（理论物理专业论文）随机理论在生物马达蛋白和fhn神经模型中的应用.pdf

硕士学 主论文 q l ：一! rsr ：l j ! ：! 摘要 ， 、非线性系统中噪声所产生的各种重要效应，如噪声诱导相变、随机共振现 象、非平衡涨落诱导输运等为随机理论开辟了十分广阔的应用前景。近年来， 利用这一理论进行的生物研究渗透在生物物理学中的许多领域。如在分子生物 物理中的蛋白质折叠、细胞生物物理中的蛋白输运、神经生物物理中的电神经 系统，离子通道等等方面的应用成为国际理论物理与生物物理学界研究的重要 前沿课题之一。 为此，) 我们对随机理论在生物马达蛋白和f h n 神经模型上的应用进行了 较深入的研究，取得了一些有重要意义的成果，特别是发现：涨落势的幅值和 关联强度对蛋白输运起着相反的作用；噪声诱导f h n 神经电位的锁定现象； 噪声关联导致双稳系统对初始状态的记忆功能；噪声作用下全局耦合f h n 神 经网络的共振和相变现象。现在我们集中报导对随机理论在生物马达蛋白和 f h n 神经模型上的应用所进行的一系列的研究主要有以下四个方面：涨落势 诱导生物马达蛋白输运；噪声诱导f i - - i n 神经模型相变；噪声关联对双稳系统 随机共振现象的影响；全局耦合的f h n 神经网络的随机共振和同步共振。： 首先，我们对生物马达蛋白的输运问题进行了研究。考虑在随机力和随机 势的共同作用下，建立了马达蛋白所满足的非线性运动方程，并得到了系统的 几率流密度。着重分析了随机势的强度和关联长度对蛋白质输运的影响。研究 发现：d i 势的幅值和关联长度在蛋自输运中起着十分特殊的作用。、j 我们首次研究了电神经信号系统中噪声诱导相变问题。首先介绍了神经系 统的二维动力学模型，即f h n 模型，接着考虑引入乘性噪声后，f h n 神经模 型变为一个特殊的双奇异随机系统，研究了该系统的相变情况，同时得出了嗓 声强度临界值的解析表远式，着重分析了噪声的奇异性标度和噪声强度对神经 细胞内电位的概率分布以及电位的平均值的影响。研究发现：在双奇异的f h n 神经模型中，当奇异性标度增大到一定程度时，神经电位被镇定在静息电位 利用随机共振理论，我们研究了在乘性和加性噪声以及周期性驱动力共同 作用下的双稳系统的随机共振现象。嵩虑了两种情况：一种是乘性和加性噪声 硕士学位论丈 m s t f rst l ! s i j 之间不存在关联的情况。另一种是两噪声之间存在关联的情况。得到了两种情 况下s n r ( 信噪比) 的表达式。利用该表达式并通过数值计算，发现s n r 存 在极大值，即系统有随机共振现象存在。“主要的令人意外的新发现”在于，当 噪声之间存在关联时，噪声关联导致系统对其初始位置产生了记忆，导致信噪 比强烈地依赖于初始条件。( p h y r e v e 审稿人语) 在对f f i n 神经模型的共振现象研究中，我们考虑一个存在耦合的多个神 经细胞相互作用的神经网络，利用平均场理论和概率跃迁理论，得到了神经系 统在无信号和有周期性信号的两种情况下的静息电位。发现了由于耦合的存 在，增大噪声强度会导致相变。同时进一步研究了在无信号输入的情况下，神 经系统的激发率随噪声强度和耦合强度的变化，发现了在一定的噪声强度的作 用下，神经系统的激发率到达一个峰值，即存在“同步共振”的现象。而在存 在周期性信号输入的情况下，得到神经系统在驱动频率下的响应幅值的表达 式，发现在噪声的作用下它也存在一个峰值，从另一个角度说明了“随机共振” 现象的出现。、 关键词：噪声随机共振马达蛋白，神经系统 、 硕士学位论文 a b s t r a c t v a r i o u si m p o r t a n te f f e c t sb r o u g h t b y n o i s ei nn o n l i n e a rs y s t e m s ，s u c h 鹋n o i s e i n d u c i n gp h a s et r a n s i t i o n ，s t o c h a s t i cr e s o n a n c e ，n o n e q u i l i b f i u mf l u c t u a t i o n - i n d u c e d t r a n s p o r t , o p e nu paw i d er a n g eo fa p p l i c a b i l i t yo f t h es t o c h a s t i ct h e o r y t h e s e y e a r s ，b i o l o g i c r e s e a r c hw i t ht h i st h e o r yh a sp e r m e a t e di n t os e v e r a lf i e l d si n b i o p h y s i c s f o re x a m p l e ，t h ea p p l i c a t i o n i np r o t e i n f o l d i n gi nm o l e c u l a rb i o p h y s i c s ， p r o t e i nt r a n s p o r ti nc e l lb i o p h y s i c s ，e l e c t r i c a ln e u r o ns y s t e m s a n di o n i cc h a n n e li n n e u r o n b i o p h y s i c s h a sb e c o m eo n eo ft h e i m p o r t a n t f o r w a r d s u b j e c t s i n i n t e r n a t i o n a lt h e o r yp h y s i c sa n db i o p h y s i c s t h u s ，w eh a v ed e e p l ys t u d i e dt h ea p p l i c a t i o n so fs t o c h a s t i ct h e o r yi np r o t e i n m o t o ra n df h n n e u r o nm o d e l ，a n do b t a i n e ds o m ei m p o r t a n tr e s u l t s ，e s p e c i a l l yt h e o p p o s i n gr o l eo ft h ea m p l i t u d ea n dc o r r e l a t i o ns t r e n g t hi np r o t e i nt r a n s p o r t , t h e l o c k e dp h e n o m e n o ni nf h n n e u r o nm o d e 】t h ed e p e n d e n c eo ft h ee f f e c to ni n i t i a l c o n d i t i o n ，t h ep h a s et r a n s i t i o na n d r e s o n a n c ei ng l o b a l l yc o u p l e dn e u r o ns y s t e m i n t h i st h e s i s ，t h ei n v e s d i g a f i o n so f t h ea p p l i c a t i o no f s t o c h a s t i ct h e o r yi np r o t e i nm o t o r a n df h nn e u r o nm o d e la r cs y s t e m m i c a l l yr e p o r t e d , w h i c hi n c l u d ef o u ra s p e c t s ： e f f e c t so f r a n d o m p o t e n t i a lo n m o t o r p r o t e i nt r a n s p o r t ；n o i s e - i n d u c e d t r a n s i t i o ni na f h nn e u r a lm o d e i ；s t o c h a s t i c r e $ o r l a n c ei nab i s t a b l e s y s t e ms u b j e c t t o m u l t i p l i c a t i v ea n d a d d i t i v en o i s e ；c o h e r e n c ea n ds t o c h a s t i cr e s o n a n c ei nag l o b a l l y c o u p l e d f h nn e u r a lm o d e l 1 1 坼t r a n s p o r to fm o t o rp r o t e i ni s s t u d i e d af u n d a m e n t a ln o n l i n e a rm o t i o n e q u a t i o na b o u tm o t o rp r o t e i ns u b j e c tt o r a n d o mf o r c ea n dr a n d o mp o t e n t i a li s d e r i v e d t h ee x p r e s s i o no ft h ep r o b a b i l i t yf l u xo ft h i ss y s t e mw a so b t a i n e d i ti s f o u n dt h a tt h ee f f e c t so ft h er a n d o mp o t e n t i a lo nt h et r a n s p o r tp r o c e s s 嬲t h e a m p l i t u d eo f r a n d o mp o t e n t i a li n c r e a s e da r cm u c hm o r er e m a r k a b l et h a nt h o s ea s t h ec o r r e l a t i o nl e n g t ho fr a n d o mp o t e n t i a li n c r e a s e d t h ea m p l i t u d ea n dt h e c o r r e l a t i o nl e n g t ho fr a n d o mp o t e n t i a lp l a yo p p o s k n l gr o l e si nt h et r a n s p o r to ft h e m o t o r p r o t e i n w e f i r s t l yd r a w t h ev i e w p o i n to f t h en o i s e - i n d u c e dp h a s et r a n s i t i o ni n t oaf h n n c o r a lm o d e l w ei n t x o d u c oat w o - d i m e n s i o n a lm o t i o nm o d e lo fn e u r a ls y s t e m , f h nn e u r a lm o d e l n 把n b yu s i n go f a d i a b a t i c e l i m i n a t i o nm e t h o da n dt h ep r e s e n c e 、 硕士学位论丈 ) ：f rst 1e ! ) o fn o i s e t h es y s t e mb e c o m e sas p e c i a ld o u b l es i n g u l a rs t o c h a s t i cs y s t e m t h e e f f e c t so fp a r a m e t e r p w h i c hm a 出st h es i n g u l a rd e g r e eo fs t o c h a s t i ca ts i n g u l a r p o 妇，o n t h e p h a s e t r a n s i t i o no f t h ef i 矾m o d e li sd i s c u s s e d w h e n pi sn o n - i n t e g e r i ti ss h o w nt h a tt h ep a r a m e t e r p p l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei np h a s et r a n s i t i o no f t h e s y s t e m a n dt h e r ei sai o c k i n gp h e n o m e n o n i nt h ef 蛐nm o d e l t h es t o c h a s t i cl 它s o r l a n c e p h e n o m e n o n i nab i s t a b l e s y s t e m u n d e rt h e s i m u l t a n e o u sa c t i o no fm u l t i p l l i c a t i v ea n da d d i t i v en o i s ea n dp e r i o d i cs i g n a li s s t u d i e db yu s i n gt h et h e o r yo fs i g n a l - t o - n o i s e ( s n r ) r a t i oi nt h ea d i a b a t i cl i m i t t w oc a s e sh a v eb e e nc o n s i d e r e d ：t h ec a s eo fn oc o r r e l a t i o n sb e t w e e nm u l t i p t i c a t i v e a n da d d i t i v en o i s ea n dt h ec a s eo fc o r r e l a t i o n sb e t w e e nt w on o i s e s 1 1 1 ee x p r e s s i o n s o f t h es n rf o rb o t hc a sa r eo b t a i n e d t h ce f f e c t so f i n t e n s i t yo f m u l t i p l i c a t i v ea n d a d d i t i v en o i s ea n dt h ei n t e a s i t yo ft h ec o r r e l a t i o i l sb e t w e e nn o i s e so bt h es n r a r e d i s c u s s e df o rb o t hc a s e s i ti sf o u n dt h a tt h ee x i s t e n c eo f am a x i m u mi nt h e 眦i s t h e i d e n t i f y i n g c h a r a c t e r i s t i co ft h es rp h e n o m e n o n 叮1 托m a i n - - - u n e x p e c t e d - n o v e l t y i st h ed e p e n d e n c eo ft h ee f f e c to ni n i t i a lc o n d i t i o n ”( r e p o r to fn 璩 p h y s r e v er e f e r e e ) i kc o h e r e n c er e s o n a n c e ( c r ) a n dt h es t o c h a s t i cr e s o n a n c e ( s r ) p h e n o m e n o n i na g l o b a l l yc o u p l e df i t z h u g h - n a g u m o n e u r o n sm o d e la r cs t u d i e d i nt h ea b s e n c e o f s i g n a l s ，t h e r ei sat r a n s i t i o np h e n o m e n o n i nt h e f i r i n gr a t ew h i c h i so n l yo c c u r r e d u n d e rc o n d i t i o no ft h e c o u p l i n gb e t w e e ne a c hn e u r o nu n i t s ，a n dt h e r e a r et w o ， r e g i o n si nt h et r a n s i t i o nd i a g r 狮o f n o i s ei n t e n s i t ya n dc o u p l i n gs t r e n g t hp l a n e ：o n e i st h en o n - s e n s i t i v et ob o t hn o i s ei n t e n s i t ya n d c o u p l i n gs t r e n g t hr e g i o n ，t h eo t h e r i s t h es e n s i t i v eo n e 1 ke x i s t e n c eo fa p e a k o ff i r i n gr a t ei st h e i d e n t i 伽n g c h a r a c t e r i s t i co ft h ec rp h e n o m e n o n i nt h e p r e s e n c eo fp e r i o d i cs i g n a l ，t h e e x p r e s s i o no f t h es p e c t r a lp o w e r a m p l i f i c a t i o no f n e t w o r km o d e li so b t a i n e d , a n d t h es rp h e n o m e n o ni sa l s of o u n di nt h e g l o b a l l yc o u p l e df i t z h u g h - n a g u m o n e l l r m 塔m o d e l k e y w o r d s ：n o i s es t o c h a s t i cr e s o 蝴m o t o r p r o t e i n n e u r a ls y s t e m i 士学位论文 s ? f psr ： is i 第一章引言 十九世纪下半叶统计物理作为一门新兴的分支学科进入了物理学。玻尔 兹曼著名的等概率原理和玻尔兹曼方程【1 】为统计物理的创立奠定了基础。玻尔 兹曼、麦克斯韦【2 】等人将概率的语言引入被决定性理论统治的物理学，是物理 学发展史上的一场革命。二十世纪初，吉卜斯系综理论的建立，标志着平衡态 统计物理理论已趋成熟p j 。 整个二十世纪，量子力学、相对论和统计物理的建立和发展，代表了物理 学在探索基本粒子的微观世界、宇宙天体的宏观世界和耗散不可逆的复杂性这 三个最主要的前沿。特别是统计物理的研究对象覆盖了各种不同的空间和时间 尺度的过程，与人们的日常生活紧密联系，这一分支的前沿发展正引起广泛学 者的密切关注和强烈兴趣。 爱因斯坦对布朗粒子运动的开创性研究【4 ，习和著名的朗之万( p l a n g e v i n ) 方程i q 的建立，开始了统计物理探索非平衡系统的动力学行为的重要阶段。从 此，把随机性作为一个专门的对象：研究随机力的性质以及它对各类宏观系统 的影响，成为统计物理的一大分支。 本世纪下半叶非线性科学的蓬勃发展是整个自然科学领域的一件大事。 这一发展使统计物理大大开拓了自己的领域，得到了新的强劲的发展动力。7 0 年代起，研究随机力对非线性系统的作用也成了非线性科学发展和现代统计物 理理论的一个重要前沿叨。8 0 年代起，研究噪声对非线性系统的作用也成了非 线性科学发展和现代统计物理理论的一个重要国际前沿。特别是近二十年来， 对噪声作用下的非线性随机系统的研究取得了一些重大的突破不断有一些重 大的研究发现，如随机共振伫9 4 6 】、涨落诱导输运0 - 2 5 峙。这些重大的研究发现 不仅引起了世界各国的科学家特别是国际理论物理学界的高度重视和关注而 且标志着非线性随机动力学理论的研究进入了一个崭新的发展阶段，并为非线 性随机动力学理论开辟了十分广阔的应用前景。特别是在生物学方面，如神经 细胞的电信号系统、蛋白质分子马达的输运、蛋白质大分子的折叠等领域得到 了广泛的应用成为现代理论物理与生命科学相交叉的一个重要结合部，大大 硕士学垃论丈 、? = rst 、：s ：j 推动了生命科学的进程，同时也成为这些相关领域的新的研究增长点。 1 1 随机层次描述与随机力 在物理学中，可以从微观、宏观和随机三个层次来描述一个物理系统， 即所谓的微观层次、宏观层次和随机层次哺l 。微观层次描述给出了系统演化的 详细信息，然而对于轨道的长时间行为、多个自由度的哈密顿系统或是外界环 境不断变化等多种情况这种描述是不现实的。宏观层次描述给出了各种可能 的微观轨道的统计平均，也就是宏观物理量的信息。然而，要用宏观层次描述 求出微观粒子运动对宏观变量的影响，即微观作用却是不可能的。首先，这一 作用与宏观变量相比是很小的；其次，既然它反映了微观世界的运动对宏观变 量的影响，它变化的时间尺度与宏观运动相比要小得多；从而这一影响可以看 成快速变化、随机、不可预言的。所以人们又形象的把这类影响叫作“随机力”、 “噪声”或“涨落力”。我们可以在宏观方程主。= f ( 量) ，其中x ，为宏观物理量， j - 1 , 2 ，h ，的基础上通过引入随机力户( 功来考虑微观运动对宏观变量的影 响。 王。= p 。( 王，( ，) ) 多e 中f = 1 , 2 ，一 ( 1 1 ) 这就是物理学对复杂系统介于微观和宏观层次之间的一种描述。我们把它 叫做随机层次描述。与微观层次相比随机层次的数学处理要简单得多。它与 宏观方程一样，只考虑n 个宏观变量( h 2 。将( 1 t 6 ) 代入( 1 1 5 ) ，得到 d l ( f ) = f ( x ，t ) + p g 0 ，t ) g ( x ，0 ； d 2 ( x ，0 = d 9 2 0 ； 见“，) = 0 其中一3 。 ( 1 1 7 ) 从而克莱默斯莫依尔方程在二阶偏微分上自然截断为 7 硕士学位论丈 j ：f ：rst ：s i j t a p ( x , t ) = 一丢【，( 蹦) + d g ，( 咖( 刈) 卅喀咖，) 肿】 ( 1 1 8 ) 这个方程就叫福克( a d f o k k e r ) 普朗克o “p l a n k ) 方程( f p e ) 。从f p e 出 发，我们可以研究随机过程中的很多重要问题。如分布函数的定态解，分布函 数随时间的演化，粒子的逃逸问题，噪声诱导相变等。在我们以后的讨论中可 以看到，福克普朗克方程占有极其重要的地位。 1 3 生物学研究中的随机层次 物理学与生物学的互相渗透与结合已有一段漫长的历史。例如，早在1 7 世纪，b o r r e l i 就曾在他所著的动物的运动一书中利用力学原理分析了血液 循环和鸟的飞行问题：1 8 世纪g a l v a n i 通过青蛙神经接触两种金属引起肌肉收 缩这一著名实验，揭示了生物电现象：1 9 世纪，m a y e r 从热、功和生理过程的 关系研究建立了能量守恒定律等等。然而，物理学与生物学比较系统和深入的 结合却是在1 9 世纪物理学在诸多领域取得重大成就之后。尤其是物理学理论 中非平衡态统计物理和非线性科学的发展，为解释生命现象的本质创造了条 件，亦为包括生物学在内的自然科学走向大一统的理论框架开辟了道路。而这 一新兴学科中利用随机理论进行的研究更是渗透在生物物理学中的许多领域。 如分子生物物理中的蛋白质折叠、细胞生物物理中的蛋白输运、神经生物物理 中的电神经系统，离子通道等等方面的应用都取得了相当不错的结果。 本文主要是作者近几年来对非线性系统中随机理论的若干问题以及它在 生物物理中的几点应用的一些工作。 s 2 s 4 1 主要有以下四个方面： 一、对生物马达蛋白的输运问题的研究。考虑在随机力和随机势的共同作 用下，建立了马达蛋白所满足的非线性运动方程，井得到了系统的几率流密度。 着重分析了随机势的强度和关联长度对蛋白质输运的影响。 二、对电神经信号系统中噪声诱导相变的研究。首先介绍了神经系统的二 维动力学模型，即f h n 模型接着考虑引入乘性噪声后，f h n 神经模型变为 硕士学位论文 a s ? e rst | i es 【s 一个特殊的双奇异随机系统，研究了该系统的相变情况，同时得出了噪声强度 临界值的解析表达式，着重分析了噪声的奇异性标度和噪声强度对神经细胞内 电位的概率分布以及电位的平均值的影响。 三，利用随机共振理论，研究了在乘性和加性噪声以及周期性驱动力共同 作用下的双稳系统的随机共振现象。考虑了两种情况：一种是乘性和加性噪声 之间不存在关联的情况，另一种是两噪声之间存在关联的情况。得到了两种情 况下s n r ( 信噪比) 的表达式。利用该表达式并通过数值计算，发现s n r 存 在极大值，即系统有随机共振现象存在。同时首次发现，当噪声之间存在关联 时，噪声关联导致系统对其初始位置产生了记忆，导致信噪比强烈地依赖于初 始条件。 四、对f h n 神经模型的共振现象的研究。考虑一个存在耦合的多个神经 细胞相互作用的神经网络，利用平均场理论和概率跃迁理论，得到了神经系统 在无信号和有周期性信号的两种情况下的静息电位。发现了由于耦合的存在， 增大噪声强度会导致相变。同时进一步研究了在无信号输入的情况下，神经系 统的激发率随噪声强度和耦合强度的变化，发现了在一定的噪声强度的作用 下，神经系统的激发率到达一个峰值，即存在“同步共振”的现象。而在存在 周期性信号输入的情况下，得到神经系统在驱动频率下的响应幅值的表达式， 发现在噪声的作用下它也存在一个峰值，从另一个角度说明了“随机共振”现 象的出现。 本文以下的内容就是按以上四个方面进行安排的。 9 硕士学? i 沦丈 v 二、：r isr l i 【s 第二章生物马达蛋白中的输运问题 目前，对周期结构系统中布朗粒子在涨落( 噪声) 驱动下的运动成为非线 性随机理论的国际前沿课题，并取得重大突破：非平衡涨落诱导输运。 9 - 1 4 , 5 3 - 6 1 】 这一发现不仅标志着非线性随机理论的研究进入了一个崭新的发展阶段，而且 为非线性随机理论开辟了十分广阔的应用前景。特别是近年来将这一理论运用 于细胞生物学中的马达蛋白的传输过程，取得了巨大的成功【9 一仉b 4 1 ，成为国 际非线性科学界、统计物理学界和细胞生物学界举世瞩目的课题【1 1 1 2 】。 2 1 生物马达蛋白的动力学模型 生物体中的马达蛋白( 也称分子马达，m o l e c u l a t m o t o r s ) 可高效率的将储 藏在三磷酸腺苷( a r p ) 分子中的化学能转变为机械能，沿其相应微管( 丝) 做定向运动。如肌动蛋白( k i n e s i n s ) 沿着微管( m i e r o t u b u i e ) 运动。最近一系 列研究阐明了在非对称势位势中有色噪声可产生定向运动。系统利用非平衡涨 落的力量做功，作为一种可能的解释，将生物马达蛋白把化学能转变为机械鸵 产生协调定向运动的现象，看作是非平衡涨落驱动的结果，并假定有色噪声来 自于a t p 水解。 首先将研究对象肌动蛋白抽象为布朗马达( 可以傲功的布朗粒子) 。肌动 蛋白具有双头构别”】，当其中一“头”与微观接触时，与微管发生相互作用， 受到一定偏压，促使其另一头在微管上“迈”向下一个结合点。实验证明口6 - a t p 水解均发生在蛋白脱离微管之前。从单个肌动蛋白运动中【l 刀观测到它每次跳 跃8 n m ，恰与微管的单元节长度相同，因此可合理认为马达蛋白沿微管单向的 从上一个单元到达下一个单元。在这种意义下，布朗马达一方面看作是在内部 噪声无规驱动下的布朗离子，另一方面有可作为把外部涨落的能量转化为机械 能，产生协调运动的马达。 a s t u l m a l l 和b i e r 【9 】假设了一个马达蛋白在周期分段线性势中的运动模 型，预测了s v o b o d a 等人【5 2 】所提供的实验数据。蛋白质分子的在一维情况下的 运动模型可以由如下朗之万方程给出 1 0 硕士学位论文 u a s t e rst h e s ls 出，d ，2 - o u ( x ，t ) i 敦+ 掌0 ) 其中善o ) 代表高斯白噪声满足 - 0 = 2 k t d f ( t s ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 文献 9 】中，势函数u ( x ，r ) 经历了两种情况下的涨落。其一是涨落力 o u o ，t ) t o x = o u o ( 工，t ) i c 矗+ f ( t ) ，( 2 3 ) 其中f ( t ) 在+ a v ( t ) 和一a v ( t ) 之间以周期f 涨落。其二是涨落栅栏 o u ( x , t ) a x = 烈u o ( x ，) + ( 善，t ) ) a x ， 且“( 工，0 取值为+ l r 和一”。但是现在同时考虑两种情况： o u ( x ，t ) l o x = a u o ( x ) + 刁( 工) 】，a x f ( f ) ， ( 2 5 ) 图2 1 棘轮势 其中砜( 为周期性分段棘轮势，势阱高为q ，周期为l 且有参数卢( 如 图2 1 ) 。巩砷为d i 势，f ( f ) 为周期为f 幅值为a 的慢方波外力。为了得到 l l j i 士学j _ 主论文 、i s ：e rsth s s is 由涨落导致的定向漂移，势函数必须在某一边更加陡峭，例如，参数卢l 2 。 这里，取口 l 2 。 2 2 几率流密度和随机势 最近，为了在非平衡的物理和生物系统中寻找能量传输的普遍原则，人们 开始关注在时间关联涨落中的关联棘轮系鲥9 t 1 3 , 1 4 , 1 札1 1 。并已经证明时间关联涨 落与系统的空间不对称性相互作用可以有效的促进输运【1 。而且，短暂的不对 称驱动力可以在势函数空间对称的情况下导致系统的关联棘轮m 】。 已经有大量研究噪声的工作考虑随时间变化的涨落，但很少人以依赖于空 间变量的涨落为研究对象。最近，依赖于空间变量的涨落由d u n l a p 等人提出 2 2 “】。他们研究的是一个质量为m ，带电量q 的经典粒子在外加电场e 。坐标为 x 的一维无限空间的非线性运动，依赖于空间变量的随机静态空间势函数u ( x ) 的周期为l 。考虑一个过阻尼布朗粒子的运动方程为 妾：一掣+ f ( ，) + 貅 出出 ( 2 1 4 ) 具中f ( f ) 是具有时i 司周期性的外力，善( f ) 是系统的一个具有零平均的热噪 声，满足 ( 孝( o ) f = o ，( 善( f ) 善( j ) ) f = 2 k t 3 ( t j ) - ( 2 1 5 ) ( ) f 代表对噪声善( f ) 的平均a 对应的f p e 可写成 1 0 p ( x 广, t ) = 一未m ，) ( 2 “) 其中几率流密度j ( x ，t ) 为 以列) = ( 一d t 忑j ( x 一) + f ) p 阮。一灯昙p “f ) ( 2 1 7 ) 1 2 、 硕士学位论文 sr e 851 “1 5 1 1 一一一一一一：= ：- = 。：= = = - ：一 一一t ：一? = ! 一一一。 在定态解中，概率分布函数p ( x ，r ) _ p ( z ) ，几率流密度，( x ，f ) _ j 为常数 于是，有 p c 曲：。x p - 丛专旦 一言讲学 计鲁c y 一曲p 陀1 8 ) 从( 2 1 7 ) 利用p ( 工，| ) 的归一化条件和周期性条件 j 肿) 办- l ， 肿心2 p ( 砷 ( 2 1 9 ) 可以得到定态几率流密度的表达式 ，：皿二型二咀 ( 2 - 2 0 ) j e x p ( - f y t k t ) c ( l ，力毋 其中有限空间关联函数c ( l y ) 由下式给出 c 以加弘d 一半卜 2 ” 可以看到，关联函数取决于系统的势函数。根据文献【2 3 1 ， u ( 对= u o ( x ) + ，7 ) ( 2 2 2 ) 其中u 。( 曲为周期为l 的确定性的部分，叩o ) 为依赖于空间变量的小涨落。 有限空间关联函数的平均可写作 t c 以y ”。；d 一华h 一掣d 。出 。 ( 2 2 3 ) ( ) 为对随机势的平均。几率流密度可表达为 硕士学位论丈 s ：f rst _ e 5 is ，；_ 巫塑生堕丝巫一 f e x p ( 一毋k t ) 。咖 o ( 2 2 4 ) 考虑随机势叩( x ) 仅取相差2 a 的两个分立值，沿着一维空间做随机的不连 续跳跃，且 刁( x ) = ( 一1 ) 州， ( 2 2 5 ) 其中函数j 7 ( 的随机性由随机函数n ( x 。，石：) 决定。n ( x 。，屯) 表示在x = 而和 工= x 2 之间势函数在+ 和- a 两值之间的跳跃次数。随机函数订( 一，屯) 的平均 值为 n ( ，x ：) 2 i x ：- x , i f ， ( 2 2 6 ) 其中关联长度为跳跃问的平均长度。n ( x l ，0 ) 满足泊松分布。i x n ( x 。，工：) 的 特性，可直接计算得巩x ) 的关联函数： 丽= 岔州2 卜屯1 1 1 ) ( 2 2 7 ) 叮0 ) = ， r 2 2 8 ) 于是巩童) 称d i 势( 叉状分支势) 。对d i 势求平均 ( d 一煎生二；筝业) ) 。= c 。s h 2 t 舍卜e d 一芋) s 弛2 ( 舍) 。2 因为陬x ) 1 2 “= a 2 。且k x ) r = 厶p 刁( 砷，于是含d i 势的有眼空间关联函数 可写作 1 4 硕士学位论丈 m s ：e rst _ 1 e s 【s (c(三y)口2cosh2(舍)一眈磐)cz3。，x h 一坐铲p 2 3 随机势诱导生物马达蛋白的输运n 日 ( c ( 幻炉卜k l 鞯i 驯1 c 1 j + ( ：- f 1 ) e x ( 剖，动i 卢e d 南_一南y j ， j ( f ) ：k t 1 - e x p ( - f l k t ) ”i + 2 + “3 + “4 ( 2 3 3 ) ”芦c 础2 ( 舍 ( 南一言) - l 叶临一南) 工 一1 ， 。2 埘， “：= 叩s t 曲2 ( 舍 ( 一言一手+ 与 。1 x m e 万f 手驯一) ， ， 硕士学位论文 、s ：e rsr i l ! s 【s “，= c 一声，c 。s h 2 ( 含) ( i 亍石+ 去 。 抖( 吉+ 南小 ， 叱= c 一历s 讪2 ( 含) b 南+ 面f + 手) “ 阿孙南) - ， 对于幅值为a 的方波慢涨落力f ( t ) 一个涨落周期的平均几率流密度为 ，。= ( z f ) p p ( r ) k = ( 1 ，2 ) f 以) + ，( 一) 】 o f 2 3 s ) k t 图2 2 在d i 势不同的幅值下，平均几率流密度随灯的变化曲线。 在图2 2 和图2 3 中，分别画出了在d i 势不同的幅值和不同的关联强度 下，平均几率流密度随玎的变化曲线。图形显示平均几率流密度是温度的单 1 6 蓉1 9 ji【ll荟量昌黑 硕士学位论文 m s t e rst hes 【5 峰函数，也就是说存在一个使几率流密度最大的温度值。另外，图中势对 平均几率流密度的影响也很明显，随着d i 势的幅值增大，峰值下降( 图2 2 ) ， 而随着d i 势的关联强度懒得增大，峰值也增大( 图2 3 ) 。平均几率流密度随 着d i 势的幅值的变化比随着d i 势的关联强度的变化显著得多。 总而言之，我们利用文献 2 3 1 中定义的随机势讨论了d i 势对马达蛋白输运 的影响。已经证明，d i 势的幅值和关联长度在非线性系统的输运中起着十分特 殊的作用。值得指出的是，当我们使用o u 势来代替d i 势时，可以证明，o u 势在输运中所起的影响是与d i 势的影响类似的。 k t 图2 3 在势不同的关联强度下，平均几率流密度随七r 的变化陆线。 蔷i摹p置暑荟jd吕西墨三一 j 士擘值论走 s ：! ? st ! e s ：! 第三章神经模型 人体由数以万、亿记的细胞组成，每一种细胞都有自己特定的位置、结构 和功能。细胞间相互依赖又相互监控，使机体处于一种相对稳定的状态之下。 机体的这种自稳态，是机体赖以存活与发展的基础，是每一个细胞都做出恰如 其分的贡献的结果。机体这种完美和谐依赖其完善而复杂的信号系统，每一个 细胞都在不断的释放出自己的信号同时接受其他细胞的信号，以决定何时表达 何种蛋白质、何时增生、分裂或是死亡。这类信号分子生物学上称为生物活性 物质，主要包括激素、神经递质、生长因子、药物分子，甚至还有些简单的无 机物如c 0 2 、n o 等等。细胞结合生物活性物质的位点称为受体，受体的本质 通常都是蛋白质如果信号分子能溶于细胞膜并进入胞内，其受体通常存在于 胞内胞浆中，如果不溶于脂质双层膜，其受体通常是某种膜蛋白。目前已知生 物信号可分为两大类：化学信号和电信号。化学信号的作用通常是弥散缓慢而 持久。本文主要讨论生物电信号。机体内两种信号既不同又相互密切联系。【叫 神经细胞膜上的一些特殊的蛋白质如钠离子通道、钙离子通道、钾离子 通道、乙酰胆碱受体、谷氨酸受体等等，形成了一套特异的电信号系统，能对 内外刺激迅捷的产生反应。生物电信号主要有静息电位、动作电位和局部电位， 其本质是离子的跨膜流动而不是电子的流动。如果将人脑与电脑相比，静息电 位相当于0 ( 断电) 动作电位相当于l ( 通电) ，而局部电位是神经系统分析 整合信息的基础。此外动作电位发放的频率也是主要的神经信号编码。 3 1动作电位和h o d g k i n h u x l e y 模型 神经细胞在不活动时，细胞膜处于极化状态，如果以膜外电位为零，则膜 内电位约为- 5 0 _ 7 0 m v ，称为静息膜电位。静息电位产生的原因一是细胞膜 对不同离子的选择通透性，二是细胞膜内外离子分布的不均匀。神经元膜上的 离子通道是一种跨膜蛋白，它能易化顺电化学梯度的被动离子流动，且有离子 特异性。离子经通道的流动产生了电流，电流改变了膜电位，这就是电信号。 因此就电信号本身而言，它是由离子通道的开或闭所产生的，但是造成能够维 1 8 硕士学位论文 h a s t e rst i t ：s 【s 持细胞膜两侧离子浓度梯度的能量却是由神经元膜上的离子泵起作用的离子 泵借助于代谢中获得的能量，把一些离子主动地泵出或运进细胞，从而促使细 胞膜两侧离子浓度梯度的形成。因此细胞的膜电位是由细胞膜对特异离子的 相对通透性和离子跨膜浓度梯度决定的。脚】 + 4 0 + 2 0 0 毒 2 0 4 0 6 0 图3 1动作电位随时间的变化曲线 当轴突膜电位的变化超过一定阈值时就触发动作电位( a c t i o np o t e n t i a l ) ( 图 3 1 ) ，这是一个大的、变化急促、定型的电信号，仅在数毫秒内完成，并总是 以固定大小的电位交化出现，不依赖于产生它们的刺激，具有“全或无”的性 质。这种没有大小之别的动作电位决定了信息是由频率提供的，频率越高，一 串动作电位到达神经末梢后所触发而释放的神经递质分泌速率也越快。值得注 意的是，动作电位是由两类离子通道( n a + 通道和k + 通道) 协同作用产生的， 因为这两类通道的开关是精确定时的因而当动作电位发生时膜去极化，随 后膜的电位差迅速逆转，即细胞内电位反而比细胞外电位高，然后又恢复到静 息电位的水平。这种短暂的变化使动作电位沿着轴突以1 2 0 m s 的速率长距离 传递信息 1 9 、 硕士学位论丈 图3 2 神经元细胞 x 图3 3 被研究的神经纤维 由著名神经生理学家h o d g k i n 首先提出的h o d g k i n - h u x l e y 电神经模型对这 一神经生理现象进行了高度精确的描述，是神经生理学研究一项具有里程意义 的成果。 6 s j 现在让我们以电神经生理学的观点来讨论神