（理论物理专业论文）walecka模型中强子质量和brownrho标度定律.pdf

摘要 近来，在热密介质中强子的性质如何改变这一物理课题引起了广泛的注 意，已有很多文献从实验和理论的各个方面研究了这一课题。研究热密核物 质中强子性质的变化，可以推动我们从高能相对论性重离子碰撞中抽取有价 值的信息，帮助我们透彻理解系统的物态方程和手征相变、q g p 相变等相关课 题。 + 本文首先研究了w a l e c k a 模型( o 卜一i ) 和它的平均场理论，我们计算了 有限温度下w a l e c k a 模型的热力学势，并导出了相关的热力学函数和w a l e c k a 的自洽条件( s c c ) 。运用数值计算方法我们发现在高温度和高化学势下w a 1 e c k a 模型的自洽条件所给出的核子有效质量存在着多重解，而这是和w a l e c k a 模型所描述的核物质在高温和高化学势下存在一个一级相变相联系的。 接着，根据有效拉格朗1 3 量方法，我们用虚时温度场论研究了p n n ，m v v 相互作用，计算了热密介质中矢量介子( | d ，m ) 的有效质量，我们发现在总体 趋势上，矢量介子( p ，m ) 的有效质景随温度和化学势的升高而下降。并且， 在温度和化学势比较高时，由于w a l e c k a 模型的自洽条件所给出的核子质量 存在多重解，p ，m 介子的有效质量也会出现多重解。 最后，利用我们的具体数值结果，我们检验了在这种情况下b r o w n r h o 标度定律的适用范围。 关键词：w 批筷交热密芥质自洽桑，件多重解与- f 相变 强子有效压嗲b r o w n r l l o 标度定律温箩场论 a b s t r a c t k1 l l er e c e n tp a s tt h e r eh a v eb e e nal o to fa t t e m p t sb o t hi nt h e a l i g t l ao ft h e o r ya n d e x p e r i m e n tt ou n r a v e lt h eb e h a v i o u ro f l a 船i n s i d e h o ta n dd e n s en u c l e a rm e d i u m s u c hs t u d i e sa r eo fc a r d i n a li r a p o r t a n e eb o t hi nt h ec o n t e x to fh e a v yi o nc o l i s i o ma n d l l l l c l e a ra s t r o p h y e s i e s t h e s ea p a r t ，u n d e r s t a n d i n go f t h e i r p r o p e r t i e s i n s i d eh o ta n d d e n s eh u e e a rm a t t e rw o u l da l s op a v et h ew a yf o re ) 【a c 血唱v a l u a b l ei n f o r m a t i o n sf r o m t h ev o l i ! i o u ss i g n a l sp r o d u c e di nt h eh i g he r i e l l g yr e l a t i v i s t i ch e a v yi o nc o l l i s i o n sn e e d e d t od e r t e r m i n et h ee q u a t i o no fk l a t e so ft h es y s t e m h e r ew ef o c u sf a s t0 1 1t h es i m p l e 删e c k am o d e l ( q r m i ) a n di t s m e l t 1f i e l d t h e o r y w ec a l c u l a t et h et h e r m o d y m m i ep o t e n t i a lf o rw a l e e k am o d e l 矗w h i c hw e d e v r i v et h eo t h e rt h e r a x x l y n a m i ef u n e t i o ma n dt h es e l f c o n s i s t e n c yc o n d i t i o n ( s c c ) w ef i n dt h a tt h es o l u t i o n so fs c ca r em u l t i p l ea th i g ht p e m t u r ea n dc h e m i c a lp o t e n t i a la n dp r o v et h a tt h em u l t i p l es o l u t i o n so fs c cr e s u l tt i o maf i r s t o r d e rp h a s et r a n s i t o no fn u c l e a rm a t t e ri nt h ew a l e e k am o d e la th i g ht o m p e r a t u r ea n dc h e m i c a lp o t e n t i a l l a t e rw i f l l i nt h ei m g i l l et i m ef o r m a l i s m0 ff i n i t et e m p e r a t u r ef i e l dt h e o r y u s i n gt h e e f f e c t i v el m 乎l g i a p p r o a c h ，w es t u a yt h er e e l e rm e s o n ( i d ，c ，) m a s s e sd e c r e a s e w i t hb o t ht e m p e r a t u r ea n dc h e m i c a lp o t e n t i a lw i t hag e n e r a lt e n d e n c y ，讪i l ed e a rt h e c r i t i c a lp o i n ts e v e r a lv e c t o rh ”舯n ( p ，) m 8 e sd e g e n e r a t ed u et ot h em u l t i p l es o | u t i o n so f t h es c c f i m u y ，u s i i l go u ro o l l c r e t en u m e r i c a ll t s u l t s ，w ec h e e kt h eb r o w n r h os c a l i n g l a w i nt h e 啪e 脚w q r d l - w a l e c k a m o d e lh o ta n dd e m em e d i u m s e l f c o n s i s t e n c yc o n d i t i o n m u l t i p l es o l u f i a a sa n dp h a s et r a n s i t i o n e f f e c t i v e k s e so f h a d m l l sb r o w n r h os c a l i d gl a wf i n i t et e m p e r a t u r ef i e l dt h e o r y 第一章引言 当今，相对论性重离子碰撞实验已成为探索物质微观结构的重要手段。 它的一个首要目的就是研究核物质的状态方程，从而能对核物质的相变有一 个透彻的理解，这是核物理学、天文物理学、宇宙学和粒子物理学共同关心的 重要课题l l 】。现在已有美国布鲁克海汶国家实验室( b n l ) 的交互梯度同步加 速器( a g s ) 和西欧核子研究中心( c e i t n ) 的超级强子同步加速器投入运行，而 b n l 的相对论离子对撞机( 褂c ) 和c e r n 的大型强子对撞机( l h c ) 也将于 2 0 0 0 年5 月和2 0 0 5 年投入运行。 0 1234567 8 b a r y o nd e n s i t yp p o f i g u r e l ：s c h e m a t i c p h a cd i 6 9 r mo f n u c l e a r m a t t e r 我们知道，量子色动力学( o c d ) 是描述强相互作用的非阿贝尔的规范理 论。在实验上，人们可以通过相对论性重离子碰撞把巨大的动能转化为热能， 来研究量子色动力学的微扰真空及其所预言的夸克胶子等离子体( q g p ) 。这 样，我们就可以对q c d 的手征对称自发破缺机制和粒子质量的来源有一个更 为深入的认识。q i 理论预言真空有复杂的内部结构，是由夸克一反夸克凝 聚所形成的海。这个海有能量和质量，并且在它的零点附近有涨落。然而，由 踟 枷 伽 御 。 【口专jn_oae暑 于色禁闭，单独的夸克并不存在。在较低的能量密度下，夸克和胶子被禁闭在 强子( 重子和介子) 中，整个真空是色绝缘体。在相对论性重离子碰撞所产生 的高温条件下，我们期望夸克一反夸克对凝聚被融化，强子解体为自由传播的 夸克和胶子，并且真空变为色导体这就是夸克胶子等离子体相。在如此 高的温度下，还有另外一个相变伴随着q g e 相变，即手征对称性的恢复( 见图 1 ) 。 另一方面，大家认为在宇宙大爆炸后1 0 微秒左右，当整个宇宙的温度约 为1 5 0 2 0 0 m e v 时，会发生夸克物质到强子物质的相变。这种相变和强子物 质到夸物质的相变是相同的相变，不过在方向上是相反的，是对高温物质冷 却而产生的，如相图( 图1 ) 所示。宇宙学感兴趣的课题之一就是考察q c p 相 变过程中的核聚合以及相变过程中可能存在的扰动所产生的长期效应。另外 有高重子数密度和非常低的温度的区域对于星体演化的很多方面是很重要 的。并且，核物质的状态方程对中子星塌收和超新星爆发动力学起着决定性 的作用。 2 m 拦( g e v c 2 ) f i g 2 r t e k l e c t r o n 。p t a h c i r 妇( e e g - e ) d i 删n v a r i c a k n t 州m a t i p l i s ss p c i e t c y t r d e n u m j 嘛n p b + a ui n t e r a c t i o n s r t k l v et ot h cc h 吐g e d p t i c k 锄n t i p u c i t yd t n i t v 我们可以看到，在上述研究中，一个非常重要的课题就是研究在有限温度 、 (、。=001)一写号zp)、飞g屯fp，ozp) 和密度条件下强子物质( 核物质) 的性质。只有对强子的性质在热密介质中如 何改变有一个较为透彻的了解，我们才能从高能相对论性重离子碰撞实验中 抽取有价值的信息，从而帮助我们了解手征相变、q g p 相变以及宇宙学中的相 关课题。而这中间一个特别令人感兴趣的问题就是矢量介子的质量在热密环 境中的修正。首先，热密介质中矢量介子的质量【“4 】和热密物质中q c d 的手 征对称性恢复是紧密相连的。例如b r o w n 和r h o 利用有效手征拉氏量和q c d 的标度性，给出了热密介质中一，p ，m 介子及核子的有效质量满足一个近似的 标度定律旧”： 堕。生。堕。堕( 1 1 ) 砜a n 其中标* 号的表示介质中的强子有效质量。另外，q g p 产生的重要信号之一 双轻子产生的增强也和矢量介子的质量有密切联系，如图2 所示，在 p b 和a u 实验中电子一正电子的实验数据相对于已知强子衰变产生的电子一 正电子的叠加( 背景) 有一个明显的增强区域。从图中，我们可以看到矢量介 子的质量对背景的强弱有非常重要的影响【7 8 】。因而，现在有很多文献从不同 方面来研究热密介质中矢量介子的质量2 “。 第二章有限温度场论基础 有限温度场论是关于场的统计热力学理论，它起始于五十年代中后期松 源等人的研究，后经f r a d k i n 推广到相对论量子场情形。八十年代末，b r a t t e n 和p i s s a r s k i 又提出了硬热圈( h i l ) 重求和的方法。在这一章，我们主要讨论有 限温度场论的基础，给出虚时温度场论( r r f ) 和实时温度场论的理论框 架f1 5 , 1 6 , 1 7 。 2 1 虚时温度场论 虚时形式的温度场论的框架是欧氏空间的场论加上场量在虚时方向的周 期性条件。它的建立是因为欧氏空间量子场论与平衡态的统计系综理论有着 深刻的联系和相似性。这一相似的来源是统计平均和场论中的真空平均分别 在统计物理和场论中的相似地位和相似结构。统计物理研究的对象是大量粒 子构成的物理系统，它以系统中微观动力学为基础，应用统计的方法，解释系 统的宏观物理性质。若已知系统的动力学特征，即系统的哈密顿量就可给出 系统的配分函数。利用配分函数可以得到在平衡态下的各种热力学量。在巨 正则系综对一个哈密顿量为j 矽，守恒荷为p 的物理系统，其热力学平衡态由 密度矩阵算符来描述。 d = 专e 印 一p ( 劈一q ) = j 以) ( 以i ， ( 2 1 ) 这里， l 以) 是男和q 的平衡态，芦和_ 8 分别是化学势和温度的倒数。则其 配分函数为 z ：t r 【e p 第帕 ：ld ( ie p 船l ) ( 2 2 ) j 从上式出发，用场论中推导跃迁幅相似的方法得到场的配分函数的泛函积分 形式： z = ( p ) f d e x p ( 一是) ( 2 3 ) 其中n ( g ) 是归一化因子，而 4 s e = ld r i z 玩( ，移) ， ( 2 4 ) 其中二是欧氏场论的拉氏量密度，对比零温场论中场的跃迁振幅： 砜= 町 e 砷( p p 正) ( 2 5 ) 比较二者可得，当作变换： 一一i r ( 2 6 ) 时。( 2 5 ) 式可过渡到( 2 4 ) 式。如果把时间t 扩展到复平面上，可以把零温场 论和虚时温度场论用统一的泛函积分表达式来描述， w = 町蛔( i f 。d t l 毋吐) ， ( 2 ，) c 表示圆路积分，当c 选为实轴上从0 到t 时得零温量子场论，当。选为虚轴 上从0 到一嘏时，就得虚时温度场论。 玻色场满足周期性边界条件： 岛( r ，o ) = 九( r ，p ) ，( 2 8 ) 费米场则满足反周期性边界条件： ，r ，0 ) ：一，( r ，1 9 ) ，( 2 9 ) 虚时温度场论的费曼规则为： 玻色场传播子： 费米场传播子： 内线动量积分： 项点函数： p 2 一m 2 7 p m 上l j 9 幺( 2 ) 3 ，= ( “。+ 芦，p ) = ( 2 ，新带+ 产，p ) p 9 = ( 矗，+ p ，f ) = ( ( 2 n + 1 ) 衙带，p ) 一妒( 2 ”) 3 _ + 、+ ”扩( p 。) 对于上式出现的分立频率的无穷求和，在计算过程中通常用回路积分方法转 变为积分的形式。 2 2 实时温度场论 实时温度场论就是有限温度场论的实时形式，其温度格林函数含有真实 的时间，可以直接用来处理与时间相关的动力学问题，如散射等。实时温度场 论有热场动力学、闭路格林函数等不同的形式。这里我们主要介绍热场动力 在零温场论中，物理量的平均值是真空态的期望值。与此对应t f d 中定 义了热真空态：10 ( p ) ) ，使得任一算符的统计平均是通过热真空态的期望值 得到： = z “凸。l ，l ，元) ， ( 2 1 2 ) 在这里，我们引入了一个与原物理场相对应的虚拟场，叫t i l d e 场，其哈密顿量 用碧表示，本征态用l 矗 表示，有关系： 孑二? 2e h 九( 2 1 3 ) _ l i l ( 1 + e p ( e ( ) 叫t p + ) + i n ( 1 + e p ( f ( ) + ，t + p ) ) ， 一个算符j a 的统计平均值由下式给出： a ：a ：z 1 1 t 缸a e p ( 。一曲一7 7 因此，我们可以计算其它的一些热力学量，例如： 阳= 盥v 一可l 、l a 弘a ，l = 专善( 玑一瓦) 阳2 一可、a “，2 可白l 玑一矶 ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) 这里趵倔微分计算时箭把所有其它的热力学参效和变量崮足，我们口j 以确定 粒子和反粒子占有数： e ( r ，。，p ) a 乏- a l a 2 了j _ i i f l ， 元t = j 五t ( r ，卢，p ) s = b ：t ，- b t ，z 2 j ：j ：i i i i i 赢 利用这些结果，我们可以推导出方程来决定介子场f 1 9 圳。对一个平衡态的系 统，我们应该选择场以使热力学势。稳定。例如，箦：o ，可推出 = 差专善( + 瓦) = 差声j ， ( 4 1 0 ) 这里声，：乒。类似地，矢量场方程变为： k = 老专荟( m 一硇= 老五， y = 矛g , 可i 善矿( m + 五) = m 粤y 台a 其它的热力学函数可以由以下热力学关系给出： 曰：一( 和( r ，哳l 。，p = 一( 争( r ，哳l ， s ：一( 劾( 州帕v ) ) 。，。，p = 一( 知( 州帕v ) l ，c 4 1 2 ) 值得注意的是上面的压强是由热力学势定义的。当然，我们也可以通过流体 静力学的方法来定义，即把压强和一个同样运动的参照系中的压力张量联系 起来： p = 一专铲。 ( 4 1 3 ) 假定一个理论是热力学自洽的，这两种压强的定义所给出的压强应是相同 的【。 利用代换萃一 y w ( 2 ”) 3 j 一和( 4 1 2 ) 式，我们可以得到在实验室坐 标系中的热力学函数： 舻南肛南( m 矗) ， ( 4 1 4 ) 阳= 南p ( m 一硇， ( 4 t s ) 矗= 南j i t 南( m 而) ， ( 4 1 6 ) p = 黟擅+ 南p 肚( m 一硇， ( 4 1 7 ) 猡= 嘉：+ 褰c 肛川2 + 痔2 + 南j 一姬讯) ( n - + 五) ， ( 4 i s ) p = 南j 一蓦c 肼卅卜痔2 一r 南j - 删l l l ( 1 一n k ) l n ( 1 一瓦) ( 4 1 9 ) a = 一南j d 3 l n n t + ( 1 一) l n ( 1 一) + i i l n n k + ( 1 一五) i n ( 1 一五) ，( 4 2 0 ) 其中的y 为自旋一同位旋简并数。在上面的运算中，我们使用式( 4 9 ) 中重子 和反重子的配分函数以及用( 4 1 0 ) 和( 4 1 1 ) 式来消去一些介子场变量，并且 定义了 = 肛争，卢= 芦一嚣( 舶刈瑚)(421)rrt, r , vy 由( 4 1 4 ) 式，我们可以得到 口2 m = m g 尊= m 一号o 。 ， = 肘一羹南肛羔( m 五) ， ( 4 z 2 ) 此即为自洽条件( s e l f c o n s i s t e n t c o n d i t i o n ) ，它决定了对应于任意热力学参数 的声或核子有效肘。 需要注意的是( 4 1 4 ) 一( 4 2 0 ) 式中的热力学函数表达式在任意一个流体 以速率p 运动的参照系都是成立的。我们可以验证在有限温度和密度下的这 些描述是洛仑兹协变与热力学自洽的埘1 。 4 2 相关数值结果 对于一个和流体作同样运动的参照系，我们有b = 0 ，配分函数啦和五 可写成： ( t ，卢) = 1 1 + e ( 。( - ) 一p ) ，r 1 1 + e ( ( i ) + p ) ，r ( 4 2 3 ) f 4 2 4 ) 在这里，作了p 一卢的代换。因而自洽条件( s c c ) ( 4 2 2 ) 式司写为 m = m 一岳= 肘一g s = 肘一蕞南肛南( m ( 嘶) 厩( 嘶) ) ( 4 2 5 ) 另外，利用分部积分法，( 4 1 9 ) 式变5 t 3 p = 貉：一毫( 肘一2 + 喜南m 南( ) ， ( 4 2 6 ) 由( 4 1 2 ) 式，有p = 一号，故 n = 一印= y 【- 耐v2 e + 三2 9 v ( m 一2 一专南心南( k 矗) ， ( a 2 7 ) 为了拟合核物质的平衡态经验特性，耦合常数要取为” c j _ 2 g ：_ 3 5 7 4 ，旷2 西= 2 7 3 8 ( 4 2 8 ) 利用数值方法，我们可以从自洽条件( 4 2 5 ) 式中求出】i f + 对温度和化学势的 依赖圳。 在图1 5 中，我们给出核子有效质量m 的数值结果。从这五幅图中， 我们可以看出在趋势上m 随温度t 和化学势卢的升高而降低，并且当温度 和化学势不太高时，s c c 只有一个解。但是当温度和化学势继续增高时，s c c 会出现三个不同的解。 1 7 m + m m m f i 9 2 6 f i g 3 t ( m e v ) m + i m m m f i g 4 p i g 5 在图1 中，我们画出了当化学势卢：0 时，肼。随温度r 变化趋势。我们发同 当t 位于1 8 5 7 m e v 到1 8 6 6 m “之间时，m + 的值会取三个不同的值，这 点在以前的文献b ，”，”，圳中被完全忽略掉了，因而他们得到的s c c 的解在所有 的参数空间都是唯一的。在图2 中，我们更详细地画出了出现三个解的具体 区域。图3 和图4 给出了化学势：2 0 0 m e v 时m 。对温度r 的依赖关系。 从图3 4 中，我们可以看到同样的情况，不过此时相应的多解区域扩大到 7 m e v 。图5 给出了当t ：1 0 0 m e v 时，肘。对化学势肛的依赖关系，从中我们 也可以发现同样的现象。 为了在物理上对自洽条件s c c 的多重解有个更为深刻的认识，我们可 以计算( 4 2 7 ) 式给出的热力学势表达式的变化。用数值的方法，我们可以给 出n 的具体变化趋势。在图6 中，我们画出了作为肼函数的热力学势在肛 = o 时的等温图，图中从上到下5 条曲线所对应的温度分别为t ：1 8 0 ，1 8 5 ， 1 8 6 ，1 8 6 3 ，1 8 8 m e v 。图6 表明，当温度不太高时，热力学势只有一个极点，但 是当r 增加到1 8 6 m e v 左右时( 图中t = 1 8 6 ，1 8 6 3m e v 时) ，热力学势会出现 三个极点；这三个极点，正好对应着s c c 的三个不同的解。而且，随着温度的 继续升高，热务学势n 又会只有一个极点。为了更清晰地看到这一现象，我 们把热力学势出现三个极点的区域放大后显示在图7 中。在图8 中，根据 w a l e c k a 模型在平均场近似下的热力学函数，我们画出了w a l e c k a 模型所描述 的核物质在t = 1 0 0m e v 时等温相图：p y 图。这个相图极为类似气液相变的 范德瓦尔斯等温线。图6 8 表明由w a l e c k a 模型所描述的核物质在高温高密 下存在一个一级相变，从而导致了s c c 的核子有效质量出现多重解。 f i q 6 m ( m e v ) p ( m e v f m 3 ) f i g 7 m + ( m e v f i g 8 1 p b ( f m 3 ) 第五章矢量介子有效质量和b r o w n r h o 标度定理 在这一章里，我们根据虚时有限温度场论，用有效拉格朗日方法研究了在 热密介质中介量介子的有效质量，并给出具体的数值结果。然后，用我们的结 果检验了b r o w n r h o 标度定性的适用范围。 5 1 预备知识 在介质中，强子的有效质量被定义为其传播子的极点。在闵可夫斯基空 间，矢量介子的自能可以一般性地表示为【1 6 9 = f 胃+ g 晔， ( 5 1 ) 其中片和p 岁分别为标准的纵向和横向投影张量，它们的定义为： 砷= 片= 碑= 0 ， ( 5 2 ) 碑列一警， ( 5 3 ) 芹= 可d k 一矿一片 ( 5 4 ) 而矢量介子的自能与它在自由空间的传播耽) 和完全传播子l 矿的关系为 = ( 够) 一一( 端) 9 ( 5 5 ) 并且有 ( 鳊) ”= ( k 2 一m 2 ) 一旷矿 ( 5 6 ) 将( 5 6 ) 式代入( 5 5 ) 式，利用( 5 2 ) 一( 5 4 ) 式，我们可以得到： ( 够1 ) 9 = 酽+ ( 鲻) 9 = ( f 一女2 ) 彤+ ( g 1 2 ) 彤一m 2 矿 = ( f 一聊硝+ ( g 一瑚片一m 2 ( 警一芹一嘴) = ( ，+ m 2 一聊彤+ ( c + m 2 一片一m 2 管( 5 7 ) 所以，我们可以得到介质中矢量介子的完全传播子的表达式： 鲈= 一南一南一篇s ，鲈一万知一万南一篇 ( 5 8 ) 由( 5 2 ) 一( 5 4 ) 式，可得 p 粤：等一g m p 罗：i k 2 k z ( 5 9 ) 咒= 等一9 0 。一p 呻= 萨 ( 5 9 ) 因而由( 5 1 ) 式，我们有关系： 7 。( k ) = f ( ) p 霉+ g ( k ) p 字= 告f ( k ) ，( 5 1 0 ) 故有 f ( k ) = 面1 ：”( k ) ( 5 1 1 ) 我们知道，矢量介子自能的虚部和矢量介子在介质中的吸收相关联，而实部则 决定矢量介子的有效质量。当取极限七一o 时，我们有f ：g ，则在热密介质 中矢量介子的有效质量由下述方程所决定： 2 一m 2 一r e 1 i m f ( t ) ：0 ( 5 1 2 ) 因此，只需求出矢量介子的自能，由( 5 1 1 ) 和( 5 1 2 ) 式，就可求出矢量介子的 有效质量。 另外，对于无穷求和，我们有公式： 皇瓦 i 而y ：坐晋考型， ( 5 1 3 ) 。幺( n z ) ( n 一) 2y 一 r f ( p o = ( 2 n + 1 ) ，r t i + 户) = 嘉手如仉厂( p o ) i 1 卢t a i l l l ( p 0 - p ) 】 ( 5 1 4 ) 利用它们，我们可以把虚时温度场论中出现的无穷频率求和转换为积分的形 式。 5 21 0 介子的有效质量 5 2 1 p n n 相互作用单圈自能 在这里，我们考虑矢量介子与介质子的核子相互作用而形成的自能。首 先，我们来研究1 0 介子的自能及其有效质量。我们知道，核子一核子。 2 3 介子相互作用( p n n 相互作用) 的拉格朗日密度为： 舅：舯 玑彬( z ) + 嘉觋妒v ( z ) 】， ( 5 1 5 ) 其中矿和妒分别是l d 介子场和核子场。根据有限温度场论的虚时形式，由图 1 ，我们可以得到d 介子的单圈自能表达式 f k1 p n n 相互作用中p 介子的单圈自能圈 醪= z 铂r 。封岛n l ( k ) 其中，p 。，k 满足周期性条件 p o = ( 2 a + 1 ) ，r t i + 弘，= 2 b r t i ， m 为热密介质中核子的质量，并且 c ：砟+ 轰f ， 由( 5 1 4 ) 式，我们可以把( 5 1 6 ) 式中真空贡献和介质贡献分开为 ( 5 1 7 1 f 5 1 8 ) r ( p 0 = ( 2 n + 1 ) ，r t i + 卢) = 一捌：= ：d p 0 ，( p o ) 志 一捌：。)志+2刍f+i”ddpof(p p o ，( 驴n ( 5 1 9 ) 一焘j 。一。南+ p o ，( p 。) ( 5 上式中的第一项和第二项是和温度及化学势相关的介质贡献，最后一项为介 质中的真空贡献，与温度与化学势无关。 一 卉 5 2 2i d 介子自能的x 空贯献 我们先来计算真空贡献。首先我们求出( 5 1 6 ) 式中的求迹在维数为d 时 的表达式。 由于矿= 争，广 ，我们有 n 【l ( ) 卉f ( 一 7 巧_ 拓 n ( + 虫2 m ) ( 7 p + m ) ( x + 蠹。( 一 ) ) ( y ( p 一) + 肘+ ) ) 2 帝= 牙项瓦_ 碍= 矛可一 n 儿 。帝= 矛项百：砰丽 令 p = p 一， ( 5 2 0 ) i l 心= 喇匕( y p + m ) n ( y p + m 。) ) + 叫以( 7 - p + m 。) 去( 一k ) t ( 7 p ，+ m 。) + n 驴i k 一, ( y p + 肘) l ( y p + 肘) ) + n ( 轰) ( 7 m - ) ( 貉小川( y + m ) ) 一t r i 一+ n 一+ t r m ，- + t r l v 户， ( 5 2 1 ) n 1 9 = n ，r 广y | p l p 。+ 广广材” = “d ) p ”+ p 恤一矿。( p p 7 一m 。2 ) ) ，( 5 2 2 ) n 一：嘉嘣，( 仡+ 肼) ( 广，一g l i ) 毛( 砌。+ 肘- ) ) = 2 嘉t h z r ：y p ，k , m 。+ 广广，砌。k , m 一矿y