（等离子体物理专业论文）磁流体不稳定性的理论研究.pdf

摘 要 域，强负剪切会产生强非局域螺旋不稳定性。而且在芯部不稳定性要弱于其它 区域。 g o 当扰动的角向模数 n 1 增加时，不稳定性增强而且最不稳定的区域 向等离子体边界移动;当扰动的环向模数。 增加时，不稳定也会变强，但是不 稳定的峰值向芯部移动。 对柱几何可压缩等离子体中螺旋扰动的研究得到以下结论:在不可压缩 性引 起的 修正中， 等效压强 p =yp + 男加。 和磁场项 2 k b b b 在修正 项中 的作用 是 退稳的 但是角向 磁 场的 平方 项( ?n + 1 ) b b / : 却 起到致稳的 作用。 对于正剪 切 磁 场位形，等效压强的梯度 d p / d : 恒为负，是 退稳项。对于反 剪切磁场位形， 等效压强梯度在芯部为正，是致稳的，而在中部和等离子体边界附近却是负 的，也是退稳项。 对环几何不可压缩等离子体中螺旋扰动的研究发现:模数为” 的螺旋扰动 会与环效应祸合衍生出 mfm 1 ( ， ， ; i s p o l o i d a l m o d e n u m b e r ) h e l i c a l p e r t u r b a t i o n s a n d t h e i r i n s t a b i l i t y p r o p e r t i e s . a s e r i e s o f a n a l y t i c a l c r i t e r i o n s h a v e b e e n o b t a i n e d d i r e c t l y f r o m mh d e q u a t i o n s w i t h o u t a n y e x t r a a s s u m p t i o n , w h i c h e n s u r e s t h e c r i t e r i o n s n o t o n l y t h e s u f fi c i e n t b u t n e c e s s a r y c o n d i t i o n s t o t h e h e l i c a l i n s t a b i l i t i e s . a s h e l i c a l p e r t u r b a t i o n s i n i n c o m p r e s s i b l e c y l i n d r i c a l p l a s m a , s e v e r a l c o u c l u s i 。 二 c a n b e d r e w : 1 ) a w e a k p o s i t i v e m a g n e t i c s h e a r ( p ms ) a n d / o r a s m a l l g r a d i e n t o f c u r r e n t d e n s i t y i s f a v o r a b l e t o t h e s t a b i l i t y . f o r r ms c o n fi g u r a t i o n . a s t r o n g n e g a t i v e m a g n e t i c s h e a r i n t h e c o r e r e g i o n b e n e fi t t h e i n s t a b i l i t y . 2 ) t h e r m s c o n fi g u r a t i o n d o e s n o t s h o w b e t t e r s t a b i l i t y t h a n t h e p m s c o n fi g u r a t i o n . 3 ) s e v e r a l e x t r a c o n c l u s i o n s t o l o c a l p e r t u r b a t i o n s a r e : i ) f o r p e r t u r b a t i o n s i n a p ms c o n fi g u r a t i o n , a l a r g e r g o , i . e . q, i , e x h i b i t s a w e a k e r ma g n e t ic s h e a r i n t h e c o r e a n d i s f a v o r a b l e t o t h e s t a b i l i t y . a l a r g e r p p r o d u c e s a s t r o n g e r s h e a r i n t h e m i d d l e r e g i o n a n d i s u n f a v o r a b l e t o t h e s t a b i l - i t y . i i ) f o r p e r t u r b a t i o n s i n a r m s c o n fi g u r a t i o n , a l a r g e r q o c o r r e s p o n d s t o a s t r o n g e r n e g a t i v e m a g n e t i c s h e a r i n t h e c o r e a n d s t r o n g e r p o s it i v e m a g n e t i c s h e a r i n t h e m i d d l e , w h i c h i s u n f a v o r a b l e t o t h e s t a b i l i t y . a l a r g e r p c o r r e s p o n d i n g t o s t r o n g e r m a g n e t i c s h e a r i n t h e m i d d l e i s u n f a v o r a b l e t o t h e s t a b i l i t y . i i i ) n o i n s t a b i l i t i e s a r e f o u n d f o r a3 abs tract l o c a l p e r t u r b a t i o n s w i t h r r a / n=2 / 1 b e c a u s e o f t h e i n c r e a s i n g s t a b i l i z i n g e ff e c t 二 ，i t h t h e p o l o i d a l m o d e n u m b e r ， ， : . 4 ) s o m e c o n c l u s i o n s s u i t a b l e f o r n o n - l o c a l p e r t u r b a t i o n s a r e : i ) n o n - l o c a l h e l i c a l p e r t u r b a t i o n s p r o d u c e s t r o n g e r i n s t a b i l i t i e s t h a n l o c a l p e r t u r - b a t i o n s s o t h a t e v e n h i g h m o d e s e x h i b i t v e r y s t r o n g i n s t a b i l i t i e s . i i ) a s t r o n g n e g a t i v e m a g n e t i c s h e a r i n t h e c o r e r e g i o n c o n t r i b u t e s l i t t l e t o t h e i n s t a b il i t y . i i i ) i n s t a b i l i t y i s s t r o n g e r i n t h e d e c r e a s i n g r e g i o n o f t h e r - d i r e c t i o n p e r t u r b a t i o n a m p l i t u d e a ( r ) t h a n t h a t i n t h e i n c r e a s i n g r e g i o n a n d p e r t u r b a t i o n s w i t h a s t e e p n e g a t i v e s l o p e p r o d u c e s s t r o n g l o c a l i z e d i n s t a b i l i t i e s . b e s id e s , i n s t a b i l i t y i s w e a k e r i n t h e c o r e t h a n o t h e r r e - g i o n s . i v ) i n s t a b i l i t y i s e n h a n c e d a n d i t s p e a k m o v e s t o w a r d s t h e p l a s m a b o u n d a r y a s p o l o i d a l p e r t u r b a t i o n m o d e n u mb e r n r i n c r e a s e s w h i l e i n s t a b i l i t y i s s t r e n g t h e n e d a n d t h e i n s t a b i l i t y p e a k mo v e s t o w a r d s t h e c o r e a s t o r o i d a l p e r t u r b a t i o n m o d e n u m b e r n in cr e a s e s. wh e n c o m p r e s s i b l e fl u i d s a r e c o n s i d e r e d , c o n c l u s i o n s a r e : 1 ) a m o n g t h e m o d i fi c a - g i o n s d u e t o i n c o m p r e s s i b i l i t y , e ff e c t i v e p r e s s u r e , p=7 p +礴/ p o , a n d m a g n e t i c t e r m . 2 k b b b . , e n h a n c e s i n s t a b i l i t y - e x e r t e d b y h e li c a l p e r t u r b a t i o n w h i l e p o l o i d a l u r a g r i e t i c fi e ld , (; ，: +1 ) 男/ : s u p p re s s e s in s t a b il ity . 2 ) g r a d ie n t o f e ff e c t iv e p r e s s u r e is a h v a y s n e g a t i v e a n d a c t s 二 a d e s t a b i l i z i n g t e r m w h e n p d i s c o n fi g u r a t i o n i s c o n s i d e r e d . f o r r a m s c o n fi g u r a t i o n s , g r a d i e n t o f e ff e c i t v e p r e s s u r e i s p o s i t i v e i n t h e c o r e , w h i c h i s s t a b i l i z i n g , a n d i s n e g a t i v e i s t h e b o u n d a r y r e g i o n , w h i c h i s d e s t a b i l i z i n g . t h e i n v e s t i g a t i o n o n t h e i d e a l h e l i c a l i n s t a b i l i t i e s l e a d s t o t h e f o l lo w i n g c o n c l u s i o n : t h e p e r t u r b a t i o n o f m o d e i n c o u p l e s w i t h t h e t o r o i d i c i t y i n o r d e r t o t r i c k o r e ff e c t t h e ” 士7 7 1 . m =1 , 2 ， 二 m o d e s . o n t h e o t h e r h a n d , t h e 7 n 士t n m o d e s w i l l e ff e c t t h e b e h a v i o r o f mo de i n. a 4 致谢 首先要感谢导师李定教授对我生活上的关心和学业上的悉心指导。论文 的理论分析和总结都是在李老师细致入微的指导下完成 的，期间经过反复的讨 论和修改，数易其稿。李老师严谨m密、力求完美的治学态度与科学作风，渊 博的学识都使我受益匪浅。在这里，我怀着崇敬的心情向他表示深深的谢意。 感谢 组里 的杨维统老师及吴征威 、项江、郭泽华、 吕雪 、黄骏等 同学， 同他们的讨论对课题的开展有很大帮助。正是他们无私热忱的帮助，使得课题 进展顺利，在此，向他们致以最诚挚的谢意。同时还要感谢俞昌旋老师、刘万 东老师和曹金祥老师多年来对我的关心与爱护。 最后 要感 谢我的父母、哥嫂 、姐姐姐夫 ，是他们殷切 的希望一直激励着 我努力向上。感谢我的妻子，她的支持与鼓励，使我能够全身心的进行学习与 工作。 第一章 绪论一一等离子体不稳定性 第一章绪论一一等离子体不稳定性 概述 能源是推动科学、技术和经济高速发展的保障。在过去的1 0 0 年中，人类 对能源的研究和使用已从化石类燃料的单一化结构发展到以化石类能源为主， 核能和水能互补的多元化格局。煤、石油等化石类能源不可再生，资源日益枯 竭，并且给地球带来了巨大的污染，这些问题促使人们更加重视寻找环保与可 持续使用的新能源。 核能是能源家族的新成员，它包括裂变能 与 聚变能两种主要形式。裂变 能是重金属元素的质子通过裂变而释放的巨大能量，目前已经实现商用化。因 为裂变需要的铀等重金属元素在地球上含量稀少，并且常规裂变反应堆会产生 长寿命放射性较强的核废料，这些问题限制了裂变能的发展。另一种核能形式 是 目前尚未实现商用化的聚变能。 裂变是原子核分裂而释放出能量。核聚变则是两个较轻的原子核聚合成 一个较重的原子核，并释放出能量的过程。自然界中最容易实现的聚变反应是 氢的同位素一一氛与氖的聚变，永恒发光发热的太阳和具有巨大破坏力的氢弹 所释放的能量都是来自于氖氖的核聚变反应。据推算，侮升海水中含有 。 刀 3 克 氖 ，通过 聚变反应可释放 出相 当于燃烧3 0 0 公升汽油的能量，而地球 上仅在海 水中就有4 5 万亿吨氖，如果全部用于聚变反应，释放出的能量足够人类使川儿 百亿年。至于氖，虽然自然界中不存在，但靠中子同w作用可以产生，而海水 中也含有大量铿。另外，由于核聚变需要极高温度，一旦某一环节出现问题， 燃料温度下 降，聚变反应就 会自动中止。就是说，聚变堆是次临界堆，绝对不 会发生核 ( 裂变 ) 电 站的泄漏事故，并 且反应的产物是 无放射性污染的氦，所以 它是安全的。因此，聚变能是一种环保、安全、廉价、取之不尽用之不竭的新 能源。这就是为什么世界各国，尤其是发达国家不遗余力，竞相研究、开发聚 变能的主要原因。 事实上，人类已经实现了氖氖核聚变一一氢弹爆炸，但那种不可控制的 瞬间释放的能量只会给人类带来灾难，人类真正需要的是实现受控核聚变。实 现受控核聚变的关键是将等离子体约束在一种能够使聚变反应自持进行的状态 ( 劳逊判据， l a w s o n s c r i t e r i o n ):密度的峰值fi ，温度的峰值护 ，和能量约束 第一章 绪论一一等离子体不稳定性 时间 r e 的聚变三重积满足 i s 少 t e 5 x 1 0 2 1 m - 3 k e v s 时 ，聚变反应输出的 功率刁 会 大于为驱动聚变反应而输入的功率，产生净输 出。根据约束方法不同，受控热 核聚变能的研究分为磁约束 聚变 ( m a g n e t ic c o n fi n e m e n t f u s io n 即 a i c f )与 惯 性约束聚变 ( i n e r t i a l c o n fi n e m e n t f u s i o n即 i c f )两种途径。 磁约束聚变是利用强磁场可以很好地约束带电粒子这个特性，构造一种 特殊的磁约束装置，建成聚变反应堆，将聚变材料加热至满足劳逊条件的状 态，实现 聚变反应 。2 0 世纪下半叶 ，聚变 能的研究取得重大进展 ，托卡马克类 型的磁约束研究处于领先地位，是实现受控核聚变最有前途的途径之一。托卡 马克是前苏联科学家于上世纪6 0 年代发明的一种环形磁约束装置。美、日、欧 等发达国家的大型常规托卡马 克在短脉冲 ( 数秒量级 )运行条件下， 做出了 许多 重要成果，在有的装置_ 匕 等离子体温度已达 4 .4 亿度，脉冲聚变输出功率超 过 1 6 兆瓦， q 值( 表示输出 功率与 输入 功率 之比 ) 己 超过 1 .2 5 . 所有这些成就都 表 明:在托卡马克上产生聚变能的科学可行性已被证实。但这些结果都在数秒时 间内以脉冲形式产生，与实际反应堆的连续运行仍有较大的差距，其主要原li l 在于磁容器的产生为脉冲形式。磁约束聚变研究的一个重大突破，就是将超导 技术成功地应用于产生托卡马克强磁场的线圈上，建成了超导托卡马克 ( 例如 t o r e - s u p r a , i t e r ，和 h t 一 了 u )，使得磁约束位形的连续稳态运行成为现实。 超导托卡马克是公认的探索、解决未来具有超导堆芯的聚变反应堆j _ 程及物理 问题的 最有效的途径。 法国的 超导 托卡马克 t o r e - s u p r a 是 世界一: 第一个 真正 实 现高参数准稳态运行的装置，在放电时间长达1 2 0 秒条件下，等离子体温度为 两千万度，中心密度每立方米1 . 5 x 1 0 9 ，放电时间是热能约束时间的数百倍。 惯性约束聚变是利用高功率的激光束或粒子束辐照聚变燃料，在瞬间产 生极高的温度和压强将聚变燃料压缩到高温 ( 5 千万度以上 ) 高密度 ( 6 0 ()! / c m , ) 完 成核反应。由于这个过程与氢弹有着相似之处，所以 惯性约束聚变研究从一丁 始就处于保密状态。也由于惯性约束聚变与氢弹有关，儿个核大国在二 卜 世 纪 6 0 年代就开始了各 自 的研究。 值得骄傲的是，中国是开始这方面研究最早的 国家之一，己故杰出的核物理学家王淦昌院士在1 9 6 4 年就提出了激光聚变的设 想 。 大多数磁约束等离子体装置的一个共同特点是:它们的运行范围受到等 离子体不稳定性的限制。甚至在通常的运行情况下，也有不稳定性发生。当试 图在更高的温度和等离子体密度条件下运行时，就更容易发生强烈的不稳定 性。基于上述原因，能预测受约束等离子体中的宏观不稳定性颇为重要。这些 不稳定性的很多特点都可以用磁流体力学 ( m h d )模型进行研究。这种简单 第一章 绪论一一等离子体不稳定性 的模型是将等离子体看作一种受电磁力和压强共同作用的导电流体。衣相当大 的范围内，它可以作为研究等离子体平衡和宏观不稳定性的一个很好方法，可 以用于处理很复杂的位形，并能对等离子体实验和天体物理观测中的一些现象 提供直观的认识。 第一章 绪论一一 . y 离子体不稳定性 2 磁流体力学模型 1 .2 .1 基本方程 磁流体力学 ( m a g n e t o h y d r o d y m a m i c , mh d )方程组由流体力学方程和麦 克斯维方程组构成。它是描述导电流体与电磁场相互作用的一个简单模型，直 观地描绘出等离子体各个状态量随时间的发展过程。等离子体作为一个系统， 在空间、时 间任一点的状态由 变量 v , b , t , p 和 p 给出， 这里 v 是宏观的流 体 速度， b 是磁感应强度，t 是温度， p 是热压力， p 是质量密度。电场强度e 和电 流密度j 作为辅助量来处理。下面，将对它的每一个方程及其变形分别做介 绍。首先: 运动方程 ( mo me n t u m , e o u a t i o n )为 (ll) dv p d 丁二一 vp +jxb+v i i+f e x t , 上式左边出 现的算子 d / d t 表示随流导数 ( c o n v e c t iv e d e r i v a t iv e )， 也叫拉格朗 日微商 ( l a n g r a n g e d e r i v a t i v e ): 竺_ 攀+ v 二 c t t口 t 它表示运动流体元状态量的时间变化率。第一项是局域导数，表示不同流体经 过空间给定点时，状态量在时间上的变化:第二项是随流项，表示在给定时 刻，状态量在空间中的变化率。在 ( 1 . 1 )式右手的f e x ， 代表作用于流体元的外 力，例如重力。第一项是压强梯度项，表示由压强的空间不均匀性产生的驱动 力。第二项是洛伦兹项 ( l o r e n t z )，是作用于等离子体中单个带电粒子上的洛 伦兹力z ; e vi x b 的总和 ( z ; 是粒子电量， v; 是粒子的速度)。洛伦兹力有两种 常用的变形 : j x b 二 王 b - v b 一 止v b 2 j x b 一 1 汾k - p l ( 1 . 式中 k三b - vb ,v土兰v一bb- 甲 分别表示磁力线的切向基矢、磁力线的曲率和垂直梯度。表达式 ( 1 . 2 )右手 第一项代表磁力线的张力，指向曲率中心，很类似弦的张力。第二项是磁场 第一章 绪论一一等离子体不稳定性 的压力项，由强场区指向弱场区。通常都可以直观地将磁力线看作弹性很好 的弦，弯曲时产生一个张力，压缩会产生一个恢复力。 ( 1 . 1 )的第三项是粘 滞项， b r a g i n s k i i l 讨论了粘性项中形式较为复杂的空间微分算子， g r i m m和 j o h n s o n ( 1 9 7 2 )写出了首次积分的形式: ii = - 3 p v ( b 。 一 1 =l 。 . 二 wv 、 一 ( b 二 。 、 - v 一 1 0 .v l 。/ l、，、，a 式中。 二0 .9 6 不t i i / m i , t i i 是离子一离子碰撞时间。 能量守 恒 方程 ( e n e r g y c o n s e r v a ti o n s ， 为 。 共( ,_ p ,. ) + ， 二 .v 一 二 . (、 . 二 : ) + 71 .i2 十 。 。 一 。 ，.(1 .3 ) ur 一1 ) p / 代表空间任意一点的动量、磁通、密度和总能量的时间演化。其中 凡 是热传导 系数张量，ti 为绝热系数， q 。 =v ( v r i ) 一v ( n v) 代表粘滞耗散引起的加热项， q ， 是能量辐射损失项。 连续性方程 ( c o n t i n u i t y e q u a t i o n )为 d p， 。 不 下 二 一尸l v v)， 1 乙 ( 1 .- 1 ) 这个方程代表等离子体运动对密度的影响，方程右边对应于压缩或膨胀效应。 如果 v- v二0 ，流体就是不可压缩的，流体的密度保持不变。利用绝热压缩条 件， p p 是常量，并结合连续性方程，得出: 压强方程为 d p 一: ， (二 . v ) a ( 1 . 5 ) 这个方程代表等离子体运动对压强的影响。 安培定律 ( a m p e r e s l a w )为 j 一 上 v x b , 拜o 这是忽略了位移电流 。 a e / d t 的安培定律。 b f , rp- p 远远小于光 速时， 这 种简化是 合理的。 法拉第定律 ( f a r a d a y 。 l a w )为 ( 1 . 6 ) 当阿尔芬 ( a l f v e n )速度t , .:三 a b 一二 x e . 口 t ( 1 . 7 第一章 绪论一一等离子体不稳定性 这个方程表示磁场随时间的演变 。法拉第定律中的电场是实验室参考系中的电 场 。 欧姆定律 ( o h m s l a i n )为 e十v xb=7 7 j ,( 1 . 8 ) 这里刀 是电阻率，取， =0 ，可得到描述理想磁流体的欧姆定律。 第一章 绪论 一一等离子体不稳 定性 到的不稳定性判据对于不稳定性是充分而非必要的，而且它不能确定某种具体 不稳定性的增长率。第二种方法 ( 简正模分析)假定所研究的平衡态等离子 体受到了扰动，并且扰动对时间的依赖关系是e x p ( - i w 约 ，在适当的边界条件下 求解扰动满足的线性化等离子体方程，得出一个用平衡参数表示的 。 方程。如 果所得到的 w 是实数，那么扰动仅以简谐振动的形式出现，等离子体就是稳定 的。如果。 有正虚部，扰动会随时间增长，系统就是不稳定的。但是，简正模 方法只能用于等离子体平衡态足够简单、可以 求解线性化等离子体微分方程的 情况 。 直观方法2 0 是不同于上述两种研究不稳定性的方法，在三种标准方法中最 为简单直观，也因此而得名。直观方法从处于平衡态的等离子体出发，考察作 用于等离子体上的力由扰动引起的变化。如果这种变化会增强初始扰动，那么 系统是不稳定的，反之，如果力的变化是抑制初始扰动的，系统就是稳定的。 基于同样的原理，1 9 8 6 年， p s i m o p o u l o s 和 h a i n e s 首次采用时间展开的方法研 究等离子体 中螺 旋扰动的 演化， p s im o p o u lo s 和 l il s 将这种方法应用到研 究纵 向磁场对扰动模数。 7 =1 的螺旋扰动的稳定效应。这种方法不需要象能量原理 一样引入一系列假定，而是直接由速度的二阶导数是否与初始扰动速度同向来 判断不稳定性，得到的判据既是不稳定性发生的充分条件又是必要条件。本文 将研究适用于任意磁剪切位形、柱几何及环几何等离子体中扰动模数。 ) 1 的 理想螺旋扰动的时间演化和不稳定性。 时 间展开方 法的 基本物 理思想是: 任意一 个扰动速度， v x f (x , t ) , t ， 都可 以展开成时间级数，如下: / d v / d 2 v t 2 v (x , t) 一 v o (x ) + 又 -d -t, ) o + 又 d t2 ) 0 2 ! + ” ( 1 . 1 =1 ) 其中， v o (x ) 是初始 扰动速度， 而系 数(d f v / d t ) o , i =1 , 2 ， 二 ， 可以 利 用磁 流体 力学方程解析地 得到，所以 v o ( x ) 和 (d i v / d p ) 。 只依赖于流体元的初始 位置 x . 将v o ( x ) 之后的第一个非零项于v o ( x ) 进行比较，如果初始扰动v o ( x ) 被增强，则 扰动就是不稳定的，否则就是稳定的。 第一章 绪论一一等离子体不稳定性 4 总结 等离子体中存在大量的宏观不稳定性，这为实现受控核聚变设置了重重 障碍。为了能找到抑制和消除这些不稳定性的方法，必须对它们有充分的了 解，所以，通过构造合适的物理模型，探索适当的处理方法，研究这些不稳定 的性质、获得清晰直观的物理图像就显得特别重要。本文对磁约束聚变中的螺 旋不稳定性进行研究，得到了一些有意思的结果 。 本文 结构安排如下 :第二章和第三章分 别从可压缩和 不可 压缩的角度研 究柱几何等离子体的螺旋不稳定性，第四章则更进一步地研究了环几何等离子 体中的螺旋不稳定性。 第二章 柱儿何中不可压缩=: r 离子体的螺旋不稳定性 第二章 柱几何中不可压缩等离子体的螺旋不稳定性 2 .1 基本方程和假设 这一章研究柱几何中理想磁流体的螺旋不稳定性，并且只考虑不可压缩 等离子体。我们采用如下形式的m h d 方程组: dv dt ab at 一 1- (- v p + j x b ) , p ( 2 . 1 ) =vx ( vx b ) ， v xb二to j , d pi . 一。 (v v ) ， uc d pa t 一 : ， (v v ) 其中算子d / d t 表示随流导数， 强 ，电流密度和磁感 应强度; 态在柱坐标系中可 以描述为: ( 2 . 2 ) ( 2 . 3 ) ( 2 . 4 ) ( 2 . 5 ) v, p , p , j 和b 分别是扰动速度，质量密度，压 7 是绝热系数。在t 二0 时刻 ，等离子体的初始状 p o =p o 帕 p o =p o ( r ) , b o =e o b o o ( r ) +e . b z o ( r ) , j o =f e j e o +6 z j o 其中b 。 是电流j z 。 的感生磁场，b z 。 是外加磁场。为了简单起见，只考虑轴对称 系统，所以，上面的状态量都只是半径: 的函数，这种磁场形式是无散的，很 自然地满足了无源场条件，并且它们满足下面的平衡方程组: 鲁一 jeo b z。 一 、 。 。 。， 1 d (r b oo )r d r一 。 、 。， 一 d b zod r 一 。 0 。 。. ( 2 . 6 ) ( 2 . 7 ) ( 2 .8 ) ( 2 . 6 )是和运动方程相关的 ， ( 2 . 7 )和 ( 2 .8 )则可以由安培定律得到。 第_章 柱儿何中不可几缩等离子体的螺旋不稳定性 2 . 2 局域扰动速度场 2 .2 . 1 求扰动的二阶加速度 假设在起始时刻， t =0 ，存在一个向外发展、模为 9 n o n 1 )的初始扰 动速度v o w ，它位于小截面上，而且没有轴向的分量: v o =a e t m c o s ( m 9 一k z ) 一6 e s i n ( m 8 一k : ) ! ( 2 . 9 ) 其中 a 为常量， 川 二 2 对l , l是螺旋扰动的波长。对于理想的 z 箍缩 ( z - p i n c h )，l 是连续的，因此一 o o k 十 0 0 。在研究托卡马克等离子体的行为规 律时， 如果采用直柱 近似， 考虑到环的 周期 性特征则 l 二2 7r r / in , k 二n / r , 其中n 二士 1 , f 2 , . . . , r 是托卡马克的大半径。作为不可压缩等离子体，初始速 度 ( 2 . 9 )的散度为零: 二 . v o _ : 8 r m c o s (m 。 一 、 z )l 一 a l) sin (m 。 一 、 = )l 一 。 . r 口 r “ jr 口 夕 “ 利用方 程组 ( 2 . 1 )一 ( 2 . 5 )就可 以直接推 导出时间展 开级数的系 数: (d v / d t ) o , i = 1 , 2 。根据方程 ( 2 .6 )，时(fl ) 级数 ( 1 .1 -1 )的阶系数 为 : d v 、 一 1 (一 : p o 、 j o 、 b o ) 一 。 u/o p o ( 2 . 1 0 ) 二阶系数可以通过求方程 ( 2 . 1 )的随流导数得到: d 2 v d t 1 d 。， 。 、 1 d p d v 一节 万 丁气 一v夕十 j x .i s) 一 一t下气万- p u t p a t a t ( 2 . 1 1 ) 考虑到方程 ( 2 . 1 0 )，方程 ( 2 . 1 1 )的右手第二项在t =0 时应为零 ，所以: ( 2vt 。 一 pa d tt (-v 一 ，!。一。 ( 2 . 1 2 ) 稍后，上式右手的压强项和洛伦兹项将被分别计算出来。首先考虑压强 项。利用连续性方程 ( 2 . 4 )和压强方程 ( 2 . 5 )，密度和压强在t =0 时的随流导 数都为零: ( d t 。 一 : ，。 (二 .v u。一 。， ( 黝 。 一 。 (: .v o。 一 。. 第乙章 柱儿何中不可压缩等离子体的螺旋不稳定性 这说明，在仅考虑一阶扰动时，密度和压强保持不变。由此，根据随流导数的 定义，密度和压强的局域变化率分别为: ( a ta p) 。一 (n o .v 、 ，一 。 爪 ( o to p) 。一 。v o .二 。 。 一 。 777 d p oc o s ( m b 一 k z ) , c o s ( n 7 h 一k z ) . r伪一r dd-d 在这个基础上，可 以很容 易得到二阶系数表达式 ( 2 . 1 2 )等号右边的压强项: !da a (一 二 p)ijjjt、 一v .( a p- 0 .c a ) 。一 (n o 二po ， m 2 一1 d p o， 。 ，、 =-e q a- 8 u t k ? l l y一 x z ) r ur : _ _ _ ， _ d p o _ _ _ ， 。 t e, a i i tn n t l l l l i ty 一 八 石 ) . d r ( 2 . 1 3 ) 然后，考虑二阶系数的洛伦兹项。磁场在初始时刻的局域变化率可以通 过将扰动速度 v o 和磁感应强度b o 代入方程 ( 2 . 2 )化简得到: ( 5b )。 一 v x (v o ” 。， 一r 2 777. ( 攀 b 、 一 “ ) dr一l ) 。? “ 一 “ “， b oo 一 1112 - 1r 、 叫cos、 一 “ z). flwer，一r 2-d. d-十 一 ，n k 2 b zo + m? k b e。 十 叨 /r、了才任、 a e r 1 1 0 a 己 夕 一 户 o a c z 户o f . d b , n 1 72 d / d 凡。 i ti 一 一11 1 l d r r d r d r/ 第乙章 柱儿何中不可压缩等离子体的螺旋不稳定性 进而 ，电流密度的随流导数为: (豁 ) 0 一 ( a a la tj + (mo o ， ， 。 / ? n 2 一1 d b , n_ d b e n_ 。 _ _、 气 不= - d r + 饥 “ ，不 于 一 “ h zo) s i n ( m b 一k z ) (一 、2bzo+ m 2 k- b oor) 一 (一 “ 一 ， 卜 争+ na (m 2 - 1)2 b oor 一 宇“ 叫 a一内a一内 =c r 十e o c o s ( m b 一 k z ) . ( 2 . 1 6 ) a一约 几c 分别利用磁场和电流密度的随流导数 ( 2 . 1 5 )和 ( 2 . 1 6 )式，可以得到二阶系数 表达式 ( 2 . 1 2 )的洛伦兹项 : d (jd b )t=。一 ，。 ( db )o+ ( dt ) o b o 一喘卜 k2 b 2.o 十 “ 勃 b00 bzo 卜 丛 2 _b oo b .o) + m (m 2 1) b eo 一 2 午“ b oo 叫 x c o s (n t b 一 k z ) + 户 。 ap 0 -卜 2 b o + m k 黔 - 一1 r 2 i t r ., 一1 d b 2 1 n o 一 一 云 = 下 s in (n a b 一 k z ) 一 : 兰i k- boo 13.o - 。 无 d b ,2 1 1 0 最 后 ，将 压强项 ( 2 . 1 3 ) ( 2 . 1 2 )，并且利用平衡方程 阶加速 度: 2 dr sin (n2“ 一 二 ) (2.17 和 洛 伦 兹 项 ( 2 . 1 7 ) 代 入 二 阶 加 速 度 方 程 2 .6 )一 2 .8 ) ，就 可 以得 到初 始扰 动 的二 ( d2 v ) d t a / o = - er - im kz b ofto po+ “ 异 be0 bzo 卜2d r (b eo b zo) + na r2 1 nt b eo 一 ， “ b oo /3,o) x co s 一 “ 一 “ ， + e o 赢 k 2 b z zo + r “ b oo b zo sin (m “ 一 “ ， 一 : : 二 生 k z b e o b z o + 771- a - b 2, 1 s in ( n z 。 一 、 : ) / 1 o p o l r i ( 2 . 1 8 ) 在上式中，逆磁项d b z o / d : 仅出现在: 方向，并且对 角向模数” a =1 的螺旋扰 动的修正以 正比 于 ，i s - 1 的形式出现，如果 ，it =1 ，就回到了 p s im o p o u l o s 和 l i 19 在1 9 9 3 年的结果。 这是本小节的一个主要的结果，螺旋扰动速度的短时间尺度演化方程 ( 1 . 1 4 )可 以用二阶加速度表示成: v (x ,，= v o(x )+ (豁 )。 t22! 第二章 柱儿何中不可压缩等离子体的螺旋不稳定性 2 .2 . 2 理想磁流体螺旋扰动的稳定性分析 为 了简单起 见，我们将二阶加速度方程 ( 2 . 1 8 )中的下标省去 : 厂 2( a y 、 d v/ 。 一 。 r二几 ; k 2 。 : 十 、 二 (、 。 ) + m 2 - 1 (，; 。 若 一 : ，.* 。 。 b z)l 。 。(， ; 一 ，;。 ) / t o p l一a r、r一 j +: 。 a 、 ， b i + m 、 b o b j si n (m 。 一 、 : ) po p l r 瓦ae z - 、 ， b o b z + n 1- k b a l s i n ( m 。 一 、 : ) . p -o p l r j ( 2 . 1 9 ) 由于扰动速度被展开成前一小节中的时间级数的形式，所以可以直接分析每一 个流体元的动力学行为，这就是说，如果扰动的二阶加速度和初始扰动同向， 则扰动就会增长，从而向不稳定的方向发展;反之，如果扰动速度的二阶加速 度与初始扰动反向，则扰动就被削弱，向稳定的方向发展。另一方面，如果扰 动是不稳定的，那么，它应该会随着时间增长，所以它的二阶加速度就必须与 初始扰动速度同向;如果扰动是稳定的，那么它应该会随着时间而减弱.因此 它的二阶加速度就必须与初始扰动反向。从上面的分析可知:对于任意的扰动 速度，二阶加速度与初始扰动同向不仅是不稳定性发生的充分条件而且也是必 要条件。 作为一个具体应用，我们来研究直柱托卡马克的理想螺旋不稳定性。首 先，引入安全因子的定义: r b z 9 r b b 其中 k = 可r 。利 用安全因 子， 二阶 加速 度(d 2 v / d t 2 ) 。 可以 改写 为: ( d 2 v ) d t 2 / o a i n畔。 d / : 、7 n 2 一1 =-e ，一 一 ， 二 丈 1 7 z “十 一 气 一1一j十 p o p 瓦 l 7 n d r 9 / 4 _ 2 竺m2一1 9 c o s ( m b 一a . : ) + “。a m n b.2 ( npo p r 2 ( m . ;) sin(m 。 一 、。) 一 am n b bb z ( ngo p r 2 (7r1 ;) sin(m 0 - 、 :). ( 2 . 2 0 ) 直柱托卡马克满足大纵横比近似: 二刁r r.少、. 目. 乙 表达式 ( 2 .2 2 ) 中 的一 ， 1, d (1, 了 q ) l d r 是 与磁剪 切 。 ( : ) 二， ， / 、 相 关的 项: 。 、 : 、7 ; 、 ， l ) 0 0 不稳定性增强 稳定性增强 ( 2 . 2 3 ) 因此，在正剪切区域，强剪切会增强不稳定性或削弱稳定性;同时在负剪切区 域，强剪切会增强稳定性或削弱不稳定性。 在这个小节后面的部分，我们通过一个具体例子，利用前面得到的判据 ( 2 . 2 2 )分析理想磁流体的螺旋不稳定性 。这些分析基 于下面的假设 :纵 向总 电流和 角向磁通是常数: : 二 关 ,i.-r d r d o - 2 7 r r 2 b n o r o 9 = co n s t a n t 并且 ( 或 ) ap p 一 rro b b dj 0 一 b - r djor r 4 一 c on stant. 第三章 # 划l 何中