（理论物理专业论文）相场法的准确性与边界曲率的关系研究.pdf

a u t h o r ss i g n a t u r e ： 【l i i ii ii ii ei l lil lu i illiii y 18 9 3 8 0 9 一 s u p e r v i s o r 7 ss i g n a t u r e ： t h e s i sr e v i e w e r1 ： t h e s i sr e v i e w e r2 ： t h e s i sr e v i e w e r3 ： t h e s i sr e v i e w e r4 t h e s i sr e v i e w e r5 ： c h a i r ： ( c o m m i t t e eo fo c o m m i t t e e m a nl ： c o m m i t t e e m a n2 ： c o m m i t t e e m a n3 ： c o m m i t t e e m a n4 c o m m i t t e e m a n5 ： d a t eo fo r a ld e f e n c e ： 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得浙江大学或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者娩仞”十签字嗍驯7 年莎月1 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解浙江大学有权保留并向国家有关部门或机构 送交本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权浙江大学可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位敝储虢局- 】十 签字日期：矽f f 年莎月1 日 导师签名： 磊尜专 签字日期：厶9 i1 年6 月- 日 浙江大学硕士学位论文摘要 摘要 螺旋波的传播常常涉及零流边界的情况，有很多模拟真实系统的模型，它们 的边界都是不规则的。如何准确地构造和求解这类不规则的零流边界，对各种真 实系统的准确模拟和研究都有很重要的意义。 我们可以使用有限差分法，通过定义边界外附加的格点来解决这个问题然 而，这种处理方式一个不太理想的特征就是，同一个格点可能被多次赋值，这个 格点上的值取决于最后更新了哪个邻近格点，而随着时间的变化，不同形状边界 下的格点可能要通过不同的算法来确定另一种常用的方法称为有限元法，这种 方法可以很自然地处理零流边界条件但是在相同格点间距的情况下，使用有限 元法来进行数值模拟要比使用有限差分法更费时，也更难以应用 我们在第二章介绍了一种新的算法，可以在任何几何形状的边界上实现零流 条件。这种称为相场的方法已经成功运用于各种问题中，包括树状凝固( d e n d r i t i c s o l i d i f i c a t i o n ) 、指进现象( v i s c o u sf i n g e r i n g ) 、裂纹扩展( c r a c kp r o p a g a t i o n ) ，囊 泡塌缩( t h et u m b l i n go f v e s i c l e s ) 以及细胞内部动力学( i n t r a c e l l u l a rd y n a m i c s ) 相场法的主要优点首先在于它能自动处理复杂几何结构中的边界问题，通过附加 一个辅助的场，相场法就可以使边界满足零流条件另一个优点是相场法可以应 用于移动的边界。 在第三章和第四章，我们通过对b a r k l e y 模型和f h n 模型的数值模拟，研究 了相场法的准确性和边界曲率的关系我们发现与有限差分法相比较，在曲率为 o ，即边界为一条直线的时候，两者的差别很小而在边界曲率不为0 的情形下， 随着曲率的变化，相场法的准确性对曲率存在一定的依赖关系我们可以说，相 场法的准确性是和边界曲率密切相关的 关键词：相场法，曲率，b a r k l e y 模型，f h n 模型 浙江大学硕士学位论文 目录 a b s t r a c t t h ep r o p a g a t i o no fs p i r a lw a v e so f t e nr e f e r st ot h en o f l u xb o u n d a r yc o n d i t i o n t h e r ea r em a n ym o d e l ss i m u l a t i n gr e a l i s t i cs y s t e m s ，w h o s eb o u n d a r i e sa r ei r r e g u l a r h o wt oc o n s t r u c ta n ds o l v et h e s ei r r e g u l a rn o f l u xb o u n d a r i e se x a c t l yi si m p o r t a n tt o t h es i m u l a t i o na n dt h er e s e a r c ho fv a r i o u sr e a l i s t i cs y s t e m s w ec a nu s ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o dt oo v e r c o m et h i sd i 街c u l t yb yd e f i n i n g a d d i t i o n a le x t e r n a l 鲥dp o i n t s h o w e v e r , t h eu n d e s i r a b l ef e a t u r eo ft h i sa p p r o a c hi s t h a ti ti sp o s s i b l ef o rt h es a m eg r i dc e l lt oh a v ed i f f e r e n tv a l u e sd e p e n d i n go nw h i c h n e i g h b o r i n gc e l li sb e i n gu p d a t e d a n o t h e rc o m m o n l yu s e dt e c h n i q u e ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，i sa b l et oh a n d l e n o f l u xb o u n d a r yc o n d i t i o nn a t u r a l l y h o w e v e r , t h e s em e t h o d sa r eg e n e r a l l ys l o w e r t h a nf i n i t ed i f f e r e n c e sf o re q u i v a l e n t 酣ds p a c i n ga n da r em o r ec u m b e r s o m et o i m p l e m e n t w ei n t r o d u c ean e wm e t h o di nt h ec h a p t e r2w h i c hc a ni m p l e m e n tn o f l u x b o u n d a r yc o n d i t i o ni na r b i t r a r yg e o m e t r i e s t h ea l g o r i t h mc a l l e dp h a s ef i e l dm e t h o d h a sb e e na p p l i e ds u c c e s s f u l l yt oaw i d er a n g eo fp r o b l e m si n c l u d i n gd e n d r i t i c s o l i d i f i c a t i o n ，v i s c o u sf i n g e r i n g ，c r a c kp r o p a g a t i o n ，t h et u m b l i n go fv e s i c l e s a n d i n t r a c e l l u l a rd y n a m i c s t h i sm e t h o dh a st h ec h i e fa d v a n t a g et h a ti ta v o i d st h en e e dt o t r a c kt h ei n t e r f a c ee x p l i c i t l yt oe s t a b l i s h i n gn o f l u xb o u n d a r yc o n d i t i o nb yi n t r o d u c i n g a na u x i l i a r yf i e l dt h a tm a k e st h ei n t e r f a c es p a t i a l l yd i f f u s e w h a t sm o r e ，p h a s ef i e l d m e t h o dc a l lb ee x t e n d e dt om o d e l i n gm o v i n gb o u n d a r i e s i nc h a p t e r3a n dc h a p t e r4 ，w er e s e a r c h e dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ea c c u r a c yo f p h a s ef i e l dm e t h o da n dt h ec u r v a t u r eo fb o u n d a r yb ys i m u l a t i n gt h eb a r k l e ym o d e l a n dt h ef h nm o d e l w h e nt h ec u r v a t u r ei s0 ，w ef o u n dt h a tt h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h e p h a s ef i e l dm e t h o da n dt h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o di sv e r ys m a l l w h e nt h ec u r v a t u r e i sn o t0 ，t h ed i f f e r e n c ei sc o n c e r n e dt ot h ec h a n g eo fc u r v a t u r e t h u s ，w ec a ns a yt h e r e i sac l o s ec o r r e l a t i o nb e t w e e nt h ea c c u r a c yo fp h a s ef i e l dm e t h o da n dt h eb o u n d a r y c u r v a t u r e k e yw o r d s ：p h a s ef i e l dm e t h o d ，c u r v a t u r e ，b a r k l e ym o d e l ，f h n m o d e l i i 浙江大学硕士学位论文目录 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第1 章绪论l 1 1 非线性问题1 1 2 螺旋波的产生2 1 3b a r k l e y 模型与f h n 模型8 1 3 1b a r k l e y 模型8 1 3 2f h n 模型。1 0 1 4 处理边界问题的新方法1 1 1 5 本文计划13 第2 章相场法( p h a s ef i e l dm e t h o d ) 的介绍一l5 2 1 引言15 2 2 相场法的介绍l5 2 3 相场法的应用和零流边界条件的证明1 8 2 4 讨论。2 0 第3 章b a r k l e y 模型下的数值模拟和结果分析2 l 3 1 引言2 1 3 2 数值模拟k 2 1 3 2 1 强激发系统2 3 3 2 2 弱激发系统2 6 3 3 讨论2 8 第4 章f h n 模型下的数值模拟和结果分析3 0 4 1 引言3 0 4 2 数值模拟3 0 4 2 1 强激发系统31 4 2 2 弱激发系统3 3 4 2 3 讨论3 6 第5 章总结3 7 参考文献3 9 致j 射4 2 i i ! t 1 浙江大学硕士学位论文第l 章绪论 第1 章绪论 1 1 非线性问题 自然界存在的相互作用大多是非线性的，线性作用只是非线性作用在一定条 件下的近似非线性互相作用产生形式多样的复杂的非线性现象( 图1 1 ) ，随着 计算机技术的发展与应用，它们的本质逐步被人们所认识，从而形成了一门崭新 的学科一非线性科学 非线性科学是当今科学研究的前沿与热点，涉及到自然科学和社会科学的众 多领域作为非线性科学的研究对象，真实的自然界是一个非线性系统一个非 线性系统和线性系统的最主要的区别在于问题的解是否可以叠加对于一个线性 系统，两个不同原因产生的结果可以简单叠加，因而一个线性系统可以被分解成 许多部分，将各个部分分别解决后重新组合起来，就得到了原问题的解在此前 提下，人们发展了许多有用的计算方法使解决线性问题程式化最有效和常见的 包括拉普拉斯变换和傅里叶变换对于一个非线性系统，在彳般情况下不允许将 问题分成许多部分去研究，然后再简单叠加起来得到原问题的解。不同原因叠加 后会产生新的结果，出现新的性质例如相交( p h a s et r a n s i t i o n ) 、多重性 ( m u l t i p l i c i t y ) 、斑图形成( p a r e mf o r m a t i o n ) 、确定性混沌( d e t e r m i n i s t i cc h a o s ) 等 在数学上，一个线性函数同时满足叠加性和同次性，而一个非线性函数则都 不能满足： l i n e a r b 七协= f 崦七 姚 f c a x ) = a f ( x ) f b 七心季f c 心七 姚 八鳓叭力 ( 1 1 ) 浙江大学硕士学位论文第l 章绪论 图1 1 非线性现象a ：蝴蝶效应b ：分形 1 2 螺旋波的产生 在远离热力学平衡态的各种物理、化学、生物系统中，有时会自发地形成各 种各样的时空有序结构【1 1 ，称之为斑图其中一类斑图是空间上呈现周期有序的 定态结构，如斑马体表的条状斑纹，豹子的点状斑图等。由于a l a n t u r i n g 最早对 此作了预言【2 】，因此，这一类斑图称之为图灵斑图( t u r i n gp a t t e m ) 不过，直到 二十世纪九十年代初，图灵斑图才首次在实验上由欧阳颀等人观察到【3 】另一类 斑图不但空间上呈现周期的结构，而且在时间上呈现周期振荡的行为，这一类称 之为波斑图( w a v ep a t t e r n ) 无论是图灵斑图还是波斑图，它们的形成往往是和 系统本身内在的非线性动力学紧密联系在一起的斑图动力学是非线性科学的一 个重要分支4 1 斑图动力学的核心是非线性动力学理论，而在非线性科学领域里反应扩散系 统中的非线性波( 螺旋波( 图1 2 ) 、回卷波、螺旋波湍流态等) 动力学一直是非 线性交叉学科斑图动力学的一个重要课题 图1 2 数值模拟中的螺旋波 在各种非线性系统的斑图花纹形成中，螺旋波动力学的研究一直是最受人关 注的课题之一这首先在于螺旋波现象的普遍存在性，从流体中的瑞利贝纳尔对 流，到液晶中的伊辛布洛赫相变，从反应扩散系统中的化学波( 图1 3 和图1 4 ) ， 浙江大学硕士学位论文第1 章绪论 到黏性霉菌的自组织( 图1 5 ) ，从心脏中的心电信号( 图1 6 ) ，到卵细胞中钙离 子波都可以看见它的踪迹。 最近的理论与实验研究表明，螺旋波的动力学行为存在跨系统的普适性规 律。研究和掌握这些规律具有很大的潜在应用价值。例如，生理学的实验表明， 在心脏病人中观察到一类心律不齐或心动过速现象，可能是由于心肌电信号出现 螺旋波而引起的。而心颤致死的过程与螺旋心肌电波的失稳有密切关系。怎样把 心脏中的螺旋波电信号消除，是当前心脏病学研究的热点之一它的最后解决有 待于对螺旋波规律的彻底了解 图1 3b e l o u s o v z h a b o t i n s k y 化学反应中螺旋波的形成，取自文献【5 j 阑隅翻翻 图1 4 c o 在p t 表面的催化氧化反应中的螺旋波， 从左往右代表的是时间演化的方向，取白文献1 6 】 浙江大学硕士学位论文 第1 章绪论 图1 5 黏性霉菌系统中的变形虫在聚集过程中所形成的典型的靶波和螺旋波斑图， 取自文献1 7 j 瑁蜘刖俐 o 3 2铂1 2 0 图1 6 心肌组织中所观察到的螺旋波，取自文献1 8 】 螺旋波现象受到关注的另一个重要原因是，组成螺旋波的动力学中心是一个 时空点拓扑缺陷从数学角度看，它是一个奇点，而在奇点附近的足够小区域内 反应扩散方程不再适用怎样处理此类时空缺陷问题，一直是非线性科学家的研 究课题，但是迄今为止还没有找到解决此类问题的有效办法在未来的研究中， 了解这类现象的主要途径还是要依靠物理实验及数值模拟。 反应扩散系统是螺旋波得以产生的最简单的系统之一一个双变量反应扩散 方程的形式为 罢= 三m ，v ) + 见v 2 “ 娶= 加) + d v v z l ， “2 其中甜，1 ，为系统变量，为一个远小于1 的量，等式右边第一项为反应动力学 项，第二项为扩散项8 的存在，是使变量甜，v 的动力学行为有了不同的时间尺 度。 4 浙江大学硕士学位论文第l 章绪论 对于不同的系统，动力学函数f ( u ，v ) 和g ( u ，) 一般是有所不同的。一个系统 的属性，主要由动力学函数f ( u ，v ) 和g ( u ，1 ，) 来共同决定的。具体的讲，在由动力 学变量u 和1 ，构成的相空间中，它们的等值线( n u l l c l i n e s ) f ( u ，v ) = 0 和g ( u ，v ) = 0 相对位置，决定了系统的基本属性。根据等值线f ( u ，1 ，) = 0 和g ( u ，v ) = 0 的相对位 置不同，系统可以展示不同的动力学，比较典型的有可激发系统和时序振荡系统。 可激发系统是指由许许多多具有可激发性的单元( e l e m e n t ) 通过某种耦合作 用( 如扩散耦合，传导耦合) 所构成的空间延展体系。所谓可激发性的元，是指 当外界的刺激大于某一个阈值( t h r e s h o l d ) 时，它突然会有一个很大的响应，反 之当刺激低于该阈值时，它几乎没有什么响应，并且该响应会很快地衰减【9 02 1 。 一些化学反应，如上面所提到的b z 反应、c o 在p t 表面上的催化氧化反应，生 物介质，如心肌细胞、黏菌系统都可以表现出可激发的性质，也是常见的可激发 系统【1 3 1 4 1 我们在后面研究和探讨的都是可激发系统下螺旋波的动力学行为方 程的动力学函数在( 甜，1 ，) 坐标上的图形由图1 7 给出 v 浙江大学硕士学位论文第1 章绪论 设想如果在空间上的某一个局限区域内系统被激发到临界值以上，反应物u 的自 催化效应使其本身的浓度在激发区猛然增加，从而在该区域与和它相邻的区域之 间产生一个很大的浓度梯度。由于扩散效应，反应物“将会扩散到与原激发区相 邻的区域，并将它们拖至临界值以上，使得它们也被激发，这就形成了一个化学 波峰。在波峰的背后，被激发的区域会逐渐弛豫到激发前的状态。从整体上观察， 系统表现为一个孤立波从激发源向外移动。如果激发源处的激发是周期性的，系 统表现为一连串的行波。行波的速度由激发强度和扩散速度决定。因为系统的可 激发性是由变量u 的自催化效应引起的，而变量“与1 ，的相互作用使得系统恢复到 原来的状态，人们称z f 为触发变量( t r i g g e r v a r i a b l e ) ，1 ，为恢复变量( r e c o v e r y v a r i a b l e ) ，不同的可激发系统中的触发变量和恢复变量各不相同。例如神经肌肉 组织( 心肌) 中电信号的传播，触发变量是膜电动势、恢复变量是离子传导率 在黏性霉菌自组织形成的行波中，触发变量是c a m p ，恢复变量是膜感受器。在 宏观世界里，流行病的传播也是行波的形式这时触发变量是病原，恢复变量是 免疫力在字观世界里，螺旋状星系也可以看成是一种行波的自组织现象在这 个过程中触发变量是分子云密度，恢复变量是分子云温度。 在二维系统中，如果激发源是一个点，系统会形成一个环状的化学波向外扩 张，如果这个激发源是周期性的，就可能观察到系列的环状行波，或者叫靶波 ( t a r g e t w a v e ) ( 图1 8 ) 。 ab cd 图1 8 靶波的形成 如果激发源是一条线，系统会形成一个平行线状波波的行进方向与平行 线垂直而对于螺旋波产生的理解，可作这样一个假象实验：首先制造一个线 状波，绕后将线状波从中间切断并抹掉一小段，也就是说在线状波上造两个端 6 浙江大学硕士学位论文 第l 章绪论 点。此时，在远离端点的区域，线波波峰的邻近点受左右两个方向上扩散而来 的触发变量的影响，比较容易受激发，因而波速较快；而在端点区域，由于波 峰附近的点只受到来自一个方向上的触发变量的激发，激发强度相对较弱，因 而波速较慢。于是从整体上看，当波向前移动时，端点的相对位置会有一个滞 后。这个滞后使得线波在端点附近弯曲。由于这种端点效应总是存在的，随着 时间的增长线状波会逐渐演化为螺旋波图1 9 演示了这个过程。 需要说明的是，螺旋波与靶波不同，它不需要一个周期性的激发源，因而它 是自持续的；此外，螺旋波的中心是一个点缺陷，系统所有的动力学行为都受这 个点缺陷行为的左右，怎样描述这个点缺陷的动力学行为是非线性科学中的一个 难题，由于在一个系统中容易制造缺陷而难以消除缺陷，因此研究螺旋波动力学 规律的一个重要目的，就是要寻找消除螺旋波组织中心( 点缺陷) 的有效途径， 这将对心脏病研究产生重要影响。 c b 图1 9 螺旋波的形成 d 浙江大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 3b a r k l e y 模型与f h n 模型 1 3 1b a r l d e y 模型 对于可激发介质中螺旋波的动力学行为，我们可以用b a r k l e y 模型来表述。 b a r k l e y 模型经常被用来定性地模拟一些产生斑图的系统，比如b z 反应 ( b e l o u s o v z h a b o t i n s k yr e a c t i o n ) ，或者其它可以用一个触发变量( t r i g g e rv a r i a b l e ) 和一个恢复变量( r e c o v e r yv a r i a b l e ) 来描述的系统。 b a r k l e y 模型的形式为： ， i o n = v 2 u + f ( u ，v ) ， a f o ，v = 域v 2 u + g ( 蚺 ( o l 这里变量“和v 可以是在假设的化学反应下的化学浓度，或者是生理介质中 的膜电位和电流，f ( u ，v ) 和g ( u ，v ) 代表系统的动力学函数，拉普拉斯算符代表空 间扩散项，选择合适的标度使变量u 的扩散系数为1 ，于是n 就是反应系数的比 率系统的边界满足零流边界条件( n o f l u xb o u n d a r yc o n d i t i o n ) ，即沿着边界的法 线方向变量对坐标的导数为0 。 式( 1 3 ) 表示的双变量模型在可激发系统的学习研究中十分常见 1 5 - 1 9 1 。根据 模拟对象的不同可以选择不同的f 和g 。此外在很多模型的应用中扩散系数n 都 被固定为一常数，如q = 1 ( 对应化学反应系统) ，口，= 0 ( 对应生理介质) 在我们后面的数值模拟中，f ( u ，v ) 和g ( u ，v ) 的具体形式如下： 厂( 州) = 三u ( 1 - u ) f “一业1 ， a ( 1 4 ) g ( u ，) = u v 这里a ，b 和都是常量，1 由于的值非常小，u ( 激发变量) 的动力 学行为要比1 ，( 恢复变量) 演化得快 为了了解模型如何被激发，我们可以考虑系统无扩散时的行为，即考虑系统 如下的动力学行为： 鲁叫) ，瓦o v - g ( 蚺， ( 1 5 ) 浙江大学硕士学位论文第l 章绪论 u ab 图1 1 0 模型在相空间中的动力学行为坐标轴分别代表变量扰和变量v 倒“n ” 形的曲线代表f ( u ，v ) = 0 ，中问的直线代表g ( u ，1 ，) = 0 图中也展示了系统从被激发到 恢复至初始状态在相空间中经历的轨迹。 图1 1 0 展示了动力学函数( 1 3 ) 在( “，1 ，) 坐标上的图形f ( u ，) = 0 的曲线 类似于一个倒“n ”形，g ( u ，1 ，) = 0 在图上是一条直线“n ”形曲线中间的分支 “= 甜。；d 的斜率为a ，截距为b f ( u ，v ) = 0 和g ( u ，) = 0 曲线的交点是系统的一个 固定点( 均匀定态解) 当a 和b 都大于0 时这个固定点是线性稳定的，系统受到 一个小的扰动后会迅速回到它的固定点 但是这样的系统仍然是可激发的。也就是说，系统存在一个阈值，如果初始 的扰动大于这个阐值，系统就不会直接退回到固定点，而是沿着一个更远的路径 演化，最后弛豫到初始位置。在这里阈值由f ( u ，1 ，) = 0 中间的那一段分支决定 当扰动超过阈值，即系统处于甜= 甜。；d 的右侧时，因为很小的缘故，系统很快被 激发到远离固定点的区域，对应于f ( u ，v ) = 0 右侧的分支具体的轨迹如图1 1 0 所示，于是经历一次激发，系统重又回复到原始稳定点的位置，而这种激发能否 成功取决于初始时系统是否被扰动到临界值右侧的区域。 我们用下面的术语描述系统各种可能的状态。如系统靠近固定点，我们就说 它处于静息( q u i e s c e n t ) 态；如果在f ( u ，v ) = 0 右支的附近，则称为激发( e x c i t e d ) 态如果系统靠近g ( u ，y ) = 0 的左支但v 值不在0 附近，则说系统处于恢复 ( r e c o v e r i n g ) 态比起静息态，相空间中的恢复态点要更远离阈值 图1 1 0 中展示的f ( u ，v ) = 0 的倒“n ”形折线并不是完全恰当的，因为 f ( u ，) = 0 的三条支线事实上伸展到了倒“n ”的两个转角之外( 图中虚线所示) 在其它的激发模型里f ( u ，) = 0 并没有这种转角，之所以取f ( u ，1 ，) = 0 为这种特殊 形状，是为了数值模拟的方便快捷，而因为在空间扩展介质中，螺旋波相空间中 的点永远不会靠近这些转角，所以并不影响结果的讨论 现在我们考虑式( 1 3 ) ，它描述的是一个反应扩散系统在大部分情况下，为 了确保波具有足够的激发性能在扩展系统中传播，图1 1 0 中阐释的局部可激发运 动学和空间中临近点的扩散耦合相结合就显得非常的重要这是因为：如果介质 浙江大学硕士学位论文第1 章绪论 中的一些空间格点被激发了( 例如，在f ( u 。v ) = 0 曲线的右半支附近) 而它们附 近的格点还是静息的，扩散行为就会拉着这些静息点在相空间中经过一小段距 离，为了能被激发起来，这个距离必须大于阈值。一旦跃过阈值，这些点也就很 快也变成被激发的了。就这样，激发区域能够延伸到整个介质。但是，被激发的 格点最终会回到静息态，所以介质中没有哪一部分能够一直保持被激发状态，这 样在介质中就形成了波的传播。 强弱激发：对于一个可激发系统来说，强弱激发是一个相对的概念。如果系 统容易被激发，我们称之为强激发，反之则为弱激发对于b a r k l e y 模型，如果 取值固定，是否能被激发取决于初始时的扰动或激励有没有使相空间中的静息点 超出阈值，而因为阈值是由f ( u ，v ) = 0 曲线中间的那条支线决定的，于是系统取 不同的口、b 值就可以对应强激发或者弱激发a 、b 具体的取值和相应的螺旋波 形态如下图所示： a b 一o 图1 1 1b a r k l e y 模型a 、b 相图 一般来说，我们称在虚线右侧螺旋波的激发为强激发，在虚线左侧的为弱激 发。螺旋波绕着中心核( c o r e ) 旋转，强激发的核相对较小，波宽较宽，转动速 度较快 一弱激发的核相对较大，波宽较窄，转动的速度也较慢 1 3 2f h n 模型 f h n ( f i t z h u g h n a g u m o ) 力 程尿型来自于h o d g k i n 和h u x l e y 在19 5 2 年用来解 释大乌贼神经细胞的可激发性以及动作电位的传播所提出的h o d g k i n h u x l e y 方 程由于最初的h o d g k i n - h u x l e y 方程较为复杂( 包括4 个变量，十多个常数) ， 这对于定性分析造成了一定的困难后来，f i t z h u g h 和n a g u m o 在保持原有方程 的一些重要信息情况下，获得了更为简单的数学模型如今，我们所提到的f h n 模型一般具有下面的形式1 2 0 , 2 1 1 ， 1 0 浙江大学硕士学位论文第1 章绪论 li a u = u - - u 3 3 1 ，+ 见v 2 “ l 百 一v + 见v “ ov=u-，irv+6+d，vry e - 2 1 ， ， 6 + v 1 ， ( 1 6 ) 6 和丫是控制变量，l 和f ，是刻画动力学变量u 和v 的时间尺度。 在相图，一u 中，u 的等值线f ( u ，) = u u 3 3 一v = 0 呈现倒“n ”或“s ”的形 状，而1 ，的等值线g ( u ，v ) = l d - - + 万= 0 是呈线性的。对于可激发系统而言，u 等 值线和1 ，等值线会相交于一点，称之为不动点( f i x e dp o i n t ) ，并且该点对微扰是 渐进稳定的上述方程要呈现可激发性的另外一个重要条件是，动力学变量u 和v 在时间尺度上要有很大的区别对于f h n 方程，一般要求i 气换句话说， 相对于1 ，而言，材是个快变量。当系统所受到的刺激强度很小的时候，如图1 1 2 ( a ) 中a 点，该刺激很快的回到稳定点s ；当系统所受到的刺激强度越过某阈值时， 如图1 1 2 ( a ) 中b 点，由于气o ，该刺激很快的会激发到u 等值线的右半分支， 然后沿着该支运动当到达，的最大值时，便又会很快的跳到u 等值线的左半分 支，然后慢慢的回到稳定点s ，完成了一次激发过程在图1 1 2 ( b ) 中给出了动力 学变量u ( 虚线) 和y ( 实线) 在一次激发过程中的随时间变化。 u t a b 图1 1 2 可激发的f h n 模型( a ) v 叫i 相图s 点表示u 等值线和v 等值线的稳定交点a 表示小的扰动，b 表示大的扰动( b ) 完成一次激发过程中u 和v 随时间的变化 1 4 处理边界问题的新方法 我们先介绍两种数值模拟的方法 1 有限差分方法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ) 是计算机数值模拟最早采用的方法， 至今仍被广泛运用该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连 续的求解域。有限差分法以t a y l o r 级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格 节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代 数方程组( 图1 1 3 ) 该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解 法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法 浙江大学硕士学位论文第1 章绪论 对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格 式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影 响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格 式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主 要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际模型的情况和柯朗稳定条件来决 定 图1 1 3 有限差分法 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法其基本 的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和 二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。 通过对时问和空问这几种不同差分格式的组合，可以构造成不同的差分计算格 式 2 有限元方法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 的基础是变分原理和加权余量法，其 基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一 些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其 导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余 量法，将微分方程离散求解( 图1 1 4 ) 采用不同的权函数和插值函数形式，便 构成不同的有限元方法 图1 1 4 有限元法 对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为：( 1 ) 建立积分方程，根据变 分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分 表达式，这是有限元法的出发点( 2 ) 区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际 问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元区域单元划分是 采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点 进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列 出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。( 3 ) 确定单元基函数，根据单 元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单 元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几 何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则( 4 ) 单元分析：将各个单元中的求解 浙江大学硕士学位论文第1 章绪论 函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入积分方程，并 对单元区域进行积分，可获得含有待定系数( 即单元中各节点的参数值) 的代数方 程组，称为单元有限元方程。( 5 ) 总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域 中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。( 6 ) 边界条件 的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件( 狄里克雷边界条件) 、自 然边界条件( 黎曼边界条件) 、混合边界条件( 柯西边界条件) 。对于自然边界条件， 一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按 一定法则对总体有限元方程进行修正满足。( 7 ) 解有限元方程：根据边界条件修正 的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算 方法求解，可求得各节点的函数值 在应用一些模型的时候，我们需要得到比较精确的解，但这些模型的形状可 能是比较复杂的，并且要满足零流边界条件( n o f l u xb o u n d a r yc o n d i t i o n ) 当然， 我们可以使用有限差分法，通过定义边界外附加的格点来解决这个问题。这些格 点的值可以用最方便的方式来决定【2 2 , 2 3 1 。然而，这种处理方式一个不太理想的特 征就是，同一个格点可能被多次赋值，这个格点上的值取决于最后更新了哪个邻 近格点，而随着时间的变化，不同形状边界下的格点可能要通过不同的算法来确 定。另一种常用的方法称为有限元法，这种方法可以很自然地处理零流边界条件 2 4 - 2 6 。但是在相同格点间距的情况下，使用有限元法来进行数值模拟要比使用有 限差分法更费时，也更难以应用。 我们将在此介绍一种新的算法，可以在任何几何形状的边界上实现零流边界 条件这种称为相场( p h a s ef i e l d ) 的方法已经成功运用于各种问题中，包括树状 凝固( d e n d r i t i cs o l i d i f i c a t i o n | 2 7 】) 、指进现象( v i s c o u sf i n g e r i n g t 2 8 1 ) 、裂纹扩展( c r a c k p r o p a g a t i o n l 2 9 , 3 0 】) 、囊泡塌缩( t h et u m b l i n go fv e s i c l e s t 3 1 】) 以及细胞内部动力学 ( i n t r a c e l l u l a rd y n a m i c s 3 2 1 ) 相场法的主要优点在于它能自动处理复杂几何结构 中的边界问题，而且可以应用于移动边界p 3 。 1 5 本文计划 相场法的准确性已经在很多研究和应用中得到证明【3 4 1 ，本文将在第二章对相 场法作一个简明清晰的总结，以方便需要时查询了解作为对相场法准确性研究 的一种补充和扩展，在第三章和第四章分别试验了b a r k l e y 模型和f h n 模型下， 相场法的准确性和边界曲率之间的关系，作为比照的是用有限差分法处理边界问 题的数值模拟结果在第五章对之前的介绍和模拟作一个总结。 虽然相场法的主要优点在于能处理不规则的边界，但是为了数值模拟的方 便，我们选择的边界都是规则的，因为在我们选择的规则边界下，已经可以提供 研究相场法的准确性和边界曲率关系的条件。 我们的数值模拟分两步。 第一步是构造直线的边界，测量波沿着曲率为0 的零流边界传播时，使用相 场法和有限差分法之问的差另9 第二步是构造一个环形介质，在圆环的内外边界都要满足零流边界条件，环 浙江大学硕士学位论文 第1 章绪论 内是一个缺陷，改变缺陷半径，也就相当于改变了内边界的曲率。我们希望了解 的就是通过测定螺旋波绕缺陷旋转的速度，研究用相场法制造零流边界和使用传 统的有限差分法在不同曲率下的差别。 1 4 浙江大学硕士学位论文第2 章相场法的介绍 第2 章相场法的介绍 2 1 引言 在应用一些模型的时候，我们需要得到比较精确的解，但这些模型的形状可 能是比较复杂的，一个简单的例子就是孤立的心脏模型( 图2 1 ) ，它的形状是不 规则的，并且要满足零流边界条件。当然，我们可以使用有限差分法，通过定义 边界外附加的格点来解决这个问题。处理这些格点的值有多种不同的方法然而， 这些处理方式一个不太理想的地方是，同一个格点可能被多次赋值，这个格点上 的值取决于最后更新了哪个邻近格点，而随着时间的变化，不同形状边界下的格 点可能要通过不同的算法来确定另一种常用的方法称为有限元法，这种方法可 以很自然地处理零流边界条件但是在相同格点间距的情况下，使用有限元法来 进行数值模拟要比使用有限差分法更费时，也更难以应用。 图2 1 孤立的心脏模型 我们将在此介绍一种新的方法，它可以在任何几何形状的边界上实现零流条 件这种称为相场的方法已经成功运用于各种问题中，它的主要优点在于能自动 处理复杂几何结构中的边界问题，并且还能应用于移动的边界 2 2 相场法的介绍 所谓相场法，就是一种通过引入一个辅助的场来解决边界问题的数学模型 在使用相场法解决零流边界问题时( 边界可以是不规则的) ，我们引入一个 辅助的场痧，设想一个封闭的区域，我们让在边界里面和外面的各取不