（应用数学专业论文）流不变集方法及其在常微分方程中的应用.pdf

摘要 刘兆理、孙经先在 4 中系统完整的提出了流不变集的理论，这理论提供了一种研 究微分方程多解问题的有效方法：将微分方程的多解问题转化成对应变分泛函的临界点 问题，利用此变分泛函的( 伪) 梯度场产生下降流，研究下降流线的性质以得到i 临界点 为了得到多个互异的临界点，构造互不相交的流不变集，在各不变集上找临界点该方 法不仅简便实用，而且具有精确直观的优点 文 4 】在研究二阶常微分方程时，变分泛函，的梯度场d ，需要满足形式：d ，= u 一圈钆，这一形式对于克服h i l b e r t 空间不变集无内点和被嵌入的b a n a c h 空间无紧陛这 两大困难具有关键性作用，但h a m i l t o n 方程对应变分泛函的梯度场一般不具有这种特殊 形式，为了应用流不变集方法，本文对 4 中定理3 3 作适当修改，即用伪梯度场代替梯 度场，得到一四临界点的存在性结果 在利用此结果研究h a m i l t o n 系统时，本文结合极小对偶作用原理选取了符合要求的 伪梯度场，产生下降流，构造了不变集，得到了四个周期解 作为流不变集方法的应用，本文还研究了一类二阶次二次微分方程 关键词：变分法流不变集伪梯度场极小对偶作用原理 a b s t r a c t i np a p e r 4 1 ，z h a o l il i ua n dj i n g x i a ns u nc o n s t r u c t e ds y s t e m i c l ya n di n t e g r a t e l yt h ei n - v a r i a n ts e tt h e o r yo fd e s c e n d i n gf l o w s ，w h i c hg i v ea y le f f e c t i v em e t h o dt os t u d ym u l t p s o i n t i o n so f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ：t r a n s f o r mm u l t i s o l u t i o n sp r o b l e mo fad i f f e r e n t i a le q u a t i o ni n t oc r i t i c a l p o i n t sp r o b l e mo fi t sc o r r e s p o n d i n gv a r i a t i o n a lf u n c t i o n a l ，u 8 et h e ( p s e u d o - ) g r a d i e n tv e c t o rf i e l d o fs u c hv a r i a t i o n a lf u n c t i o n a lt op r o d u c ed e s c e n d i n gf l o w s ，s t u d yt h ep r o p e r t yo ft h e s ed e s c e n d - i n gf l o w st og e tc r i t i c a lp o i n t s ，c o n s t r u c td i s j o i n ti n v a r i a n ts e t so fd e s c e n d i n gf l o w sa n ds e a r c h c r i t i c a lp o i n t si ne a c hi n v a r i a n ts e tf o ri n o r ed i f f e r e n tc r i t i c a lp o i n t s t h i sm e t h o di sn o to n l y c o n v e n i e n ta n da p p l i e db u ta l s oe x a c ta n di n t u l t i o n i s t i c i np a p e r 4 】，w h e ns t u d ys e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w ef i n dt h eg r a d i e n tv e c t o r f i e l do ft h ev a r i a t i o n a lf u n c t i o n a l ，m u s tm e e ts u c hf o r m ：d = u k g u ，w h i c hi sc r i t i a lt o o v e r c o m et h ef o l l o w i n gt w od i f f i c u l t i e s ：n oi n n e rp o i n t si ni n v a r i a n ts e t so fh i l b e r ts p a c ea n d n oc o m p a c t n e s sc o n d i t i o ni nt h ei m b e d e db a n a n hs p a c e b u tw ec a b i n tv a l i d a t ew h e t h e rt h e g r a d i e n tv e c t o rf i e l do ft h ev a r i a t i o n a lf u n e i o u a lc o r r e s p o n d e db yt h eh a m i l t o ne q u a t i o nm e e t s u c hf o r mo rn o t i nt h i sp a p e r ，t ou s et h em e t h o do fi n v a r i a n ts e t so fd e s c e n d i n gf l o w s ，w e a p p r o p r i a t e l ym o d i f yt h et h e o r e m 3 3i n 【4 】，t h a ti s ，w er e p l a c et h eg r a d i e n tv e c t o rf i e l dw i t ha p s e u d o g r a d l e n tv e c t o rf i e l d w eg e tt h ee x i s t e n c eo ff o u rc r i t i c a lp o i n t s w h e nu s et h i sr e s u l tt os t u d yh a m i l t o n i a ns y s t e m s ，c o m b i n i n gw i t ht h ed u a ll e a s ta c t i o n p r i n c i p l e ，w ec h o o s ea na p p r o p r i a t ep s e u d o g r a d i e n tv e c t o rf i e l dt op r o d u c ed e s c e n d i n gf l o w s ， c o n s t r u c ti n v a r i a n ts e t sa n dg e tf o u rp e r i o d i cs o l u t i o n s a sa na p p l i c a t i o no fi n v a r i a n ts e tm e t h o d ，w ea l s os t u d yac l a s so fs u b q u a d r a t i cs e c o n d o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s k e y w o r d s ：c a l c u l u so fv a r i a t i o n s ； i n v a r i a n ts e t so fd e s c e n d i n gf l o w ；p s e u d o g r a d i e n tv e c t o r f i e l d ；t h ed u a ll e a s ta c t i o np r i n c i p l e i i 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名。j 遣吼坐z ，。 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生 院办理 签名：二互二垫垫导师签名 l水 签名：一遭导师签名幽胁上丝 第一章引言 本文主要包括两部分： 第一葡s 分，利用流不变集方法研究二阶微分方程 i 越( t ) + 可乞v ( t ， ( ) ) = 0 ， iu ( o ) = 口) ，吐( o ) = 吐( t ) 第二部分，利用流不变集方法结合极小对偶作用原理研究凸自治h a m i l t o n 系统 ij 也( t ) + v 日( u ( f ) ) = 0 ， 【u ( o ) = “( t ) 以往研究微分方程多解问题的方法主要有拓扑度方法、指标理论等，这些方法由于 本身的抽象性而不便于应用刘兆理、孙经先在文 4 】中提出了流不变集理论，这一理论 提供了一种研究微分方程多解问题的简便直观的方法，下面简要叙述一下这一理论的主 要思想 设x 是一b a n a c h 空间，是x 上的c 1 泛函由 1 】知，有一l i p s c h l t z 连续的伪 梯度向量场w ：弱_ x ，其中) c o = u x l ，( ) o ) 设“o x o ，考虑初值问题 j 警= 一( t ( t ) ) ，t 0 ， i ( o ) = u o 设其解为u ( ，“o ) ，最大右存在区间为【0 ， ( 撕) ) 因为，沿解曲线“( t ，u o ) 下降，故称“( ，u o ) 为，的下降流曲线 利用泛函的下降流可以证明各种形变定理，这些定理在i 临界点理论中起重要作用， 例如极小极大理论、m o r s e 理论及l u s t e r n i c s c h n i r e l m a n n 理论等，读者可参考【2 2 、 1 0 、 1 1 、 12 、 t 3 为得到形变定理，p s 条件是必需的回想一下，称定义在mcx 上 的泛函，满足p s 条件，如果任给一列( ) c m 满足( ，( ) 有界，7 ( “。) - 0 ，m - o 。) ， 则( ) 存在收敛子列形变定理的基本思想表明，如果，满足p s 条件，常数c 不是， 的临界值，则对某个e 0 ，c 一。是缸。的强形变收缩换言之，如果厶不是厶的强形 变收缩，则至少存在一点c a ，6 】是，的临界值 在各种形变证明过程中，上述初值问题的解对于构造形变具有关键作用许多情况 下，形变由下述初值问题的解构造 i ! 学= 一 ( u ( t ) ) ( “( ) ) ，0 ， 【 ( o ) = u o 1 东南大学硕士学位论文 2 其中 ( ”( t ) ) 可根据情况适当选取 文【4 1 并没有利用下降流构造形变，而是直接研究下降流，分析流线性质、变化趋势 及其极限状态并证得如果一条流线不趋向无穷，则其终点必为临界点这样看来找到 这种起始点就能得到相应的临界点，但由不同点出发的流线最终可能流向同一点，为了 得到更多的临界点，文 4 】引进流不变集概念，并证得在适当条件下，如果泛函在某不变 集上有下界，则此泛函在此不变集上至少有一临界点因此只要构造多个互不相交的流 不变集，便可得到多个互异的临界点 刘兆理在【4 】中利用流不变集方法得到四个临界点的存在性结果，这一结果有一至关 重要的条件，即要求泛函的梯度场具有某种特殊形式文 4 利用此结果研究了一类超二 次二阶微分方程，本文利用此方法研究次二次情形；当利用流不变集方法研究h a m i l t o n 系统时，我们无法验证对应的变分泛函是否具有这种特殊形式，为此，我们首先设法构 造了一伪梯度场来代替梯度场，得到一个便于应用于h a m i l t o n 系统的四个临界点的存在 性结果进而利用此结果结合极小对偶作用原理我们研究了一类凸自治h a m i l t o n 系统 本文的安排如下： 第二章介绍流不变集和极小对偶作用原理的概念及基本结论，并给出一个改进的 临界点定理 第三章利用流不变集方法研究二阶微分方程，得到一个四周期解存在性结果，并 利用此结果研究了一类二阶次二次微分方程的周期解 第四章将第三节的改进结果结合极小对偶作用原理应用到h a m i l t o n 系统，得到一 个h a m i l t o n 系统四个周期解存在性结果 第二章一些概念与基本结论 本章引述流不变集和极小对偶作用原理的基本概念与结论及所需的其它结论，其中 的结论均不予证明，读者有兴趣的话可参阅 4 】、 6 】为将流不变集方法应用到h a m i l t o n 系统，我们对 4 中定理3 3 作适当修改，得到一个改进的找多个i f 占界点的结果 2 1极小对偶作用原理的基本概念与结论 我们记r o ( r n ) 为由r _ ( 一0 0 ，+ o o 上的所有凸下半连续的函数构成的集合，其定 义域d ( f ) = ( u r n ：f ( “) o ，q l ，卢o ，7 0 ，使得f r 0 ( ) 满足一卢墨f ( ) d 口( 一1 ) 川4 + “er ”，且1 j 如果”a f ( u ) ，便有 n ( p q ) p ( 一1 ) 1 1 p ( 口，u ) + 卢+ 7 且 i v l 伽。，劬【卜l - i - 卢+ 州4 - l ( 口一1 ) 命题2 2 如果凸函数f ：r ”_ + r 在u 点可微，则o f ( u ) = v f ( u ) 命题2 3 如果fer o ( r n ) 严格凸且f ( u ) l u i _ + + o o ，当i u l _ + + o 。，则f + c 1 ( 蚪，r ) 3 壅宣盘堂塑堂鱼量塞 4 定义2 3 设日： o ，纠衅”_ r ，( t ，“) _ h ( t ，u ) 是一光滑h a m i l t o n 函数，对每个 t o ，t 1 ，h ( t ，- ) 满足命题2 3 的假设，则h ( t ，- ) 的f e n c h e l 变换h + ( t ，) 定义为 日+ ( ， ) = s u p u r ( ( ，u ) 一h ( t ，u ) ) 或 h + ( t ， ) = ( ，“) 一h ( t ，“) ， = v h ( t ，u ) ，u = v 日+ ( t ， ) 我们把需要的其它几个结论罗列在下面 定理2 2 ( 基本引理) ：设t ， l 1 ( o ，t ；r n ) ，如果对每个，c 掌，有 z7似巩，(啪也=一小班f(t)dt0 ， ( u ( t ) ，( ) ) 也= 一( ”( t ) ， ， j j 0 则 f 0 t v ( t ) 也= 。，且存在c ，满足 “( 亡) = z 。”( s ) 巩+ c 。e 0 ，卅 命题2 4 如果咕p 中列( k 满足“女一“则u - u 定理2 3 设l ： 0 ，卅r r ，( t ，z ，y ) _ 工( ，。，y ) 对于每个i x ，引r r ：关于t 可测， 对几乎每个t 【0 ，t 】关于陋，们连续可微如果存在a g ( 耐，豫+ ) ，b l 1 ( o ，t ；r + ) ，c l q ( o ，正r 十) ，1 q 。，使得对。t 0 ，t i 及每个k 们r ”，有 l l ( t ，z ，g ) | d ( i z i ) ( b ( t ) + i l ) ； l 玩l 0 ，z ，) i n ( i z l ) ( 6 ( t ) + l g l 9 ) ； l 见l ( t ，z ，) i o ( h ) ( c ( t ) + l v l “) 其中，i 1 + i 1 = 1 ，则下面定义的泛函妒 l p ( “) = tl ( t ，u ( t ) ，d ( t ) 础 在噼9 上连续可微且 t t 。上 ( d z l o ， ( ) ，吐( 。) ) ， ( ) ) + ( 工。工( 。，( ) ，吐( 。) ) ，。( 。) ) 】d 亡_ 2 2 流不变集理论的基本概念及结论 设x 是一b a n a c h 空间，c 1 ( x ) ，7 ( “) 是，在u 的梯度算子，记k = “i u x ，( u ) = o ，x o = x k 查童盔兰塑圭生垡堡墨 5 定义2 4 l i p s h i t z 连续映射w ：x o x 称为，的伪梯度场，如果 j ( ，( “) ，( “) ) 驯，( u ) n x o ； 2 i i i 矿( u ) 2 i l l 7 ( “) | | ，x o 由【1 】知c 1 泛函的伪梯度场一定存在在实际应用时，定义中不等式的系数可作适 当调整 设( “) 是，的伪梯度场，i t 0 x o ，在上考虑初值问题 j 鱼磐= 一( u ( t ) ) ，0 ， ( 2 2 1 ) 【( o ) = i t 0 ， y 殳u ( t ，u o ) 是( 2 2 1 ) 的唯一解，最大右存在区间为 0 ，t ( u o ) ) ，由于亟! 长鳓 0 ，故，( ( f ，t o ) ) 在 o ，t ( u o ) ) 上单调下降，故u ( t ，“o ) ( 0 t t ( u o ) ) 称为一条下降流曲线 定义2 5 x 的非空子集m 称为由伪梯度场确定的，的下降流不变集简称流不变 集，如果对所有t t 0 m k ，有 “( t ，“o ) 1 0 t 一o o ，在m d 上满足p s 条件，“”。0 器( d ) ，( “) 。i a n 。f 。，( ) 一o 。，。a 。慧( d ) ，( u ) 是，的临界值，在u o m c m ( d ) 上至少存在一点对应 此值 引理2 5 设，e c l ( 日，嘞，7 ( ) = u a u ，d l n d 2 吼a ( o d l ) c d l ，a ( o d 2 ) c d 2 ，则存在 ，的伪梯度场使得d l ，工) 2 是流不变集，且o d lcc h ( d 1 ) ，a d 2cc h ( d 2 ) 假设： ( a 2 2 1 ) h 是一h i l b e r t 空间，x 是一b a n a c h 空间，x 可嵌入日，是日上的e 2 一。 泛函，7 ( ) = 一a u ，f 作为x _ + x 的算子也是l i p s c h i t z 连续的； ( a 2 2 2 ) k = “g l f ( “) = o c x 对u o x ，分别在日和x 上考虑初值问题： i ! 铲= 一u ( t ) + a ( u ( t ) ) ， ( 2 2 2 ) 【u ( o ) = u o 设u ( t ，”o ) ，西( t ，“o ) 是( 2 2 2 ) 分别在h 和x 上的唯解，解的最大存在区间分别为 0 ，”( u o ) ) 和【o ，刷u o ) ) ，由于x q 日，故 ( “o ) 目( “o ) 且“( ，u o ) = 面( t ，啪) ，( 0 t 玎( “o ) ) 假设： ( a 2 2 3 ) 钺u o ) = q ( u o ) ，u ( t ，“o ) = 石( t ，o ) ，且如果对u e x ，1 虫、u ( t ，“o ) = 在h 拓扑 下成立，则此极限在x 拓扑下也成立 ( a 2 2 4 ) ，在日上满足p s 条件，存在x 的开凸子集d 1 ，d 2 满足d l n d 2 匝a ( o x d l ) c d l ，a ( 敲d 2 ) c d 2 ，这里敬皿为d i 相对于x 的边界，i = 1 ，2 ( a 2 2 5 ) 存在道路h ：h 卅- - + x 满足 ( o ) d 1 d 2 ，h ( 1 ) d 2 d 1 ，且乎，( u e d l 、n d 2 一 s u p ，( ( t ) ) ，这里磊“为功相对于x 的闭包，i = 1 ，2 t e o ，明 定理2 6 假设( a 2 2 1 ) 一( a 2 2 5 ) 成立，则，至少有四个临界点，分别位于d 1nd 2 ，d 1 _ 2 ，d 2 万i 和x ( _ l u 玩) 2 3 一个改进的临界点定理 这一章，我们对上一章的定理2 6 作适当修改，得到一个新的临界点结果，在第四章 中，我们将利用此结果研究h a z n i l t o n 系统的周期解 设日是一h i l b e r t 空间，x 是一b a n a c h 空间，x q 日 假设： 东南大学硕士学位论文 7 ( a 2 3 1 ) 存在两个b a n a c h 空间列 x d ， 峨) 满足： 妇l x j r 一1l l x 1l x o ； h j r 一1l h n 一2l - l h tl h o ； x q x o 、x n q h ( a 2 3 2 ) ，是日上的c 2 泛函，w 是，的伪梯度场w ( u ) = u f g u = u a u ，其中 g ：x i + hl 凰是有界连续算子，满足局部l i p s c h i t z 条件，即对每个邻域vc 置， 存在尬= 珥使得i i g ( z ) 一a ( y ) l l m m , i i z y l l x , + h ，妇，y v f ：甄_ + 甄+ 1 是有界线性算子 ( a 2 3 3 ) k = u 日i ，( t ) = o c x ( a 2 3 4 ) 定理( 2 6 ) 中的a ( 2 2 4 ) ，a ( 2 2 5 ) 成立 定理2 7 假设( a 2 3 1 ) _ + ( a 2 3 4 ) 成立，则，至少有四个临界点，分别位于d lnd 2 ， d l _ 2 ，d 2 万l 和x 画u _ 2 ) 注1 我们的结果与定理2 6 的不同之处主要在于用伪梯度场代替了梯度场，这一改动 有助于我们将此结果应用于h a m i l t o n 系统 注2 在具体应用时，例如当x = 嚼= u c 1 ，u 以t 为周期 ，h 一磷，= 扣 日1 ，“以t 为周期) 时，按照 4 】引理5 1 的说法，符合条件的空间列( x d ， 皿容易构造 注3 ，的梯度场，( u ) 或伪梯度场( u ) 具有形式u f g u 有两种作用：其一是提升解 的光滑性，由下面的引理2 6 可见，其二是构造流不变集，即下面的引理2 7 的意思 注4 只要有了下面三个引理，定理2 7 便可与定理2 6 一样加以证明，读者可参阅闰 设u o x ，在日上考虑初值问题 l 鱼磐= 一u ( t ) + 山( t ) ， ( 2 3 1 ) l ( o ) = 1 1 0 引理2 6 假设( a 2 3 1 ) 一( a 2 3 3 ) 成立，初值问题( 2 3 1 ) 的解为( ，咖) ，其最大存在区间 为 0 ，口( 蛳) ) ，则 n j_ i 工0 ，i j , 0 ) x ，、托1 0 ，”( u o ) ) i 例如果在h 拓扑下蜘、u ( ，u o ) = 矿k ，则此极限在x 拓扑下也成立 t + ”l 如j 证明：结论( 1 ) 的证明可参考 7 】中引理3 1 的证明，( 2 ) 的证明可参考 8 中引理2 的证明 注引理2 6 的结论与假设a ( 2 2 3 ) 是一致的，即u ( t ，o ) 可视为初值问题( 2 3 1 ) 在x 上 的一条流线 查童盔兰塑堂堡迨皇8 引理2 7 设，c 2 ( 日，嘞，w 是，的伪梯度场，具有形式( u ) = t z - - f g u = u a u ，“e h 设日的两个开凸子集d l ，d 2 满足：d 1nd 2 吐a ( o d l ) cd 1 ，a ( o d 2 ) cd 2 ，则存在， 的伪梯度场面，使得d l ，d 2 是流不变集且o d l c i ( d 1 ) ，o d 2cc h ( d 2 ) 由引理2 5 的证明可见只要证明下述引理成立，上引理即可得证 引理2 , 8 设m 是h i l b e r t 空问日的一闭凸子集，c 2 ( 甄r ) ，w 是，的伪梯度场，具 有形式：( u ) = u f g u = u a u 且a ( o m ) c m ，则存在一，的伪梯度场i e 使得m 是由而确定的，的流不变集 证明：记h o = h 蜀，其中k = uj “日 ，( u ) = o ，设u + h o ，定义 u ( u 。) = m 凰舢一a 矿| | 割，协+ ) 协 则 u ( u ) 1 - + h o 是凰的个开覆盖，必存在局部有限开覆盖，记为( 1 怯i a a 对于 a ，定义 a x ( u ) = p ( u ，h o w x ) ， g o 及 c x ( u ) = ( a q ( “) ) 一1 d ( t ) ， ueh o 则0 以( u ) 1 且枞( u ) ：日0 - 日满足局部l i p s c h i t z 条件，对任何一a a ，选定一点 o w x 满足如果w x n o m 0 ，则o w x n o m 定义 b ：e b 皿b u = a 以( t ) a o ， t 正h o 则b ：h o _ + 日满足局部l i p s c h i t z 条件，因此可：j b 也满足对任一 凰，只有有 限个巩，记为w a ( i = 1 ，2 ，n ( “) ) 包含u 对每个i 0 = 1 ，2 ，n ( u ) ) ，存在u 爻凰使 得。cu ( t ；) ，因此a a ；ic 矿( “；) ，u 。cu ( q ) 因此有 | | 如一a 。k i i i i a 一蝎。+ | l 峨一a 。k o 扣( u i ) 1 1 扣协) 丕壹太堂塑堂丝迨塞 故 | 1 w 7 ( u ) 0= 0 u b | | = i i 曲 ( u ) ( t 一a o ) i l a 枞( ) 0 一a u + a u a a a 。) | | 。a 咖 ( u ) ( 2p l ( “) ) l + 1 l i i ( u ) 1 1 ) 0 = 割，) 1 1 ( ，7 ( u ) ，i 矿( u ) ) 一( u b u ，7 ( u ) ) = ( “一a u4 - a u b u ，( “) = ( w ( t ) ，( “) ) + ( a u b u ，7 ( u ) ) ；i l ( u ) 1 1 2 + ( a 枞m ) ( a u 一血 ) ， ) ) ；i i ( u 川2 一抄( u 川2 = i n ( u 川2 9 因此万是，的伪梯度场( 因为适当改变梯度场定义中的两关系式中的常数不影响它所起 的作用) 可以证明b ( o mn 玩) cm 事实上，如果t a m n h o ，且对a a ，枞( u ) 0 ，则 n o m ，因此n o m 0 且o n o m 由于a ( o m ) cm ，故a a m ，故 由m 的凸性及 a 枞( u ) = l 知b u m 设“o m ，如果存在0 n q ( u o ) 使得 u ( “，u o ) g m ，则存在t 2 满足0 t 2 t l ，u ( t 2 ，u o ) o m ，且当t 2 0 ，使得当0s t 6 时，t ( t ，u ( t 2 ，u o ) ) m ，因此当t 2 t t 2 + j 时，u ( f ，“o ) m ， 这与如的定义矛盾因此，对于u o m ，有f u ( ，如) i o t 口) c m ，得证 第三章一类二阶微分方程的多周期解问题 本章我们研究二阶微分方程 也( t ) + v 。v ( t ，u g ) ) = 0 ( 3 0 ) 这里v 是定义在r r ”上的光滑函数，关于t 可测，以t = 2 为周期，关于“j 二 阶连续可微，且y 关于以t i 为周期，t = l ，2 ， 我们规定： 对于t ：【o ，t _ r ”， ： 0 t 】_ + r ，若啦( t ) 优( ) ，t 0 】t 】，i = 1 ，2 ， 则记 为“嵋若啦( t ) 啦( t ) ，t 0 ，卅，i = 1 ，2 ，则记为u 以下为了书写简便，省略向量函数的自变量，如”( t ) 简记为“ 3 1 本章的主要结果 我们作如下假设： ( a 3 1 1 ) 存在以t 为周期的函数也妒c 2 r ) ，满足 咖钒 一v 。y ( t ，咖) ； 一书v 。v ( t ，妒) ； 对任一i = 1 ，2 ，存在t 【o ，t 】，满足一五( 屯) 堑铲 ( a 3 1 _ 2 ) 存在0 ，使得v v ( t ，) + k 2 i 是增算子 ( a 3 1 3 ) 存在h 工1 ( o ，t ；墩+ ) ，0 a j 1 ，0 卢，1 s p 2 ，使得 a i u r 一卢v ( t , u ) 九( t ) + ；卜1 2 ， l v 。v ( t ，u ) l 墨h ( t ) ， 对每个“r ，几乎每个 o ，卅成立这里为r ：空间的欧氏范数 定义空间日= 扣h i , u t 1 t 为周期) 上的内积为： ( “，”) = o r ( 4 i - ，+ k 2 u v ) 出 查堕盎堂塑圭兰鱼迨塞 1 1 此处是满足( a 3 1 2 ) 的定数，相应的h 上的范数记为怕 再定义x = “： 0 ，t 】_ + r ，以t 为周期，“c 1 ) 显然x 叶日 我们的主要结果如下： 定理3 1 如果假设( a 3 1 1 ) 、( a 3 1 2 ) 、( a 3 1 3 ) 成立，则( 3 0 ) 在日上至少有四个周 期解 淀1 _ 4 中( h 5 3 ) 表明其研究的是y 超二次情形，我们这里得到的结果可用于研究次 二次情形 注2 只要验证p s 条件，此定理证明过程与 4 中定理5 1 的证明过程完全一样，不再 赘述 定义泛函j ：日叶r 为 j ( “) = r ；2 + y ( c ，u ) 】出，“日 显然，j c 2 ，j 的临界点对应( 3 0 ) 的解由解的正则性知 k = ( u 日l ( t ) = 0 x 计算可得 ，( u ) = u 一( 一鬟+ k 2 ) 。1 ( v 川抽) + k 2 u ) ，u 日， 如 4 】中所说，可以构造满足( a 2 3 1 ) 和( a 2 3 2 ) 的空间列 x d 和 甄) 下面我们验证p s 条件： 引理3 1 设( a 3 1 3 ) 成立，则对于日中满足，( “k ) _ + 0 ， ，( “ ) 有界的列t 女 必存在 收敛子列 为证明此引理，先证明下述命题 命题3 1 v u 珥，存在常数g 俾u 有关，使得 恻1 2 。恻l ：+ a 证明：u 有f o u r i e r 展式 u ( t ) = u e x p ( 2 i l r k t t ) ， 由p a r s e v a l 等式 e t 女= + 上阳。曼( 4 一舻硎1 2 查堕盔堂塑圭堂垡堡塞 故 故 ( 4 竹弛卜小阳4 w 2 俨。誊t 蚶+ ( 打z 列计 j o 一 女= + o 。 舻俨t l u k l 2 女= 一o o 撕2 t 2f ti 。( ) 1 2 出 j 0 小1 2 d r 0 ，使得对所有( ，“) r ，l u l m 有 v ( t ，u ) 1 + c 1 ， 由v 的凸性，对所有( f ，“) rx r ，川m ， 1 + c z y ( t ，而m “) 丽m y ( 驰) + ( 1 一雨m ) y ( 加) 蔷y ( 如) + q 故存在q o ，卢 0 ，满足对所有( t ，u ) rx 碡， v ( t ，u ) o i l 一卢， 由( a 3 1 3 1 ) 知，存在，y 0 ，使得对所有( t ，u ) 皿x r n ， 忡，u ) 扣1 2 竹 综上，对所有( t ，u ) r r ，有 一卢。i u i 一卢y ( t ，“) ；l “1 2 + 7 由命题2 1 知 i v 。v ( t ，u ) i ；( i u i + 卢+ 7 ) + 1 东南大学硕士学位论文 取 ( e ) = ( 川+ 卢+ 7 ) + 1 ，显然 ( t ) l 1 ( o ，如驴) ，且 。i u i 一卢sy ( t ，u ) ( t ) + j l l u l 2 由定理3 1 ，定理3 2 得证 乳v ( t ，u ) l h ( t ) 1 4 第四章一类h a m i l t o n 系统的多周期解 借助于流不变集方法和极小对偶作用原理，我们研究自治h a m i l t o n 系统 i ，也( t ) + v 日( u ( t ) ) = 0 ( 4 0 ) 的周期解，这里日严格凸，h ( 0 ) = v h ( 0 ) = 0 ，日俨一o ( 衅”，耐) ，即v 日( _ ) ：r 2 ”_ + 衅”l i p s c h i t z 连续 4 1 本章的主要结果 本节我们叙述本章主要结果，第三节给出此结果的证明 假设t ( a 4 1 ) 存在以t 为周期的函数也妒俨r 2 ”) ，庐0 妒，满足 ；一面o ；西一j 茹o ； ，函+ v 。丑。( ) o ；面+ v 。丑。( 妒) 0 对任一 = 1 ，2 ，2 n ，存在t i 【0 ，t ，满足可i ( 屯) + 掣 o ； 对任一i = 1 ，2 ，2 n ，存在t ： 0 ，t ，满足础( t ：) + 掣 0 ，满足v 日( - ) + k 2 i 是增算子 我们在上珐= u 日1 ，u 以t = 2 为周期) 上考虑( 4 o ) ，珥上赋予内积 ( ( “， ) ) = ( 也，o ) + k 2 ( u ， ) 】出， j 0 对应的范数记为l l ，易验证此范数与日上的标准范数等价 我们需要下述命题 命题4 1 ( 6 ) 存在c 1 0 ，使得v u - 略p ，有l 。c l l l u l l 命题4 2 存在岛 0 ，使得v v ，t f ，丑；，有口( 西， ) 出一c 2 1 1 v l l l l w l 证明：由h s l d e r 不等式和命题4 1 一 上( 西，”) 一圳酬口 一t c l l l v l l l l l i = 一c 2 训| _ 】5 查盥盔兰塑圭堂鱼迨塞 1 6 记( 。) = 一( 一象+ 2 ) 1 ( v 日( ) + 2 ) ，口珥k = ( 一象+ k 2 ) ，g = v 日( - ) + 女2 ，a = k g 易验证a ：珥斗珥，是l i p s c h i t z 连续有界算子，即存在国 0 ，使得i i a v l l 岛l l v l l ，v v 珥 命题4 3 若( v u ( u ) ，u ) 2 日( ) ，记m 。糌日( u ) ；m2 鸸日( “) ，则 l t i 1 辛日( “) m l 1 2 ；( 4 1 1 ) l u i 1 = 日( u ) m 川2 ；( 4 1 2 ) 且存在o o ，使得1 1 u 1