（应用数学专业论文）拟线性椭圆型方程与h（Ω）空间中的强共振问题.pdf

摘要 本文主要研究了以下三类问题：一、类p - l a p l a c i a n 方程无穷多解的存在 性；二、含临界指数的平均曲率方程的无穷多解；三、日( q ) 空间中的强共振问 题。 对于类p - l a p l a c i a n 方程，我们研究了次临界指数的情况我们证明了方程 在一定条件下方面满足比( p s ) 条件弱的( p s c ) 条件，然后用偶泛函的临界点 证明了方程的无穷多解存在性。 而对含临界指数的平均曲率方程，本文先利用l i o n s 的集中紧原理，证明 了方程对应的泛函j p s 序列极限的奇点只有有限多个，从而证明方程在我们所 讨论的区域内满足紧性条件。然后在运用偶泛函临界点定理证明方程的无穷多 解存在性。对方程的讨论中，我们去掉了对次临界顷，乱) 进行限制的系数a ， 并提出了这时，( z ，“) 需要满足的条件 本文还研究了h ( q ) 空间中的拟线性方程解的存在性问题和强共振问题 本文先讨论了f 2 9 1 所定义的日( q ) 空间中的嵌入定理、嵌入紧性、特征值性质等 问题，建立了日f n ) 空间的架构，然后讨论t h ( t _ 2 ) 中方程解的存在性问题，事实 上我们推广了普通的h j ( n ) 空间中的( a r ) 条件到了比础( q ) 空间大的h t a ) 空 间，最后，我们研究y h ( a ) 空间中的强共振问题，提出了h ( n ) 空间中的强共 振方程的解存在的条件 关键字：( p s ) 条件；( p s c ) 条件；山路引理； 临界指数；强共振 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sm a i n l ys t u d i e dt h r e et o p i c s t h ef i r s t i st h ee x i s t e n c eo f i n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n so ft h ep - l a p l a c i a n l i k ee q u a t i o n s ；t h es e c o n di s i n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n st h ep - m e a nc l n v a t u r ee q u a t i o nw i t hc r i t i c a le x p o n e n t a n dt h et h i r di st h es t r o n gr e s o n a l c ep r o b l e mi n 口m ) s p a c e 1 1 5 1t h ec a n eo fp - l a p l a c i a n l i k ee q u a t i o n s w ec o n s i d e rt h es i t u a t i o no f s u b c r i t i c a le x p o n e n tg r o w t h w ep r o v et h a tt h ee q u a t i o n ss a t i s f yt h e ( p s c ) c o n d i t i o nw h i c hw e a k e rt h a nf p s ) c o n d i t i o nu n d e rs o m ea s s u m p t i o na n dt h e n w eu t i l i z et h ec r i t i c a lp o i n tt h e o r e mo fe v e nf l m c t i o n a lp r o v i n gt h a tt h ee q u a - t i o n sh a v ei n f i n i t ym a n ys o l u t i o n s w h i l cc o n s i d e r i n gt h ei n f i n i t e l y m a n ys o l u t i o n st h ep - m e a nc u r v a t u r e e q u a t i o n s ，w ef i r s ts t a t et h a tt h en u m b e ro fs i n g u l a rp o i n t so ft h el i m i to ft h e p ss e q u e n c eo ft h ef u n c t i o n a lc o r r e s p o n dt ot h ee q u a t i o n si sa tm o s tf i n i t e l y a p p l y i n gt h ec o n c e n t r a t i o nc o m p a c t n e s sp r i n c i p l eo fl i o n s ，s ot h ee q u a t i o n s s a r i s f yt h ec o m p a c t n e s sc o n d i t i o ni nr e g i o nw ed i s c u s s e d t h e nw eu t i l i z et h e c r i t i c a ip o i n tt h e o r e mo fe v e nf u n c t i o n a it op r o v et h a tt h ee q u a t i o n sh a v ei 1 1 一 f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n s i nt h i ss e c t i o n w ea t t e m p tt ot a k eo f ft h ec o e 仟i c i e n t aw h i c hi su s e dt or e s t r i c tt h eg r o w t ho ft h es u b c r i t i c a lt e r mf ( x ，u ) i ns o m e a r t i c l e s ，a n dw es t a t et h ec o n d i t i o no fr f z ，u ) i nt h i ss i t u a t i o n t h i sp a p e ra l s oc o n s i d e re x i s t e n c ep r o b l e ma n ds t r o n gr e s o n a n c ep r o b l e m o fq u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n si nt h ehf q ls p a c e 讹s t a t et h eb a s ep r o b l e m s o fh ( q ) s p a c es u c ha si m b e d d i n gt h e o r e m ，c o m p a c t n e s so fi m b e d d i n ga n d t h ee i g e n v a l u ec h a r a c t e r w ec o n t i n u eo u rs t u d i e db yd i s c u s s i n gt h ee x i s t e n c e o fs o l u t i o n so fe q u a t i o ni nh ( f i ) ，i nf a c t ，w eg e n e r a l i z et h ec l a s s i c a l r ) c o n d i t i o ni n 明( q ) s p a c ew h i c hs m a l l e rt h a nh ( 9 ) s p a c e f i n a l l y , w es t u d y t h es t r o n gr e s o n a n c ee q u a t i o n si nh ( n 1s p a c e ，es t a t et h ec o n d i t i o no f e x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n so fs t r o n gr e s o n a n c ee q u a t i o n s k e yw o r d s( 尸s ) c o n d i t i o n ；( p s g ) c o n d i t i o n ；m o u n t a i np a s sl e m m a ； c r i t i c a le x p o n e n t ； s t r o n gr e s o n a n c e i i 华南理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。 除了文r p 特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写 的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 学位论文版权使用授权书 作者签名： 口期： 年月 e | 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学化论文的规定，同意学校保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华南理t 大 学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论义。 保密口，在午解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密口。 ( 请在以上相应方框内打”4 ”) 作者签名：日期：年月日 导师躲讨一寻嘞州年6 月7 日 第一章绪论 1 1 课题的背景 引起变分法这一分支学科产生的第一个著名变分问题是最速降线问题这 个问题是约翰伯努利( j o h a n nb e r n o u l l i ) 1 6 9 6 年在教师学报上向当时的数 学家公开提出的最速降线的问题是：设0 与a 是高度不同且不在同一铅垂线 上的两定点，如果没有摩擦和空气阻力，一质点在重力作用下从。沿一曲线降 落至a 点，问益线呈何种形状时，质点降落的时间最短 设a 点的坐标是( 。，6 ) ，b 0 质点从原点0 开始运动，则最速降线问题可 归结为求下面泛函的极小值 咖) = ：0 8 等vg 如 j 9 y ( o ) = 0 ，y ( a ) = b ，y c 1 ( o ，a ) 对泛函求极值的问题称为变分问题，使泛函取极值的函数称为变分问题 的解，也称为极值函数或极值点 后来人们在研究研究p o i s s o n g 宁程d i r i c h l e t 问题 一u 2 ，( 。) ，。nf 1 1 1 ) i 嚣= 9 ，z a s2 的解的存在性与唯一性时，提出把方程的求解问题与求相应的泛函的极小函 数等价的方法，l i 1 d i r i c h l e t 原理这种方法被广泛应用于偏微分方程的的求解 问题上，即把微分方程化为相应的泛函，再通过求出泛函的极小函数得到原微 分方程的解这种求解微分方程的方法称为变分法 对于一般的椭圆方程d i r i c h l e t 问题 三“= ，z n( 1 1 2 ) 【“20 ，。a s ! 、 这里q 是r 中的有界开集，及l u 定义为 ( 1 1 3 ) “zc+uz“u 。h + q z j o 。姐 一 1 | ul 2第一章绪论 并满足存在日 0 ，r v 使得对。q 一致有 n ”( z ) 已6 口l 引2 ( 1 14 ) 若一；如、b 4 = 0 、c = 0 ，那么算子埔e 是一而对于一般的椭圆方程 我们往往找不到古典解，因而有必要扩大解所在的空间，下面是弱解的定义 定义1 1 如果存在u 础( 2 ) 对任意v h 8 ( q ) 都有 其中双线性型b u ，”】定义为 b u ，v 】= ( f ，”)( 1 1 5 ) ( 1 1 6 1 那么u 称为方程( 1 1 2 ) 的弱解 前面已经提到，求方程的弱解可归结为求泛函极值点的问题，而求泛函的 极值点与求一般函数的极值类似，就是要先求出泛函在相应空间的一阶导数 为零的点，及泛函的临界点下面引进泛函微分和泛函临界点的定义 定义1 2 设e 是b a n a c h 空间，：e 一g 是e 上的泛函若对u ，妒e ，极 限 l i r a 坐型二垫!f 1 1 7 ) t _ o t 存在，则称，在u 处c & t e a u x 可微，极限( 1 1 7 ) 称为，在u 处( 沿方向妒) 的c a t e a u x 微 分，记为d i ( u ，妒) ，即 叫”) = l 。i m 坠学 ( 1 1 8 ) 即 定义1 3 设e 是b a n a c h 空间，c 1 ( e ，r ) ，如果“e 满足 ，7 ( u 1 = 0 ( ，7 ( ) ，妒) = 0 ，v 妒e ( 1 1 9 ) ( 1 | 1 1 0 ) z 皿 甜 卜 6 。 + kk o 。渊 上 垒 ub 华南理工大学硕士学位论文 3 则称u 为泛函珀q 临界点，对应于临界点u 的值，( “) 称为珀g 临界值 微分方程边值问题的弱解就是相应泛函的临界点；在线性方程的情形其 弱解使相应的泛函取极小值；然而在非线性方程的情形，其相应泛函可能既没 有上界也没有下界如半线性方程 以乙豢p ， 相应的泛函j ( u ) = 矗( 学一譬) d z 在础( q ) 中既无上界，又无上界那么为了 研究非线性方程边值问题解的存在性，需要引入极小极大原理、山路引理等现 代的变分方法应用这些方法之前，一般要先验证泛函，满足p a l a i s s m a l e 弓i 进的( j d s ) 条件 定义1 4 设e 是b a v a d l 空间，c 1 ( e ，r ) ，称，满足p a l a i s s m a l e 条件( 简 称( p s ) 条件) 是指；v “。 ce ，使 则 “。) 必有收敛子列 ( 札。) 有界，7 ( 乱。) 一0 下面是局部( p s ) 条件，称为( p s ) 。条件 定义1 5 设e 是b a n a c h 空间，c 1 ( e ，r ) ，( p s ) 。条件是指：v ) ce ， 使 ，( u 。) 一c ，j 7 ( t h ) 一0 则 u 。 必有收敛子列 1 9 7 3 年，a m b r o s e t t ia 与r a b i n o w i t zp h 得出了山路引理，山路引理形象 的说明，从盆地中心向盆地外部，必有一条道路从周围山脉的最低点越过，这 个最低点就是临界点 定理1 1 ( 山路引理) 设e 是b a n a c h 空间，c 1 ( e ，r ) 满足 ( 1 )r ( o ) = 0 ，存在户 o 使得易岛( o ) 20 = 0 ； ( 2 )存在e e b r ( o ) 使得，( e ) s0 令厂足e 中联结0 与e 的道路的集合，即 f = g c ( o ，1 ，e ) i g ( 0 ) = 0 ，g ( 1 ) = e ) 4 第一章绪论 再记 。2 艄n f m 【0 ，l a x 】哟( 。) ) ( 1 ，1 1 2 ) 那么，c o ，关于c 有临界序列如果，再满足( p s ) 条件，则c 是珀g 临界值 山路引理建立以后，a m b r o s e t t i 和r a b i n o w i t z 解决了一个一直没有得到解 决的半线性椭圆型方程齐次d i r i c h l e t 问题有无非平凡解的问题 r 您o f t = o 蜒n ( 1 1 1 3 ) 其中f ( x ，0 ) = o 对z n 一致成立显然。是上述半线性方程的一个解，称为 平凡解利用山路引理，a m b r o s e t t i 和r a b i n o w i t z 正明了( 1 1 1 3 ) 的非平凡解 存在性而且当，( u ) 是奇函数时，同一问题有无穷多解。要使( 1 1 1 3 ) 有非平 凡解，a m b r o s e t t i 和r a b i n o w i t z 证明非线性项，( z ，u ) 要满足著名的( a 兄) 条件， 即j r 0 、， 2 使得 0 2 ，z n a e 山路引理和各种山路定理建立，大大推动了非线性方程的研究，吸引了不 少数学工作这从事临界点理论的研究，得到了很多很有意义的结果，使临界点 理论及其应用的成果在近2 0 年取得了重大的进展山路引理也被推广到拟线 性椭圆方程齐次d i r i c h l e t 问题的多重解存在性上，这类问题在物理与几何上都 有很多的实际应用 实际中的拟线性方程主要有两类，一类是p 阶l a p ! a c e 算子的非线性方程 一d i v ( 1 d u p - 2 d u ) = ，( 。，札) ，z 2 另一类是p 阶( 广义) 平均曲率算子 一d i v ( ( 1 + l d “1 2 ) g 一1 d u ) = f ( x ，让) ，z q 后来，r a b j n o w i t z 将极大极小原理与拓扑不变量亏格结合，证明了偶泛函 的临界点理论偶泛函的临界点理论主要用来证明一类偶泛函所对应的e u l e r 方 程的无穷多解的存在性 华南理工大学硕士学位论文 5 1 2 本文主要内容 用变分方法讨论椭圆型方程解的存在性需要证明方程满足f p s ) 条件时， 步骤一般都是先证明p s 序列满足有界性( 弱收敛) ，再证明p s 序列强收敛对 于含临界指数的方程问题，往往困难在于证明p s 序列强收敛；而对于渐近线 性的问题，就是对于第一步证明p s 序列有界都有困难，需要另找途径克服本 文循序渐近的分别讨论了次临界增长、临界增长和渐近线性( 强共振) 的情况， 三种情况分别在第二、第三和第四章讨论 上面提到，为了得到( 1 1 1 3 ) 的解的存在性，需要( a r ) 条件成立。对于( 1 4 r ) 条 件的改进，已经在很多文献中研究过，并且把( a r ) 条件推广到了不同的椭圆 型方程中。1 9 9 0 年，文献 1 3 提出了p - l a p l a c i a n ：) b 程( a r ) 条件的改进对于下 面p - l a p l a c i a n 方程 ，、 一 j 一p u = f ( z ，札j ， ze52 ，1n1 、 1 “b = 0 。u 这里的q 是r 中的具有光滑边界a q 的有界区域，一。：屉p - l a p l a c e 算子 使得 - a 口“垒一d i v ( i d u l 9 2 d u ) 文中提出的条件为p o n ( m - p ) 当r n p + p n 时；p o2l 当msp + p n 时 s ，( z ，8 ) 一p f ( x ，8 ) c 1 | 5 i 加一c 2 v ser ，x q a e ( 1 2 2 ) 这里h ( p ，两n p k 得 l ，( z ，s ) l c 3 i s l 一1 c 4( 1 2 3 ) 其中c l ，c 2 ，c 3 ，c 4 o 为常数上面条件成立的话，对于较大的p o ，问题( 1 2 1 ) 就 满足弱于( p s ) 条件的( p s c ) 条件 2 0 0 3 年，文献 1 5 同样研究了问题( 1 2 1 ) ，文中提出了下面的条件 l 溉警= 帆 ( 1 z 4 ) 当p = 2 时，取函数 f ( x ，t ) = 2 t l o g ( 1 + ( 1 2 5 ) 显然( 1 2 5 ) 满足( 1 2 4 ) 但不满足( a r ) 条件，说明( 1 2 5 ) 比( 4 r ) 条件弱。 6第一章绪论 同样是2 0 0 3 - 年，文献 6 研究了p l 阶平均曲率方程 _ d i v ( ( 1 + 胁1 2 ) 学d u ) = m ，u ) ，。n6 1 iu f o a = 0 、7 文中提出了另一个条件 - 3 820 和t 0 ，使得 h ( t ，s ) sc 1 日( 1 ，5 ) + c 2 ， v l x i28 0 ，0 t t o( 1 2 7 ) 其中c l ，c 2 o 是常数，u ( l ，s ) = ：护，( z ，s ) 一f ( 茁，t s ) 。则文中证明了方程( 1 ，2 6 ) 对 应的泛函在此条件下满足( p s c ) 条件。 本文的第二章推广了文献【6 1 的方法，研究了类 p - l a p l a z i a n 方程的无穷多解 存在性，得出了使得方程满足( p s c ) 条件和存在无穷多解所需要满足的条件 临界增长的椭圆边界方程问题，近年来一直受人们关注临界情况的s o b o l e v 嵌入失去了紧性，给研究带来了一定的困难，需要特殊的方法处理1 9 8 3 - 年h b r e z i s 和l n i r e n b e r g 3 0 g 寸l a p l a c e 算子在有界区域进行了深刻的研究 一u2 “2 一1 + a ，z n ( 1 2 8 1 ) 【 20 ，z 扰2 其中2 + = 箍是s o b 0 1 e v 临界指数，qc 砜是光滑有界区域，“( 0 ) 明( q ) 作者对不同的a 的取值进行了分类得到了关于解的存在性的细致的结果：当n 4 时，当且仅当a ( 0 ，a 1 ) 时，( 1 2 8 ) 有一正解，这里a 是一算子在f 2 中齐次d i r i c h l e t 问题的第一特征值；当n = 3 时，( 1 2 8 ) 有正解的充分必要条件是a ( j a l ，a 1 ) 。 这篇论文为以后临界的变分问题提供了一个重要的框架此后，这一问题得到 了广泛的研究，不少数学工作者投入的到此问题中去，使得这一问题得到了很 多推广 1 9 9 8 ：年，1 4 1 的作者研究了这样一个带临界指数的拟线性椭圆方程 - 曲拦0 l 娑豢蚝q z 剐 l“= ， z a f 2 、 qc 豫”是光滑有界区域，文中对方程( 1 2 9 ) 的无穷多解存在性作了研究，文 中结合亏格的性质和c l a r k l 毫理 3 2 ，在一定的条件下证明了方程( 1 2 9 ) 的无穷 多解存在性 2 0 0 3 , 午，【3 1 的作者在其博士论文中把【1 4 】的方法推广到了p l a p l a c i a n 方程 一p ui竺p：一2n+azf(za,uq)0 z q ( ，z ，。) i“= ， z a jz 、7 华南理工大学硕士学位论文 7 qc r 是光滑有界区域同年f 6 1 的作者研究了问题( 1 2 6 ) 的次临界增长的情 况本文的第三章参把( 1 2 6 ) 推广到了临界增长的情况 j d i v ( ( 1 + i d u f 2 ) 2 d “) = f u f 矿一2 u + ，( z ，“) ，zeq r 191 1 1 l u = 0 ， zea n r 叫 并且( 1 2 1 1 ) 和( 1 2 9 ) 除了所研究的方程不同i j a # t - ，( 1 2 i i ) 的次临界项( x ，“) 没 有了系数a 去掉了系数a 研究方程( 1 2 i i ) 的困难在于无法用a 限制次临界项( x ，“) 的增长，需要另外寻找f ( x ，u ) 所应满足的条件 讨论方程 _ u - a “- 八乏? 磊印( 1 2 1 2 )l“= o ，z a q 7 当a 是临界参数时，即a = a 。垒( t n - 2 ) 2 方程的解有可能不再属于瑶( n ) ， 因此要讨论( 1 2 1 2 ) 的解的问题，就有必要对明( q ) 进行扩展本文的第四章讨 论方程( 1 2 1 2 ) 的煜临界参数的情况在第四章中，我们把明( q ) 以范数 l l u l l 。垒( i d 叫z 一( 学) 。箬如) ( 1 2 1 3 ) 的完备化空间定义为h ( q ) 空间我们先在日( q ) 中讨论了p o i n c a r e 不等式，s o b o - l e v 嵌入，嵌入紧性和特征值性质等基本的问题然后讨论了方程 也“i 豸0 ) 2 争! 扛e 窘印 ( 1 。1 4 ) iu = ， za l2 、 7 建2 ：t 相应的( a r ) 条件。最后我们研究了h ( n ) 空间中的强共振问题本文 将 1 8 中所研究的在砩( n ) 空间中的强共振问题推广到了日( n ) 空间，在日( q ) 空间研究方程的主要困难在于在础( q ) 空间的一些运算规律在h ( q ) 空间没有 了，如一些弱导数的运算规律。 本文讨论了几类椭圆型方程的存在性，主要用的工具有泛函的限制极小、 山路引理、偶泛函临界点定理、h a r d y 不等式等等 小结本文第二章研究了类p - l a p l a c i a n 方程的无穷多解问题，利用偶泛函 的临界点理论，证明的方程的无穷多解存在性 第三章讨论的是含临界指数的平均曲率方程，利用集中紧原理证明了方 程满足( p s ) 条件后，利用偶泛函临界点定理证明了方程所对应的泛函有无穷 多的临界值，从而方程有无穷多解 8华南理工大学硕士学位论文 第四章则在日( q ) 空间中讨论了半线性方程与强共振问题，这章中先建立 了关于空间的一些定理作为工具，然后参考在瑶( q ) 空间的方法在日( q ) 讨论 了方程的解的存在性问题 第二章! 类p - l a p l a c i a n 方程d i r i c h l e t 无穷多解存在性 2 1 引言 本章考虑类p l a p 】a c i a n 方程 r 巾川血p u 岫 p - 删2 d u ) ( 2 1 1 ) 的无穷多解问题，其中1 o t g 得 0 p f ( z ，s ) ss f ( x ，s ) ，v ! s l r ，z q( 2 1 5 ) 在文献 1 8 1 中，作者研究了类p l 印1 a c i a n 方程的特征值问题文中假设( a r ) 条件成立之下证明了( p s ) 条件成立，从而得到了解的存在性本章用与 1 8 不 同的方法研究类矿l a p l a c i a n 方程，证明了方程在一定的假设之下满足比( 尸s ) 条 件弱的( p s c ) 条件，再通过一个关于偶泛函的临界点理论，得到方程无穷多解 9 1 0华南理工大学硕士学位论文 的存在性。 下面先介绍f 1 9 1 引进的( p s c ) 条件 定义2 1 【1 9 ，定义1 1 j c 1 ( x ，酞) 在( d l ，d 2 ) ，( 一o 。d 1 o 使得( c 一口，c + 口) c ( d l ，d 2 ) 且对任伺m j 一1 ( c o - ，c + 盯】) 和i m l r 满足t l j 7 ( u ) 洲“j j n 本章中，我们假设 ( a 1 )映射r a ( i r l p ) 严格凸，且存在常数0 0 ，使得对 某一g ( p ，菇笔) i ，( z ，s ) l 。+ b l s i q 一1( v s r ，z q ) ( a 3 ) l i r a 嚣笔= + 。对z n 几乎处处成立； ( a 4 )f ( x ，一s ) = 一，( z ，s ) ( s r ，z n ) ； ( a 5 )存在s o 0 ，t o o 使得 k pt p f ( ”) s f ( 州s ) c 。 去m ，s ) s 一即，s ) + c 3 ( v i s i 8 0 , 0 这里c 2 ，c 3 是常数，k = 嚣 l ，c o ，c i 为( a 1 ) 中常数 注2 1容易知道上面的假设( a 5 ) 包含文献f l g 的条件( a 4 ) 2 2 相关引理及其证明 引理2 1 设( a 1 ) 一( a 3 ) 成立，则由( 2 ，1 ，3 ) 定义的泛函，( ) 属于e 1 ( e ，碾) 证明记 厶( u ) = ；z 劁。州i 电州u ) = 上脚，州z “髓1 2 删 第二章类矿l 印l a c i a n 方程d i r i c h l e t 无穷多解存在性 1 1 则有 i ( u ) = a ( ) 一b ( u ) 由( a 2 ) 、( a 3 ) ，根据 1 的定理1 6 容易知道v 妒w g 9 ( n ) 只妒。j t 。( f 乃唰d “i ”2 d “d 妒出， 昂( 咖2 j t m ，u ) 妒出 nn 下面证明玖( 乱) 关于西奎续 取 u 。) c 唰9 ( q ) ，满足“。一u l i 一0 ，当m 一。由算子范数的定义 和h 6 1 d e r 不等式有 = 肿s u p 业些塑贮型等l y j i i 业业型 妒计0 巾( n ) i 茎；i b 7 ( 。“。) 一b 7 ( 。u ) l p ， 这里 脚) 三d b ( r ) = 酬r i ) 旷i 2 r ，r 雌p 2 习p 由e g o r o v 定理可知：v 叩 0 ，j n 。cn ，并且u d u 在n 。上分别一致收敛 到n 、d u 对e 0 ，取足够大的q 。，使得 k 胁附蜓三2 ( 2 2 7 ) 因为m o o 时i d u 。一d u l ，一0 ，所以对足够大的m 有 i d u 。i d z g ( i d u 。一d u l ，d x + i d 乱j ，d x ) j 吼n ”j n n j n n ” c ( d u 。一d “f d x + 丢) c 时得出矛盾所以存在n cq ，l n ，f 0 ，使得 玉 6 0 这里d 是某常数，因而在q 7 内一致有 u k _ 。 由( a 3 ) 存在8 l 0 ，v f s f s 1 ，有 l ( x s ) s 0 令f 2 ：= z q ，i u k i s 1 ) ，令 口k ( z ) 由( a 3 ) 和( 2 2 1 6 ) 一( 2 2 a s ) ，当月足够大时，在n 中几乎处处有 9 k ( z ) i 叫l _ + ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) ( 2 2 1 8 ) 靠 | | 叫 堡 = 筹 第二章类p l a p l a e i a n ，：i 程d i r i d d e t 无穷多解存在性 1 5 在n ：中几乎处处有 g k ( x ) l 叫 1 9 0 由以上结论和f a t o u 引理可知 丁= 一l i r a + 。1 1 w j 9 t 1 i r a - - 1j 。( j 。伽女j 9 ) d 姚j 9 d 。 = 去触圳蚓如 = 。瓢+ k 州删叫如 l i r a 岫2 ( m f 烈圳训+ z 慨“刮蚶1 蚴 i 1 ，。里鲰( z ) j 训。 p d x - c = + 。 a 只与s 1 与l q l 有关，得出矛盾。 口 2 3 无穷多解的存在性 设e 是b a n a c h 空间，e 的对偶空间记为f 设序列 z 。) ce ， ) c e + 若 ，f1 矗( 。”) _ 畿2 o k=n k 菇n n x 。， ) 就称为双正交序列，而 就叫做伴随着 z 。) 的双正交序列 如果g 和v 分别是e 和e + 的线性子空间，而 z l z g ，( 。) = 0 ，v f v ) 一 o ) 即gnu = f o ) ，则称v 在g 上是完全的 s i n g e r f t t j 专著f 17 中定理7 7 ，对可分的b a n a c h 空间e ，存在着一个双正 交序列 z 。， ) ， z 。) e ， ) ce + ，i k 忆= l 1 6华南理工大学硕士学位论文 而 在el - 是完全的，即 f x l x e ， ( z ) = 0 ，k = 1 ，2 ，) = 0 ) 记 【，1 ，：，n 】上= x l x e ，f l ( x ) 一= 厶( z ) = o ) 设 。 蜀：s p a n z 1 ) ，z 。) ，r ( z ) = ( z ) z * k = 1 则知2 = r ，其中p n 是从e 到日的一个连续投影算子，且 e = e 。oe ：，e ：= u r o e 其中碟是代数和拓扑的补子空间则有 碟c ，1 、，厶】上 定理2 1 ( 8 ，引理1 ) 设蜀为书a n a c h 空间，e 是一自反可分b a n a c h 空间 如果e 紧嵌入e 0 ， 1 。= 协fi | u i l f ，k = ui 札e ，l l u l l e o = 1 ，u ，1 ，一，厶 上) u 儿m 那么忆j | 玩墨以= i l u l l f ，v u ，1 ，m 】；并且当m o 。时，a m o 。 定理2 2 ( f l o j ) 设跷一无限维b a n a c h 空间，i c 1 ( e ，瓞) 是一偶泛函且 有j ( o ) ：o 和( 尸s c ) 条件成立如果e = vo x ，v 是有限维空间，满足： ( 1 1存在常数p ，n o 使得，( u ) l o b 。n x q ； ( 2 )对任意有限维子空间ece ，存在实数兄( e ) 0 ，使讹e j e k ( 亘) 有，( 札) 0 则，有无界的临界点列。 解 现在证明本章的主要定理 定理2 3 如果以上( a 1 ) 一( a 5 ) 成立，则问题( 2 1 1 ) 对1 0 ，使 锓峙u e 盖n 8 b 痛 i ( u ) q 0 ，砖c ，1 ，厶 - l 其次，假设豆c 喇，一( q ) 是一有限维子空间，由于有限维子空间所有范数 等价，因而存在a ，1 ， ，2 o 使得y u e 有： ；l l u l l 9 k 2 1 u i ； 由( a 4 ) 可知，存在8 2 0 ，当1 8 l s 2 时，对z 删l 乎处处有 f ( 叩) 2 ( 1 + 詈) 尬i s 2 1 9 记n o = z q ，l u ( x ) l 曼s 2 x 扎豆有 ，( u ) 詈z f 。叫蹦z z 。f ( z ，钍) 出+ a 锄p 胖i i f 1 + 詈) 鲍上 i 如w 曼弘1 1 “1 1 9 这里e 只与s z 和l q l 有关当尉亩) 之c 时，对“豆哆r 国有，( ) 茎0 由引理2 3 和定理2 2 ，) 有无穷多临界值，因而问题( 2 1 1 ) 有无穷多解 i q 注2 1 对于上面提到的非线性量子力学中的p - l a p l a c i a n 方程( 2 3 1 ) 和毛细 现象中的广义c a p i l l a r i t y 方程( 2 3 2 ) f d i v ( id “1 9 2 d u ) i 仳k ，( z ，珏) ，。n f 2 3 1 】 0 、 7 1 8华南理工大学硕士学位论文 一d 1 v ( ( 1 + 满) j d u l 9 2 d “) = ，( z ，“) ，z q( 2 3 2 ) 【u o a = 0 当，( z ，u ) 满足( a 2 ) 一( a 5 ) 的话，方程有无穷多解 本章小结 本章讨论了方程( 2 1 1 ) 的无穷多解存在性，在某些假设之下证明了方程满 足比( p s ) 条件弱的( p s c ) 条件，并通过偶泛函的临界点理论得到了方程的无 穷多解 第三章含临界指数的平均曲率方程解的存在性 3 1 引言及预备知识 本章考虑下面含临界指数的平均曲率方程 “i v ( (