（应用数学专业论文）一类拟线性抛物方程的吸引子及其均匀化.pdf

重庆大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 非线性动力系统是理解许多重要自然科学的核心问题，它一直吸引着人们的注 意力。无穷维动力系统中一类重要的问题是非线性扩散问题，它来源于自然界广 泛存在的扩散现象，渗流理论、相交理论、生物化学以及生物群体动力学等领域 都存在这种现象。 数学上，现已建立了无穷维动力系统的重要的理论与数值计算方法【l ，1 3 ，14 。 就偏微分方程而言，最关键的是要建立定解问题的解对时间大范围的一致先验估 计，从而考察该解是否具有渐近状态 。时解的行为的物理量，对吸引子的研究，可使我们 发现该类问题长时间行的内在规律( 如混沌现象等) 同时，我们注意到均匀化 理论是研究系统的微观性质到宏观性质的一种渐进方法。 最近，b e m o l df i e d l e r m a r k i v i s h i k 3 】就如下均匀化前和均匀化后系统的 解之间的关系进行了研究： 如下带快速振动空间变量的非线项，及非齐次项的g 的反应扩散系统： r， 渺= a a u 一雕 x s ) + 啦五( 1 1 ) 【“。( 工，0 ) = u 0 ( 砷 及其均匀化后系统： a 一。2 4 a u 。一，。( 工，“。) + g 。( x ) ， ( 1 2 1 i 。( x ，o ) = “o ( 功 在具光滑区域x n 僚4 上，n 3 带有d i r i c l l i e t 边界条件的问题进行考虑， 在一定的正则性耗散条件下，使得系统( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的解“5 ，“o 对时间r 整体存在， a n i o n r ( 嘞上它们分别收敛于全局吸引子a 。，a 。 基于不依赖于s 的先验估计式文献【3 】中给出了如下估计式： 扩( ，f ) 一“。( _ ，f ) h 。，s 如， 重庆大学硕士学位论文 1 引言与主要假设 对f 0 ，0 2 ，p = p ( p 1 ) ，v = 妇( q ) ，v = w 。) ， h = r ( q ) 阡苫( y ) 且是y 周期的，c ，c j 表示不依赖于f 的( 不同的) 常数a 假设： ( h 04 ( y ，五) ：x r 4 _ r ”是c a n t l l 6 0 d o r y 型的函数，即： ( 1 ) v 五r “，y a ( y ，五) 是可测函数， ( 2 ) 对a 卫y r ”，旯- 彳( 弘a ) 是连续函数。 ( 吼) 对某个给定的正常数口，对所有的( y ，y x r , v 五，五，五2 r 4 满足： ( 1 ) a ( y ，a ) a 口l 五 p c ， ( 2 ) l a ( y ，a ) f 0 ，v 五， 3 重庆大学硕士学位论文 1 引言与主要假设 ( 4 ) a ( y ， ) 对y 是r 周期的。 ( 日3 ) 定义依赖于一n n - 7 ：a ( u ) ：- - 一d i v 4 0 ，v u ) a 假设： ( 1 ) 存在g g t t e a u x 可微泛函j ( y ，“) ：y x v r 使得，：( y ，“) = a ，( “) 即： 当s 一0 + 时，( d ( y ，“+ s v ) - d ，u ) ) s - - ( a y ) ，v u ，v v ，口e y y ， ( 2 ) 存在q o ，e ，c 3 ，a 兰。使得c 。，p g ，o ，“) q t r q , i i ；+ e ， v 口v ( q ) l a ( y ， ) 一a ( y ，屯) l 口。1 i - z 2 , v ，五r ”，o o ，a ，b r ，则 悱+ 翔2 2 y 。u n g 不等式：设1 ，g o ) pg 证明：因为石_ e 是凸的，则 ；l o g a p l l o g b _ a b = e l o g 。+ j 0 9 6 = e 一1 扩矿+ 三一”：竺+ 竺， pqpq 若，令翻，皇分别代替y o u n g 不等式中的a , b ，则得到如下带占的y o 衄g 不等式 曲s 螳+ 三( 鱼) e 一q 6 3 h s i d e r 槲：设1 p ，g ，一i + 三：1 ，若“f ，v 口( q ) 则 j 1 枷s 棚舯， n 证明：由齐次性：不妨设删，= p = 1 ，则由y 0 1 l n g 不等式可得( 1 p ，q m ) f “枷s 珈珊9 蚓喇州” 一般地：设1 s m 如，p 。鸭喜击= l , u k 驴) ( 七_ 1 ，2 ，m ) 贝u 5 重庆大学硕士学位论文2 常用的基本不等式及泛函分析基础 式 j l “。 “，1 出1 2 i i i “，i i p 。， n # 可 4 m i n k o w s k i 不等式：设1 p 。，“，v ( n ) 则 i l u + v | l f 。，- l l u l l 矿。，+ l l q l p 。， 证明： i i u + 叫巴。m = s i “+ v | 9 出s l 卜+ 叫”1 甜l + m ) 出 口一l li 蔓( m + 叫出) 了( ( 仆i 出) j + ( j i 叫) i ) ”硼蔬州k ，+ 印，) 注：离散形式的h 6 1 d e r 不等式与m i n k o w s k i 不等式 i 。ih l n三 i a k b 。i ( k i ) ( m 4 ) 4 ， 对a 娟盹础6 - ( b i j6 1 ，一，贮l p 绳7 1 + 吉2 1 5 上，空间中的内插不等式：设1 j r _ t 。 证明：假设屯f ss 蔓f + r ，在( + ) 式中用s 代t ，并乘以p - j r 5 脚得 _ - d ( y ( s ) e - j j g r 1 4 ) ( s ) e - j ：g 。由 ( s ) ， 7 重庆大学硕士学位论文2 常用的基本不等式及泛函分析基础 对上式在t l 至1 t + ，上积分得 _ y ( f + r ) _ y ( ) p _ g ，冲+ g j ”g ，出j ! + ( 5 ) d ， 对上式在 到f + ，上积分，得 y ( f + ，) y ( ) 8 _ g f 出+ g _ g 。出：+ ( j ) c 舀 s ( y ( f 1 ) + a 2 ) g “ 该不等式x c t 到f + r 积分，即得结论。 2 2 一致先验估计式 我们首先导出同几个后面常用到的关于( 只) 的估计式 定理2 1 设( 日。) ，( 日：) ，( 日：) 成立，u 。h ，厂上，( q ) ， “。 是( 只) 的解序 列，则任意的e ( o 占占。 0 ， 将其代入( 2 4 ) 式，可得 知。q m 拈c ， 对上式用g r o n w a l l 不等式，可得 m es l ：e 哪+ 导( 卜。一c 3 t ) ， ( 2 5 ) 由此可得( 2 1 ) 式 同样我们也可由( 2 4 ) 式得到下面的式子 ，嚣】。f j 2 凼+ 口盯啤j v d x d t _ 。l u o l 2 出+ c t ， 从而得到t ( 2 2 ) 式 其次，我们证明( 2 3 ) 式，故在( 只) 第一式子两边乘以o t u 。，并在q 上积分 得： 。i o , u , 1 2 出+ j 。d f v ( 4 “) a 。西c = j 。a ，。f 魄+ 。七a 。d x ， 注意到假设( 风) 及已得( 2 1 ) 式，立即可得( 2 3 ) 式 撑 2 3 一些泛函知识准备 2 3 1 弱收敛 定义2 1 一个b a n a c h 空间x 中序列纯) 弱收敛到x 是指： v x x + ，( 工，) 。 ( x ，x ) ，。，z 记为：与x i nx 。 ( 这里x + 表示- x 的共轭空间) 命题2 1 强收敛可得出弱收敛，且有限维空间中，弱收敛和强收敛等价。 命题2 2 设 毛) 在z 中弱收敛到工，则： i ) k ) 在x 中有界，即，存在与h 无关的常数c 使得： q ne n ，蚓ls c 9 重庆大学硕士学位论文 2 常用的基本不等式及泛函分析基础 f f ) i i x l l 。s 舰i 1 1 f 。 定理2 1 ( e b e r l e i n s m u l j a n ) 假设z 是自反的( r e f l e x i v e ) 的b a n a c h 空间， 且饥 在x 中有界，则： f ) 存在 x a 的子列 和使得： x q 与x i nx i i ) 如果慨 的所有子序列都弱收敛到同一个极限z ，则有： x ，山x i nx 下面我们给出一个弱强序列乘积极限的命题： 命题2 3 设玩) 匕z ， 儿) c x 4 使得： 沁b x i nx 【只y i nz + 则有： 熙( n ，_ ) n 。= ( y ，母牡。- 证明：因为： 熙l y o ，吒) n 。一( 弘z ) n 。i - - ! a l ( y 一y ，毛) 。二。+ ( y ，一x ) 。i - - ! 觋i i y 一y l l 。m 。+ 熙i ( ) ，x n 一工) 。j i = 0 样。 2 3 2l p 空间的一些性质 定义2 2 对任意的泛函口：q 专r 我们定义它的支集： s p t 妒= f x n ，妒o f l n 定义2 3 对1 p o o ，定义： 幽，= f ：q 毗厂可测且黔扩出 。 p ( q ) = f 厂l 厂：q 一足厂町测且存在c ，使得：i ( z ) f c ，口棚) 1 0 重壅查兰堡主兰堡笙塞 ! 堂旦竺苎查至簦茎垄垦里坌堑至型 l g ( n ) = ，l 厂( 动，v 有界开集脚且面c q 命题2 4 对i ，我们定义) 在下面的范数下是一个b a n a c h 空问 i i i i l 以。, = i 弘，r d x l j p 懈， 【自a f c ，if l - c ，口_ e n ) p = 佃 同时，当1 p 。时，f ( 功是可分的。 命题2 5 对l p ，序列印。 c f ) 然后我们有下面的等价命题： 。与“i n ( n ) f f ) 蚓k ) c e 与厩关， 协j “。出_ f 池v 1 c ， 定义2 3 “。旦斗“ i n f ( q ) 是指： v p f 。( q ) ， j p 出j t 尹出 1 其中土+ 土= l ，1 户，p p 有： l j ” j ，。一，n 玛且q 有界，则有： “c ( 西) 且s u p j “i 1 ，存在常数c = c ( n ，k ，p ) 使得： f ) 如果“叼( n ) ，n 印，p 2 1 有： 0 “l 【叩。一扣) ；n c | | v “| l 。，；n ， i i ) 如果“喇。( q ) ，n 0 使 得：对任意的“职9 ( q ) 有： 川出- c f l v “l d r 其它的一些p 空间性质可以查n 3 3 1 “4 0 】， 4 1 等。 2 3 3 快速振荡周期函数的弱极限 定理2 6 设1 p ，且j r l p ( y ) 是一个y 周期函数，设 工= ，( 兰) ，口e o nr “ 则：若p 懈，当占一0 有： 丘与姒舻高删咖加地) 其中q 是r ”中的任意有界集。 若p = 栅当占_ 0 有： 1 2 重庆大学硕士学位论文 2 常用的基本不等式及泛函分析基础 正与嵋) _ 献，( 力咖 伽以q ) 定理2 6 在研究均匀化理论起到了决定性的作用，为了方便阅读，我们给出 定理2 6 的证明。 证明：1 ) 先验估计， 当p ：佃，对工= 厂仁) ，伽0 l r ”我们有： i i , 1 1 r 。，= l l f l l r 。， 于是存在子列 正 和f 使得： 矗翌与f i n r ( 彤) 现在我们考虑p 0 ，存在自然数砰，使得：v 扛l ，2 ，n 有 l = k l i + 霄其中0 s y ； g l f 1 3 重庆大学硕士学位论文2 常用的基本不等式及泛函分析基础 当占一。时s 七j 斗等 另一方面我们注意到g y 的变换集严格包含在i 中，于是得到 p ) 二砰聪x - 于是可得： 挑，斗黼= 饼。 为了估计) ，我们发现能选择和巧使得被个歹的变换集覆盖， 其中k = ( 晔+ 1 ) ( 蛭+ 1 ) ( + 1 ) ，然后有； n 。( s ) k 一n ( e ) = 4 + 皿， 其中4 = 窆i = l ( 码 a 于是我们有： ， ，4 一喜( 罂等 s 一冉等= n 措 对任意，= 1 ，2 ，h 我们有： l j 。我们知道 s ”t b 。o 0 由厂的周期性和周期函数的积分区域变换有： n ( e )仕) i i f , l l 即，i f , 1 9 出+ 坩出 2 1 e 珏 七。1 g = 【( 占) + 协) li if , i d x 盯 = 【( s ) + ( 占) p i f ( y ) l d y r = c i l ，l l 口y ( r ) ， 其中常数c 与s 无关。于是对任意的有界开集国c r “， 正) 在空间f ( 甜) 中 有界。 特别地，对l p 0 0 存在g f ( ) 和子列 正。 使得： 1 4 重庆大学硕士学位论文2 常用的基本不等式及泛函分析基础 正b g i n f ( 珊) 2 ) 极限的相等， ( a ) 当l o 存在与s 无关常数c l 使得： ! ( 正刮啦m b 忧一i i 庐 明显地：任意的叩 0 存在与占无关常数c 2 使得 c 护嵋c 门，触i s 锄，i i 最后由( a ) 知道：当占j0 时， ( 一m ，( g ) ) e d x 斗o ， 于是有： ( 五( 工) 一m ，( f ) ) 妒d x - - - 0 于是正马坞( ，) - 南 m ) 砂加地) 。 我们完成了定理2 6 的证明。样 1 6 量塑重羔型里主堂垒丝壅 ! 堡! ! 三 3 吸引子 本节首先给出吸引子的基本概念，及其存在性定理，然后利用该定理证明 ( 只) 问题的整体吸引子的存在性 3 1 有关吸引子的基本概念与一般结果 在适当的空间中，无穷维动力系统可等价的由连续半群来描述，其中整体吸 引子是描述无穷维动力系统长时间行为的重要物理量，下面给出相关的概念及其 一般结论。 3 1 1 算子半群与极限集 定义3 1 设e 是一个完备的度量空间，r + = f o ，+ 嘞，称算子族 s ( t ) ：e e ，t 0 ) 为半群，若它满足： f ( i ) s ( o ) = ， 汹s ( t + s ) ：s ( f ) s ( s ) ，v f ，s o ( 3 1 ) 若妒是一个动力系统在时刻j 时的状态，则s ( f ) 妒是该动力系统在时刻h j 时 的状态，且： “= s “( o ) ， “( f + j ) = s ( f ) ”( s ) = s ( s ) “( f ) ，v s ，r 0 对于“。e ( 其中2 “( o ) ) ，以为起点的轨道定义为r + ) 2 。u s ( t ) “。，称 为过“。的正轨道，一( u o ) 2 譬缸( o ，称为过“。的负轨道，其中“：( 一，o 】一，且 满足“( f + s ) = s ( f ) “( j ) ，v t ，s ，j 0 ，s + t 0 ，t 0 ( 或”( f ) s ( - t ) 一1 o ，v t o ) 。过“。 的全轨道记为r ( u o ) = r + 。) u r 一( “。) 。 对于任意子集b 匕e 我们分别称 ，+ ) = ur + ) ，。( b ) = ur - ( “) ，r ( b ) = ur ( u ) ， 为过集b 的正轨道、负轨道与全轨道，并分别定义集合占的一极限集与口一极限 集为： e o ( b ) = nu s ( t ) b ，口( 口) = nu s ( f ) 。b 1 7 重庆大学硕士学位论文3 吸引子 容易看出伊c o ( b ) 当且仅当存在序列 儿 亡b 及斗m ，使得 s ( 乙) 纯一仍 当n - - ) 时a ( 3 2 ) 3 1 2 整体吸引子及其存在性定理 定义3 2 设e 为完备的度量空间，s ( t ) 为算子半群，如果紧集4 满足： ( i ) 不变性即在半群的作用下为不变集s ( t ) a = a ，v t 0 ； ( i i ) 吸引性即a 吸引e 中的一切有界集。 那么，紧集a 称为半群s ( f ) 的整体吸引子。 注：a 吸引e 中的一切有界集是指对任何有界集b c e 有d i s c s ( t ) b ，a ) 一0 ， 当t 呻。时，9 , u 。出发的一切轨道5 ( 啪。收敛于a ，即 当t 一o o 时，d i s ( s ( t ) u o ，彳) _ + 0 上述的距离理解为如q ，a ) = i，y ) ，) 表示 x 到的距离，而两n _ f d ( x d ( xy e e e y r t d 个集合岛，墨2 p q 的半距离d b ( b o ，b 。) 定义为： d i s ( b o , b 1 ) = s u p i n f d ( x ，y ) x e 晶，q 整体吸引子是非常复杂的，除了包括非线性演化方程的简单平衡点外，还包 括时间周期轨道，以及奇异吸引子等。它可能不是光滑流形，且具有非整数维 数。 为了给出整体吸引子的存在性定理，我们需要引进吸收集的概念。 定义3 3 对于有界集风c e ，若存在t o ( 风) 0 ，使得对任何有界集b c e ，有 s ( t ) b c b o ，v t t o ；则称风为e 中的有界吸收集a 下面给出整体吸引子的存在性定理。 定理3 4 设层是完备的度量空间，s ( t ) 为连续的半群算子，若存在开集 u c e 和v 中的一个有界集b ，使得丑在u 中是吸收的，又满足条件： ( 1 ) 算子s ( f ) 对充分大的f 是一致紧的，印对每个有界集b ，存在t = t o ( 占) ，使 得us ( t ) b 在e 中是相对紧的。 f 矗。 或 ( 2 ) s ( f ) = s 1 ( 力+ s 2 ( f ) ，其中算子s l ( f ) 对充分大的f 是一致紧的r 算子 s a t ) ：e _ e 为连续映射，且对该有界集占c e ，有 r bc t ) = s u p 慨( o 妒1 1 。呻o ，t - - a o e d 1 r 重庆大学硕士学位论文 3 吸引子 则b 的极限集a = ( b ) 是紧的吸引子，它吸收u 中的有界集，它是u 中最大有 界吸引子，且当【，既凸又连通时，a 是连通的。 定理3 4 的证明需要如下几个引理。 引理3 5 设a 为e 中的菜子集，且a 0 ，对于某t 。0 ，集合us ( t ) a 在e 中是相对紧的。则珊口) 是非空的，紧的，不变的。同样地，若s ( 矿1 a ，t 2 0 对某 t 。 0 是非空的，us ( f ) - 1 a 是相对紧的，则口( 一) 是非空的，紧的，不变的。 引理3 6 若半群 s ( f ) ，t o 连续，满足定理3 4 中的条件( 1 ) 或( 2 ) ，则对于 e 中的任意有界集风，缈( 鼠) 是非空紧的，不变的。 引理3 7 若u 是开的凸集，且ke - u 是紧的，不变的，且吸引u 中的紧 集，则世是连通的 稍后给出上述三个引理的证明，首先我们由上面的三个引理给出定理3 4 的 证明 定理3 4 的证明： 首先我们对较简单的情形( 1 ) 给出证明，由于us ( t ) b 是相对紧的，则由引理 3 5 可知) 是非空的，紧的，不变集。我们将证明a = ) 在u 中是吸引子且 它吸引u 中的有界集。用反证法，假设对某有界集b 。c u ，当t 呻m 时， d i s ( s ( t ) b o ，a ) 不以零为极限，则存在j o 及序列t 。- 。使得 d i s ( s ( t 。) b o ，4 ) 占0 ， v n ， 对每个片存在b 。b o 满足 d i s ( s ( 。) “，4 ) 霎 o ( 3 3 ) 由于b 是吸收的，s ( t 。) 岛及s ( f 。) 6 。对充分大的n ( 即t 。t i ( 风) 时) 是属于占的a 则序列s ( t ) 6 。是相对紧的并且至少有一个聚点卢， 2 罂眠) 气2 牌弧一) 跳) 6 由于s “) t b ，a = 埘) 而这于( 3 3 ) 矛盾。 吸引子彳是最大的，若存在有界吸引子4 3 爿则c b ，由于s ( t ) a 2 月当 f 充分大时，是包含在b 中的，故： 出( 4 ) = a c 国( b ) = a 1 9 重庆大学硕士学位论文3 吸引子 现在针对( 2 ) 的假设给出证明，由引理3 6 可知c o ( b ) = a 是非空的不变集，其 实上4 吸引有界集已由反证法证得，所不同之处在于我们要证明s ( t 。) b 。是相对紧 的，我们不能直接得到s ( r 。) 6 。是相对紧的，但我们可以知道s 。( f 。) 6 。是相对紧 的，从稍后的引理3 6 中的证明可以推出s ( ) 6 。相对紧。 a 是最大的吸引子的证明同上。 由引理3 7 我们可以得到爿是连通的。 # 现在给出上面几个引理的证明。 引理3 5 的证明： 由于哇是非空的，则对v s o ，集合us ( t ) a 也是非空的，因此us ( t ) a 是非空 的，紧的且随s 的增大而减小，nu s ( t ) a = ( 4 ) 是非空紧集，由( 3 2 ) 对o j ( a ) 的 描述易知： s ( t ) c a ( a ) = c o ( a ) ，v t 0 若妒s ( f ) 国( 4 ) 则y = s ( f ) 妒，伊( 一) ，由于s ( f ) 是连续的半群，r 。由( 3 2 ) 给出，我们可得 s ( t ) s ( t 。) 舻。= s ( t + f 。) 吼 s ( f ) 伊= y ， 这表明c o ( a ) 。另一方面，若妒( 彳) ，我们再次考查由( 3 2 ) 中给出的 吼，t 。，则在f 。 t 时，则序列s ( f 。一f ) 吼在e 中是相对紧的，从而存在子序列 r 。- 及9 e 使得 s 纯，f ) 吼寸妒，当t 一时。 由( 3 2 ) 可得y 珊似) ，由连续半群s ( f ) 的性质( 3 1 ) 可得 s ( t ) 妒m = s ( t ) s ( t 一f ) 伊 - - s ( t ) e = 伊，当n ， 时。 因此有p s ( f ) ( 4 ) 对a ( a 1 的证明是完全类似的。 样 引理3 6 的证明： 假设定理3 4 中的( 1 ) 成立，由引理3 5 知u s o ) b o 是相对紧的。当定理3 4 中的( 2 ) 成立时，我们给出下面常用的结论： 若有界且f 。一时，则s 2 ( f 。) 霞- - - 0 ，且s 。( ) 仇是收敛的当且仅当 s ( ) 纯是收敛的a ( 3 4 ) s ：( f 。) 纯佑t r o ( t ) 所给的范数是有界的，其中c 表示序列切。k n n ，则 足n ) 吼_ 0 ，且 s ( t 。) p 。= 写( f 。) 妒。+ s 2 ( f 。) 妒 收敛当且仅当s t ( f 。) 吼收敛a 应用( 3 4 ) 及x 寸c o 一极限的描述( 3 2 ) ，我们将证明 2 0 重庆大学硕士学位论文3 吸引子 国( b o ) = 峨( b o ) 其中 c o ( b o ) = nu s ( f ) b o ，掰1 ( b o ) = nu s l ( f ) b o 对。( 风) 的定义与0 2 , 一极限集的定义相类似，而且它具有与( 3 2 ) 类似的性质， 即：妒c o l ( b o ) 当且仅当存在序列b o 及0 _ 0 0 使得 置( r 。) 吼_ + p ，当n 一时。 现证m ( 凰) = 0 3 l ( b o ) ，设伊o j ( b o ) ，则由( 3 2 ) 知存在b o 及f 。呻o o ，使得 s ( t 。) 吼_ 妒，当n _ o o 时。 e h ( 3 4 ) 知，s i ( ，。) _ 妒，当疗- 9 0 0 且妒q ( b 。) ，从而l ( b o ) 3c o ( 坟) 。对于 e 0 1 ( b o ) c ( b o ) 证明方法类似，从而有 珊1 ( b o ) = ( b o ) 在引理3 5 的证明中，我们可以观察到由于假设紧集us 。o ) 风是非空的，闭的， 单减的，则可知国。( 玩) 是非空的，紧的，因此c o ( b o ) 是非空，紧的，故只须说明 ( 占。) 是不变的。与引理3 5 的证明完全类似，可知s ( t ) o j ( a o ) co j ( a o ) ，v t 0 ， 设y s o ) m ( 雪。) ，矿= s ( f ) 妒，妒( 风) ，考查由( 3 2 ) 中给出的序列吼，t 。，则有 s ( t ) s 也) = s ( t + f 。) 伤一s ( f ) 伊= ， 故，l i c ，国( 曰o ) 。现证( b o ) c s ( f ) b o ，v t 0 ，设妒印( 占o ) ， 由( 3 2 ) 存在纯b o ，t 。一时，使得 s ( f ) 吼斗妒，当门一o o 时， 对t 。t ，序列s ( t 。一f ) 纯具有下面的形式 s ( t 。一f ) 妒。= s 1 ( t 。一f ) 妒。+ s 2 ( f 。一f ) 妒。， 其中s t ( f 。一t ) e 。在e 中相对紧，则包含收敛的子序列 岛( f 。- t ) q 口。y ，当吩_ o o 时， 由( 3 4 ) 可知，s 2 ( f 。一f ) 妒m 叶0 ，因此 s ( t 一f ) 妒嘶- - - f i t ，当n ，专o 。时， 从而推出妒珊。) 且 p 2 。l ，i m 。s ( t ) s ( t _ 一f ) 2s o ) y ， 故妒s ( f ) 国( 曰o ) 。 撑 引理3 7 的证明： 2 l 重庆大学硕士学位论文 3 吸引子 丘的闭凸包是紧的，即c o n v k = b 是紧的，连通的且包含在u 中，则k 是吸引 占，若足不连通，我们可以找至9 两个开集u ，u ：且n k ，则u ，n k ， kc u lu u 2 而u 1n u 2 = ，由于kcb ，k = s ( t ) k c s ( t ) a ，由于口连通s ( t ) 是连 续的，故s ( t ) 8 是连通的。因此un s ( t ) b ，i = 1 , 2 且uu 【，：不能覆盖s ( t ) b ， 因此，v t 0 ，存在x ，s ( t ) b ，一盛u 1 u u 2 ，现在考查序列 k n n ，( t = h ) 则该序列是相对紧的，这在定理3 4 中的( 1 ) 的假设下是显然的，在假设( 2 ) 下，我 们可以令x 。= s ( n ) y 。，y 。b ，即 x 。= 置( n ) y 。+ s 2 ( n ) y 。 序列 s l ( n ) y 。 是相对紧的，可得k 也是相对紧的。则置吸引k 。 ，从而扛。) ， 包含子序列( 仍记为。 ) ，收敛到点z k ，r x 盛u 。u u 2 ，导致矛盾， 撑 3 2 ( 只) 吸引子的存在性 对于第一章的1 2 中的问题( 只) ，我们有 引理3 8 i ) 设( 日，) ，( 心) 成立，r u 。h ，f v ，则对任意固定的 占( 0 0 ，且o t u 。，a y 0 。) r ( 0 ，t v ) ；v t 0 ，其中 a ，( u 。) ：= - d i v a ( y ，v u 。) 证明：i ) 解的存在性用标准的g a l e r k i n 方法即可得到。或者对茁= 0 时，应用 j l l i o n s 8 ( c h a p t e r 2 ，t h e o r e m l 2 ) 的证明，我们只要设u ( t ) = a ( t ) e x p o a ) 对该证 明稍做修改我们可以给出r 0 时解的存在唯一性，最后映射“。卜u ( t ) 的连续性 容易从单调性假设( ：) ( 3 ) 得到也可参考 2 0 的证明 对该定理i d 的证明如下：( 也是i ) 的另一种证明 为了叙述方便，将( 只) 问题中的第一个方程a ，一机d ( 兰，v “。) 一础。= ，( x ) 记为a f “一4 “+ c u = f ，( c k = - - k i j )u ( o ，x ) = u o 在( 月。) ，( 2 ) 假设条件下，a ，爿+ 舡，v 0 是矿( 实际上为d ( 4 ) ) 到日上的满 射。因此预解式r 。= ( 1 + 五4 ) 。在日上是有定义的，而且由单调性假设旧：) ( 3 ) 容 易看出r ，是具有常数1 的l i p s c h i t z 连续算子， 1 月。妒一r | ；f ，l 睁一y i ，v 妒h ，v 0 ， ( 3 5 ) 现考查算子4 的y o s i d a 正则化，即 小半， 2 2 重庆大学硕士学位论文3 吸引子 贝, l j a a 在日上是单调的具有常数去的l i p s c h 池算子，v 五 o ( 参见 k y o s i d a 1 6 ，h b r e z i s 1 7 ，) ，当a 一时 二：菇似k 在肿i p l - q 其它 征月中 对v 五 0 我们求解如下的微分方程，即( e ) 问题的近似 ( 3 6 ) 由于以是l i p s c h i t z 算子，则在( o ，疋) 上以是存在唯一的，并且疋一m 时是由下 面的先验估计式可以得到解的整体存征唯一性。 第一个先验估计式在( 3 6 ) 式两边在ha - 与u 。作内积得 三翱幢+ ( 纵蚶，+ ( 函护( 加小 由于 ( 以( 妒) ，伊) = ( 4 ( 9 ) ，y ) + 旯1 4 缈| 2 0 ，v q , h ，y = ( ，+ 一) _ 1 伊 由g r o n w a l l 引理及( 3 7 ) 式我们可以得到 “。在r ( o ，r ；h ) 上是有界的且不依赖于五，v t 0 现把( 3 6 ) 式改写为 掣+ 五1 - r a ( 味f ) ) ) - g ( f ) 删= 厂侧嘎 由h b r e z i s 1 7 ( t h e o r e m l 6 ) 可得 l 掣l 0 ( 3 1 1 ) a 又心( o ) = 0 ，i r a ( “。) l k 1 ，我们可以看出，r a “。在r ( o ，r ；日) 上是有界的， f i t 0 ，再由( 3 6 ) 我们看到 以( “ ) = 彳( r x u ) ， 在r ( o ，丁；日) 上是有界的，v r 0 ，由( 3 1 1 ) 我们可以得到b ) 在r ( o ，r ；矿) 中 有界，v t 0 。那么我们可以由( 3 6 ) 与( 3 7 ) 对该类方程用取极限，则“。，心( ) 收敛到的函数u 满足i ) 和i i ) 的所有要求。存 由引理3 8 ，对任意固定的s ( 0 占s 氏 1 ) ，我们可以定义( 只) 问题对应的半 s ( t ，占) ，h _ h ，s ( t ，占o = 。( f ) ，“。( f ) = “。( x ，f ) 是( 只) 问题的解，则半群s ( t ，s ) ： 日_ h 是连续映射。 引理3 9 设引理3 8 的条件成立，则由( 只) 定义的连续半群s ( t ，s ) 对任意固 定的g ( 0 o 时，映射f 寸，( k ) 一等帆( f ) 噱一( ，) 是单调递减的，特别地，给定 f ，s ，r 0 ，t - t o ( b ，p o ) + ，时， 其中 2 百1 ( c 2 + q + 2 。p ：+ 去( ) + 导：+ 争， 这样当f t o ( 曰，p o ) + r ，当“。曰时，肛( f ) k 是一致有界的。 综合f 1 ) f 2 ) 可得本定理的结论 墅塑型型鲨l ! 垫墼 一 1 _ lm 4 均匀化 为了研究当f 斗0 时吸引子4 。的极限性质，我们首先给出( ) 问题均匀化结果 及其相关证明。对识) 闽题，我们考查当s 专。时，解的渐近行为，这即所谓的( e ) 的均匀化问题 6 】。 4 1 ( 只) 问题的均匀化结果 定义4 1 ( 见 2 ) 对固定的占 0 ，“。l q o ，r ；明是满足下述条件的( e ) 问题的 弱解： 1 ) “硝0 ，t ；l ( q ) ，a ，“。l p o ，t ；v 】，v 掌l p 0 ，t ；v n h l 1 o ，r ；r ( q ) 且善( 丁) = 0 有 j ： 出+ 。( d r u 0 ) a ，f d x d t = o ( 4 1 ) 2 ) 对所有f 0 ，r ；v l 有 j j 前+ r n r 爿唾，吼。v f 出出= f 噜厂( x ) f ，t ) d x d t ( 4 2 ) 其中 表示矿与v 的对偶内积。 定义均匀化匀化函数a 。：r 1 _ + r 4 如下： 矗( z ) = l 4 ，+ v ，。i ( y ) ) 痧， 其中o 。咄( 】r ) 是下列问题的解 j r 4 ，l + vq ) j ( y ) ) v e ( y ) d y = o ，v 妒黟= l , p ( y ) 引理4 2 ( 见 2 ， 1 9 1 ) j 殴( h 1 ) ，( 2 ) 成立，“o r ( q ) ，f ( n ) ，0 g ， ( 。) ( o s 0 对所有占有 忆怯( - m ，则存在子序列( 仍记为) 虬) ，当占_ o 时有： 。_ ”，在口( q r ) 中强收敛： v u 。v u ，在上，( n r ) 中弱收敛； 垩鏖_ 大堂堡主羔垡堡苎 ! 望塑些 4 仁，v u