（概率论与数理统计专业论文）随机变量序列的收敛性.pdf

前言 这篇文章从完全收敛性的角度研究了随机变量序列的收敛性，由四部分组成。 第一部分是关于强大数律中著名的p a l e y 不等式的。我们的结果解决了p r u s sf 1 提出 的问题，从而推广了 1 】和y s c h o w 2 1 ，f 3 1 的结果。 第二部分是关于n a 序列的完全收敛性的一个很一般的结果，这个结果推广了4 的 两个主要结果，并且包含了 5 】， 6 1 的主要结果。 第三部分关于n a 随机变量序列重对数律的收敛速度。我们的结果推广了f 7 1 和f 8 的 结果，并且包含了 9 1 ，1 0 1 的结果。 第四部分研究了p 混合序列的对数律的收敛速度，在较弱的矩条件下得到了与独立同 分布情况下几乎一样的结果，并且得到了p 混合序列满足对数律的一个充分条件。 2 致谢 本文是在导师林正炎教授的指导下写成的，在此向尊敬的林老师表示诚挚的谢意，感 谢他两年半来的谆谆教诲； 同时感谢张立新教授和苏中根教授在我两年半的求学生涯中对我的指导。张立新教授 聪明博学，他的很多建议给了我极大的启发，在张老师的亲自指导下，文章的很多部分 得以增色；苏老师平易近人，关心学生，在平时的学习和生活中给了我们莫大的鼓励和 帮助。在此向他们表示诚挚的谢意。 此外，感谢资料室的余老师，王老师，方老师和谢师傅，他们默默无闻的辛勤工作给 我们提供了良好的学习环境。 也要感谢我的同学，如果没有他们的帮助和与他们进行的探讨，我是不可能完成这篇 文章的。 3 摘要 这篇文章主要从完全收敛性的角度研究随机变量序列的收敛性，不仅包括独立同分布 的随机变量序列，还包括不独立的情况，* l - i on a 序列和p 一混合序列。众所周知，独立 随机变量序列是n a 序列或者混合序列的一种特殊情况，n a 序列和p 一混合序列不像 独立序列那样具有良好的性质。但是世界是相互联系的，不同时问，不同地方，不同层 次的事物都具有某种相关性。因此在现实生活中和理论研究中碰到的更多的是不独立的 情形，研究非独立的随机变量序列有着深刻的理论和现实意义。完全收敛性的概念是许 宝禄和r o b b i n s 1 1 1 于1 9 4 7 年提出：对于均值为0 ，方差为1 的独立同分布的随机变量 序列和任意e 0 ，我们有 ；p 舡一，+ 阻) 妻， x ，五。：n 1 ) 是独立同分布的随机变量， e x = 0 ，则存在常数 a m 0 ，口m 0 ，使得 一 n ”2 p ( m 。a x ，| 5 _ f | - t c t ) 山4 e i x l 9 + ( e x 2 ) 器】， ( o1 ) l一。 。 一 1 + 一2 p ( i s 。i n “) 易，。 e i x i + ( e x 2 ) ：昔】 ( o2 ) 这个结果是对经典的大数定律和完全收敛性的极大加强，丰富了概率极限理论的宝库。 p r u s s 【1 1 1 也讨论了类似的问题，得到了下列结果 对独立同分布的均值为0 的随机变量序列 x ，j ，n ：n 1 ) ，存在不依赖于x ，a ，n 的绝 对常数0 0 ( o 3 ) l 这个结果加强了y s c h o w 等的一类结果，得到了更精确的结论。然而，没有考虑分 数矩和高阶矩的情形。众所周知，在理论研究和实际应用中更多的是这两种情况。第一 章的结果推广了p r u s s 的结果，考虑了更一般的情况，即，在分数矩和高阶矩的情况下推 广了p r u s s 的结果，得到了下面的定理； 命题1 ：设 x ，：n 1 为零均值的i i d rvs ，p 2 ， 0 令y = x i ! ) 则 黯 r y 一 目+ p y a 日 护 瓯 o 一 & 学 p， 耐 时 一 当 当。；时 差俨。2 n)暖。ei要ip(1&l a n e i ；- i 一+ ( e i ；却i 豺 ； n “2 。) 暖， p + 2 ) g ；三 ； “2 l 当； 1 ， 墨州z ，n n ) 是独立的实值随机变量阵列，则 j n 0 ，p ( j ：x 舶l e ) = o ( n “) ，n - - 4 - o o ，v e 0 ，( 0 4 ) k 2 9 ( r - 1 )m ，o , x p “ f2e ) 0 ， ( o5 ) 成立，当且仅当 蚤2 i 0 - 1 ) ：。m 9 a x 。p “莩刮e ) 0 , ( 0 + 6 ) 以及在( x n 非对称时 s u p p “五磕l ) - 0 ，v e 0 ，礼_ o 。( o 7 ) 我们把这个结果推广到了n a 的情形，获得了更加一般的结论，并且把 4 中的一个结果 推广到了n a 的场合，条件几乎不变。结论如下： 命题2 ：设 ：7 , 21 ，1 茎茎n ) 是n a 阵列，t ( x ) 是z 矗。时的缓变函数，r 1 定 义 巩= e ( 蜀k 。1 1 ) ) 2 1 女 “ 5 假如 a ，。= j f ( j 厶f 凰，刖) 1 ， n ( ) = p ( i 五珠l e ) 1 l 矿。2 坳删蛳m a 扎xi 篆陋) 姐- ( o 1 2 ) 反之，若( 0 1 2 ) ，( o 1 0 ) 成立，则( o 1 1 ) 也成立。 第三章研究了n a 序列重对数律的收敛速度。重对数律是概率极限理论中极为精细的 结果，其收敛速度的研究一直为许多学者所重视。 7 】， 8 研究了独立同分布随机变量 序列重对数律的收敛速度；f 9 1 研究了n a 随机变量序列的对数律的收敛速度； 1 4 研究 了b 值独立同分布随机变量的收敛速度；f 1 0 1 研究了b 值随机变量序列收敛速度的一般 形式 【7 证明了对于实值独立同分布的随机变量序列 x ，n21 ) ，若e x = 0 ，e x 2 = 1 ， 并且e x 2 l o g l o g x l 0 ， 至志p ( 跏s u p 1 0 9 i 。1 0 k 驴l 1 托) 姐 8 证明了对于独立同分布的随机变量序列 x ，矗，n l ， e x = 0 ，e x 2 = d 2 ，若 酗2 舞黯 删v a ， 。 l 2 1 o 。 至c o 元1 p 霉而墨驴到 0 ，上面3 个有一个成立，则其余的2 个也成立，并且 曰x = 。、e i x 2 菇器 可v 0 ，妒( 。) 0 是x 0 上有定义的b o r e l 可测函数，且满足 ( a ) 掣高 。 ( a 1 1 ( b ) 且存在5 0 ，使得v 0 ，h ( x ) 5 h ( 2 x ) h - l ( 。) = i n ( h ( z ) ) ，皿 ) 2 上坤( ) 疵， r o 满足南4 0 ，且v “ o ，存在 c 1 ) 0 ，仍( o ) 0 ，c 1 皿( 1 扛) ) ( 日一1 ( n z ) ) c 2 q y ( h 。( z ) ) ，v x 0 ( c ) 蒜币南- + o , n - - 4 o 。； ( 。) 争蜘时( 南) ) 0 ，且j g ，岛 0 ，使得 g l 哗c 2 ， o 命题3 a ：设 x ，墨，n 1 ) 是同分布的n a 序列，( a ) ，( b ) ，( c ) ，( d ) 成立，且 e ( ( h1 ( i x l ) ) ) 0 ，当 m 时， 耋蜘) e x p 一而面酾e 2 h z 厕( n ) ) 0 ，使得e o 时 妒( n ) p ( | 品l e ( n ) ) o ( 3 ， n = 1 妒m ) p ( m a x i s ! k 怪日( n ) ) 。 n = 1 一 蜘) p ( 燃恻出( n ) ) 0 ，使得 妒( n ) p 麟j 黠t2 s o h ( n ) ) m a x ( 2 - 菇斋) ，使得z 删十卵一1 p i ( 2 “) 。 假如e x 2 ( l ( i x l ) ) ”一1 0 ，有 p ( 酬e n 工。( n ) ) 。， n 1 “ ：p ( 1 m 。剐a x 瓯i 三“( n ) ) ( 2 ，；丽2 + 1 ) ，使得轰p 艳俅o o ，j l e x 2 l n ( i x l ) 0 ，有 l o ，g ，n p ( i 晶l e i 1 工。( n ) ) 。 8 f o 1 4 1 反之，若p ( 2 ”) d _ i a x ( 2 ，夏南) ，使得 p ；( 2 “) 0 ，有 e 志 一 瓯 瑟 n 一 堕n m a b s t r a c t t h i sp a p e rd i s c u s s e sf r o mt h ep o i n to fc o m p l e t ec o n v e r g e n c et h ec o n v e r g e n c e o fr a n d o ms e q o e n c e sw h i c h ；n c l u d eb o t h ii d a n dd e p e n d e n tc a s es u c ha sn as e q u e n c e sa n d ) - - m i x i n gs e q u e n c e s a si sw e i ik n o w nt h a ti i dr a n d o ms e q u e n c e sa r es p e c i a lc a s e so fn a s e q u e n c e so rp - - m i x i n g s e q u e n c e sw h i c hh a v en o tp r o p e r t i e sa sg o o da si i dr a n d o ms e q u e n c e s ，b u ta l it h i n g si no urw o r l d a r ec o n n e c t e do n ew i t ha n o t h e r s o j tj sv e r ym e a n i n d c ujt os t u d yd e p e n d e n tr a n d o ms e q u e n c e sf o r t h er e a s o nt h a tw ea r em o r ep o s s i b l et oe n c o u n t erd e p e n d e n tc a s e st h a ni idc a s e s t h ec o n c e p to fc o m p l e t ec o n v e r g e n c ew a si n t r o d u c e db yp l h s ua n dr o b b i n sf 儿1 i n1 9 4 7 ：f o r a r b i t r a r ye 0 a n di ，idr a n d o mv a r i a b l e sw i t hm e a nz e r oa n dv a r i a n c e1 ，w eh a v e 车p 曲x - + 叶蚓e ) 妄， x ，五l ：n 1 ) b ei i ，dr a n d o ms e q u e n c e sw i t hm e a nz er o ，t h e n 军o o p 学靴铲) 侧目畔+ ( e x 2 ) 皑j 1 + 量n p n - e p ( 1 j 。n ) 岛，。 e l x l 9 + ( e x 2 ) 等三 l ( 01 ) ( 0 2 ) w h e r ea 0 耳，q 0a r ea b s o l u t ec o n s t a n t s p r u s s 【1 d i s c u s s e dt h es a m ep r o b l e m ，p r o v i n g t h a tf o r idr a n d o ms e q u e n c e sf x ，：l w i t hm e a oz e r o ，t h ef o l l o w i n gh o l d st r u e ： ( o 3 ) w h e r e0 ji f d l ，t h e n 争。p ( 塔恻孙铘i 札( 醑) 躺 1 0 0v 一 x r 叫 2 xf 2 入 岛 一 & p 。 一 x 2 x曰 2一 凸 i f n ；t h e n f ； 0 ，p ( 1 划e ) = o ( n “) ，n - + o 。，v e 0 k 讲2 i ( r - 1 ) m 州a x2 。莩尸( i x k ih ) 0 ，n o o e 1 1 f ( ) 7 1 w e g e n e r a l i z et h er e s u l tt on a s e q u e n c e s a n da l s o ，am a i nr e s u l ti n 4 1t on a s e q u e n c ew i t h o u t c h a n g i n gt h eo r i g i n a lc o n d i t i o n sm u c h o u rr e s u l ti sa sf o l l o w s ： p r o p o s i t i o n2 ：l e tf n k ：礼1 ，l 南兰n ) b en a s e q u e n c e 1 ( z ) b eas l o w v a r y i n gf u n c t i o n w h e n 。_ o 。、r 1 d e f i n et h ef o l l o w i n gs y m b o l s ： 风= e ( 厶l x 。) 2 l k “ h = i e ( x , 。j i ( i x 。，s 1 ) ) 1 _ 1 1 0 ，圹2 f ( n ) p ( i x n d ) 1 ( 0 8 ) ( 0 9 ) ( 0 1 0 ) ( 0 1 1 ) x , i l e ) o o ( o 1 2 ) 1 ； k 韶5 朗”5 i“ ，n ) ，i f e x 扎e x p r o v e d t h a t f o rt e av a l u e d idr a n d o ms e q u e n c e 1 2 ：l f 7 1 i i t 爿，直n ，n2 ，ti t = u ， 二1 a n de x 2 l o g l o g l x l 0 ， 量丽1p ( s 呦u p 州i s 。k 驴l 1 刊 ) 0 ，。n eo ft h ea b o v et h r e eh o l d st r u e t h e n t h eo t h e rt w od 。a n d e x = o ， e 2 面l g o g l o g i x l x l t ， - - o nt 一a n ds a t i s f yt h ef ollowia“gssume h ( x 00b es o m eb o r e lf u n c t i o nd e f i n e d u ) ，妒( z ) o nt 引旧“引y “佗”5 ( a ) 掣南 ( a 1 )h ( ) t o 。t h e r ee x i s t ss 。m e6 0 w h i c hv z 0 ，日扛) 6 日( 2 z ) ： ( b ) l e th 一1 ( 。) = 劬( 日( 砒( z ) = o t 妒( t ) d t 毗“而彳兰玎而 o 3 n d s u p p ”t h a t f o v n o t h e r ee x i s tm 。a b s o l u t ec o n s t a n t sc l ( o ) 0 ，晚( o ) 0 w i t ht h ef o l l o w i n gh o l d i n gt r u e c 1t p ( h1 ( 。) ) 0 ； n 21 ( c ) 百丽可f 瓣 ( d ) ( e ) 主搠巾_ 2 ( 一( 南) ) 0w h e r eci ss o m ea b s 。i u t ep 0 5 i “。8c 。“5 3 n ，。“d g 。帮s 刚。0 w h e r e ( 7 1 a n 6 3 q a ：翟；r x et w k o a n b s o i u t l ec o n s t a n t s d i s t r i b u t e d pn a s e q u e n c e s ，( a ) ( b ) ，( c ) ，( d ) r o p o s i t i o n l e t x ，j h ，儿1 b ei d e n t i c a l l y n h 5 。q “引。文l 九，u ，、。力、v h o l d a n d e ( 皿( 日1 ( i x l ) ) ) 0 ，w h e n e m 妒( n ) e x p 一日2 m ) r , ( 1 + e x 2 i ( i x i _ h ( n ) 历 ) 0 ，w h e n e o 妒( n ) 尸( i s 。f s h ( r z ) ) o 。， n = 1 妒( n ) p ( 豫l 跗i 盯( n ) ) o 。 妒( 札) p ( 髂i & i e 日( n ) ) 0 w e s e l e c t o o w es u p p o s ea i s o t h a t t h e r e e 嫡t 5 ” m a 。( 2 ，西音j ) p ；( 2 “) 。 f e x 2 ( 三“x i ) ) ”_ 1 0 w eh a v e 羞翱晶阻1 脚a ) ) o 。， 轰氟瑟恻扛1 c * ( 训 1 p ( i s , 。i n j l 驴( r 。) ) 1 轰l o 。g n p ( 燃i i l 3 9 u x & l 狰心1 l 俐 。 f 0 1 4 ) 0 nt h ec o n t r a r y , i fw eh a v e p ( 2 “) m a x ( 2 ，j 五南) ， t h e nv e 0 w eh a v e p ；( 2 “) 0 。定义 量扩_ 2 p ( 髂i 最i 胪) 氯，吲争十( 目l 抑躺 当“ i 1 时 妻删p(is,i舻)以，ei姜-i，+(el姜-it,p p ( i s , , i e i 专i ( r i l l 2 ) 黯 ； ”2 a 扩) 暖，p 9 +2 ) 荔 ； 当互1 n 1 则 f ( a ) d a o ，p 。= 圭p “晶一氟l 0 ， 引理1 - 3 ( 【1 b 】) ：1 ，2 ，岛是独立同分布的，零均值，方差有限的随机变量序列，假设 l m ，女= 1 ，2 ，n 。则对任何的实数z ， p ln 】ji 1 + 岛+ + f m l z ) 2m a x e x p ( 一。2 4 b ) ，e x p ( 一x 4 m ) ， 1 k ! 其中b = e 皆+ - - + e 器。 在以下的行文中，p 和吠，表示任何只依赖于o ，p 的常数。 ( 1 2 ) 的证明： 事实上，只需要证明 妻n p a - 2 p ( i s , , i k n 舵e i 弘 。) g ，p e ”， 0 0 r t p a - 2 p 。)，(ei姜-ip(is,da n ( e i 妥1 2 ) 器 。) ，p2 ) 萧 n = l 1 7 ( 15 ) ( 1 6 ) p g 。岸 胆 ， o j 1 。4 - c = 2 咖。 n a p 。2 p “品 a n “) 墨圈： 2 p a p n o p1 护 注意到曲1 ，由引理1 1 ，我们得到 ；n a p - 1 p ( i x i 2 c a n “) n = 1 c 。, v e l 避掣 ：g ，圳半1 9 ( b ) 碌q 磐 i 1 1 e l x l 吲w 。自( 02 ) ，剐怖1 e 一。2 p ( i s i 舻) 一l + e i 安p 令 i n f i x ( 1 ，( 薏) 1 ，我们得到咙。妒1 。从而孕e l 妄1 9 l 。从而我们有 暑n a p - 2 p n a p - 2 p ( i s 。l a n 轮譬j a , p e i 争 譬刮华r 。) 下e i 寸 = 铲e i 半r 至此我们已经证明了 其中c = 2 西 0 。 下面证明 妻n a p2 p ( i s i 孙n ) 舛挚掣l 孙猿护l 挚掣f f 1 7 ) ( 1 8 ) 一 s p 2一 p d 脚 一 s p 2 印 定义( c ) = e l x l i ( i x l ! ， 1 。 ( 1 ) n 果咖( c ) ：咖( 1 ) ，由( 17 ) ，我彳1 得 4 o o n ”_ 2 p ( 蚓脯) g , v a - v 绯) 2 ；c a , v a - p 们) n ”_ 2 p “& l a n 。) g咖( c ) 2 ； 咖( 1 ) n = l ( 2 ) n 果妒( c ) ：咖( 1 ) ，令z ：x i ( a ! x i ! 。 ) 。月1 】 注意到 从而 于是 ( 1 6 ) 的证明： 我们只需证明 e i z l 一= f d t v d p ( r x 抄扣 e l z l 9 扩胪p ( i x l ) ( 1 ) 2 e i z l 9s2 矽胪p ( i x ) 扣) 咖( 1 ) 0 。由( 0 2 ) ，我们得到 ( 1 9 ) n r 2 p ( 1 & l 铲) 咙p e i x l 2 ”一1 胆“一1 n = 1 半( e y 2 ) ( ”1 ) ( 2 “) + ! 警( e y 2 ) ( 。p 一1 ) ( 2 a 1 ) 一1 ( 1 1 ( ) ) 如果- ( e y 2 ) 舞1 ，由( 11 0 ) 刎譬( e y 2 ) ( a p - 1 ) ，( 2 1 s p 2 p 一 脚 否则，e y 2 ( j ) ( 2 a1 ) _ 1 ) 由( 15 ) ，注意到p 2 ，我们得到 v q ，p n 。，2 p ( f 品f n 。) 2 ，f f y f g ，p ( e i y l 2 ) ”7 2 ：，p ( el y 2 ) ( 一1 ) ( 2 a - i ) ( e w l 2 ) i - p + 2 ) ( 2 ( 2 “一1 ) ) g ，p ( ( 嘉) ( 2 n _ 1 ) 脚叫) ( 叫2 ) ( 2 ( 2 “) ( e 阶) 叫。2 1 = ，p ( e i y l 2 ) ( 一1 ) ( 2 。一“ ( 1 1 ) 的证明 如果e l x l p = o 。，结论显然成立。于是假设e l x l 9 0 0 。定义 酢= x k i ( i x l ! ) ， z k = x r 一耽= x f l ( i x 1 1 ) 死 巩 n 圪 k = l 玩 = 1 南= e x 2 ， 如= e l x l 9 ， 从而， 甄) 和 邑) 是独立同分布的：令z 与玩具有相同的分布。 ( 1 ) 如果e y 2 袅且s l y i ”袅，则由( o 1 ) ， 圣o o 扩2 p 学恻孙。) 吲札( e 静”i ) m 叫】 = q ， 鲁十( 是) - 1 ) ( 2 ”1 】 2 p + 2 ey 2 叶2 e l 渺咿1 ) r 1 ) 吲争+ ( e i 姜- 1 2 ) “) ( 2 ”j j 】 ( 2 ) 假设e y z 刍或者e 吲一 刍 ( 2 a ) 如果 等d - 和膨鲥，剐佛4 9 p 十2 d 1 南a 2 。从而 p ( i v l 刈譬 熹5 南 去，掣簪- 拳 ( 2b ) 如果e i y i ” 害斋，由g 不等式，我们得到 e i x i = e l y + z p 2 p1 ( el y p + e i z i p ) 一712：骅ely陛elzl”茎妒22+22 p l 1 1 l 一一。 因此 p ( i y i ) 可e i y i p 熹；，e i y i = e l y l 咿r 一卜”e l y l ，； 由( 2 a ) ，( 2b ) ，我们得到，在任何情况下， p ( i y i a ) 茎；1 ，e t y l ； 注意到n 1 ，我们有l e l 墨n i e y l 7 , x n “。 由g 不等式和h s i d e r 不等式，我们得到e l y e y i p 茎2 p _ 1 ( e i y l 9 + l e y l 9 ) 2 p e i y l 9 记 a n o ) 0 ( - 9_ 。o 1 曼扩2 p ( 髂吲扣。) + 一。2 p ( 燃扣“，搭蚓加。) s 争“p 学阱咧扣。) 由( o1 ) 我们得到 2 p ( 燃i 巩1 ；脯，燃侧 f 1 1 1 1 薹铲。2 p ( 学肾巩 面5 加。) 引箭刮错1 2 产州) ( 2 酬 删i g p + ( e l 姜1 2 ) ( 叫伽_ 1 】 ( 1 1 2 ) ； 铲，觜l 鼠l 2a n 。) 的估计，首先定义正整数集。如下 o = k 茎mi x k f a ) ；我们可以得到 p ( 谢2 ；肘，燃矧舻) p ( o = a ) p ( i 鼍m x l u l l ；肘i 。= 4 ) 0 1 3 ) a 2 【n 0 一 & 学 印 一 脚 印 脚 巩 警匝女 p 2 婶 于对 其中2 i n 表示 1 ，2 ，n ) 的所有子集。定义v = n c a r d ( a ) ，则我们得到 p ( 豫扣“i o = a ) = p 学旧+ 州舱扣n ) ( 1 1 4 ) 其中f ，矗是独立同分布的， 很明显，由i e z l i ：i e y l l 0 ，p ( 1 t ) = p ( x 1 t i x 1 i a ) 。 我们得到 驯：i e m 腓舻i ( i x t i 垆掣 1 6 a 于是 p 锣1 i k 矧j 1 肘) p 锣l 驴j 1 脯) ， 1 1 5 其中i ：f 1 一e l 。注意到l f l l 1 6 和e 憾产i 十i e l 0 1 一 糨警 p 既 叩 脚 令 圪。1 一e k ， z k ：z k e z k = ， n 玩= 反， n 其中( k ) 和t 邑) 如前定义。则我们可以记 至扩”2 尸嚣蚓独。) 茎n f ：l 一。2 p ( m k k _ 州n j 少1 讣争蚪p ( 嚣嘲2 批叮 ( 1 1 8 ) 显然，由( o 1 ) 我们有 三一。2 p 嚣j 却s 瓯娴札( 矧静删，( 1 1 9 ) 銎在我们估计o a s ) 式的第二项。不失一般性，我们考虑较大的a 。 n 。= ( ( ；) 击 很明显，e z 2 口2 ，i z fs2 a 。由引理1 3 ，我们得到对于n ，吣， p ( g t 警l g i2 ；加。) 2 m a x b ( 蒜扣x p ( - r h a q - ) j = 2 。p ( - ，a 。1 2 2 a - 1 ) f 1 2 0 ) 对任何实数n 和正的6 ，c ，我们得到当a 足够大的时候 ”x a e x p ( - - c ：t b ) 如s 杀俨6 + l 。x p ( 一叫( 1 2 1 ) 等82 三- ；2 如= 2 a l ，c 。( 乞 ) 2 和a = 。当 足够大的时候，由条件( 1 3 ) ， ( 1 2 1 ) 意味着 铆 9 一”“带i 。j 。：e 。+ 。n a p 2 p ( m 。! a 。xi g i ； n 。) 由( 12 0 ) 和( 1 3 ) 掣州n n p 2e x p ( ( 窘胪。1 ) 茎瓦6 4 o 2 ( a ) 2 吣叫，( 1 刊c x p ( 一( 扣；) 掣) = 五鲁( 妒”酬( 1 刊唧( 一三1 6 f 鱼) 2 n m 刊) 未备( 护州1 。叱x p 一( 羔) 1 定义 b 。= e ( k i ) 2 ， 1 k “ a 。= i e ( x , 一j l i i x 。，1 ) ) l ， l 三，茎“ ( ) = p ( i x n k l e ) 假如 | d 0 ，b 。= 0 ( n 一6 ) ，_ o 。 n - - + 0 ，n + o 。， v e 0 ，( e ) 斗0 ，n - 40 ， ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 23 ) 则 v e 0 ，r v - 2 1 ( n ) p “ i2e ) 11 k 0 ，使得 n , - - 2 1 ( r 1 ) 曰： 1 ，b 。，k ，l ( x ) 如定理1 定义。 把条件( 2 4 ) 换成 垤 o ，蓦2 “”u ? ( 2 ”。墨基。l 羡k 。刚m | 卫) 】 l 2 “”2 j 2 j 躲毋p ( 。瑟j 。萎阻) 。 、。 一一l 0 ，0 1 ) n 1 一 对a ，由条件( 2 2 ) ，( 2 3 ) 知 n 1 1 ) k 1 _ + 0 n - + 但7 从而只需证明 j 2 羞扩2 j ( r 妒m 唧a x 。篆。( x 黝一e 碟抡e ) e ) z p ( 豫i 础一e x 邬卅击唧卜症【1 + 孤+ 静) = e + f 其中n ，待定，且碟 先考虑f 式： b n e ( x 一e 碟) 2 。 k 1 ) ) + e ( ，& 。 1 ) ( 2 9 n m + 0 e 碟 k k蜓“ 学学 p p 2 2 ， ， b 噬吼 m a x ( r 一1 ，d ) ，得到口争：。( 旷p - ) 。 令0 o ，r 1 时成立着 d u l o 1 ) l n 三】r 墨” 1 ) 一o ，n _ o o 从而，当n 充分大时，成立着 e 2 羡刚删一e x 黝 n ) 2 乏剐础l 百a ) s2 羡硎l ；) ln 兰1 由( 21 0 ) 及( 21 1 ) 式，可以知道( 28 ) 式成立。 再证( 2 3 ) ，( 25 ) 式可以推出( 24 ) 式成立。 注意自4 。一( z ) 是单调的，对于i x l a 序列 x i ，i 1 ) ，利用n a 的定义可以得到 e ( 丑。，。) ( x 。)