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硕士论文多种资产的实物期权问题 飞s 3 摘要 实物期权是目前比较热门的话题。本文就实物期权中的一个典型问题( r o i 厂的投 资问题) ，来讨论多种资产的实物期权问题。 引言部分，简要介绍了实物期权的背景及实物资产的期权问题的研究现状。并提 出了本文要做的工作。 第一章，介绍了本文将用到的随机微分方程( s d e ) 及随机控制的一些主要结论， 如i t o 公式、h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n ( h j b ) 方程。 第二章，利用最优控制的相关结论，建立最优生产计划的随机控制模型，此模型包 括状态方程、收益函数等。其中商品价格满足一随机微分方程，收益函数为带停时的 一般收益函数。 第三章，利用动态规划方法及最优停时理论，建立值函数所满足的h 3 1 3 方程，并 证明了最优策略的一般存在性结果。 第四章，研究了与第三章相对应的偏微分方程( p d e ) 。主要讨论了所得p d e 的特 解的构造和性质。其中考虑了特殊情况( n ：2 且商品生产相互独立) 下的相关结论。 第五章，精确地解出了第四章中得出的h j b 方程，并给出生产和停时的最优策略。 第六章，对某特殊情形( 运行收益函数由商品价格线性表示) 进行解释。其中涉 及了几个参数。通过分析得出显式解，此解可根据参数值的变化而表示出不同形式的 最优行为。 第七章，对本文结果做了总结，并给出可能进一步研究的思路。 关键词：随机控制，动态规划，最优停时，实物资产，实物期权 堡主堕塞 兰塑塞兰塑塞塑塑堡塑壁 一一 a b s t r a c t r e a lo p t i o ni sav e r yh o tt o p i cp r e s e n t l y a sat y p i c a lp r o b l e m ( t h e i n v e s t m e n tp r o b l e mo fs o m ef a c t o r y ) ，t h ep a p e rt a l k st h er e a lo p t i o np r o b l e m a i ) o u tm u l t i - d i m e n s i o na s s e t s i nt h ep r e f a c e ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fr e a lo p t i o n ，p r e s e n t c o n d i t i o no fs t u d y i n go fo p t i o np r o b l e m sa b o u tr e a la s s e t sa n dw h a tw ea r e g o i n gt od oi nt h ep a p e r i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m ei m p o r t a n tc o n c l u s i o n st h a tw i l lb eu s e d i nt h ep a p e ra b o u ts t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( s d e ) a n ds t o c h a s t i c c o n t r o l ，s u c ha si t of o r m u l a ，h a m i i r o n j a c o b i - b e l l m a n ( h j b ) e q u a t i o n i nc h a p t e r2 ，u s i n gc o r r e l a t e dc o n c l u s i o n so ft h eo p t i m a lc o n t r o l ，w e f o r m u l a t eas t o c h a s t i cc o n t r o lm o d e la b o u tt h eo p t i m a lp r o d u c i n gs c h e m e ，w h i c h i n c l u d e sas t a t ee q u a t i o n ，ap a y o f fe q u a t i o na n ds oo n w h e r ec o m m o d i t yp r i c e s s a t i s f yas d ea n dt h ep a y o f ff u n c t i o n i sa g e n e r a lp a y o f ff u n c t i o nw i t h s t o p p i n gt i m e i nc h a p t e r 3 ，u s i n gd y n a m i cp r o g r a m m i n g a n dt h et h e o r yo f o p t i m a ls t o p p i n g w ed e t e r m i n eah j be q u a t i o nt h a tt h ev a l u ef u n c t i o ns a t i s f y ，w h il ew ep r o v e ag e n e r a le x i s t e n c er e s u l ta b o u tt h eo p t i m a ls t r a t e g y i nc h a p t e r4 ，w es t u d ya p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( p d e ) c o r r e s p o n d i n g t oc h a p t e r3 ，a n dt a l kt h ec o n s t r u c t i o na n dc e r t a i np r o p e r t i e so fas p e c i a l s o l u t i o no ft h ep d et h a tw eh a v eh a d w h e r ew ec o n s i d e rc o r r e l a t e dc o n c l u s i o n s u n d e ras p e c i a lc a s e ( t h ep r o d u c i n go fc o m m o d i t i e si si n d e p e n d e n t ) 。 i nc h a p t e r5 ，w ee x p l i c i t l ys o l v et h e l e q u a t i o nt h a ti sd e r i v e di n c h a p t e r4a n dg e ta no p t i m a ls t r a t e g ya b o u tt h ep r o d u c i n ga n ds t o p p i n gt i m e i nc h a p t e r6 ，w ee x p l a i ns o m es p e c i a lc a s e ( t h er u n n i n gp a y o f ff u n c t i o n i s1 i n e a re x p r e s s i o no fc o 脚o d i t yp r i c e s 。) ，w h e r ei n v o l v e s e v e r a lp a r a m e t e r s t h ea n a l y s i sr e s u l t si nc l o s e df o r ma n a l y t i cs o l u t i o n st h a tc a ne a s i l yb e c o m p u t e da n de x h i b i t sq u b l i t a t i v e l yd i f f e r e n to p t i m a lb e h a v i o r s ，d e p e n d i n g o np a r a m e t e rv a l u e s i nc h a p t e r7 ，w es u m m a r i z et h ep a p e ra n dp u tf o r w a r dt h ep o s s i b l et r a i n o ft h o u g h to ff u r t h e rs t u d y i n g 硕士论文多种资产的实物期权阅题 k e y w o r d s ：s t o c h a s t i cc o n t r o l ，d y n a m i cp r o g r a m m i n g ，o p t i m a ls t o p p i n g ， r e a la s s e t s ，r e a lo p t i o n s 引言 实物期权是目前比较热门的话题。所谓实物期权是指实物资产的未定权益，是金 融期权理论在实物资产期权上的扩展。由于与金融期权的相似，可利用金融期权定价 理论来解决实物期权问题，确定实物期权的内在价值。只是增加了些诸如时间限制、 不可逆性等的限制条件。 实榜蠢极产生越背素 投资是指能够在未来一段时期内给投资者带来效益的资金或资金的支付。从这个 含义出发，投资可分为实物( 项目) 投资与金融投资。前者与实物资产有关，如土地、 设备、厂房等：后者则离不开金融资产，如股票、债券，期权、期贷、货币等。长期 以来，对实物投资的基本评价方法是贴现现金流法( d i s c o u n t e d _ - c a s h _ _ f 1 佣，以下 简称d c f ) 。它为实物投资决策提供了量化分析的依据，但它隐含了两个不切实际的 假设；即企业的决策不篚延迟丽且只麓选择投资或不投资，同时项目在未来不作任何 调挺。正是这些假设使d c f 法在评价实物投资中忽略了许多重要的现实影响因素( 诸 如投资项目未来的不确定性、信息不对称等) ，因而在评价具有经营灵活性或战略成 长性的项目投资决策中，就会导致这些项目价值的低估，甚至导致错误的决策。针对 d c f 法的不足，一些学者和实业界人士提出了一种更切合实际情况的方法一实物期 权法。如l u e h r e m a n 强调评价r d 项目或类似于r d 项目时，人们实际上是在评价 投资机会，他认为实物期权方法更适合于评价投资机会，m y e r s ( 1 9 7 7 ) 和r o s s ( 19 7 8 ) 针对o c f 法在评价项目出现经营柔性时的不足撰文指出：风险项目潜在的投资机会可 视为另一种期权形式实物期权。实物期权的出现主要源于投资者或企业拥有的独 无二的专利权、土地权、自然资源的使用权、技术知识、商标及市场等，它的理论 基础是期权定份理论的发展， 2 实物期权理论的进展 在1 9 7 3 年，美国芝船哥大学的b l a c k 教授与s c h o l e s 教授在美国暂政治经济学 杂志上发表一篇名为“期权定价与公司负债”的论文，同年，美国哈佛大学的m e r t o n 教授则在另一刊物“贝尔经济与管理科学杂志”上发表了另一篇关于期权定价的论文 堡主丝奎墨壁壅兰箜壅望塑壑塑望 期权的理性定价理论，这两篇论文奠定了期权定价模型的理论基础。由于b l a c k 、 s c h o l e s 、m e r t o n 的创造性工作，理论界与实业界逐步将金融期权的思想和方法运用 到企业经营中来，并开创了一项新的领域实物期权。现在实物期权已从定义、分 类、定价形成了一个体系。早在1 9 7 3 年b l a c k 和s c h o l e s 发表其论文时就指出：金 融期权是处理金融市场上交易的金融资产的一类金融衍生工具，而实物期权是处理一 些具有不确定性投资结果的非金融资产的一种投资决策工具。因此，实物期权是相对 金融期权来说的，它与金融期权相似但并非相同，如实物期权的标的资产是某个项目， 它不存在交易市场，而金融期权的标的资产是期权、期货、债券等可以上市交易的金 融工具。同时，h m r a m 和k u l a t i l a d a 也指出，实物期权是项目投资者在投资过程中 所用的一系列非金融性选择权( 推迟提前、扩大缩减投资获取新的信息等) 。这一 定义除了考虑现金流时间价值为基础的项目价值外，它充分考虑了项目投资的时间价 值和管理柔性价值以及减少不确定性的信息带来的价值，从而能够更完整地对投资项 目的整体价值进行科学的评价。因此实物期权也是关于价值评估和战略性决策的重要 思想方法，是战略决策和金融分析相结合的框架模型。它是将现代金融领域中的金融 期权定价理论应用于实物投资决策的分析方法和技术。自产生来，实物期权理论已广 泛地运用在自然资源投资、海上石油租赁、柔性制造系统等涉及资本预算的研究领域。 根据投资项目的具体情况不同，一些学者对实物期权进行了分类。m y e r s 、 m c g u i g a n 、r r c t h o w 认为实物期权有以下几种形式：投资选择权亦称等待投资期权， 取消项目期权、终止期权、成长期权，t r i g e o r g i s 把实物期权分为开始或扩展期权、 放弃和紧缩期权，等待或减慢或加速发展期权等；d i x i t 与p i n k d y c k 从企业角度出 发将实物期权划分为：延期型期权、时间累积型期权、改变生产规模期权、放弃型期 权、转换型期权、增长期权和交互式期权，并对它们进行了分析。实物期权的分类也 将随着实物期权的发展而发展。 由于实物期权的标的资产是某个项目，而项目本身不存在交易市场，因此也就不 存在套利和复制的闯题。可是期权定价的基础是无套利原则。这本质的区别似乎是标 准的金融期权的定价模型不能用于实物期权的定价。幸运的是s p m a s o n 和 r 。c ，m e r t o n 的理论研究表明，在与标准的i ) c f 法相同的假设下，可以用推导标准 的期权定价模型的方法来建立实物期权的定价模型，这就是说尽管实物期权不存在交 易市场，但其定价过程仍然可以按照金融期权定价的基本思路进行。其后，d i x i t 与 p i n d y c k 指出实物期权定价的理论模型同样建立在非套利均衡的基础上，其核心思想 “在确定投资机会的价值和最优投资策略时，投资者不应简单的使用主观的概率方法 或效用函数，理性的投资者应寻求一种建立在市场基础之上的使项目价值最大化的方 2 堡主笙奎童壁塞主塑壅望塑壑塑墨 一 法一。期权定价的核心思想；复制技术，实物期权定价的关键是在资本市场上寻找一 个与所要评价的实际资产或项目有相同风险特征的可交易证券，称之为“孪生证券”， 并用该孪生证券与无风险债券的组合复制出相应的实物期权的收益特征，就可以按照 建立b l a c k - - s c h o l e s 期权定价模型的同样思路，利用孪生证券的有关资料作为实物 资产价格及其波动率等信息的替代。首先建立起实物资产价格的随机游动模型，然后 推导出实物期权价值运动所遵循的偏微分方程，最后进行求解，得到实物期权的定价 模型。按照期权定价理论，可以采用离散模型和连续模型两种方式对实物期权进行估 价。采用离散模型的估价方法是利用证券市场和现金资产的组合来复制项目现金流， 通过交易市场信息，利用无套利均衡分析方法对项目进行估价。它的定价模型与金融 期权的二项式定价模型相对应。于是可以按照构造金融期权二项式模型的同样思路， 导出实物期权的二项式定价公式。 采用连续方法分析就是引入随机微分方程对实物期权进行分析，从而导出实物期 权连续定价模型。 根据连续方法分析的思路m c d o n a l d 和s i e g e l 给出了可延迟项目的评价方法， m y e r s 等人给出了放弃期权的连续定价模型。此外，c a r r 讨论了分阶段投资期权的定 价问题；k e n s i n g e r 和k u l e t i l a k a 研究了转换期权的定价问题。随着金融数学在金 融理论中的应用，实物勰权的定价模型越来越细分化。实物期权定价的基本思想是通 过与金融期权的对称关系，在金融市场上找到相应的孪生证券，通过二项公式与b s 模型予以解决。 3 实物期权应用的进展 随着实物期权定价理论的发展，实物期权已得到了广泛的应用。它对具有高风险、 不确定性环境下的项目投资决策提供了一种切实可行的评价工具。根据实物期权理 论，一个项目的价值应为：v = 项目n p v + 灵活性价值+ 战略价值。其中灵活性价值用灵 活性期权分析，即用延迟期权、转换期权、弃置期权、规模变更期权对投资项目决策 进行分析。灵活性期权使得公司得以在未来调整投资计划，用于对项目或某项投资决 策中包含的灵活性因素的价值进行挖掘，以帮助决策者识别风险、管理风险，选择最 佳的投资时机，从而更好地评估投资项目和管理项目。战略价值则用成长性期权来分 析，它赋予企业提高未来生产能力或竞争力的机会或可能性，其价值通常体现在企业 系列后续投资机会的价值基础上，即依赖于它所能生产的新的选择机会的价值。因 此，成长性期权往往被作为复合期权来研究。在战略价值上国内有许多学者进行了深 硕士论文多种资产的实物期权问题 入的研究。一是实物期权应用于研发投入( r & d ) 上；二是实物期权应用于兼并收购( m a ) 上；三是实物期权应用于风险投资上；此外实物期权还可以应用于网络公司的分析中， 用于评价高科技战略投资。随着期权定价的发展，实物期权理论的成熟，实物期权的 应用会更广泛。 4 实物期权理论的发展趋势 现代金融理论大量应用金融数学取得了丰硕的成果，形成了有效率的市场理论， 证券组合理论，资本资产定价模型，套利定价理论，期权定价理论，资产结构理论。 这些理论必将促进实物期权理论与定价的发展。 a ) 期权定价模型全面用于实物期权，并且更精确的反映实物期权 现行的金融期权定价模型不能够准确描述实物期权，因为实物期权中的基础资产 几乎全部不是在近似连续的市场上，以可观测的价格进行交易的，因此，寻求新的定 价模型( 如扩展的b l a c k - - s c h o l e s 模型) 以实现包括非交易( n o n - - t r a d a b l e ) 和非观 测性( n o n - - o b s e r v a b l e ) 基础资产在内的期权定价框架是实物期权定价理论研究的关 键。当然这首先要利用鞅理论、微分对策理论及随机最优控制理论等知识更好地对期 权定价模型进行分析，因此金融数学知识更加广泛用于实物期权理论也是它的发展趋 势之一。 b )理论与实物期权理论的结合 近年来国内外一些学者正尝试把经济学中博弈理论与实物期权理论结合起来，建 立一种用于评价投资决策的期权博弈理论，形成一个连续的整体投资项目评价与决策 分析框架。它是在采用期权定价理论思想方法的基础上对包含实物期权的项目价值迸 行估价的同时，利用搏弈论的思想和建模方法，对项目投资进行科学管理决策的理论 方法，是针对传统企业项目投资估价和决策存在的问题和不足提出的。国外的一些学 者在这一方面取得了进展：1 9 9 6 年，t r i g e o r g i s 研究了含有期权方法的抢摊博弈， g r e n o d i e r 对房地产投资的时间安排进行了分析，发展了期权博弈模型。 5 实物期权目曩的研究现状及本文要徽的工作和思路 考虑工业生产中的投资问题，特别是以自然资源为原料的投资。t h o m a s 等人( 文 献 1 ) 已经研究讨论过工厂只生产一种商品的情况。其中的模型是文献 1 5 中模型的 推广，只是在其模型的基础上考虑了“放弃”权利，引入了“停时”，并将收益函数 推广到更一般的情况。对这类模型已有很多研究，如文献 5 6 1 6 1 7 儿1 8 1 9 4 婴主笙壅童壁塑主塑壅塑塑壑塑星 1 4 2 0 等。在这些文献中，主要是采用未定权益方法及动态规划方法，将值函数转 化到非线性微分方程中。在文献 1 中，主要是利用随机控制建立生产和停时的模型 ( 包括用s d e 建立商品价格模型及一般带停时的收益函数) 。采用动态规划方法，利 用一维情况的核验定理，将随机最优控制问题的解转化为随机动态规划中l o b 方程的 解，从而通过讨论得出“最优策略”的具体形式。通过一个具体的收益函数，进一步 说明了“最优策略”的存在性。另外考虑了在股票和期权中的应用。 对一维情况下的投资估价问题，t h o m a s 等人( 文献e l i ) 已经进行了讨论。但在 现实中，往往有两种或两种以上的商品同时生产。对于这种情况目前还没有具体的研 究结果。因此，有必要研究讨论多种商品同时生产时的投资估价问题。 本文主要是将一维实物资产投资问题推广到多维实物资产投资问题，并得到相应 的“最优策略”及其它结论，使之更具有实用性。其中主要采用随机控制建立商品价 格的模型；利用动态规划方法及最优停时理论，将有关值函数的随机最优控制问题的 解转化为相应h j b 方程的解，使求解更容易。 本文考虑工业生产中的多种资产的投资估价问题，特别是以自然资源为原料的投 资。假设工厂生产n 种商品，现要制定一个投资计划，利用该计划将获得的收益取决 于商品价格及生产方式。要求给出投资价格，并给出如何最优地安排生产。商品价格 模型是以随机控制问题提出的。其中必须决定生产率( 即每单位时间的产量) 以及“放 弃”时机的计划。为研究方便，我们假设生产率水平可以在任何时刻任意调整而不会 导致损失，且假定原料不会短缺。 分析中首先是建模( 其中包括最优停时模型) ，关于最优停时问题可参见文献 2 z x 。本文中我们采用随机最优控制模型，通过最优停时理论及核验定理将该模 型的解转化为动态规划偏微分方程的解( 其中的核验定理是在文献 2 和 1 的基础 上，结合本文的具体情况推导的。 2 中的核验定理是用来检验一个给定的容许对是 否最优，或者表明如何构造最优反馈控制。 1 中的核验定理是针对带停时的一维情 况提出的。本文中的核验定理是针对带停时的n 维情况推导的。) 。我们精确地给出了 特殊情况下动态规划偏微分方程的解，并得出“虽优策略”。所得结果的一个重要特 性是：最优策略依赖于参数，不同的参数可能得到在数值上相距极大的结果。类似的 研究参见文献 1 3 1 9 。 硕士论文多种费产的实物期权问题 第一章数学预备知识 在分析之前，我们先回顾一下本文将用到的一些结论。 1 麓机徽分方程的主要结论 1 1 有关b r o w n 运动的某些性质( 参见文献 2 1 2 2 ) 定义1 1 ：由可测空间( q 罗) 到( d ，b ( w 4 ) ) 的可测变换x ( _ - - x t ) 。) 称为 ( g 罗) 上的连续随机过程。 定义1 2 ：概率空间( q 罗，即上的连续随机过程曰= ) 。称为d 维b r o w n 运 动，如果坟= o ，忍是( g z p ) 上独立增量过程：e ( e 一坑) ( 鼠一鼠) = o ( v v s 0 恒有e p ( 日一b ) | 芽) ：e 一抑2 ( h ( 口b 印) 。 ( 这里表示五的转置) 命题1 4 ：( b r o w n 运动的l e v y 振动性质) 设占是励研忻运动，又s - = f 。 f l f 。= s 2 ，a t i = f 一t i ，峨= & + ；一& ， 拈m a x ，蛳那么，雀( 氓) 2 飞一 1 2 _ 2 h ( 岛训。 b r o w n 运动的轨道( 即墨的个样本函数) 虽然是连续的，但却“极不规则”， 硕士论文多种资产的实物期权问题 它们以概率为1 地在任何有限( 时间t ) 区间内都不可求长。 由于b r o w n 运动不可微，故引进i t o 积分。 1 2 i t o 积分的定义和性质( 参见文献 2 1 2 2 ) 定义1 5 - 罗的子盯代数族 z ) 。称为盯域流( 参考族) ，若它对f 是递增的右 连续族，即： 氕c 气，“ 。z ) ；z2 0 z + ! ( - 乃) 定义1 6 ：记v = 电乃为满足下列条件的函数族：f ( t ，国) = ( o ，。】q j r 使得： i ) o ，c o ) 斗，( f ，国) 关于才岁可测，这里才表示【o ，m ) t - 的b o r e l d 代数； i i ) f ( t ，国) 关于z 适应； i i i ) e j o r ( t , m ) 2 d t 。o 。 定义1 7 ：设0 2 ，0 f 1 f 。= 丁为【o ) 刀的划分，满足；丹寸哆勰。( ，j 。一，) 斗0 ，一函数西v 称为初等函数，若它具有如下形式： m ( ，国) = p ，( c o ) z 咻。) ( f ) 定义1 8 ：初等函数中( f ，国) 的，f ；积分定义为： r 似) 也 ) = 勺 ) 哦+ 。一& 定义1 9 ：4 f 如碾则厂( 从s 到丁) 的露占积分定义为： i r f ( t ，) 够 ) = 熙r m 。o ，国) 魍 ) ( 极限在r q ) 上取得) 这里和。) 为初等函数序列使得： 墨f u ( f ，国) 一m 。( f ，国) ) 2 d t 寸o ( 当力一m 时) 定理1 1 0 ( 露占等距定理) 7 硕士论文多种资产的实物期权问题 d ( r 他国2 - 哪几蝴 ，对所有加 d 定理i 1 1 ( 打0 积分的一些性质) 令，g v ( o ，d 且令o s 甜 d ，蚝- ) ：蛾刀月”寸r “ ，盯( ，) ：f 0 ，刃r “寸r “”为满足如下条件的可测函数： l b ( t ，x ) l + p o ，七_ c - c o + l x 睡x r ”，f “o ，明，对某常数c 。 ( 这里b 。= p ，f 2 目使得： 硕士论文多种资产的实物期权问题 1 6 ( f ，功一b ( t ，j ，) l + p ( f ，x ) 一盯( f ，j ，m d t x y l ：x , y j r ”，f 【o ，r 】，对某常数d 。 令z 为一自由变量且独立于由e ( ) ，5 o 产生的盯代数冗，且使得：e o z l 2 】 i 。，尸，联) ，甜( ) ) 称为弱容许控制，且( x ( ) ，甜( ) ) 称为 弱容许二元组，若： i ) ( q 元织l ，p ) 为满足通常条件的滤概率空问； i i ) b ( ) 为定义在( g 罗，仞i 。，p ) j x 的m 维标准占幻肋运动； i i i ) 甜( ) 为( q 罗，尸) 上取值于u 的织) f ：。适过程； i v ) “) 为方程( 1 1 ) 在却( ) 控制下，( q 罗，织) i 。，p ) 上的唯一解； v ) 满足一些指定的状态约束； v i ) 厂( ，“) ，甜( ) ) 易( o ，乃固且厅( d ) 易( g 固。 所有弱容许控制的集合用u l o , t 表示。 在弱模型下的随机控制问题可陈述为： 问题( w s ) ：在 0 ，明上最小化( 1 3 ) 。即：寻求万u l o ，刀使得： 1 1 硕士论文多种资产的实物期权问题 ，o r ) = ，。吩i n f f 0 , r l j ( 万) 2 2 动态规划与h j b 方程的一般结论 ( 1 5 ) 动态规划方法是解决最优控制问题很有力的方法。动态规划方法应用到最优控制 问题的基本思想是：考虑带有不同初始时刻和初始状态的一族最优控制问题，通过所 谓h a m i l t o n - j a c o b i b e l l m a n 方程( h j b ) 建立这些问题问的关系。其中的h j b 方程 是非线性一阶或二阶偏微分方程。若b j b 方程可解，则可通过取h j b 方程中 l t a m i i t o n i a n 或一般h a m i l t o n i a n 函数的最大最小值，得到最优反馈控制，此即核 验方法。其中的h j b 方程是动态规划方法的关键。 考虑2 i 节的强弱模型，有以下两种情形。 2 2 1 有限区间上定常控制问题的值函数及h j b 方程 作一些假设： ( 墨) ，d ) 为p o l i s h 空间( 完备的，具有可列稠子集的度量空间) ，且丁 0 。 ( s 2 ) 映射b ：【o ，刀r ”x u 斗r “，盯： 0 ，t x r “x u 寸r ，f ：【o ，刀x r ”x u 斗r ， h ：r ”斗r 一致连续且存在一常数使得对o ( t ，x ，z f ) = b ( t ，x ，z ，) ，盯( f ，tz ，) ，( f ，t ”) ，矗( 功 有： 肛矿吣置甜扣三卜l ，v 吲o ，刀，t 创，甜u ( 1 。) 【l 西( f ，o ，甜) i 三，v ( t ，) o , t x u 定义值函数：j 矿( 蹦) - 。焉j ，( w ；甜( ) ) ，v ( 5 ，力 o , t ) 胛 ( 1 7 ) 【y ( l y ) = h t y ) ，峙夕r ” 下面的定理是b e l l m a n 最优性准则的随机形式： 定理1 2 1 ( 最优性准则) 令( s ) 一( s d 成立，则值函数矿b y ) 满足： 加蒜川e 忙几川剐删纵蝴+ 矿妇笔只删) ) ) ，v o 名r ( 1 8 ) 堡主堕奎兰登塞主箜壅i 塑墼坚壁 称( 1 8 ) 式为动态规划方程。这个方程非常复杂，直接求解是不可能的。下面的定理 是根据定理l i2 1 推导的值函数矿( ，) 应满足的偏微分方程，此方程更易求解。 定理1 2 2 ( h j b 方程) c 1 2 ( 【o ，t x r ) 为所有连续函数v ：【o 刀r ”斗r 的集合， 其中v 满足：v ，v ，v 。在任意( f ，x ) 处均连续。假定( 墨) 1 一 ：) 成立，且值函数 v c 1 2 ( f o ，刁固，则v 为如下二次偏微分方程终值问题的解； i 一巧+ s u p g ( t ，e 甜，一v ，一o ) = o ，( f ，砷【o , t 】x r ” 蚝u ( 1 9 ) 】y l ，。= 矗( 功，x r ” “ 这里 g ( 7 ，x , 1 1 ，p ，p ) 2 j 1 护( p e r ( t , x ，甜炒o ，t ) 7 ) + - - f ( t ，e 蕾，) ， ( 1 1 0 ) v ( t ，x , ，p ，p ) 【o ，】x r “u r “s ” 其中， 为“内积”。 h j b 方程( 1 9 ) 表明，在动态规划方法中，随机情况中的一般h a m il t o n i a n 函数g 所起的作用举足轻重。自然希望如下随机情况下的定理成立，此即随机情况下的核验 定理。 定理1 - 2 3 ：令( 墨) 和p ：) 成立，令v c 1 2 ( 【o ，t x r “) 为h j b 方程( 1 9 ) 的解，则： v ( s ，y ) j ( s ，j ，；卵( ) ) ，v u ( - ) u ”i s ，】，o ，) e 【o ，刀r ” ( 1 1 1 ) 而且，容许对( h ) ，甜( ”对问题( ) 最优，当且仅当 q o ，x ( t ) ) = m a x g q ，f ) ，努( f ) ，_ 叱( f ，】( f ) ) ，一o ，x ( t ) ) ) = g ( t ，x ( f ) ，打o ) ，一v ，o ，x o ) ) ，一，。( f ，x ( ，) ，) ) a e t 【s ，丁 ，p 一口j ( 1 1 2 ) 其中： 问题( ) ：对给定o ，y ) 【o ，t x r ”在u ”i s ，刀上最小化( 1 1 4 ) 使( 1 1 3 ) 成立。 系统： 篓) ：6 ( h 哆o 渺托 川妇( f 归( f ) ，旭i s , t 】 ( 1 1 3 ) l x j j = y 堡主笙奎垒茎车主苎壅塑塑壑塑壁1 一 成本函数：，( s ，y ；群) ) = e 酊厂( ，x ( f ) ，甜o ) ) 衍十 叮) ) j ( 1 1 4 ) 2 2 2 无限区间上定常控镧同题构值函数及h j b 方程 设厂：r n u _ 尺n ，f 。：r n u - - r ，五 o ( 为折扣因子，其意义为作为决策者， 在制定性能指标时，更着重考虑近期的目标，因为一定时期以后，性能指标往往需要 修改。) 系统勰 p o ( ：；罂量托p 棚 q 蝽 性能指标： s a u ( ) ) = f 口一“，。( y 。( f ) ，钟( f ) ) 馥 ( l1 6 ) 值函数： y ( 功= 。i 【日n ，f ，矗 ( ) ) ( 1 1 7 ) 定理1 2 4 ( 最优性准则) 对任何工r ”，以及f 0 下述等式成立： 矿【力= ”) e i n 。f 一f 1f e - 2 * ，。；( f ) ，1 l ( f ) 矽f + e “矿o z ，) ) 1 1 8 定理1 2 5 ( t u b 方程) 设值函数矿( ) e c l 僻“) ，则它满足下面的h j b 方程： 旯矿( x ) 一日( t 圪( 功) = o ，x r 4 其中： 曰( x ，) = 赠杪。( 甜) + ( ，打砖v ( x ，力r “ ( 1 1 9 本文中讨论的是带停时的最优控制问题，不能简单地根据上述结论推导本文中的 有关结论。下面即为最优停时理论中的一个重要结论。 3 量优傅时理论的变分不等式( 参见文献 2 1 ) 固定区域矿r ，令只中的加扩散为： 蟛= 6 ( y r ) 衍+ 盯( e ) 西，；k = y 定义：t = r f y , 国 = i n f t o ；z ( 缈) 隹v ) 令：r 寸r ，g ：r 专尺连续且满足如下条件： ( 1 2 0 ) ( 1 2 z ) 1 4 硕士论文多种资产的实物期权问题 a ) e 哂l j ( y , ) i d , j g ( 功) 假定e 在0 1 3t 的逗留时间几乎为0 ，即： i i i ) e r z a d ( r ) 刎= 0 对所有y 矿。并假定 i v ) a d 为l i p s c h i t z 面，即o d , 屉j 部地为函数h ：r ”专r 的图，使得存在k 啦z 芒d o ，6 ( 置) = p 。( 置) p z ，( 墨) p 。( 墨) b ：( 一) 如( 置) p 。：( 置) 满足以下假设 ： 假设4 ：b ：群- - - 群，1 9 ：群- - 肜4 为给定的函数，使得( 2 1 ) 有取值于群的唯 一强解。( 唯一性条件见第章定理1 1 7 ) 设生产率过程为任意过程甜c ，而放弃时间为任意停时f f 。容许策略集刀为 所有满足却c 和f f 的两元组 ，f ) 的集合，其中却= “盯：n y ，甜，表示第f 种商品的生产率g = 1 , 2 ，一j 功。为讨论方便，只考虑比较简单的情况，即f 为n 种商品 同时放弃生产的时间。对任意容许策略 ，f ) 1 - ，收益函数为： n叫叫iij 几纵 氏 = ) x盯 、，p 一五 t 玩如 以 堡主堡奎兰翌塞兰塑塞塑塑壑塑垦一一 以( 以r ) = e r e “五( 置以) a t + 。r ”g ( 以) ) ，( ，为折现因子) ( 2 2 ) 这里，h ：剧铭一r ，g ：联寸r 为给定函数，由实际问题决定。若( x ，都) 彤铭 r x 表示商品价格，“表示商品生产率，则h ( x ，甜) 表示商品的运行收益。- g ( x ) 表示 商品的目标放弃成本( 即商品在f 停止生产时，所造成的损失) 。 注：从金融观点来看，放弃成本不应该依赖于商品价格，只要模型确定，放弃收 益( 即放弃商品的生产时所产生的收益) g 应为常数。这里我们考虑一般性的非常数 g ，并没增加额外成本。 控制问题的目标是：求 ，f ) 石使收益函数以 ，r ) 最大化。 对初始值x ，称以 ，f ) 的上确界为控制问题的值函数。即： 以功= s u pj x ，力 ( 2 3 ) 下面对h 和g 作适当的假设，以保证在无套利假设下讨论最优化问题。 假设4 ：运行收益函数上半连续且若h ：群_ r 为如下定义的函数： 域x ) 2 1 黔 ( x ，甜) ( 2 ，4 ) # z 则： 盯e “陬置) 陋 o 成立，同时给定任一x o ，放弃收益占满足： e 2 p p f 0 且 f x - - x o l 艿时就有，( 力 0 ( 正定) ，v x 殿；且 存在常数c j i 使得：眠y 慰有 1 6 ( x ) 一6 0 ) l + l 盯( x ) 一盯( 力i c k y l 俐+ 劁+ 俐+ l 铡幽舳卢垅州 其中： 俐+ l o 融h ( x ) j + 动( 功 晓 岫( 卅俐+ 两( 功、 砖i a 吒( x ) l 百l0 2 b ( x ) 一 i 钒一 o h m ( x ) i 百1 a 2 6 ( 力 融j a 】c | a 2 b ( x 1 a c j a x , 0 2 6 ( 曲 瓠1 瓠l 鬻= 毒( 掣h 刊 一l ：一i l r 钙钒钒l 鸭j 叫。 c 6 + 盯) o