（光学专业论文）连续变量纠缠态的量子非局域性.pdf

湖南师范大学硕士学位论文 摘要 量子非局域性是量子理论中令人感到奇妙的特征之一。尽管和 经典理论一样，量子理论( 从非相对论量子力学到相对论量子场论) 采用了局域描述的方法，但就本质而言，量子理论依然是在局域描 述外衣下的空间非局域理论。非局域性这一奇妙的性质正越来越多 的展现出来，并且正在经受着越来越多的实验检验。研究量子非局 域性对量子理论的根本问题和量子信息论是有意义的。 全文分为六章。第一章简要介绍研究量子非局域性的历史和一 些重要成果。 第二章介绍量子非局域性的基本理论；包括，e p r 佯谬和量子 力学的完备性；b e l l 不等式及其破坏；扩展的c h s h 不等式及其最 大破坏。重点介绍的是带不等式的b e l l 型定理。 第三章研究纠缠相干态的量子非局域性；纠缠相干态是少数几 种实验上可以制备的连续变量纠缠态之一。研究它不仅可以对连续 变量纠缠态的非经典性质作深入了解，同时也能对多个关联光子之 间的非局域性质有所探究。本章首先介绍了计算纠缠相干态量子非 局域性的两种通用方法。接着提出一种全新的方法，即，基于宇称 相干态构成的膺自旋算符可以使b e l l c h s h 不等式的违背值达到它 的上限2 以，同时在实验上具有实现的可能性。之后找到了在理论 上使纠缠相干态获得最优非局域性的b e l l 算符。 第四章研究两模减k 个光子压缩真空态的量子非局域性；两模减 k 个光子压缩真空态是另一种实验上可以制备的连续变量纠缠态。 它是非高斯型的量子态，可以用于非局域性的实验检验中。本章重 点研究了利用膺自旋算符作用于两模减k 个光子压缩真空态的b e l l - c h s h 不等式，发现减光子的手段可以增强该态的非局域性。然后进 步研究了退相干对该态的b e l l c h s h 不等式的影响。 第五章介绍无不等式的b e l l 型量子非局域性定理；前四章介绍的 都是带不等式的b e l l 型定理。这一章沿着无不等式的g h z ，h a r d y 和 c a b e l l o 定理做了一个综述，然后提出一个新的连续变量的c a b e l l o 定 湖南师范大学硕士学位论文 i i 理。它使用光场宇称和极化两个自由度构成的超纠缠态，以无不等式 的方式给出了一个检验非局域性的方法。这是一个a l l v e r s u s n o t h i n g 的方法。 第三章第二节，第四章二，三节，第五章第二节是本工作的创新 之处。 第六章对本文的工作进行了简要的总结，并对这一研究领域的 发展前景做了简要的展望。 关键词：连续变量；量子非局域性；b e l l - c h s h 不等式；c a b e l l o 定理 湖南师范大学硕士学位论文 - i i i a b s t r a c t q u a n t u mn o n l o c a l i t yi so n eo ft h ea m a z i n gp r o p e r t i e si nq u a n t u mt h e o r 弘 a l t h o u 曲，q u a n t u mt h e o r y ( f r o mn o n r e l a t i v eq u a n t u mm e c h a n i c st or e l a t i v e q u a n t u mf i e l dt h e o r i e s ) d e s c r i b e st h ew o r l di nt e r m so fl o c a l i t y ) 1 i k et h ec l a s s i c t h e o r y b u ta 8f a ra si t se s s e n c ec o n c e r n e d ，q u a n t u mt h e o r yi ss t i l las p a c e n o n l o c 出t h e o r yi nt e r m so fl o c a l i t yt h e o n l o c a lp r o p e r t yh a sb e e nd i s p l a y e d ， t h e r ea r em o r ea n dm o r ee x p e r i m e n t 8t ot e s tt h en o n l o c a l i 七y s t u d y i n gt h e q u a n t u mn o n l o c a i i t yi so f 口e a ti m p o r t a n c et ot h eb 嬲i cp r o b l e m si nq u a n t u m 七h e o r e m 8a n dq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r y t h i st h e s i 8i sc o m p o s e do fs i xc h a p t e r t h e 矗r s td h a p t e ri sa i m e dt o i n t r o d u c et h eh i s t o r ya n ds o m em a i nf r u i t so fq u a n t u mn o n l o c a i i t 矿 t h es e c o n dp a r ti n t r o d u c e st h eb a 西ct h e o r j e so fq u a n t u mn o n l o c a l i t yi n c l u d i n ge p rp a r a d o xa n dt h ec o m p l e t e n e s so fq u a n 七u mm e c h a n i c s ，t h eb e l l i n e q u a l i t ya n di t sv i o l a t i o n 锄dt h eg e n e r m i z e dc h s hi n e q u a i i 七ya n di t sm a 一 m a lv i o l a t i o n t h e ne m p h a s i so ft h i sp a r ti st oj n t r o d u c et h eb e l l t y p et h e o r e m w i t hi n e q u a l t i e s t h et h i r dc h a p t e ri n v e s t i g a t e st h eq u a n t u mn o n l o c a i t yo fe n t 址l g i e dc o _ h e r e n ts t a t e s ，w h i c hi sa i li m p o r t a n tc o n t i n u o u s v a r i a b l ee n t a n 斟e ds t a t e sa n d c a nb eg e n e r a t e di ne x p e r i m e n t t h i sp 盯ti n t r o d u c e 8t w og e n e r 出m e t h o d s t oc a l c u l a t et 1 1 eq u a n t u mn o l l l o c a l i t yo fe n t a n g l e dc o h e r e n ts t a t e s t h e nw e p r o p o s ean e wm e t h o dt om a k et h eb e l l c h s hi n e q u 出i t yr e a c ht h em a 面m a l v i o l a t i o nv a l u e2 、2 t h i sm e t h o dh a st h ep r o b a b m t yt or e a l i z ei ne x p e r i m e n t t h e nw e 丘n dt h eb e uo p e r a t o rw h i c hc a nm a k et h ee n t a n g l e dc o h e r e n ts t a t e s g e t 七h eo p t i m a lq u a n t u mn o n l o c a l i t yt h e o r e t i c a l l y t h ef oh o d t om a k et h eb e l l c h s h inequ出ityr e a c ht h em a 面m a lv i o l a t io nv a l u e2 、2 t h i sm e t h o dh a s t h ep r o b a b m t yt o realize i ne x p e r i m e n t t h e nw e 丘n dt h eb e uo p e r a t o rw h i c hc a nm a k et h ee n t a n g l e d coherents t a t e sg e t 七h eo pt i m a lq u a n t u mn o n l o c a l i t yt h e o r e t i c a l l y 湖南师范大学硕士学位论文 i v v a c u u ms t a 七e si nt e r m so fp s e u d o s p i no p e r a t o r s w b6 n dt h a tt h es u b t r a c t i o n o fp h o t o n sc a ne n h a n c et h eq u a n t u mn o n l o c a j i t yo ft h e s es t a t e s t h e nw e f u r t h e rs t u d yt h ee f f 色c tt h ed e c o h e r e n c eh a so nt h eb e l l _ c h s hi n e q u a l i t y t h e 矗f t hc h a p t e ri n t r o d u c e st h eb e l l t y p eq u 越1 t u mn o l o c “t h e o r e mw i t h - o u ti n e q u a l i t i e s t h i sc h a p t e rm a k eag e n e n r 出i z a t i o no fg h z ，h a r d ya n dc a - b e l l ot h e o r e mw i t h o u tj n e q u a l i t yt h e nw ep r o p o s ean e wc o n t i n u 0 1 件v a r i a b l e c a b e l l o 七h e o r e m ，w h i c hu s e ds u p e 卜e n t a n 百e ds t a t e sw i t hp a r i t ya n dp 0 1 a r i z a _ t i o nf r e e d o m sa n dg i v eam e t h o dw i t h o u ti n e q u a h t yt ot e s tq u a n t u mn o n l o - c a l i t mt h i si sa na l l v e r s u s n o t h i n gm e t h o d t h es e c o n ds e c t i o no ft h et h i r dc h a p t e r ，t h es e c o n da n dt h et h i r ds e c t i o n s o ft h ef o u r t hc h a d t e ra n dt h es e c o n ds e c t i o no ft h ef l f t hd h a p t e ra r ei n i v a t i o n s i nt h es i x t hc h a p t e rw eg i v eac o n c i s ec o n c l u s i o no ft h i s 乞h e s i sa n dm a ：k e a ne = k p e c t a t i o no ft h ef u t u r ei nt h i s 矗e l d k e yw o r d s ：c o n t i n u o u s v a r i a b l e ；q u a n t u mn o n l o c a l i t y ；b e u - c h s hi n e q u 胡i t y ；c a b e l l ot h e o r e m 连续变量纠缠态的量子非局域性 第一章绪论 量子非局域性作为量子力学最奇特的，最不可思议的特征之一， 最早被e i n s t e i n 注意到。他在1 0 2 7 年的第五届s o i v a y 会议上，举了一 个单粒子波函数塌缩到某个位置本征态作为例子，来置疑量子力学 的非局域性【1 。那么，什么是非局域性呢? 一般认为，假如一个物理 量，或者一种相互作用，如果它的数值或进行过程不仅依赖于当时 当地的时空变数，而且还以一定方式依赖于别时别地的时空变数， 就称为这个物理量具有非局域性，或者进行过程具有非局域性 2 。 量子非局域性，作为量子理论不同于经典物理学的特征之一，深深 的植根于量子力学的基本公设和量子纠缠之中。 1 9 3 5 年，e i n s t e i n 、p o d 0 1 s k y 和r d 8 e n 提出了著名的e p r 佯谬【3 】，揭开 了数十年来量子力学和局域实在论谁是谁非的激烈争论的序幕。e i n s t e i n 认为，一个完备的物理理论应当满足局域实在论的两个要素： 物理实在论和相对论性定域因果律。这和量子力学主张，两个物理 量所对应的算符，如果它们不对易就不能同时具有观测值的论断存 在矛盾。由此，他置疑量子力学的完备性。根据e i n s t e i n 的想法，1 9 5 1 年，b 0 h m 提出了e p r 佯谬的改进版 4 】，考虑总自旋为零的两个 2 自旋粒子a 、b ，处于一个自旋纠缠态上。粒子b 的三个泡利算符 按照局域实在论，都是物理实在元素，具有确定的值。然而按照量 子力学，它们之间是不对易的，所以不具有同时观测的值。这导致 了对量子力学完备性根本性的怀疑，当时人们认为在量子力学之外 存在着隐变数，可以构造一个隐变量模型来否定量子力学。 1 9 6 4 年，b e l l 从局域实在论和有隐变数存在这两条出发，推导出 一个不等式 5 】。不等式指出，基于隐变数和局域实在论的任何理论 都会遵守这个不等式，而量子力学的有些预言却可以破坏这个不等 式。这首次为一对关联光子的量子非局域性的实验检验提供了理论 方案。之后，人们继续对b e l l 不等式做了多种推广，其中最初的一个 是c h s h 不等式【6 】，它充分考虑了关联测量实验中存在的一些失误 和误差因数，对b e l l 的方案做了修正，提高了实验的可行性和可信 性。 由于b e l l 不等式需要实验去测量关联函数，而这些关联函数均为 湖南师范大学硕士学位论文 2 态中的平均值。所以，关于不等式是否破坏的论断都是以统计方式做 出的。因此人们认为，是否能找到一种新的方法，以确定的、非统计 的方式给出与局域实在论不相容的结果呢? 1 9 9 0 年，g r e e n b e r g e r ， h o r n e 和z e i l i n g e r 提出了g h z 定理f 7 1 ，首次以无不等式的方式给出了 一组相互对易的可观测量，对于这组力学量的测量，量子力学将以 确定的、非统计的方式给出与局域实在论相矛盾的结果。第二年， 等人提出了单光子的量子非局域性 8 。这是首次提出的，使用 单光子来证明量子非局域性和b e l l 不等式的违背。其实在1 9 8 6 年， g r a n g i e r 等人所完成的y o u g 双缝实验已经成为单光子具有非局域性 的证据【9 】。在那个实验中，一个光子以它“特有”的方式同时穿过 了两条缝，显示出单光子的空间非局域性。 进入9 0 年代以后，量子非局域性的理论研究和实验检验蓬勃发 展，形成了百花齐放的局面。1 9 9 3 年，h ”d y 针对两粒子纠缠态提出 了另一种无不等式却是概率的b e l l 型定理，简称h a r d y 定理 1 0 11 1 】。 第二年，他对t a n 等人的方案又做了进一步改进 1 2 】。1 9 9 8 年，w e i h s 等人利用两光子实现了严格局域条件下的b e l l 不等式违背 1 3 ，2 0 0 0 年，在b o u w m e e s t e r 等使用参量下转换方法实现三光子纠缠态的条件 下，潘建伟等人利用它证明了g h z 定理| ：l 4 1 。2 0 0 1 年，c a b e n o 在g h z 和h a r d y 定理的基础上，提出了一个更理想的无不等式的b e l l 型定 理，简称c a b e l l o 定理1 6 。2 0 0 2 年，陈曾兵等人提出了膺自旋算 符，使连续变量系统中的b e l l 不等式的违背值首次达到了2 以的上 限值 1 7 】。隔年，他又利用超纠缠态改进了c a b e l l o 定理 1 8 1 。2 0 0 4 年，h e s s m o 等人完成了单光子非局域性的实验检验1 9 1 。2 0 0 5 年陈 曾兵所改进的c a b e l l o 定理也被杨涛等人予以实现【2 0 】。 以上所述，简要回顾了量子非局域性的历史和一些重要的成果。 本文主要目的是介绍几种连续变量纠缠态的量子非局域性，利用连 续变量系统可以使用高效率的同拍探测方法，紧密联系实验，探讨 量子力学这一重要的特征。 连续变量纠缠态的量子非局域性 3 第二章量子非局域性的基本理论 2 1e p r 佯谬和量子力学的完备性 1 9 3 5 年，e i n s t e i n ，p o d 0 1 s k y 和r o s e n 共同发表了一篇重要文章【3 】。 文章的基本思想认为，借助理想实验的逻辑论证方法，可以表明量子 力学不能给出对于微观系统的完备的描述。通常称为“e p r 佯谬” 或“e i n s t e i n 局域实在论” 3 。他们认为：一个完备的物理理论应当 满足下列两个条件：第一，自然界中每一个物理实在要素在一个完 备的理论中都应当有其对应物；第二，对一个系统，如果不以任何 方式干扰它，而能够确定地( 1 0 0 的概率) 预言该系统中某个物理 量的数值，那就认为存在一个与该物理量相对应的物理实在要素。 分析上面的条件可以知道，“局域实在论”包含两个要素：“物理实 在论”和“相对论性定域因果律”f 2 l 】。a ) 定域因果性观点：如果两 次测量( 或一般说，两个事件) 之间的四维时空间隔是类空的，两个 事件之间将不存在因果性关系。b ) 物理实在要素的观点：任一可观 测的物理量，作为物理实在的一个要素，它必定在客观上以确定的 方式存在着。反映在一个完备的物理理论中就是：如果没有扰动一 个系统，此系统的任何可观测物理量客观上应当具有确定的数值。 由此得出，对a 、b 两个子系统两次可观测量的测量，如果它们间 隔是类空的，则测量值彼此无关，并且数值是确定的。就是说，如果 量子力学是完备的物理理论的话，对a 所做的测量必须不影响类空 间隔下对b 的描述，反之也是。这就是e p r 佯谬的核心思想【2 。 1 9 5 1 年，b 0 h m 提出了e p r 佯谬的改进版【4 】；一种更容易实现的 电子自旋纠缠方案。他提议：考虑总自旋为零的两个危2 自旋粒子， 比如产生的正负电子对a 和b ，处于自旋纠缠态f 雪一) a 且上 旷) a b = 击) 小) b 一小) 办 ( 2 1 ) 假定它们相距足够远，使得两个粒子的空间波包不再交叠。同时， 对它们分别作独立测量的两个时刻又足够接近，于是这两次测量事 件将处在类空间隔。根据“相对论性定域因果律”，对电子a 的测量 应当不会对正电子b 造成任何影响。 首先，考虑可观测量a 。若对a 测得a ? = + 1 ，可以肯定地推断 湖南师范大学硕士学位论文 4 b 处于一尹= 一1 ；反之若测得一? = 一1 ，则知一尹= + l 。总之，一旦对 a 作了一：的测量，则b 的值便在客观上是确定的。现在，测量 时间与距离所构成的间隔是类空的，所以对a 的测量将不影响b 的 状态。按定域实在论的观点，砖应当是一个物理实在的要素。就是 说，不论人们是否对b 作测量，一宇的数值在客观上将是确定地存在 着。 其次，考虑可观测量一。若对a 测得a = + l ，当可推知谚= 一1 。 因为这时 - 江= 刊b = 击( a ( f h ) 一e = 言“1 ) b jt ) b ) = 二l _ l o o = 一1 ) b ( 2 2 ) 同样，若测得霹= 一1 ，则知砖= + 1 。总之，对a 作了霹测量，便 能肯定地知道砖数值而又不会扰动b 粒子的状态。 再次，关于唧的情况也类似。即砖也是一个物理实在的要素， 客观上确定地存在着。总之，砖，一宇，一罗都是物理实在要素，它 们在( 对b 粒子) 测量之前客观上都同时具有确定值。 然而，根据量子力学的观点，由于b 粒子的三个自旋算符彼此都 不对易，客观上它们就不能同时具有确定值。量子力学甚至认为，虽然 两粒子总自旋处于数值为零的确定状态。但是对于单个粒子a ( b ) ， 它的自旋方向是不确定的，同时a ( b ) 粒子的自旋方向依赖于b ( a ) 粒 子的自旋方向。所以说，两粒子的自旋方向因纠缠而处于一种不确 定的状态。 这就是e p r 佯谬。e i n s t e i n 认为，这个佯谬表明：( 1 ) 要么量子 力学中波函数的描述方式是不完备的。( 2 ) 要么，两个子系统就算 处于类空间隔，它们的实际状态也可以是不独立的。e i n s t e i n 根据定 域实在论观点，对第二条持绝对的否定态度。他们认为，b 0 h m 的这 个理想实验表明了：纠缠态在测量中所表现的不确定性是量子力学 波函数描述不完备的体现。 e i n s t e i n 认为，量子力学对单次测量结果只能作统计性预言，这 表明人们对量子测量过程认识和描述的不完备。后来，在这一观点 的基础上，许多人猜测量子力学之外有隐变数存在。 连续变量纠缠态的量子非局域性 2 2b e u 不等式及其破坏 1 9 6 4 年，b e l l 从e i n s t e i n 的局域实在论和存在隐变数这两点出发， 推导出一个不等式 5 】。不等式指出，基于隐变数和局域实在论的任 何理论都会遵守这个不等式，而量子力学的有些预言却可以破坏这 个不等式。 b e l l 想法的关键是考虑a 和b 两处测量之间的关联。他认为这 种关联是由隐变数控制的。纠缠态在测量中表面上所表现出的不确 定性，深层次是因为存在着未知的隐变数的控制。测量结果是决定 性的，但是由于某些隐藏的自由度而在表观上呈现出随机的行为。 例如，对于量子力学中一个自旋朝向z 轴的纯态lt 。) ，一个“更深 层次的隐变数理论”认为它应当为it ：， ) 。这里a 是一个不能为现 时实验技术所控制的隐变数。不失一般性，可以假设o l 并按 照人们目前尚未知道的某种几率分布p ( ) 在【o ，1 】中取值。 考虑a 、b 两个粒子的自旋纠缠态，它们分别由a l i c e 和b o b 掌 控 州一占= 去) 小) 占一小) b ) ( 2 3 ) 现在，a l i c e 沿a 方向测量她手中a 粒子的自旋，而在类空间隔 上b o b 沿a 方向测量他手中b 粒子的自旋。设各自测量结果分别为 a ( a ，a ) ( 为简单起见，设数值为+ 1 或一1 ) 和b ( b ，a ) ( + 1 或一1 ) 。将测 量结果对应相乘。由于圣) 中a 、b 自旋反向关联的特性，当a = b 时，应当有 a ( a ，a ) b ( b ，a ) = 一1 如果对多个样品进行多次这样测量， 化隐变量 的积分平均。于是在a 、 数为 p ( a ，b ) = ，以p ( a ) a ( a ，a ) b ( b ，a ) 所得平均结果应当是对随机变 b 两个方向测量结果的关联函 f 2 5 ) 同样地，如果沿a 、c 两个方向进行第二组实验，以及沿b 、c 进行 湖南师范大学硕士学位论文 ，8 这里并未假设体系的总自旋为零。如果体系总自旋为零，即理想的 反方向关联p ( c ，c ) = 一1 ，并且选取特殊情况d = c ，就化简为b e l l 不等 式。 和b e l l 不等式相似，c h s h 不等式在量子力学中也极易受到破 坏。比如，取4 个矢量共面，并且z ( a ，b ) = z ( b ，d ) = z ( d ，c ) = ：，于是 么( a ，b ) = 警，将量子力学结果代入，即得p ( a ，b ) = p ( b ，d ) = p ( d ，b ) = p ( d ，c ) = 一击，p ( a ，c ) = 击，带入式( 3 2 8 ) 成为2 以2 。 2 ，c h s h 不等式的最大破坏 现在来给出c h s h 不等式的最大破坏。按照量子力学，c h s h 不 等式的破坏有一上限：2 瓶。这是由于 f ( 盯 a ) 2 = ( 盯日- b ) 2 = ( 盯 d ) 2 = ( 盯口- c ) 2 = j ， 【 盯 a ，孑日b 】= 【盯aa ，石刍c 】= o _ d ，而c 】= 【盯ad ，孑日b 】= o ， 在这里，令 n = ( 矿 a ) ( 盯口b ) + ( 矿 d ) ( 盯bb ) + ( 盯a d ) ( 盯bc ) 一( 盯 a ) ( 盯bc ) ， n 2 = 4 + 【( 口 - a ) ，( 盯a d ) 【( 盯口b ) ，( o 蛋c ) 】 = 4 4 ( a d ) 盯 】 ( b c ) 盯b 1 因此有 ( 皿l n 2j 皿) = 4 4 s i n ( a ，d ) s i n ( b ，c ) p ( a d ，b c ) 4 + 4 = 8 这里，p ( a d ，b c ) 是a 和b 分别在a d 及b c 方向测量各自自 旋取向的关联函数，其模值不超过1 。考虑到( 皿) 2 ( 皿i n 2 i 母) ， 最后得到 ( l n 皿) 2 、2 上式中，l 皿) 为任意态。这说明数值2 以是c h s h 关联测量中的上限。 到目前，所做的十多个实验都证明了b e l l 一c h s h 不等式可以被破 坏。即，都反对基于物理实在论上和相对论性定域因果律基础上的 局域实在论【2 1 】。也即表明，局域实在论是不正确的，量子力学的描 述是符合实验测量结果的。 深入分析上面推导可以发现，b e l l 结论实际上并不依赖于隐变 数的解释，随机隐变数 仅是一种数学表述的形式上的东西。其实， 连续变量纠缠态的量子非局域性 1 1 第三章纠缠相干态的量子非局域性 3 1 纠缠相干态及其制备 在量子光学中，相干态是连续变量系统中一种非常重要的量子 态。它不仅能精确描述由激光等相干光源产生的光场，而且对于研 究连续变量光场的性质起着重要作用。相干态具有准经典的性质， 但是不具有量子物理中重要的非局域性。为此，可以通过制备纠缠 相干态来获得量子非局域性。s ”d e r s 等提出了利用非线性与马赫一 曾特干涉仪制备纠缠相干态的方案【2 3 】。 马赫一曾特干涉仪由两个束分仪器和一个非线性k e r r 介质组成， 输入端是相干态i 血。) 和l 岛) ，该系统对应的幺正变换算符是 驴= 西膏雪，( 3 1 ) 其中 口= e x p 【0 a + 6 + j 6 + ) 4 】， 膏= e x p 卜叹( a + a ) 2 1 ，( 3 2 ) 这里x 是介质的非线性系数，则输出态可以表示为 i 妒一) = u l n 。) i 风) ， ( 3 3 ) 通过分束器，输入态变为 b l o n ) 1 岛) = i 二为( a + i 卢) ) c i 杀( 卢+ a ) ) d ， ( 3 4 ) v zv c 和d 为分束器的输出模，此时输出态不是纠缠的，通过非线性介质 后， 嗣) - e x p ( 一陋| 2 2 ) 三南e x p 。聊2 ) h ) 1 ( 3 与) 取x = ”2 ，则 膏i a ) = ( e 1 ”4 i d ) + e ”4 | - a ) ) ， ( 3 6 ) 这些态类似薛定谔猫态。 综合上述变换，通过马赫曾特干涉仪后，可以得到最后的输出 湖南师范大学硕士学位论文 1 2 图3 1 ：图中所示为使用一束光场的相干态、k e “非线性介质和 5 0 - 5 0 分柬器产生一个纠缠相干态的过程 2 4 】，d i s p i a c e m e n t l ，2 为相移器，d e t e c t o r a ，b 为单光子探测器 态为 f 。) 。t = 去( e “”4 l z 卢) 。小a ) 十e ”4 i d ) 。，l 卢) 6 a ( 3 7 ) 。7 和是输出模，显然，此时输出态是纠缠的，称为纠缠相干态。 这里i a ) 和i 卢) 不是正交的 i ( d i 芦) 1 2 = e x p ( 一1 血一卢1 2 ) ，( 3 8 ) 对于两模相同的纠缠相干态，可表示为 l 妒) 2 赢( 1 。) l 。) + “p ( i 妒) | _ 。) | _ 。) ) ， ( 3 - 9 ) 其中风= 2 十2 c o s e x p ( 一4 f 同。 后来，w i l s o n 等人提出了一个简化的方案 2 4 】，使用一个分5 0 一 5 0 束器、k e 非线性介质和一束光场的相干态等就可以产生纠缠相 干态，如图( 3 1 ) 所示。 3 2 基于多种算符的纠缠相干态的b e l l c h s h 不等式 在量子非局域性的实验检验中，一直存在着两个急待克服的漏 洞。第一是探测器效率漏洞：在利用参量下转换方法实现的多光子纠 g 湖南师范大学硕士学位论文 1 6 上式中，关联函数为 e ( 口。，妒。，如，妒b ) = ( 皿1 2 l s s | 皿1 2 ) = 一c o s 日。c 。s 8 6 一k ( n ) c o s ( 一妒6 ) 5 打1 日n s 打z 日6 ，( 3 ，2 4 ) 其中 。、( 函蒜) 2 k ( 。) = 忑眷篆豢l 这里，o 2 ，( 4 2 2 ) 在这里，同样选定目。= o ，以= ”2 ，如= 一懿和妒。= = o 。由上式知 道，只要三 o ，则方程( 4 _ 2 2 ) 式就被破坏了。从而揭示了双模减单光 子压缩真空态的非局域性动力学。图( 4 4 ) 中我们画出了该量子态的 b e l l 函数期望值的最大值随着压缩参数r 和阻尼度d 变化的曲线。从 上面的讨论中我们知道b e u 不等式总是违背的。因此，对于给定的 压缩参数r 和阻尼度d ，方程式( 41 5 ) 中的m ( t ) 当k = 1 时，鼠存在纠 缠。 连续变量纠缠态的量子非局域性 3 3 第五章无不等式的b e u 型量子非局域性定理 5 1g h z 定理，h a r d y 定理和c a b e l l o 定理 在第二章中，通过研究b e l l 和c h s h 不等式的破坏来揭示了量子 态的空间非局域性质，这可以称之为”关联非局域性”。由于实验 中测量的关联函数均为态中的平均值，所以，关于量子态破坏与否 的论断都是以统计方式做出的。事实上，也可以找到无不等式的b e u 型定理，使得人们可以以一种确定的，非统计性的方式来揭示量子 态的这种非局域性。本节介绍了这条思路上几个最主要的无不等式 的b e u 型定理2 】。 1 g h z 定理及意义 4 1 】 对于三粒子g h z ( g r e e b e r g e r h o r n e - z e i l i n g e r ) 态，存在一组相互对易 的可观测量。对于这组力学量的测量，量子力学将以确定的，非统 计的方式给出与经典局域实在论不相容的结果证明：设三个1 2 自 旋粒子体系处于g h z 态上 吼b c = 去( 枷) 印) g 叩) 巾) 郎) g ) ( 51 ) 由量子力学知道霹l o ) = 1 1 ) 一。于是，体系的这种状态是以下4 个对 易力学量组的共同本征态，相应的力学量本征值和本征方程分别为 f 皿) b c = l 皿) a b g ， 曰砖i m ) a 口c = l 皿) b g ， 霹口 i 皿) j 4 b g = i 皿) b g ， 霹砖l 屯) 日。= 一f ) b 。( 5 2 ) 现在，试用局域实在论的观点来理解。首先考虑可观测量程。由态 i 皿) a b g 知道，假如对b ，c 测量得到磅= + 1 ，那就可以肯定地 推断出a 处于霹= + 1 的状态；反之如果测量得出砖西= 一l ，就知 道磅= 一1 。因此，不管对于b ，c 测量结果如何，只要对它们做 了霄测量，那么a 的一参的值就是客观确定了的。考虑对三个粒 子的测量均彼此以类空间隔分开。由相对论性定域因果律可知，对 b ，c 粒子做测量不会干扰a 粒子的霹。按照局域实在论观点，掣 湖南师范大学硕士学位论文 3 4 就应该是一个客观存在的物理实在元素，客观上它应当有一个确定 值，为m j ( + l 或者一1 ) 。接着考虑其他如霄等，论证类同。于是，按 经典的局域实在论观点，客观上应当存在一组数( + 1 或1 ) ，能使方 程组( 5 1 3 ) 成立 m ；m 孑m g = 1 ， m ；碟m 孑= 1 ， 孵m 孑m 孑= 1 ， m 鲁m 詈m 呈= 一1 ( 5 3 ) 但是显然，按局域实在论的理解所得的方程组( 53 ) 含有内在矛盾， 无法同时成立。比如，将前三个方程相乘得到 ( 5 4 ) 这和第4 个方程相矛盾。定理的意义：定理及其证明的过程说明， 量子力学方程组( 5 2 ) 是无法用经典局域实在论观点来理解的。值得 注意的是，g h z 定理是第一个无不等式的b e l l 型定理。通过对三个 粒子自旋本征值在类空间隔下的关联测量，此定理以等式的形式一一 一种确定的非统计的方式暴露出量子力学与局域实在论之间的不相 容性。g h z 定理的首次实验检验已经有潘建伟等用三光子极化纠缠 g h z 态予以实现 14 】。 2 h a r d y 定理 上面g h z 定理也称作无不等式的b e u 定理。它揭示了三个l 2 自旋粒子组成的g h z 态的一种量子纠缠性质一一涉及三个观察者， 实际只有两个独立的时空间隔这一类空间非局域性。但未涉及两个 粒子纠缠，此时是两个观察者，一个独立时空间隔的情况。1 9 9 3 年 h a r d y 针对两粒子纠缠态提出了另一种无不等式但却是概率的b e l l 型 定理。他的工作之后，各种版本的h ”d y 定理陆续出现。这里只介绍 后来g o l d s t e i n 更简洁的h a r d y 定理1 1 ： 对两体双态系统的正交归一基( 1 a ) ；，慨，。( n i 卢) 。= o ，江a ，b ) ，有 所谓h a r d y 态l 皿) b = n i a ) a a ) b + 啪) i a ) b + a l 卢) b ，( 曲c o ) 。对于这 个态，存在一组力学量，通过对这组力学量的测量，按无不等式形 式，以非零概率给出( 量子力学与局域实在论) 互不相容的结果。 连续变量纠缠态的量子非局域性 3 5 定理的简要说明：可设计一组共4 个力学量，它们为，h ，w ，b 巩= l r 9 ) ；。( 卢i ，w = i u ) 。：( u l ， i u ) ，= 生糌i = 且，b ( 5 5 ) 这里，幽= b ，如= c 。对于a 、b 两粒子体系的这个量子态，测量 这4 个厄米算符所代替的力学量。量子力学给出：若n k o ，则同 时测量和h 白，同时为零的概率不为零；但是，按经典的定域实 在论来理解同时测量仉和h 白，不能同时为零的概率。于是，此定 理以“无不等式但却是( 非零) 概率的方式”，暴露出量子力学与局域 实在论之间的矛盾。 证明：量子力学直接计算可知，4 个算符对i 皿) 一日态的作用分别 为 巩u b 巩 p ( w _ a = = o ) = 0 = o 一= 1 ， = 0 一= l ， o ，( n 6 c o ) ，( 5 6 ) 不论被测态 ) 一口中系数n ，6 ，c 如何，第1 式恒成立；出现第2 式 皿) a 口= o 的情况表明态中系数6 = o ，这时使态i 皿) 日不变； 出现第3 式i 皿) b = o 时态 2 ，如= 一钱和咖= = o 。由图( 4 2 ) 知，( 4 20)式中bell不等式的最大违背值随着阻尼度d=(1“霁蠢赣砥蕾 t出溢j誊冀籍蒸冀固蕊受嚣雾鬻，移舞。誊爨菱髦霪嚣萌藏羹攀 膀嚣臁t鬟雾雕黔鍪掣?曩竖零概率鍪，翌萤篓孽菇i磐j ) = ( 6 4 l a ) a n + i 卢) ) i o l 2 + 1 6 j 2 ，l u) 8= ( n l o ) 口+ c i p ) b ) 、j o l 2 + i g l 2 ， 连续变量纠缠态的量子非局域性 3 9 然而，由于实验中使用了单光子探测器，探测效率的低下导致了 可以构建隐变数模型。所以事实上，这并没有一劳永逸的解决量子 力学和局域实在论之间的争论。 5 2 连续变量的c a b e l l o 定理 连续变量光场的量子态可以拥有一个极化自由度，因此两模连 续变量态也可以在极化方向纠缠起来 5 0 。相干极化态是被认为一 个拥有极化信息的相干态。一个两模相干极化态可以被定义为 皿；z ，) = i d ) 1l z ) 1oi a ) 2i 掣) 2 上式中，l z ) ，( ) 。) 是光场1 ( 2 ) 的极化的量子态。所以相干极化态同 时有三个自由度：一个是由奇，偶相干态叠加的宇称自由度，第二 个是极化自由度。第三个是路径自由度。那么，可以从三个自由度 中任选两种来构造一个双纠缠态。例如，我们可以构建一个宇称一 极化的最大纠缠态 i 皿) 1 2 = _ ? ；亓( i n ) 11 n ) 2 一l o ) 1l n ) 2 ) o “日) 1i y ) 2 一1 1 ，) l1 日) 2 ) ( 5 1 9 ) 1 = ；( 1 e ) 1i d ) 2 一i 。) 11 e ) 2 ) ( 1 日) 1l y ) 2 一 v ) 11 日) 2 ) 上式中1 日) ( 1 y ) ) 代表水平( 竖直) 极化方向的量子态。 假设a l i c e 拥有光子1 ，b 0 b 拥有光子2 。a l i c e 和b 0 b 处在类空间 隔。那么可以定义在极化自由度上的泡利算符。这类似于文献【18 。 s ：= 日) ( y l + i y ) ( j 丁i ， s ：= 1 日) ( 日l i y ) ( y 1 ( 5 2 0 ) 为简单起见，使用下面的标记：毛= ，= ，= s ：。，z 卜s ：； 0 ：1 ，2 ) 。通过使用( ) 来区分算符和算符乘积，表达e p r 的局域实 湖南师范大学硕士学位论文 在元素。那么对于阿) ，。，量子力学预言存在下面的等式存在 乱z z 皿7 ) 1 2 = 一j 皿) 。，= i ；j m 7 ) 。= 一i 皿7 ) ，2 ， z 1 z 2 m ) 1 2 = 一l 皿7 ) 1 2 ，z i - z ；j 皿7 ) 1 2 = 一j 皿7 ) 1 2 郴i 沈t 砭i ，) 1 2 = i 皿，) 1 2 ， z l z i 嘞z ；l 皿，) 1 2 = i 皿，) 1 2 ， ”z i 嘞z ：i 皿，) 1 2 = l 皿，) 1 2 ， z 1 = i 锄z 外p ) 1 2 = ) 1 2 ， z l z i - z l z j 砘z ；z 2 2 5j 皿7 ) 1 2 = 一i 7 ) 1 2 ( 5 2 1 ) ( 5 2 2 ) ( 5 2 3 ) ( 5 2 4 ) ( 5 2 5 ) ( 5 2 6 ) ( 5 2 7 ) 等式( 5 2 1 ) ( 5 2 7 ) 只包括a 1 i c e 的或b o b 的局域算符。上式允许以 不干扰b 0 b ( a l i c e ) 的量子态的方式，通过测量a l i c e ( b o b ) 的局域算符 来确定的知道b o b 的算符z ；，z ，z 2 z ：和z 2 。；的取值( a l i c e 的 算符钆。；，z j ，z ，z j 和z ，z i 的取值) 。然而，等式( 52 1 ) 一( 5 2 7 ) 的局 域实在论解释则认为存在着一组预先确定的值：”( z 。) ，”( z ；) ，u ( z t ) ， ”( z i ) ，”( ，沈) ，”( 。5 ) ，”( z