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矢量衍射理论的比较研究及其应用 摘要 光是电磁波，其衍射问题的解决离不开以麦克斯韦方程为基础的经典电磁 场理论，由于电磁场是矢量场，其严格的衍射理论应是矢量衍射理论。虽然对 大多数光学衍射和光束传输的实际问题，标量衍射理论都是非常有效的，但随 着近场光学的发展，以及小尺度大角度光源的使用逐渐增多，衍射理论的标量 近似已不再成立，必须采用矢量衍射理论i i 1 。 本课题首先研究了傍轴理论的不自洽性，探讨了非傍轴矢量衍射理论两种 典型的研究方法：矢量衍射理论的角谱分析法和矢量瑞利一一索莫菲衍射积分 公式法，又简要的证明了两种方法的等价性。在平面波圆孔矢量衍射角谱表示 的基础上，给出了整个衍射空间横向分量的精确解、矢量衍射场纵向分量的精 确解以及精确的矢量光场的场强大小。由于矢量衍射场纵向分量的存在，使光 场的分布不具有轴对称性，仅在观察面内的某一方向( 如x 轴方向) 对光场分 布的研究，不能完整描述矢量光场的特性，本文通过m a t l a b 的大量计算，在三 维空间内对衍射场的矢量理论和标量理论进行了全面的比较研究，指出了在近 场区域及非傍轴区对衍射场矢量修正的必要性，分析了标量衍射理论的有效性。 对高斯光束的微小圆孔矢量衍射理论进行了比较研究，研究表明，衍射场 的非傍轴近似解适用于描述衍射孔孔径或高斯光束的柬腰半径较小时高斯光束 在非近场区域的传播；由于受硬边光阑的限制，高频分量对衍射场的贡献增加， 当传播距离z 较大或衍射孔孔径、高斯光束的束腰半径较小时，衍射场的级数 解对精确解的收敛性不好，甚至失效。指出了高斯光束经圆孔衍射的级数解、 非傍轴近似解的有效性与高斯光束的束腰半径、衍射孔孔径和传播距离密切相 关，并具有一定的互补性。高斯光束经微小圆孔的非傍轴衍射，衍射场的纵向 分量一般不可忽略，必须采用严格的矢量衍射理论来研究光束的传播，仅当高 斯光束的束腰半径、衍射孔孔径大于几个光波波长，且传播距离较大时，标量 衍射理论才是精确、有效的。本文的研究当高斯光束的束腰半径远小于圆孔半 径时，过渡到高斯光束在自由空间中的传播情况；当高斯光束的束腰半径远大 于圆孔半径时，过渡到平面波的圆孔衍射。 关键词：矢量衍射标量衍射平面波高斯光束三维比较研究有效性 本课题得到合肥工业大学科研发展基金项目的资助。 项目编号：0 6 1 0 0 1 f t h ec o m p a r i s o na n ds t u d yo fv e c t o r i a ld i f f r a c t i o n t h e o r i e sa n di t sa p p l i c a t i o n a b s t r a c t i t i sw e l lk n o w nt h a tt h el i g h tw a v ei se l e c t r o m a g n e t i cw a v ea n dt os o l v et h e d i f f r a c t i o np r o b l e mc a nn o tb es e p a r a t e df r o mt h ec l a s s i ce l e c t r o m a g n e t i ct h e o r y w h i c hb a s e do nt h eam a x w e l le q u a t i o n s t h ee l e c t r o m a g n e t i cf i d l di sv e c t o rf i e l d s ot h es t r i c td i f f r a c t i o nt h e o r ys h o u db ev e c t o r i a ld i f f r a c t i o nt h e o r y t ot h em a j o r i t y o p t i c sd i f f r a c t i o na n dt h el i g h tb e a mt r a n s m i s s i o na c t u a lp r o b l e m ，t h e s c a l a r d i f f r a c t i o nt h e o r ya l li se x t r e m e l yp r e c i s e ，b u ta l o n gw i t ht h ed e v e l o p m e n to f n e a r f i e l do p t i c sa n dt h e g r a d u a l l y i n c r e a s e du s i n go fs m a l l s c a l eb u tl a r g e d i v e r g e n c ea n g l el i g h t ，t h es c a l a ra p p r o x i m a t i o no fd i f f r a c t i o nt h e o r yi sn ol o n g e r u s e f u la n dv e c t o rd i f f r a c t i o nt h e o r ym u s tb ea p p l i e d t h i sr e s e a r c hh a ss t u d i e dt h e p a r a x i a lt h e o r yi sn o to fs e l f - c o n s i s t e n c ya n dt h et w ot y p i c a lr e s e a r c hm e t h o d so f n o n p a r a x i a lv e c t o rd i f f r a c t i o n ：t h e v e c t o r i a ld i f f r a c t i o nt h e o r yo ft h ea n g u l a r s p e c t r u mr e p r e s e n t a t i o nar a y l e i g h s o m m e r f e l dd i f f r a c t i o nt h e o r y , a l s op r o v e dt h e e q u i v a l e n c eo ft h et w om e t h o d s b a s e do nt h ea n g u l a rs p e c t r u mr e p r e s e n a t a t i o no ft h ev e c t o rd i f f r a c t i o n ，e x a c t s o l u t i o no fs p a c em a p so ft r a n s v e r s ec o m p o n e n t ，v e c t o rd i f f r a c t i o nf i e l dv e r t i c a l c o m p o n e n to fe x a c ts o l u t i o n s ，e x a c tl i g h ti n t e n s i t yo fv e c t o r i a lf i e l d b u tt h e v e r t i c a lc o m p o n e n to fv e c t o r i a lf i e l di se x i s ts ot h eo p t i c a lf i e l dd i s t r i b u t i o ni sn o t a x i a ls y m m e t r y ，o n l ys t d u yaa d i r e c t i o n ( s u c ha sx a x i sd i r e c t i o n s ) o fl i g h tc a nn o t c o m p l e t e l yd e s c r i p t i o nl i g h tf i e l d w es t u d i e dt h ev e c t o ra n ds c a l a rt h e o r yi nt h e t h r e e d i m e n s i o n a ls p a c ei nm a t l a b ，p o i n t e do u tt h a tv e c t o rc o r r e c t i o nt ot h es c a l a r a p p r o x i m a t i oo fn e a rf i e l da r en e c e s s a r ya n dt h ev a l i d i t yo ft h es c a l a rd i f f r a c t i o n t h e o r yi ss t u d i e d i nt h i st h e s i s ，w et a k et h eg a u s sb e a md i f f r a c t e da tas m a l lc i r c u l a ra p e r t u r e s v e c t o rd i f f r a c t i o n t h e o r y a sa ne x a m p l e ，s h o w nt h a t n o n p a r a x i a la p p r o x i m a t e s o l u t i o na p p l yt od e s c r i b et h eb e a mw a i s tw i d t ha n dl i n e a rd i m e n s i o n so ft h e a p e r t u r ea r ev e r ys m a l lw h e nn o n p a r a x i a lg a u s sb e a md i f f r a c t e di nt h en e a r - f i e l d i nt h i s p a p e r ，d e t a i l e d n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n s f o r t h es e r i e s e x p a n s i o n s o l u t i o n ，n o n p a r a x i a la p p r o x i m a t i o n s o l u t i o no fv e c t o r i a lg a u s s i a nb e a m s d i f f r a c t e da tas m a l lc i r c u l a ra p e r t u r ed e p e n d so nt h ew a i s tw i d t h ，a p e r t u r ea n d p r o p a g a t i o nd i s t a n c e ，a n dt h e ya r ec o m p e n s a t e dm u t u a l l y v e c t o r i a lp r o p e r t yo ft h e l i g h tf i e l dm u s tb et a k e ni n t oa c c o u n ti no r d e rt oa n a l y z et h ed i f f r a c t i n gb e h a v i o ri n n e a r f i e l dr e g i o no rf o rs m a l la p e r t u r e so rs m a l lw a i s tw i d t h ，o n l yw h e nt h ew a i s t w i d t ha p e r t u r ea r e nv e r yb i g g e rt h a nt h ew a v e l e n g t ht h es c a l a rd i f f r a c t i o nt h e o r yi s e x a c t l y w h e nt h eb e a mw a i s ti sm u c hs m a l l e rt h a na p e r t u r e ，i tc a nb et r a n s i t e dt o t h eg a u s s i a nb i a mt r a n s m i si nt h ef r e e s p a c e ，w h e nt h eb e a mw a i s ti sm u c hb i g g e r t h a na p e r t u r e ，i tc a nb et r a n s i t e dt ot h ep l a n ew a v e sd i f f r a c t i o n ，a n dt h ef i e l d s t r e n g t hi sb a s i c a l l yw i t ht h ep l a nw a v e k e y w o r d s ：v e c t o rd i f f r a c t i o n ；s c a l a rd i f f r a c t i o n ；p l a n ew a v e ；g a u s s i a n b e a m ；c o m p a r a t i v es t u d yo ft h r e e d i m e n s i o n a l ；v a l i d i t y 插图清单 图1 1 格林公式曲面选择示意图4 图1 2 基尔霍夫对曲面选择的示意图6 图1 3 平面屏幕衍射的瑞利一索末菲表示法9 图1 4 衍射计算的参考坐标系1 5 图3 1 精确的标量场与矢量场场强的分布( z = 0 8 2 , 岛= o 6 2 ) 3 1 图3 2 精确的标量场与矢量场场强的分布( z = 4 3 , ，p o = o 6 2 ) 3 2 图3 3 精确的标量场与矢量场场强的分布( z = 1 0 2 , , 风= 1 6 3 , ) 3 3 图3 4 精确的标量场与矢量场场强的分布( z = o 6 2 ，扁= 5 2 ) 3 4 图3 5 精确的标量场与矢量场场强的分布( z = 1 2 0 2 ，p o = 5 3 , ) 3 5 图4 1 1 衍射场横向分量的场强分布( z = a ，岛= o 6 2 ，c o o = 2 2 ) 4 1 图4 1 2 衍射场横向分量的场强分布( z = 4 2 ，肪= o 6 2 ，c o o = 2 2 ) 4 2 图4 1 3 衍射场横向分量的场强分布( z = o 8 2 ，风= o 6 2 ，c o o = 2 2 ) 4 3 图4 1 4 衍射场横向分量的场强分布( z = 8 2 ，岛= 2 2 ，c o o = 0 8 2 ) 4 4 图4 1 5 衍射场横向分量的场强分布( z = 旯，p o = 5 2 ，c o o = 2 2 ) 4 5 图4 1 6 衍射场横向分量的场强分布( z = 1 5 2 ，, c o = 5 办c o o = 2 五) 4 6 图4 1 7 衍射场横向分量的场强分布( z = 0 6 2 ，p o = 5 2 ，钆= 1 5 0 2 ) 4 7 图4 1 8 衍射场横向分量的场强分布( z = 1 2 0 2 ，p o = 5 2 ，c o o = 1 5 0 2 ) 4 8 图4 2 1 衍射场横向分量与纵向分量的场强分布 ( z = 五，p o = 0 6 2 ，( 0 0 = 2 2 ) 4 9 图4 2 2 衍射场横向分量与纵向分量的场强分布 ( z = 4 2 ，p o = 0 6 2 ，= 2 2 ) 5 0 图4 2 3 衍射场横向分量与纵向分量的场强分布 ( z = 0 8 2 ，风= 2 2 ，c o o = 0 8 2 ) 5 1 图4 2 4 衍射场横向分量与纵向分量的场强分布 ( z = 8 2 ，岛= 2 2 ，c o o = o 8 2 ) 5 2 图4 2 5 衍射场横向分量与纵向分量的场强分布 ( z = a ，岛= 5 2 ，c o o = 2 2 ) 5 3 图4 2 6 衍射场横向分量与纵向分量的场强分布 ( z = 1 5 2 ，, o o = 5 2 ，c o o = 2 2 ) 5 4 图4 2 7 衍射场横向分量与纵向分量的场强分布 ( z = o 6 2 ，p o = 5 2 , = 1 5 0 2 ) 5 5 图4 2 8 衍射场横向分量与纵向分量的场强分布 ( z = 1 2 0 2 , , o o = 5 2 ，c o o = 1 5 0 2 ) 5 6 独创性声明 本人声明所曼交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得 金匿王些盍堂 或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 日 学位论文作者签名：窖t 际彩 签字日期： 6 年l 妇j ! 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金胆王些盔堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授 权金壁王些盔堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者躲害怀岗 签字日期：日年f 瑚jd 、日 学位论文作者毕业后去向： l ：作单位： 通讯地址： 导师签名：孕r 1 ， i 签字日期： 衫年，泛月，。日 电话： 邮编： 致谢 在即将完成研究生学业之际，我怀着十分感激的心情向我的导师邓小玖教 授致谢! 邓老师不仅学识渊博，治学严谨，而且待人诚恳，平易近人，诲人不 倦! 邓老师高尚的品德，严谨认真的科学态度，精益求精的治学作风，是我做 人和学习的楷模，这也是我两年多来最大的收获，并将使我终身受益! ! 近两年 半来，邓老师在我的学习和科研方面给予了精心的指导，在生活方面给予了充 分的关心和爱护。忠心感谢导师的培养、支持和教诲! 感谢理学院许多老师对我的关心和帮助，特别感谢何晓雄教授、邓铁如教 授、高峰副教授、吴本科副教授、罗乐副教授、梅忠义副教授和马力平副教授 等多位老师给予我学业上的指导和生活上的关心! 由衷感谢课题组刘彩霞老师、王飞老师和冯秀华师姐在论文期间对我的热 情帮助和大力支持! 感谢合肥工业大学2 0 0 5 级课程教学论专业的研究生对我的帮助。 特别感谢我的家人给予我学业上的支持、生活上的关心! 作者：李怀龙 2 0 0 7 年1 2 月 】一一 日u 晶 光是电磁波，其衍射问题的解决离不开以麦克斯韦方程为基础的经典电磁 场理论，由于电磁场是矢量场，其严格的衍射理论应是矢量衍射理论，这就使 得大多数衍射问题的处理十分困难，而必须采用标量近似方法。对衍射问题的 研究不是非常临近衍射平面时，忽略麦克斯韦方程中电矢量与磁矢量的耦合关 系，并将电矢量视为标量，可以精确地描述光传播的物理过程。在大多数的实 际衍射问题中，标量衍射理论是非常好的近似“。，而被广泛采用。 以基尔霍夫衍射理论为代表的传统标量衍射理论是目前解决实际应用中衍 射问题的一个十分重要的理论，实践证明，在大多数的光学实际问题中，基尔 霍夫衍射理论能够给出十分准确的结果”删。但是，基尔霍夫理论本身存在严 重的不自洽性，这种不自洽性主要来源于基尔霍夫的边界条件。首先，在观察 点趋近于孔径和屏幕时，基尔霍夫衍射公式不能恢复基尔霍夫边界条件，并与 经典电动力学中的唯一性定理相矛盾。瑞利一一索末菲衍射理论通过适当地选 取格林函数的方法，消除了同时对光场的复振幅及其法向导数施加边界条件的 必要性，从而克服了基尔霍夫衍射理论的不自洽性。傅里叶光学中的角谱衍射 理论，物理图像清晰、计算方便，是标量衍射理论中讨论衍射问题的又一种重 要方法。通过适当的积分变换可以证明：频域中的平面波角谱衍射理论和空域 中的瑞利一一索末菲衍射理论具有等价性h 。5 1 。在衍射场的远场区标量衍射理 论采用菲涅耳近似，这种近似的精度要求是很容易实现的，因此在远场区菲涅 尔近似是很有成效的；而夫琅和费衍射则是采用了比菲涅耳近似中更强的限制 条件。 随着近场光学显微术、近场光谱的发展，近场光学在生物、单分子探测及 计算机存储领域得到广泛重视，同时随着纳米激光器等小尺度大角度光源的使 用逐渐增多，例如对强聚焦光束或二极管激光器发出的光束，当束腰宽度为波 长量级或亚波长量级时，发散角很大，此时标量近似不再成立，必须采用矢量 衍射理论“7 “1 。本文研究了傍轴理论的不自洽性，介绍了非傍轴理论 的两种典型的研究方法，即矢量衍射理论的角谱分析法和矢量瑞利一一索莫菲 衍射积分公式法，又简要的证明了两种方法的等价性。 本文在平面波圆孔矢量衍射角谱表示的基础上，给出了整个衍射空间光场 横向分量的精确解，矢量衍射场纵向分量的精确解，以及精确的矢量光场的场 强大小。由于矢量衍射场纵向分量的存在，使光场的分布不具有轴对称性，仅 在观察面内的某一方向( 如x 轴方向) 对光场分布的研究，不能完整描述矢量 光场的特性，本文通过m a t l a b 的大量计算，在三维空间内对衍射场的矢量理论 和标量理论进行了全面的比较研究，指出了在近场区域及非傍轴区对衍射场矢 量修正的必要性，分析了标量衍射理论的有效性。 对高斯光束的微小圆孔矢量衍射理论进行了详细的比较研究。研究表明， 衍射场的非傍轴近似解适用于描述衍射孔孔径或高斯光束的束腰半径较小时非 傍轴高斯光束在非近场区域的传播；由于受硬边光阑的限制，高频分量对衍射 场的贡献增加，当传播距离z 较大或衍射孔孔径、高斯光束的束腰半径较小时， 衍射场的级数解对精确解的收敛性不好，甚至失效。指出了高斯光束经圆孔衍 射的级数解、非傍轴近似解的有效性与高斯光束的束腰半径、衍射孔孔径和传 播距离密切相关，并具有一定的互补性。高斯光束经微小圆孔的非傍轴衍射， 衍射场的纵向分量一般不可忽略，必须采用严格的矢量衍射理论来研究光束的 传播，仅当高斯光束的束腰半径、衍射孔孔径大于几个光波波长、传播距离足 够大时，标量衍射理论才是精确、有效的。当高斯光束的束腰半径远小于圆孔 半径时，过渡到高斯光束在自由空间中的传播情况；当高斯光束的束腰半径远 大于圆孔半径，传播距离z 远大于圆孔半径及光波波长时，过渡到平面波的夫 琅和费衍射，其衍射场的场强分布与平面波衍射完全一致。 2 第一章标量衍射理论 通常情况下，波动方程的解为矢量形式，但是，如果不涉及光传播、变换 过程中障碍物或光学元件结构尺寸接近于光波长的情况，并且，对衍射问题的 研究不l 临近衍射平面，便可忽略麦克斯韦方程中电矢量与磁矢量的耦合关系， 将电矢量视为标量，可以精确地描述光传播的物理过程，即所谓的标量衍射理 论“1 。 1 1 基尔霍夫衍射理论 基尔霍夫的衍射理论是建立在一个积分定理的基础之上的，这个积分定理 把齐次波动方程在任意一点的解，用包围这一点的任意封闭曲面上方程的解及 其一界微商之值表示出来“。 设光波场为 u ( x ，y ，z ，t ) = u ( x ，y ，z ) e x p ( 一i 2 z v t ) ( 1 1 1 ) 式中u ( x ，y ，z ) 为观察点p ( x ，y ，z ) 的复振幅，y 是光波的频率。将( 1 1 1 ) 式代 入它必须满足的标量波动方程 v 2 u 一吉鲁= o l z ， 则得到不含时间因子的亥姆霍兹方程 ( v 2 + k s ) u ( 工，y ，z ) = 0 ( 1 1 3 ) 式中k ：丝：孥称为光波数，兄为真空中的光波长。 只要能从亥姆霍兹方程中求出u ( x ，y ，z ) ，则可以根据( 1 1 1 ) 式来描述光 振动。基尔霍夫借助于格林定理解决了这个问题。 1 1 1 格林定理和基尔霍夫的积分定理 设u ( x ，y ，z ) 和g ( x ，y ，z ) 为两个空间变量的复值函数，如果u 和g 以及他们的 一阶及二阶偏导数在封闭曲面s 及其所包围的体积矿内都是连续的，则 珊g v 2 u - u v 2 g 砂= 弥g 筹一u 鬻n ) d s ，s f 。 式中左边表示在体积矿上的体积分，右边是对封闭曲面s 的面积分。等式右边 的兰表示在s 面上各点沿外法线i 的偏导数。 d 胛 当把格林定律中的u 视为光场的复振幅，再选取适当的函数g ( 称为格林 函数) ，使得g 与u 均满足亥姆霍兹方程，就可用格林定律和亥姆霍兹方程将空 间任一点的复振幅u ( x ，y ，z ) 用包围该点的任一封闭曲面上的u 及其法向导数 o u o n 表示出来。为此，基尔霍夫选择g 为以点p ( x ，y ，z ) 为中心的向外辐射的单 位复振幅的球面波： g ：= e x p ( i 扫) ， 式中r 为由点p 到空间的任意距离。由于函数g 在点p 的值为无穷大，所以必 须把p 从讨论的范围中“挖出”，函数g 才能满足格林函数的要求。为此我们作 一以p 点为中心，半径为s 的小球面韪( 见图1 1 ) ，把格林定律应用到由s 和& 所包围的体积矿上，则有 i ，i i ( g v2 u - w 2 g ) d 矿= 舅( g 等一u 豢) 订 ( 1 1 6 ) p s + s 图1 1 格林公式曲面选择示意图 由于g 和u 均满足亥姆霍兹方程 i ( v 2 + _ j 2 ) 己，= 0 【( v2 + 七2 ) g = 0 将( 1 1 7 ) 式代入( 1 1 6 ) 式的左边可得 ( g v 2 u w2 g ) a v = 脉一繇2 u + 碱2 c ) a g = 0 v v 于是( 1 1 6 ) 式变为 4 避姬等一uo - - - 誓) d s = o s + s e 将上式分解为对s 和s ；的积分，移项后得 够g 等一u 鬻n ) a s = 一妙g i o u 彤o 锄g ，d s 对于小球面s 。，外法线方向应从球面指向球心p ， 点的矢径指向恰好相反，所以 它与户点到配面上任一 孚：一_ o g ：一j 0 r e x p ( i k r ) ：f 三一腩1 婴盟 o no r甜， ， ， 而对于球面砖上任何点，r = 占，所以有 箜：但me x p o k e ) 面5 b 叫8 s 因为u * nu 的法向导数在p 点连续，所以当占一o 时u 和_ o u 均可用p 点的值 u ( x ，y ，：) 及罢i 来代替。对于确定的点p ，他们均为常量。于是可得 u g ll j ，y # l i m 钉。( g 筹一u 舔 ：imoexp(ike)丝f一吣，舻)f三一ikexp(ike)切：o。 n i p ： 7 l s 。 。 = - - 4 z u ( x ，) ，z ) 将上式、( 1 1 9 ) 式以及( 1 1 5 ) 式代入( 1 1 8 ) 式后，我们得到 啪棚= 击够g 等一u 据 这样，空间任意点p 的复振幅u ( x ，y ，z ) 即可由包围尸点的封闭曲面s 上各点 的u 及u 沿外法线方向的偏导数_ o u 通过积分求出，式( 1 1 1 0 ) 称为基尔霍 u h 夫的积分定理，它在标量衍射理论的发展中起到了重要作用，其为精确严格成 立的。 1 1 2 、平面屏幕衍射的基尔霍夫衍射理论 当光波在传输过程中遇到一具有开孔的无限大不透明平面时，利用基尔 霍夫积分定理可以求出平面后任意空间点p 的复振幅。为讨论这个问题，封闭 曲面s 这样选择：作以p 为中心，半径r 甚大的一个球面，只要使尺足够大，球 面便能和平面相交，并使开孔包含在交线所包围的平面内，令在p 点一侧球面 被平面截出的部分为s ：，在无限大屏上球面与平面交线围成的部分为s ，则s 和曼就构成我们所选择的封闭曲面s ，见图1 2 。在所选定曲面上应用基尔霍 夫积分定理( 1 1 1 0 ) 式，则p 点的光场可以表为 啪，z ) = 去【势g 等一u d s + 8 ( 2 g i 8 u u - ) d s 图1 2 基尔霍夫对曲面选择的示意图 对于s ：上的积分，当r 甚大时，由于式中g 为基尔霍夫选择的以p 点为中 心的单位振幅球面波的复振幅，球面上显然有 ne x p ( i k r ) 。一f 一8 g ：旦f 型1 ：i k - e x p ( i k r ) a n 西l r 儿r 嶷 r 通常情况下，球面半径甚大于光波长，即r 五，因此r 。 k ，这样g 在法线 方向的偏导数可足够准确地等于i k g ，这是十分容易满足的。于是( 1 1 1 1 ) 式中s ，面上的积分可写成为 驴筹一u 鬻n ) d s = n f g 掣o n 一彬艘 上式中，q 为曲面s 2 对p 点所张的立体角，是小于4 n 的常量；i g r l e x p ( i k r ) l 在 s ：上一致有界。因此，s ：面上的全部积分将随r 变成无穷大而消失，只要扰动 u 对角度满足索莫非辐射条件“】： 憋r 笔一f k u ) = o ( 1 2 ) 在线性光学问题中，以上的条件总是被满足的，则( 1 1 1 1 ) 式变为“”： 毗舻，= 击驴等一u 鬻n ) a s 其中s 又可以分为透明的孔z 及不透明的屏两个部分，由于不透明屏的遮挡， 对u ( x ，y ，z ) 的贡献主要来自上的光振动。为此基尔霍夫作如下假设“”1 ： ( 1 ) 在z 上各点，【，及其法向导数o u 与屏不存在时相同。 ( 2 ) 在不透明屏上的各点，u 及其法向导数_ o u 均等于零。 于是，( 1 1 1 3 ) 式进一步简化为 出加击( g 等一 。， * 石ij j , , t i o u o - i k u o ) 掣豳其中， 五 上式表明，光波穿过具有透光孔z 的无限大屏后，屏后空间任意点尸的光 波复振幅u ( x ，y ，z ) 可以由孔上光波的复振幅求出来。由于积分号内的u 在上 取值，为避免与观察点的复振幅u ( x ，y ，z ) 混淆，将积分号的u 改写为砜。 基尔霍夫公式可以给出与实际符合的非常好的结果。但理论上该公式存在 着严重的不自洽性，其不严格性主要来自基尔霍夫的边界条件，这两个条件中 没有一条是严格正确的：基尔霍夫边界条件中假定，光波在传输过程中遇到具 有孔的无限大屏后，除了在孔上光场及其法r e 导数与屏不存在时相同外， 光场的复振幅和它的法向导数在屏后其余位置均为零。在势论中有一个熟知的 定理说：如果一个二维势函数及其法向导数沿任一有限的曲线段同时为零，那 么这一势函数必定在整个平面上为零。相仿地，如果三维波动方程的一个解在 任一有限的面元上为零，那么它必定在全空间为零“”，因而两个基尔霍夫边界 条件合在一起就意味着，孔径后面各处的场恒为零，这个结果与已知的物理情 况矛盾。 7 1 2 瑞利一索末菲衍射理论 虽然基尔霍夫衍射理论会给出非常准确的结果，在实际问题中这一理论得 到广泛的应用。但是，基尔霍夫衍射理论的困难来自于同时对场强及其法向导 数施加边界条件，这种不自洽性的进一步表征是，当观察点趋近屏幕或孔径时， 可以证明菲涅耳一基尔霍夫衍射公式不能重新给出原来假定的边界条件。 索末菲消除了同时对扰动及其法向导数都施加边界条件的必要性，从而克 服了基尔霍夫理论的不自洽性【7 1 。对无限大不透明屏幕上的一个孔径所引起的 衍射，第一类瑞利一索末菲边界条件近似为： ( 1 ) 除了孔以外，场分布u 在衍射屏上恒为零。 ( 2 ) 在孔内，场分布u 与没有屏时完全相同。 第二类瑞利一索末菲边界条件近似为： ( 1 ) 除了孔以外，场分布的法向导数掣在衍射屏上恒为零。 ( 2 ) 在孔内，场分布的法向导数_ o u 与没有屏时完全相同。 1 2 1 第一类瑞利一索末菲衍射积分格林函数的选取： 由格林定理可得：空间任意点p 的复振幅u ( x ，y ，z ) 即可由包围p 点的封闭 曲面s 上各点的u 及u 沿外法线方向的偏导数_ o u 通过积分式求出，即 彤z ) _ 去扣i o u u 鬻n n a s = 去c 妙g 丽o u u 豢n ) d s + 妙g i o u u 荨豳， z ， 把g 取为g 一，设g - 不只是位于p 的点源产生，而且也由p 点位于屏幕对面的镜 像点f 上的第二个点源产生，如图1 3 。令芦处的点源与p 处的点源的波长同 为z ，并且假设两个源的扰动有一个1 8 0 0 的位相差，其中格林函数由下式给出： g 啊e x p ( i k r ) e x p ( i 矿)( 1 2 2 ) 一 ，f 其中芦是从声点到空间任意一点的距离，是从p 点到空间任意一点的距离。g 相应的法向导数为 8 孽= c o s ( h ，f ) ( 琅一1 ) e x p ( i k r ) - c o s ( h ，确七一1 ) e x p 坚) ( 1 2 3 ) o nrrrr 图1 3 平面屏幕衍射的瑞利一索末菲表示法 平面屏幕衍射的封闭曲面选择和图1 2 相同，类似可以证明，对于s ，面上 的全部积分将随r 变成无穷大而消失，只要扰动u 对角度满足索莫非辐射条件： l i m r ( 罢- - - 一i k u ) ：0 i 在线性光学问题中，以上的条件总是被满足的，则( 1 2 1 ) 式变为： 删= 击f ( g 一豢一u 鲁) 积 z a ) 对于s 上的点晶，我们有 ，= 芦， c o s ( 亓，尹) = 一c o s ( _ i i ，i ) ( 1 2 5 ) 因此在这个面上 g 一( p o ) = 0 a g _ = _ ( 一p 0 ) ：2 c o s ( 露，f ) ( i k 一1 ) e x p ( i k r ) 咖， 9 ( 1 2 6 ) 于是函数g 一在整个s 面上为零。把( 1 2 6 ) 式和( 1 2 2 ) 式，应用到( 1 2 4 ) 式即可得 删= 击旷掣c - + 扣哳刀峦 z ， 当对u 应用第一类瑞利一索末菲边界条件，且积分号的u 改写为v o ，可以给出 非常普遍的结果 u ( 墨弘z ) = 去f u 。旦警丝( 1 + 吉) c 。s ( 开刀勰 ( 1 2 8 ) 因为不需要对o u 施加边界条件，基尔霍夫理论中的不自洽性显然已经消除了， d 行 ( 1 2 8 ) 式称为第一类瑞利一索末菲衍射积分。 基尔霍夫边界条件存在矛盾，似乎会使人们对基尔霍夫公式的正确性提出 疑问，然而，基尔霍夫边界条件的不自洽性只是在严格的理论意义上而言是确实 的。然而实际应用中，基尔霍夫边界条件是一个对实际情况足够好的近似。由 于光波是电磁波，在通常情况下，不论屏是导体或绝缘体，光波传至屏上的过 程不过是光振动由一种介质到另一种介质的传播过程，因此理论上将存在一部 分透过屏继续传播的光波。但是，对于通常意义上的对光不透明的屏，屏后方 紧接屏一侧的透射光相比较于入射光事实上完全可以视为零，因此基尔霍夫所 作的第一条假设基本上是成立的。通常情况下，屏上开孔的边沿处光波的传 播由于位于两种介质的交界而变得比较复杂，因此，开孔边沿附近的光常在 屏存在及不存在两种情况下是有区别的，但是，这种影响局限于波长的数量级， 当观察点p 距离屏足够远，并且孔径的线度又比波长大得多的情况下，这种 影响也可以忽略。对于实际应用中遇到的大多数情况，基尔霍夫所作的第二条 假设事实上也是成立的。因此，基尔霍夫公式及瑞利一索末菲公式均能非常准确 地描述光波的衍射过程，在实际应用中基本上不对这两种计算公式加以区别。 1 3 平面波角谱衍射理论 基尔霍夫衍射理论和瑞利一索末菲衍射理论都是在空域中对光场的表述， 1 0 比较直观；实际上标量衍射理论也能在一个与线性时间不变滤波器理论极其相 似的框架内来描述，即在频域中描述，这是一种更为有效的计算衍射的方法 若对任意平面上的复场分布作傅立叶分析，则各个空间傅立叶分量可以看 作是沿不同方向传播的平面波。在任意其它点上的场振幅，可以在考虑到这些 平面波传播到该点所经受的相移之后，对各个平面波的贡献求和而计算出。 设衍射屏与观察屏的距离为z ，设u ( x ，y ，0 ) 及u ( x ，y ，z ) 分别为衍射屏和观察 屏上光波的复振幅。在频域中它们的频谱函数分别是4 。( 正，兀) 及4 ：( 六，) 。 当给定u ( x ，y ，o ) 后，如果能够求出经过距离z 传播后光波在观察面上对应的频谱 函数彳：( 正，工) ，便可以利用逆傅立叶变换得到u ( x ，y ，z ) 。 其中a 。( 六， ) 是u ( x ，y ，0 ) 的傅立叶变换 彳。( 正，乃) = p ( x ，y ，o ) e x p 一i 2 z ：( x f , , + z ) 】妫 ( 1 3 1 ) u ( x ，y ，o ) 是其频谱函数a ( 六，v ) 的逆傅立叶变换 u ( x ，y ，o ) = f a 。( 六，乃) e x p 【f 2 万( 巩+ y f ，) a l a l ( 1 3 2 ) 因一个以方向余弦( 口，y ) 传播的单位振幅的平面波的方程为 b ( x , y , z ) = e x p 【f 孥( 饿+ 彦+ 芦) 】 ( 1 3 3 ) 其中 ，= , 1 一o r 2 一2 所以，在z = o 平面上，可以把复指数函数e x p i 2 7 r ( f x x + y ) 】看成是以方向 余弦 口= 玩，= 矾，y = 五z ( 1 3 4 ) 传播的平面波，通常称( 1 3 1 ) 式为扰动u ( x ，y ，0 ) 的角谱。彳：( 六， ) 是u ( x ，y ，z ) 的 傅立叶变换： 一：( 六，) = p ( 马y ，z ) e x p 一i 2 x ( x f x + y f ，) d x c t y ( 1 3 5 ) u ( x ，y ，z ) 为a ：( 六， ) 的逆傅立叶变换 u ( z ，y ，z ) = f 爿：( 六，乃) e x p i 2 ； r ( x f x + y l ) d l d f , ( 1 3 6 ) 并注意在所有的无源点上，u 均必须满足亥姆霍兹方程，将( 1 3 6 ) 式代入 光振动应满足的亥姆霍兹方程： v 2 u + k 2 u = 0 于是得到 ( v 2 + i 2 ) 4 ：( 正，f y ) e x p i 2 7 r ( f ，x + f y y ) = 0 ( 1 3 7 ) 经运算及整理后得 尘d 2 z 纵m ) + 降瓜万丽卜2 “) _ o ( 1 s 8 ) ( 1 3 8 ) 式中，力+ 刀 1 表示倏逝波。 在导出( 1 3 8 ) 式的运算中，用到了下面一些关系，对于频域坐标而言 彳：( 六，工) 只是z 的函数，故 丢4 ( f x ，) = a z ( 工，) = o 妄4 ，) = 瓦d4 ( 六，) 并且 云e x p i 2 ，r ( f x x + 厶y ) 】i ( i 2 巧) e x p f 2 万( 正x + l y ) 】 国 7 熹e x p 【f 2 石( 六x + 厶y ) 】= ( f 2 矾) e x p i 2 n ( f ，x + f y y ) 卯 。 e x p i 2 r c ( f , x + ，v y ) 】= 0 毖 可以看出，( 1 3 8 ) 式仍然是一个关于a z ( 六，) 的亥姆霍兹方程。由于4 ( 工，工) 是方程对应于z = 0 的一个特解，根据微分方程理论，可以将方程( 1 3 8 ) 的解 写为 4 ：( 六，厶) = a ( l ，l ) e x p 【了2 y lz 乒万丽】 ( 1 川 于是我们得到了光波场从衍射屏传播到观察屏的频谱变化。这个关系表明， 光波沿z 方向传播的结果，在频域内表现为将衍射屏上光波场的频谱a 。( 六，兀) 乘以一个与z 有关的位相延迟因子e x p f 等z 1 一( 机) 2 一( 饥) 2 。事实上，在线 性系统的理论中，该位相延迟因子即衍射在频域的传递函数，而当衍射在频域 能够表达为( 1 3 9 ) 式的形式时，表明衍射问题事实上是光波场通过一个线性 空间不变系统的变换过程。如果基尔霍夫衍射公式及瑞利索末菲衍射公式是衍 射问题在空域的准确描述，那么，上结论即明白地预示着它们在频域应该有与 该相位延迟因子等价的衍射传递函数。 按照光传播的角谱理论，式( 1 3 9 ) 表示对一切满足1 一( 矾) 2 一( 矾) 2 0 的角谱分量才能到达观 察屏。因此，光波在自由空间中由衍射屏到观测屏的传播过程，在频域中等效 1 于通过一个半径为二的理想低通滤波器。 不难看出，与空域中光波的衍射研究相对应，在频域中亥姆霍兹方程的解 ( 1 3 9 ) 式提供了另一种计算衍射的途径。应该指出的是，由于我们在得到其 解的过程中对u