（应用数学专业论文）m增生算子的广义拓扑度及其应用.pdf

磁一增娥算子豹广义矮挣度及其戏爝 摘要：增生映敷和伪压缩映象概念是在上世纪六十年代人们研究b a n a c h 空间中 的非线性发展方程鳃的存在性润题提出来鹘。我们知道，谗多工程和物理中的问 题都可以抽鬣为上述非线性缴袋方程。 本文的主掰目的，通过借助严格集压缩场的拓扑度，构造m 一增生弹子的一 耱凝的广义拓狰发，荠且涯弼这耱螽接度爨番一般据羚缓勰重要藩夔。凌髓魏工 作是李和冯f 3 “j 工作的继续和发展。利用新建立的广义拓扑度，我们还将研究一 黧掰一增生算予方程赫兹存纛瞧定理，这蘩定理改进靼接广了习等豹烹簧舞果， 间时还得至增嫩算子方程的一些新的可解饿定理。研究m 一增生算子方程的解的 迭代逼近，我们指出文的错误，并给以黛新证明。 荧键诃：广义籀扑度：强m 一增生算子：m 一增生算子：严格集压缩跌辩；广义 最速下降逼近 i l t h eg e n e r a l i z e dt o p o l o g i c a ld e g r e ef o r 一a c c r e t i v eo p e r a t o r s a n di t sa p p l i c a t i o n s a b s t r a c tt h ec o n c e p to fa c c r e t i v em a p p i n ga n dp s e u d o c o n t r a c t i v em a p p i n gw a s i n t r o d u c e di n1 9 6 0 缀w i t ht h es t u d y i n go f n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ta s 嫩 k n o w ：m a n yp h y s i c a l l ys i g n i f i c a n tp r o b l e m sa n de n g i n e e rp r o b l e m sc a nb em o d e l l e d i nt e r m ；o f t h ef o r m t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oc o n s t r u c tan e wg e n e r a l i z e dd e g r e ef u n c t i o n 白r 卅。a c c r e t i v eo p e r a t o rb ym e a n so fd e g r e et h e o r yo fs t r i c t l ys e t c o n t r a c t i o nf i e l d w ew i l lp r o v et h i sg e n e r a l i z e dd e g r e ef u n c t i o nh a st h ec r u c i a lp r o p e r t i e so ft h e g e n e r a lt o l ：i o l o g i e a ld e g r e eo u rw o r kd e v e l o pa n de x t e n dt h ew o r ko f l i a n df e n g 唑 w ew i l lp r o v es o m es o l v a b i l i t yt h e o r e m sf o r m a c c r e t i v eo p e r a t o r se q u a t i o nb y a p p l y i n go u rd e g r e et h e o r y , t h e s et h e o r e m s i m p r o v ea n dg e n e r a l i z e dt h er e l e 。a n t f 。s u l t s0 9 6 删，a n dw ec a r tg e ts o m en e wr e s u l t s w ed i s c u s st h es t r o n gc o n v e r g e n c e t o as o l u t i o no fe q u a t i o n si n v o l v i n gm - a c c r e t i v eo p e r a t o r s w ep o i n to u t t h a tt h e r ei sa m i s t a k ei n s ow eg i v ean e wa n ds h o r tp r o o f t o i t k e y w o r d s g e n e r a l i z e dt o p o l o g i c a ld e g r e e ；s t r o n g l y 辫一a c c r e t i v eo 游f 8 t 。f ； m a c c r e t i v eo p e r a t o r ；s t r i c t l ys e t - c o n t r a c t i o nm a p p i n g ；g e n e r a l i z e ds t e e p e s td e s 。“t a p p r o x i m a t i o n l j 独创性声明 本人声鞠掰呈交的学位论文是本人在导师指嚣下进行的研究工作及取褥的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成暴，也不包含为获得南昌太学或其他教旁枫 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贯献 均已在论文中作了明确驰说明并表示谢意。 学位论文作者签名瘪三超 签字目麓：黼多月，占层 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完念了解南昌大学有关保留、使糟学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借藤。本人授权南昌史学可以将学位论文豹全都或部分内容编入有关数据寒进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密豹学位论文在勰密压适用本授投书) 学位论文作者签名：。惠z 趣 签字日期：加羼6 月，易日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：焉凄大掌 通讯地址：南事移跪琴哆 翩龆引瓣、 签字日期：a w 6 年# 月勿日 慨夕如争7口 邮编pf ? f 卜g 占7 m 关予增生礁象秘伪蠖缩殴象豹概念茸先由b r o w d e r f 3 耱k a t o l 2 1 于t 9 6 7 年各自独立嘲入，这一类 的结果：设7 是e 上的局部三0 站c h i t z 增生映象，则初值问题 ( p ) 警m 萨 【“( 0 ) = u o 是可勰熟t 英孛五是窘b a n a c h 空闯，t ：丑c e e tf 是e 中一疆定元。在工穗和物理中， 许多问蹶都可以抽象为上述非线性发展方程系统f p ) a 的建立，首先由我国蓍名学者李树杰和冯德兴“。“两教授在h i t b e r t 空间建立起来( 在h i l b e n 空间 孛，喾垒冀子叉磷率谗嚣子，。在一般b a n a c h 空藏圭。嚣w 如，罐立了投大单疆算予静广爻摆势瘦。 但对阴一增生算子独立她直广义拓扑魔理论( 象李和粥精q 一样) ，还没脊觅过这方面的结果。 劳量程暌遮静据癸度其鸯一羧燕羚度鹣薰妥螽性。我稍豹工搀是李郛熬# “l 芏瘁熬继续轻蔑震。冠避 同伦不臻性：第四节定义一般m 一增雏箨子的广义拓拎度：第五节应丽所定义的拓朴嶷褥n - 些冀 子方程解的存在性结聚我们的结果改避和推广了f 3 。一3 】的主要结果，同时还得到增生算子方程的 一鳘瑟瓣萄篱牲定理。绘密争其 奉镪子，讨论了一个k 空间中微势穷爨躺可织性鹂鬻：第六节研 究小一增生算子方程的解的迭代逼瑶，我们指出文q 的错误，并给以煎新证明。 2 预备知识 率交总设是实嚣嬲粥磊空霹，f 为互豹怼器空潮，表示露与篁+ 之闺赘褒对，正趣对猖 映射，：e 呻2 ，定义为： ，x ) = ，s 五，( , s - - b l i l t s l l ，t l s l l = l t 碣，x c e 如果e 砖光滑的，n j 难单值的：如暴露是一致光滑的，姘，在有界粲j = 一致连续。正藏辩偶鼷射 1 可等价定支为妒( x ) 。墼旺的次微分，即 ，e 卟) ( y 啮小却2 一扣f 2 。 定义2 。j 1 1 ”设掉子，：d ( t ) 。嚣叶2 5 ，彳：烈爿) c e 一2 5 ，则 ( 1 ) 称r 是增生的r 如果对搬，y d ( d ，“t x ，v 黟，使得 b y 0 j 卜y + 丑( “一v ) ， v 2 0 。 等徐蟪，存在，f x y ) s ( x y ) ，篌荦霉 ( w u ，( x y ) ) 0 。 ( 2 ) 称r 是强增生瓣，翔象对魄，y d ( t ) ，u 蕞t x ，v r y ，存在窿 0 ，壤礴 0 一v ，( x y ) ) 口肛一卅2 ，口称为r 的强增生常数。 ( 3 ) 称f 是拼一增生豹，如果丁怒增生的，且对v 矗 0 ，使得段p 十五j ) = 占v ( 4 ) 称r 是极太增生的，如果存强f ，u o 】z e x e ，使得 i l 确一x t l o x + 五( “。一v ) i i ，v f 薯v 】e g ( 丁) 和五 0 ， 剐蕊。 ( 5 ) 称a 是伪压缩的，如果对v x ，y e d ( 一) ，a x ，v 砂，使得 i i x - y l l - - l i x y + 矗 x 一”一( y v ) ! | | ， v 盖0e 液2 t ( 1 ) 容易验证当t 是强增擞算子，其强增生常数为口，则r d ，是增生的。 ( 2 ) 年承r 是强m 一增生的，指的是t 既是强增生的又是m 一增生的。 ( 3 ) ? 是m 一璞生抟，姻f 是较大域生翡。反过来般不琏立( 参菇渊) 。 ( 4 ) 猩h i l b e r t 空间中，增生算子又叫做单调算予。 ( 5 ) a 是伪压缩的翻且仅当i - a 是增生的，其中，是恒等算子。 鑫髅2 “4 竣：o ( ) c e 2 8 是m 一臻焦嚣子，羽，豹疆熬式五：e 。联t ) ，定义为 = ( ，+ 五r ) ，v o ：r 的场“妇近似瓦：e 叶e ，定义为疋= 去( ，一以) ，v 矗 。关 于五t 疋寿下瑶一些燕爱性矮： ( 1 ) f f 以x s 。y l l - 0 。是单值的且对v 龙 o ，矗育界n ( 2 ) 五是掰一增擞的且8 五x l y 三肛一y y e 和五o 。 ( 3 ) x t j ；x ，v x e 。 ( 4 ) 乃刘f 刊= 熙j 阢捌，v x e d ( t ) 。 定义2 2 “4 竣嬲秘n 是实嚣口嬲女空润e 审瓣程意嚣个予蘩，称 p ( m ，n ) = s u p p ( 亭，n ) ， 是麸爨a 童鬟之嗣熬趣距( s 。p a 6 。# t 箕牢p 表示蠢空勰蓬数叁然产生懿距离。 定义2 3 1 设e 实b a n a c h 窝间，s 是e 中肖界集，令 搿( s ) = i n f p o | s 可表为京黻巾巢的并：s = u s , ， 使缔个s 的直径d ( s ) 都j ) 。 显然o 搿s ) 0 t 弼 x = 奶2 j i x = ( 2 1 + r ) ，1 x 整理衡 五z x 2 x + 飘。 一五x 一x ) t x 。 ( 3 1 ) 现 芷对此x d ( 丁) 有x j l x = 0a 若不，则芮一j 1 x 0 由( 3 1 ) 式有一 ( 工一一x ) e d c 。 另壶佘聪2 t 】静担) ，蠢x z ：r j , x ，出，是攫生豹t 銎避存在扛一点x ) ，使得 o s ( 一五( x 一x ) ( x 一以x ) ，j ) = 一( 1 + 五) ( x d , x ，j ) = 一( 1 + 2 ) i x s , 4 2 o 。 证明 令b x ；t x - p ，容舄验证b 也是一增生算子。从而由引理31 ， o 圾赫o = f ，一幺8 冀t 8 ) 羔，v 2 0 ，其孛幺。；五z 嚣) - 季拜8 = j + 露) 1 。设岁= 绞， v x e 我们有 如( z + p ) 。( 五，+ r ) “( x + p ) = _ y = q 8 x 。 箴茬 5 酝。 ，= 翻8 ( 弛o + p ) ) = 奶( 旯j ，( x + p ) + 芦) 这袭明。= p 一酝8 硒8 ) z 备。一f ，一绞孟t 十p ) p ) ；z ，舅一方孺，显然毒 p t x 尝0 b x 引理3 2 证完。 号l 遴3 3 设，：p ( r ) 亡互2 5 楚强掰一增垒箨乎，箕强增生寓熬免g t 弱r 是麓的t 嚣获 闭集为闭集。 证明设月c d ( r ) 为阔集，y o f 丽，则存在心e a ，只e t x 。，使得咒畸- 由r 是 强增生的，因此存在矗芒j ( x 一) ，使得 鼓蠢 ( n 一，厶) d0 一n 慨一只，忙d 悻一肛 从丽由咒- - y o ：知 ) 强收敛于某个粕毫a - 由t 的增生性，有 i 矗一= l 蔓f ，一：+ f ( 以一”) f f ， v z d ( r ) ，“s 擞期f 0 - 在上式中令n 一，樽 l 一：l s | k 一：+ z 娲一* ) l j ， ( 3 。2 ) 由r 是州一增生的故r 是极大增生的。结合( 3 2 ) ，所以儿a o c r ( 0 ) 。由y o 的任崽性，所雌 曩万c 联田。；l 理3 3 得证。 定义3 1 设r ：d ( r ) c e + 2 e 怒强m 一增生鞯子，n c d ( r ) 鼹有界开集且霸c d 仃) t 任 意，e 。 ( i ) 设e f ( e q ，鲻定义r 在0 轰鲑关予q 懿广义箍秘度鸯： d e g ( t ，n ，0 ) = d e g ( i - 幺 ，q ，0 ) 。 ( i i ) 竣p 舞r ( 撼) ，潮定义r 在尹燕楚关于q 熬广义拓羚寝为： d e g ( t ，n ，p ) = d e g ( t - p ，q ，o ) 。 洼3 ，1( 1 ) 出；| 璎3 。3 ，知丁是闼的，从而，( ) 是溺集。 ( 2 ) 由引理2 1 ( i i ) 知奶五是连续肖界的严格集厥缩映射，根据【1 9 】td e 鼠( ，一绕五，q ，o ) 有 6 定义。 ( 3 ) 慰任意p 垂致瓣) ，密；| 理3 。2 器严耩集嚣缝场熬拓羚度，我稻有 d e g ( t ，q ，p ) = d e g 。( ，一驰( 五，。( + p ) + p ) ，n ，0 ) 。 这时，我们定义b 广义菇扑度拢c h e r t 删( 当c i o 时) 的更细。 ( 神绕五满足严格集压缩场拓扑度的简伦不变蚀，3 a 而d e g 女( 1 - 绞五，n ，0 ) 与五无关。练 上我们的定义3 ，1 有意义。 定理3 强一增生棼子懿广义爨卦爱具有t 嶷主簧注覆： m 觥脚咖) = 倍嚣 ( 2 ) 茸抽缝 擞设g ，g 燕参趵孛静舞子集t8 u qc q ，稿门建= o ， p 丁( 菇( q u q ) ) ，鲫j d e g ( t ，q ，p ) ；d e g ( t ，n i ，p ) + d 昭( r ，n ：，p ) 。 ( 3 ) 诃解性若尹# r ( 越) ) 积d 曙p ，q ，p ) 0 ，则p 芒t d 。 诚鞘( i ) 这对t = 1 ，因此 x q ( ，。( z + p ) 十p ) = x - - ( 五，+ 叮( 五( ，+ 叮、( x + p ) + p ) 一击( 扣咖p * 赫m ) 。 所以， s 。g ；( ，一绞f 五 + 尹) + p ) ，g 。) 。a e s ；( 夏2 ，+ + 2 蠢) 、x p ) ，辽。) = 0 ；：主 ( 2 ) 由p e r ( 五( 轴u q ) ) ，有 p 彗t ( a c q ，尹彗f f 嚣专) ，p g f f 哟。 根据定义3 1 ，我们有 d e g ( t ，q ，p ) = d e g + ( ，一致( “卜p ) + p ) ，q ，o ) ， d e g ( t ，q ：，p ) = d e g ，( j g ( 五( + p ) + p ) ，始：，0 ) ， d e g ( t ，n ，p ) = d e g + ( f q 。( 旯以( - + 尸) 十p ) ，n ，0 ) e 由f l 霹及p g r ( 磊、q u 链) t 有 7 即 使得 d e g * ( ，一奶( 五，】( ，+ p ) + ，) ，q ，o ) 2 d e g + ( ，一幺( 五一( + ，) + p ) ，n 。，0 ) + d e g tf ? 一绞五+ p ) + p ) ，q ：，0 ) 。 d e g ( t , q ，p ) 2 d e g ( t , q l ，p ) + d e g ( r ，q 2 ，p ) ( 3 ) 4 q d e g ( t ，q ，p ) 0 立味糟d e g 。( ，一g ( 丘j 。( + p ) + p ) ，骢o ) o ，由【1 9 】，存在z q 又由引理3 2 t 我们有p t x 。 o = x 一幺f 五五f x 十p ) + p ) 。 g l 壤3 4 t ( t ) ：d ( t q ) ) c e - - 2 5 ，f e o , l 】，灌罡条 孛； ( i ) r ( ，) ：d ( 丁( f ) ) c e 叶2 是拼一增生算子，d = n d ( t ( o ) ，i n t d g ； f 6 【0 ，1 1 ( i i ) 若f 2 c d 育界并且q d ，t o 毫【o ，1 】，v s 0 ，j j 0 淌f ( 屯一万，t o + 拶) n 【辽l 扣寸 垤e 磊，有 p ( t ( t ) x , t ( t o ) x ) 0 ，l 0 ，当f f t o 一万，乇+ o 【o ，l 】嚣孛，魄q ，蠢 j g ( o x - g ( t o ) x 1 0 ， 其中五( 玲= f ! + 五丁髫) ) 1 证明任意固定五 0 ，t a t ) x = 毒扛一以( ，沁) s t ( t ) j a ( t ) x 。因为r o ) 是增生的，所以对任 意y t ( o g ( 1 0 ) x ，存在歹j ( 以( o x - j a ( t o ) x ) ，使得 o o ，当f 瓴一5 + 焉+ 每) 爨f 逡l l 薅。毒 p ( t ( t o ) j a ( t o ) x , t ( t ) j a ( t o ) z ) o ，3 5 0 ，当f 【o ，1 】：一t 。i j 对， v x 旨妊，有 妒( r ( f ) r o 。) x ) # t 镁设o t ( t ) ( o n ，v t 苎海l 】t 熨豫f ，0 ) ，q ，o ) 奄f 无关。 i 疋艄因为0 9 r ( f ) ( a q ) ，v t 引o ，l 】，根据强一增生算子的广义拓扑度定义，有 d e g ( r ( t ) ，g = d e g ；z 一鲛g ) 弼( 嚷q ，0 ) 。 要证d 缮( r ( f ) ，n ，o ) 与f 无关，冀须证d e g 。( 1 - q a ( t ) a j t ( t ) ，q ，0 ) 与，无关。任意固定五 0 ， 设矗【o ，1 ，x e q ， 8 q ( ，) 五( ，砖一g ( 岛) 五瓯) x = 8 ( 五，+ r ( ，) ) 2 ( 1 + r ( ，) - x - ( 五，+ r ( 乇) ) “五( ，十t ( t 。) ) x 8 * 甜+ r ( f ) ) - l 五n 嘲z 一( 五n 臻) 。五( “r ( 乇) ) - ：l + 0 ( 丑，+ ，( r ) ) 1 五( ，+ t ( t o ) ) - i x - ( 五，+ r ( t o ) ) 7 1 ( ，+ r ( 矗) ) x 4 6 = 五+ 厶。 ( 3 ，4 ) 9 ( 1 ) 由引理2 l 的( i i ) ，知幺( ，) = ( 丑，+ r ( f ) ) 叫是i 三一三秘c h i t z f f q ，所以 五= l ( 五n f f f ) ) - 五f ? 十t ( t ) ) - x - ( a + 臻) ) - l 毒f ，十7 1 瓯x l g 去肌即) ) - l x - - ( ，川七) ) x l 弘( 秘一j , ( t o ) 苫l l 。 由弓i 理3 4 ，对v s 0 ，刍4 0 ，v 膏q t 当，曩( t o 一4 ，f 。+ 4 ) n 【o ，1 】时，有 配9 冷一点岛) 硝， 故e 稽) 令m = ( 五，+ r p ) ) _ 五( ，+ ，以) ) 一z ，= ( 五，+ 7 瓴) ) “五( ，+ r 纯) ) z 。 捌 ( 十r ( 屯) ) x ( ，十r ( f ) ) mt ( ，十r ( 乇) ) x ( 2 1 + t ( t 。) ) 。 设岛，( f 溉，气t ( t o ) u - 搜缮 2 ( 1 + t ! t o ) ) - t x = 五坼+ q ，丘( ，+ ，( ，o ) ) 一x = 2 u t o + 气。 因此 盖毽+ g = 毒+ 吒。 整理得 五( 毽一) ；一( q 一唆) 。 任淑b e t ( t ) h ，因为r ( f ) 是强增生的，其强增嫩常数口 o ，所以存在，r ) ，使 得 酝一b ，歹兰诺融飞1 2 。 又 五鹣一1 2 = 矗似飞，力= 一妣一气) ，力 = 一( q 一颤，) 一( 6 一气，) 肛气飞0 。 ( 3 5 ) 蓑| b 一睁0r # 瓣任意 0 ，显然有l 或留) 五五8 弦岛瓯) 盖瓯) x l 0 ，i 磊 0 ，鲞f 瓯一乏，t o + 芑) 0 f o ，l 】对，有 p + ( 即) t ( t o ) u , o ) c 等。 霾焚厶e ( 3 ) 取磊= m i n ( 6 1 ，夔) ，将( 1 ) ( 2 ) 的估计，代八( 3 4 ) 中，得 l 垂1 9 ) 五o ) x 一幺) 五( 屯) x l 五+ s 。 说明酝( f ) 五( ，坶关于f 的连续性相对x 是一致的，从而根据【1 9 】严格集压缩场的阿伦不变性t 有 d e g 。( ，一致9 ) i z ( 哝q ，o ) 与f 无关。定理证毕。 定理3 ，2 ( 丽伦不嶷性) 设r 0 ) ：d ( r 0 ) ) c e 2 5 ，t f o ，l 】，满足条件： ( i ) 7 ( ，) ：d ( r o ) ) 匕e 斗2 5 是强m 一增生算予，其强增生常数为a ，d = n d ( r ( f ) ) ， n t d 喾g ： ( i i ) 若n c d 商界且五c d ，t oe o , q ，v f 0 ，3 8 0 ，当t e 0 ，q ：l t - t o i - l l p y 卜。i l x t l - 一鲥。 由* e 弛的任意性，i 啦- 有p ( p ，( r 十口州铀) ) ，o s d 。 ( 2 ) 对s f 毡乡乞 ，令岛= 乡厶，设 t ( t ) x = ( t ( e o - s ) l + r + e i ) x 容易验i 芷r ( f ) 满足定理3 2 ，从而有 。 d e g ( t + s 1 ，轮，p ) = 蠡瞎( r + 岛t q ，p ) v e e f 豫乡厶 。；i 理4 1 谥毕。 意义4 1 设丁：d 仃) c e 一2 e 是埘一增生算予，n c d 口) 艘有界开集且舀a d ( r ) ，任意 p ee 镁设p t ( o f t ，g 定义r 霞p 点楚关子魏豹广义拓羚赛毙： d e g ( t ，n ，p ) _ l i md e g ( t + ，o ，尸) - 浚4 t 1 i ) 出t 怒m 一增生的，黎翁验证丁十# f ( 国是强m 一增生豹。交g | 遴4 1 ，当 ，g 丁( a q ) 肘，静p 盛p + 盯) ( m ) 。另报措g i 理3 3 ， ，+ 盯是j ；! j j 的，放 夕芒( r 十，) ( 援1 ) = ( r 十s ，) ( a q ) ，3 a 两d e g ( t + # l ，q ，p ) 有定义。另出o j 理4 。1 ，知定义4 1 有意义。 ( 2 ) 若a 是伪压缩的，则，一a 是增生的。于是可蹴义a 关于q 的不动点指数为： f 名，q ) = d e g ( i - a ，q ，o ) 。 赢瑷4 1 一般m 一增生算子的广义拓扑度具有下列主要性质： 1 2 唧圳= 譬篙 ( 2 ) 可加性 暇设q ，q 避d ( d 中的歼子集，q u 鹅 q ，岛n q = g ， ，崔丁( 最、( qu q ) ) ，则d e 苫( 丁，q ，p ) = d e g ( ，qj ，p ) + d e g ( t ，n ：，p ) 。 3 辩解往若芦氍f 两和蚤喵死q ，p ) 。，煎唾p 手鬲。 试明由定义4 1 和定理3 1 的绪论，易得( 1 ) ( 2 ) 。 璎竣p 彗夏两，剐出 耀 i ，荫p 董p “) ( 翊，v f 趣乡乙 。由定瑷3 + i ，可褥 对v s o 乡乞 ，d e g ( t + f j ，q ，p ) = o ，从而d 曙( t q ，) = 0 ，矛盾。所以，p 于面。 定理证宽。 下鬻楚般辨一增= 囊冀子瓣同稔不变幢e 定缨4 2 设r ( f ) ：_ d ( r ( f ) ) c e 卡2 ，te ( 仉i 】，满足条件： ( 1 ) r ( r ) ：d f r ( f ) ) c e - - ) 2 5 是坍一增生算子d = n d p ( f ) ) ，i n t d g ； ，取霹 ( i i ) 若f 2 c d 有界歼磊c d ，t o o ，l 】，v 。 0 ，3 6 0 ，当f 岜( t o - 6 ，t o + 艿) n f o ，l j 对， 热，有 ( r ( o x ，t ( t o ) x ) # 。 假设p 瞄再厕，赣心j 】，厕j d e g ( t ( t ) ，n ，) 与，j 巴关。 证螨显然在定理磐绛下，对绣有f 【o ， 】，d e g ( t ( t ) , d p 鄂稳慧义。 令搿( f ) = p ( p ，r ( ，) ( 融) ) ，f c o ，1 】。 不娥瓣朝盛( 0 是戤1 3 上的连续黼数。事实上，出豢件( i i ) ，对v 0 ，j d 0 ，当 t ( t o 一占，f 0 + 6 ) n 【o ，j 】时有 矿( 丁( ，) r g ) x ) ， v x e 舶- 由g ( ，定义霹固定静，毛瓣 j ，i - 奄| 参，女$ 擒，y e 7 f o x ，使缮 a ( f ) 忙一y l l - - 口( 0 + 。 虫子( 弘t ( t o ) x ) ，必存在；弦，捷褥 13 l y - z i | e 鑫瑟 “( ，0 ) 0 x - z l l - o ，使得口( f ) ，。根据定义4 1 ，取，o ，o q ，剥v # 0 ，d e g ( t + e i ，q ，0 = l e 诞明j 殳 0 ，令4 = 丁+ 占，则4 是强增舷的且强增生常数为 o 。对，毛o ，令 嘎( “) = z 一，f ，一( ，一致 姒4 ) ) z 掣x 一蜴乓m 以x ，( f ，工 瞳l 】磊。 易知，峨( f ，) = 赐4 五一 x 是严格熊压缩映射a 对x e a q ，r f o ，】- l 颤淞) l = 睁，酽毒矿x i l 一刈酣“a , x l i ；l t x l l f l 幺焉五4 x 幺4 五 0 1 1 ( 。酝4 五4 0 = o ； 州卜去o 。 因此。诺以童( a q ) ，v t o ，l 】。出f 1 9 】，有 d e g 。( 1 - q j j ，4 ，q ，0 ) = d e g ( f ，q ，o ) = 1 t 由定义3 1 ，有 d e g ( t + s i ，q ，) = d e g ；f j q 产弘毒，q ，e ) = l 。 1 4 定耀5 1 设t ：d ( r ) c e _ 2 5 魁卅一增生算予ti n t d ( t ) 彩。 i 若黠j | 壬意j e ，存在， 0 ，饺缮r 一f 鼋缸) ) 育赛，刘夏弼= 五。 ( i j ) 若t 还是单值强增生的且强增生常数为o f 0 ，则r ( t ) = e 。 ( i i i ) 嗣i ) 串稷竣一# ，著e 还楚萄势一致惑b a n a c h 空潮辍段e 也是一致凸静，剐 r ( 丁) = e 。 诞明( i ) 不失一般性，可设o e d ( 乃。设y e 翔e t 0 ，令 掰f f ，x ) = r x o 一( 1 一t ) y ， f ，x ) f o ，l 】x d ( r ) 。 首兜 芷明存在r 0 使得对每个l 【o ，1 ，h ( t ，x ) = o 在a ( o ) 上无解。事实上若这样的 囊 不存在，弼虿选取 c e ，l i x i = n ，。【e ；毽tt 。寺奄( n - - - o o ，。e t x ， 使得 阮一t y o 一( 1 二圳 时，“。茸o ) ，- t - 悬x 宣丁- 1 ( 耳( z ) ) 邈与1 k l i 畸。矛盾a 故所希望的r 存在a 易数群 ，0 是m 一增生弱且满足定蠖4 2 鹩全部条锋，于是 d e g ( t y ，詹。( o ) ，o l = d e g ( t y o ，岛( o k 0 ) 。 又由予芒t o ，即o ( t y o ) o ，由引理5 1 ，对丑0 ， d e g 何- y o + 五t 臻( ，o ) = l 。 从而 d e g ( t y ，致( o ，o ) = o 孥g f f y o ，b a o ) ，0 ) = 。l i r a ，d e g ( t 一虬+ 五。，岛( 0 ) ，o ) = 1 6 由定理4 1 ，得 0 e 五二i 泫嚣篱蓑，静y 蓊萧m - 页两。予是( i ) 证爨。 f r y ) f 致( 。) ) ，静y r f 臻( 。) ) 宠q ) 。予是t ，) 证 i 。 ( i i ) 因为t 是强增生的，t 1 是l i p s c h i t z 连续的，从而l 满足条件( i ) 。由( i ) 舯证明，对任意 y 嚣，存4 e r 0 ，偻褥y r 繇( ) ，攫据 l 毽3 3 ，稚罗r ( 致 ) = f 繇 ) 亡显猡) a 由y 的任意性，我们材r ( t ) = e 。 f i i ) 盘f i ) 静还麓避攫，毒对y 嚣，存在r 0 t 蔹褥 d e g ( 1 i + t - y , 岛( o ) ，。1 = t ，v n n 盎定联。1 ，知存在敬( e ) 帮魏段。，使褥孔十一1 蕞= 0 ，目 n 。虫# e b b 3 ，我铝喜摩到 对 矗) 和v d ( r ) ，使得在e 中，( _ 一v ) 一。和o t v y 。从而 l t ，一v 擎= 如一心，( 矗一v * 一坶一h j ( x o v ) 菇一( h ，n v ) ) 峥o ( ”斗* ) 。 因此心叶v 和v 夏x 西。因为o ( r 一力( 强( o ) ) ，所以v t 氓( 和y a t vt 从而 y e r ( 否：孬) c 尤( d ，因此嚣( r ) = 嚣。定理证毕。 泼5 1 在定理5 。1 的( 1 ) 中，我们没有限制r 是单值的，也没有限定e 是h i l b e r t 空问或e ，e 是一致趋b a n a c h 空淹；因_ l 遗我翻豹始浆大大致进鞠攘广了p 1 + 4 鹊络袋。 定理5 2 设t ：d ( ，) c e 寸2 5 是册一增生算予，n 亡d ( t ) 砖有界开集且o c d ( r ) ，若 魏毫q 敷r 0 ，馒衡 l r 蔓降| t v x e 勰e ( 5 1 ) 则e ( o ) c 7 _ ( 矗) ，其中l 叫= ，；i n 。( f m - 证蟥不失一般穗，冒设黾= 0 。设罗e ，l r 耪魏e t o * 受； 理5 1 ，霹瓣v o ， d e g ( t - y o + f i ，q ，o ) = 1 ，又由于o e ( t - y o ) ( 3 d ) ，故有 d e g ( 7 1 一玛，q 9 ) 2 象d e g ( t 一玛“，q o ) = k 汪2 3 考虑映射 趣( x ) = 孤一砂一( 1 一f 执，( 拈) e 【o ，1 l 西。 则必奔o g 虿( 1 一- t ) y o ) ( a f ) 。攀整上，若不，l # 存在气赫l 】岛t o 矗辱擒，靠强 16 使得 从而呻某“。于遐出( 5 i ) 虬一t , , y - ( 1 一t 。) y o 日o h 。) t ，- n - - l l t o y + o 屯执l - - t 。f l y + ( 1 f 0 ) l l 蜘 0 ，馊得 陬 0 ，使得 l r o l 0 ，使得对 x d ( r ) 、忍( o ) ，“t x 删一口l l x l l - , ， 则硒c r ( d ( r ) n 莉) 。 证冀嚣往取，莓( 蛰) e 取对充势大，健r h 鲁粒丢g 。考藏嗣稔 龇x ) = t + t l 。l ，( f ，x ) e 。( r ) n 骊。 设x e o ( r ) n a 壤( o ) ，t 【0 ，1 】，t x ，g g 肛+ ，吉篇8 8 “| f 一吉并2 ， i f 鲁。 敲，卜i 1 咄踯) n 魏 ) e 蠢定鞑2 ，毒 1 8 。昭( ，。口) n 岛( o ) ，”= 地( r + i 1 ，。( 丁) n 魄( o ) ，j r ) 。 ( 5 3 ) 又对gs ( r + 跏叩，、丽) 霄 工d ( r ) d p ) n 甄( o ) u e t x , g = u + 坩 - - 工 i g l l 障一- e t x 8 惫r 。 所以，z ( ，+ 去，) 。e r ”五西丽) ，但r 是埘一增生的，知 e ( r + i 1 咄阳) n 丽) ，故酬雌， ， l 、 d e g jt + 2 - i ，d ( t ) f q b 6 ( o ) , f | ia 这样由( 5 3 ) 、”， 及定理1 ，凌- f 移f 7 & 至孬。定理迂毕。 定理5 5 设e 是实一致光滑b a n a c h 空间，设t ：d ( r ) c e 呻2 5 是m 一增生算子 o e d ( 即，。，。，瓦：嚣 两c 三叶嚣是有界连缕强增生算子，0 e i n t 嘲n 瓦丽) 。假定 存在 0 和r 0 ，使得 ( t o x , j x ) 十r ， 协c o b b ( 0 ) i 1 d ( t ) 。 鄹丽。p + 嚣) f 琢丽卜 诚日片由假设及k o b a y a s h i 】，知对v f 刮：o ，j 和，苗可巧，t + t + ( 1 - t ) ( t o 一，) 是脚一增 生冀予。令 日( 1 ，x ) ；7 x + 群+ ( 1 一f ) ( x 一，) r ( ，x ) 芒【o ，l 】x 玩( o ) n d ( r ) n 设x e o f 岛( o ) n d 口) ) ，“e a 。注擞到o 7 o 及r 的增生性，有 扛十趣十( h ) ( 秘- s ) ，j x ) = “血) + l l x l l 2 + o - o ( r o x f ，出) - - , f i x l f 十 l 一碳骆一f ，j x r 2 + ( 1 一f ) ( + r ) 1 1 4 1 一( 1 一r ) ，i l x l f - - t l t x l l 2 + o - o 盛o l h i 0 t 9 因此。诺( ，) p ( 挠( o ) n d ( d ) ) tv t e o , 1 j 。由定理4 2 和引理5 + 1 ，有 d e g ( t + t o f ，萎( 秘d f d ，嘭= 蚤嚼+ j ，嚣f 蛰门口f 歹) ，= 1 。 由此可知，( 7 1 十五) ( 忍( o ) n d ( r ) ) 。定理证毕。 下嚣谭论一个王。空鞠串微分方程的霹辉挂瓣题； 我们考虑下面这种形式的微分方程。 e ) 其中o c r “是有界闭城，具有光滑边羿，2 0 。万o ) = p 岛( q ) ：v o ) e 卢0 ( x ) ) 艚七。n 酬历，p 2 2 。廖( 历= “基l a n ) ：3 v s ( q ) ，馊得v o ) 妒( “( x ) ) n 。x e n ，夕为 r x r 中校大单调子浆，o e d ( 历，上，f q ) ，磊：弓( q ) 0 ( n ) 是单值连续强增生算子。 定理5 6 若方程( 层) 满足：j 0 ，r 0 ，m 0 ，对岛( n ) ，当m f m 时，有 嘲2 支叫* 旷1p 筠 则对，茸( o ) ，存在“e 吲( q ) n 矽2 1 ( q ) n d ( 万) n 瓦了而使志为方程( e ) 的解 滚麟令夏# = 一矗”+ 及“) ，d r ) = 啄7 ( q 奠扩3 9 q n 。爹) ，粼方程嚣艘为 ，e 五+ z + 五” ( 巨) 由8 ”巾玲魅3 。7 知，五：d ( d 2 o ) 为m 一增生冉勺，令丁= 巧+ 2 1 ，d f d = d ( 正) ，则，为强 m 一增生的tr o e d ( ) ，o t on 国条件，对h ( q ) ，当肛l 美m 时， ( 瓦“，”) j l “1 1 2 9 上瓦”( “i “i ”2 o t o + r ， 箕巾弦= 释雾f “黼” 是对鼹映黎。出定理5 。5 辩