（应用数学专业论文）常微分方程边值问题拟对称解的研究.pdf

f _jillj c l a s s i f i e di n d e x ：0 17 5 8 u d c ：3 4 8 3 7 ，3 4 c 2 5 d i s s e r t a t i o nf o rt h em a s t e r d e g r e ei ns c i e n c e s t u d yo np s e u d o s y m m e t r i c s o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o rt h e o r d i n a y r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s c a n d i d a t e ： s u p e r v i s o r ： a c a d e m i cd e g r e ea p p l i e df o r ： s p e c i a l i t y ： d a t eo fs ub m i s s i o n ： d a t eo fo r a ie x a m i n a t i o n ： u n i v e r s i t y ： h a nx i a oh u p r o f g u oy a n p i n g m a s t e ro fs c i e n c e a p p l i e dm a t h e m a t i c s n o v e m b e r , 2 0 0 9 d e c e m b e r , 2 0 0 9 h e b e iu n i v e r s i t yo fs c i e n c ea n d t e c h n o l o g y 一 河北科技大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己经发 表或撰写过的作品或成果。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 指导教师签名考够干 z 幻尹年胁月f 岁日z 矽7 年二月胜日 河北科技大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权河北科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 口保密，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 日，不保密。 ( - i , l 在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名：韩吮忱指导教师签名： 喜降平 2 口。产f 明陟日矽尸年2 月莎日 一 9 - 摘要 摘要 微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，而又 成为现代科学技术中分析问题和解决问题的一个强有力工具。在经济金融保险领域、 生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许 许多多的方面都有着非常重要的作用。微分方程为研究诸如上述现实问题的发展过 程提供了一个非常合适的数学模型，成为一个极为活跃的研究方向。 微分方程边值问题解的定性研究是十分重要的，只有弄清楚微分方程解的存在 性和解的个数等问题之后，再求方程的数值解并将之运用于实践，实现对实际问题 的监控、预测等才成为可能。因此，运用近几十年以来非线性泛函分析中发展起来 的多种先进的分析工具来研究边值问题解的存在性，尤其是正解的存在性，引起了 国内外许多数学工作者的广泛关注。 本论文主要研究微分方程边值问题拟对称解的存在性，全文共分五部分，主要 内容如下： 1 、介绍微分方程边值问题的起源和国内外在边值问题领域的研究现状以及本文 的主要研究内容。 2 、本章通过利用度理论构造出的不动点定理证明含有一阶导数的二阶常微分方 程多点边值问题拟对称解的存在性。 3 、通过构造拟对称算子将方程求解转化成求解不动点问题，再利用构造的不动 点定理得出一类带拉普拉斯算子边值问题拟对称解的存在性，得出这类边值问题解 的存在性的充分条件。 4 、本章首先在双锥上利用不同的不动点定理证明了每个锥上不动点的存在性， 然后再证明每个锥上的不动点即为本章问题的解，从而证明了一类带拉普拉斯算子 可变号的三点二阶边值问题多个拟对称正解的存在性。 5 、通过构造算子先将高阶的微分方程进行降阶，再在两个锥上应用不同的不动 点定理证明了一类可变号的高阶微分方程拟对称解的存在性。 关键词常微分方程；边值问题：锥：不动点定理；拟对称解：正解； a b s t r a c t d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eap r o f o u n da n dv i v i da c t u a lb a c k g r o u n d t h e ya r i s ef r o m t h ed r o d u c t i o na n ds c i e n c et e c h n o l o g ya n da r eap o w e r f u li n s t r u m e n tt oa n a l y z ea n ds o l v e p r o b l e m si nt h em o d e ms c i m j c ea n dt e c h n o l o g y t h e yp l a ya l li m p o r t a n tr o l ei nt h e f i e l d s o fe c o n o m i ca n df l n a n c i a li n s u r a n c e ，t h ea n a l y s i so ft h e s t r u c t u r eo ft h en u m b e ro f b i o l o g i c a ls p e c i e s ，a n dt h ec o n t r o la n dp r e v e n t i o no fd i s e a s e sa n di n s e c tp e s t sa n d s oo n t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v ep r o v i d e da ne x t r e m e l ya p p r o p r i a t em a t h e m a t i c a lm o d e lf o r t h er e s e a r c ho nd e v e l o p i n gp r o c e s so ft h o s ei s s u e s ，a n db e c o m ea ne x t r e m e l ya c t i v e r e s e a r c hd i r e c t i o n i t - sv e r yi m p l o r t a n tt or e s e a r c ho nt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s o fb o u n d a r y v a l h ep r o b l e m sf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，b e c a u s ey o uw o n tb e g i nt h en e x ts t e pw o r kf o r s e e k i n gt h en u m e r i c a ls o l u t i o n sa n da p p l y i n g i n t op r a c t i c e ，s u c ha si n s p e c t i o n ，c o n t r o la n d d r e d i c t i o no ft h ep r a c t i c a lp r o b l e m s ，u n l e s sw em a k ei t c l e a rt h a tw h e t h e ra n dh o wm a n y s o l u t i o n se x i s t t h e r e f o r e ，t h es t u d yt o t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m s ，e s p e c i a l l y t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s ，b ym e a n so ft h em e t h o d so f n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sa r i s e sr e c e n td e c a d e sy e a r s ，h a sg r e a t l y a t t r a c t e dm a n y m a t h e m a t i c sw o r k e r s a t t e n t i o n t h i sd i s s e r t a t i o nd i s c u s s e sm a i n l yt h ee x i s t e n c eo fp s e u d o s y m m e t r i cs o l u t i o n so f b o u n d a r yv a l u ed r o b l e m sf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ep a p e r i sd i v i d e di n t of i v e c h a p t e r s m a i nc o n t e n t sa sf o l l o w s ： 1 w ei n t r o d u c et h eh i s t o r y , c u r r e n ts i t u a t i o n o ft h et h e o r yo fb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n dt h em a i nc o n t e n ti nt h i sp a p e r 2 t h r o u g ht h ef i x e dp o i n tt h e o r e mw h i c hi sp r o v e db ym e a s u r et h e o r y ，w eo b t a i n p s e u d o s y m m e t r i cs o l u t i o n sf o rt h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t hd e p e n d e n c e o n t h ef i r s to r d e rd e r i v a t i v e 3 b yc o n t r u c t i n gp s e u d o s y m m e t r i co p e r a t o r ，w ec h a n g et h ep r o b l e mo ff i n d i n g t h e s o l u t i o nf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni n t ot h ep r o b l e mo ff i n d i n go u tt h ef i x e dp o i n t o ft h eo p e r a t o r , b yu s i n gan e wf i x e dp o i n ti n d e xt h e o r e m ，w eo b t a i np s e u d o s y m m e t r i c s o l u t i o n sf o rt h r e e p o i n tp - l a p l a c i a nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t hd e p e n d e n c eo nt h e f i r s to r d e rd e r i v a t i v e 4 b vu s i n gd i f f e r e n tf i x e dp o i n tt h e o r e mi nd o u b l ec o n e ，w ec a np r o v et h a tt h e e x i s t e n c eo ft h ef i x e dp o i n ti ne a c hc o n e ，t h e nw ep r o v et h et w of i x e dp i o n t sa r et h e 河北科技火学硕十学位论文 s o l u t i o nf o rt h eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni nt h i sc h a p e r , w eo b t a i np s e u d o - s y m m e t r i c s o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs e c o n d o r d e rq u a s i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n w i t hs i g nc h a n g i n gn o n l i n e a r i t i e s ，5 b yc o n t r u c t i n go p e r a t o r , w er e d u c et h eo r d e ro fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，b y u s i n gf i x e dp o i n tt h e o r e mi nd o u b l ec o n e ，w eh a v ep s e u d o - s y m m e t r i cs o l u t i o n sf o rh i g h e r o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t hs i g nc h a n g i n gn o n l i n e a r i t i e s k e yw o r d so r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；c o n e ；f i x e dp o i n t t h e o r e m ；p s e u d o - s y m m e t r i cs o l u t i o n ；p o s i t i v es o l u t i o n ； i l j “* t ： - 蕊叮 目录 目录 摘要“i a b s t r a c t i i 第1 章绪论1 1 1 研究的目的与意义“1 1 2 国内外研究现状1 1 2 1 二阶常微分方程边值问题1 1 2 2 高阶边值问题i 2 1 2 3 带l a p 1 a c i a n 算子的微分方程边值问题4 1 2 4 多点常微分方程边值问题5 1 2 5 拟对称解问题7 1 3 本文研究的主要内容8 第2 章含有一阶导数边值问题拟对称解的存在性1 0 2 1预备知识1 0 2 2 主要结论1 1 2 3 本章小结1 4 第3 章带p 拉普拉斯算子边值问题拟对称正解存在性1 5 3 1 预备知识1 5 3 2 主要结论”1 7 3 3 本章小结2 0 第4 章一类可变号二阶三点边值问题拟对称解的研究2 l 4 1 预备知识2 1 ，： 4 2 主要结论2 2 4 3 本章小结2 8 第5 章一类高阶可变号的边值问题拟对称解的研究2 9 5 1预备知识2 9 5 2 主要结论2 9 5 3 本章小结“4 1 结论4 2 参考文献”4 3 攻读硕士学位期间所发表的论文4 8 致谢4 9 i v 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 研究的目的与意义 在十七世纪末发展起来的微分方程理论，很快地成了研究自然现象的强有力工 具。在十七、八世纪，在力学、天文、物理和技术科学中，就借助于微分方程的理 论取得了巨大成就。 在微分方程理论的定解问题中，除初值问题之外，还有一类同数学物理问题密 切相关的所谓边值问题和特征值问题。这一问题的研究，从十九世纪三十年代由 s t u r m 和l i o u v i l l e 讨论二阶线性方程的边值问题和s t u r m l i o u v i l l e 特征值问题丌始， 到二十世纪由h i l b e r t 等人奠定了常微分方程的边值问题的理论问题，不论在问题的 深度和广度方面还是在研究方法上都有了很大的发展。 边值问题的正解理论研究作为常微分方程边值问题的重要一部分，在最近三十 年中取得了迅速的发展和提高。国际文献中这一领域的论文已有数百篇，一九九四 年以来连续出版了有关边值问题f 解理论的专著3 本卜。l 。广泛的应用背景是促使这 一理论迅速发展的基础。 目前，对边值问题的研究，覆盖了常微分方程、泛函微分方程、脉冲微分方程 和带有拉普拉斯算子微分方程。尽管人们对边值问题的研究取得了一系列成果，但 有许多问题的理论研究尚不完善。对于这些问题进一步的研究，无论在理论上还是 在实际应用中都有很重要的意义。 1 2国内外研究现状 由于在现实世界中往往需要求解边值问题模型的正解，人们对它进行了广泛的 研究并取得了丰富的成果。e r b e 和w a n g 在文献 4 中首先利用k r a s n o s e l s k i i 不动点 定理【5 】研究了方程“”+ a ( f 掀“) = o 正解的存在性，其中a ( f ) 在 o ，1 上是连续的，并且厂( “) 在 0 ，+ ) 上是连续的。自那以后，k r a s n o s e l s k i i 不动点定理被广泛利用讨论边值问 题正解的存在性。 目前，人们十分关注微分方程多个f 解的存在性问题，并且也f 在讨论有限差 分方程正解存在性问题1 6 8 1 。同时分数阶微分方程问题也是大家讨论的热点。 1 2 1二阶常微分方程边值问题 二阶常微分方程边值问题解的存在性有很多研究方法。针对如下边值问题： ly ”+ f ( y ) = 0 ，0 ，1 【y ( 0 ) = y ( 1 ) = 0 其中厂：r 一 o ，+ 是连续的，赋予厂( “) 一些增长条件，a v e r y l 9 1 利用l e g g e t t w i l l i a m s l 河北科技大学硕士学位论文 不动点定理【l o 】得到至少存在三个对称正解的结论。r i a v e r y 和j h e n d e r s o n 1 1 1 利用 五个泛函的不动点定理【1 2 】和相关格林函数的对称性改进了a v e r y 所得的结果。 另一方面，a v e r y 等人【1 3 】利用孪尘不动点定理得到右焦点边值问题： ly ”+ f ( y ) = 0 ，0 t 1 iy ( 0 ) = y ( 1 ) = 0 至少存在两个正解，其中厂：r 一 0 ，+ ) 是连续的。 自占兵2 3 1 运用文献【2 4 中的不动点定理得到二阶边值问题： x ”( f ) + 口( ，) 以f ，x ( ，) ，x ( ，) ) = 0 ，0 1 1 其边值条件为x ( o ) 习( 1 ) = 0 或x ( o ) 习( 1 ) = 0 三个正解存在的充分条件。s h u 2 8 】运用相 同的不动点定理，研究了一类相对复杂的二阶神经微分方程： x ”( t ) q - q ( t ) 尺f ，x ( f ) ，x ( t r ) ，x ( f ) ，x ( f f ) ) = 0 ，0 t 0 其中边值条件为如下两种情况： fx ( f ) = 孝( f ) ，一r f 0 【x ( 1 ) = 0 或 ix ( f ) = 孝( f ) ，一r t 0 lx ( 1 ) = 0 同样得到了此类问题三个正解存在的充分条件。杨平华等人在文献 4 4 】中通过对边值 问题： x ”( f ) + ( a ( f ) 一( r ) ) x ( f ) 一( ( f ) + a ( t ) f l ( t ) ) x ( t ) + c ( t ) x ( f ) + d ( f ) x ( f 】) = 盯o ) 【x ( o ) = x ( 丁) ，x ( o ) = x ( 丁) + a 构造g r e e n 函数，得到上述边值问题解的唯一性结论，其中t e 0 ，刀。w a n g 4 9 】运用 k r a s n o s e l s k i i 不动点定理得到了如下时滞边值问题： x ”( f ) ( ，h ( f ) + q ( t ) x ( f ) = r ( t 弦( f r ( f ) ) t 及f ，x ( f ) ，x ( t f ) ) = 0 ，ter 存在唯一周期解的些新的判据。 1 2 2 高阶边值问题 y a n g r 2 2 1 运用锥的拉伸压缩不动点定理，研究了高阶多点边值问题： 甜“( f ) + 口( f ) 以“( f ) ) = 0 ，0 t 2 ，0 1 7 l 7 7 2 巩一2 o ( 卢1 ，2 ，m 一2 ) 且 m 一2 口j 玎? 。1 1 。 ，；f 对于2 玎阶微分方程边值问题： 2 第1 章绪论 0 f l ， o f n 1 在文献【5 5 5 6 】中利用l e g g e t t w i l l i 锄s 不动点定理，在依赖高阶导数的情况下， 研究了问题的三个拟对称解的存在性。文献【5 7 在( 一1 ) ”厂：一 0 ，+ o o ) 是连续的条件 下，利用五个泛函的不动点定理，讨论了上面问题的三个对称正解。 对于m 阶边值问题： 其中可变号的，o = 彘 舌 色 己一2 己一l = 1 在文献 3 6 】中，g u o 利用l e g g e t w i l l a m s 不动点定理，在厂满足增长条件的情形下，证明了至少存在三个正解。在文献 2 7 】中， 江卫华运用特征值讨论上述高阶边值问题多个正解的存在性。 z h a n g l 4 5 】讨论了一类带导数的多点高阶边值问题： x 盯( f ) + 2 f ( t ，x ( f ) ，x ( f ) ，x ( n - 2 ) ( f ) ) = 0 ，t ( o ，1 ) ，玎3 x 7 ( o ) = 0 ，0 i 聆一3 m - 2 x l n - 1 ) ( o ) = 以，x 一( 专) ? = j x ( n - 2 ) ( 1 ) = b i x 加2 ( 专) “魄琉。 m - 2 正解存在性，其中专( o ，1 ) 满足o 舌 磊一： 1 ，口，b i ( o ，+ ) 且o 口， o ，0 4 乞一： 1 是常数。 t = l 运用s c h a u d e r 不动点定理，c e r b i l t 4 7 】得到了l i d s t o n e 边值问题： 3 、乃 业。 ， = 一d- ，( y y 少 八i i = l 帕 d p 砂 rj，【 ，l - l 。 w a n g 2 9 1 采用文献【2 4 】中的不动点定理研究了带p l a p l a c i a n 算子多点边值问题 ( 矽。( “) ) + g ( d a t ，u ，甜) = 0 ，t e ( o ，1 ) 其边值条件为如下之一： r月一2月一2 i “( o ) = 口，“( 专) ，u t ( 1 ) = f l , u ( 专) ， n 1 ：。墨： i “( o ) = a ，“( 毒) ，扰( 1 ) = ( 专) ， 4 第1 章绪论 的多个正解存在性，其中矽。( s ) = l s lp 2 s ，p l ，考( o ，1 ) 且o r 1 r 2 r 。一2 1 ， q ，屈【0 ，+ o o ) ，满足口j o ， 0 ，y o ，5 0 ，口：( o ，1 ) 一【o ，+ ) ，通 过采用锥的拉伸压缩不动点定理，得到了一个正解和无限多个正解存在的充分条件。 运用相同的不动点定理，金春华【4 1 】考虑了带p l a p l a c i a n 算子时滞边值问题： j ( 川p 2 “) + 船( f ，u ( t r ) ) = 0 ，0 l ，入是正实参数。 w a n g 4 2 1 运用五个泛函不动点定理，讨论了一类依赖于一阶导数带p - l a p l a c i a f i 算 子的边值问题： ( 矽。( “) ) + g ( r ) 以u ，“) = 0 ，t e ( 0 ，1 ) 在满足如下两个边值条件之一： 1 甜( o ) = 乩( 1 ) = 0 l 扰( o ) = u d ) = 0 的多个正解存在性。其中矽。( s ) = 蚓p s ，p l ，口( ，) 在区间( o ，1 ) 可测且在任一紧子集非 零。记德宏运用不定点定理获得如下边值问题存在三个正解的充分条件： ( 矽。 ( d ) ) + g ( f ) a t , x ( t ) , x ( f ) ) = o ，te ( 0 ，1 ) 满足的边界条件z ( o ) = 口，x ( 毒) ，1 ) = x ( 考) 。 1 2 4 常微分方程多点边值问题 多点边值问题的研究起源于许多不同的应用数学和物理领域。例如，利用分离 变量法解线性偏微分方程的经典问题中，人们遇到了含有几个参数的满足几个点边 值条件的微分方程；由v 部分不同密度组成的均匀截面的悬链线的振动可以转化为 多点边值问题；在弹性稳定性理论的许多问题中，也可由多点边值问题处理。对线 性二阶微分方程的多点边值问题的研究是从文献 i s ，1 9 开始，其中文献【2 0 】研究的是 非线性微分方程的三点边值问题。从那以后，许多作者研究了更一般的非线性多点 边值问趔2 1 q 4 1 。 马如云在文献 2 5 禾t j 用锥上的k r a s n o s e l s k i i 不动点定理f 5 】证明了二阶三点边值问 s 河北科技大学硕士学位论文 题： f “”( f ) + a ( t ) g ( u ) = 0 ，0 t 0 ，7 7e ( o ，1 ) ，口7 7 1 ，口e c ( o ，1 】，【0 ，+ ) ) 且g ec ( 0 ，+ ) ， 0 ，+ o 。) ) 是超线性的或次线性的。 在文献 2 7 】中，马如云研究了三点边值问题： i “”( f ) = 口( f ) 厂( “) ，0 ， o ，7 7e ( o ，1 ) ，a t 1 。利用s c h a u d e r 不动点定理和一个积分算子表达式，证 明了在某些条件下，存在b + ，当o 6 6 时， 则没有正解。 在文献【1 5 中，郭彦平，葛渭高研究了带一阶导数的三点边值问题： ix ”( f ) + f ( t ，x ，x ) = 0 ，0 t l 【x ( o ) = 0 ，x ( 1 ) = a x ( r z ) 得到此类问题的g r e e n 函数及其性质，运用新的不动点定理，获得f 解的充分条件。 c h e n l l 4 1 运用s a d o w s k i i 不动点定理研究了如下二阶三点边值问题： i “”( f ) + f ( t ，扰( f ) ，“( f ) ) = 0 ，0 t 1 【u ( o ) = 秒，u ( 1 ) = a u ( r z ) 正解的存在性，其中0 为b a n a c h 空间e 的零元素，o a 1 ，o r 土。h e 【1 8 】运用 口 l e g g e t t - w i l l i a m s 不动点定理讨论了类似的边值问题： f “”( f ) + f ( t ，甜( f ) ) = 0 ，0 t 1 【u ( o ) = 0 ，u o ) = a u ( r 1 ) 三个正解存在的充分条件。运用不动点指数定理，m a 1 9 1 讨论了多点边值问题： f 材”( f ) + a ( t ) u ( f ) + g ( f ) 厂( 扰( f ) ) = 0 ，0 f l j卅一2 1 “( o ) = 0 ，“( 1 ) = 口，甜( 专) l t = l 多个正解的存在性，其中专e ( o ，1 ) ，口，e ( 0 ，+ ) ，i e 1 , 2 ，m 一2 ) 。并且m a 在文 献 2 0 】中运用锥的不动点定理讨论了带时滞的边值问题： ix ”( f ) + f ( t ，x t ) = 0 ，0 f t 【x o = 矽，“( 丁) = a 其中厂：【0 ，刀c ，一尺连续，矽c ，a e r ，得到了f 解存在的充分条件。对于半线 边值问题： 6 第1 章绪论 f 矽( 扰( f ) ) 。+ a ( t ) f ( t ，“( f ) ) = 0 ，0 t + o o j卅一2 1 甜( o ) = q “( 专) ，z f ( ) = 0 l i = 1 其中痧：r r 是增的，j 下的同胚映射，且( o ) = o ，专e ( o ，+ o o ) 满足o 舌 己一2 m 2 + o o ，口，e ( o ，+ o o ) ao a ， l ，l i a n g 2 1 同样运用锥的不动点定理证明了上述边值 t=l 问题多个f 解存在的充分条件。刘兵1 2 6 】运用锥的拉伸压缩不动点定理讨论了四点边 值问题： f “”( f ) + 口( f ) 厂( 甜( f ) ) = 0 ，0 t 1 ia u ( o ) 一f l u ( o ) = 一“( 孝) ，y u ( o ) 一万甜( o ) = u ( r ) 至少存在一个或两个正解的充分条件，其中臼为b a n a c h 空间的零元素，0 4 1 ， o l ，v e ( o ，1 ) 。 文献【6 0 中马德香运用单调迭代证明了如下边值问题拟对称正解的存在性。 l ( 矽，( 扰( f ) ) ) + q ( t ) f ( t ，“( f ) ) = 0 ， l “( o ) = 0 ，u ( r 1 ) = “( 1 ) ， 其中g p ( u ) = l u l p 之“，p l ，7 7e ( o ，1 ) 。 文献 6 1 1 中孙博、葛渭高运用单调迭代证明了含有一阶导数边值问题拟对称正解 的存在性。 7 河北科技大学硕士学位论文 f ( 矽，( “( f ) ) ) 7 + q ( t ) f ( t ，“( f ) ，“( f ) ) = 0 ， 【“( o ) = o ，u ( r z ) i “( 1 ) ， 其中矽。( u ) = l u l p - 2u ，p l ，7 7e ( 0 ，1 ) 。 文献 6 2 】中记德宏运用不定点定理四点边值问题拟对称正解的存在性。 f ( 矽，( “7 ( f ) ) ) + q ( t ) f ( t ，“7 ( f ) ) = 0 ， 【“( o ) 一励( 孝) = o ，u ( 4 ) 一国( 7 7 ) = 钟( 1 ) + 6 u ( 1 + 4 7 7 ) ， 其中矽，( u ) = l u l p - 2u ，p l ，r ，4 ( 0 ，1 ) ，8 0 ，万0 ，( 矽p ) 。= 矽p 。 1 3 本文研究的主要内容 本文要研究三类二阶常微分方程边值问题解的存在性充分条件，全文共分五章。 第一章绪论介绍微分方程边值问题的起源和国内外在边值问题领域的研究现 状以及本文的研究主要内容。 第二章利用新的不动点指数定理，研究一类含有一阶导数的二阶常微分方程多 点边值问题拟对称正解的存在性。 f x ”( f ) + f ( t ，x ，x ) = 0 ，0 f l ， 【x ( o ) = 0 ，x ( 1 ) = x ( 7 7 ) ，0 r l 1 ， 其中，h i ) 厂： o ，1 x 0 ，+ o o ) x 凡一 0 ，+ ) 是连续函数。 第三章利用新不动点定理，研究如下带矿拉普拉斯算子的微分方程 f ( 矽，( x ) ) + 厂( f ，z ，x7 ) = 0 ， i x ( o ) = 0 ，x ( 1 ) = x ( r z ) ， 0 t 1 0 r l ，h 1 ) ： o ，1 x o ，+ e o x r - - - 0 ，+ 】是连续函数。得出这 一类边值问题多个拟对称e 解的存在性条件。 第四章运用不动点定理证明了一类带p 一拉普拉斯算子三点二阶可变号的微分 边值问题： f ( 矽，( x ) ) + q ( t ) f ( t ，x ) = o ，0 t l ，o 7 7 0 ( 0 ) 。 h 2 ) q ：( o ，1 ) - - o ，+ 为连续函数，且g ( f ) o ，扫( f ) d t o 的常数； ( 一1 ) ”以f ，0 ，0 ) 0 ( 0 ) 对于t e o ，1 】； 火f ，蛳，“1 ，“。一1 ) 关于刀拟对称。 9 麟。一 、乃 m x 佗 ：y 但 ， y l i ，) y 0 y 甜 u ，o = = ) ) n 0 犯 ；、y ，j、l 第2 章含有一阶导数边值问题拟对称解的存在性 第2 章含有一阶导数边值问题拟对称解的存在性 2 1预备知识 近年来，多点边值问题由于其广泛的应用背景已经成为一个重要的研究课题， 参看文献 1 4 。本文讨论如下二阶多点边值问题证解的存在性： 尸( ) + 饨，w ) = o ， o 1 ，( 2 - 1 ) ix ( o ) = o ，x 0 ) = x ( r ) ，0 1 0 则允x k ； 则称k 是e 中的闭锥。 定义2 5设a 是距离空间的子集，如果4 中的每个点列都含有子列收敛于x 中的某一点，则称彳为相对紧的。如果彳中的每个点列都含有子列收敛于a 中的某 一点，则称为紧的。 定义2 6若算子么：d e 是连续的，而且又是相对紧的，则称a 是映d 入e 的 全连续算子。 本章的结论是基于文献 1 5 】中不动点理论，这早将其列出。 设e 是b a n a c h 空间，p oe 是一个锥。假设口，：e 一 0 ，+ ) 是两个连续的凸函 数，满足： 口( 允x ) = 1 名i 口0 ) ，( 旯x ) = i 旯i ) ， 其中x e e ，见r ， 当z ，y e p ，x 勺时，有口 ) 口成立，并且恻i 、 0 为一常数。 定理2 1 【1 5 】令r 2 r l 0 ，l 0 为常数，并且： q ，= x e e ：