（应用数学专业论文）快速反应扩散方程解的整体存在唯一性.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 本文研究快速反应扩散方程定解问题解的整体存在唯一性第一部分利用上下 解的方法证明了当o o 时初边值问题解的整体存在性第二部分利用解的延拓方 法证明了c a u d l y 问题广义解的整体存在唯一性 全文共分三章第一章简要介绍了文章的有关背景、发展状况及本文的主要结 果；第二章证明了快速反应扩散方程初边值问题解的整体存在唯一性；第三章证明 了快速反应扩散方程c a u c h y 问题广义解的整体存在唯一性 关键词：快速反应扩散方程；初边值问题；c a u c h = 旷问题；解的整体存在唯一 性 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t 7 工m sp 印e ri s 咖c e r n e d 丽t ht h eg l o b 越圈s t e n c e 觚d1 1 l l i q u e 懈s0 fs 0 1 u t i o nf o r af a s tr e 8 u c t i o n - m 痂s i o ne q u a t i o n 丽t hc o n d i t i o n 8f o rd 曲删i l i n g8 0 l u t i o n i i lt h e 丑r s t s e c t i o n ，w h e na 0 ，w es h o wt h e 斟o b a l le ) ( i s t e n c eo f8 0 l u t i o nh t h ei l l i t i 止b o u n d a 巧 p r o b l e mb yt h em e t h o do fu p p e ra n dl a w e r8 0 1 u t i o n i i lt h es e c o n d8 e c t i o n ，w es h o wt h e 醇0 b a l 嘲8 t e n c ea n du n i q u e n e s s0 fg e n e r a l i z e d8 0 l u t i o nf o rt h ec a u c h yp r o b l e mb yt h e p r o l o n g a 七i o no fs 0 1 u t i o n t h ew h 0 1 et h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r 8 i nt h e 缸8 tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h e r e l a t i v eb 觚l 酊o u n dl 【n 以e d g e ，t h ed e r v _ e l o p m e n ts t a t e 出l dt h em a i nr e 8 u l t i nc h 印t e r2 ， 7 w e 谢u 舀v et h ep r o o fo ft h e 舀o b a l 嘲s t 印c ea n du i l i q u e n e 龉o fg e n e r a d i z e ds o l u t i o nf o rt h e p 盯a b o l i ce q u a t i o n 诵t hi 哦i 扯b o u n d a r yc o n d i t i o n i nc h a p t e r3 ，w e 丽u 舀v et h ep r 0 0 f 0 ft h eg l o b a l 耐8 t e n c ea n du n i q u e n e 鼹o fg e n e r 战z e d 烈u t i o nf o rt h ec a u c h yp r o b l e m k e y w o r d s ：f a s tr e a c t i o n - d i m l s i o ne q u a t i o n ；i n i t i a l _ b o u n d 哟7p r o b l e m ；c a u c h y p r o b l e m ；t h e 酉o b a l le ) 【i 8 t e n c ea n du 1 1 i q u e n e 够o fs 0 1 u t i o n i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位申请本人郑重声明：所呈交的学位论交是 本人在导师的指导下独立完成的，对所研究的课题有新的见解。据我所知，除 文中特别加以说明、标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包括其他人为获得任何教育、科研机构的学住或证书而 段保存i 汇编学位论文( 簸质文本和电子文本) 。 ( 涉及保密内容的学位论文在解密后适用本授权书 学位获得者( 拳位论文作荆鍪名：劐堑 2 0d 阵g 月卜日 学住论文指导教师鍪名： 2 0 第一章引言及主要结果 令o q o 时上述快速反应扩散方程初边值问题解的整体存在 性第二部分讨论下列c a u 衄问题解的整体存在性： 锄一( 1 n “) z 茁= o ， ( z ，t ) ( 一o o ，o 。) ( o ，。) ， ( 1 2 ) i 让( z ，o ) = z 幻( z ) 芝o ，t 正0 ( z ) c ( r 1 ) 我们先回顾一下与本文所讨论问题相关的背景和结果： 在【1 】中研究了这样一类方程：毗= 一口) z ，o q 2 对1 a 2 ，快速扩散 方程毗= 心一口】z ( o q 2 ) ，和在有限时间内终止的超快扩散过程共存，被称为一 个时间空间分离模型铆= ( 1 n 趾) z z 的显著特性阐明了这些过程的意义：两个相互作 用的纽结形成了一个超快收缩模型或两个电极的一个持续运动对q = 1 ，超快速对 称扩散和一个变化了的基本扩散共存：对一个奇异核心和6 源的一个环的回复它提 出在等离子体物理、气体的动力学理论、固体态中或在多孔介质运动中所遇到的快 扩散过程的显著性质，并在无维单元通道中考虑饥= 【钍一a 缸$ z ( o a 2 ) ( 1 ) 在许 多金属和陶器材料中，d ( “) 作为传导的热量系数，( 如果乱表示质量浓度，则d ( 钆) 表 示扩散系数) 可以由一个大幅度浓度近似看成钍川( 【2 ) 对于小心，它们的发散引起 一个比在线性情况下( 即q = o ) 稍快点的热传导，并且因此有了终止在系统( 1 ) 中， 【1 发现了一个超快扩散，在这里整个过程在一个有限时间内终止，在大浓度处的扩 散阻塞是这种行为的双重呈现。近来，由于扩散系数d ( 仳) 的奇异性，在一大类系统 中的自我组织评论被提出当快扩散是一个复杂物理系统的一部分时，例如：通过一 个强磁场的等离子体的运输，作为一个规则其分解趋近于数字研究孤立快扩散的 河南大学硕士学位论文 特性对这些过程的研究是重要的一步当q = 1 时的情况：妣= ( 1 i l 仳) 盼这种情况出 现在等离子体物理中和b 0 1 t z m 锄方程c a r l e m a n s 模型的中心极限估计中它的数 学可行性足以揭示一个新的物理现象并为对这些过程更好的理解提供依据很自然 地，我们从这个情况开始，然后来研究一维和多维空间中的方程( 1 ) 1 】利用了常微 的方法得到方程地一( 1 i lu ) z 茁= o 的近似解并加以研究 参考文献 4 讨论了形如u 。= ( 妒( u ) ) 骝一矽( 也) 带有吸收的非线性热传导问题的 扰动性传播，其c a u c h y 问题被看作是带有热吸收的非线性热传导方程对于一个有 限初始温度干扰的情况，发现了在一个有界区域外没有热渗透的条件，并且证明得 出这些条件都是必要的对于一个任意初始温度干扰的情况，得到了在一个有限时 间内总体冷却的标准对于问题( 1 1 ) 本文采用了【3 中类似的方法来证明解的有界性， 进而利用上下解的方法来证明解的整体存在性对于问题( 1 2 ) ， 4 】讨论了带有吸收 的非线性热传导问题的扰动性传播我们利用延拓的方法证明解的整体存在性，并 采用 5 中的方法证明解的唯一性 本文里的记号如下： q ? = q ( o ，t ) ，a q 是q 自j 边界，s = 【( z ，t ) iz a q ，t 【o ，卵) ，r t = s u 【( 。，亡) iz q ，t = 0 ) 本文主要结果 定理2 1 若假设( a ) 被满足且o 口 o 。，则存在一个时间t ，o o ，v ( z ，t ) q 这里q r = ( o ，1 ) ( o ，7 ) ，q = o ，1 】【o ，t ) 假设( 4 ) ：咖c 2 + p ( 【o ，1 】) ，o o ，问题( 2 1 ) 的解钍( z ，t ) 在q 上整体存在 定理3 1 ( 广义解的存在性) 若在r ；上u ( z ，亡) o ，并在经典意义下满足方 程( 3 1 ) ( 1 ) ，则c a u d l y 问题( 3 1 ) 在r 车上存在广义解 定理3 2 ( 唯一性) 若函数妒( z ，t ，札) 关于所有变量连续，且对( z ，亡) g ，当“有 2 河南大学硕士学位论文 限时，统( z ，t ，乱) 有界，则问题( 3 1 ) 有唯一广义解 3 第二章初边值问题解的整体存在性 2 解的局部存在性 豪脚哪， 仁l ， ia ，t ) ) 仇一咄+ b ( z ，t ) + c ，亡) o ， ，亡) q r ， lg ( o ，亡) + ( 1 一n ) 口( o ，t ) o ， 1 三宴兰艺；+ e ) ( 1 。) 0 二鼍：，计( 0 ，o o ) 4 河南大学硕士学位论文 问题( 2 1 ) 有唯一经典解u c 2 ，1 ( q r ) ，计( o ，t ) ，满足u ( z ，t ) 6 o ，v ( z ，t ) q 这里q 。= ( o ，1 ) ( o ，s ) ，q = 【o ，1 】【o ，t ) 证明：这里为了证明乱的存在性，我们将应用关于一致抛物型非线性方程的第 二初边值问题解的存在性的一个已知定理( 参见【6 中s e c t 7 c h 印v t h 7 4 ) 现在不能 够直接去应用这个定理，因为我们并没有给出u 的一个上界和下界的先验估计，因 此我们不知道所考虑的方程是否满足【6 中s e c t 7 c h a p v t h 7 4 中所需要的所有假设 条件利用一个一般的技巧，稍微对方程和z = 1 处的边界条件作个改动来克服这个 困难，然后证明经过改变后的问题的解也是原问题的解( 参见 7 】) 为了达到这个目 标，令m = 2 ( 1 l 咖恢+ 1 ) ，并考虑问题 f 西( 乱) 地一+ 譬= o ， ，亡) q r ， ( o ，t ) = o ，( 1 ，t ) = g ( u ( 1 ，t ) ) ，t 【o ，7 】， ( 2 2 ) i u ( z ，o ) = 枷( z ) ，z f o ，1 ，v 予( o ，。) 。 定义圣和g 如下：圣、g c o 。( r ) ，且 嘶) ： 眍蛏尬 i 口，乱( 一o 。，司u 【m ，) ； g ( 垆p o 。) 眶呸尬 i 扫， u ( 一。，卅u m ，) ， 这里o ，6 是常数 对于任意乱r ，有g ( 钆) u o ，且存在正常数2 ，己使得o z 圣( 乱) l 箐一鬻 取 七 4 叩2 刍，2 ( o ) + 2m a x ( 一，7 ( 生孑) ) 叩壶】m a x ( 南) ， ( 2 6 ) 只要七满足( 2 6 ) 式，就可得到在壳r 上b ( z ，t ) o 由于叩，e 依赖于厶七依赖于厶z ，叩，所以由经典极大值原理不难证明u 在 【o ，1 】( o ，7 】上，计( o ，t ) ，不能达到它的最大值因此在q 上 矿0 ，t ) l l u ，0 ) j l ， 即 。 乱 ，亡) s ( 1 + 叩) i i 咖l i o 。e 舰， v ( z ，亡) q r 从而存在s ( o ，丁 使得( 2 3 ) 式成立 利用引理2 2 可知问题( 2 1 ) 满足【6 】中s e c t i o n 7 ，c h 印v ，t h 7 4 中的所有假设条件从 而定理2 1 的结论成立 引理2 2 的证明 令l 三o ( 2 ，亡) 谚一d t 一( o ( z ，t ) 仇) 2 ，这里o ( z ，亡) = 丢因为瑶o ( o n 2 ) 在 q r 上是日税d e r 连续的，且在q r 上有l 钆= o 根据【8 中s e c t 5 c h 印3 t h l o 可知，d 2 让， 一 塑童盔堂塑主兰垡迨奎 _ - - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - - - _ - _ _ _ _ _ - - - _ _ _ - _ - p 一 现磷u ( o n 4 ，o 童危2 ) 存在且在q r 上是日况如7 连续的于是对方程( 2 1 ) 两边 关于z 求导，并令t u = ，可得 饥伽+ u 毗一+ 2 鲁越一( 鲁) 2 伽= 0 ( 2 7 ) 而 饥= 警一( 鲁) 2 = 等一( 私 ， ( 2 8 ) 把( 2 8 ) 代入( 2 。7 ) ，有 iu 伽t 一伽z z + 警伽z 一2 ( 警) 2 伽= o ， ，t ) q 下， t u ( o ，t ) = o ，叫( 1 ，t ) = t 正口( 1 ，亡) ， t 【o ，叫， l 伽( z ，o ) = ( z ) ， z o ，1 】，竹( o ，o 。) 利用引理2 1 ，可得伽o ，即o 同理对方程( 2 1 ) 两边关于t 求导，并令u = 毗，可得 f 札阢一配咄+ ( 警一喾) u + ( 呈 ) 巩= o ，( z ，t ) q r ， 铷( o ，t ) = o ， ( 1 ，t ) = t 正a ( 1 ，t ) ， t 【0 ，7 - 1 ， l 叫 ，o ) = u 呛( z ) ， z 【o ，1 】，v 丁( o ，o o ) 同样利用引理2 1 ，可得纱o ，即u t o 由问题( 2 1 ) 的边值条件u z ( o ，亡) = o ，地( 1 ，亡) = u n ( 1 ，t ) 和缸的有界性可推出( z ，t ) 是有界的，即o m ( 这里m 为常数) 9 j 堕l 茎兰生兰曼篁鲨壅 2 2 解的整体存在性 引理2 3 ( 比较原理) 如果面，型 三c 2 ，1 ( q r ) ，( o ，印若在q 上面( z ，t ) o ，型( z ，t ) o ，且满足： 氇一警+ 参o ， ，亡) q ， 砚一誓+ 雾o ， 一 o ，) q ， ( o ，t ) 砚( o ，亡) ， ( 1 ，t ) ( 1 ，z ) ，t ( 0 ，t ) ， 坳( z ) 锄( z ) ， ( 。，t ) f o ) 1 】， 【i e 明：令t 7 = 面一型由 丝一警+ 爹 一 一u j q愿n 河南大学硕士学位论文 工：象一0 2 昙舶未+ ( c + 吮、 囊搿圳础辫州帅i 若取a 1 n m 螫饥o ( z ) ，则有 茁t 0 豇( z ，o ) = e 胁。卢e a 搿呦( z ) 咖( z ) 兰兰一( 警) 2 ：e 2 卢z 2 ( e 口一1 + e 卢( e 卢一1 ) z e 卢一2 一e 2 卢z 2 ( e 卢一1 ) = e p ( e 卢一1 ) z e 卢一2 ut 正 砚警一( 鲁) 2 仳u 河南大学硕士学位论文 成立 只要 成立为此只要取 a 矿+ 。e 妒( e 卢一1 ) z e 卢一2 a = m a x l n 烨乱o ( z ) ，矿( e 声一1 ) 、2 q 。、 由上知面( z ，t ) 是问题( 2 1 ) 的一个上解，故在q 上u ，亡) 整体存在 i i ) 再考虑口 1 时的情况 钞= 4 ( 1 + z 卢) + m 一噩) ，霸= 矿， 日= 夏兰了，死= 击 ， ， 我们先在q 1 = 【o ，l 】【o ，乃】上考察问题 通过计算知 ( z ，亡) = 口矿一1 a 触卢 ( o ，t ) = o ，( 1 ，亡) = 口矿一1 a p = a 卵f 2 a + m 一乃) j 1 9 ， ( 2 1 1 ) 豇 ，o ) = 【a ( 1 + z 卢) 一m 丑】p = a ( 1 + z 卢) 一1 】p ( a 一1 ) p ( 2 1 2 ) 欲使 la p 2 a + m 一噩) 】口一1 2 a + m ( t 一噩) 】口a ， 、 【一1 ) 毋踹】乱。( z ) la 印【2 a + m 一噩) 】口q 一卧1 = 【2 a + m 一乃) 】2 ， t ( 舱踹】嘶) j 3 河南大学硕士学位论文 成立因此，a ，p 必须满足 ， a 1 + 嘶1 伽( z ) 声z 1 0 ，l i 和 a p 日4 a 2 注意到卢l n 2 ，取 a 1 + 嘶】撕( 瓤 卢 m a x 等，1 1 1 2 ) ， 那么( 2 1 3 ) 式就可成立。 由 等一( 鲁) 2 = a 卵( 卢一1 ) 耖一1 z 卿一p a 2 p 2 矽一2 z 帮一2 可知，要使 砚= 口可护一1 订a p p ( p 一1 ) y 一1 z 卢一2 9 a 2 p 2 秒一2 2 2 卢一2 成立只要 p p 一1 订a 口p ( p 一1 ) 暑，一1 成立亦即只要 p 订a 卢( p 一1 )( 2 1 4 ) 成立 由于 a 一1 可2 a 所以只要 ( a 一1 ) p m a p ( 卢一1 ) 成立即可为此，只需取 m 辔带 k 一上， 即可 1 3 河南大学硕士学位论文 由上可知当n 1 时，面( z ，t ) 是区域q 1 上的问题( 2 1 ) 的一个上解 下面考虑q 2 = 【o ，1 】陬，列上的情况 令 面( z ，t ) = 【a ( 1 + 茁p ) + m 一乃) 一 则 面( z ，乃) = 阻( 1 + 扩) + m ( n 一死) p 要使 陋( 1 + 扩) + m ( 乃一弱) 尸星黼】乱( z ，n ) 成立由0 ，毗0 ，可知，只要 a ( 1 + 护) + m ( 噩一死) 8 铷( 1 ) 成立而欲使( 2 1 7 ) 式成立，只需 一1 ) p 啪( 1 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 成立为此，只需取 a 燃，呦( z ) 寺+ 1 ( 2 1 9 ) 一【0 ，1 】v 、“ 、 即可 因为在区域q 2 上，要使警一( 誓) 2 讯和讥( 1 ，t ) 俨( 1 ，t ) 成立，所需条件和 在区间q 1 上的相同因此这里的面( z ，t ) 是问题( 2 1 ) 在区域q 2 上的一个上解 依次类推，我们可知在区域q 3 = 【o ，1 】陬，码】，q 4 = 【o ，1 】陬，列上，面( z ，t ) 也是问题( 2 1 ) 的一个上解，即在 o ，1 0 ，。o ) 上，面( z ，亡) 是问题( 2 1 ) 的一个上解因 此，当a 1 时，钍( z ，) 在q 上整体存在 综上，定理2 3 得证 1 4 第三章c a u d l y 问题广义解的整体存在性 3 1 解的整体存在性 本章考虑快速反应扩散方程的c a u c h y 问题，即 i 舰= ( 1 n 牡) 。， ( z ，t ) r 车= ( 一o 。，o 。) ( o ，o 。) ， 【牡( z ，o ) = 蜘( z ) o ，咖( z ) c ( r 1 ) 记妒( 乱) = l n u ，在【4 】中，a s k 妇h i k o v 证明了当 厂1 业砒：+ o 。 ，o u 时，扰动以无限速度传播，即不管初值函数让o ( z ) 是否为零，当亡 o 时，相应的广义 解处处为正 为叙述方便，我们将所考虑的问题改写成如下形式： 饥2 ( 妒( 让) ) 霉， ( z ，t ) r 车= ( 一o 。，o 。) ( o ，o 。) ( 3 1 ) 【钍( z ，o ) = 铷( z ) o ，伽( z ) c ( r 1 ) 定义3 1 设gcr 车是闭区域，仳( z ，t ) o 是满足日况d e r 条件的有界函数若 钍( z ，t ) 满足下面的积分等式： 石1 1m 钆) + 札，t 】如出一z 了u 北：如一石1 妒( u ) 厶隰出= 。， ( s 2 ) 则称| u ( z ，t ) 是( 3 1 ) ( 1 ) 的广义解其中亡o t 1 ，z o o ，并在经典意义下满足方 程( 3 1 ) ( 1 ) ，则c a u c h y 问题( 3 1 ) 在畔上存在广义解 证明：我们将利用 5 】中t h 2 的证明思想构造一个单调递减且无穷可微函数列： ( z ) ，竹= 1 ，2 ，此数列在任何有限区间内一致收敛于妒( “o ( z ) ) 这里o o ；因此在对v ( z ，亡) r 辜，都有l i mu n ( z ，t ) = u ( z ，t ) 综上所述，我们可知函数乱( z ，亡) 是非负有界的，且满足积分等式( 3 2 ) 为了证明 ( z ，古) 满足日况d e r 条件，只需证明t ) _ 眦一致有界 事实上，对原方程 饥= ( 1 n 札) z z ， 令l n u = 一口，则原方程可化为 仇一e f t k z = 0 只要证明方程( 3 5 ) 中有界，便可知钉眦一致有界 - 为此，令 口= 妒( t t ，) ， 1 6 ( 3 5 ) 河南大学硕士学位论文 则 仇= 妒t 7 t ，= 妒屹，霉= 妒近+ 妒7 z 将上述式子代入方程( 3 5 ) 中，可得： 妣一e 移芳一矿妣z = o ( 3 6 ) 令叩( z ，t ) 是q 1 上的任意连续可微函数，且在边界上为o 这里q 1 是任意有界 区域【口，6 】( o ，列 对( 3 6 ) 两边同时乘以，并在q 1 上进行积分，得 乞，( 毗一e 芳记一蚍z ) 如出= 0 分部积分可得： 名。掣缸如如一石，叩( e 等) z 如幺一名。叩( 矿伽劫z 出出= 。 再次利用分部积分得： 石，叩姚z 出出+ 石。e 啦如出一名，叩c e 钞等远，z 如砒= o c 3 为方便起见，我们引入一些记号： 令 a = 砭， 名= a 卧1 取 ，7 ( z ，t ) = 2 地名( 蚋， 其中名( 七) = m a x z ( z ，亡) 一后；o ) ， 七l n 觚名， 1 巾 则有 忽= ( s 十1 ) a = ( s + 1 ) 2 地t ，即丢_ 忽22 魄t ， 锄= ( s + 1 ) a 8 如= ( s + 1 ) 2 姚魄z ，即若_ = 2 a 8 蛾z ， ，勋 ，t ) = 2 2 z a 8 z ( 七) + 2 蚀z s a 8 1 4 。名( 路) + 2 彬以8 拶) 1 7 河南大学硕士学位论文 形上还，寺瓦代八( 3 7 ) 甲，得： 南上动( z ，圳2 如+ 2 名， 2 e ”助+ s e 镌_ 1 。扪 。+ 南州拶) 】2 一( e 芳谴) z 2 妣) ) 如如= o ， ( 3 8 ) 这里q r 1 取九( 亡) 是在z q 中z ( z ，亡) 七的点的集合，则( 3 8 ) 式可化为： 丢_ 上( z 一七) 2 如+ 2z t 上础， 2 e 口z a 8 ( z 一七) + s e a ：一1 ( z 一克) + 丢_ e 口程 一p 等迁+ e 勘( 芳) 7 谴+ e 勘警2 毗蛾出妣( z 一啪如出= o 隆理得： ，丢j 上础) 一七) 2 如+ 2z t 上础) 2 吨( z 一七) + s 筵一1 ( z 一七) + 丢j e 铂 一 2 e u 妒a 迁+ 4 e 秒芳叫：蛾茁+ 2 ( 芳) 7 e 影纠( z 一后) ) 如出= o ( 3 9 ) 若成立 w ，+ ( 新 ( 芳) 2 o ， 则把( 3 9 ) 式中所以正项移到左端，其余项移到右端得： 南么础，( z 一七) 2 出+ 2 z t 上础) 2 e 伽：。( 名一七) + s e 移镌一1 ( 名一七) + 丢_ 矿 一【2 矿矿a + 2 ( 芳) 7 迁e 口卅( z 一七) ) 如出= 8 上础) 【( e 口等近魄z ) ( z 一蚓出出- 一 p 上u ) 由( 3 1 0 ) 可得不等式： m 、伸e u 近正+ 扩a ：a 一2 e 妒a 2 2 以芳) 7 a 2 】( z 一尼) 】- 如出 ，a k ( t ) 4 上觯) ( e 等a 蚍z ) ( z 一啪如班 ( 3 1 1 ) 河南大学硕士学位论文 对( 3 1 1 ) 式右端利用y 0 t l n g 不等式可得： 4 上以) ( e 等a 蚍) a 沁一啪如出上础) 【2 6 吨e 2 口+ 昙( 等) 2 a 2 】。一忌) ) 如砒， 这里6 0 从而( 3 1 1 ) 式可化为： 上球) 【( 2 矿一2 舻口) 镌z + 扩筹一2 e 口( + ( 等) ，) 砷a 8 ( z m 如d t l 穆2 舭( 础脚 ( 3 1 2 ) 取 2 措”2 矿即o o ， 所以要使( 3 1 4 ) 成立，只能让左端积分为零故在q t 中满足z 七的点( z ，t ) 的集 合测度为零，即 1 搿z ( z ，亡) m a x 七，1 n 觚z ) 又因为 m 舣z ( z ，t ) 2 学( z ，亡) 2m 觚蚶8 + 2 ， 所以f 蛾i 有界这时若取妒7 有界，便可知f i 有界 河南大学硕士学位论文 结合上述妒需要满足的条件，我们现在来确定妒 取 妒( t d ) = 2 入e 一必， 入 o 易证妒7 o ， ( 芳) 2 0 因此，只须让a 充分大，使2 入e 一 1 即可由此可知满足所有条件的妒确实存在 至此，我们证得t ) _ 舭一致有界，因此口n ( z ，t ) 关于z 满足l i p 8 c b j t z 条件，且l i p s c h i t z 常数与礼无关；又因西( 钐) c a ( 【o ，m 】) q ( o ，1 ) 跏 o ，故钆m ( z ，t ) 关于z 满 足日况矗e r 条件，指数为q ，且常数与n 无关我们再利用 1 0 的结论，可证得( z ，t ) 也满足关于t 的日郾d e r 条件，指数为鼎，常数也与n 无关因此极限函数u ( 。，t ) 必 满足日况d e r 条件，且满足初始条件( 3 1 ) ( 2 ) 河南大学硕士学位论文 3 2 广义解的唯一性 引理3 1 若在g 上碧存在，且对于在g 内任何连续可微的函数，( z ，t ) ，( z ，) l 扭r = 0 都有下列等式成立： ( 筹u 一筹驾掣脚+ e m o ) 嘶) 妇乩 ( 3 1 5 ) 则函数u ( z ，t ) 在g 上连续、有界，且是问题( 3 1 ) 的广义解 利用广义解的定义易证得引理3 1 成立或参见文献 1 1 】 定理3 2 ( 唯一性) 若函数妒( 茁，t ，让) 关于所有变量连续，且对( z ，亡) g ，当钆有 限时，妒幺( z ，t ，“) 有界，则问题( 3 1 ) 有唯一广义解 证明：易知，使( 3 1 5 ) 式成立的检验函数，( z ，t ) 在亡= t 处为零，在g 上连续， 且在g 内存在有界导数筹和甏( 参见【1 1 ) 对满足( 3 1 5 ) 式的检验函数列 厶) 及检 验函数，当n _ o 时， 厶卜一致收敛于，而 瓮) 和 镥) 也分别收敛到筹和鬈 对于关于厶成立的等式( 3 1 5 ) ，我们把它转化为极限形式( 当礼_ o 时) 这时可以 得到关于，成立的( 3 1 5 ) 式 设问题( 3 1 ) 有两个不同的解u 1 ( z ，t ) 和u 2 ( z ，亡) 由引理3 1 可知，让2 ( z ，t ) 和钍1 ( z ，t ) 均满足相应的( 3 1 5 ) 式，将两式相减，可得： 、 似筹池旷u 2 啪一筹 笃掣一掣陋出一o - ( 3 1 6 ) g 定义具有下列特性的函数列 q n ( z ) ) ： ( z ) = 1 ，i z i n 一1 ；口竹( z ) = 0 ，l z i 、n ； o q n ( z ) 1 ，钆一1 i z l 礼；理：( z ) 关于竹有限 借助于q n ( z ) 我们构造函数序列【 ( z ，t ) ： 厶( z ，亡) = q 礼( z ) 【妒( z ，7 - ，让1 ( z ，7 ) ) 一妒( z ，7 - ，乱2 ( z ，7 ) ) 】打， n = 1 ，2 2 1 河南大学硕士学位论文 显然，厶在g 上连续，并在g 上存在有界导数警和甏，且在亡= t 处为零 因此，厶满足等式( 3 1 5 ) ，故也满足等式( 3 1 6 ) 把厶代入( 3 1 6 ) 式得： r ( z ) f 妒( z ，t ，乱，( z ，) 一妒( z ，t ，钍2 ( z ，功) 】( 札，一u z ) 如疵一口n ( z ) 1 【掣 gg 一掣 打) 掣一掣 如d 亡一r q ：( z ) t 【妒( z ，丁，u ( z ，t ) ) q “ 叫叩，钍2 ( 删m 【掣一掣 如出_ 0 ， ( 3 1 7 ) 这里q 。表示矩形区域总和： o 亡s 正n 一1 z n ) u o 亡t ，一他z 一n + 1 ) 我们用五例j 1 2 忆和来标记( 3 1 7 ) 中的积分项( 依次标记) 把如礼变换为下列形式： 屯乱= 一三口n ，晏t z tc 掣一掣】d 丁，2 如出 = 丢e 口如，t z t 掣一掣m 2 之 等式( 3 1 7 ) 可化为： ( 酬咖，州州) ) 一出 u 。( 叫) ) 】h 一蚴妇出 g + 三e q 如，t z t 掣一掣m 2 如 = a ：( z ) z t 【妒( 茹，丁，钍，) 一妒( z ，丁，让2 ) 打 掣一掣】如出( 3 1 8 ) ( 3 1 8 ) 式左端的两个被加项，由于函数的非负性，其积分也是非负的，且由于q n ( z ) 的 性质，积分随着n 的增长不减；( 3 1 8 ) 式的右端，易见对n 是有限的，所以( 3 1 8 ) 式左 河南大学硕士学位论文 端的两个积分对一切n 都是有限的因此，当n _ 。时，它收敛于有限极限由此 可得，函数， ，z ) = 【妒 ，z ，钍1 ( t ，z ) ) 一妒 ，z ，u 2 ( z ，t ) ) 】( t 正l t 正2 ) 在g 上可积 对于积分，即( 3 1 8 ) 式的右端，使当礼_ o o 时，收敛于零记a ，b 和g 为实 数，则有 i ( 刮a ( n = 1 2 川掣i b ( i _ 1 ，矽， 妒：( z ，t ，缸) g当o u s u p 钍1 ( z ，t ) ，u 2 ( z ，亡) ) 时 应用日魂d e r 不等式，可得：。 酬2 a b t 咖 州州) ) 一出 姒州) ) i 出出 “b t 【 u ，( 叫) ) 一 钍2 ( 州) ) 2 如比弘 q n = 4 仰t ； 【咖 钆1 ( 州) ) 一m 以础) ) ( u ，一蚴纵州间如出p q ” 4 仰c 埔_ 【帅如讲， q “ 这里面介于u 1 和钍2 之间 由于函数( z ，t ) 在g 上的可积性，则最终的积分当佗- o 。时为零，即 1 i m 矗n = 0 因此，对于( 3 1 8 ) 式左端的每一个积分，当扎一。时一定为零这意味着 出州捌( 钆一u 2 ) 2 如出= 。 ( 3 1 9 ) g 河南大学硕士学位论文 因为此( z ，t ，u ) o ，讹 o ，所以由等式( 3 1 9 ) 可得 乱1 ，t ) 三u 2 ( z ，t ) 这样就完成了定理3 2 的证明 参考文献 1 】r 0 8 e n a u ，l 枫锄ds l l p e r 他t 幽i i d np r o c e s s 皓闭p h y s i c a l & 墙两l e t t e r s ，1 9 9 4 【2 】a s h 撕t ( p r i v a t ec o 删蛳m i c a t i o n ) 【3 】j f i l o ，d m s i 、r i t yv e 璃l l sa b 印t i d nt h r o u g ht h eb o u n d a 哪【j 】j o 啪a l lo fm r e n t i a l e q u a t i o 9 9 ，2 8 1 3 0 5 ( 1 9 9 2 ) 【4 】a s k 甜鹊h i m 【0 i v t h ep r o p a g a t i o no fd i s t u r b 柚c p r o b l e m so fn o n - l i n e 盯h e a tc o n d u c t i o n w i t ha b 8 0 r p t i o n 【j 】m 0 8 c a w 1 9 7 3 【5 】o l e i n i l 【，o a ，k a l 弱h n i l 跚，a s ，a n d c h o uy 、l l i n ， t h ec a u d l yp r o b l e ma n db o l m d a 巧 v a l u e p r o b l e m s f o re q u a t i 6 地o ft h e i l o n - s t a t i o n a r ys p a g et y p e 【j 】i z v a b d n 鲫出 s s s r s e