（计算数学专业论文）一种非线性schrodinger方程的守恒型差分法和fourier谱方法.pdf

中文摘要 摘要 在量子力学、等离子体物理、地震学、声学等许多学科中经常出现s c h r s d i n g e r 方程对于不带导数项的非线性s c h r s d i n g e r 方程，已有不少学者应用各种方法进 行了研究，并对各种情况进行了模拟，得出了一系列比较令人满意的成果但是严格 的误差分析尚无可查的文献报导另一方面，当s c h r s d i n g e r 方程带有非线性导数 项时，构造实用且守恒的格式变得更加困难，在这方面，相关文献更加贫乏本文 旨在研究此问题的有效数值解法 数值试验显示，通常的显格式求解s c h r s d i n g e r 型方程是不稳定的本文首先 考虑带导数项的非线性s c h r 6 d i n g e r 方程的周期边值问题，提出了一种守恒的时间 半离散隐式差分格式，理论证明耳数值验证了格式的能量守恒性其次，在忽略非线 性导数项的情况下，对于差分解的收敛陛进行了研究，严格推导了收敛阶另外，针 对周期边条件，我们在空间上采用谱f o u r i e r 法进行离散，推导了全离散问题的能 量守恒陛 最后，e 述理论结果通过一系列数值试验得到了检验 关键词：s c h r 6 d i n g e r 方程；差分法；f o u r i e r 谱方法 英文摘要 a b s t r a c t m a n yp h y s i c a lp h e n o m e n ai nq u a n t u mm e c h a n i c s 、p l a s m aa s t r o p h y s i c s 、 s e i s m o l o g y 、a c o u s t i c sa n de t ca r ed e s c r i b e db yt h es c h r s d i n g e re q u a t i o n t h e r e h a sb e e nm u c hw o r k so nt h es c h r s d i n g e re q u a t i o nw i t h o u tn o n l i n e a rd e r i v a t i v e t e r m s ，m a i n l yu s i n gt h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d t h e s ew o r k sh a v ef o c u s e do n t h ec o n s t r u c t i o no fs t a b l es c h e m e s ，w h i c hp r e s e r v ed i f f e r e n te n e r g yi d e n t i t i e s h o w e v e r ，u pt oo u rk n o w l e d g e ，n oe t o ta n a l y s i si sa v a i l a b l e o nt h eo t h e rs i d e ， w h e nt h en o n l i n e a rd e r i v a t i v et e r m sa r ei n v o l v e di nt h es c h r s d i n g e re q u a t i o n ，i t i sm o r ed i f f i c u l tt oc o n s t r u c ts t a b l es c h e m e sp r e s e r v i n gt h ee n e r g yc o n s e r v a t i o n s t h ec o n s t r u c t i o na n da n a l y s i so fs u c hs c h e m e sf o rt h en o n l i n e a rs c h r s d i n g e r e q u a t i o ni so n eo fo u rm a i ng o a li nt h i sr e s e a r c h o u rn u m e r i c a le x p e r i e n c e ss h o w ，a sr e p o r t e db ym a n yo t h e r s ，t h a tt h ec l a s - s i c a le x p l i c i ts c h e m e st ot h es c h r s d i n g e re q u a t i o na r eu n s t a b l e i ti st h e r e f o r e d e s i r a b l et oc o n s t r u c ts u i t a b l es e m i - i m p l i c i ts c h e m e sa l l o w i n gs t a b l el a r g et i m e - s t e p p i n g t h es e c o n dg o a lo ft h i sp a p e rc o n s i s t so fc o n s i d e r i n gt h es c h r s d i n g e r e q u a t i o ni n v o l v i n gt h en o n l i n e a rd e r i v a t i v et e r m ，s u b j e c tt ot h ep e r i o d i cb o u n d - a r yc o n d i t i o n s ，a n dp r o p o s i n gac o n s e r v a t i v ef i n i t ed i f f e r e n c es c h e m ei nt i m ea n d f o u r i e rs p e c t r a lm e t h o di ns p a c e r i g o r o u sn u m e r i c a la n a l y s i si sc a r r i e do u tt o d e r i v et h ee n e r g yc o n s e r v a t i o np r o p e r t i e so ft h ef i l l ld i s c r e t ep r o b l e m f i n a l l y , as e r i e so fn u m e r i c a le x p e r i m e n t sa l ep e r f o r m e dt os u p p o r to u rt h e - o r e t i c a lc l a i m s k e yw o r d s ：s c h r 6 d i n g e re q u a t i o n ；f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e ；f o u r i e r - s p e c t r a l m e t h o d 1 1 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果。本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究成 果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论 文而产生的权利和责任。 声明人( 签名) ：龚玉否 加d6 年厂月调日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文 的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量 复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘 要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密( ) ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( j 。 ( 请在以上相应括号内打” ”) 作者签名：孝五苫 导师签名： 日期；加秒6 年砌 日期：年月n 凶中日 、多 第一节引言 第一节引言 本节主要就丈中所涉及到的几种方法( 差分法、谱方法、预估一校正算法等) 作 了简单的介绍，并概述了本文所要研究的内容 1 1 绪论 差分法( 参见【1 】jf 2 1 ，【3 】) ：有限差分方法是用于微分方程定解问题求解的最广泛 的数值方法，其基本思想是用离散的，只含有限个未知量的差分方程去近似代替连 续变量的微分方程和定解条件，并把相应的差分方程的解作为微分方程定解问题的 近似解对于个方程，可以作出许多逼近此方程的差分格式，但并不是每个差 分格式都是可用的衡量个差分格式是否经济实用，是由多方面的因素决定的， 主要有 1 计算简单 2 收敛断眦敛速度 3 稳定性 e 述r l 个方面也是评估个算法优劣的标准 谱方法( 参见 4 1 ，【5 】) ：谱方法是7 0 年代发展起来的一种数值求解偏微分方程的 方法，是继差分法和有限元法之后又一种重要的数值方法谱方法的最大优点是它 具有所谓无穷阶”收敛陛，即如果原方程的解无穷光滑，那么用适当的谱方法所 求得的近似解将以- 1 的任意幂次速度收敛于精确解，这里为用于逼近精确解 的多项式阶数谱方法的这优点是有限差分法和有限元法无法比拟的，众多的实 际应用和数值实例也证实了该方法的有效性因此，谱方法日益受到人们的重视， 现已被广泛应用于气象、物理、力学等诸多领域把个函数依据一个正交函数系 来逼近是数值计算中常用的一种近似方法，它的逼近精度和是否便于实现决定了这 些方法在实际计算中的作用对于周期情形，f o u r i e r 展开是最常用的，当函数充分 l 第一节引言 光滑日寸它的第k 个展开系数将以k 一速度趋于零，其中a 是与函数光滑睫指标有 关的数当函数无穷光滑时，n 就可以取任意正实数，这就导致所谓镨精度”的 概念 预估校正( 参见【1 l 【2 】) ：对于b 急式格式，通常用迭代法求解，而这种方法每一 步的计算量取决于其迭代的次数，所以选好初值是非常重要的，最自然的一种方法 是使用显式方法计算此时两种算法统称为预估一校正算法( p r e d i c t o r c o r r e c t o r m e t h o d s ) ，预估算法提供预测值，后者则将预测值加以校正，使数值解更精确原则 上任一显格式和隐格式都可搭配成预估一校正算法及各种计算方案在本文的数值 试验中我们将构造一个快速收敛的预估校正法用于非线性差分问题的求解 f 蒜，阳叫m 扎f ， 2 第一节引言 c 带五次项的非线性s e h r s d i n g e r 方程 i 毗+ 牡珏一卢i 1 2 钍一7 f t 1 4 札= 0 ， d 带非线陛导数的s c h r m i n g e r 方程 ( 1 4 ) i t “+ t 。一卢i 训2 u 一7 阻1 4 u 一 n ( i “1 2 让k = 0 ( 1 5 ) ( 1 2 ) 是最简单的s c h r s d i n g e r 型方程，【3 】构造了类引入耗散项的显式格式， 并推导出这些显格式稳定的条件；( 1 3 ) 为传统的非线性s c h r s d i n g e r 方程，该方程 在物理学( 如非线性光学、等离子物理等) 有着广泛的应用，到目前为止已有不少学 者应用有限差分方法对出现在这些领域中的实际问题进行了研究，如f 6 1 6 提出了个 有限差分格式，【7 】提出了五个有限差分格式和两种f o u r i e r 方法( 分裂法和拟谱方 法) ， 8 】提出了蛙跳格式”和改进的c r a n k - n i c o l s o n 格式，【9 1 用半离散的方法讨 论了守画阳不守恒的格式， 1 0 】讨论了广义非线性s c h r 6 d i n g e r 方程组的有限差分 解法，【l l 】对方程( 1 3 ) ，( 1 4 ) 提出了一种三层七点守恒格式；f 1 2 】对带五次项的非 线性s c h r 6 d i n g e r 方程( 1 4 ) 作了理论上的分析，指出在卢 0 ，1 0 的情况下，存 在着有界的稳定解，并用f o u r i e r 分裂法对卢和，y 的各种情况进行了数值模拟，从 而证明了该方程的数值可解性；【1 3 】则讨论了当o = 0 ，卢= 1 ，7 = 1 时的带五次项 的非线性s c h r s d i n g e r 方程的差分解法；对于方程( 1 5 ) ，【1 4 】【1 5 】讨论了其孤波解的 存在性，并证明了该方程在满足一定条件下轨道是稳定的 但是在方程( 1 1 ) 中不仅有非线陛项，还带有非线性项的导数项，给方程的数值 计算带来了新的困难本文旨在研究问题( 1 1 ) 的有效数值解法，提出了一种差分 谱方法对时间和空间进行离散，证明了一般情形下( 即任意的n ，成1 ) 全离散格式 的能量守恒性另外，我们也进行了收敛 生分析，给出了n = 0 情形下时间半离散 格式的误差估计最后的数值试验也得到了与理论分析一致的结果 3 蔓三堇! 坚差坌整查 4 第二节守恒差分格式 本节主要是建立方程( 1 1 ) 的能量守恒律，并引入一种时间差分半离散格式，证 明半离散解满足能量守恒性质 首先，我们建立关于方程( 1 1 ) 的能量守恒律定义i l f l l ，= ( 铲i ，( z ) i 一如) ； 白1 ) 为简化记号，当p = 2 时，”1 1 2 简写为”m 对于个复数a ，令r e a 和 i m a 分别表示它的实部和虚部我们有如下的定理； 定理1 ( 能量守甸设n ，展，y 是实常数u ( x ，t ) 是方程( 1 ，1 ) 的解，则对任意的 t ，0 t 茎t ，成立 d e 矿l ( t ) ：o ， ( 2 1 ) 出 、7 这里易( 力= l l u ( - ，t ) l l i ， d e 2 ( t ) d t ：o ， ( 2 2 ) “， 。+ 。， 这里易( t ) = 6 l l u 。( ，t ) l l l + 2 1 l l u ( - ，t ) 1 1 2 + 3 卢l l u ( ，t ) l l j - 3 n i m 伊m ，t ) j 2 玎i 沁( ，t ) d x 证明：利用如下关系式：( z ，钆z 2 为任意的复数) i m ( z l z 2 ) = 一i m ( z l z 2 ) 2 r e ( z l 言2 ) = z i z 2 + i l z 2 i m ( i z ) = r e ( _ ) r e ( i z ) = i m l ：功 首先，( 1 1 ) 的第个方程两边乘以瓶，对z 从0 到2 a r 积分取虚部，并利用u ( 而t ) 的周期性，逐项计算得 ，m z 斯蚍一如= z 打拶d 如= 舢良 ，m z 打“。面a z = 一。j ( “i 1 2 a z = 。， 第二节守恒差分格式 伽z 打( 砷降疹融一o 一。出_ 0 ，2 ，2 f i m ( 一口i 1 2 u 一7 f “1 4 ) 2 - u d x = 一2 i m ( z l u l 2 l t 1 2 + 7 l u f 4 i “2 ) d x = 0 d oj o 结合以上各式，则有蕊d 睦= 0 ，即 d e l ( t ) ：o d t 。 其次，在( 1 1 ) 式两边乘以砚，并对所得等式中的各项进行计算得 r e z 打慨出= 一h o 许出一o ， 兄e z 斯u 。础= 一掰k + 瓦肛一物叫巴 m ，f 。0 2 ”( 一州2 ) 础= - c x l mz o ”i u l 2 瓦u t d x ， r 。“( - z l 。 2 u - - 1 i 叫t 。 ：一：，打 ? l u l 。( 1 。i z ) 。+ w ( m 。】如 船o ( - z l u 2 u - - 1 i 矿“) 面t d x 一；z 7 l u l 2 ( 1 砰i ) t 刊删蛾】如 = 一；z 新( 互1 面d 4 + i 1 吖面d 6 ) d z = 一i 卢墨忆幢一石1 7 五d 忙幢 5 结合以上各式，我们有 墨 割“。躬+ ；卢叫i i + i 1 ，融= - c a l mz 0 2 丌川2 砚毗如 ( 2 3 ) 另一方面，直接计算得 丢h 门砰砜如 = i m 【( i u h 讹。+ i u l 2 砚。+ l u l 2 讹。t d z 。：2 。 ( 2 4 ) ，2 、， = i m ( 2 饥+ 2 i u l 2 砚一_ 2 毗一2 h 2 面= u t ) d z = 一4 i m 叫2 砚毗d x 第二节守恒差分格式 6 结合( 2 3 ) ，( 2 4 ) 两式得 面d 1 到1 2 2 + i 硎u i 瞳+ 石1 7 怕雌l a i m z 打2 孔。出) = 。， 即成立 掣：o 出 一 口 定理1 说明广义混合s c h r 6 d i n g e r 问题( 1 1 ) 的解满足两种守恒律本文旨在研 究问题( 1 1 ) 的数值计算方法，特别是提出求解( 1 1 ) 的守恒的差分谱方法，并进 行理论分析和数值检验这里我们特别强调格式的能量守恒性，因为守恒的格式不 仅可以较好的拟合方程本身所具有的守恒律，而且可以避免其它非守恒格式可能出 现的非线性爆炸”等，所以构造守恒的差分格式是非常有意义的下一节中，我 们尝试构造( 1 1 ) 的离散格式，使离散解满足相应的能量守恒性质 2 2 时间离散 将时间区间f o ，卅剖分成啪步，则时间步长为，= 三令t n = ”r ，n = 0 ，1 ，m 我们考察如下差分格式： i 去( 铲州一矿一1 ) + i 扣譬1 + 1 ) 一；卢i 驴1 2 ( u 计l + 矿一1 ) 一；，y ( i “卅1 1 4 + i 矿+ 1 1 2 i 矿一1 1 2 + l 矿一1 1 4 ) ( 扩- i - iq _ 扩一1 ) 一i i 耐，z n + 1 + 矿u n 。1 k = o ，札= 1 ，2 ，m 一1 ， i ；( u 1 一护) + j 1 ( u k + “。o 。) 一；卢i 护1 2 ( u 1 + 。) ( 2 5 ) 一；7 ( j “1 j 4 + j ”1 一护j 2 + l u 。1 4 ) ( u 1 + 。) 一i l l 耐( 扩“l + 护u 。b = o ， u n ( 2 ) = 矿( o ) ，n = 0 ，1 ，2 ，m ， “o ( z ) = u o ( z ) ，z n ， 第二节守恒差分格式 7 研= ；厅州刮2 w 一如； ( 2 7 ) 2 r 2 ” 叼刮f o ：l u 。g + l 2 + 啪6 卢h u n 脚a - 1 j o 附n 如 ( 2 9 ) r 2 r 2 ( ) + 2 7 ( 1 铲+ 1 1 6 + l u 1 6 ) d z 一3 a i m ( u ”+ 1 扩) 。矿+ 1 铲如 j oj o j m 序丢( ”州卅_ 1 ) + 一肛去厅一卜妒- 1 1 2 x m f o 打互1 ( u 譬1 + 嚷1 ) ( _ “+ 1 + 矿一1 ) 如 = 一；j mz 孙( u ：+ 1t u 。n 一1 ) ( 面：+ 1 + 醒一1 ) 如= 。 第二节守恒差分格式 则有 j m o 知 一；p l u “1 2 ( u n + l + u “) 一i 1 7 ( i u n + 1 1 4 + i u n + 1 1 2 l 矿一1 1 2 + n u n 一1 1 4 ) ( u n 十1 + u n 一1 ) j ( 铲+ 1 + 铲一1 ) d z = 0 ， j m j ，0 2 丌【一i i i n 矿( u n u n - - 1 + , “n 矿一1 ) 。l ( 矿+ l + 矿一1 ) 如 = 一百1 az 斯( 1 u n + l + u n - 1 1 2 妒i ：+ i 矿1 2 i u ”+ l + 扩1 j ：) 如= 。， 由研的定义( 2 7 ) 得 掰州1 2 市1 2 肛。 研= 研一= 研 类似地，( 2 5 ) 的第二式乘以( 面1 + 俨) ，对z 从0 到2 7 r 积分取虚部得 从而有 研= 研，n = 1 ，2 ，m 现仕让明性m 氏-5 j 瓦网】彤r 以【“”一u j ，朋茹从0 到打秘对取头剖， 并注意到 觑工r 2 ri i i ( ”时1 一“一1 ) ( 矿+ l 一铲_ 1 ) 出= 去j m z 2 丌( i 矿1 2 一i u n - 1 1 2 ) 如= 。， 月e z “互1 ( u 譬1 + “= 1 ) ( 铲“一矿_ 1 ) 如= 一互1z ”( 1 嵋“1 2 一l 嵋d d x ， 兄e z ” 一；p i 矿r 矿“+ 矿_ 1 ) 】( 护+ l 一矿_ 1 ) 如 = 一；卢z 抑( 1 u n + 1 1 2 i u ”1 2 一i u “1 2 i 扩一1 1 2 ) d z ， 8 第二节守恒差分格式 9 得 r e z 2 丌【_ 石1 州u n + 1 1 4 + i 矿+ 1 n “一1 1 2 + 妒- 1 h ( “卅l + 矿_ 1 ) ( 铲+ l 一铲- 1 ) 出 = 一一1z 新( i u 1 1 6 一l 矿。1 n 幽， 船z 2 丌【- 五1 i n 铲( 扩 u n + l4 - u 竹矿。k ( 铲+ 1 一铲- 1 ) 】如 = ：n j mz 2 丌i ( 矿+ 1 矿) 。铲+ l 铲一( 矿矿- 1 ) 。铲铲- 1 】d 。 ：z 打( 1 “1 2 一l 。1 ) 如 + ；卢z ”( i 矿“门矿2 一i 扩一“p 1 | 2 ) 如+ 矿1z ”( 1 铲“1 6 一i 扩_ 1 n 出 一：n j m z 新陋计1 矿) 。矿+ 1 铲一( u ”矿一) 。矿宵“ 出= 。 由毋的定义( 2 9 ) 得 霹= 霹一= 磅 定理2 说明时间离散格式( 2 5 ) 保持了离散解的能量守恒性下面将对离散格式 进行误差分析 第三节收敛分析 第三节收敛分析 1 0 误差分析是在无非线性导数项( 即a = 0 ) 的假设下进行的这种情况归结为带 五次项的非线性s c h r 6 d i n g ”方程，文【1 2 】讨论了卢 o ，- y 0 情况下解及其导数的 有界性本节我们分析相同条件下差分解的收敛性在一般情况下( 即n o ) ，目前 我们还无法证明差分格式( 2 5 ) 的收毁陛，因此需要进步的研究 为叙述方便，我们引入记号asb ，用来表示存在与任何函数和离散参数无关 的常数c ，使得a 茎 定理3 设u 是方程( 1 1 ) 的解，则当卢 o ，y 0 ，o t = 0 时，差分方程( 2 5 ) 的 解u n 满足下列误差估计： s u p9 “( p ) 一矿8s ( r 2 + i l u ( o ) 一“o | | + 0 u ( t 1 ) 一“1 i i ) ，( 3 1 ) l l u 0 1 ) 一n 1 i ls ( 丁+ l l u ( o ) 一u o l l ) ( 3 2 ) 证明：只证明( 3 1 ) 式令e “= u 妒) 一“”，则利用t a y l o r 展开可直接验证e ”满足 t 去( e 州一e 一) + 弹1 n 。+ l + e = 1 ) 一；p f ( t “) f 2 ( 虹( f 佧十1 ) + “( ”一1 ) ) + ；卢f “i 2 ( “m 十1 + 珏n 一1 ) ( 3 3 ) 一却让( t 州) 1 4 + 眦州) 陬扩。1 ) 1 2 + l u ( t 一1 ) 1 4 ) ( u ( “) + “( ”1 ) ) + 却u 卅1 1 4 + l 矿“1 2 l u m i + i 扩- 1 1 4 ) ( 扩“+ u ”1 ) = o ( r 2 ) t ( 3 , 3 ) 式两端乘以p + 1 + 扩一1 ) ，对z 从0 到2 ”积分取虚部，根据“( 护) ，俨的周期 性，则所得方程左端第一项为 j m t 去z 打( e n + l _ e n1 ) ( 矿“+ 矿。1 ) 如= 丢( 舱叶1 旷一忙”1 旷) ( 3 4 ) 左端第二项为 加；z 2 丌( e 茹1 + e = 1 ) ( 矿+ 1 + 矿_ 1 ) 如= 。 ( 3 5 ) 第三节收敛分析 对于左端弟= 四项，有 ：= 一；p ，m z “盼( 纠j 2 ( u ( t 卅1 ) + “( t 一1 ) ) 一i u n r u 卅1 + 扩。) 】 f + 1 + 矿。 = 一：卢j m z 2 丌妒) | 2 ( e 叶l + 扩_ 1 ) + ( i ”( 明1 2 一i 矿n ( 扩+ 1 + u n - 1 ) l ( 矿+ 1 + 矿一1 ) 如 = 一；p m z 打( m 明1 2 一i “一( u 卅l + 矿- 1 ) ( 矿“+ 矿- 1 ) 出 最后，左端第五六项可写为 屯：= 一石1 1 h z 新u ( 4 仆( 铲坩。1 铲+ i u ( r 4 ) ( u ( t “+ 1 ) + u ( t ”一1 ) ) 一( i u n + 1 1 4 + u n + 1 1 2 1 t ，一1 1 2 + i u n - - 1 1 4 ) ( u ”1 + u n - 1 ) p 十1 + 矿一1 ) 如 = 一6 y i m f 0 2 ”【( i u ( t ”+ 1 ) 1 4 + i “( “+ 1 ) 1 2 l u ( t “一1 ) 1 2 + i “( “一1 ) 1 4 ) ( e ”+ 1 + e n 一1 ) + ( i u ( t “+ 1 ) 1 4 + i “( t ”+ 1 ) 1 2 m ( 护一1 ) 1 2 + i u ( t “一1 ) 1 4 一 u n + 1 1 4 一i 矿+ 1 1 2 i 牡卜1 1 2 一i “n - 1 1 4 ) ( 铲+ 1 + 札n - - 1 ) 】( 矿+ 1 + 矿1 ) 如 = 一：7 ，m z “u ( t ”1 ) 1 2 + i 铲。1 1 2 ) ( m t ”1 ) 1 2 一i u ”1 门 + ( i u ( t “+ 1 ) 1 2 + i u n + 1 1 2 ) ( i u ( t “+ 1 ) 1 2 一i u n + 1 1 2 ) + i “( t ”十1 ) 1 2 ( i u ( t ”一1 ) 1 2 一i n - - 1 1 2 ) + i “n - - 1 1 2 ( i 0 n + 1 ) 1 2 一i , a n + 1 1 2 ) ( u “+ 1 + u n 一1 ) p + 1 + 矿一1 ) 如 结合( 3 4 ) 一( 3 7 ) 式得 i i e “+ 11 1 2 一i i e “一11 1 2 = 2 r ( + 如) + 2 1 i r a t , 2 7 ro ( 下2 ) ( 百“+ 1 + f 卜1 ) d 1 1 ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 第三节收敛分析 ( 3 8 ) 式两端对n 从1 到m 求和得 o i ”1 1 1 2 + i l e m l l 2 = 1 1 e 0 1 1 2 + o e l i l 2 + 2 r ( + 五) + 2 rzz m j o f 2 1 ro ( r 2 ) ( 矿+ 1 + 矿一1 ) 如 m ”= 1 ( 3 - 9 ) n = l 利用等式 得 i “( 护) 1 2 一川2 = u ( t ”) 可可一u “铲 “妒) ( i j 一铲) 4 - 铲( u ( 亡n ) 一“”) = “( 护) 矿+ 矿e ” u ( t ”) 1 2 一i t 产1 2 is ( m ( 矿) | + l u 1 ) l e “ 另外，由定理l 和定理2 以及假设n = o ，p o ，1 0 ，可知对于任意的n ，“( 护) ，矿 及其导数是有界的再利用y o u n g 不等式，得 | 1 1 ls 2 ”( 1 u ( t ”) i 十l u n i ) i e “i ( 1 n + 1 i + i u n 1 1 ) ( i e “+ 1 l + i e r l - - i i ) d x j 0 f 3 1 。1 |s “u ( 扩) i 十li ) i e “i “+ 1 + i 1 ) ( i e “+ 1 l + i ，、 l o 1 uj si 陋“+ 1 1 1 2 + l i e ”| | 2 + i i e ”一1 1 1 2 ， 如ls4 ”【i i 如l 焉【”一1 ) 1 2 + l “一 ( “一1 ) l + i t ，一1 i ) i e “一1 j 0 + ( 阻( t n + 1 ) 1 2 + i u 1 1 2 ) ( i u ( t ”+ 1 ) i + i “”+ 1 i ) l e “+ 1 l + i 。( 护十1 ) 1 2 ( 1 u 妒一1 ) 1 + i 扩一1 吣“l ( 3 - 1 1 ) + i 矿一1 闻“( t 计1 ) l + i u 蚪1 i ) 旧1 矿+ 1 l + l u “一1 叫i 卅1 i + l 矿一1 i ) d x 从而有 f n ； 2 r ( i i + 1 2 1 ) sr ( | | e n + l i l 2 + 1 1 e 1 1 2 + e “一1 1 1 2 ) ( 3 1 2 ) n = ln = l 第三节 收敛分析 将( 3 1 2 ) - ( 3 1 3 ) 式代入( 3 9 ) 式，得 s 丁4 + s 下4 + 由g r o n w a l l 不等式， 1 1 e 0 1 1 2 + l i d i l 2 + r ( 1 l e 卅1 1 1 2 + 1 1 e 1 1 2 + n = l 1 1 e 0 1 1 2 + e 10 2 + r ( 0 扩+ 1 | | 2 + i i e n 0 2 ) 即得( 3 1 ) 式成立 类似以上的证明，同样可证( 3 2 ) 式也成立 1 3 ( 3 1 3 ) 口 勺 扩 卜 h 矿 。脚 下+ 代 如 。 矿 叶 忙勺p d 打 z mr m 脚 酌 打 又 墨里芏墨! 型望堡查墨 1 4 第四节f o u r i e r 谱方法 对于餍期问题，f o u r i e r 谱方法是自然的选择本节我们提出一种f o u r i e r 方法， 并证明时间一空间全离散后解的守恒性考虑u ”的如下f o u r i e r 展开式逼近 蜡= 艺雄e 一妇，其中n 是正整数 要求婚满足：对于任意的妒s ：= s m n 唧( 一i k x ) ，- n k 茎 ， 去( u 铲1 一“f 1 ，妒) + p 1n + 1 + “如删) 一扫稍时1 + u 心纠 一；7 ( ( i “铲1j 4 + l “铲1 1 2j 婿1 1 2 + l 唏1 陬带1 + 啊1 ) ，妒) 一；i n ( 礴( “备蜡1 + “nu n - 1 k ，妒) = 0 ，n 2 ， u 2 ，妒) + ；( ( u 5 ，+ u ) 。妒) 一却喝m k + “) ，妒) ；1 ( ( i u k l 4 + i u k l 2 i u 1 2 + i u o l 4 ) ( u k + u 备) ，妒) ( 4 - 2 ) 一扣( 磅( u u k + “0 u 0 ) 洲) = o ， 这里( - ，) 表示l 2 一内积 利用三角函数的正交性得到谱系数所满足的方程：n 2 ， i 击( 罐+ 1 一皖- 1 ) 一i 2 2 ( 镶+ 1 + 罐_ 1 ) = ；删略1 2 ( 蚶1 + u n1 ) ) 0 f 4 3 ) + 扣( 蝌1 1 4 + i 付1 m 矿1 1 2 + 1 啊1 一( 蚶1 + “n - - 1 ) ) 2 + ；加e i 强( u 爵u 妒1 + u 7 1 , u t 1 , - - 1 ) 。) 含， 这里如) 2 表示w 的第个谱系数，可利用f f t 快速计算 对于全离散问题( 4 1 ) ( 4 2 ) ，同样有类似于定理2 的能量等式 定理4 设婚是方程( 4 1 ) 一( 4 2 ) 的解，则对任意的心，0 n r 茎t ，我们有 第四节f o u r i e r 谱方法 这里e = 孙1 | i u n + 1 1 1 2 + i i t 备i | 2 ) 琰。n = 盛。n 醚n = 避。n ( 4 4 ) ( 4 5 ) 这里呸= 6 ( u n + 一l i | 2 + 0 咯，。1 1 2 ) + 2 1 ( 1 i u 妒1 1 1 8 + i i 婚1 1 6 ) + 印詹“( 1 u 矿1 2 i 婚1 2 ) d z 一3 a i m 舻( u v l u 备) 。石矿1 面爵如 口 墨墨堇塾焦堕整 1 6 第五节数值试验 本节旨在考察格式( 4 1 ) 一( 4 2 ) 的稳定性和收敛性，验证前面证明的理论结果 5 。l 稳定性测试 由于( 4 1 ) - ( 4 2 ) 关于u 铲1 是非线性方程，我f 丁_ 采用如下的预估一校正迭代方法 求解： t 去( 毋+ 1 m 删一霹一1 ) 一j 1 2 ( 毋删外1 + 一1 ) = ；州咐n1 2 ( 皤+ 1 8 + 盯1 ) ) 岔 + 扣( i u 等删叩+ i “譬删叩i 盯11 2 + 1 婿1 1 4 ) ( “舻1 + 霄1 ) ) + ：i a 面备( u 胥u 譬十1 5 + n u n - 1 k ) 2 ， 其中s 表示迭代的次数，初始值毋+ 1 由显格式 i 砉( 毋删m 一霹一1 ) 一i 1 七2 ( 毋删+ 磙一1 ) =p i u 备1 2 札n ，a + 1 i t 岛 4 札n ，七a + n i 札爵1 2 赡。) 含， 提供上述格式关于u ( n + 1 ) ( 蚪1 ) 是完全线性的，因此其f o u r i e r 系数毋十1 ) 卧1 对 不同的模数七是完全分离的，计算简单实际计算中我们设定的收敛标准为 蝣+ 1 州一毋删3 雌，= 1 0 娟 数值试验显示，对于每个时间步n ，达到上述收敛所需的迭代数s 介于4 和6 之间 在所有的数值计算中，取a = o ，卢= 1 ，7 = 2 考虑初始条件o ( 嚣) = e x p i x ，则 直接验证知，方程( 1 1 ) 有对应的行波解 u ( x ，) = e x p i ( x 一4 t ) ( 5 1 ) 首先考察格式的稳定性为此进行长时间计算，研究数值解在0 ts1 0 0 时间 段内的行为此时取= 3 2 ，r = 0 0 0 1 ，图1 分别显示两种能量e 1 和易随时间变 第五节数值试验 化情况从图中我们发现两种能量关于时间几乎为常数，说明格式很好地保持了能 量的守恒 图1 ：两种形式的能量随时间变化情况 f i g u r e1 ：p l o to fe n e r g y 磁a n d 磁a saf u n c t i o no ft h e t i m et “- 图2 显示数值解的实部和虚部随时空变化情况从图中可见数值解的波形随时 间和空间方向都保持良好，进一步证明了格式的可靠陛 图2 ：数值解的时空变化( 左：实部；右：虚部) f i g u r e2 ：d i s t r i b u t i o no ft h en u m e r i c a ls o l u t i o na sa f u n c t i o no ft h es p a c e - t i m e ( 1 e f t ：r e a lp a r t ；r i g h t ：i m a g i n a r yp a r t ) 1 7 差墨堇堑笪垫竺 5 2 收敛性澳4 试 在这里我们考察格式的收敛性由于精确解是个s i n 波，空间方向上只需要 一个波数就能精确地分辨出精确解，因此我们只考察数值解关于时间步长的收敛速 度图3 显示的是取不同的时间步长( 即r 分别取o 0 0 0 1 ，o 0 0 0 2 ，o 0 0 0 4 ，o 0 0 0 8 ， 0 0 0 1 6 ) 时，数值解在t = 1 时刻的工2 误差随步长变化情况( 1 0 9 l o 唔尺度) 仔细验 证发现，l 2 误差曲线几乎呈直线，且关于时间步长轴的斜率为2 这说明数值解关 于时间步长是2 阶精度 图3 ：t = 1 时刻数值解的五2 一误差与r 的关系 f i g u r e3 ：l 2 _ e r r o r so ft h en u m e r i c a ls o l u t i o na t = 1w i t hr e s p e c tt or 般而言，显格式差分法具有计算简单、便于编程、以及单步计算量小等优点， 但是它通常是有条件稳定的特别是当方程中有强非线i 生项时，非线性项的显式处理 将对时间步长提出十分苛刻的稳定性要求而隐式差分法虽然单步计算复杂，却往 第五节数值试验 往具有好的稳定性质，允许使用较大的时间步长，因此总体计算通常更小在这一节 中，我们考虑带非线性导数项的方程( 即n o ) ，通过与显格式的比较，证明我们构 造的隐格式具有一般的显格式所不具备的能量守恒巨 用于比较研究的显格式具有如下形式： t 砉( 矿一u “一1 ) + ；( 罐1 + u = 1 ) 一i c ￥ u ”1 2 “：一卢i t 1 2 ”一 y l u 1 4 “”= 0 ，n = 1 ，2 ，一，m 一1 ， t ；( u l 一护) + j 1 ( 1 + 如) 一诎岬u o 一卢坩u 。一7 卅u 0 = 0 ， ( 5 2 ) 矿( 2 1 r ) = 扩( o ) ，竹= 0 ，1 ，2 ，m ， t 正o ( z ) = u o ( z ) ，z n ， 1 9 这里，我们看到所有的非线性项均做显式处理，因此计算简单不幸的是，下面的数 值试验显示该格式是不稳定的 取n = 1 ，p = 一2 ，- y = 1 考虑初始条件u o ( z ) = e x p i x ，则直接验证知，方程 ( 1 1 ) 有对应的行波解 u ( z ，t ) = e x p i ( x + t ) ( 5 3 ) 同前面样，取n = 3 2 ，7 一= 0 0 0 1 ，图4 显示隐格式( 2 5 ) 和显格式( 5 2 ) 计算所 得的两种能量毋和岛随时间变化情况从图中发现，对于隐格式，能量保持了长 时间的守匣，格式稳定；而显格式计算的解到某一时刻时能量突然增加，直至发散， 说明是不稳定的 第五节数值试验 图4 ：显格式与隐格式的稳定性比较 f i g u r e4 ：s t a b i l i t yc o m p a r i s o no ft h ee x p l i c i ta n di m p l i c i ts c h e m e s 参考文献 参考文献 【1 1 李荣华，冯果忱微分方程数值解法m 北京：高等教育出版社，2 0 0 1 2 】余德浩，汤华中微分方程数值解法【卅北京：科学出版社，2 0 0 3 3 】李德元，陈光南抛物型方程差分方法引论 叫北京；科学出版社， 1 9 9 5 4 c c a n u t o ，m y h u s s a i n i ，a q u a r t e r o n ia n dt a z a n g s p e c t r a lm e t h o d si n f l u i dd y n a m i c s m n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 8 【5 向新民谱方法的数值分析【蚓，北京：科学出版社，2 0 0 0 6 】d e f l o u rm ，f o r t i nm ，p a y r eg f i n i t e - d i f f e r e n c es o l u t i o no fan o n - l i n e a r s e h r s d i n g e re q u a t i o n j j c o m p u t p h y s 一1 9 8 1 4 4 ：2 7 7 - 2 8 8 7 】t a h at r ，a b l o w i t zm j a n a l y t i c a la n dn u m e r i c a la s p e c t so fc e r t a i nn o n - l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n si i ：n u m e r i c a ln o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n j j c o m