（概率论与数理统计专业论文）两类风险模型的破产理论及相关问题.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 两类风险模型的破产理论及相关问题 摘要 近几年来，i a v y 风险模型引起了许多学者的兴趣本文继续研究这一模型本 文的第二章，研究了一个由s u b o r d i n a t o r 驱动且带干扰的风险模型，得到了其破产 概率的一个渐近表达式在第三、四章中，我们研究了两个具有双险种风险模型 根据内容本文分为以下四章： 第一章：在本章中，首先我们介绍了风险模型的一些经典结论及其发展情况 接着介绍了本文所要研究的主要问题和所讨论的各种模型 第二章；在第二章中，我们讨论了一类由s u b o r d i n a t o r 驱动且带干扰的l 6 v y 风 险过程，得到了当索赔量为重尾分布时，它的破产概率渐近表达式 第三章：本章，我们推广了l ia n dl u 【3 6 】的风险模型，研究了一个具有双险种 的风险模型，此风险模型的索赔计数过程分别是p o i s s o n 过程和广义e r l a n g ( n ) 过 程给出了此模型的g e r b e r - s h i u 函数所满足的积分微分方程组，并给出了它的 l a p l a c e 变换的一个表达式当广义e r l a n g ( n ) 过程为广义e r l a n g ( 2 ) 过程时，我们 得到了g e r b e r - s h i u 函数所满足的更新方程 第四章：在本章中，我们考虑了一类带有固定分红策略的双险种风险过程，得 到了其分红总量折现期望和分红总量的矩母函数满足的积分一微分方程及其边值条 件，并研究了索赔量服从指数分布时上述积分一微分方程的解 关键词：破产概率； 广义e r l a n g ( n ) 风险模型； 积分一微分方程； 分红策略 曲阜师范大学硕士学位论文 r u i nth e o r yf o rt w or i s km od e l sa n dr e l a te d p r o b l e m s a b s tr a c t m o r ea n dm o r ep e o p l ea r ei n t e r e s t e di nl d v yr i s kp r o c e s s e s ，r e c e n t l y i nt h i s p a p e rw eg oo nt os t u d yt h i sm o d e l i nc h a p t e r2o ft h i st h e s i s ，w e 。s t u d yt h er u i n p r o b a b i l i t yo far i s km o d e ld r i v e nb yas u b o r d i n a t o ra n dp e r t u r b e db yab r o w n i a n m o t i o n ，a n dg i v eaa s y m p t o t i cb e h a v i o ro fr u i np r o b a b i l i t y i nc h a p t e r s3 - 4 ，w e c o n s i d e rt w or i s km o d e l sw i t ht w oc l a s so fc l a i m s t h et h e s i si sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s ： c h a p t e r1 ：i nt h i sc h a p t e r f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h ec l a s s i c a lt h e o r yo fr i s k m o d e l sa n dt h ed e v e l o p m e n to fr i s km o d e l s 。s e c o n d l y , w ei n t r o d u c et h em a i m p r o b l e m sw h i c ha r es t u d i e da n dt h er i s km o d l e sw h i c ha x ec o n s i d e r e di nt h i st h e s i s c h a p t e r2 ：i nt h i sc h a p t e r w ec o n s i d e rar i s km o d e ld r i v e nb yas u b o r d i n a t o r a n dp e r t u r b e db yab r o w n i a nm o t i o n ，a n dg e ts o m ea s y m p t o t i ce x p r e s s i o no fr u i n p r o b a b i l i t yw h e nt h ec l a i ms i z e sh a v eah e a v y - t a i l e dd i s t r i b u t i o n c h a p t e r3 ：i nt h i sc h a p t e r w ec o n s i d e rar i s km o d e li n v o l v i n gt w oi n d e p e n d e n t c l a s so fc a l i mp r o c e s s e s ，t h a ti s ，w ea s s u m et h et w oc l a i mn u m b e rp r o c e s s e sa r e i n d e p e n d e n tp o i s s o na n dg e n e r a l i z e de r l a n g ( n ) p r o c e s s e s ，r e s p e c t i v e l y w eg i v ea n i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss y s t e mw h i c hi ss a t i s f i e db yt h eg e r b e r - s h i uf u n c t i o n a n dt h ee x p r e s s i o no ft h el a p l a c et r a n s f o r mo ft h eg e r b e r s h i uf u n c t i o n si so b t a i n e d i nt h el a s ts e c t i o no ft h i sc h a p t e r ，w h e nt h eg e n e r a l i z e de r l a n g ( n ) p r o c e s s e si st h e g e n e r a l i z e de r l a n g ( 2 ) p r o c e s s e s ，w eo b t a i ns o m eg e n e r a l i z e dr e n e w a le q u a t i o n sw h i c h a r es a t i s f i e db yt h el a p l a c et r a n s f o r m sf o rt h eg e r b e r - s h i uf u n c t i o n s c h a p t e r4 ：i nt h i sc h a p t e r w ec o n s i d e rar i s km o d e li n v o l v i n gt w oi n d e p e n d e n t c l a s so fi n s u r a n c er i s k sw i t hf i x e dd i v i d e n ds t r a t e g y w eg e tt h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nf o rt h em o m e n tg e n e r a t i n gf u n c t i o no ft o t a ld i v i d e n dd i s c o u n te x p e c t a t i o n s w ec o n s i d e rt h es o l u t i o no ft h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o nw h e nt h ec l a i ms i z e s h a v ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n 1 曲阜师范大学硕士学位论文 k e y w o r d s ： r u i np r o b a b i l i t y ；g e n e r a l i z e de r l a n g ( n ) r i s kp r o c e s s ；i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；d i v i d e n dp a y m e n t s 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文( 两类风险模型的破产理论及相关问题， 是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得 的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果对本文的研 究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明本声明的法律 结果将完全由本人承担 作者签名 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 两类风险模型的破产理论及相关问题系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位 期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学所有， 本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大学关于保 存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版 本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手 段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名 导师签名刎啉矽幺移 。尹锄厮日期平j 7 第一章绪言 在保险数学( 也称为精算数学) 的范畴内，破产论是风险论的核心内容破产论 的研究既有其实际的应用背景，也有其概率上的兴趣破产论的研究溯源于瑞典精 算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文，他当时首次在论文中提出一类重 要的随机过程，即p o i s s o n 过程，随后的c r a m 6 r 和g e r b e r 、s h i u 分别又对破产 论的严格化和深化做出了巨大的贡献其中g e r b e r 不仅将鞅方法引入到破产论的 研究中，而且更深化了经典破产论的研究内容 经典风险过程用仉( t ) 表示，则 巩( ) = u 1 + c l t s l ( t ) = u l + o t 一磐 x 1 ( 1 1 1 ) 其中让l 0 表示初始资本，c 1 0 为常数，表示保险公司单位时间内收入的保险 费，x ：， 1 ) 表示第k 次的索赔额，是一组正的独立同分布的随机变量序列， n l ( t ) 表示至时刻t 为止发生的索赔次数，并且索赔额 1 的和s l ( ) ，为参数为a 1 ， 分布为r 的复合泊松过程 1 2 相关的研究 对于经典风险过程( 1 1 1 ) ，也称为l u n d b e r g - c r a m d r 模型最初是由f i l i pl u n d - b e r g 与h a r a l dc r a m d r 对之进行了研究，其工作结果形成了经典破产论的基本定 理 在经典破产模型中，我们通常假设有以下基本假定的成立即 假定1 ( 独立性假定) 设 1 ) ：七1 ) 是恒正的独立同分布的随机变量序列， 记 冗 ) = 尸( 1 z ) ，比0( 1 2 1 ) p l = e 喇1 】= 【卜只( z ) 】如 ( 1 2 2 ) m ( ) ：t 0 ) 是以a l ( a 1 o ) 为参数的p o i s s o n 过程； 醚，蔚1 ) 与 l ( z ) ，t o ) 相互独立。 假定2 ( 相对安全负载假定) 设 c l = ( 1 + 伊) a l p l( 1 2 3 ) 其中移 0 ，称为相对安全负载 1 第一章绪言 假定3 ( 调节系数存在唯性假定) 首先，要求个体索赔额的矩母函数： f o o，。o m x ( r ) = e e 7 x 】= e r 。d f ( x ) = 1 + r e 佗f l f t ( x ) d x ( 1 2 4 ) ，0 ，o 至少在包含原点的某个邻域内存在；其次，要求下述方程 m x ( r ) = 1 + _ e l 7 ( 1 2 5 ) 具有正解，记为咒1 然后我们就有下面定理成立； 定理1 2 1 ( l u n d b e r g - c r a m d r ) 若假定1 - 3 成立，则有 ( 1 ) 初始盈余为0 时，风险过程的破产概率妒1 ( o ) = 南； ( 2 ) l u n d b e r g 不等式：设冗1 为方程( 1 2 5 ) 的正根，有 ， 砂1 ( u ) e - r l u 讹o ；( 1 2 6 ) ( 3 ) l u n d b e r g - c r a m d r 近似z 存在正常数c ，使得 妒1 ( u ) 一c e r h ，札_ o o ( 1 2 7 ) 在l u n d b e r g 和c r a m g r 后，f e l l e r 的更新论证和g e r b e r 的鞅方法给经典破产 理论的基本结果提供了简洁的证明，并且深化了经典破产论的研究内容其推广主 要表现在了以下两个方面； ( 1 ) 广义复合p o i s s o i l 过程 ( 2 ) 带扩散扰动项的复合p o i s s o n 过程 除了对经典破产模型进行推广，还可以维持经典破产模型不变，将研究重点由 最终破产概率妒( u ) ( 或有限时间内的破产概率妒( u ；t ) ) 转向了另外两个刻画保险 公司破产情形的随机变量即破产时赤字i u ( t ) i 和破产前瞬时盈余u ( t - ) 其中， g e r b e ra n ds h i u 【1 】中定义了在经典风险过程下的g e r b e r - s h i u 函数，并讨论得出 了该函数所满足的一个迭代方程 综上，对于经典风险理论各方面的研究，g e r b e r 等人对之已经进行了比较彻底 的研究，并对一些结果给出了比较简洁的证明 2 曲阜师范大学硕士学位论文 1 3本文研究的主要问题 在本文第二章，我们首先研究了一类l 6 v y 风险过程：在时刻t 的盈余为 g ( t ) = u + c t s ( t ) + r i z ( t ) ，t 0 ， 其中s ( t ) 是个l 6 、，) r 测度为q 的从属过程且漂移系数为零让( 0 ) 为初始资本， c ( 0 ) 为单位时间内收取的保费，伊( 0 ) 为相对安全负荷，则c = ( 1 + 0 ) e 陋( 1 ) 】 z ( t ) 是一个标准布朗运动且与l 6 、，) r 过程s ( t ) 独立，7 为非负常数 令t 表示破产时间，即t = i n f t 0 ：u ( t ) o ) ，若对所有的t 0 均有 u ( t ) 0 ，则令t = o o 妒( 让) 表示最终破产概率，即妒( u ) = p ( t a u x + 茕l 厂 z - 一i = l 瓦 定义 t = i n f t 0 ：u ( t ) 0 ) 的p o i s s o n 过程，用独立同分布的指数随机、 变量序列 k ) 忿1 表示它的索赔时间间隔；相应地【2 ( ) ；t o ) 为一时间间隔为 广义e r l a n g ( 2 ) 的更新过程，它的索赔时间间隔为 厶 l l ，且l t ：= 厶l + l 珏，其中 独立同分布的随机变量序列_ 【) 纠服从参数为( o ) 0 = 1 ，2 ) 的指数分布我 们利用 五 1 表示第一个索赔过程的索赔量序列，为一列相互独立的非负随机变 量，其分布和密度函数分别为p 及p ；f k 】 1 表示第二个索赔过程的索赔量序列， 具有分布q 及密度g 假定 五 硷1 ， k 仑l ，【m ( ) 和1 【a ，2 ( ) 相互独立则保险 4 曲阜师范大学硕士学位论文 公司在时刻t 的盈余为t u ( t ) = 让+ c t s ( ) ， t 0 ， 其中“0 为初始资本，c 0 为单位时间内收取的保费，索赔总量过程为 s ( ) ；t o ) 我们再此模型下讨论其分红总量折现期望和分红总量的矩母函数满足的具有边 值条件的积分一微分方程，并研究了索赔量服从指数分布时上述积分一微分方程的 解 5 第二章一类l 6 v y 风险过程破产概率的渐近表达式 设风险模型在时刻t 的盈余为 2 1 引言 u ( t ) = 口+ c t s ( t ) + 叩z ) ， t 0 ，( 2 1 1 ) 其中s ( t ) 是一个l 6 v y 测度为q 的从属过程且漂移系数为零u ( 0 ) 为初始资本， c ( 0 ) 为单位时间内收取的保费，p ( 0 ) 为相对安全负荷，则c = ( 1 + 口) e 旧( 1 ) 1 - z ( t ) 是一个标准布朗运动且与l 6 v y 过程s ( t ) 独立，7 为非负常数。 令t 表示破产时间，即t = i n f t 0 ：u ( t ) o ) ，若对所有的t 0 均有 u ( t ) 0 ，则令t = o 。妒( u ) 表示最终破产概率，即妒( u ) = p ( t 0 ， ( 2 1 2 ) ，o 其中，口为定义在( 0 ，0 0 ) 上的l 嘶测度，且满足j ( 1 a x ) q ( d x ) o ( 2 1 3 ) 由l 6 v y 过程的l 6 v y - k h i n t c h i n e 定理可知，对于任意的e 0 ，跳跃度大于 e 的次数是一个参数为国( e ) = r 口( 如) 的p o i s s o n 过程，且跳跃度的密度函数为 搿厶。( z ) ，其中，“( ) 为集合a 的示性函数 2 2 主要结果 引理2 1 ( h u z a ke ta 1 ( 2 0 0 4 ) ) 设u 为( 2 1 1 ) 所表示的风险过程，则其破产概率 妒( t ) 满足下面的方程： l 刊札) = 上1 + 9 n = o ( 南) n 胪驴删， ( 2 2 1 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 冥甲m 力一l a p l a c e 婴狭力 幽= f o e - s = d 脚) = 裂 的阶梯高度分布， 灿s ：e 【s ( 1 ) 】，g 为一l a p l a c e 变换为 = 厂 = 诵c 8 e - d g ( x ) j o e ( 5 ) = = 石可 掣c t + 行z i s j 的分布；皿s 为( 3 1 ) 中的从属过程的l a p l a c e 指数，霍d + 幡为过程u ( o u + s ( t ) = n z ( t ) + c t 的l a p l a c e 指数 利用尾分布国和( 2 1 3 ) ，肋( s ) 可表示为： 肌，= 裂= 卜犯燕如，s 。， 与之相对应的密度函数和分布函数为： 喇= 燕，脚) = 燃 ( 2 2 2 ) 因此， 1 一妒( u ) 满足下面的瑕疵更新方程s 1 叫u ) = 智+ r 1 o u 1 _ 卅刊】d ( m ( s ) ( 2 2 3 ) 其中，( m ，cg ) ( t ) 为m 和g 的卷积 定义2 1 设g 为任一分布函数，若满足 恕1 1 裂= t t ， m - ：= = ， t 一g ( 珏) 其中虿( 让) = 1 一g ( ) ，则称分布g 服从次指数分布，记为g s 。 下面考虑风险过程( 2 1 1 ) 的破产概率 索弹2 1 著m s 刚 妒( u ) 一p - 1 丽( t ) ， u 0 0 ， 其中，m 如( 2 2 2 ) 中所示 7 第二章一类l 6 v y 风险过程破产概率的渐近表达式 证明由次指数分布族5 的定义并利用控制收敛定理。 证毕 8 可得 l i m 竺塑 ”o 。m ( u ) k l 川 1 脚脚 南南一 器 目8 第三章具有两类索赔的风险过程的g e r b e r s h i u 函数 3 1 引言 对在于经典风险模型的g e r b e r - s h i u 函数九( u ) 已经被广泛研究例如文献g e r - b e ra n ds h i u 1 】证明了钆( 札) 满足一个瑕疵的更新方程文献d i c k s o na n dh i p p 8 】 研究了e r l a n g ( 2 ) 风险过程，给出了当w ( u ( t 一) ，l u ( r ) 1 ) = l 时咖( 乱) 的一个二阶 积分微分方程和咖( 钆) 的拉普拉斯变换文献l ia n dg a r r i d o 【3 】3 研究了e r l a n g ( n ) 风险过程，导出了咖( u ) 的个瑕疵更新方程文献l ia n dl u 【4 】考虑了当盈余过 程具有两类索赔时g e r b e r s h i u 函数的拉普拉斯变换，其中这两类索赔记数过程分 别是p o i s s o n 过程和广义e r l a n g ( 2 ) 过程 本章在文献l ia n dl u 4 】的基础上，考虑当这两类索赔过程分别是p o i s s o n 过 程和广义e r l a n g ( n ) 过程时的g e r b e r - s h i u 函数第二部分给出了关于g e r b e r - s h i u 函数的积分微分方程组，第三部分给出了一个广义的l u n d b e r g 方程，第四部分 给出了g e r b e r s h i u 函数的拉普拉斯变换，最后给出了两个广义的更新方程 考虑如下的一个盈余过程 u ( t ) = u + d s ( ) ，t 0 ， ( 3 1 1 ) 其中让0 是初始准备金，c 0 是单位时间的保费收入， s ( ) ，t o ) 是总的索 赔量过程，在本文中，我们假设s ( t ) 是由两类索赔组成，即 m ( t ) r 2 ( t ) s ( ) = & ( ) + 岛( ) = 五+ k ， t = 1i = 1 其中 托) l 是第类索赔的索赔量，假设它们是独立同分布的正的随机变量序列， 共同的分布函数是p ，密度函数是p k i l 是第二类索赔的索赔量，假设它们是独 立同分布的正的随机变量序列，共同的分布函数是q ，密度函数是q 以u x 和让y 分别表示x 和y 的均值，多( s ) = 厅e ”霉p ( x ) d x 和口( s ) = fe 卅z q ( z ) d x 分别表 示p 和q 的拉普拉斯变换 1 ( ) ，t o 表示到时刻t 为止的第一类索赔的索赔次数过程，设它的跳跃 时间间隔为w i ，i = 1 ，2 ，w ：是相互独立且同分布于参数为a 的指数分布 【2 ( t ) ，t o ) 表示到时刻t 为止的第二类索赔的索赔次数过程，设它的跳跃时间 9 第三章具有两类索赔的风险过程的g e r b e r - s h i u 函数 间隔为k ，i = 1 ，2 ，k 是相互独立且同服从于广义e r l a n g ( n ) 分布，即k 是1 1 个独立的指数分布的和的分布 m - l i l + + l i 2 ， 其中l 巧，歹= l ，竹，具有可能不同的参数，如果j = 0 设知= 1 最后假 设x ，vn l ( t ) ，2 ( t ) 是相互独立的，为了保证l i m t 。u ( t ) = o o 几乎处处成立， 我们假设c 入钍x + f 竽等了 j l = 1 定义 t = i n f t 0 ：v ( t ) o ) ，( 。，o t h e r w i s e ) ， 为破产时刻 妒( u ) = p ( t o 。l u ( o ) = u ) ，t l 0 ， 是最终破产概率 j 表示破产原因的随机变量，如果破产由第j 类索赔引起，歹= l ，2 ，我们定 义j = j 对于z ，y 0 ，j = 1 ，2 ，设w a x ，y ) 是一个非负的函数，对于6 0 ，定义 如( u ) = s e 一 t w j ( u ( t 一) ，i u ( t ) i ) i ( t 。，：j ) l u ( o ) = 叫，u 0 ， 其中u ( t - ) 是破产前瞬时盈余，i 扩( t ) j 是破产时赤字，这里的c j ( u ) 表示破产由 第j 类索赔引起的g e r b e r - s h i u 函数 对于j = 1 ，2 ，t l 0 和0 t l t l m t = l 1 1 ) = e d + a l 弦， 代入( 3 2 1 ) 式整理可得 妒1 ( u ) = a l + 一( + a l + 5 ) 2 1 l ( u + c t ) d t e 一。+ a 1 + 。2 z 乜+ d ( u + c t - x ) p ( z ) d z ( 3 2 2 ) + 二叫心+ 矗，z u 一以功 ) d x d t 设m s = w i al t 2 ，对于u 0 ，我们有 ，c o 1 1 ( u ) = p ( m 2 = t ，m s = l 1 2 ) e 础1 2u + a ) d t j 0 + p ( 尥= 六= m ) e - 乳 ”+ d 矗z ( u + c t - x 溉z ) 如 ( 3 2 3 ) + j ! ：c t 彬c 珏+ 历，。一缸一矗，p ，出 j 以， + 彬l ( 珏+ 历，。一缸一矗) p ) 出i 以， u + 相似的，( 3 2 3 ) 式整理可得 1 1 ( u ) = a 2 + 一( a + a 2 蜊专1 2 ( u + c t ) d t e 一( a + a 2 + j h z “+ d - - ( u + c t - x ) p ( z ) c 切 ( 3 2 4 ) + 上+ 。c t 伽- ( u + d ，z u 一 以此类推，我们有 1 l 1 d ) p ( z ) 如l j e 0 e广of “ e 叠 e广of _ 设= 肌al 1 n ，对于u 0 ， ，- 广t + c e 1 n l ( u ) = p ( a 毛= t ， 靠= l 1 n ) e 一乳 1 ( u + c t x ) q ( x ) d x d t ，0 j 0 + f o 。bp ( = t ，螈= 肌) e 础 + z 二- c u + d ，z u 一 同样的，( 3 2 5 ) 整理可得 f ”一( u ) = 入nz e 一( a + k + d ) t z u + d 毒n 一( u + c t - x ) p ( z ) d z 1 以) p ( z ) 如l j 1 ( u + c t x ) q ( x ) d x d t + a z 。0e c a + a n + 6 弦 z ”+ d f n 一( u + c t - x ) p ( z ) d z +州u+ctu叫出)叫dt-t- + 伽1 ( u +，z u d ) p ) 如i ，uc t j 设s = u - t - c t ，得到了下面的方程组， 印1 ( u ) = a + 衄警巡洲s ) d s c 产1 l 冀i ，z 冀 z 8 妒( s z ) p ( z ) d z + u ( s ) d s ， l l ( t | ) ：a 2 c o e 一虹警巡泓s ) d sl l ( t | ) = a 2 一鲤掣泓s ) d s ，t 工 ( 8 - - g g ) 出) d x + w l ( s ) 卜 i n - - 1 ( 毯) ：a 竹o oe - 垒二尘譬掣厂。l ( s z ) g ( 。) d x d s ，u i ，0 + 入 e 一幽掣m 8 钒- 1 ( ) p ( 蛐帕( s ) d s ( 3 2 5 ) 其中w t ( s ) = r 镏z ( s ，z s 殄( 。) 如在上面的方程组中，对1 1 求一阶导数，可以 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 得到下面的积分微分方程组 c o l ( u ) = ( a + a 1 + 5 ) l ( 珏) 一a 1 ( 让一z ) p ( z ) 如一a l 毒1 。( 乱) 一入1 ( t ) ， ，u ，t i i 1 ( 笛) = ( 入+ a 2 + 6 ) 1 1 ) 一久1 1 ( u z 场( z ) 如一a 2 。2 ( u ) 一a w l ( u ) ， ；。一l ( u ) = ( a + k + 6 ) 1 7 i l ( 珏) 一入荨1 n l ( 铭一。) p ( z ) 如 j 0 ，u a n 砂1 ( 珏一x ) q ( x ) d x 一池l ( 钍) ( 3 2 6 ) 上面这个积分微分方程组的解与一个广义的l u n d b e r g 方程的根有密切的关 系，下面将讨论这个广义的l u n d b e r g 方程 3 3 广义l u n d b e r g 方程 对于6 0 ，n n + ，8 c ，设 7 ( s ) = 必型准掣， 则方程 7 ( s ) = ( - 1 ) n 口( s )( 3 3 1 ) 是广义的l u n d b e r g 方程这个方程的根在证明第四部分的主要结果时将被用到 下面的定理给出了这些根的性质 定理3 3 1 当6 0 ，n + 时，方程( 3 3 1 ) 有且仅有n 个实部大于零的 根，记为o l ( d ) ，口。( 6 ) 证明在半圆f = 【s c ：n ( 8 ) 0 ，1 8 l = p ，p o ) 上，当p 充分大时有 i y ( s ) l i ( 一1 ) ”口( s ) 1 当冗( s ) = 0 时， 1 7 ( s ) i = 型型1 措l k = l 型垂( 1 + 岽) 1 删 l ( 叫s ) i 南= 知 第三章具有两类索赔的风险过程的g e r b e r - s h i u 函数 所以在由虚轴和半圆r 形成的围线上，有1 7 ( s ) i l ( 一1 ) “口( 5 ) f ，由r o u c h d 定理 知，在这个围线的内部，方程( 3 3 1 ) 和方程7 ( 5 ) = 0 有相同个数的根易知方 程7 ( s ) = 0 在围线内有n 个根，所以方程( 3 3 1 ) 在右半平面上有且仅有n 个根， 记为a l ( 6 ) ，a n ( 艿) 证毕 3 4 拉普拉斯变换 推导g e r b e r - s h i u 函数的拉普拉斯变换以前，参照d i c k s o na n dh i p p 【8 】引入 算子霉，( z ) ，其中f ( x ) 是一个可积的函数，r 是一个复数，定义： 厂 霉，( 动= e 1 心吖) f ( u ) d u 。 ，善 算子t ，f ( x ) 具有以下性质； ( 1 ) 露，( o ) = 铲e 一九f ( u ) d u = ，( 7 - ) ，其中，r c ，( r ) 表示， ) 的拉普拉斯 变换 ( 2 ) 耳。乃。，( z ) = 已。，( z ) = 刍丑害暑五盟，其中，1 r 2 c ，z 0 ( 3 ) 耳。，( 您) = 一( r ，2 r ) - - 亿( r 1 ) - ，其中， r l r 2 e 当i = 1 ，n 一1 时，以$ l ，6 i 和0 1 分别表示毋1 ，1 i 和u 1 的拉普拉斯变 换同时定义n 苎1 九= 1 。对( 3 2 6 ) 式取拉普拉斯变换可以得到 f 【c s j ， e 其中 入+ 入1 + a + a 2 - t - a + k + 6 1 6 ) + 砸( s ) 】l ( s ) = 却1 ( 0 ) 一a 1 1 1 ( s ) 一尬1 - - ( s ) 】善l l ( s ) = c 薯1 1 ( 0 ) 一九亭- 2 ( s ) 一尬 ； + ( s ) 】已”1 ( s ) = l n - 1 ( o ) 一a n $ 1 ( s ) 蜃 s ) ， ( s ) ， ( 3 圳 8 ) 一尬1 s ) 解方程组( 3 4 1 ) 可以得到 i ；，( s ) = 藏j 再西两f ( 再s ) + 可g ( 两s ) - 丽i - h ( f s ) c o 耳1 ( s ) 硬藏孺， ( 3 4 2 ) ，) = c 【c s 一( 入+ a 蠡+ 巧) + 垴( s ) 】妒l ( o ) ， k = 2 1 4 凿阜师范大学硕士学位论文 9 ( s ) = ( - - 1 ) c l b d + 入七+ 6 ) + ( s ) 蜘( o ) k = 3 + ( 一i ) 2 c a l a 2n 【c 5 一( a + k + d ) + ( s ) ( o ) 、 k - - - - 4 _ 一 n - 2 + c - 1 ) 棚c ( k ) c s 一( 入+ k + 6 ) + 碳s ) 一2 ( o ) k = l n 一1 + ( 一1 ) n 一1 c ( i fk ) 导n 一( o ) ， k = l b 一1 ( s ) = ( 一1 ) n 入( n 入k ) k = l n - 2 + ( 一1 ) 州入( 划c s 一( a + h + 6 ) + 冲( s ) 】 n + ( 一1 ) 一2 a 入，i i 【c s 一( 入+ 入七十6 ) + ( s ) 】 k = 3 由于q t ( j ) ，i ：1 ，扎是( 3 4 2 ) 的分母的零点。所以它们同时也是分子的零 点从而当i = 1 ，佗时 ，( a l ( 6 ) ) + 夕( c k ( 6 ) ) + ( a q ( 6 ) ) 白l ( q i ( 6 ) ) = 0 通过解上面的这个方程组我们可以得到妒1 ( o ) ，l l ( o ) ，f 1 1 ( o ) 注当 = 2 时 ，( s ) = c c s 一( a - 4 - k - 4 - 6 ) - 4 - 帮( s ) 1 1 ( o ) ， g ( s ) = - c 入：6 1 ( 0 ) ， h ( s ) = a a l 一a 【c s 一( a + a 2 - i - 巧) + 冲( s ) 】， 代入( 3 4 2 ) 有 讯s ，= 幽譬器等等等揣剥掣， 1 5 第三章具有两类索赔的风险过程的g e r b e r - s h i u 函数 其中f l (