l + 2 i k at a n hz 一4 k 2 t a n hzt a n h 2 l + 4 i k t m d a z s e c h 2 2 1 ) ( 2 4 8 ) 注意到磊1 熙d k e ( 。一) = d ( z z z ) ，以及利用留数定理，我们可以得 蛩i r 毋0 ，) 每( 盈，k ) d k = 6 0 一z 1 ) 一币l ( z ) 巧l ( 动) ( 2 4 9 ) j 0 “ 这个实际上就是我们所求得的完备性关系我们可以看出，要使完 备性关系成立，除了连续谱外，还必须加入两个分立谱。 1 6 2 4 微挽对孤子的彩响 有了上节中构造的正交完铸基矢，我们现在可以饕手解决方程 ( 2 1 8 ) ，并进一步得到微扰引起的一级修正“( ”。首先，我们利用上 节懿基矢褥童1 ( z ，t o ) 穗曰f 1 蹶t 。) 分裂袋开为 p 0 0 a ( 1 ( z ，t o ) = o ( 1 ( t o ，) 妒( 盏) d k + o i l ( o ) 劬l ( z ) ，( 2 ，5 0 ) j 一 ， 嚣( 1 ( z ，t o ) 一“1 o o ，) 毋( z k ) d k + b i l ( o ) 妒l ( 。) ，( 25 1 ) j 一 将( 2 5 0 ) 和( 2 5 1 ) 带入方穰( 2 a s ) ，我稻可