（课程与教学论专业论文）学生对反函数概念的理解.pdf

摘要 学好数学要依靠理解，“数学理解”应受到数学教育界的普遍关注。“反函数” 是函数知识的重要组成部分，也是函数教学中的重点和难点，笔者以“反函数” 知识为依托，调查了“学生对反函数概念的理解”，以期从中获得一些有价值的 结果，并为教学提出有针对性的建议。本研究通过对高一、高二、高三年级共 1 5 6 名学生的问卷调查和个别访谈，考查了学生对反函数概念的定义、反函数与 原函数的关系以及反函数存在性三个方面的理解状况，得出以下结论： ( 1 ) 学生对反函数概念定义的理解水平不一，处在前结构水平、单结构水平、 多结构水平和关联水平的学生分别占3 2 9 、2 7 、2 8 3 和1 1 8 ；而且学生的 理解呈现多样性，“对应”、“互换”、“运算”、“符号”、“对称”、“实例”角度的 理解在各种理解中分别占2 5 5 、2 1 4 、1 5 0 、8 5 、7 3 、1 7 ；就年级 来看，高二学生的理解最全面，其次是高三，最后是高一。 f 2 ) 学生对反函数和原函数关系的理解并不乐观，认识比较狭窄，且在关系 的认识上存在各种错误；学生对不同关系的理解程度不一，对“定义域、值域互 换”、“图象关于直线y = z 对称”、“原函数和反函数之间形式化的符号转换”三 种关系的理解程度依次降低；不同的关系，在理解水平上呈现出不同的年级差异。 ( 3 1 学生对反函数存在性的理解相对较好，但判断反函数是否存在的方法相 对单一；另外学生判断以图形表示的函数表现最好，其次是判断以解析式表示的 函数，判断以表格表示的函数表现最差；年级之间，对反函数存在性的理解掌握 程度由高到低依次为高三、高二和高一。 要改善目前我国学生对反函数概念的理解状况，需要我们的数学教育工作者 不断更新教学观念，注重理解的数学教学；在教学中恰当地应用现代教育技术； 并且积极改进对学生数学学习的评价方式。 关键词：反函数，理解，学生，概念，原函数，表象 k a m i n gm a i h e m a t i c sw e nd e p e n d so s t u d e n t s u n d e r s t a n d i n 岛“m a t h e m a t i c s u n d e r s t a n d j n g ”s h o u l dr e c e i v eu l l i v e r s a lc o n c e m s 矗o mm a t l l e m a t i c se d u c a t i o n a l c i r c l e i n v e r s ef i l n c t i o n ”i s 姐i i i l p o n a n tp a no ff l l n c t i o nl m o w l e d g e ，雒d “i sa l s o s t r c s sa n dd i f f i c u h vi nt h et e a c h i n go ff i l n c t i o n w ee x a m i n e “s l u d e n t s u n d e 幅t a n d i n g o f 协v e f s e & n c t i o n ，1 0 0 k i n gf o rs o m ev a 王u a b l ef m d i n g s f o ro u rm a l h e 扭i c s t e a 蛐g i nt l l i sr e s e a r c h ，w e l le x a m i n es t i i d e n t s u n d e r s t a n d i n go nt l l ed e 6 i l i t i o no f i n v e r s ef l l 删o no o n c e p t 、t l l er e l a t i o n so fi i e 塔ef i m c t i o na di t sp r i m 缸yf l l n c t i o n ，a s w e a st h ec x i s t e n c ep m p c r t yo fi n v e i s ef l l n c t i o n ，b yq u c s t i o 肋a i r ci i e s t i g a t i o na d i n d i v i d u a li n t e i e wt o1 5 6s t u d e n t si i ig f a d e1 、g r a d e2 、g r a d e3i ns e n i o rh i 曲 s c h 0 0 1 t h e s ea s o m ec o n c h l s i o n sh e r e i l l a f t e f ： ( 1 ) t h el e v e l so fs t u d e n t s u n d c f s t a i i d i n go nt h ed e f j n i t i o no fi i l v e r s ef i 王n c t i o n c o c c d t 盯ed i f | 隐r e n t ，a l l dt h es t u d e m sa c i l i e v i n gt h el e v e lo fp r c - s t n l d u r e 、 u n i s t n l c t u r c 、m u l t i ，s t r u c t u r ea i l dr e l a t i o na r c3 2 9 、2 7 、2 8 3 a n d1 1 8 s e p a r a i c ly s t u d e n t s u n d e r s t 删i i i g sp r e n td i v c t s i t y ，柚dt h e 岫d e r s t a n d m go nt h ep o i n to f 稍e wh o m “c o i i e s p o n d e n ”、c h a g e 、”o p e r a t i o n ”、”s y i n b o l ”、 s m m e t f y ”、”e x a m p l e s ”o c p j e s2 5 5 、 2 1 4 、1 5 o 、8 5 、7 3 、1 7 s e p a m t e l yi na ut h eu n d e r s t a n d i n g s s c n i o r2s t u d e n t s u n d e r s t a n d i n gi st h em o s tc o m p r e h e n s i v e ，s e n i o r3s t u d e n t s i nt h en e x tp i a c e ，a n d s e n i o r1s t u d e n t s i st h el a s t ( 2 ) s t u d 跖t s u n d e 墙t 强d i g 叩t h er e j a t i o n so fi n v e r s ef i l n 嘶o n 柚d 地p 妇a r yf u i l c 廿0 n d o e s n tt 咖u pt n l m p s t h e i rr c c o g n i t i o ni sf a t h e rl i l n i t e da n ds h 伽幅v a r i o u sm i s t a k 既s i u d e n t s u n d c r s i 蛆dd i 彘f e n tr e l a n o n si nd i 脏f e n td e g r e e s 1 1 i e yd ob e s ti t h ei n i e r c h a n g i n go fd o m a 缸 如dr a 蹭岛b e t t e ri s y 咖e 虹yo ft h et 、抛f i g u r e sc o n c e m i n gy ；算，a n dw o r s ti nt h e s w i t c h i n go ff b 瑚a ls y m b o l s d i 仃e f e n c ea m o n gt h et h r e e 掣a d e sv a r i e sa l 衄gw 油 d i 骶r e n tr c l a t i o n s ( 3 ) s t i l d c n t s u n d e r s t a n d i n g0 nt h ee x i s t e n c ep f o p e n yo fi n v e f s ef i l n c t i o ni sb e t t e r r e l a t i v e l v ，b u tm e t h o d st h e vu s et oi u d 鼬w h e t h e raf i l n c t i o nh a v ei n v e r s ef u n c t i o no r n o ta r es i m p l e xr e l a t i v e i y s t u d e n t sd ot h eb e s ti nj u d g j i l gt h ef u n c t i o np r e s c n t e dw i t l i g f a p hf o 彻s ，t l i e yd ob e t t e ri nj u d g i n gt h ef t l n c t i o np r c s 如t e dw i t ha l l a l y s i sf o r r l l u l a f o m l s ，a n dt h e yd ow o r s ti nj u d 百n gt h ef u n c t i o np f e s e n t c dw i t ht a b l ef 0 珊s a m o n g p ，a d e s ，s e n i o f3d ot h cb e s t ，a n ds e n j o r2d ob e t t e rt h a ns e n i o r1j nu n d e r s t a n d i n g0 n t h ee x i s t e n c ep r o p e n vo fi n v e r s ef u n c t i o n t bi m p m v et h es t u d e n t s u d e r s t a n d i n g0 fi i l v e r s ef i i n c t i o nc o n c e p t ， w e m a t h e m a t i c se d u c a t o r ss h o u l du p d a 把t h ec o n c e p to ft e a c 置i i i l g ，p 矗yi m p o n a n ta t t e n t i o n t os t u d e n t s u n d e r s t a n d i n ga n da p p l ym o d e me d u c a t i o n a lt e c h n 0 1 0 9 yi nm a t h e m a t i c s t e a c h i n gp r o p e d y ，a i l dr e f 协et h ea s s e s s m e n tm a n n e f so fs t u d e n t s 1 e a m i n gp o s i t i v e l y k e yw o r d s ：i n v e r s ef u n c t i on ，u n d e r s t a n d i n 岛s t u d e n t s ，c o n c 印t ，p r i m a r y f l l n c t 沁n ，i m a g e 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 f秽 作者签名：生丝日期：丝： 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在 解密后适用本规定。 学位论文作者签名：平茅导师签名：撕 学生对反函数概念的理解 第一章导言 研究背景 学好数学要依靠理解。尽管理解的学习需要花费大量的时间和精力，从而在 短时间内看不到“立竿见影”的效果，但从长期效果来看，它要比死记硬背数学 定义、公式、定理、法则、解题程序等机械式的学习高出两倍( 李士铸，2 0 0 1 ) 。 许多学者的研究结果表明，理解的数学学习可以增强记忆，降低学习者知识的记 忆量，并能有效地推动知识的正迁移( h i e b e n 甜口，1 9 9 2 ) 。学习者只有理解了数 学知识，将其纳入到个人内部的知识网络中，并建立起完善的图式结构，才能在 需要这些知识的时候顺利、快速地激活它们，这在一定程度上又有助于学习者的 发明与创造( 硪e b c n 盯口z ，1 9 9 2 ) 。另外，理解还能够促进学生产生正确的数学信 念，只有当学生真正认识到了数学知识的本质以及数学知识之间广阔的联系，深 刻体会到了神奇的数学方法和思想的运用，才能对数学及其应用产生浓厚的兴 趣。因此，数学学习中，我们既要把理解作为目的，又要作为一种重要手段加以 关注。 然而，我国传统的教学方式尽管有所改变，但在很大程度上对学生主体的 思维活动依然关注太少，忽视学生的理解，以教师单纯讲授、“填鸭式”和“满 堂灌”的教学模式至今在中学课堂里仍屡见不鲜。在当前应试教育的趋势下，教 师往往急功近利、急于求成，等不得学生漫长的理解过程，过分强调对学生解题 技能的训练，而对学生数学知识的理解重视不够，使得学生在后续知识的学习中 频频遇到障碍，这就常常会出现“头痛医头脚痛医脚”的现象。但这种医疗的做 法和效果总是不好的。苏联著名教育家苏霍姆林斯基曾尖锐批评：“这种只重视 知识移植而忽视学生主体的课堂教学是对学生智力资源的最大浪费。”( 綦春霞， 2 0 0 1 ) 随着我国素质教育和新课程的实施，数学教育界在培养学生的数学理解能 力之理论和实践方面做着积极的努力。李士铸在熟能生巧吗f 1 9 9 6 ) 、熟能 生笨吗? 再谈“熟能生巧”问题( 1 9 9 9 ) 、熟能生厌吗三谈熟能生巧 学生对反函数概念的理解 问题( 2 0 0 0 ) 三篇文章中，深入论述了数学常规训练与数学理解、情感的关系， 指出：常规训练是理解的必要条件，但如果教学中不能把握数学过程与数学对象 之间的平衡，过度的常规练习就会影响到学生的理解力和创造力的发展，还可能 使学生形成不良信念、态度、情绪，对他们今后的学习产生负面影响。我国普 通高中数学课程标准( 2 0 0 3 ) 不吝笔墨地在各个部分对数学理解进行了详细描 述，譬如在教学建议部分指出：“教师应帮助学生理解和掌握数学基础知识、基 本技能”；在评价建议部分指出：“评价要注重对数学本质的理解和思想方法的把 握，避免片面强调机械记忆、模仿以及复杂技巧”；在教材编写建议部分提出： “教材编写要体现相关内容的联系，帮助学生全面理解和认识数学。”许多一线 教师也逐渐意识到“数学理解”的重要性和功效，于是在教学内容安排、习题设 置、教学评价方式和教学方法等诸多方面为切实减轻学生负担、促进学生的概念 性理解做着尝试性的努力。 那么，目前我国中学生对数学知识理解的状况究竟如何呢? 近年来，这方面 的调查研究也为数不少。仔细查阅文献，就不难发现：许多中学生对数学知识是 缺乏深刻理解的，主要表现在对数学概念、定理、公式等的掌握仅停留在表面层 次；解题方法呆板，机械套用解题程序、步骤，不能举一反三；不能有效地进行 知识的迁移等。例如，有的学生在学习了等比数列的知识后，在解决问题时却只 会机械地套用等比数列的通项公式和求和公式，对等比数列的性质和本质特征缺 乏整体把握，从而致使在解题过程中陷入繁杂的计算而不能自拔；又如，学生学 习过函数概念，但仍旧有很多学生认为下列图象是函数图象： 再例如，在学习“反函数”的概念时，有的学生只从表面上形式地模仿套用求一 个函数的反函数的四个步骤：“反解，互换，注定义域，写出结论”，在求函数 y 一工2 ( z o ) 的反函数时，就会常常出现下面的求解程序： y 一九y _ 万_ y = 石， 2 垦 b 学生对反函数概念的理解 从而得出“原函数y = 工2 ( x z o ) 的反函数是y 一lo z o ) ”的错误结论，这 正是由于学生不理解“反函数的值域是原函数的定义域”以及“一一对应的函数 存在反函数，求出的反函数也一定是一个一一对应的函数”等概念特征造成的。 理解是数学学习的中心环节，是获得数学知识的关键，从某种意义上说，数学理 解能力是其他一切数学能力的发展基础，而我国中学生对数学知识的理解并不乐 观，因此，笔者认为，这就需要我们对此做更深入、准确、全面的了解和掌握， 发现学生对数学知识理解困难的根本原因和认知特点，从而更好地指导学生学习 并改进课堂教学和教材编写。这也正是笔者作本研究的基本出发点。 函数概念自1 7 世纪近代数学产生以来，就一直处于数学思想的核心位置， 它是数学中抽象性较强的概念之一。由于函数部分内容的丰富性和知识的基础 性，以及联系的广泛性和较广的应用性，使它成为中学数学的核心内容，贯穿于 整个数学学习过程，也为研究其他数学分支提供了广阔的应用空间，也因此成为 学生学习中感觉最困难的概念之一。反函数是函数知识的重要组成部分，是函数 教学中的重点和难点，对函数概念的透彻理解，是理解反函数的基础；反过来， ， 学生掌握了反函数的知识，同样能深化对函数概念的理解，获得比较系统的函数 知识。但从前面的例子中我们也可以看出，很多学生对反函数的认识仅仅停留在 运算阶段，由于对反函数概念理解不深刻，运算时也就暴露出了很多错误，甚至 有许多学生认识不到反函数首先是在函数范围内讨论的。笔者曾对上海市上南中 学高一年级两个班共9 7 名学生以及华师大二附中高一年级一个班的2 8 名学生对 以下问题做过调查： 请判断下列各图形是否表示了y 是x 的一种函数关系? 然后再判断有没有 反函数? 调查后发现，对于图，能够正确判断“该图形不表示y 是z 的函数关系”的学 生占8 2 4 ，而其中却有1 3 6 的同学认为它有反函数。当问及：“反函数是函 学生对反函数概念的理解 数吗? ”他们会惊讶地回答：“反函数怎么可能是函数呢? ”、“反函数就是用函 数中的_ ，来表示x ”。而对于图，能够正确判断“该图形表示y 是x 的函数关 系”的学生占9 8 ，而其中却有3 9 3 的同学认为它有反函数。学生究竟是如何 理解反函数概念的? 他们的理解水平又达到了何种程度? 存在着怎样的认知困 难和特点? 学生诸多对反函数的错误理解及这些疑问，引发了我对本研究的思 考。 另外，笔者通过查阅大量的文献、资料发现，国内外对函数知识理解的实证 研究很多，但多集中在函数概念、表示、性质等方面，针对反函数知识理解的实 证研究非常少，这更坚定了笔者对本研究的决心，期望能够从“学生对反函数概 念的理解”的调查研究中获得一些有价值的结果，为中学数学的教与学提供一手 资料。 二研究综述 ( 一) 文献研究 对相关文献研究的介绍，我们将从关于“函数知识( 不包括反函数知识) 理解 的研究”和关于“反函数知识理解的研究”两部分加以介绍。 1 、函数知识理解的研究 函数知识的教学和理解在过去数十年的数学教育研究中一直是重要的内容， 有关的研究文献十分丰富，主要集中在函数概念、性质、表示等方面。下面介绍 对本文贡献较大的一些研究。 e dd u b i n s k y ( 1 9 9 2 ) 调查研究得出，大学二、三年级的数学专业学生还不能很 充分地理解函数概念，并从理论的角度解释了学生理解中的困难，设计了运用 i s e t l 语言通过计算机程序向学生介绍函数概念的方法。m a r yb 锄e s ( 1 9 8 8 ) 为了 解学生对函数概念的理解，曾对2 1 名中学生和大学生进行过访谈调查，请他们 谈谈自己是如何思考函数的，也就是当谈到“函数”的时候，他们脑子里能够有 4 学生对反函数概念的理解 哪些表象，然后再请他们用自己的语言说说函数的定义。访谈结果发现，学生想 到最多的是图象或曲线，其次是变量问的关系；而对函数定义的回答大部分学生 都是模糊的。这促使我开始思考，学生对反函数概念的理解又将如何昵? 理解中 存在哪些困难? 他们对反函数的认识是否也同样是图形直观占据优势呢? 我是 否也可以用检查学生表象的方式检查学生对反函数概念及其定义的理解? 他们 的研究给了我对本研究很大的启发。 由于学生所接触过的函数仅限于课本中的原型，所以他们对函数的理解往往 非常狭窄或者包含着错误的假设，l l c l e m e n t ( 2 0 0 1 ) 设计了2 8 道有关函数的题 目，通过在学期末，对3 5 名中学生进行问卷调查以及对其中5 名学生进行访谈， 充分说明了这一结论。他因此提出，课堂上师生之间要更深层次地讨论函数定义、 函数的不同表示法、以及这两者之间的关系。他还指出，应该改变评价学生思维 的方法，通过多种方式来评价学生现有的理解，并由此来帮助他们更好地理解函 数。 另外，还有许多研究揭示了学生对函数丰富的表征形式理解的困难， v i i u l e 玎1 9 9 2 ) 指出，学校里教授函数概念，通常只是用它的一种表征形式，或者 是代数符号形式，或者是图形形式，而前者会导致学生把函数当作公式； n o 珊a l l n 9 9 2 ) 发现，在攻读数学硕士学位的中学教师也倾向于在头脑中只唤起函 数的一种特定的表征形式，经常是一个“图”。r u h a m ac v e n ( 1 9 9 3 ) 还通过对1 6 2 名中学职前教师关于函数定义、函数与方程的相互关系、函数的识别等有关函数 试题的问卷调查及访谈调查了解到，这些2 0 世纪末的中学职前教师的函数概念 表象是非常有限的，只类似于1 8 世纪的函数发展的状况，他们还没有掌握现代 的函数概念，而这直接影响着学生的函数概念表象。 这些研究尽管各不相同，但从教学意义上来讲，他们都指出了在函数教学中， 教师的函数概念表象有限，关注点只局限在某一方面，或者教材内容、例题习题 的设置单一等因素制约着学生函数概念理解的发展，那么这些状况是否进一步影 响着学生反函数概念的学习，或者学生在理解反函数概念时是否也存在同样的问 题? 对这些方面的思考在本研究中一直萦绕着我。 此外，大多数的数学教学都没有考虑从函数的一种表征形式到另一种表征形 式的转换，s f a r d ( 1 9 9 2 ) 曾研究发现，“学生不能够建立函数的代数符号表征和图 5 学生对反函数概念的理解 形之间的联系”，事实上，函数表征形式之间的转换是一个复杂的过程，从中可 产生对函数各种表征的概括，从而获得函数本质意义的理解。这使我考虑到，函 数的各种表征形式之间是有联系的，而反函数和原函数之间也有着多种关系，学 生对这些关系的认识又如何呢? p i a g e t 曾研究认为，9 至1 0 岁的学生就可以试着 去分析归纳现象中的函数关系，显示出有发现数量之间变化的依赖关系的能力。 ( 李士镝，2 0 0 1 ) 那么，如果在函数乃至其他数学知识的教学中，能够抓住各种机 会逐步培养学生用“联系”的眼光看待问题、解决问题的能力，对学生的学习和 素质的发展无疑是个有益的帮助，学生在探索和学习“反函数和原函数关系”时 也或许会更加顺利一些。 也有研究者从学生认知发展的角度对函数概念的认知和建构进行研究，例 如，曾国光( 2 0 0 2 ) 的研究结果表明，学生关于函数概念的认知发展过程可分成以 下3 个阶段：( a ) 作为“算式”的函数；( b ) 作为“变化过程”的函数；( c ) 作为“对 应关系”的函数，对函数概念的这三个认知阶段不是每一个学生都可以完成的， 学生是否真正理解函数概念，关键在于其表象的形成和发展水平。贾丕珠( 2 0 0 4 ) 则根据函数概念的特点和学生的认知结构，将函数知识的建构分为6 个层次，即 经历认识变量；突出关系；区别函数与算式：掌握“对应”；把握形式化描述； 形成函数对象等主要环节。这实际上是说，学生对函数概念的学习并非是可以一 次完成的，而是遵循认知特点不断建构的，建构过程在一定意义上又符合由低级 到高级、由具体到抽象的认知规律。朱文芳( 1 9 9 9 ) 还依据心理学，分别从学生的 概念形成水平、不同数学气质类型上的影响以及学主思维发展水平三方面对函数 概念学习的心理进行分析，指出，函数是个较难形成的概念，当学生概念形成水 平较低时，就会出现认识上的困难，因此，教学分两次学习来减轻学生认知上的 困难是必要的；学生数学气质类型上的差异在函数概念学习中表现得尤为显著： 对中学生的思维水平来说，建立函数这样一个复杂的概念，在认知上需要克服许 多障碍。 朱文芳( 2 0 0 0 ) 还曾对各层次的初中学生对函数概念发展水平进行研究分析， 得出了学生函数概念发展的特点：f a l 重点中学学生函数概念的发展水平接近， 而且在各个年级均是最好的；m 1 普通中学学生函数概念的发展水平随着年级的 升高，差距减小，且它们都向重点中学的水平靠拢；农村中学在初一、初二 学生对反函数概念的理解 时，与城区普通中学一样，但到了初三却有所滑落，大大地落后于城区中学及重 点中学；( d ) 学生年级的增高并未带来其函数概念发展的显著提高，说明函数的 概念不能像初等数学中的数学概念、欧氏几何中的基本图形概念一样学生可自发 地形成，学生要以接受教育的方式来获得函数概念，这是初中生函数发展的特点。 以上关于函数知识理解的研究，从研究角度来看，有对现状的研究、认知发 展特点的研究、以及对学生函数概念发展水平的研究；从涉及的内容来看，有函 数概念、函数定义、函数的表征形式以及表征形式之间的联系与转换、函数与方 程的相互关系、函数的识别等很多方面，这些研究角度、内容乃至方法均启发了 我对学生反函数知识理解相关方面研究的思考，并期望在研究中有所拓展。 2 、反函数知识理解的研究 关于反函数知识理解的实证性研究非常少，国外研究确不多见，纵观国内期 刊杂志，也多为解题研究。下面是关于反函数知识理解的一些研究。 程龙海( 2 0 0 3 ) 在其博士学位论文中学生数学解释的研究一文中，通过对 同题型反函数题目一个月前( 题目为：设函数) ，；，0 ) 有反函数) ，一，_ 1 g ) ，把 _ ) ，0 ) 图象在坐标平面上绕原点顺时针转动9 0 0 后是另一函数图象，这另一个 函数是 ) 和一个月后( 题目为：1 、设函数y 一厂0 ) 有反函数y = ，。1 ) ， 把) ，0 ) 图象在坐标平面上绕原点逆时针转动9 0 0 后是另一函数图象，这另一 个函数y 。是；2 、如果把) ，z ，o ) 图象在坐标平面上绕原点顺时针转动1 8 0 0 后是另一函数图象，这另一个函数) ，：是请说明理由) 的测试分析，得 出普通班学生反函数的概念表象是不稳定的，理科实验班学生反函数的概念表象 相对比较稳定；用s o l o 系统分类判断，普通班多数学生对函数与反函数的理 解还没有达到关联水平，他们对反函数的理解可能仍处于数学理解超回归模型的 初步了解和产生表象和形成表象阶段，而理科实验班学生对函数与反函数的理解 已达到关联水平他们对反函数的理解至少处于数学理解超回归模型关注性质和 形式化阶段。这实际上是对学生反函数概念的理解程度和水平进行了分析。 w j y n e ( 1 9 8 4 ) 指出，反函数的话题常常包含在逆运算的讨论之中，也就是说， 学生对反函数概念的理解 逆运算被认为是一种“复原运算”( u n d o i i l g 叩e r a l i o n ) ，例如，加3 的逆运算是减 3 。这种方法导致了将函数看作算子，其中，逆算子，4 将“复原”函数，所作的 工作。他指出，在解决反函数问题时，主动地把一个函数看作一个算子，比把函 数看作有序对那种被动的观点是更为行之有效的办法。 b r j a ( 1 9 8 5 ) 指出，课堂上通常教授给学生的“求一一对应函数的反函数”的 方法是代数的方法，这种方法非常机械，并且学生常常只是记住了求反函数的各 个步骤而对反函数的概念缺乏理解。也就是说，学生学会了如何求解一个函数的 反函数但却常常对“反函数是什么”不能理解。他通过对“魔方”的介绍，描述 了自己求某些反函数的方法，并称该方法能够促进和培养学生对反函数概念的理 解。 d y k e ( 1 9 9 6 ) 指出，学生总是感到反函数的学习是困难的。当让他们用代数法 求反函数时，他们常常遵循自己的第一直觉，即做原函数的倒数运算，这种趋势 通过记号，。 ) 的普遍应用而得以强化。他通过设置4 份作业活动单，介绍了一 种求反函数的更加简单且富有理解性的方法，以促进学生对反函数意义的理解。 事实上，d y k e 、b r i a n 和w a y l l e 的求反函数方法的思想是类似的。他们先是 描述原来函数从输入自变量到输出函数值的内部法则过程，然后再探寻返回来的 “内部路线”。例如，求函数c - l 抛3 + 1 0 0 0 的反函数，d y k e 是分成以下几个步 骤来做的： 第一步： e ( z - 8 111 1 ，1 知i ! q q - 1 知3 + 1 0 0 。c 第二步；c j 骘一。j 轧警u - 学；e 第三步：一仁竽 事实上，是由于这种可逆的“返回路线”是建立在自变量和函数值“一一对应” 基础之上的，学生在“稳步操作”的过程中，可以逐渐体味“一一对应”以及“对 应法则互逆”的特征，从而促进了学生对反函数概念的理解。 孙福平( 2 0 0 4 ) 在其硕士学位论文函数教学中的迁移问题研究一文中，选 8 学生对反函数概念的理解 用“反函数”和“对数函数”两节课的教学设计作为研究分析的教学内容，用迁 移的理论来指导“对数函数”的教学设计和实施，在教学实验后对学生进行了问 卷调查，以了解教师在迁移理论的指导下组织安排“对数函数”的教学给学生的 学习带来的影响，以及影响的程度和范围。之后，对实验结果进行了定性分析和 讨论，得出结论：教师使用迁移理论组织指导教学对学生的帮助很大；教师在教 学过程中所使用的方法、思维方式和指导理论都会潜移默化地影响到学生今后的 学习过程中去；学生认同相近学科间的学习具有相互影响的作用。实际上，他这 里对反函数的提及并没有触及反函数概念研究的本质，而是借助“反函数”与“对 数函数”的教学实例研究了函数教学中的迁移问题，但这依然让我想到“学生学 习反函数时是否积极、主动、正确地将反函数知识迁移到了其他更多的数学知识 中去，如果他们能够进行知识的顺利迁移，那么，从一定意义上来说，他们对反 函数概念的理解也更进了一步。 郑秀云( 2 0 0 3 ) 在其硕士学位论文a p o s 理论指导下的高中数学概念教学 一文中，在文章末尾，以反函数概念为例，给出了“a p 0 s 理论指导下的反函数 概念”教学设计，设计分为以下五部分：( a ) 活动阶段，感受概念的直观背景， 形成感性的认识。( b ) 过程阶段，体验概念的形成过程。( c ) 对象阶段，揭示概念 的本质属性。( d ) 图式阶段，形成综合的心理图式，并能加以应用。( e ) 小结。这 尽管只是对“反函数”一堂课的教学设计，但却明显地说明了反函数概念的学习 同样遵循“操作过程对象图式”的心理建构过程。 以上这些关于函数和反函数知识的研究，涵盖了初中、高中和大学学生的理 解、认知以及概念教学等方面，但学生对反函数概念本质特征的理解和反函数存 在性的认知研究还非常少，这方面还存在着很大的研究空间，有作进一步研究的 必耍。 ( 二) 理论基础 1 、数学概念的理解 学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组织起适当的有效的认知 结构，并使之成为个人内部的知识网络的一部分，那么才说明是理解了( 李士镝， 9 学生对反函数概念的理解 2 0 0 1 ) 。数学概念理解的本质是建立了新、旧知识之间的联系，新知识被纳入了 原有的认知结构网络。而对大脑的内部表征和贮存而言，数学概念理解的实质是 获得了概念表象，在概念表象中包括了所有的心理图式以及与概念联系的对象和 过程，而“图式结构”是蕴涵在其中的“联系网络”。个人学习概念的过程其实 是概念表象的发展和完善过程。 概念表象是最活跃的心理因素，当学习中出现概念名称时，最先被唤起的不 是概念的定义，而是概念表象。概念表象是人们头脑中与概念有关的非语言的东 西，它可以是视觉表象，思维图形，或是一个印象或经验，例如一个模型、一条 曲线、一个符号、一组变化的动作( 李士铸，2 0 0 1 ) 。这类表象可以转换成文字的 形式，但是，“重要的是须记住。这些文字形式不是我们记忆中最早唤起的东西， 它们只是在稍后的阶段出现”c r a l l ，1 9 9 1 ) 。n e 1 9 9 1 ) 提出：“获得概念就是形 成概念表象，用心学习定义不保证理解。”定义会帮助形成概念表象，但在表象 形成的时候，定义就不是必要的了。在进行关于某个概念的一些推理时，定义并 不是活跃的因素，甚至可以被忽略掉。因而可将定义称为概念形成的脚手架，概 念大厦建成以后，脚手架就没有保留的必要了。 反函数的定义是抽象的，对于学生来说，反函数在他们认知结构中的概念表 象对认知活动起着重要作用，研究学生对反函数概念定义的理解和他们头脑中反 函数的概念表象，有助于了解反函数的形式定义和思维活动之间的差别，从而寻 找引起学生反函数概念认知困难的原因。 美国学者e dd u b i n s k y 等人( 张奠宙，李士镝，李俊等，2 0 0 3 ) 在数学教育研 究实践中发展起来一种a p 0 s 理论，对数学概念的学习有所启示。e dd u b i n s k y 认为，学生学习数学概念是要进行心理建构的，这一建构过程要经历以下四个阶 段：第一阶段操作f a c t i o 1 阶段，即理解概念所需要进行的活动或操作；第 二阶段过程口r o c e s s ) 阶段，即把操作活动综合成一种思维过程；第三阶段一 一对象( o b j e c t ) 阶段，即可以把思维过程上升为一个独立的对象来处理；第四阶 段图式( s c h e m e ) 阶段，即以一种综合的心理图式而存在于脑海中，在数学知 识体系中占有特定的地位。这一心理图式包含具体的实例、抽象的过程、完整的 定义，以及和其他概念的区别和联系。a p 0 s 理论清楚地指明了学生建构数学概 念的学习层次，并为教师提供了一种具体的教学策略。 学生对反函数概念的理解 英国的s p i r i e 和加拿大的t - 硒c r c n 提出了“超回归”数学理解模型，将数 学理解分为8 个水平，即初步了解、产生表象、形成表象、关注性质、形式化、 观察评述、组织结构和发现创造。这8 种水平的关系，可以用8 个嵌套的圆来表 示，每一种水平用一个圆表示，并依水平的增高所表示的圆的半径依次增大，前 一个圆包含在后一个圆中，逐步拓广。这一组圆描述了理解水平之间的相互关系， 同时表明理解是一个动态的、组织的过程。根据这个思想，可以知道，数学概念 学习中也存在着这种由基础开始的扩展模式。事实上，数学学习中，学生对于要 学习的某个概念，在一开始学习时，就有了了解，但只是浅层次的，随着学习的 推进，他每次都又回到这个概念，而每一次对该概念的理解都是不断扩展的；概 念教学中也应该是一个螺旋上升的过程，不可能遵循某种线性程序，一次完成， 只有在操作一表象一定义一运用一体系的每一个阶段都不断对概念进行扩展，才 能获得对概念的理解，同时，这种过程要进行多次，甚至更长时间，才能完成对 某些概念的理解。 s k e m p 则认为理解分为两种模式，即工具性理解和关系性理解。所谓工具性 理解，指语义性或程序性理解，这一模式的理解知道符号a 代表什么事物或法 则r 怎么操作i 关系性理解则需对符号的意义、获得符号指代物意义的途径、 规则的逻辑依据等有深刻认识。显然，s k e m p 关于理解的两种模式实质是指理解 的两个不同层面，只有从工具性理解达到关系性理解，个体才能把握数学对象的 本质。 反函数是函数中的一个重要概念，对反函数概念的理解是一个包含多种水 平、不断建构发展的过程。建立在反函数概念表象基础之上的概念图式，可以体 现对反函数概念的理解水平。 总之，本文是基于以上对数学概念理解的理论认识，实施研究的。将上述理 论作为研究的理论基础，根据学生对问题的回答和解决以及理由的阐述，确定他 们对反函数知识理解的程度和水平。 2 、数学概念的二重性 a 肌as 胁d ( 1 9 9 1 ) 等人研究认为，许多数学概念特别是代数概念具有二重性， 既表现为一种过程操作，又表现为对象、结构：过程对象；算法一结果；操作 n 学生对反函数概念的理解 行为一结构关系。过程和对象是概念的两个侧面，有着紧密的依赖联系。形成一 个概念往往要经历由过程开始，然后转变为对象的认知过程，在过程阶段，考虑 的更多的是运算；而在对象阶段，考虑的更多的则是结构；两者的最终结果是在 认知结构中共存，在适当时机分别发挥作用。例如，学习函数概念，先是按表达 式找若干个自变量的值去计算相应因变量的值，后来再把它看成为一个以定义 域、值域、对应关系三要素构成的对象；完成一个概念从运算性的过程过渡到结 构性的对象需要经历长期的过程，有时甚至是困难的，其间大致要有三个阶段： 过程的内化、过程的压缩、对象的实体化或对象化。 在过程的内化阶段，学习者可以熟练地进行过程的运算，能够脱离相对具体 的情境，转变或上升为心理上的操作，而不需要完全依赖具体的被操作对象和实 际问题。这里的“内化”与p i a g c t 在发生认识论原理中所表达的意义是一样 的：如果一个过程能够通过心理表象运算，那么这个过程就已经内化了。 在过程的压缩阶段，随着过程的重复实施，学习者能够将一个长运算顺序压 缩成一个易于操作的单元，这时单个的知识逐步降低了自身的地位，成为总体过 程中的一个局部，从而将给定过程当作一个整体来考虑，使得内化了的心理操作 简约和抽象。另外，在压缩阶段，由于比较和概括能力增强了，概念的不同表示 之间的转换会变得更容易。 在实体化阶段，由于有了压缩的基础，概念达到结构化、整体化，完全摆脱 了过程的束缚和限制，使得过程变成易于把握本质的实体对象。这时，学习者能 够将一个数学概念看作带有自身特点的一个完整的对象。 s f a r d 还认为，过程的内化和压缩是逐步完成的，是量变，实体化经常是一 个突然的转变，是质变。作为对象的概念，它既要操作别的对象，又要被高层次 的运算来操作。而且，一个概念如果还未被高一级的过程运算，那么就看不出对 象化的必要性，就不能达到真正的对象化。 反函数概念的理解首先是过程性理解，然后才能逐步上升为对象性理解，而 学生一般可以达到的只是过程性理解水平。a i l a s f a r d 等提出的数学概念二重性 理论为我们分析学生理解、发展概念所处的层次、水平提供了很好的理论基础。 3 、s 0 l 0 ( s t n l c t u r eo ft h eo b s e r v e dh a r n i n go u t c o m e ) 分类系统 学生对反函数概念的理解 学习者对任务反应的结构形态可以衡量个人认知发展水平，按结构的复杂 性，s 0 l 0 模型将反应结构划分为5 种水平。b i g 萨和c o i s ( 1 9 8 2 ) 以及c o i l i s 、 r o n l b e r g 和j u r d a k ( 1 9 8 6 ) 对每一水平作了如下解释： ( a ) 前结构水平( p ) ：处于这一水平的回答只包含一些不相关的信息，表现为 拒绝或者没有能力进入某一问题的解决，如，空白的回答、完全无关的回答、不 合逻辑的回答、以自我为中心的回答、或者干脆说“以前没学过”。 ( b ) 单结构水平) ：处于这一水平的回答只包含来自刺激物的单个相关信 息，也就是只含有一种运算( o p e r a t i o n ) 。即只从问题的的一个侧面去思考问题。 这里的运算还是p i a 嚣t 理论中的“运算”概念，即认知行为。 ( c ) 多结构水平( m ) ：这一水平的回答包含来自刺激物的多个相关信息，一 般要依次进行几个相关但又不相同的运算。即能从问题的几个侧面去思考，但只 是被分别、孤立地对待，还不能明确问题侧面之间的联系，不能用联系的、抽象 的内在关系来思考问题。 ( d ) 关联水平限) ：处于这一水平的回答表现为整合来自刺激物的所有相关信 息，即包含抽象思维成分，所进行的那些运算不仅相关而且反映出对所获信息的 整体把握。 ( e ) 扩展抽象水平( e ) ：这一水平的回答纯粹是抽象思维的结果，不仅包含所 有的相关信息，而且能够扩展到不在刺激物中的相关信息，学生能够从已知信息 中洞察到需要运用某一抽象的、在条件中没有明确给出的一般原理。这一水平的 学生能够把所认识到的“一般原理”成功应用于新的问题情境。 s 0 l o 分类法是区分学生对每一个问题的回答水平的一个有效手段，它的实 质是先对一个主题内容进行要素划分，然后根据学生对要素以及要素之间的联系 的掌握情况来区分学生对此主题的理解水平。本研究试图借鉴s o l o 分类系统 评价学生对“什么叫做一个函数的反函数? ”问题的回答水平，从而诊断学生对 反函数概念定义的理解。 三研究问题 “反函数”是“函数”教学中的重点内容之一，也是难点之一。它是在学习 学生对反函数概念的理解 了“对应”、“映射”和“函数”等概念的基础上，研究两个既相互对立、又相互 统一的变量之间的辩证