（光学专业论文）量子克隆和量子删除的研究.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得自 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得蟛敝大尊或其他教育机才 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献蔓 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：字巾 擀日期加弓年歹月c 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了燃太浮有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅本人授权蟛数冀缸以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：，挈扣导师签名：曾牟讧 签字日期：2 0 。5 年箩月7 日 签字日期： 。删f 年厂月夕日 学位论文作者毕业去向： 工作单位：电话： 通讯地扯：邮编： 摘要 摘要 我们生活在一个信息的时代，量子信息科学的发展对传统的信息科学提出了 巨大的挑战。量子信息是量子力学和信息科学相结合的产物，量子信息的发展有 希望对信息处理过程、算法的问题、操控纳米量级的设备以及基础物理带来重大 影响，它将改变我们对于原子量级世界理解的方式，使得量子世界变得更加熟悉 和容易理解。 操控和提取量子信息是构造量子计算机中的一个十分重要的任务，我们都知 道复制和删除操作在经典的计算机中是不可避免的操作，然而相同的操作在量子 的情况下却不能被完备的实现，量子信息的独特属性使得我们必须予以特殊对 待。本文着重对量子克隆和量子删除的问题进行了研究，取得如下结果 1 基于腔o e d 技术提出了一个可行的物理方案，用来实现l 斗2 的两对正交态 的优化克隆。使用p e r e s h o m d e c k i 定理对输出态的分析表明，它们是纠缠在 一起的。我们还提出基于腔q e d 技术的方案用来实现位于x - y 赤道面和x z 赤道面上的1 _ 2 的相位协变式( 0 p c c m ) 量子克隆过程。 2 我们构造了态依赖型量子删除机，得到了j v 斗时态依赖型量子删除整体保真 度所能达到的上限，其中态是从k 个非正交的态集合中选取的，并且构造了 当k _ 2 时实现上述态依赖型量子删除的量子网络( 在我们的讨论中没有考虑 删除机的量子态) 。我们还比较了量子克隆和量子删除的一些异同点。 3 我们证明了对于从态集合4 = ) ，j 霉) 缸= 1 ，2 ) 中选取的念，可以通过一个幺 正演化和测量过程来实现h a d 锄a r d 门和u n i t a r y 门，该过程实现的充分必要 条件为i ) ，l v ：) ，i 弓) ，l e ) 是线性无关的。 关键词：量子信息，量子克隆，量子删除，腔q e d ，赤道态 量子克隆和量了删除的研究 a b s t r a c t t h e r ei sn od e n y i n gt h a tw e1 i v ei naw o r l ds u r r o u l l d e db yi n f o r i n a t i o n ，q 唧t u m i n f o m a t i o nh a sp u tf o m ，a r dg r e a tc h a l l e n g et 0n l eo n h o d o xi 驴f 0 艘a t i o ns c i 锄c e q u 趾t u mi n j 0 加a t i o ni saf i e l dc o m b i n a t i o no fq 啪t u m 耐e c h a n i c sa n di n f o n n a t i o n s c i e n c e t h es c i e n c eo fq u a n t 啪i n f b r r i l a t i o np r o c e s s i gi sp r o m i s i n gt oh a v ea s i g n i f i c a n ti m p a c to nh o ww ep r o c e s si n f o r m a t i o 玑s o l v ea l g o r i 血m i cp m b l e m s ， e n g i n e e rn a i l o s c a l ed e v i c e sa i l dm o d e lm n d a m e n t a lp h y s i c s ，i ti sa l r e a d yc h a n g i n g t h ew a yw el h l d e r s t a i l da 1 1 dc o n t r 0 1m a 仕e ra tt l l ea t o m i cs c a l e ，m a l 【血gm eq u a n t u i n w o r i dm o r e 觚i i a r - a c c e s s i b l ea l l du n d e r s t a l l d a b l e m a l l i p u l a t i o na n de x t r a c t i o no fq u a n t u mi n f 0 n a t i o na r ei m p o r t a n tt a s k si nb u i l d i n g q u a l l t 哪c o m p u t e r a sw ek n o w t l l ec o p y i n ga 1 1 dd e l e t i n go fi n f o n n a t i o ni na c l a s s i c a l c o m p u t e ra r cj c v i t a b i eo p e r a t i o n sw h e r e a ss i m i i a ro p e r a t i o n sc 籼o tb er e a i i z e d p e r f b c 廿yi nq u a n t u mc o m p u t e r s q u a n t u 】【ni n f o 彻a t i o nh a st h e1 】n i q u cp r o p e n yw h i c h w es h o u l dt r e a ti ts p e c i a l l ys o m ea s p e c t so fq 眦n t u mc l o n i n ga n dq u a n t u md e l e t i n g a r es t u d i e di nt h i sp a p e r ，t h er e s u l ti sm ef o l l o w m g 1 ，w 毫p r o p o s ea 岛a s i m es c l l e m e t 0i m p l 锄e n tt h e1 _ 2 o p t i m a lc 】o n i n g t r a n s f o m l a d o nf o rt w op a i r so fo r 山o g o n a ls t 砒e so ft w o d i m e n s i o n a lq u a n t u m s y s t e m si n 出ec o n t e x to fc a v i t yq e d 1 、b ec o p i e dq u b i t s a r es h o w nt ob e i n s e p 啪b l eb yu s i n gp e r e s h o r o d e c hc r i t e r i o n w e a l s o p r e s e n ts c h e m e s t o i m p l e m e mt 1 1 e 1 2p h a s e c o v a r i a n tq u a n t u mc l o n i n gm a c h i n ef o ri n p u ts t a t ei n m ex ye q u a t o ro r 。ze q u a t o l 2 a q u a n t u ms 纽| e d e p e n d e n tq u a n t 啪d e l e 血gm a c h i i 】ei sc o n s t n l c t e dw 毫o b t a i na u p p e r b o l l i l do f m e9 1 0 b a l f i d e l i t y o n 一t o mq u a l l t u md e l e 曲g 劬ma s e to f 髟 n o n - o n l l o g o n a ls t a t e s q 啪t 啪n e m r o 】d ( s a r ec o n s t n j c t e df o rm ea b d v e s t a t e d 印e n d e n tq u a i l t u md e l e t i n gm a c h m ew h e n 足- 2 o u rd e l e t i n gp r o t o c o l o n l yi n v o l v e sau 1 1 i t a r yi n t e r a c t i o na r n o n gm ei n i t i a lc o p i e s ，w i mn oa 工l c i l l a w e a l s op r e s e n ts o m ea n a l o g i e sb e t w e e nq u a n t l nc l o n i n ga n dd e l e t i n g 3 w es h o wt h a 土t h eu n i v e r s a lh a d a m a r da n du n i t a r yg a t e sc o u l d b ei m p l e m e n t c db y 2 a b s t r a c t au n i t a r ye v o l u t i o nt o g e t h e rw j t ham e a s u r e m e n tf o ra n yu n k n o 啪s t a t ec h o s e nf 幻m a s e t 爿= _ ) ，f 甲) 托= 1 ，2 ) i fa n d 。n l y i f f 、壬，。) ，k ) ，f 霹) ，f - 2 ) a r e l i n e a r i y i n d e p e n d e n t k e yw o r d s ：q u a i l t 眦i n f o r m a t i o n ，q u a n t u mc l o n i n g ，q u a n t u md e l e t i n 舀c a v i t yq e 】) e q u a t o r i a lq u b i t s 3 绪论 第一章绪论 根据摩尔( m o o r e ) 定律，每十八个月计算机微处理器的速度就增长一倍， 其中单位面积( 或体积) 上集成的元件数目会相应地增加。可以预见，在不久的 将来，芯片元件就会达到它能以经典方式工作的极限尺度。因此，突破这种尺度 极限是当代信息科学所面艋的一个重大科学闽题，正是在这种背景下量子信息应 孕而生。量子信息是近年来发展起来的，是量子力学和信息科学结合的产物。量 子信息的研究就是充分利用量子物理基本原理的研究成果，发挥量子相干特性的 强大作用，探索以全新的方式进行计算、编码和信息传输的可能性，为突破芯片 极限提供新概念、新思路和新途径。量子力学与信息科学结合，不仅充分显示了 学科交叉的重要性，而且量子信息的最终物理实现，会导致信息科学观念和模式 的重大变革。事实上传统计算枧也是量子力学的产物，它的器件也利用了诸如 量子隧道现象等量子效应。但仅仅应用量子器件的信息技术，并不等于是现在所 说的量子信息。目前的量子信息主要是基于量子力学的相干特征，重构密码、计 算和通讯的基本原理。无论在理论上还是实验上量子信息都在不断取得新的突 破，已经发展成为内容十分丰富的新学科，它包括量子计算【1 】、量子通信【2 ，3 、 量子密码术【4 ，5 】和量子博弈 6 】。 量子力学和计算机科学的交汇导致了在两个领域内都产生意想不到的快速 发展。在计算机科学中，采用量子力学原理构建的量子算法已经显示出经典算法 所无法比拟的优越性。另一方面，也使得量子力学中出现许多全新的问题和有趣 的应用，比如量子避错码为克服量子系统的退相干提供了非常新颖的方法。 这些工作最早源于二十世纪六、七十年代对克服能耗问题的可逆计算机的研 究。计算机芯片的发热，影响芯片的集成度，从而大大限制了计算机的运行速度。 l a t l d a u e r 7 1 关于“能耗产生于计算过程中的不可逆操作”的发现表明，虽然物理 原理并没有限制能耗的下限，但必须将不可逆操作改造为可逆操作，才能大大提 高芯片的集成度。直观地说，当电路集成密度很大时，x 很小时，卸就会很大， 电子不再被束缚，就会出现量子物理所描述的量子干涉效应，从而破坏传统计算 机芯片的功能。对于现有的传统计算机技术，量子力学的限制是一个不可逾越的 障碍。只有量子力学中的幺正变换。才能真正地实现可逆操作。从理论观念的 量子克隆和量子删除的研究 恁度讲，量子计算的想法与美国著名物理学家r f e y n m a nf 8 】“不可能用传统计 算机全面模拟量子力学过程”的看法直接相关。在此基础上，1 9 8 5 年，英国牛 津大学的d ，d e u t s c h 【9 】初步阐述了量子图灵机的概念，并且指出了量子图灵机可 能比经典图灵机具有更强大的功能。1 9 9 5 年，s h o r f l 0 提出了大数因子化量予算 法，并有其他人演示了量子计算在冷却离子系统中实现的可能性，随后，g r o v e r 【1 1 又发现了未加整理数据库搜索的g r o v e r 迭代算法。使用这种算法，在量子计算 机上可以实现对未加整理数据库量级加速搜索。目前，由于量子计算机的巨 大潜力，它已经变成物理学家、计算机专家和数学家共同关心的交叉领域研究课 题。 除了量子计算的研究工作，对量子力学基础的研究引出了另个新的领域一 量子通信。量子隐形传态 2 】矛口量子密集编码 3 】是量子通信中两种比较典型的方 式。量子隐形传态的思想是由b e n n e t 等六位科学家在1 9 9 3 提出的。他们将未知 量子的信息分为经典信息和量子信息两部分，分别由经典信道和量子信道传给接 受者。量子隐形传态的特点是仅仅量子态被传送，而粒子本身不被传送。而密集 编码可以通过只传送一个粒子来实现两个比特信息的传送。近年来人们不仅在理 论上对量子通信进行了深入的研究 1 2 1 7 ，而且实验上也取得了许多重要的进 展。如1 9 9 6 年量子密集码的实验演示【1 8 ，1 9 9 7 年奥地利因斯布鲁克z e i l i n g e r 1 9 研究小组成功完成了第一个量子隐形传态实验，随后人们又相继完成了系 列重要的实验 2 0 2 8 。除了量子通信，量子信息还包括量子密码术和量子博弈。 其中量子密码体系采用量子态作为信息载体，经由量子通道在合法的用户之间传 送密钥，量子密码术原则上提供了不可破译、不可窃听和大容量的保密通讯体系， 量子密码术目前实验上已具备初步成熟阶段 2 9 - 3 3 】。量子博弈是l9 9 9 年由e i s e n 等人提出的，2 0 0 2 初中国科技大学杜江峰【3 4 】博士的科研小组利用核磁共振系统 在国际上率先实现了量子博弈实验。由于篇幅所限，在此不再对量子密码术和量 予博弈进行敖述。 在经典信息处理过程中，刻画信息的二进制经典比特( b i t ) 由经典状态o 和l 表示。对于量子信息面言，出于微观世界中量子效应会鲜明地凸现出来，经 典比特状态的。和1 必须由两个量子态l o ) 和1 1 ) 来取代；处于这样两种不同状 态之上的粒子就是量子信息的基本存储单元一量子比特( q u b i t ) 。任意两态量 子体系都可成为量子信息的载体。如二能级原子、分子或离子，光子偏振态或其 它等效的自旋的粒子。与经典比特本质不同，个量子比特可以处在i o ) 和1 1 ) ，厶 的相干叠加态。比如对于一个两个量子位的寄存器来说，它的量子位可以是1 0 0 ) 、 1 0 1 ) 、1 1 0 ) 和1 11 ) 的所有可能的叠加。对于寄存器上的数据的任何操作会同时作 用到所有可能的值上。这意味着使用量予信息代替经典信息的话，此时执行的将 是并行操作，这也显示了量子计算机的巨大的优越往。研究由量子位所携带的信 息的属性也就构成了量子信息的研究内容。 这里我们考虑研究量子信息所不同于经典信息的一些属性。众所周知在经典 的计算机中复制和删除信息是不可避免的操作，然而相同的操作在量子计算机中 却不可能被完备的实现。量子力学念空间的线性性揭示出，我们不可能对任意的 未知的量子态进行精确地复制，也f 是量子信息不能被完备的复制的性质构成了 量子密码的基础。在构建量子计算机的过程中操控和提取量子信息是一个非常重 要的任务，我们的研究动机就是探索量子态复制和删除过程中的独特性质并寻找 有效的物理方案来实现这些过程。 本文结构安排如下：第一部分对量子信息做一简要概述；第二部分对量子克 隆和量子删除研究中的基本概念和进展进行简单的回顾：第三部分我们给出对于 一些克隆过程的物理方案，并分析了其实验的可行性；第四部分我们研究了态依 赖型量子删除的策略，并且对量子克隆和量子删除进行了一些比较；第五部分我 们给出了实现对二维空间中的量子位s u ( 2 ) 操作的概率性方案；第六部分是结 论，对我们的研究工作进行了回顾和总结并作出一些展望。 量子克隆和量子删除的研究 第二章量子克隆和量子删除研究概述 2 1 量子不可克隆定理和量子不可删除定理 量子不可克隆定理的最初证明是由w o o t e r s 和z u r e k 【3 5 在1 9 8 2 年完成的。 他们的论述非常简洁只依据了量子力学态空问的线性性。为了简单起见，我们考 虑能否由一个量子态复制出两个完全相同的量子念。为此，首先需要一个输入态， 一个空白态用来产生复制态，还需要个克隆机态也即辅助态。假设输入的任意 量子态为l 甲) 。= 口i o ) + p 1 1 ) ，同时假设空白态初始时刻处于态i o ) 。，克隆机初始 处于态l q ) ，它是不依赖于输入态的，一个理想的克隆机将会产生如下的过程 i 甲) 。i o ) i q ) ，+ i 甲) 。i 、壬，) 。1 9 ) ，( 2 1 ) 如果克隆棍可以复制任意态，那么它也能复制出两个基，即有 o ) 。慨1 9 ) ，寸l o ) 。陬iq 0 ) ， 1 ) 。愀1 9 ) ，jh h 旧) ， ( 2 2 ) 由( 2 2 ) 式可得对任意输入态i 甲) 会又有如下转化过程 l 、壬，) 。l o ) 。i q ) ， 口i o ) 。f o ) 。l q 。) ，+ 卢i l ) 。1 1 ) 。i q ) ，( 2 3 ) 我们发现( 2 ，2 ) 式和( 2 3 ) 式是矛盾的，故完备的克隆机是不存在的。 2 0 0 0 年p a t i 3 6 】等把量子克隆反过来考虑，他们证明了完备的删除掉任意未 知的量子态也是不可能的。仍然考虑最简单的情况，即从两个量子态中删除掉一 个量子态使其中一个成为空白态，我们需要两个处于f 甲) 。f 掣) 。形式的态，还需要 一个删除机态i ，也称为辅助态。一个理想的删除机应能实现下式 、壬，) 。掣) 。爿) ，甲) 。i 矽。j 爿) 。 ( 2 4 ) 其中l ) 。表示空白态，实现上式的一个明显操作是把后面两个量子位进行交换， 然而不能认为这样的操作是删除成功。p a t i 等证明了上面的删除过程是不能完备 实现的，该原理被称为量子不可删除定理，不仅如此，人们还证明了对一个任意 的量予位进行反转操作是被禁止的 3 7 】。反转操作可以用算符定义如下 量子克隆和量子删除研究概述 矿f 掣) = 可) ( 2 5 其中l 甲) = 口i o ) + 1 1 ) ，经过反转算符操作以后变为f 孓) = + j o ) d 1 1 ) ，由于v 是反幺正算符，易证无法实现对任意未知量子态的反转操作。还可以进一步证明 对任意未知量子态进行如下操作 u 俐) = 俐币) 也是不能完备的实现。 ( 2 6 ) p a t i 3 8 等还证明对于任意未知态的如下过程也不能被完备的实现 j 甲) 寸去甲) 十f 平) ) 吖z ( 2 7 ) f 孓) 斗击甲) 一例 其中f 甲) 和f 回定义同上，( 2 7 ) 可以推广为下式 甲) j 口j 甲) + 6 i 孓) 孓) 叶6 i 掣) 一日l 平) ( 2 8 ) 即不能实现对任意未知的量子态的s u ( 2 ) 操作。p a c 邶9 】等还进一步研究了一 个量子系统能否自我复制的问题。他们得出的结论是不存在消耗有限资源的量子 自我复制机。 2 2 态无关型量子克隆机 假如我们放弃克隆的态必须是完备的要求的话，那么可以构造一种克隆机， 它不需要知道输入态的任何信息，可以以最接近于输入态的程度对任意输入态进 行克隆，而且它对任意态克隆的效果是相同的并且是决定性的。我们把这种克隆 机称为态无关型量子克隆机，一般又称为普适克隆机( u q c m ) 。这项工作最初 是由b u 2 e k 和h i l l e r y 【4 0 】完成的。我们考虑l 寸2 的克隆过程，仍以态 l 甲) = a i o ) + 剧1 ) 为例，把a 和p 进一步参数化为 岱= s i n & 肼，= c o s 0 ( 2 ，9 ) 则一个普适克隆机具有以下性质 l ，输入态经过克隆机后的输出态和克隆态分别由密度算符p 和4 训描述 9 j 塑墼堕必i 则有 砖“、= 文m 1 ( 2 1 0 ) 2 - 既然克隆机对任意态克隆的效果是相同的，那么输出态的密度算符与理想的 输出态的密度算符p j 的距离应该是不依赖于输入态的。我们用h i l b e r t s c h m j d t 规范来定义两个密度矩阵之间的距离 d 如；岛2 = b 黔。一角) 2 胪( 2 1 1 ) 则应有下列等式成立 d ( p ! ”) ；p 似) ) = 常数 3 为了以最接近于输入态的程度对任意输入态进行克隆 的值为最小。 对于j 哼2 的普适克隆机，克隆过程由下式给出 啪) ，寸佰哦协扫w ) ， 啪) ，呻加帆+ 肌帆 ( 2 1 2 ) 必须要求( 2 t 2 ) 式 ( 2 1 3 ) 其中i + ) “2 去l o ) m + 1 0 1 ) 。) ，上式是满足以上三个条件的，我们用标号髓代表 输入量子态，标号6 代表空白量子态是用来产生克隆态的，标号膏代表克隆机所 处的量子态，克隆机量子态处于基矢j 个) 。和j 山) ，构成的二维空间中。假设克隆机 初始处于态f9 ) ，克隆机的两个输出念的约化密度算符是相同的，我们以口为例， 写出下式 = 言陬( 卟：r ( 孓卜( 2 - 1 4 ) 其中f 刁。= 。f o j 。一窿。是与f 哪。正交豹态r 的形式鞍力w 是一样的。 式( 2 1 4 ) 又可写为如下形式 一= 谚+ 字卜- ( 2 5 ) 上式保证了式( 2 - 1 1 ) 是不依赖于输入态的，并使式( 2 1 2 ) 自动得到满足，上 式中s 2 ，浚克隆机在不知道输入态任何信息的情况下可以对任意的输入态进 i o 置子克隆和量子删除研究概述 行复制。我们还可以用平均保真度f 来描述克隆机输出悉和输入态之阃的差别， 所以平均保真度也是衡量一个克隆机品质的参数，f 定义为 4 1 】 f = 她。( y i 尸，”。j ) 。 ( 2 1 6 ) 其中p = f 4 d p f d | 9 s i n 剐4 z ，保真度和s 之问的关系为 s = 2 f 一1 ( 2 1 7 ) 随后人们对上述1 斗2 的普适克隆机进行了推广考虑了呻的普适克隆机 4 1 】，并且对它进行了优化 4 2 ，4 3 】，还进一步把二维态矢推广到高维的空间 4 4 ，4 5 】。为了实现量子克隆的过程，1 9 9 7 年b u z e k 等人提出了实现1 斗2 的普适 克隆机的量子网络f 4 6 】，中国科学技术大学黄运锋博士【4 7 】等人成功的实现了第 一个普适量子克隆实验，国外也相继利用核磁共振技术( n m r ) 【4 8 和量子光学 4 9 1 的方法完成普适量子克隆实验。 2 3 态依赖型量子克隆机 所谓念依赖型量子克隆机即我们知道输入态的部分信息，可以预见此时克隆 的效果要比态无关型量子克隆机要好。我们粗略的把态依赖型量子克隆机分为概 率性态依赖型量子克隆机、决定性态依赖型量子克隆机和杂交性态依赖型量子克 隆机。 概率性量子克隆机是由段路明【5 0 】等构造的他的思想是牺牲克隆机的概率 来获得完备的克隆态，这样的克隆机能够对输入态进行完备的克隆但是它是概率 性的，而且它的输入态必须从某种态集合中选取，所以我们把它视为念依赖型的。 我们考虑最简单的情况，如果要对两个态l 甲，) 和l 甲：) 分别进行克隆，假设 ( 一l 甲：) = r o ，则概率性量子克隆机的转化过程由下式给出 i 一) 。 。) 。i q ) ，一丽导一) 。i 甲，) 。i 蜀) ，十刁。) 。j x ，) 。卜( 2 1 8 ) 其中= 1 ，2 ，( ， 丘) ，= t t ，l 中) 。为已经归一化了的口和6 系统的任意态a 该转化过程对i 甲。) 和f 甲：) 都有一个失败的概率，并且可以给出最低的失败概率。 f 甲) 和i 甲：) 对我们来说都是未知的，使它们通过克隆机后，然后测量克隆机处于 营予克隆和量子删除的f i 究 态l 石。) ，还是l x ，) ，。如果测量结果是前者，则克隆过程成功，我们得到两个输入 态的完备拷贝作为输出，成功的概率为l ；如果是后者，则克隆过程失败， l 十r 我们把输出态丢弃掉，把以上结论推广可以得到以下定理 定理：当且仅当 一) ，f ) _ ，) 是线形无关时，从态集合v ，) 0 掣：) ， 丫，) 中选取的态可以被概率性的克隆。 p a t i 后来还构造了可以包括上述概率性量子克隆机的更一股性的克隆机 5 1 】。决定性态依赖型量子克隆机最初由h i l l e r y 等 5 2 】在一篇文章中提出，接着 b r u s s 5 3 】等人首先对此做了研究，c h e n e s 5 4 】进一步他们的研究工怍，并且在文 中提出了一种杂交性的克隆机，从而使得概率性态依赖型量子克隆机和决定性态 依赖型量子克隆机都成为它在两个极端情形下的特例。韩永健 5 5 等人考虑了态 集合中含有a ，个态情况下的决定性态依赖型量子克隆机，他们得到了保真度所 能达到的上限。此外人们还构造了相位协变式( q p c c m ) 【5 6 ，5 8 量子克隆机， 它的输入态是从b 1 0 c h 球某个赤道面上选取的，也即等于知道了输入念的部分信 息，所以它也可以看作是决定性态依赖型量子克隆机，它可以对某个赤道面上选 取的任意态进行克隆。人们近年来构造的量子克隆机还包括对连续变量的克隆 【5 9 】，对混态的克隆【6 0 】，对自旋相干态的克隆【6 1 】，对纠缠态的克隆【6 2 】，对 对正交态的克隆 6 3 等。人们还研究了如何把克隆态传送到远处实现所谓的 t e l e c i o n i n g 6 4 。以上我们的讨论都限于对称克隆的情况，也就是克隆机产生的输 出态都是相同的，当然我们也可以考虑克隆机产生的输出态是不相同的情况，即 有些输出态更接近于输入态，而有些输出态离输入态的接近程度要差一些。此时 的克隆机就变为不对称的克隆机 6 5 。近年来态依赖型量子克隆机的实验也有较 大发展。中国科技大学杜江峰 6 6 】博士的科研小组利用核磁共振系统实现了 l 一2 的相位协变式( q p c c m ) 量子克隆机，中国科技大学赵志 6 7 j 等完成了第 一个演示不对称的克隆以及t e l e c l o n i n g 的实验。最后我们还要补充的一点就是尽 管量子力学禁止我们对单个量子态进行克隆，这并不与生物分子的可克隆相违 背，生物大分子的克隆可以看作是对硬件的克隆，而量子克隆是对软件和硬件的 全部克隆，量子不可克隆定理也预示着我们要想克隆出不仅外表一模一样甚至连 思想也一样的人是不可能的 6 8 】。 量于克隆和量子删除研究概述 2 4 概率型量子删除机 与量子克隆相比而言，量子删除的研究还没有形成系统化，人们目前只构造 出一些概率性的量子删除机【6 9 ，7 0 】。 我们以文献f 6 9 中构造的最简单的概率删除机为例，假如个量子系统j 有 两个非正交的拷贝态分别是从态集合1 壬，) ，i 甲：) 中任意选取的，那么可以通过一 个幺正演化和测量过程从它们的两个拷贝态中概率性的删除掉一个态使之成为 空白态，即存在幺正演化算符u 使得 u 0 甲，) l 掣崩p o ) ) = c 一甲圳硎只) + c ：l 中。) i 最) ( f = 1 ，2 ) 。( 2 1 9 ) 其中i b ) 4 只) ，心) 代表探测器的正交归一的态，) ) 代表删除后的空白态， 中，) 为 已经归一化了的系统的任意态。该转化过程对l 甲。) 和f 甲：) 都有一个失败的概 率，让j 甲。) 和i 甲：) 通过删除机后，然后测量删除机处于态j 鼻) 还是足) ，如果测 量结果是前者，则删除成功，我们以c ，2 的概率得到了一个空白态，如果测量结 果是后者，则删除失败。文献【7 0 】按照文献【5 1 】的思路对上述简单的情况进行了 推广，构造了更一般性的概率删除机。 我们可以按照量子克隆的思路来研究量子删除，但是这并不意味着他们是简 单的可逆过程 7 1 1 ，所以对量子删除的进一步研究还十分必要，比如如何构造优 化的态无关性普适的量子删除机或者态依赖型的量子删除机。 量子克琏和量子删除的研究 第三章量子克隆的物理方案 3 1 引言 尽管人们目前对量子克隆的理论研究已经比较成熟，相比而言在实验方面上 的进展却并不那么迅速，寻找切实有效的物理方案来实现各种克隆过程是当前一 个十分重要的课题。对于普适克隆过程的物理实现，人们已经提出了腔q e d ( q u a 【1 t 啪e l e c t r o d y n a m i c s ) 7 2 】方案，基于量子光学的方案 7 3 】，并且在实验上 获得了实现f 4 9 ，还有上文已经提到的几个实验，但是总体来说目酶克隆的实验 主要还是局限于基于核磁共振技术和对单光子的克隆。由于核磁共振是基于系综 的技术，所以不能真正的视为对单个量子系统的克隆，而未来真正的量子计算机 的构建应建立在固态的量子位之上，所以探索如何实现对原子态或离子态克隆的 物理方案就显得十分有必要。我们在本章中利用腔q e d 技术提出了两个物理方 案用来实现不同的克隆过程 7 4 ，7 5 。 3 2 实现两对正交态优化克隆的腔q e d 方案 我们考虑输入态是由两对正交态组成的集合，这些态属于二维量子系统，这 四个态在b i 。c h 球上可以被参数化为只含一个参量。态1 譬) 的四个b l o c h 态矢由 下式给出 鼍) ( _ f = 三( ，+ 赢，子 引，妒一 其中，是单位算符，盯是泡利矩阵，而，由下式给出 耻总身咖( ：嚣卜= ( 二黝，弘( 兰“s 在此表象中四个态矢位于五z 平面上，两对正交态分别为 甲) ，_ ) 和 4 k ) ，e ) ，我们可以把f ) 用参数臼和表示出来，其中口2 十2 = 】 量予克隆的物理方案 l ) = 口i o ) + 卢1 1 ) 。1 ) = 口l o ) 一1 1 ) ，、 f 鹄) = i o ) 一d 1 1 ) ，【) = i o ) + 口1 1 ) 。7 对这两对正交态进行优化的克隆过程已经由b m s s 7 6 】等人讨论过，他们对 于输入态( 3 3 ) 提出了如下的转化过程 l o ) 。i o ) 。1 z ) 寸口l o o o ) 叩。+ ? 0 0 1 1 ) 。+ ) 。) + c f l l o ) 。 忆慨：j z ) 一口) 。，。+ 6 0 1 0 0 ) ，。+ j o l o ) ，! 。j + c j 0 0 1 ) ，：_ ( 3 。4 ) 其中i ) 为任意的辅助态，并且 口= 吉( ，+ ? 。s 2 p j 焉 ，。= 三s i n ! 妒、焉 lf ， 2 忙互i 卜r 妒 ( 3 5 ) 现在按照b u z e k 4 6 等人提出的方法，我们来构造实现上述过程的量子网络。 该量子网络出单量子门和二量子位门构成。单量子位门是一个单量子位旋转算符 龟( 1 9 ) ，定义为 盖。0 l o ) ，= c 。s | 9 h + s i n 荆，五，1 ) ，= 一s i n 口h 十c 。s 荆，( 3 6 ) 二量子位门是一个控制非门，可以由如下矩阵代表 户= i | | ； 控制一非门对二量子位基矢的作用如下 危愀f0 ) ，= 愀，露陬h = o ) ；h 岛h 峨= h h ，免慨峨= 慨l o ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 按照b u z e k 等人提出的方法，克隆态的产生可以通过如下两个幺正的转换过程实 现 l 甲) 牙 o ) 。：i o ) 。+ f v ) ! ：f i 甲) ! 孑。i 甲) 茏：( 3 9 ) 其中l 甲) 2 可由下式构造 量子克睦和量予删除的研究 j 甲) 窭= 盖：( 迭) 息：更，( 岛城息】o ) 。j o ) 。- 对于克隆两对正交态的情况，预备态i 、壬，) 2 可以写为 j 掣) 2 = 口j o o ) 。+ 6 。+ j 】o ) 。) + d 】1 ) 。 解出鼠，岛，和岛得到 ( 3 j o ) ( 3 1 1 ) 岛= o ，品= 只= ；a r c s i n ( 2 6 ) ( 3 】2 ) 然后我们施加如下三个控制一非门( 见图表”，即可实现式( 3 4 ) 的转化过程 甲) 老! = 竞。危一只h i v ) 挈i 甲) 2 ( 3 1 3 ) i o 医=i 1， 一 i ”“， 删iar i 陀，1 v 厂_ u p r e p a r a f i o n c o p y i n g 图1t h en e t w o d 话o fo p t i m a ic l o n i n gf o rt w op a i r so fo r f h o g o n a is i a l e s t h el o g i c a lc o n t r 。i i e d n o t 毛g i v e n b ye q ( 3 8 ) h a sa s 恼i n p u ta n t r o lq u b i “d e n o 州a s ) a n dat a r g e tq u b i t ( d e n o t e d a s 。) t h ea c t i o no f t h es i n g i e q u b i to p e r a l o rr i ss p e c i 矗e db yt h et r a n s f o r m a t l o n ( 3 ，6 ) 接着我们提出一个可行的物理过程来实现上述量子网络，采用长寿命的 r y d b e r g 原子的基态l g ) 和激发态l p ) 构成的叠加态作为输入念n 由上述可知整个 克隆过程可以由三个单量子位幺正旋转操作和五个控制非门来实现。单量子位幺 正旋转操作可以通过r y d b e 唱原子与经典场之间的共振相互作用来完成 7 6 。假 设经典场在i f ) 付f 力似= 吕目f ，) 之间发生共振相互转换，易知在基 夯f | ，) 下原子态的演化矩阵为 p 叫= ( 一善三日一：爹呻卜 其中目= q 。h ，口= h e 是经典场的复振幅，q 。是原子和场的耦合常数，态 1 6 量了克隆的物理方案 f ) = 吕“尼力在此过程中不起作用，选择缈= 昙石，即可实现( 3 6 式所 要求的转换。而基于腔q e d 的控制一非门已经在文献 7 7 】中提出。整个实验过程 由图2 所示 b 揪a i o m l ) + p 。i 印 一f 一 一 r 习 p q r 1 旦；c r 7 捌7 l l ，：) “t 。旧) 匕mp 。筘2 p “2 哪 卜瓦k+ g 。) ( a t o 吣) 图2 t h i si si h es c h e m a t _ cd i a g r a mo ft h es e t u pw h j c hc o u l di m p i e m e n tt o p i i m a lc l o n i n gf o r t w 。p a i f s 。f 。r t h 。g 。n a ls t i e s 矿0 ) ) i st i n p u lq u b i tp f e p a r e di nas u p e f p 。s 。no fe q ( 3 r 3 ) ， u 二0 = 1 ，2 ，3 ) c a nb er e a l i z e db yt h er e s o n a n ti n t e r a c 妇o no fr y d b e 唱a t 。mw i l l lac l a s s l c a l 矗e l d ，w h i c hi ss p e c 讯e db yt h et r a n s f o r m a t i o n ( 3 1 4 ) t h ec o n t r o l l e dn o tg a t eb e l w e e nt w oa l o m s h a sb e e nd i s c u s s e di nd e t a i lw i t h i nc a v i t yq e dt e c h n i q u e si nr e f 【7 7 】 接下来我们简要的讨论一下在存在实验误差情况下该方案的保真度。在我们 的方案中实验误差主要出单量子位的旋转操作中的误差所带来。我们定义理想的 输出态为 甲) 。0 f ，实际的输出态为j 甲) 。，因此保真度由f = f 。，( 叫甲) 。f 2 给 出。假设在单量子位旋转操作的时候存在小的错误：q = 鼠+ 矗叠，砭= 岛+ 岛， g = 只+ 岛，其中只，岛，只分别为三次旋转操作过程中出现的错误，为了 简单起见，我们假设只= 岛= 只= 口，当值占很小的时候，我们有 c o s ( 口+ 口) = c o s 口一9 s i n 口，s i n p + 占) = s i n 9 + 口c o s 口，则f 可以被化简为 如叫= 嘉* 场挑拉腼h 扬b 砒拶+ 廊拶) i 7 量子克隆和量了删除的研究 + c 卜挑如廊哪州t s ， 其中为归一化因子，由下式给出 儿卜脚+ 拉廊讲+ z ( 6 埘占+ 廊砂 + c + z 。占+ 昙6 + 而必p 2 “c ，s ， 注意到口是一个很小的量，那么我们计算的过程中只需保留t 9 的一阶量，通 过一系列计算我们得到f 仍然为1 ，所以我们得出结论当三个旋转操作过程中的 错误很小时我们仍然能够得到很高保真度的输出态。 最后我们来讨论一下两个输出量子态的纠缠特性，为此我们需要利用 p e r e s h o r o d e c k i 定理 7 8 ，7 9 ，它给我们提供了判断二量子位态是否纠缠的简单 算法。我们要做的只是计算态的密度矩阵部分转置的本征值。按照浚定理，二量 子位态纠缠的充分必要判据是至少约化密度矩阵部分转置的其中一个本征值是 负的。在上面的例子中我们假设输出态出现在疗：和吧量子位上，为了不失一般 性，我们假设输入态为i _ ) ，= 口l o ) + 矧1 ) ，经计算得口：和q 量子位的约化密度 矩阵在基 0 0 ) 。，1 0 1 ) 。、，1 1 0 ) 。，j 1 1 ) 。 下为 芦裟= 口2 口2 + 口2 6 2 筇g c + 6 2 ) a 猡0 6 + 6 c ) 6 上式的部分转置为 它有如下四个本征值 筇+ 62 ) 口2