（理论物理专业论文）动态黑洞的霍金效应.pdf

摘要 丰论文包括两方面内容。第一部分对动态球对称黑洞的霍金效应进行了研 究；第二部分讨论了动态轴对称黑洞的霍金效应。全文共分为三章： 第一章是练述。简要介绍论文的研究背景、意义毗及相关的基本概念和基本 原理，其中包括黑洞热力学四定律，动态黑洞的三个特征曲面：事件视界( e v e n t h o r i z o n 简写为e h ) 、衷观视界( a p p a r e n th o r i z o n 简写为a h ) 、类时极限面 ( t i m e l i k el i m i ts u r f a c e 简写为t l s ) 以及动态球对称黑利表面引力的定义，并 简要总结了当前对动态黑洞霍金效应的四种研究方法：r b a l b i n o t 的辐射反作用 方法；p a r i k h 的量子隧穿方法；引力反常方法；d a m o u r - r u f f i n i 方法。 第二章利用d a m o u r - r u f f i n i 方法讨论了动态球对称黑洞的霍金效应。首先 解释不可能片jd a m o u r - r u f f i n i 注得到表观视界的霍金温度。然后指出咀前工作 中的缺陷，从量纲角度改进了乌龟坐标。最后用新的乌龟坐标研究了几种动态球 对称黑洞的霍余效应。通过乌龟坐枷；变换把k l e i a - g o r d o n 方程在视界处化成波 动方程的标准形式，利用解析延拓将出射波延拓到视界内，从而得到事什视界的 霍金温度。 第三章讨论了动态轴对称黑唰的霍金效应。仍然利用d ；u r l o u r - r i d f i n i 方法， 采用改进的乌龟坐标，得到事件视界的霍金温度。 最后的结果表明，采用收进的乌龟坐标可以得到更加准确的霍金温度。 关键词：霍会效应；辐射反作用方法；量子隧穿方法；号力反常方法；d a m o u 卜 r u f f i n i 方法：乌龟坐标。 a bs t r a c t t h e r ea x et w op a r t si n t h i st h e s i s t h ef i r s to n ei s e f f e c to fa d y n a m i c a ls p h e r i c a l l ys y m m e t r i cb l a c kh o l e ；t h e a x i s y l t m a e t r i cd y n a m i c a lb l a c kh o l e t h e ya r ed e s c r i b e d a b o u tt h eh a w k i n g s e c o n do n ei sf o ra n i nt h r e ec h a p t e r sa s f o l l o w i n g ： i nc h a p t e r1 t h eb a c k g r o u n da n dm e a n i n go ft h ec o n t e n to ft h i st h e s i sa r ei n - t r o d u c e d ，t h er e l a t e df u n d a m e n t a lc o n c e p t i o n sa n dp r i n c i p l e sa x ea k s og i v e n t h e y i n c l u d et h ef o u rl a w so fb l a c kh o l et h e r m o d y n i n n i e sa n dt h r e ec h a r a c t e r i s t i cs u p e r - s u r f a c e so fad y n a m i c a lb l a c kh o l es u c h8 , 8e v e n th o r i z o n ( e h ) ，a p p a r e n th o r i z o n ( a h ) a n dt i m e l i k el i m i ts u r f a c e ( t l s ) t h e nt h ed e f i n i t i o no fs u r f a c eg r a v i t yi n ad y n a m i c a ls p h e r i c a l l ys y m m e t r i cb l a c kh o l ei si n t r o d u c e d i nt h i sc h a p t e rf o u r m e t h o d so fs t u d y i n gh a w k i n ge f f e c to fad y n a m i c a lb l a c kh o l ea i el i s t e d ，i e r a d i - a t i o nb a c k - r e a c t i o nm e t h o db yr b a l b i n o t ，q u a n t u mt u r m c l i n gm e t h o db yp a r i k h a n dw i t c z e k ，g r a v i ta t i o n a la n o m a l ym e t h o da n dd a m o u r - r u f f i n im e t h o d i nc h a p t e r2 ，t h eh a w k i n ge f f e c to fad ，l l a n l i c a ls p h e r i c a l l ys y m m e t r i cb l a c k h o l ei si n v e s t i g a t e du s i n gd a m o u r - r u f f i n im e t h o d a tf i r s t ，w ef o t m dt h a ti ti s i m p o s s i b l et og e th a w k i n gt e m p e r a t u r eo fa p p a r e n th o r i z o nv i ad a m o u r - r u f f i n i m e t h o d b a s e do i lp r e v i o u sw o r k s ，t h et o r t o i s ec o o r d i n a t ei si m p r o v e d f i n a l l y , s e v e r a ll d u d so fd y n a m i c a ls p h e r i c a l l ys y m m e t r i cb l a c kh o l e sa t es t u d i e dt h r o u g h t h e 州t o r t o i s ec o o r d i n a t c a f t e rt o r t o i s ec o o r d i n a t e st r a n s f o r m a t i o n 、t h ek l e i n - g o r d o ne q u a t i o n b ew r i t t e na bt h es t a n d a r df o r ma tt h ee v e n th o r i z o n t h e n a n a l y t , i c a l l ye x t e n d i n gt h eo u t g o i n gw a ：v e sf r o mo u t s i d et oi n s i d eo ft h eh o r i z o n ， h a w k i n gt e m p e r a t u r ec a nb eo b t a i n e d i nc h a p t e r3 t h eh a w k i n ge f f e c to fa n i s 山s c u s s e d w b c o o r d i n a t e t h e a x i s y m m e t r i cd 3 a a a m i e a lb l a c kh o l e s t i l lu s cd a m o u r - r u j i i n i sm e t h o da n dt h ei n l p r w c e dt u n u i s e h a w k i n gt e m p e r a t u r eo fe v e n th o r i z o nc a f f ia 【s ob eo b t a i n e d s m o o t h l y , t h ef i n a lr e s u l t si n d i c a t et h a tm o r ea c c u r a t eh a w k i n gt e m p e r a t u r ec a nb e v i o b t a i n e di ft h ei m p r o v e dt o r t o i s ec o o r d i n a t e sa r ea p p f i e d a b s t r a c t k e y w o r d s ：h a w k i n ge f f e c t ；r a d i a t i o nb a c k - r e a c t i o nm e t h o d ；q u a n t u mt u n - n e l i n gm e t h o d ；g r a v i t a t i o n a la n o m a l ym e t h o d ；d a m o u r - r u f f i n im e t h o d ；t o r t o i s e c o o r d i n a t e 北京邮电大学学位论文原创眭声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 相硅日期：矽尹年，月7 日 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定，即： 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮电大学。学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅 和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或 其它复制手段保存、汇编学位论文。 本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 本人签名：盘垡日期：坦z 导师签名：二墨工卒毛l 同期：一二蕴区芳么l 第一章综述 自上世纪初广义相对论创立以来，不仅其理论结构之美为人们所惊叹，而且 在实验上也取得了巨大的成功。作为经典广义相对论合理预言的黑洞也成为人们 研究的焦点。早在2 0 0 多年前拉普拉斯等人就在牛顿理论框架下给出了“暗星 条件，当一颗星的半径和质量满足r 掣时，这颗星就看不见了。1 9 3 9 年奥 本海默在研究致密星过程中指出e i n s t e i n 场方程的s c h w a r z s c h i l d 解的坐标奇异 面( ，= ：2 g r m 的球面) 是一个不可见区域的边界，从而在广义相对论框架下提出 了现代意义下的黑洞概念【1 ，2 】有趣的是拉普拉斯等人在牛顿引力框架下得到 的“暗星 条件与今天从广义相对论得到的黑洞条件恰好一致。 1 1 黑洞热力学 在1 9 7 1 1 9 7 5 年间，c a r t e r 和r o b i n s o n 等人提出黑洞无毛定理f 3 ，4 1 。该定 理指出渐近平直的稳态黑洞的外场仅由黑洞的总质量m 、总角动量j 和总电荷 q 三个参量唯一确定。塌缩为黑洞后的星体除了这三个可观测量外，已丧失所有 其他信息( 例如内部结构、轻子数、重子数等) 。1 9 7 3 年，b e k e n s t e i n 将热力学概 念引入黑洞物理学，指出若将黑洞看成一个热力学系统，则表面引力k 相应于热 力学中的温度，表面积a 相应于热力学系统的熵。人们谨慎地提出黑洞力学四 定律： ( 1 ) 第零定律：稳态黑洞表面引力k 是一个常数。 ( 2 ) 第一定律：贝根斯坦一斯马尔公式， 5 m = 兰5 a + q 6 j + v 0 6 q ( 1 1 1 ) 苎丌 、 ( 3 ) 第二定律：黑洞表面积在顺时方向永不减少， 6 a 0 ( 4 ) 第三定律：不能通过有限次操作把黑洞表面引力降到零。 这四条定律可以等效地表达为热力学四定律的形式 5 ，6 】，内容如下： ( 1 1 2 ) 2 ( 1 ) 第零定律：稳态黑洞视界的温度是一个常数。 ( 2 ) 第一定律：能量守恒 第一章综述 ( f m = 丁裾+ q 6 j + y o , ，q ( 1 1 3 ) ( 3 ) 第二定律：黑洞熵在顺时方向永不减少， 6 s 0 ( 1 1 4 ) ( 4 ) 第三定律：不能通过有限次操作把视界的温度降低到绝对零度。其中t 为视界温度即黑洞温度，满足 t = 2 7 r l k b ， ( 1 - 1 5 ) s 为黑洞熵，满足 s = 竽a ， ( 1 1 6 ) k b 为玻尔兹曼常数。 1 9 7 3 年，巴丁，卡特和霍金仍然谨慎地把这四条定律称作黑洞力学四定律， 不称作热力学定律。他们告诫说，黑洞的“温度”不能认为是真实的，因为黑洞 不发射任何东西，而有温度的物体应该发射热辐射【5 】。但是，不到一年，霍金就 给出了一个证明，指出黑洞会发射热辐射，黑洞的温度是真实的温度【7 ，8 1 。黑洞 力学四定律就是关于黑洞的热力学定律，于是人们又把这四条定律称为黑洞热力 学四定律。人们真正认识到黑洞具有热性质就是在黑洞热力学四定律建立和霍 金辐射算出之后。 1 2 动态黑洞的三个特征曲面 黑洞的热性质与黑洞的特征曲面有密切联系。在黑洞的特征曲面附近，存在 极为有趣的热效应和量了效应。一般说来，黑洞存在三个类视界曲面，它们是事 件视界，表观视界和类时极限面。对于真空静态和稳态黑洞，事件视界和表观视 界重合。对于非球对称的动态黑洞，这三个特征曲面不再互相重合【9 ，1 0 。 1 2 动态黑洞的三个特征曲面 3 1 2 1 事件视界 没有任何信息能够到达类光无穷远j + 的时空区，称为黑洞区( 即黑洞内部) 。 黑洞区的边界，即黑洞区与信息可达j + 的普通时空区之间的边界，称为事件视 界【1 l 】。 这是整体微分几何给事件视界下的严格定义。但是，此定义在弯曲时空量子 场论的研究中不好使用，通常人们把事件视界看作“保有时空内禀对称性的零超 曲面 ，或者说其母线线汇的切矢场是类光k i l l i n g 矢量场的“零超曲面”，即它的 法矢量类光( n u l l 矢量) 佗p 钆= 0 ， ( 1 2 1 ) 且母线线汇的切矢场为k i l l i n g 矢量场 k ；p + f 唧= 0 ( 1 2 2 ) 实际上，( 1 2 1 ) 式只是事件视界的必要条件，不是充分条件。也就是说，事 件视界一定是零曲面，而零曲面不一定都是事件视界。我们可称满足( 1 2 1 ) 和 ( 1 2 2 ) 的视界为“局部事件视界”。通常，人们用( 1 2 1 ) 式来求事件视界。 1 2 2 表观视界 表观视界定义为陷获区( 捕获区) 的最外边界面，或者说，对于出射光予的 最外陷获面( 最外捕获面，t h eo u t e r m o s tm a r g i n a l l yt r a p p e ds u r f a c e ) 。也可以 说，是单向膜区的起点。 表观视界由类光测地线汇的膨胀( e x p a n s i o n ) 来定义【1 2 】。膨胀e 定义为 e = 北“一圪，( 1 2 3 ) 其中 k 三l u ；v n p z ， ( 1 2 4 ) 在稳态情况下就是黑洞的表面引力。，z p 为零标架，满足 l l 芦= n p 礼p = 0 ，l u n p = 1 ( 1 2 5 ) 表观视界由e = 0 来定义，即由表观视界出发的两族类光测地线汇的膨胀e 都是 零。 4第一章综述 1 2 3 类时极限面 对于稳态时空，类时极限面定义为以类时k i l l i n g 矢量( 爰) 口为母线的三维超曲 面，在( 爰) 。趋于类光时的极限面，即满足 触= g - b ( b 拶t ) 川( b d - 一) = o ( 1 2 6 )9 托2 。 。u l l z 6 ) 的三维超曲面。实际上( 爰) 口在史瓦西黑洞外部类时，内部类空。 对于动态黑洞，类时极限面定义为 鼽= 鼬( 昌) 。( 杀) 6 = o ， ( 1 2 - 7 ) 鼽2 鼬【瓦八瓦) 。2 u ，【l z - 。j 其中u 为超前爱丁顿坐标，( 嘉) 口对于无穷远静止的观测者是类时矢量。 上述三类特征面，都是三维超曲面。其中事件视界总是类光的，表观视界一 般是类光或类空的，但在动态情况，也可能类时。类时极限面可能类时，类光或 类空。 1 3动态球对称时空的表面引力 人们最初研究动态球对称时空的表面引力主要为了检验宇宙监督假设的合 理性。后来，出现了一些数值方法，人们用更多的精力研究黑洞形成初期的临近 坍缩解。 稳态时空的表面引力k 是由事件视界处类时k i l l i n g 矢量来定义。这种定 义具有非局域的性质。如果q 是k i l l i n g 矢量场，那么对于任意常数b ，6 a 也 是k i l l i n g 矢量场。这会把表面引力的值改为眠。于是我们要把n 归一化。个 明显的归一化方法是在类空无穷远处令q 矗= 一1 。为了计算表面引力，必须要 在视界和类空无穷远之间进行积分以决定反常红移因了【1 3 】o 在稳态时空，有一 些相似的表达式用来定义表面引力。能够推广到动态时空的表达为 卢岛= k f 。 ( 1 3 1 ) 既然光信号的波矢是仿射类光测地线，那么k 就能决定频率的减少，或者沿视界 移动的外向光信号的红移。所以仡描述某种光子的能量衰减。这种光了只能沿着 视界处移动。 1 3 动态球对称时空的表面引力 5 在任何球对称时空中，能够自然地通过内向球对称类光超曲面进行分解。我 们假定这些超曲面通过函数口进行参数化。如果时空在过去类光无穷远渐近平直， 我们就能在那里通过令 c v ：a = 1 ，( 1 3 2 ) 而把秒确定到只差一个额外的常数，其中p 是渐近k i l l i n g 矢量。这意味u 由远处稳 态观者的固有时来确定。我们就能把u 看作整体超前坐标。利用径向函数p 而不 是p ，类光超曲面的参数化可以更加方便地确定。于是在过去类光无穷远处，我 们同样可以令 p v ：n = 1 ( 1 3 3 ) 在稳态球对称情况，k i l l i n g 矢量尸在任何地方都可以定义。并且q 口；a 沿着u 是 常数 v ；f l ( q 秒；n ) ；卢= 0 ( 1 3 4 ) 于是在任何点，p t k = 1 都成立。这意味对于稳态观者，超前时u 就是k i l l i n g 时。 在动态时空，我们不能象稳态时空那样处处定义k i l l i n g 矢量。但是，由于球对 称性，外向径向类光曲线一直是测地线。于是我们就利用非仿射化的外向类光矢 量场胪来定义动态球对称时空的表面引力。类光条件和球对称性只能确定k q 的方 向。最困难的问题是如何将这个矢量场归一化。因为我们希望我们所定义的动态 时空的表面引力能够回到稳态时空的情况，所以k a 在稳态视界上必须是k i l l i n g 矢 量a 。为了保证这点，我们令在时空中每。一点都有 七n f ，：a = 1 ( 1 3 5 ) 这就可以决定胪。因为在每一点，护是测地线的切矢，所以可以通过关系式 胪忍o ；o p t = n k a ( 1 3 6 ) 在时空的每一点定义k 。对上式两边乘以 1 3 n ，利用( 1 3 5 ) ，可得到 k = 一k a k a v ；叩， ( 1 3 7 ) 其中k 口是径向矢量。既然没有出现k a 的导数项，七口不仅类光，而且可以类时或者 类空。仡的物理意义跟稳态中的样，决定视界处光信号的红移。 6第一章综述 对于给定的函数v ，我们可以把它看作类光坐标系护= ( v ，r ，口，妒) ，o l = 0 ，l ，2 ，3 中的一个坐标。动态球对称时空的线元为 d s 2 = 一f d v 2 + 2 g d v d r + r 2 ( d 6 2 + s i n 2o d q 0 2 ) ，( 1 3 8 ) 其中f ，g 是u 和7 的函数。利用该坐标系的c h r i s t o f f e l 符号，通过( 1 3 7 ) ，我们得 到 k = 后a 七p r 三口( 1 3 9 ) 因为对于动态球对称时空， r 2 l = r o o l = 0 ，( 1 3 1 0 ) 所以得到动态球对称时空表面引力k 的具体表达式 冗= r 8 。= 鲁+ 嘉 ( 1 3 m ) 1 4 研究动态黑洞霍金效应的方法 自上世纪七十年代h a w k i n g 证明了黑洞在塌缩过程中会产生热辐射以来， 黑洞热力学出现了前所未有的发展【4 ，5 】众所周知，根据霍金辐射，在静态黑 洞或稳态黑洞的事件视界处，黑洞热力学已经成功地建立在表面引力k ，有效面 积a 和黑洞质量m 三者之间的关系上。但是，动态黑洞的事件视界偏离表观视 界，这时出现了两个问题，动态黑洞霍金效应来自哪个特征曲面? 动态黑洞热 力学又应该建立在哪个特征曲面? 在以前的工作中，出现了两种截然不同的观 点。r b a l b i n o t 【1 4 1 ，赵峥【1 5 】和v a g e n a s 【1 6 在动态黑洞事件视界处研究了黑洞 熵和霍金效应。他们指出，动态黑洞事件视界处的霍金温度表达式与稳态或静态 黑洞的不同。g y u l af o d o r 1 7 给出了动态黑洞表面引力的一般表达式，黑洞热力 学能够建立在事件视界处。另一方面，因为表观视界是负能态的边界面，h a j i c e k 【1 8 】认为动态黑洞霍会效应和热力学应该建立在表观视界而不是事件视界。鉴于 球壳的坍缩，h i s c o c k l o 把v a i d y a 黑洞b e k e n s t e i n h a w k i n g 面积熵定义为表观视 1 4 研究动态黑洞霍金效应的方法 7 界面积的四分之一。随后利用类光标架法，c o l l i n s 2 0 推导出表观视界的面积变 换公式，这可以认为是推广的黑洞热力学第一定律。 由于宇宙间的真实黑洞总是在不停地蒸发，人们对质量变化的黑洞更感兴 趣。自上世纪八十年代已经出现了多种方法研究动态黑洞h a w k i n g 效应，得到 了不同的结果。 1 4 1r b a l b i n o t 的辐射反作用方法 1 9 8 6 年，r b a l b i n o t 等人对动态球对称黑洞的霍金效应进行了研究【1 4 】o 他 们先算出重正化能动张量的真空平均值( ) ，然后考查黑洞的入射负能流。对 于无质量标量场，在视界处有进入黑洞的负能流，它相当于有正能量从黑洞中涌 出。他们假定出射能流是热流，从而定出了辐射温度。这个温度是事件视界的霍 金温度。该方法用辐射反作用研究动态黑洞热辐射，只能适用于渐近平直的球对 称黑洞，而且结果不够精确。 1 4 2 p a r i k h 的量子隧穿方法 1 9 9 9 年，p a r i k h 和w i l c z e k 将h a w k i n g 辐射看成粒子穿过视界的隧道效 应【2 1 2 3 】，其势垒由出射粒子自身产生。利用w k b 近似，粒子的隧穿几率r 与作用量i 的虚部相联系，f 满足 r = e x p ( - - 2 i m ，) ，( 1 4 1 ) 而作用量虚部可以由类光测地线法求出。p a r i k h 利用此半经典的方法，计算了 球对称时空无质量粒了的出射问题。忽略粒了能量的高阶近似，他们发现出射率 满足b o l t z m a n n 分布e 一加。这个出射率的指数部分可以写成出射前后b a k e n s t e i n - h a w k i n g 熵差a s 。计算结果表明出射过程满足黑洞热力学第一定律。近来，周史 薇和刘文彪教授利用p a r i k h 和w i l c z e k 的隧穿方法，研究- j v a i d y a 黑洞的霍会效 应【2 4 】。他们没有考虑粒了对时空的反作用。通过计算得到了黑洞热力学第一定 律建立在表观视界的结论【1 8 ，1 9 】o 同时，他们在表观视界附近加了一个含时微 扰，构成了一个新的超曲面，在新超曲面上建立了黑洞热力学第，定律。与事件 视界的热力学定律相比，这个新超曲面就是事件视界。 8第一章综述 1 4 3 引力反常方法 2 0 0 5 年，s p r o b i n s o n 和f w i l c z e k 研究了霍金效应和引力反常的关系【2 5 1 。 在s c h w a r z s c h i l d 时空，他们把霍金效应和视界处引力反常的消失联系起来。这 个方法的好处就是只需要关心黑洞视界处的情况。近来，刘文彪和刘显明利 用r o b i n s o n - w i l c z e k 弓i 力反常方法，研究v a i d y a 黑洞的霍金效应【2 6 】。通过计 算v a i d y a 时空的引力反常量，得到表观视界的霍金温度，并在表观视界处建立 了热力学第一定律。然后，他们在表观视界处加了一个含时微扰，构成一个新的 超曲面。在新超曲面处计算引力反常量，得到霍金温度，建立热力学第一定律。 这个霍金温度正好是事件视界处的霍金温度。 1 4 4d a m o u r r u f l l n i 方法 1 9 7 6 年，d a m o u r 和i r u f f i n i 介绍了。种证明h a w k i n g 辐射的方法【2 7 】。此方法 仅仅使用弯曲时空背景上的相对论量子力学，就可证明黑洞存在热辐射。在证明 中，没有要求黑洞与外界存在热平衡，也没有明显考虑黑洞的坍缩。 此方法的关键是，在乌龟坐标下，粒子动力学方程( 例如k l e i n - g o r d o n 方 程，d i r a c 方程) 的径向部分，在稳态时空的事件视界附近，均能化成波动方程的 标准形式，由此可解出入射波解与出射波解。其中出射波解在视界上不解析，可 通过下半复7 平面解析延拓到视界内，最终算出辐射谱为黑体谱，并给出黑洞的温 度。运用d a m o u r - r u f f i n i 方法，成功地证明了k e r r - n e w m a n 黑洞热辐射d i r a c 粒 子【2 8 】证明了任何稳态时空，只要存在事件视界，就一定会有h a w k i n g 辐射 2 9 】o 上个世纪九十年代，赵峥，戴宪新，罗志强等人把d a m o u r - r u f f i n i 方法加以 改造，推广到动态时空。他们把视界位置r 日与k 作为末知量引入乌龟坐标，要求 粒子动力学方程在视界附近化成波动方程的标准形式 一塑0 1 2 + 等= 0 ， ( 1 4 2 ) 栅； v r 叫 或用爱丁顿坐标表示为 雾+ 2 丽0 2 i , - 0 ， ( 1 4 3 ) 从而定出7 日与k ，并求出热谱。这样定出的r 日与零曲面条件得出的样。这样定 出的 z 也与计算表面引力得到的一样【3 0 - 3 2 】。由于赵峥等人的方法是对黑洞表面 各点的辐射逐点进行研究，因此它原则上可用于探讨表面各点温度不同的黑洞的 1 4 研究动态黑洞霍金效应的方法 9 热辐射，以及动态黑洞的热辐射。他们讨论了各种动态球对称黑洞，以及表面各 点温度不同的黑洞【3 3 ，3 a ，变加速直线运动黑洞的热效应【3 3 ，3 5 】，得到了事件 视界的霍金温度。与辐射反作用方法相比较，这一方法得到的结果更加准确。 第二章动态球对称黑洞的霍金效应 2 1 来自表观视界的霍金效应 对于动态黑洞，事件视界与表观视界不重合，所以研究动态黑洞霍金效应比 研究静态或稳态黑洞霍金效应复杂。刘文彪教授等人认为动态黑洞霍金效应来 源于表观视界，事件视界可看作表观视界的一个含时微扰。他们利用p a r i k h 和 w i l c z e k 的量子隧穿方法，s p r o b i n s o n 和f w i l c z e k 的引力反常方法在动态球对 称时空证明了这个结论，并且在表观视界处建立了黑洞热力学第一定律【2 4 ，2 6 。 众所周知，考虑粒子对背景时空反作用的d a m o u r - r u f f i n i 方法是研究黑洞 霍金效应强有力的手段。如何利用d a m o u r - r u f f i n i 方法得到表观视界的霍金温 度? 我们能引入一个乌龟坐标，把k l e i n - g o r d o n 方程在表观视界附近化成波动方 程吗? 这是许多人一直在思考的问题。下面以v a i d y a 黑洞为例，讨论这些问题。 v a i d y a 时空的线元为1 d s 2 = 一1 2 m ( v ) r ) d v 2 + 2 d v 打+ r 2 ( d 0 2 h - s i n 2 g d q 0 2 ) ( 2 1 1 ) 在这个时空中，把k l e i n - g o r d o n 方程 志去 而杀吲- i l 2 垂= 0 , 仁抛， 分离变量 圣= 三p ( nu ) m m ( 护，妒) ， ( 2 1 3 ) 可分解为径向方程和横向方程。其径向方程为 ( 1 - 2 r m ) 旷0 2 p + 2 急+ 等等一【警彬+ 掣忙。，( 2 ) 式中p 为粒子静质量，z 为粒了的角量了数。横向方程与我们讨论的黑洞辐射问题 无关，这里略去。 定义乌龟坐标 3 6 】 忙r +珈， ( 2 1 5 ) n = r + 与岩半 珈， ( 2 1 5 ) 1 2 第二章动态球对称黑洞的霍金效应 其中u 描述脱离黑洞后辐射粒子的运动，v o 是辐射粒子脱离黑洞表面的时刻，描 述黑洞的演化。此乌龟坐标的特点是把v a i d y a 黑洞的表观视界r a h = 2 m ( 口) 推到 无穷远处。 利用 d r 。= 志2 晓【l n ( 豪一1 ) 一高】咖， ( 2 1 6 ) d v 。= d v ，( 2 1 7 ) 我们可以得到 ard a r r 一2 mo r 。 嘉= 击+ 2 疣【l n ( 豪一1 ) 一i r 丽1 瓦a ， a 22 maf , 2a 2 加2 ( r 一2 m ) 2o r + ( r 一2 m ) 2 加； a 22 r h rara 2 挑加 ( r 一2 m ) 2 丹+ r 一2 m1 9 t 凡o r 。 + 兰【l n ( 豪_ 1 ) 一高】磊 ( 2 1 8 ) 通过方程( 2 1 4 ) 和( 2 1 8 ) ，我们可以得到 器+ 4 砌n ( 豪一1 ) 一j r - 二2 m 生- ) r 2 + 2 袅 +旦生一竿良z2+掣脚(219)r-2rnor+ 一_ 【7 十丁j p 2u 。 【z l h ， 上述方程第二项和第四项系数在r 趋向于表观视界r a 日= 2 m ( u ) 时发散，不能化 成( 1 4 3 ) 所示的波动方程标准形式。 近来，刘显明，刘博，周史薇，刘文彪等人还尝试过在表观视界附近做各种 其它形式的乌龟变换，均遇到类似的困难。总之，我们还没有找到一个乌龟坐标， 使方程( 2 1 4 ) 在表观视界r h = 2 m ( 钞) 处化成波动方程的标准形式。换句话说， 我们还不能用d a m o u r - r u f f i n i 方法得到表观视界的霍金温度。这可能是因为二 维时空( ，n ) 在表观视界附近不能显式共形于二维闵氏时空【3 7 4 0 】。 2 2 来自事件视界的霍金效应 2 2 来自事件视界的霍金效应 1 3 下面介绍赵峥和戴宪新用d a m o u r - r u f f i n i 方法研究v a i d y a 黑洞霍金效应的工 作【3 0 - 3 2 1 。定义广义乌龟坐标 n = r + 甄南l n p r h ( 口) 】， = v v o ， 式中k 为待定参数，在乌龟变换下是一个常数。利用 可以得到 d r 。= 【1 + 南】打一尚咖， d v 。= d v ， 茅= 【1 + 獗i 1 面1 瓦8 ， 0a r z 0 - - 一= = = 一 a 秒 a u 2 t c ( r r h ) o r + 丽( 9 2 邛+ 杀】2 嘉一2 k ( r r 日) 2 罴- 【1 + 丽习11 丽0 2 一志2a(rr h 【1 + 一 1r 2 a ( r r 日) a 8 r 。 + 瓦f r 写 h 孑瓦c o k l e i n g o r d o n 方程的径向部分( 2 1 4 ) 就化为 ( r 一2 m ) 2 k ( r r 日) - 4 - 1 】一2 r r ha 2 p + r h ) = e - w v + r p 一船) 警( 2 2 1 0 ) 出射波在视界上不解析，把它通过下半复r 平面解析延拓到黑洞内部， p o u t ( 7 r h ) + y ( r h r ) p o u r r h ) - - - - e - i w v + 2 i w r ( 百r - - r h ) 等 ( 2 3 3 3 ) 出射波在视界上不解析，把它通过下半复r 平面解析延拓到黑洞内部， ( r 憎) = e - i w v + 2 如r ( i r h - - r ) 等e 警 ( 2 3 3 4 ) ( 2 3 3 3 ) 和( 2 3 3 4 ) 分别描述了视界内外的出射波。利用阶梯函数 秒c z ，= r h ) + y ( r h r ) p 叫t ( 7 r 何) 】，( 2 3 3 6 ) 于是得到出射波谱 一1 = ( m ，儿) = n 2 ( 1 一e 警) ，( 2 3 3 7 ) 醒= 嘉j ， 其中p = 丽1 ，霍金温度为 印 k 1 一a r h ，= = 一 2 7 r k b8 7 r k b m ( 2 3 3 8 ) ( 2 3 3 9 ) 以下两节我们将用这个改进的乌龟坐标研究v a i d y a - b o n n e r 和v a i d y a - d es i t t e r 这两种动态球对称时空的霍金效应。 2 4v a i d y a - b o n n e r 黑洞的霍金效应 1 9 7 0 年，b o n n e r 得至1 - - 个带电的动态史瓦西解，即把v a i d y a 度规推广到带电 的情况【4 2 1 ， 舻= 一( 1 一掣+ 掣) d v 2 + 2 d v d r + r 2 2 埘蝴( 2 4 1 ) 2 4v a i d y a - b o r m e r 黑洞的霍金效应 在d y a - b o n i l e r 时空中，表征事件视界的零曲面条件 岳若= o ( 2 4 2 ) 可化为 由此可解出视界位置 r 2 2 m r + q 2 2 r 2 _ d r ：0 a 移 一堕辱竽 其中取正号时，为事件视界。 弯曲时空k l e i n - g o r d o n 方程可以写成 分离变量如下 ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 1 - 了2 m + 譬) 丽0 2 圣+ 2 筹+ 丁2 ( r - m ) 丽o ( i ) + ；篙 + 瓦1 o ( s i n9 丽0 圣) + 忑而1 硒0 2 圣一咖_ 0 ( 2 4 5 ) 垂= ；1 地 ) m m ( 口，妒) ， 得到径向方程和横向方程分别为 ( 1 _ _ 2 mt q 2 ) 0 2 r p + 2 嘉+ 2 ( m r q 2 ) 却 + f 翌1 4 7 2 mv 一掣肛。， ( 丽1 矿0 n 秒争s i n l 20 2 ) y l m = - l c 为了使乌龟坐标的对数号中不含量纲，采用改进的乌龟坐标， ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) 一r + 南n 【焉铲h _ _ - - ) - - 咖， ( 2 4 9 ) 式中k 为待定参数，在乌龟变换下是一个常数。利用 d r = 【1 + 南】打一万考与如， d r = d v ，( 2 4 1 0 ) 2 4 微分算子用乌龟坐标表示出 第二章动态球对称黑洞的霍金效应 茅= 【1 + 两两1 1 瓦0 ， a0 r r h 0 一= 一 o v a 仉 2 k r h ( r 一7 日) o r 嘉_ 【1 + 丽1 习】2 磊一2 k p r 日) 2 一焉2,crh(rr h 【1 + 一 ) r 。 径向方程( 2 4 7 ) 可以化为 2 n ( r r 日) a a 凡 + 磊f r h i 矛瓦0 】嘉 ( 2 4 1 1 ) ( r 2 2 m r + q 2 ) r h 2 a ( r r h ) + 1 】一2 r 3 7 矗萨p o c 0 2 # 2 ；r 2 ( r r h ) m a r ；一踟。西 2 ( m r q 2 ) ( r r h ) 2 9 ( r r h ) + 1 】+ 2 r 3 r h r ( r 2 2 m r + q 2 ) 却 7 - 3 p 一7 日) 【2 k ( r r h ) + 1 】 a 以 + 蒜堡离r 型r 4 一万2 m r h簟一掣忙o 。2 仡( r 一) + 1 7 3 尸 7 2 一 ( 2 4 1 2 ) ，l , v a i d y a - b 。i l n e r 时空的零曲面方程( 2 4 3 ) 可知，器项系数的分子在事件 视界处趋于零，可以用洛必大法则求该项系数的极限 arrlim，(r2-2mr+1q2磊)rh丽2=a(ri-而r)+1一-2rarhh v - * v o r r ，二圪r i ，一7 hj 7 h l i m 丛! 型塑二粤掣生罂唼鱼型竺出 7 - - - - + r h ，口 t 0 2 k 7 ( r r h ) 4 - k r 2 t h r h ( r h - - m ) + n r h ( r 2 h - - r 2 m r h + q 2 ) _ 一3 r 备r h ， ( 2 4 1 3 ) k r 奋 我们令这个极限等于1 ，可以得到 k2 r h - m 3 r h r i - i 2 m 7 日一q 2 ( 2 4 1 4 ) 同理，在上述极限下，方程( 2 4 1 2 ) 中饥o _ a 和最后一项的系数在事件视界处 均趋于零，这个方程化成了标准的波动方程 鬻+ 2 熹一o ( 2 4 1 5 ) 对波动方程的出射波解在视界处沿下半复r 平面解析延拓到黑洞内部，可得到事 件视界的霍金温度 丁= j 2 7 r l k b = r h 一7 n 一3 r h r h 2 7 r k b ( 2 m r h q 2 ) ( 2 4 1 6 ) 2 5v a i d y a - d es i t t e r g 时空_ 的霍金效应 2 5v a i d y a - d es i t t e r 时空的霍金效应 1 9 8 5 年，v i c k 等人找出j 描述d es i t t e r 时空背景上蒸发黑唰的v a i d y a - d es i t - t e r 度规【4 3 】： 如2 = 一( 1 一望掣一言a r 2 ) 咖2 + 2 如打+ r 2 ( d 0 2 + s i n 2 口d 妒2 ) ， ( 2 5 1 ) 式中a 为宇宙学常数，与u 无关 在v a i d y a - d es i t t e r u 【寸空中，表征事件视界的零曲面条件 广面o f 面o f = 0 ( 2 5 2 ) 可化为 r 一2 m 一护砌笔- o ( 2 5 3 ) 其中 这是一个三次方程，我们可求出它的解 4 4 】。当7 代表黑洞事件视界时， r 三r + 22 当r 代表宇宙事件视界时， 其中 c 0 8 ( q - + 三) ， q 2 三一o s 【篙1 q 12 弓黜黜【百厕 r 三r c = 2 c 。s ( q 2 一虿7 1 ) ， ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) ( 2 5 6 ) q 2 虿1 r c c o s 【尚】 ( 2 5 7 ) 现在考虑v a i d y a - d es i t t e r 时空中的k l e i n g o r d o n ： y 程 (1一了2m一扣2)雾+2器+丁2(3r-3m-2ara)石vg(i)+；2丽09 + 上r